REVISÃO DE ANÁLISE TENSORIAL

1.1- Vetores Espaciais

Def.: Para cada par de pontos (a,b) do espaço E, existe um segmento de linha , caracterizado por um comprimento e uma direção.-Conjunto de vetores espaciais: conjunto de todos os segmentos de linha direcionados (segmentos paralelos correspondem a um mesmo elemento.-Operações:

-Adição:

!

ab

!

v + w = w + v

u + v + w( ) = u + v( ) + w

v + 0 = v

Para cada v existe um - v tal que v + ("v) = 0

-Multiplicação por escalar α

Def.: O vetor

!

"v tem comprimento " v e direção de v se " > 0

e direção de - v se " < 0

!

" #v( ) = "#( )v

1v = v

" v + w( ) ="v +"w

" + #( )v ="v + #v

- Produto interno: número real

!

v •w = v w cos "

v •w = w •v

u• v + w( ) = u•v + u•w

" v •w( ) = "v( ) •w

v •v # 0 ; v •v = 0 se e só se v = 0

α

!

v

!

w

-Espaço vetorial: conjunto de objetos tais que as regras de adição e multiplicação se aplicam-Espaço produto interno: Espaço vetorial com produto interno-Conjunto de vetores espaciais é um espaço produto interno-Abreviações:

!

v " w # v + ("w)

Comprimento ou magnitude de v :

v # v # v •v

-Vetor posição: qualquer ponto z em E pode ser localizado em relação a outro ponto O pelo vetor espacial:

!

z "Oz (vetor posição de z em relação a origem O)

-Campos escalar: funções de valores numéricos quedependem da posição. Exs: temperatura, pressão

-Campos de vetores espaciais: funções de vetores espaciaisde dependem da posição. Exs: força, velocidade, vetorposição (p(z))

-As operações de adição, multiplicação por escalar eproduto interno são similares para os campos de vetoresespaciais.

-Em geral trabalharemos com campos reais escalares ecampos vetoriais espaciais, e integrais destes campos

-Base:-Os vetores e1, e2 e e3 são linearmente independentes quandoα1e1+α2e2+α3e3=Σαiei=0 só se α1=α2=α3=0-Geometricamente 3 vetores são LI se eles não estão todos num mesmo plano-Uma base M para um espaço vetorial é um conjunto de χ de vetores LI tal que cada vetor em M pode ser escrito comouma combinação linear de elementos de χ-Ex.: Seja (e1, e2, e3) base de todos os vetores espaciais

!

v = v1e1 + v2e2 + v3e3 = viei

i=1

3

"

v1,v2,v3 - componentes do vetor v com relação a base

-n. elementos da base = dimensão da base-Espaço de vetores espaciais e de campos de vetores espaciais é 3D

-Base para campos vetoriais espaciais:-Uma base (m1,m2,m3) para o espaço de campos vetoriais espaciais é cartesiana se os vetores da base em cada ponto z são unitários.

!

m1(z)•m1(z) =1

m2(z)•m2(z) =1

m3(z)•m3(z) =1

-Base ortogonal: elementos da base são ortogonais aos outros

!

mi(z) •m j (z) = 0 p/ i " j

-Base ortonormal: base cartesiana ortogonal

-Base cartesiana retangular: base ortonormal e, para cada 2 pontos x e y em E, mi(x)=mi(y) para i=1,2,3 ⇒comprimento e direção dos vetores de base em cada ponto independem da posição em E. Usaremos (e1, e2, e3) para este tipo de base. -Todo campo de vetores pode ser escrito como CL da BCR (e1, e2, e3):

!

u = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei

i=1

3

"

u1,u2,u3 - componentes cartesianos de u

!

p = z1e1 + z2e2 + z3e3 = zieii=1

3

"

zi # coordenadas cartesianas com relação a origem O

-Vetor posição:

-Qualquer base para campos de vetores espaciais pode ser usada para gerar um número infinito de bases para o espaço de vetores: mi=mi(z) p/ i=1,2,3 e qualquer z pode ser usado como base para o espaço de vetores.

-A base depende de z, pois a magnitude e direção de mi podem variar com a posição (ex: sistemas coord. cilíndrica e esférica)

-A magnitude e direção das funções independem da posição em E, na base cartesiana

CONVENÇÕES

!

u = uieii=1

3

" = uiei

# v •w = (viei) • (w je j ) = viw j (ei •e j ) = viw j$ij = viwi

Para sistema de coordenadas cartesianas :

(ei •e j ) = $ij =1 se i = j

0 se i % j

& ' (

1.2 - Determinantes

!

