Risco e Ganho

7/23/2019 Risco e Ganho

1/16

FUNES UTILIDADE 42

5 FUNES UTILIDADE

5.1 Introduo: equilbrio entre risco e ganho

Riscos esto normalmente associados a possveis perdas financeiras ou a

possibilidade de no se atingir um nvel de remunerao compatvel com o

investimento [8]. A eliminao total de riscos pode ser economicamente invivel

ou mesmo impossvel. Por outro lado, situaes de risco podem oferecer grandes

oportunidades de ganho. Na rea financeira decises referentes alocao de

recursos so encaradas em um contexto de risco-retorno, ou seja, decises que

envolvem um maior nvel de risco s so aceitveis se proporcionarem maiores

retornos.

No existe um modo universalmente aceito de representar o equilbrio entre

ganho e risco [47]. Existem diversas abordagens de avaliao de risco

universalmente utilizadas, como:

a) Varincia dos retornos: a base da teoria moderna de gerenciamento de

portfolios, que tem Harry Markowitz [17] como um dos seus precursores,

que os investidores podem reduzir seus riscos atravs da diversificao ou

balanceamento de carteiras. Como medida de risco Markowitz adotou, no seu

trabalho original, o desvio padro dos retornos e seu modelo busca construir

uma fronteira eficiente, que indica o portfolio de mximo retorno para

cada nvel de risco, ou o de mnimo risco para cada valor de retorno;

b) Downside risk [60]: uma importante limitao da medida desvio padro dos

retornos a igual penalizao de flutuaes negativas e positivas em torno do

valor esperado, o que pode conduzir a uma distoro quando a distribuio dos

retornos assimtrica. O downside risk penaliza somente os retornos

inferiores a um determinado valor (retorno de referncia) especificado pelo

investidor. Este tipo de abordagem bastante interessante, pois com ela o

PUC-Rio-CertificaoDigitalN0220868/CA


2/16

FUNES UTILIDADE 43

investidor se neutraliza contra baixos retornos sem abrir mo de possveis

ganhos elevados.

c) Arrependimento [27]: o arrependimento relativo a cada combinao de

deciso e cenrio. a diferena entre o custo real (sob incerteza) e o custo

incorrido se houvesse conhecimento prvio de que determinado cenrio

ocorreria (conhecido como custo de referncia). O critrio de arrependimento

minimax, que serve para minimizar o arrependimento mximo relativo a cada

cenrio [27], tem sido utilizado com mtrica de risco (sobretudo para

problemas de expanso da gerao sob incerteza). Sua desvantagem preparar

de maneira conservadora o portflio para perdas muito severas mas de baixa

probabilidade, conforme observado em [20].

d) Value at risk [38][40]: Na abordagem VaR, tentamos quantificar o risco

analisando a mxima perda ou pior ocorrncia a um dado nvel de

probabilidade .

Como os critrios (c) e (d) se concentram nos cenrios ruins, no levam

em conta as receitas dos x% cenrios restantes (onde x% a confiabilidade

desejada).

Uma abordagem alternativa u uso de funes de utilidade (FU) [9], que

levam em considerao toda a gama de cenrios simulados, traduzindo receitas

financeiras em unidades de utilidade. Teoricamente, nesta unidade, os valores

so graus de satisfao, que j expressam o perfil de risco do agente tomador de

deciso, traduzindo assim toda a sua preferncia entre variaes positivas e

negativas para cada ponto da renda. Desta forma, a deciso neste espao deutilidades neutra em relao ao risco. Isto permite que diferentes portfolios (por

exemplo, alternativas de contratao, que tenham diferentes distribuies de

probabilidade de remunerao lquida) possam ser comparadas em termos de uma

nica mtrica de risco, o valor esperado da utilidade da renda.

Esta a abordagem utilizada nesta tese e ser discutida a seguir.



3/16

FUNES UTILIDADE 44

5.2 Funes de Util idade (FU)

O princpio da utilidade esperada, estabelecido por John von Neuman e

Oskar Morgenstern em [59], permite valorar a distribuio de probabilidade dos

possveis resultados de uma deciso e, portanto, estabelecer a prefernciaentre as

decises associadas a estas distribuies de probabilidade de resultados.

