Sntese de Circuitos ENG C46 Departamento de Engenharia Eltrica Escola Politcnica da UFBA Professora: Ana Isabela Arajo Cunha

REVISO DE RESPOSTA EM FREQNCIA DE SISTEMAS LINEARES

1. Funes de primeira ordem

Forma geral: ps

zsK)s(T

= (funo bilinear)

Razes: z = zero; s = z anula T(s) p = plo ou modo natural; s = p torna T(s) infinita

Para que T(s) seja fisicamente realizvel: z e p devem ser reais; z = z e p = p Para que T(s) represente um sistema estvel: p deve estar no semiplano lateral esquerdo (SPLE); p < 0

1.1 Exemplos de localizao das razes:

a) p

z

s

sK)s(T

= com z < p < 0

b) ps

sK)s(T

= com o zero na origem e p > 0 (sistema instvel)

O X

z p Re{s} =

Im{s} = j

Re{s} = O X

z p

Im{s} = j

c) s

)s(T K

= com o plo na origem e o zero no infinito

1.2. Diagramas de Bode: Os diagramas de Bode so grficos do mdulo e da fase da funo complexa T(j), ou seja T(s) para s = j. Em outras palavras so as curvas de interseco com o eixo j (eixo imaginrio) das superfcies que representam o mdulo e a fase de T(s). Assim, s estaremos considerando as freqncias fsicas (). Os diagramas de Bode so traados segundo uma escala logartmica de freqncias. A fase de T(j) ( ( ) jT ) representada em graus e o mdulo de T(j) (T(j)) representado em decibis: ( ) ( )= jTlog20jT

dB para T(j) representando razo entre

tenses ou correntes ( ) ( )= jTlog10jT

dB para T(j) representando razo entre

potncias (Admitiremos aqui, salvo especificado em contrrio, que T(j) representa razo entre tenses ou correntes)

Re{s} =

X p

Im{s} = j

p

-p

T(j)

A importncia da representao grfica atravs dos diagramas de Bode reside em dois aspectos: - Cobertura de grandes variaes de freqncia e mdulo - Fcil composio de funes atravs de soma algbrica Para funes de primeira ordem:

( ) ( ) ( )2p22z22p

2

2z

2

dBlog10log10Klog20Klog20jT +++=

+

+=

( )

=pz

arctgarctgjT

Note-se que tanto o mdulo como a fase podem ser decompostos em funes mais simples. Exemplo: T(s) com um zero e um plo finitos, ambos no SPLE

p

z

s

sK)s(T

= ( )

( )( )z

z

p

p

p

z

p

z j

jK

j

jKjT

=

=

Sejam: ( )p

p

1 jjT

= e ( )

z

z2

jjT

=

Comportamento assinttico de T1(j):

( )2p

2

p

1 jT+

= ( ) ( )2p2pdB1 log10log20jT +=

( )

=p

1 arctgjT

Para 0: ( ) dB0jT

dB1

( ) o1 0jT

Para : ( )

pdB1

log20jT (reta descendente a -20 dB/dcada)

( ) o1 90jT Um plo real negativo introduz um atraso crescente at 90

(se o plo real fosse positivo, introduziria um avano crescente at 90)

Para p: ( ) dB32log10jT dB1 == ( ) o1 451arctgjT ==

3dB = p a dita freqncia de corte em 3 dB, pois nesta freqncia o mdulo de T1(j) cai 3 dB ( 707,021 = vezes) em relao ao ganho em baixas freqncias.

As assntotas para as quais o mdulo e a fase de T1(j) se aproximam quando tende a zero ou infinito permitem esboar facilmente os diagramas de Bode desta funo.