"ijk = " ijk =

0 quando 2 índices forem iguais

+1 quando ijk forem permutação par de 123 (sent. horário)

#1 quando ijk forem permutação ímpar de 123 (sent. anti - horário)

$

% &

' &

εijk e εijk são completamente anti-simétricas nos índices 123, i.e.,trocando 1 índice por outro o sinal é invertido.

!

det(aij ) =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= "ijka1ia2 ja3k

(1)

1 2 4 3 4 = "ijkai1a j 2ak3

(2)

1 2 4 3 4

-Com a troca de 1 linha por outra, o sinal do determinante muda:

!

"ijkaima jnakp = " jika jmainakp = #"ijkaima jnakp

-Podemos escrever as eqs. (1) e (2) como:

!

"ijkamianjapk = det(ars)"mnp (3)

"ijkaima jnakp = det(ars)"mnp (4)

-Produto entre 2 determinantes:

!

det(ars)det(bxy ) = det(ars)"ijkbi1b j 2bk3 = "mnpamianjapkbi1bj 2bk3

= "mnp (amibi1)(anjb j2)(apkbk3

abp 3

1 2 3 )

= det(ausbsv )

Exercícios

1.3 - Gradiente de um Campo Escalar

Def.: O gradiente de um campo escalar α é um campo vetorial ∇α. O gradiente é especificado a partir do seu produto interno com um vetor arbitrário, em todos os pontos z de E:

!

"#(z) • a $ lims%&

#(z + sa) '#(z)

s

onde a $ zy (y - ponto arbitrário de E)

("#(z) • a = ai)#(z)

)zi= a1

)#(z)

)z1+ a2

)#(z)

)z2

+ a3

)#(z)

)z3

*

+ ,

-

. /

Escolhendo a = ei :

"# •ei =)#

)zi("# =

)#

)ziei

Exercício: Prove que ∇zi=ei

1.4 - Tensores de Segunda Ordem

T é uma transformação ou mapeamento que leva para cadacampo vetorial v um outro campo vetorial T•v tal que asseguintes regras são satisfeitas:

!

T • v + w( ) = T •v + T •w

T • ("v) ="(T •v)

T + S( ) •v # T •v + S •v

"T( ) •v #" T •v( )

-Tensor Zero: 0•v=0 para todo campo vetorial v

-Todo Campo Tensorial constitui um espaço vetorial

-Produto tensorial ou produto diático entre 2 vetores: T=ab

-Componentes de campos tensoriais de segunda ordem:

T - tensor de segunda ordemej (j=1,2,3) - base cartesiana retangular para o espaço de campos vetoriais⇒ T• ej =Tij ei

!

Tij[ ] =

T11

T12

T13

T21

T22

T23

T31

T32

T33

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

Seja v um campo vetorial, então:

!

T •v = T • (v je j ) = v jT •e j = v jTijei

Notação: T=Tij ei ej

-Tensor Identidade: I•ej=Iijei=ej=δijei ⇒ (Iij- δij)ei =0

como a base cartesiana retangular é L.I.: Iij = δij

-ei ej: base para o espaço de campos tensoriais de segunda ordem

(dimensão 9)

-Transposta de um campo tensorial de segunda ordem:

Def.:

!

T • u( ) •v " u• TT

•v( )u = ei v = e j

# Tji = TijT

ou TT

= Tnmemen

Def.: w •TT

= T •w

- Tensor simétrico: T = TT

- Tensor anti-simétrico: T = - TT

- Campo tensorial ortogonal: preserva comprimentos e ângulos

!

Q• u( ) • Q•v( ) = u•v

" u• QT

• Q•v( )[ ] = u• QT

•Q( ) •v[ ] = u•v

" QT

•Q = I

!

A • B •v( ) = A •B( ) •v

onde A •B( ) " Aij eie j( ) • Bkmekem( ) = AijB jmeiem

A •B( )T

= BTAT

- Sejam A e B campos tensoriais de Segunda Ordem:

- Inverso de um campo tensorial de 2a ordem:

- Um campo tensorial é inversível se:

a) Se A•u1=A•u2 então u1=u2

b) Para cada campo vetorial v, corresponde pelo menosum campo vetorial u tal que A•u=v

⇒ A-1: inversa de A

Definindo: A-1•v1=u1 pode-se mostrar que A-1• A= A • A-1=I

- Para uma transformação ortogonal, Q-1= QT

- Obs: Nem o tensor 0 nem um produto tensorial ab sãoinversíveis

-Traço de um campo tensorial de segunda ordem:

-Sejam a, b campos vetoriais; α campo escalar; S, T campostensoriais de segunda ordem

-A operação tr(T) satisfaz:

- tr(T+S)= tr(T) + tr(S)

-tr(α T)= α tr(T)

-tr(ab)=a•b

-No sistema de coordenadas cartesianas:

-tr(T)=Tij tr(ei ej) = Tij ei •ej= Tij δij= Tii (=soma dos elementosda diagonal)

1.5 - Gradiente de um campo vetorial

Def.: O gradiente de um campo vetorial v é um campo tensorial de segunda ordem ∇v.

