Rodrigo Barbosa Da Fonseca Albuquerque

8/3/2019 Rodrigo Barbosa Da Fonseca Albuquerque

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBINSTITUTO DE ENGENHARIA MECNICA

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA

DISSERTAO DE MESTRADO

Projeto de Turbinas Hidrulicas Axiais

com Parametrizao da Geometria, Equao de

Equilbrio Radial e Tcnicas de Otimizao

Autor: Rodrigo Barbosa da Fonseca e AlbuquerqueOrientador: Prof. Dr. Nelson Manzanares Filho

Co-Orientador: Prof. Dr. Waldir de Oliveira

Itajub, Agosto de 2006


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Autor: Rodrigo Barbosa da Fonseca e AlbuquerqueOrientador: Prof. Dr. Nelson Manzanares FilhoCo-Orientador: Prof. Dr. Waldir de Oliveira

Curso: Mestrado emEngenharia Mecnicarea de Concentrao: Dinmica dos Fluidos e Mquinas de Fluxo

Dissertao submetida ao Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica comoparte dos requisitos para obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia Mecnica.

Itajub, Agosto de 2006M.G. Brasil


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Autor: Rodrigo Barbosa da Fonseca e AlbuquerqueOrientador: Prof. Dr. Nelson Manzanares FilhoCo-Orientador: Prof. Dr. Waldir de Oliveira

Composio da Banca Examinadora:

Prof. Dr. Joo Roberto Barbosa - ITA

Prof. Dr. Ariosto Bretanha Jorge IEM/UNIFEI

Prof. Dr. Waldir de Oliveira - IEM/UNIFEI

Prof. Dr. Nelson Manzanares Filho, Presidente - IEM/UNIFEI


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Dedicatria

Ao tio Deco.


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Agradecimentos

Mais uma vez, o Prof. Nelson conduziu um trabalho interessante e criativo. Alm

disso, seu esprito de Tel Santana, jogando com categoria e pra frente, tornou bastante

agradvel e produtiva sua orientao.

A contribuio do Prof. Waldir para este trabalho vai alm dos diversos artigos

cedidos e das discusses de alguns tpicos. Sendo um legtimo entusiasta da rea de mquinas

de fluxo, tambm um grande educador. A ele deve-se boa parte do destacado desempenho

dos alunos da UNIFEI na rea de turbomquinas nos ltimos anos.

Minha famlia sempre fez sacrifcios visando os estudos meu e de meus irmos. Difcil

deve ser para quem no conta com seu carinho. V Badi e v Orlando toleraram minha

presena em sua casa por oito anos.

Sem os amigos e colegas da Universidade, o esforo no teria a menor graa. E sem ofutebol no Colgio das Irms, o estresse e a preocupao fariam mais estragos do que calvcie

ou caspa.

Jana, eu te amo!


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Quanto mais voc compreende as limitaes de seu conhecimento

acerca de um assunto, mais apto voc est para super-las

J. D. Denton

Concept is most important, not the detailsTheodore von Karman


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Resumo

ALBUQUERQUE, R. B. F. (2006), Projeto de Turbinas Hidrulicas Axiais com

Parametrizao da Geometria, Equao de Equilbrio Radial e Tcnicas de

Otimizao, Itajub, 94p. Dissertao (Mestrado em Dinmica dos Fluidos e Mquinas

de Fluxo) - Instituto de Engenharia Mecnica, Universidade Federal de Itajub.

Este trabalho apresenta o desenvolvimento de uma metodologia computacional de baixo

custo para o projeto otimizado de turbinas hidrulicas axiais. A metodologia foi desenvolvida

usando-se um modelo de escoamento quase-bidimensional, com correlaes empricas para as

perdas e desvios nas grades. O estudo baseou-se nos princpios de conservao de massa,

energia e quantidade de movimento, considerando-se a equao de equilbrio radial para se

obter um campo de escoamento mais realista. Tendo-se em vista um nmero reduzido de

variveis de projeto, os ngulos de montagem, as razes corda-passo e os arqueamentos dasps foram parametrizados em termos de seus valores nas estaes do cubo, meio e ponta. O

algoritmo de projeto otimizado solver e mtodo de otimizao foi implementado num

programa escrito na linguagem MatLab. Esse programa busca geometrias bsicas que

maximizam o rendimento da turbina, dadas a vazo, rotao, restries para a altura de queda

e faixas para as variveis de projeto.

