Aula 3 - ÁlgebraE

Ellís CarvalhoLuiz Afonso

Nu(T) = {v ∈ V / T(v) = 0}

Im(T) = {w ∈ W / w = T(v), para algum v ∈ V}

Teorema: dim Nu(T) + dim Im(T) = dim V.

Revisando Núcleo e Imagem...

T(v) = T(u) -> v = u

Uma transformação é injetiva se e somente se Nu(T) = {0}.

T: ℛ³→ℛ² T(x, y, z) = (x + y, x + z)

Transformação Injetiva

w ∈ W -> ∃ v ∈ V / T(v) = w

Uma transformação é sobrejetiva se e somente se Im(T) = W ou dim Im(T) = dim W, onde W é o contra-domínio da transformação.

Transformação Sobrejetiva

Uma transformação é bijetiva se ela for injetiva e sobrejetiva.

A isso, damos o nome de isomorfismo.

T é bijetiva -> dim V = dim W

Transformação Bijetiva

Exercício

A partir disso, verifique injetividade e sobrejetividade para T, S, SoT e ToS.

Para uma transformação linear possuir inversa, ela deve ser bijetiva.

Logo, dim V = dim W.

Inversa de uma transformação

A matriz de uma transformação linear é uma forma de representar a transformação.

Seu uso se deve à facilidade que ela oferece, uma vez que a transformação “T(v) = u” pode ser feita pela multiplicação de matrizes:

[T]βα x [v]β = [u]α.

Onde [v]β é a representação do vetor ‘v’ na base β, [u]α o vetor ‘u’ na base α e [T]β

α a matriz da transformação T de β para α.

Matriz de uma transformação

α = { u1, u2, ... , um }

β = { v1, v2, ... vn }

u = x1.u1 + x2.u2 + ... + xm.um

v = y1.v1 + y2.v2 + ... + yn.vn

Matriz de uma transformação

mx

x

x

u...2

1

ny

y

y

v...2

1

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

T

...

............

...

...

21

22221

11211

Como achar [T]βα?

Observe que quando v = v1

E para esse v1, temos

Matriz de uma transformação

0

...

0

1

v

mx

x

x

uvT...

)( 2

1

1

Como pode ter surgido T(v1) ?

x1 = 1.a11 + 0.a12 + ... + 0.a1n

x2 = 1.a21 + 0.a22 + ... + 0.a2n

...

Matriz de uma transformação

0

...

0

1

...

............

...

...

...)(

21

22221

11211

2

1

1

mnmm

n

n

m aaa

aaa

aaa

x

x

x

uvT

Dessa forma temos: a11 = x1

a12 = x2

... a1m = xm

Analogamente podemos fazer isso com os vetores v2, v3 ... e vn

Matriz de uma transformação

E chegamos a seguinte matriz da transformação:

Matriz de uma transformação

)(

...)()( 21 nvTvTvT

T

Uma forma rápida de encontrar uma T qualquer nas bases canônicas:

α = { (1,0,...,0), (0,1,...,0) , ... , (0,0,...,1) } ou

{1,t,..,tm} ou etc...

Obs.: dim(α) pode ser diferente de dim(β)

Atenção: Nem todos os espaços podem ser escritos na forma canônica. Exemplo: Se o domínio de T fosse o plano x+y+z=0 do R3, esse método não poderia ser aplicado.

Matriz de uma transformação

10

00,

01

00,

00

10,

00

01

Lembremos de 2 propriedades das transformações lineares:

λ . T(v) = T(λ.v)

T(v) + T(u) = T(v+u)

Matriz de uma transformação

Se temos:

T(x1,y1,...,z1) = (a1,b1,...,c1) T(x2,y2,...,z2) = (a2,b2,...,c2) T(x3,y3,...,z3) = (a3,b3,...,c3)

Atenção: (x1,y1,...,z1), (x2,y2,...,z2), (x3,y3,...,z3) ... Devem formar um gerador do domínio. Senão a transformação não será definida.

Matriz de uma transformação

Podemos fazer uma combinação linear das transformações a fim de obter:

T(1,0,..,0), T(0,1,..,0),... e T(0,0,..,1) A maneira mais prática de fazer isso é

colocar os vetores v e u “emparelhados” em uma matriz e deixá-la na forma escada:

Matriz de uma transformação

............

...

...

............

0...10

0...01

............

...

...

............

...

...

222

111..

222

111

222

111

tsr

tsr

cba

cba

zyx

zyxLC

Observe que agora temos a matriz:

Então basta transpô-la e obtemos a matriz de transformação:

Matriz de uma transformação

...

)0,...1,0(

)0,...0,1(

............

0...10

0...01

T

T

)(

...)()( 21 nvTvTvT

T

Ainda de:

Que representa na verdade: T(1,0,...0) = (r1, s1, ..., t1) T(0,1,...0) = (r2, s2, ..., t2) ...

Podemos fazer: x.T(1,0,...0) = x.(r1, s1, ..., t1) y.T(0,1,...0) = y.(r2, s2, ..., t2) ...

E somar: T(x,y,...,z) = (x.r1 + y.r2 + ..., x.s1 + y.s2, ..., ... )

Matriz de uma transformação

...

)0,...1,0(

)0,...0,1(

............

0...10

0...01

T

T

E dessa forma, podemos escrever facilmente a matriz de transformação linear nas bases canônicas a parti de sua representação de costume:

Ex: T(x,y,z) = (x + y – z, y, -x+2z)

Matriz de uma transformação

201

010

111T

Matriz de uma transformação Questões:

Qual a matriz de transformação T na bases canônicas?

000

312

101

303

1000

0100

0010

0001

211

101

011

112

1110

1010

1101

1111

..LC

3

Nu(T) = v | T(v) = 0

Nu(T) = { (1,-3,0,0), (0,0,0,1) }

Matriz de uma transformação

0313

0100

0213

T

0

0313

0100

0213

w

z

y

x

T

0

0000

0100

003/11

w

z

y

x

T

u = T.v T-1.u = T-1.T.v v = T-1.u

Inverte-se T:

T-1(x,y,z) = (x-½y+ ½ z,x- ½ y- ½ z,-x+y)

Matriz de uma transformação

011

2/12/11

2/12/111T

S( a0+a1t+a2t² ) = ( a1+a2, a0+2a1+4a2 ) α e β são as bases canônicas do P2 e R².

Matriz de uma transformação

421

110S

Exemplo:

Matriz de uma TL composta

Im( SoT ) = { (3,0,1,0), (1,-1,0,1),(4,-1,1,1), (1,-4,-1,4) } = { (3,0,1,0), (0,3,1,-3) }

Im( ToS ) = { (4,2,0), (0,3,0), (-4,4,0) } = { (1,0,0), (0,1,0) }

Matriz de uma TL composta

4110

1101

4110

1413

SoT

000

432

404

ToS

Exercício

Algumas “teóricas”:Falso: contra-exemplo:T(x,y) = (x,y,0)S(x,y,z) = (y,z)

SoT(x,y) = (y,0)(claramente não-isomorfismo)

Falso: contra-exemplo:T(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f)S(a,b,c,d,e,f) = (a,b,c,d,e,f,0)SoT(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f,0)

Se a transformação tem uma inversa, essa inversa tem uma inversa também que é a própria transformação.

Como uma transformação tem inversa se e somente se for um isomorfismo, a inversa dessa transformação é isomorfismo.