Como mencionado anteriormente, ao contrrio de algumas mtricas de

risco, que s levam em conta no processo decisrio as perda que podem ocorrer,

analisando, por exemplo, apenas um dado percentil da distribuio da varivel em

questo, a funo de utilidade (FU) leva em considerao toda a gama de cenrios,

traduzindo receitas financeiras em unidades de utilidade. O objetivo passa a

ser maximizar a utilidade esperada, onde a funo utilidade do agente passa a

descrever sua atitude frente ao risco (seu perfil de risco), que pode ser de

averso, neutralidade ou propenso a risco.

Por exemplo, um investidor avesso a risco apresentaria uma FU cncava,

como se v na Figura 5-1a. Neste caso, a perda devida a um mau resultado no

compensada pelo ganho advindo de um bom resultado de mesma

magnitude. J um investidor indiferente a riscos apresentaria uma FU linear, como

na Figura 5-1b. Isto significa que um aumento de receita tem o mesmo impactoque uma reduo. Finalmente, um investidor que arrisca (propenso a risco) teria

uma funo de utilidade convexa, conforme se v na Figura 5-1c.

Figura 5-1 Tipos de Funo de Utilidade

Na seqncia abaixo (Figura 5-2, Figura 5-3 e Figura 5-4) so ilustrados os

conceitos de averso, neutralidade e propenso a risco apresentados para trs

x

U(x)

Avesso a risco (a) Neutro a risco (b)x

U(x)

x

U(x)

Propenso a risco (c)



4/16

FUNES UTILIDADE 45

indivduos (indivduos k, y e z respectivamente avessos, neutro e

propenso a risco) cujas funes utilidades so as mesmas da figura anterior:

Figura 5-2 Caractersticas do perfil de averso a risco.

A principal caracterstica do agente k (avesso a risco ou dito

conservador) que este muito mais sensvel a perdas do que a lucros. Por

exemplo, para uma mesma variao de +dem torno do ponto Ro(representandoum aumento da renda), o ganho da utilidade do indivduo menor, em mdulo,

que o decrscimo de utilidade resultante da mesma variao negativa (d) em

torno de Ro, ou seja, DU+ DU-. Matematicamente isso pode ser explicado

atravs da definio de funo cncava, na qual a segunda derivada negativa, ou

seja, decresce a primeira derivada ao longo do domnio da funo. Assim,

medida que se avance no sentido positivo de R, o beneficio marginal da utilidade

(primeira derivada) decrescida de forma montona.

R

U(R)

Ro Ro+dRo d

U(Ro)

U(Ro+d)

U(Rod)

DU-

DU+



5/16

FUNES UTILIDADE 46

Figura 5-3 Caractersticas do perfil de neutralidade a risco.

Para o perfil do agente y (neutro a risco), como a utilidade apresenta

primeira derivada constante ao longo de todo o domnio, variaes positivas e

negativas de mesmo mdulo, em torno de um mesmo ponto, proporcionam

variaes idnticas (em mdulo) de utilidade, ou seja, DU+= DU-.

Figura 5-4 Caractersticas do perfil de propenso ao risco.

No perfil do agente z (propenso ao risco), ocorre o oposto do caso de

averso. O agente d muito mais valor a variaes positivas do que s variaes

negativas de mesma magnitude, em torno de um mesmo ponto. Por isso a

utilidade deste tipo de perfil convexa, ou seja, a primeira derivada aumenta medida que a renda cresce.