Duas tcnicas de otimizao foram aplicadas: um mtodo de busca local, baseado em

gradiente, e um algoritmo populacional. O mtodo de gradiente uma ProgramaoQuadrtica Seqencial padro, usando-se a funo fmincon do MatLab, que busca mnimos

locais partindo-se de uma estimativa inicial. Para as buscas globais, apresentam-se os

Algoritmos de Busca Aleatria Controlada, algumas verses e suas vantagens no problema de

projeto otimizado.

Um exemplo de aplicao da metodologia apresentado e discutido. Trata-se da

otimizao de uma turbina hlice tubular existente, previamente ensaiada em bancada de

testes. Solues timas so comparadas com o projeto original da turbina, mostrando-se as


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melhorias de desempenho, segundo a modelagem hidrodinmica. Sugestes para o

aperfeioamento da metodologia so dadas no final.

Palavras-chave

Mquina de Fluxo, Turbina Hidrulica Axial, Modelagem de Perdas e Desvio,Parametrizao da Geometria, Tcnica de Otimizao, Projeto Otimizado.


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Abstract

ALBUQUERQUE, R. B. F. (2006), Design of Axial-Flow Hydraulic Turbines with

Geometry Parameterization, the Radial Equilibrium Equation and Optimization

Techniques, Itajub, 94p. MSc. Dissertation - Instituto de Engenharia Mecnica,

Universidade Federal de Itajub.

This work presents the development of a low cost computational methodology for the

conceptual design optimization of axial-flow hydraulic turbines (propeller turbines). The

methodology has been developed with a quasi-two dimensional flow model, employing

empirical correlations for cascade losses and flow deviations. The study is based on the

conservation principles for mass, energy and momentum. The radial equilibrium equation is

included in order to achieve a more realistic flow field. For reducing the number of designvariables, the runner blading stagger, chord-pitch ratio and camber are parameterized in terms

of their values at the hub, mean and tip stations. The design optimization algorithm has been

coded in MatLab language. This code searches for a basic geometry that maximizes the

turbine efficiency, given the design flow rate, rotational speed and bounds for the design

variables and also for the available head.

Two optimization techniques have been applied: a gradient based local search method

and a population set-based global search algorithm. The gradient based technique is astandard Sequential Quadratic Programming, using the fmincon function from MatLab,

which searches for local minimizers starting from an initial point. For the global searches, it is

presented the Controlled Random Search Algorithms, some of their versions and their

advantages in the design optimization problem.

An application example of the methodology is presented and discussed for the

optimization of a real tube type propeller turbine, previously tested in a laboratory rig. The

optimized solutions are compared with the original turbine design, showing the performance


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improvements, according to the hydrodynamic modeling. Suggestions for methodology

improvements are also made.

Keywords

Turbomachine, Axial-Flow Hydraulic Turbine, Loss and Deviation Modeling,Geometry Parameterization, Optimization Technique, Design Optimization.


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i

Sumrio

SUMRIO_________________________________________________________________i

LISTA DE FIGURAS_______________________________________________________iii

LISTA DE TABELAS ______________________________________________________ v

SIMBOLOGIA ____________________________________________________________vi

LETRAS LATINAS ________________________________________________________vi

LETRAS GREGAS _______________________________________________________ vii

SUPERESCRITOS________________________________________________________viii

SUBSCRITOS____________________________________________________________viii

ABREVIATURAS _________________________________________________________ix

SIGLAS __________________________________________________________________ x

CAPTULO 1 _____________________________________________________________ 1

INTRODUO E MOTIVAO ____________________________________________ 1

CAPTULO 2 _____________________________________________________________ 5

FORMULAO DO PROBLEMA DE OTIMIZAO__________________________ 5

CAPTULO 3 _____________________________________________________________ 8

PARAMETRIZAO DA GEOMETRIA DAS PS ____________________________ 8

3.1 Modelo Geomtrico ------------------------------------------------------------------------------ 8

3.2 Parametrizao-----------------------------------------------------------------------------------15CAPTULO 4 ____________________________________________________________ 20

CLCULO DO ESCOAMENTO EM UMA TURBINA HIDRULICA AXIAL_____ 20

4.1 Equao de Equilbrio Radial ------------------------------------------------------------------23

4.2 Equilbrio Radial Aps o Distribuidor --------------------------------------------------------27

4.3 Equilbrio Radial Aps o Rotor----------------------------------------------------------------31

4.4 Correlao de Desvio; Tringulos de Velocidade -------------------------------------------35

4.5 Correlaes de Perdas; Rendimento da Turbina---------------------------------------------38

4.5.1 Perda no distribuidor ----------------------------------------------------------------------40


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ii4.5.2 Perda no rotor ------------------------------------------------------------------------------40

