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2015/1 Seção 1 1

Estatística II

REVISÃOSeção 1

Prof. Marcos Calil


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2015/1 Seção 1 2

Cálculo do tamanho da amostra

Onde:

n = Número

de

indivíduos

na

amostra;

Z = Valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado;

S = Desvio

‐padrão

amostral

da

variável

estudada;

e = Margem de erro ou ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA. Identifica a diferença máxima entre a MÉDIA AMOSTRAL ( X ) e a verdadeira MÉDIA POPULACIONAL.

Marcos Calil


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2015/1 Seção 1 3

Exercício

2011.2 ‐ PS

Marcos Calil


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2015/1 Seção 1 4

Estimação da média (n > 30 e é conhecido)

Onde:

μ = média populacional à ser estimada;

X = média amostral;

Z = valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado;

S = desvio‐padrão amostral da variável estudada;

n = número de indivíduos na amostra.

Marcos Calil


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2015/1 Seção 1 5

Estimação da média (n ≤30 e é desconhecido)

Onde:

μ = média populacional à ser estimada;

X = média amostral;

Z = valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado;

S = desvio‐padrão amostral da variável estudada;

n = número de indivíduos na amostra.

EXμEX

nS.tXμ

nS.tX%)IC(μ

2

α1;n

2

α1;n

+≤≤−

+≤≤−=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −γ;

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Exercício

2011.2 ‐ PS

Marcos Calil


7/342015/1 Seção 1 7

Exercício

Tabela normal

padrão

considerando P(0


8/342015/1 Seção 1 8

Teste de uma média

Onde:

Z = Valor observado que corresponde ao grau de confiança desejado;

X = média

amostral;

S = Desvio‐padrão amostral da variável estudada;

n = Número

de

indivíduos

na

amostra.

NOTA 1‐ se n > 30 e σ é conhecido, então usa‐se a distribuição Normal (Z). Caso contrário usa‐se a distribuição t.

NOTA 2 ‐ para estatística t, usa‐se grau de liberdade: n – 1. Marcos Calil


9/342015/1 Seção 1 9

Exercício

2011.2 ‐ PS

Marcos Calil


10/342015/1 Seção 1 10

Exercício

2011.2 ‐ PS

Marcos Calil


11/342015/1 Seção 1 11

Exercício

2011.2 ‐ PS

Marcos Calil


12/342015/1 Seção 1 12

Exercício

2011.1 ‐ PS

Marcos Calil


13/342015/1 Seção 1 13

Exercício

2011.1 – P2

Marcos Calil


14/342015/1 Seção 1 14

Exercício

2011.1 – P2

Marcos Calil


15/342015/1 Seção 1 15

Erro tipo I e Erro tipo II

Ao tomar a decisão do H0

ou H1

sempre corre‐se um risco que vocêtenha chegado a uma conclusão incorreta. Dois são os erros que podemser cometidos:

ERRO TIPO I – quando rejeita‐se H0, quando essa é verdadeira e não

deve ser rejeitada. A probabilidade de ocorrência de um erro Tipo I érepresentada por α.

ERRO TIPO II – quando não rejeita‐se H0, quando essa é falsa e deve serrejeitada. A probabilidade de ocorrência de um erro Tipo II érepresentada por

β.

Marcos Calil


16/342015/1 Seção 1 16


A probabilidade de cometer um erro Tipo I, representado por α, éidentificada como o NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA do teste estatístico.

Tradicionalmente:

‐ Controla‐se o erro Tipo I ao decidir o nível de risco, α, que você estádisposto a correr ao rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.

‐ Os níveis de risco α mais comuns são 0,01; 0,05 e; 0,10.

Marcos Calil


17/342015/1 Seção 1 17


O complemento da probabilidade de um erro Tipo I, dado por 1 – α, éconhecido como COEFICIENTE DE CONFIANÇA.

A probabilidade de cometer um erro Tipo II é representado pela letra β.

Diferentemente do erro Tipo I, onde controla‐se pela seleção de α, a

seleção de β é difícil de determinar com precisão. Por conta disso,simplesmente dizemos que a evidência da amostra é insuficiente para

rejeitar H0 a α = 0,05 (ou qualquer outro valor utilizado) , quando ocorreum erro Tipo II.

Marcos Calil


18/342015/1 Seção 1 18


Em resumo temos:

(α)

(β)

Marcos Calil


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Exercício

2011.1 ‐ PS

Marcos Calil


20/342015/1 Seção 1 20

Tamanho da amostra para uma proporção

Onde:

n: é o tamanho da amostra;Z: valor crítico da distribuição normal padronizada;

p: é a proporção da estimativa amostral;

e: o erro de amostragem aceitável.NOTA: Quando não existe nenhum conhecimento prévio ou uma estimativa daproporção da população, p, utiliza‐se p = 0,5, para determinar o tamanho da amostra.Com isso, iremos obter o maior número possível da amostra.