R

U(R)

Ro Ro+dRo d

U(Ro)

U(Ro+d)

U(Rod)

DU-

DU+

R

U(R)

Ro Ro+dRo d

U(Ro)

U(Ro+d)

U(Rod) DU-

DU+PUC-Rio-CertificaoDigitalN0220868/CA


6/16

FUNES UTILIDADE 47

5.3 O Equivalente a Certeza

Seja R a varivel aleatria que representa a receita da usina (em $) e U(R) a

funo de utilidade associada (em unidades de utilidade). Ento, se calcularmos o

valor esperado da utilidade da renda e por fim aplicarmos a inversa da utilidade a

esse montante, com a finalidade de traz-lo para o domnio das receitas

novamente, este ltimo valor, conhecido como equivalente a certeza, pode ser

interpretado como o valor monetrio do ativo. Em outras palavras, o

proprietrio da usina seria indiferente (isto , teria a mesma utilidade esperada)

entre receber um pagamento fixo de $U-1{E[U(R)]} ou receber as receitas

estocsticas da venda de energia. Pode-se ver este procedimento sendo aplicado

na figura abaixo, receita estocstica de um gerador vendendo sua gerao Gtno

mercado de curto prazo, ao preo spot t.

Figura 5-5 Calculo do Equivalente a Certeza (gerador avesso a risco)

Por exemplo, se o investidor indiferente a risco, sua funo utilidade

linear e ento EU = E[U(R)] = U[E(R)] ou U -1(EU) = E(R). Neste caso o

equivalente a certeza igual ao valor esperado das receitas. Se o investidor averso a risco, sua funo utilidade cncava e pela desigualdade de Jansen [9],

Utilidade (Receita)

Receita total = t*Gt

EC*

E(tGt)

UG(t*Gt)

E[UG(spottGt)]

Receita



7/16

FUNES UTILIDADE 48

EU = E[U(R)] U[E(R)] ou U-1(EU) E(R). Neste caso o equivalente a certeza

inferior ao valor esperado das receitas. Se o investidor propenso a risco, sua

funo utilidade convexa e pela desigualdade de Jansen [9], EU = E[U(R)]

U[E(R)] ou U

-1

(EU) E(R). Neste caso o equivalente a certeza superior ao valoresperado das receitas.

5.3.1 Exemplo

A Figura 5-6 mostra uma possvel funo de utilidade (linear por partes, que

ser apresentada no final deste captulo) que possui dois segmentos separados pelo

ponto P, dado por uma renda de $ 30.

Figura 5-6 Possvel Funo Utilidade

Vamos supor que existam quatro cenrios para renda com igual

probabilidade: R1 = $ 0, R2 = $ 25, R3 = $ 30 R4 = $ 45. Ento, o valor

esperado da renda :

E(R) = 0.25 *(0) + 0.25 * (25) + 0.25 * (30) + 0.25 *(45) = $ 25

e da funo utilidade:

E[U(R)] = 0.25 *(-10) + 0.25 * (22.5) + 0.25 * (30) + 0.25 *(45) = 20.6

O equivalente certeza deste fluxo de renda igual a U-1(20.6) = $ 23.7 o

que corresponde a um desconto de 5 % com relao ao valor esperado da renda.

30

-10

P = 30

Utilidade

Renda



8/16

FUNES UTILIDADE 49

5.4 O coeficiente de averso a risco (CAR)

O coeficiente de averso a risco, ou grau de averso a risco, tem por

objetivo caracterizar o comportamento frente ao risco, que o agente expressa para

cada ponto do espao das possveis realizaes da varivel aleatria. Esse

comportamento modificado medida que a concavidade da funo utilidade

varia em seu domnio.

Assim, seja uma v.a.xe uma funo utilidade U(.), ento o CAR pode ser

definido por:

CARU(x) = U(x)/U(x) (5-1)

OndeU(x) Primeira derivada de U(x) com relao a x.

U(x) Segunda derivada de U(x) com relao a x.

A primeira derivada aparece no denominador para padronizar o CAR de

utilidades equivalentes, ou seja, se U(x) e V(x) so equivalentes, ou seja,

V(x)=aU(x)+b, para a > 0 e b 0 tero o mesmo CAR(x).

5.5 Funo Utilidade Quadrtica

Este tipo de funo bastante utilizada por proporcionar um resultado

analtico, que o critrio mdia-varincia. A funo de utilidade quadrtica pode

ser definida como um polinmio de segundo grau conforme a equao abaixo:

U(x) = ax bx2 para a > 0 e b 0 (5-2)

Esta funo significativa apenas para o domnio de x a/b, onde ela

crescente. Outra observao importante que para b > 0, esta funo

estritamente cncava, caracterizando um perfil de averso a risco.