4.5.3 Perda no tubo de suco-------------------------------------------------------------------41

4.5.4 Perda mecnica-----------------------------------------------------------------------------42

4.5.5 Correlao de Soderberg------------------------------------------------------------------42

4.5.6 Integrao das perdas e da potncia absorvida pelas ps -----------------------------44

4.5.7 Rendimento e altura de energia da turbina ---------------------------------------------46

CAPTULO 5 ____________________________________________________________ 49

MTODOS DE OTIMIZAO _____________________________________________ 49

5.1 Introduo ----------------------------------------------------------------------------------------49

5.2 Programao Quadrtica Seqencial----------------------------------------------------------52

5.3 Algoritmos de Busca Aleatria Controlada (CRSA)----------------------------------------54

5.3.1 Algoritmo bsico---------------------------------------------------------------------------55

5.3.2 Algumas verses ---------------------------------------------------------------------------55

CAPTULO 6 ____________________________________________________________ 65

RESULTADOS E DISCUSSO _____________________________________________ 65

6.1 Anlise do Projeto Inicial de Souza (1989) --------------------------------------------------65

6.2 Resultados do SQP-Fmincon-------------------------------------------------------------------72

6.3 Resultados do CRSA-CRSI --------------------------------------------------------------------79CAPTULO 7 ____________________________________________________________ 85

CONCLUSES E SUGESTES ____________________________________________ 85

7.1 Concluses----------------------------------------------------------------------------------------85

7.2 Sugestes -----------------------------------------------------------------------------------------87

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ________________________________________ 90


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iii

Lista de Figuras

Figura 1 Esquema de central hidreltrica de baixa queda com turbina hlice do tipo

tubular-S (retirado de Quantz, 1976)-------------------------------------------------------9

Figura 2 Modelo reduzido de turbina hlice do tipo tubular, com tubo de suco

desmontado para visualizao do rotor (LHPCH UNIFEI)----------------------------9

Figura 3 Esquema da seo meridional da turbina hlice considerada ----------------------------10

Figura 4 Exemplo de rotor hlice (LHPCH UNIFEI) ---------------------------------------------11

Figura 5 Linhas mdias dos perfis de p ARC em uma estao radial com as

geometrias de projeto do rotor---------------------------------------------------------------12

Figura 6 Geometria da p ARC-------------------------------------------------------------------------13

Figura 7 Geometrias de projeto em uma estao radial (grades do distribuidor e rotor)--------15

Figura 8 Parametrizao da geometria do rotor no trabalho de Lipej (2004)---------------------16

Figura 9 Parametrizaes parablicas para a geometria do rotor de Souza (1989) --------------17

Figura 10 Esquema de parametrizao de uma grandeza genrica das ps,y --------------------17

Figura 11 Esquema da seo meridional da turbina hlice considerada---------------------------20

Figura 12 Conveno de pontos na seo meridional da turbina-----------------------------------21

Figura 13 Representao das linhas de corrente absolutas instantneas em uma

seo cilndrica-------------------------------------------------------------------------------22

Figura 14 Componentes de velocidade nas grades do distribuidor--------------------------------22

Figura 15 Tringulos de velocidade nas grades do rotor --------------------------------------------22

Figura 16 Elemento de fluido no recinto entre o distribuidor e o rotor----------------------------23

Figura 17 Esquema iterativo para o clculo dos perfis de velocidade aps o estator------------31

Figura 18 Esquema iterativo para o clculo dos perfis de velocidade aps o rotor --------------34

Figura 19 Desvio angular do escoamento na sada de uma grade do distribuidor ---------------35

Figura 20 Desvio angular do escoamento na sada de uma grade do rotor------------------------37

Figura 21 Esquema geral da seqncia de clculos para a anlise do escoamento --------------48

Figura 22 Fluxograma do projeto otimizado usando-se SQP-fmincon --------------------------53

Figura 23 Interpolaes quadrticas do CRS6/CRSI ------------------------------------------------57Figura 24 Funo bidimensional de Price (1977) ----------------------------------------------------63


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ivFigura 25 Fluxograma do projeto otimizado usando-se CRSA-------------------------------------64

Figura 26 Esquema da seo meridional da turbina hlice projetada por Souza (1989) --------66

Figura 27 Perfis de velocidade no projeto inicial ----------------------------------------------------69