1 01

1 02

1 03

1 04

1 05

1 06

-1 0

-5

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

101

102

103

104

105

106

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Comportamento assinttico de T2(j):

( )z

2z

2

2 jT

+= ( ) ( ) z2z2dB2 log20log10jT +=

p

-45o

-90o

0o

T1(j) (o)

0 dB

-3 dB

-20 dB/dec

T1(j) (dB)

p

( )

=z

1 arctgjT

Para 0: ( ) dB0jT

dB1

( ) o2 0jT

Para : ( )

z

dB2log20jT (reta ascendente a 20 dB/dcada)

( ) o2 90jT Um zero real negativo introduz um avano crescente at 90

(se o zero real fosse positivo, introduziria um atraso crescente at 90) Para p: ( ) dB32log10jT dB2 == ( ) o2 451arctgjT == Note-se que do ponto de vista da fase, um plo real positivo (negativo) tem o mesmo efeito que um zero real negativo (positivo).

101

102

103

104

105

106

-10

0

10

20

30

40

50

60

1 01

1 02

1 03

1 04

1 05

1 06

- 1 0

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

z

0 dB 3 dB

20 dB/dec

T2(j) (dB)

45o

0o

90o

T2(j) (o)

z

Composio dos diagramas de Bode da funo T(j), supondo p < z < 0, K > 0 e Kz/p > 1:

101

102

103

104

105

106

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

101

102

103

104

105

106

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

z

T(j) (o)

p

T2(j)

T1(j)

0o

z

0 dB

T(j) (dB)

p

T2(j)

T1(j)

20log K

p

zKlog20

2. Funes de Segunda ordem

Forma geral: ( )( )( )( ) 012

012

21

21

bsbs

asasK

psps

zszsK)s(T

++

++=

= (biquad)

Possibilidades para que T(s) seja fisicamente realizvel: plos (zeros) reais

plos (zeros) complexos conjugados

Para que T(s) represente um sistema estvel: a parte real dos plos deve estar no semiplano lateral esquerdo (SPLE); p < 0

2.1. Exemplos de localizao das razes: a) Zeros reais e plos complexos conjugados; sistema estvel

( )( )( )[ ] ( )[ ]

( )( )20p

2

2z1z

pppp

2z1z

s2s

ssK

jsjs

ssK)s(T

+

=

+

= ,

com 2p2p0 += = freqncia de ressonncia dos plos

b) Um zero real finito, um zero no infinito e plos conjugados sobre o eixo imaginrio

20

2

1z

s

sK)s(T

+

= , com p = + j0

X X

p Re{s} =

Im{s} = j

0

p

p

O O z1 z2

X X

Re{s} =

Im{s} = j

0

0

O

z1

2.2. Diagramas de Bode Exemplos:

a) ( ) ( )( )( )( )2p1p2z1z

ss

ssKsT

=

No caso em que os zeros e os plos so reais, os diagramas de mdulo e fase da funo de transferncia so obtidos atravs de somas algbrica dos diagramas relativos aos termos bilineares. Supondo p2 < p1 < z2 < z1 < 0:

102

103

104

105

106

107

-60

-40

-20

0

20

40

60

102

103

104

105

106

107

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

z1

T(j) (dB)

p1

20log K

z2 p2

20 dB/dec

40 dB/dec

20 dB/dec

2p1p

2z1zKlog20

z1

T(j) (o)

p1 z2 p2

180o

0o

Supondo z2 < p2 < p1 < z1 = 0:

102

103

104

105

106

107

0

10

20

30

40

50

60

70

80

102

103

104

105

106

107

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

T(j) (dB)

p2

20log K

p1 z2

20 dB/dec

-20 dB/dec

T(j) (o)

p1 z2 p2

90o

0o

b) ( )20

02

20

sQ

s

KsT

+

+

= ( )

( ) 2002

20

jQ

j

KjT

+

+

=

0, Q > 0 sistema estvel (sistema com dois plos finitos e dois zeros no infinito) Razes:

0sQ

s 2002 =+

+ 200 Q41

Q2Q2s

=

Q < 1/2 plos reais e diferentes

Q = 1/2 plos reais e iguais: Q20

2p1p

==

Q > 1/2 plos complexos conjugados: 1Q4Q2

jQ2

*pp 20021

+

==

Para valores de Q maiores ou iguais a 1/2, os plos complexos conjugados situam-se sobre um crculo imaginrio de raio igual a 0, no plano s. Quanto maior Q mais os plos se aproximam do eixo imaginrio, e para Q , os plos situam-se sobre o eixo imaginrio. Mdulo de T(j):