9/16

FUNES UTILIDADE 50

Figura 5-7 Funo de utilidade quadrtica

Para demonstrar como a utilidade quadrtica reflete o critrio de mdia-varincia atravs de seu valor esperado, vamos assumir que x seja uma v.a.

limitada superiormente por a/b, ou seja, Prob(x a/b) = 1. Ento o valor esperado

da utilidade dexpode ser expresso por:

E[U(x)] = aE(x) bE(x2) (5-3)

E[U(x)] = aE(x) bE(x)2 bVar(x) (5-4)

A expresso acima, que s depende da mdia de xe de sua varincia, nosmostra que, se b e a forem maiores que zero e de x a/b, o valor esperado da

utilidade de x cresce medida que o valor esperado de x cresce, e em

contrapartida, decresce conforme a varincia de x aumenta. Essa propriedade

bastante intuitiva e promove uma expresso analtica que simplifica muito o

desenvolvimento de diversos problemas.

CARU(x) = U(x)/U(x) (5-5)

CARU(x) = b/(a-bx) (5-6)

Porm, essa forma quadrtica apresenta uma inconsistncia de

comportamento, pois como pode ser visto na expresso (5-6), o grau de averso a

risco, expresso pelo coeficiente de averso a risco, CAR, aumenta medida que x

cresce, o que no muito intuitivo. Esse fato nos motiva a explorar outras formas

de utilidade.

U(x)

xa/b

a2/2b



10/16

FUNES UTILIDADE 51

5.6 Funo Util idade Exponencial (EXP)

A funo de utilidade exponencial consiste em uma exponencial amortecida

negativa. Esta no apresenta o inconveniente de domnio restrito e pode ser

encontrada, medida que se imponha um comportamento onde o CAR seja

constante, ou seja, o grau de averso a risco no se altere ao longo da renda. Dessa

maneira, pode-se encontrar a expresso de U(x) atravs da resoluo da equao

diferencial a seguir.

CARU(x)=U(x)/U(x) = a (5-7)

Que resulta em:

U(x) = e-ax (5-8)

Outra vantagem desta forma pode ser visto no caso em que a distribuio de

probabilidade da varivel avaliada normal. Essa apresenta uma propriedade

similar da funo quadrtica, onde o valor esperado da utilidade proporciona

uma expresso analtica em funo dos parmetros da v.a. (mdia e varincia). Na

figura a seguir, pode-se visualizar a forma que esta funo adquire.

Figura 5-8 Funo de utilidade exponencial negativa

Se x for uma v.a. normal com mdia e varincia 2, ento o valor

esperado da utilidade de x pode ser escrito como:

E[U(x)] = dXe2

e2

X

2

1

2

aX

+

(5-9)

U(x) = e-ax

x



11/16

FUNES UTILIDADE 52

E[U(x)] =( )( )

dXe2

12222

2X22aX

2

1

2+

+

(5-10)

Ao completarmos o quadrado do expoente do integrando, em busca da forma

padro de uma distribuio normal, encontra-se a seguinte expresso:

E[U(x)] =( )[ ]

dXe2

e22

2

2

22aX2

1

2

2

aa

+

(5-11)

Como o integrando da expresso acima, a menos de uma exponencial

constante com relao varivel de integrao, a distribuio de uma v.a.

normal, a expresso (5-11) pode ser reescrita como:

E[U(x)] =

2

2

aa

e , que s depende da mdia e varincia de x. (5-12)

Nesta expresso final, nota-se que:

(i) medida que a mdia aumenta o valor esperado da utilidade cresce.

(ii) conforme a varincia aumenta, o mesmo valor esperado decresce.

Esse resultado, porm, no pode ser generalizado para qualquer distribuio que a

v.a.xassuma, como no caso da quadrtica.