Figura 28 Distribuies de rcu no projeto inicial -----------------------------------------------------69

Figura 29 Perdas no projeto inicial---------------------------------------------------------------------71

Figura 30 Trabalho especfico no projeto inicial -----------------------------------------------------71

Figura 31 ngulo de montagem (a) e arqueamento (b) nos projetos inicial e timo ------------75

Figura 32 Perfis otimizados para as ps do rotor-----------------------------------------------------76

Figura 33 Perfis de velocidade--------------------------------------------------------------------------76

Figura 34 Perfis de momento angular por unidade de massa do fluido ---------------------------76

Figura 35 Variao radial das perdas hidrulicas ----------------------------------------------------77

Figura 36 Distribuio radial de trabalho especfico-------------------------------------------------78

Figura 37 Histrico de otimizao da soluo CRSI - 3 em termos de(a) iteraes e

(b) chamadas da funo----------------------------------------------------------------------83


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v

Lista de Tabelas

Tabela 1 Conjunto de modelos de perdas para a turbina --------------------------------------------44

Tabela 2 Comparao de trs verses de CRSA -----------------------------------------------------62

Tabela 3 Caractersticas bsicas do projeto inicial---------------------------------------------------66

Tabela 4 Valores adotados para os fatores empricos de perdas------------------------------------67

Tabela 5 Dados de projeto, resultados timos do ensaio e resultados do programa

para o projeto inicial de Souza (1989) -----------------------------------------------------67

Tabela 6 Anlise do projeto inicial---------------------------------------------------------------------68

Tabela 7 Ponto de projeto e restries de altura para a otimizao --------------------------------72

Tabela 8 Restries de faixa para as variveis de projeto-------------------------------------------73

Tabela 9 Trs solues encontradas usando-se o SQP-fmincon ----------------------------------73

Tabela 10 Solues usando-se o CRSI modificado --------------------------------------------------81

Tabela 11 Comparao do projeto inicial com os melhores resultados de otimizao ----------83


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vi

Simbologia

Letras Latinas

a Coeficiente quadrtico da parametrizao

ar

Acelerao

b Largura axial da p, coeficiente linear da parametrizao

B Altura radial da p, aproximao para a matriz Hessiana

c Termo independente da parametrizao

c Velocidade absoluta

D Dimetro

f Funo objetivo, arqueamento do perfil da p ARC meia corda

Fr

Fora

FE Nmero de chamadas da funo objetivo

g Funo de restrio, coordenada do centride, acelerao da gravidade

h Pior ponto da populao

H Altura de queda (energia por unidade de peso)

Id Integral para o equilbrio radial aps o distribuidor

Ir Integral para o equilbrio radial aps o rotor

K1 a K7 Coeficientes das regresses para rcu

l Comprimento da corda do perfil da p

l Melhor ponto da populao

m Funo na correlao de desvio, massa

M Fator de penalizao

n Velocidade de rotao do rotor, nmero de variveis de projeto

nqA Rotao especfica referente vazo


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viiN Nmero de estaes radiais, tamanho da populao

Np Nmero de ps

p Presso, direo de busca do SQP

p Ponto tentativa

P Potncia, conjunto de pontos da populao

Q Vazo volumtrica

r Raio genrico, coordenada radial no plano meridional, coordenadas dos pontos

tomados no CRSA

R Coordenada radial adimensional, raio de curvatura

Re Nmero de Reynolds

Conjunto dos nmeros reais

S Regio vivel do problema de otimizao

t Passo da grade

TS Sucessos totais

u Velocidade circunferencial de um ponto de raio rda p (u = r)

V Velocidade genrica

w Velocidade relativa

x Vetor de variveis de projeto

x Comprimento na p ARC

XDm,XDu Coeficientes de perda no tubo de suco

y Grandeza genrica a ser parametrizada

Y Trabalho especfico, energia por unidade de massa

z Coordenada axial

Letras Gregas

ngulo do escoamento absoluto, ngulo geomtrico e de montagem da palheta

diretriz, medida de variabilidade local

ngulo do escoamento relativo, ngulo geomtrico e de montagem da p

ngulo de desvio do escoamento na sada da grade Deflexo do escoamento na grade, tolerncia na populao


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viii ngulo na p ARC

Rendimento

Coeficiente de perda de perfil, parmetro na correlao de Soderberg

ngulo polar, ngulo na p ARC, coordenada circunferencial Coeficiente de perda por choque, fator de sub-relaxao