!

"v(z) • a # lims$%

v(z + sa) & v(z)

s

onde a # zy (y - ponto arbitrário de E)

'"v(z) • a = ai(v(z)

(zi= a1

(v(z)

(z1+ a2

(v(z)

(z2

+ a3

(v(z)

(z3

)

* +

,

- .

Escolhendo a = e j :

"v •e j =(v

(z j'"v =

(vi(zi

eie j

tr("v) =(vi(zi

tr(eie j )

/ ij

1 2 3 =(vi(zi

= divergente

' divv # " •v # tr("v) =(vi(zi

1.6- Produto vetorial e rotacional

!

a"b( )em relaçãoa base cart.

1 2 3 #

e1 e2 e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

= (a2b3 $ a3b2)e1 + (a3b1 $ a1b3)e2 + (a1b2 $ a2b1)e3

a direção de a"b( ) é dada pela regra da mão direita

a"b( ) está no plano perpendicular a a e b

!

rot v "

e1 e2 e3

# /#z1 # /#z2 # /#z3

v1 v2 v3

=

#v3

#z2

$#v2

#z3

%

& '

(

) * e1 +

#v1

#z3

$#v3

#z1

%

& '

(

) * e2 +

#v2

#z1$#v1

#z2

%

& '

(

) * e3

Notação mais compacta (sist. cartesiano) :

a+b( ) = ,ijka jbk ei

rot v = ,ijk#vk#z j

ei

1.7- Determinante de um tensor de segunda ordem

Seja gi uma base arbitrária para um sistema de coordenadascurvilíneas

-Magnitude do det T=Vol. Paral. Deformado Vol. g1g2g3- det T > 0 se T•g1, T•g2 ,T•g3tem a mesma orientação deg1,g2,g3

Def.:

!

detT "T • g

1( )# T • g

2( )[ ] • T • g

3( )

g1#g

2( ) • g

3

- Na base cartesiana

!

detT = det(Tmn ) (= "ijkT1iT 2 jT3k )

- Mostra-se que

!

det(S •T) = det SdetT

det(T"1) =1/detT

det(TT) = detT

1.8 - Integração-Campos vetoriais:

!

v(z) + v(y) = vi(z)ei + vi(y)ei = vi(z) + vi(y)[ ]ei

" v • dRR# = vieidR =

R# vidR

R#( )

iei

- Transformada de Green:

!

" : escalar, vetor ou tensor

"ˆ n •dASm# $ "(z1 + %z1,z2,z3) &"(z1,z2,z3)[ ]%z2%z3e1 +

"(z1,z2 + %z2,z3) &"(z1,z2,z3)[ ]%z1%z3e2 + "(z1,z2,z3 + %z3) &"(z1,z2,z3)[ ]%z1%z2e3

÷%' = %z1%z2%z3 e fazendo %z1 ( 0,%z2 ( 0,%z3 ( 0 :

1

%'m

"ˆ n •dASm# =)"

Mas,

)"d'R# = limmax %'m(0 )"( )

m%'

m

m=1

k

* = "ˆ n •dASm#

m=1

k

*

+ )"d'R# = "ˆ n •dA

Sm#

Transformada de Green

1 2 4 4 4 4 3 4 4 4 4

-Para ϕ campo tensorial:

!

"vR# d$ = v ˆ n

produtotensorial

{ dAS#

% tr("v)R# d$ = tr(v ˆ n )dA

S#

% divvR# d$ = v • ˆ n

S# dA

Teorema da divergênciaou Teorema de Gauss

1 2 4 4 4 3 4 4 4

!

"TR# d$ = T ˆ n dA

S#

% divTR# d$ = T & ˆ n dA

S#

-Para ϕ campo vetorial:

- Mudança de variáveis em integrais de volume

!

x1 = x

1x

1

,x2

,x3

( )x

2 = x2x

1

,x2

,x3

( )x

3

sist.coord .

{ = x3x

1

,x2

,x3

( )sist .coord .

1 2 4 3 4

Sabe - se que

F(x1,x 2,x 3)dx1dx

2dx

3

R" =

F x1(x

1

,x2

,x3

),...( )det#x i

#x j

$

% & &

'

( ) ) dx

1

dx2

dx3

R"

Se um dos sistemas for o sistema cartesiano :

F(z1,z2,z3)R" dz1dz2dz3 = F z1(x

1,x 2,x 3),...( )R" gdx

1dx

2dx

3

onde g * det(gij )