Marcos Calil


21/342015/1 Seção 1 21

Exercício

2011.1 ‐ PS

Marcos Calil


22/342015/1 Seção 1 22

Estimativa IC para a proporção

A equação que define a ESTIMATIVA DO INTERVALO DE CONFIANÇAPARA A PROPORÇÃO da população é dada por:

Marcos Calil


23/342015/1 Seção 1 23


Onde, a proporção desconhecida da população é representada pelaletra grega π. A estimativa de ponto para π é a proporção da amostra édada por:

Sendo que:n: corresponde ao tamanho da amostra e;X: corresponde ao número de itens na amostra que possuem acaracterísticas de interesse.

Assim, temos que:

n

X

p =

Marcos Calil


24/342015/1 Seção 1 24


Em que:

p: proporção da amostra, dado por:

π: proporção da amostraZ: valor crítico da distribuição normal padronizadan: tamanho da amostra

Pressupondo que tanto X quanto n – X são maiores do que 5

n

p)p(1-Zpn

p)p(1-Zp +≤π≤−

== nX

p Número de itens que possuem a característica

Tamanho da

amostra

Marcos Calil


25/342015/1 Seção 1 25

Exercício

2011.2 ‐ PS

Marcos Calil


26/342015/1 Seção 1 26

Valor‐p

Um segundo método para apresentar os resultados do teste estatístico é o que

relata

quanto

a estatística

‐teste discorda

da

hipótese

nula

e deixa

ao leitor a tarefa de decidir se a rejeita. Essa medida de discordância é chamada de NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA OBSERVADA para o teste ou,

simplesmente, valor‐p.

Para determinadas estatísticas testes, o cálculo do valor‐p se modifica:

‐Teste Z ‐ bicaudal;

‐Teste Z ‐ unicaudal;

‐ Teste t ‐ bicaudal ou unicaudal;

‐ Teste xi‐quadrado (veremos mais adiante).

Marcos Calil


27/342015/1 Seção 1 27

Valor‐p ‐ Teste Z ‐ Unicaudal

1‐ Usa‐se a fórmula:para calcular o Zobservado

2‐ Entra na tabela Z com o valor Zobservado

3‐ Subtraia o resultado de 0,5

4‐ Conclua que:se valor‐p


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2015/1 Seção 1 28

Valor‐p ‐ Teste Z ‐ Bicaudal

1‐ Usa‐se a fórmula:para calcular o Zobservado

2‐ Entra na tabela Z com o valor Zobservado

3‐ Subtraia o resultado de 0,5

4‐ Multiplique por 2

5‐ Conclua que:se valor‐p


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2015/1 Seção 1 29

Valor‐p – Teste Z

Do exercício realizado,

determine o valor‐p e analise

se aceitamos

ou

rejeitamos H0.

Resposta:Valor‐p = 0,0228

Marcos Calil


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2015/1 Seção 1 30

Valor‐p ‐ Teste t

1‐ Calcule a fórmula de tobrsevado

2‐

Calcule o grau de liberdade (g.l. = n – 1) e procure esse valor nacoluna da tabela

3‐ Na linha do grau de liberdade, procure o tobservado

4‐ Após encontrar o tobservado na linha do grau de liberdade, suba até aslinhas “Pr”, verificando a Hipótese Alternativa (H

1): se é unicaudal utilize

a linha superior e; se é bicaudal utilize a linha inferior

5‐ Conclua que:

se valor‐p


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2015/1 Seção 1 31

Exercício

2011.2 ‐ PS

Do exercício realizado,

determine

o

valor‐p e analise se aceitamos ou rejeitamos H0.

μ = 13n = 5

to = 2,19

α = 0,02

Resposta:

Valor‐p = 0,10

Marcos Calil


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2015/1 Seção 1 32

Teste Z de uma amostra para a proporção

Em algumas situações, desejamos testar uma hipótese relacionada àproporção de sucessos na população, π, e não testar a média aritméticada população. Para iniciar, selecionamos uma amostra aleatória ecalculamos a PROPORÇÃO DA AMOSTRA, dada por:

Com isso, comparamos o valor dessa estatística com o valor doparâmetro especificado na hipótese, π, para decidir sobre a rejeição da

hipótese nula.

n

Xp =

Marcos Calil


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2015/1 Seção 1 33

Teste Z de uma amostra para a proporção

Se o número de sucesso X e o número de insucessos n – X forem, cadaum deles, iguais a cinco, a distribuição de amostragens de umaproporção segue, aproximadamente, uma distribuição normal. Por fim,utilizamos o teste Z para a proporção, para realizar o teste de hipótese

para a diferença entre a proporção da amostra, p, e a proporção dapopulação especificada na hipótese π. Para tanto, utilizamos a fórmula:

Em que:p = proporção de sucessos na amostra;π = proporção especificada na hipótese dos sucessos na população.

Marcos Calil


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Exercício

2011.1 ‐ PS

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