Viscosidade absoluta

3,14159265

Massa especfica

ngulo de arqueamento do perfil, ngulo na p ARC

Velocidade angular do rotor, = 2n

Operador nabla

Superescritos

* Referente ao ponto timo, restrio ativadaatual Distribuio de cu5 atual

grade Distribuio de cu5 calculada de acordo com as relaes de grade

L Limite inferior

n Dimenso do espao

novo Nova distribuio de cu5

T Transposto

U Limite superior

Subscritos

0 Deflexo nula, ponto de partida

1 Seo de entrada do distribuidor, deflexo no-nula2 Seo de sada do distribuidor


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ix4 Seo de entrada do rotor

5 Seo de sada do rotor

ch Componente de choque

d Distribuidor

e Eixo

f Referente ao fluido

h Cubo ou raiz da p, pior valor objetivo, hidrulico

inc Componente de incidncia

j j-sima coordenada do vetor

l Melhor valor objetivo

L Limite inferior

m Meio da p, componente meridional

mec Mecnico

p Referente ao ponto tentativa

p P ou rotor

P Perda

Pch Perda por choque

Pd Perda no distribuidor

Pr Perda no rotor

P(r+ ts) Perda no rotor e no tubo de suco

Pts Perda no tubo de suco

r Componente radial, rotor

S Condies de estagnao

t Ponta da p

u Componente circunferencial

U Limite superior

z Componente axial

Abreviaturas

ANEEL Agncia Nacional de Energia Eltrica

ARC Referente p em formato de arco de circunferncia


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xBFGS Broyden, Fletcher, Goldfarb e Shanno

CERPCH Centro Nacional de Referncia em Pequenas Centrais Hidreltricas

CFD Dinmica dos fluidos computacional Computational Fluid Dynamics

CPU Central nica de processamento

CRSA Algoritmo de Busca Aleatria Controlada Controlled Random Search Algorithm

PC Computador pessoal

SQP Programao Quadrtica Seqencial Sequential Quadratic Programming

Siglas

LHPCH Laboratrio Hidromecnico para Pequenas Centrais Hidreltricas

IEM Instituto de Engenharia MecnicaUNIFEI Universidade Federal de Itajub


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1

Captulo 1

INTRODUO & MOTIVAO

Turbinas hidrulicas so mquinas de fluxo de longa histria. Vem sendo projetadas,

construdas e colocadas em operao h cerca de duzentos anos. Inicialmente como

substitutas das milenares rodas dgua no acionamento de moinhos, teares e pequenas

manufaturas, as turbinas hidrulicas so hoje, quase que exclusivamente, destinadas gerao

de energia eltrica. Para este fim especfico, alis, qualquer motor hidrulico moderno deve

preencher os seguintes requisitos tcnicos bsicos (Quantz, 1976): 1) devem possibilitar o

aproveitamento de uma grande gama de saltos, cobrindo ampla faixa de alturas e vazes

disponveis; 2) o aproveitamento deve efetuar-se com bons valores de rendimento e com boas

caractersticas hidrodinmicas, permitindo o acoplamento do motor hidrulico s mquinas

geradoras ainda que sejam variveis as condies do salto (altura e vazo), de modo que ainstalao seja rentvel; 3) o eixo/rvore poder dispor-se horizontal, inclinado ou

verticalmente, segundo o exija o acoplamento s mquinas geradoras; 4) a velocidade

angular deve ser a mais elevada possvel para que se consiga dessa forma acoplamentos

diretos ou transmisses com poucas multiplicaes; 5) devem apresentar boa regulagem a

fim de que sejam to adequados quanto outros tipos de motores (turbinas a vapor e a gs,

motores diesel) para o servio nas centrais eltricas; 6) todos os elementos importantes,

especialmente os rgos de regulagem e mancais, devem ser de fcil manuteno. Asmodernas turbinas hidrulicas dos tipos Pelton, Francis, Kaplan e hlice cumprem bem todas


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2essas condies, superando largamente outros tipos de motores hidrulicos e competindo

economicamente com outras mquinas motoras, como os j citados motores diesel, turbinas a

vapor e a gs.

Nos primeiros projetos de turbinas hidrulicas, a experincia do prprio

engenheiro/projetista, juntamente com numerosos e dispendiosos testes com modelos tipo

tentativa-e-erro, constituam as principais ferramentas de projeto disponveis. A quantidade de

informao emprica era inclusive comparvel aos mtodos analticos viveis de at ento.