5.7 Funo Utilidade Logartmica (LN)

A funo de utilidade LN pode ser obtida atravs da imposio de um perfil

de averso a risco, onde o CAR decaia com a renda (x), segundo uma hiprbole.

Esta hiptese razovel, visto que se a renda de uma agente aumenta, espera-se

que este seja menos avesso ao risco. Assim, se fizermos:

CARU(x) = (x+a)-1 (5-13)

Onde o parmetro a controla a translao da funo, de forma que se

permita modificar o CAR da maneira que expresse o perfil de cada agente.

Ento,

U(x)/U(x) = 1/(x+a) (5-14)

que resulta na funo:



12/16

FUNES UTILIDADE 53

U(x) = ln(x+a) (5-15)

Figura 5-9 Funo de utilidade logartmica

5.8 Funo Utilidade Linear por Partes (FULP)

A funo de utilidade, como visto nos itens anteriores, visa caracterizar o

perfil de risco de um agente, atribuindo assim um grau de satisfao a cada

possvel resultado que se esteja analisando. Foi visto tambm, que para expressar

um perfil de averso a risco, necessrio que esta funo seja cncava, por tanto

no linear. Desta forma, podemos definir uma funo de utilidade linear por partes

(FULP), que pode se aproximar de qualquer outra funo cncava, o quanto se

queira, traando retas tangentes a esta curva. Assim, esta funo pode ser expressa

atravs de um problema de programao linear estocstico (PLE) de

maximizao, para o caso de um agente avesso a risco (funo cncava) e um

PLE de minimizao para um agente propenso ao risco (funo de utilidade

convexa). Assim sendo, para o caso de averso a risco, a FULP pode ser expressa

por:

U(x) = Max

Sujeito a:(5-16)

akx + bk k = 1, ..., K (1)

Onde

K Nmero de segmentos linearesak Coeficiente angular k-simo segmento.

U(x) = ln(x+a)

x



13/16

FUNES UTILIDADE 54

bk Coeficiente linear do k-simo segmento.

Varivel que sempre menor que todos os segmentos.

Como U(.) crescente, ak

0, k =1,..., K

Figura 5-10 Funo de utilidade linear por partes com 4 segmentos.

A figura acima ilustra uma FULP com quatro segmentos, onde cada ponto

Qkrepresenta uma quebra, ou seja, uma mudana de inclinao e, portanto, uma

mudana na taxa de crescimento de satisfao com a renda do agente. Pode-se

notar que o PLE, que define esta curva, seleciona para um dado ponto xo o

segmento que proporciona o menor valor no contradomnio. A figura anterior

ilustra este fato, para um caso onde o ponto est localizado no terceiro segmento.

Esse tipo de funo apresenta a propriedade do agente ser localmente neutro

ao risco, porm, globalmente avesso. A grande vantagem desta forma que se

pode escolher os pontos de quebra onde os coeficientes angulares mudaro,

utilizando como base parmetros financeiros da empresa. Em outras palavras, o

agente tem a liberdade de selecionar a taxa de crescimento da sua satisfao

(utilidade) para alguns intervalos conhecidos de sua renda, e assim no ficar

preso a uma s forma, definida por um nico parmetro. Outro aspecto

importante para este tipo de funo que o CAR convencional no pode ser

definido, pois existem pontos onde a funo no diferencivel e na verdade, o

U(x)

x

a(k=4)

k=2

k=1

k=3 k=4

Q2 Q3Q1

xx

x

xo

U(xo)



14/16

FUNES UTILIDADE 55

grau de averso a risco da FULP se d na mudana de coeficiente angular, assim

pode-se definir o coeficiente de averso a risco por partes (CARP) onde o que se

expressa no a averso a risco local, mas entre segmentos.

CARPk= - (ak ak-1)/ak-1 (5-17)

Este coeficiente, atravs da razo entre a diferena das primeiras derivadas

de dois segmentos adjacentes e a derivada do primeiro deles, expressa uma

medida da taxa de variao da primeira derivada, que a prpria definio de

segunda derivada, no caso de variaes infinitesimais.