( )( )

2

220222

0

20

Q

KjT

+

=

Re{s} =

X X

Im{s} = j

0

0

X

X

0,5 < Q < Q

Comportamento assinttico: Para 0: ( ) KjT ( ) Klog20jT

dB

Para : ( )2

20KjT

( ) + log40log40Klog20jT 0dB

(reta descendente numa taxa de 40 dB/dcada) Porm, a variao do mdulo de T(j) nem sempre monotnica. Verifiquemos a existncia de mximos locais:

( ) ( ) 01Q2

10

Q220

jT2

20

32202

202

03 =

+=

+=

= 0 ou 20TMX Q2

11==

A segunda soluo s fisicamente possvel se 2

1Q . Neste caso, portanto a funo no-

monotnica. V-se tambm que, como 2

1

2

1> , a funo s pode ser no-monotnica se tiver

plos complexos conjugados (sendo esta uma condio necessria mas no suficiente). Assim,

Para 2

1Q < : ( ) KjT

MX=

Para 2

1Q : ( ) ( ) K

Q4

11

QKjTjT

2

TMXMX>

==

Fase de T(j):

( ) ( )

=

220

0

QarctgjT

Comportamento assinttico: Para 0: ( ) = 00arctgjT Para : ( ) = 1800arctgjT Para = 0: ( ) == 90arctgjT

102

103

104

105

106

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

102

103

104

105

106

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

c) ( )20

201

2

a

asasKsT

++= ( ) ( )

20

201

2

a

ajajKjT

++=

(sistema com dois zeros finitos e dois plos no infinito) Pode-se perceber que como esta funo de transferncia proporcional ao inverso da funo do item (b), o diagrama de fase corresponder ao simtrico do correspondente funo do item (b) e o de mdulo corresponder ao simtrico deslocado por uma constante.

Q = 10

Q = 0,4

0

0o

-180o

-90o

T(j) (o)

Q = 10

Q = 0,4

0

-40 dB/dec

20 log K

T(j) (dB)

102

103

104

105

106

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

102

103

104

105

106

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

d) ( )20

02

201

2

sQ

s

asas K sT

+

+

++= ( ) ( )

( ) 2002

201

2

jQ

j

ajajKjT

+

+

++=

Neste caso, os diagramas de Bode podem ser obtidos por soma algbrica de diagramas semelhantes aos das funes de transferncia dos itens (b) e (c). Uma variedade de tipos diferentes de funes pode ser obtida pela diferente disposio dos plos e zeros.

a0/a1 = 10

a0/a1 = 0,4

a0

40 dB/dec

20 log K

T(j) (dB)

0/a1 = 10

0/a1 = 0,4

a0

180o

0o

90o

T(j) (o)

3. Funes de qualquer ordem

Forma geral:

( )( ) ( )( )( ) ( ) 0122n

012

2m

n21

m21

dsdsd...s

cscsc...sK

ps...psps

zs...zszsK)s(T

++++

++++=

=

T(s) pode ser descrita ainda como um produto de biquads e funes bilineares:

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ))j2n(p1pj0j120212201112

)k2m(z1zk0k12

02122

01112

s...sasas...bsbsbsbs

s...sasas...asasasasK)s(T

++++++

++++++=

Os diagramas de Bode podem ser levantados a partir da soma algbrica dos diagramas correspondentes aos termos biquadrticos e bilineares. O mais comum em sntese de circuitos representar T(s) por um produto de biquads se m e n so pares e por um produto de biquads e apenas um termo bilinear se m ou n so mpares (se m n, alguns termos podem ser monoquads ou monolineares). Se m > n, dizemos que:

A funo tem m zeros finitos e m plos sendo n plos finitos e estando (m-n) plos situados no infinito. Assim, T(s) para .

Se m < n, dizemos que:

A funo tem n plos finitos e n zeros sendo m zeros finitos e estando (n-m) zeros situados no infinito. Assim, T(s) 0 para .

Se pelo menos um zero nulo: T(s) = 0 para 0. Se pelo menos um plo nulo: T(s) para 0.