Parte desse conhecimento emprico foi condensada em diversos diagramas e guias de projeto

(usados ainda hoje) que fornecem linhas gerais para o dimensionamento bsico das turbinas

(Cordier, 1955; Quantz, 1976; Schweiger e Gregori, 1989). Outra parte desse conhecimento

ficou retida pelos prprios projetistas, sendo transmitida de mo-em-mo, como uma

herana, aos prximos times de engenheiros das empresas. De fato, em comparao com

outros tipos de mquinas de fluxo, como bombas, ventiladores, turbocompressores e turbinas

a gs, pode-se afirmar que so escassas as publicaes tcnicas referentes a projeto e

otimizao de turbinas hidrulicas.

O desenvolvimento de computadores digitais na segunda metade do sculo XX e sua

aplicao anlise do escoamento em turbomquinas, impulsionada primordialmente pelos

avanos no campo das turbinas a gs aeronuticas (Denton, 1993), tornou possvel o uso de

mtodos complexos de simulao numrica de escoamentos para anlise e projeto tambm de

turbinas hidrulicas. O projeto hidrodinmico e a construo de turbinas hidrulicas tem sido

mais uma arte do que uma cincia. Os elementos cientficos tornaram-se mais numerosos com

os recentes avanos na tecnologia de anlise de escoamento (Ueda, 1982). Atualmente,

programas dos tipos Euler 3D e Navier-Stokes 3D j so ferramentas-padro no

desenvolvimento de novas unidades de turbinas hidrulicas, podendo em certos casos ser at

usados com rotinas de otimizao (Lipej, 2004; Peng et al., 2002a e 2002b). Detalhes da

separao do escoamento, fontes de perdas e suas distribuies em componentes, anliseacoplada de componentes no ponto de projeto e fora dele, e baixos nveis de presso com

risco de cavitao agora so problemas mais amenos de se analisar com a assim denominada

Dinmica dos Fluidos Computacional CFD (Drtina e Sallaberger, 1999; Design by

Numbers, 1998).

A aplicao dessas tcnicas modernas de CFD para a predio do campo de

escoamento atravs de uma turbina inteira tem levado a uma melhor compreenso fsica dos

fenmenos que ocorrem nesses escoamentos, com conseqncias diretas sobre o projetohidrodinmico dos componentes da turbina. Alm disso, o progresso nas tcnicas


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3experimentais de medio e testes com modelos outro fator importante que tem contribudo

para essa compreenso mais detalhada dos fenmenos fluido-dinmicos em turbinas

hidrulicas. No tocante parte experimental, inclusive, os avanos na anlise numrica

computacional e a tecnologia de predio das caractersticas de funcionamento no eliminam

os ensaios com modelos como meio para se melhorar o rendimento, especialmente fora do

ponto de projeto. Tais ensaios, no entanto, agora podem ser muito mais objetivos, sendo

realizados em menor nmero e j na fase final de projeto/prototipagem, reduzindo-se

significativamente, assim, os custos com experimentos (Ueda, 1982; Design by Numbers,

1998).

Mas embora os programas do tipo Navier-Stokes 3D apresentem resultados bastante

confiveis, revelando detalhes importantes do escoamento local e fornecendo predies de

performance muito precisas, um esforo computacional significativo exigido com a gerao

e modificao de malhas e com a resoluo das complicadas equaes de movimento

(viscoso, 3D e no-permanente) em cada investigao numrica. Por exemplo, na otimizao

de turbomquinas, o contexto desta dissertao, quando uma alterao geomtrica efetuada

pelo algoritmo de otimizao, as malhas devem ser recalculadas e o campo de escoamento

deve ser novamente avaliado pelo solver com seu alto custo computacional. Esse esforo

freqentemente impede a integrao de simulaes sofisticadas do tipo Navier-Stokes 3D ao

longo de todas as etapas de projeto (Drtina e Sallaberger, 1999; Design by Numbers, 1998).

Alm disso, uma anlise de preciso razovel, mas simples e rpida, ainda essencial para as

fases iniciais do projeto, quando a geometria no est complemente determinada (Oh e Kim,

2001; Yoon, et al., 1998). Em turbinas a gs, por exemplo, so bastante comuns as

publicaes sobre mtodos computacionais de baixo custo para anlise e projeto preliminares.