Assim, com base neste resultado, pode-se especificar a funo utilidade

atravs de um perfil de risco desejado, por exemplo, encontrando os coeficientes

ak que satisfaam um conjunto de CARPk=2,...,K, segundo a expresso abaixo.

ak = (1 CARPk)ak-1 (5-18)

Essa ser a forma de funo de utilidade adotada neste trabalho, onde a

maior parte da metodologia ser baseada em programao linear.

5.8.1 Construo da Funo Utilidade

Um aspecto interessante consiste em como construir uma funo utilidade

de um agente. Uma abordagem constru-la a partir do coeficiente de averso a

risco do mesmo.

Assim sendo, podemos exemplificar a construo de uma FULP onde

desejamos impor um comportamento parecido com o de um agente que utiliza

uma FU exponencial, com perfil de risco se mantendo constante ao longo do

domnio da receita (CAR constante), porm introduzindo uma maior averso a

risco para rendas muito baixas (por exemplo, receitas que no permitam asobrevivncia da empresa) e uma averso a risco menor para rendas muito altas

(por exemplo, rendas acima das expectativas da empresa).



15/16

FUNES UTILIDADE 56

CAR - Coeficiente de Averso a Risco

Linear por partes

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Segmentos

Var%c

oeficiente

angular

CAR 80% 40% 40% 40% 40% 30% 20%

2 3 4 5 6 7 8

Figura 5-11 CARP para 8 segmentos (intervalos) de renda lquida

Assim, iniciando a seqncia de oito (por exemplo) coeficientes angulares

com o valor de 100, pode-se definir os demais coeficientes, ak=2,...,8 atravs da

expresso recursiva (5-18). De posse desses segmentos e dos pontos de separao

entre os segmentos de renda lquida, define-se a FULP, que pode ser vista na

Figura 5-12 abaixo.

Utilidade para Preos

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-200 0 200 400 600 800 1,000

(MM $)

Util

Figura 5-12 FULP com 8 segmentos (intervalos) de renda lquida

Uma interpretao interessante que pode ser dada funo utilidade : uma

funo cuja derivada traduza o benefcio marginal da renda em funo da taxa de

juros que uma instituio financeira cobraria por emprestar dinheiro empresa ouremuneraria os seus investimentos, ou seja, os coeficientes angulares da FULP



16/16

FUNES UTILIDADE 57

podem ser associados aos benefcios marginais em taxa de juros com o acrscimo

da renda. Assim, a empresa deve definir pontos de sua receita, onde por exemplo:

R1 Renda a partir da qual a empresa no sobrevive um ano.

R2 Renda a partir da qual a empresa obtm seu breakevenanual.

R3 Renda anual projetada.

Os coeficientes angulares (derivadas em cada segmento) podem ser

especificados da seguinte forma:

a1 Taxa de juros cobrada por emprstimo a uma empresa que oferece

um alto risco (16% a.a. por exemplo).

a2 Taxa de cobrada por um emprstimo a uma empresa que oferece

um risco mdio (por exemplo 12% a.a.).

a3 Taxa de cobrada por uma empresa que no oferece pouco risco,

(por exemplo 10% a.a.)

Esses pontos devem ser definidos pela empresa segundo a sua percepo do

mercado e de distino de taxas que sero cobradas ou obtidas em investimentos.

Com eles, a funo utilidade ento construda (pontos de receita Ri so

conhecidos e inclinaes ai - taxas de juros so determinadas pela empresa).

A referncia [57] discute outros mtodos para determinar a funo utilidade

de um agente.

O captulo 7 apresenta o tema central do trabalho, que a definio da curva

de disposio a contratar CDC que tem como base a aplicao de um modelo

de otimizao que fornece atravs do perfil de risco de um agente gerador,traduzido pela sua FU, o montante a contratar Ec em funo do preo ofertado, P.

Como ser visto, o objetivo do modelo estocstico a maximizao da utilidade

esperada da empresa.

O captulo a seguir apresenta a viso geral da metodologia adotada neste

trabalho para o clculo das CDCs.


Documents

Risco e Ganho