Nesse mbito, tpica a aplicao de Mtodos de Curvatura de Linha de Corrente com uma

modelagem simplificada para as perdas e desvios do escoamento (Yoon et al., 1998; Lee e

Chung, 1991; Park e Chung, 1992; Sullerey e Kumar, 1984) ou mesmo anlises apenas nalinha mdia 1D (Kacker e Okapuu, 1982; Souza Jnior et al., 2005), talvez ainda

indispensveis para a otimizao inicial de um novo projeto e para a predio dos

rendimentos atingveis.

Tendo essas consideraes em mente, pode-se afirmar que metodologias

intermedirias de projeto, com baixo custo computacional, so necessrias para as etapas

iniciais de projeto otimizado de qualquer turbomquina. E no caso particular de turbinas

hidrulicas, so ainda raramente encontradas na literatura. Essas metodologias consistem noque se chama de otimizao conceptual, fornecendo uma geometria simples mas


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4suficientemente representativa para a descrio dos principais parmetros de projeto de

rotores e estatores e tambm levando a tendncias corretas para o campo de escoamento

timo. Neste trabalho, uma tal metodologia desenvolvida para turbinas hidrulicas axiais, do

tipo hlice-tubular.

As configuraes dos tipos bulbo e tubular, inclusive, vm sendo usadas cada vez mais

em diversos pases, entre os quais o Brasil, em detrimento s turbinas Kaplan convencionais

de eixo vertical. H de fato uma ntida tendncia mundial em direo aos aproveitamentos de

baixas e baixssimas quedas (inferiores a 15 m) at ento inexplorados por questes

econmicas, mas que agora, em virtude do esgotamento dos aproveitamentos tradicionais,

com quedas moderadas e altas, e por restries ambientais cada vez mais fortes, despontam

como excelente alternativa para a expanso da matriz hidroeltrica mundial, especialmente na

Amrica do Sul, ndia, China, Sudeste Asitico e Oeste e Sudoeste Africanos (Dansie, 1996;

Subrahmanyam, 1982, Hindley, 1996). No Brasil, em particular, o potencial hidreltrico situa-

se ao redor de 260 GW, enquanto que a potncia instalada em nossas hidreltricas de cerca

de 80 GW, ou seja, menos de um tero do potencial (sites do CERPCH e da ANEEL). H

portanto muito espao ainda para o desenvolvimento hidreltrico brasileiro. No tocante s

turbinas axiais dos tipos bulbo e tubular, especialmente destinadas s baixas quedas, o

destaque vai para a regio Amaznica, onde diversos rios de plancie podem ser aproveitados.

Por exemplo, j se encontra em fase de projeto bsico as duas maiores centrais de baixa queda

do mundo, a saber, as usinas hidreltricas de Jirau e Santo Antnio no rio Madeira. So nada

menos que oitenta e oito turbinas do tipo bulbo, com rotores de 8 m de dimetro, que

produziro um total de 6450 MW, um valor significativo para o desenvolvimento da Regio

Norte do Brasil (Porto et al., 2005).

Na metodologia proposta neste trabalho, dado o ponto de projeto (vazo e rotao),

restries para a altura de queda e algumas dimenses preestabelecidas para a turbina, busca-

se uma configurao tima para as geometrias do distribuidor e do rotor de modo que aenergia do escoamento seja absorvida da maneira mais eficiente, ou seja, com mximo

rendimento.

O projeto otimizado de outros tipos de mquinas de fluxo axiais, como bombas,

ventiladores, turbocompressores, turbinas a vapor e turbinas a gs tambm poderia ser

realizado conforme a metodologia deste trabalho, feitas as devidas modificaes. A

parametrizao da geometria, a condio de equilbrio radial e as tcnicas de otimizao

seriam essencialmente iguais s apresentadas nos captulos subseqentes.


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5

Captulo 2

FORMULAO DO PROBLEMA DE OTIMIZAO

Neste captulo, define-se o problema de otimizao de projeto da turbina. Em linhas

gerais, consiste na busca de alguns parmetros geomtricos bsicos para as ps do rotor e para

as aletas do distribuidor as variveis de projeto de forma a maximizar o rendimento da

turbina a funo objetivo , dadas algumas dimenses preestabelecidas, a vazo volumtrica

e a rotao da mquina. A altura de queda disponvel, resultante da geometria de projeto

investigada e do par vazo-rotao definido, deve permanecer entre limites inferior e superior,

sendo essas as restries no-lineares do problema. H tambm restries laterais (ou de

faixa) para as variveis de projeto, definindo-se a regio vivel, ou regio de busca do

problema.

Em termos mais formais, tem-se um problema de minimizao no-linear, com

restries, na forma:

minimizarf(x)

sujeito a gi(x) 0, i = 1, ..., m (2.1)

xS

x o vetor n-dimensional das variveis de projetoxj,j = 1, ..., n. A regio de busca S

definida por limites inferior e superior,xjL

exjU

respectivamente, para cada componente de x:


26/114

6

S = {xn : xjL

xjxjU, j = 1, ..., n}. A funo objetivo f(x) = (x), em que o

rendimento da turbina (definida geometricamente pelo vetor x e operando no ponto vazo-

rotao dado). gi(x), i = 1, ..., m, so as m funes de restrio, a saber:

g1(x) =HL H(x) (2.2)

e

g2(x) =H(x) HU (2.3)

em queH(x) a altura de queda disponvel da turbina eHL e HU so respectivamente limites

inferior e superior, de modo que se tenhaHLHHU.

Essa forma de impor as restries quanto altura de queda disponvel,H, adequada

quando se usam mtodos de otimizao baseados em gradiente e outras derivadas direcionais,

como Programao Quadrtica Seqencial, Mximo Descenso, Gradiente Conjugado, etc.

Uma outra maneira de impor as restries quanto altura penalizara funo objetivo:

>+


27/114

7

funes objetivo originais. Em tais casos, um outro mtodo deve ser empregado para tratar

eficientemente as restries e/ou os vrios objetivos (Oyama et al., 2005).

Como se percebe, ser feita a maximizao do rendimento apenas no ponto de projeto,

caracterizado pelo par vazo-rotao dado e pela faixa de alturas de queda imposta como

restrio. No entanto, como regra geral, pode-se afirmar que, ao se aumentar o rendimento no

ponto de projeto (comumente, o rendimento mximo), melhora-se a eficincia da mquina em

uma ampla faixa operacional em torno desse ponto (Ueda, 1982). Assim, espera-se que as

turbinas otimizadas segundo a metodologia desenvolvida neste trabalho apresentem boas

caractersticas de funcionamento tambm fora do ponto de projeto, mesmo que isso no tenha

sido colocado como objetivo do problema de otimizao.

Outro ponto que pode (e deve) ser levantado o fato de no se inserir algum

parmetro de cavitao nos objetivos ou nas restries do problema. De fato, embora a

avaliao do fenmeno de cavitao seja um aspecto bsico no projeto de turbinas hidrulicas

(Lipej, 2004; Peng et al., 2002a), este trabalho est focado apenas no rendimento da turbina.

Isso, no entanto, ainda vivel para um projeto realista porque a ocorrncia de cavitao pode

ser evitada preliminarmente controlando-se, por exemplo, os ngulos de incidncia do

escoamento na entrada do rotor e o carregamento hidrodinmico sobre as ps. Especificando-

se critrios como esses, pode-se realmente proceder otimizao do rendimento da turbina

com alguma segurana contra os riscos de cavitao, o que aceitvel num estgio inicial de

projeto. Como complemento a essa metodologia intermediria, uma tcnica mais sofisticada,

usando-se CFD, pode ser aplicada no contexto de um projeto inverso otimizado para as grades

do distribuidor e do rotor. Nessa etapa mais avanada, os perfis de velocidade inicialmente

determinados na otimizao conceptual so preservados ou levemente alterados ao mesmo

tempo em que os perfis das ps so desenhados de modo a garantir mnima ocorrncia de

cavitao.


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8

Captulo 3

PARAMETRIZAO DA GEOMETRIA DAS PS

3.1 MODELO GEOMTRICO

A turbina hidrulica axial considerada neste trabalho uma turbina hlice do tipo

tubular, como mostram as Figuras 1, 2 e 3. Admite-se ainda um distribuidor cilndrico

(i.e., sem conicidade) e aletas sem toro ao longo de sua envergadura.

O tratamento da geometria do rotor pode ser feito de diferentes formas,

dependendo das informaes que se pretendem obter a partir dessa geometria. Porexemplo, para um estudo detalhado do carregamento hidrodinmico sobre as ps, com

identificao de pontos de presso mnima e pontos de descolamento da camada-limite,

seria necessria uma descrio pormenorizada dos perfis das ps em qualquer estao

radial. Um mtodo de painis, por exemplo, talvez fosse satisfatrio para essa descrio

em algumas sees cilndricas, e a geometria assim discretizada poderia ser interpolada

de alguma maneira para que a descrio fosse completa ao longo de toda a extenso

radial das ps (span).

A quantidade de parmetros e variveis de projeto escolhidos deve ser

compatvel como o nvel de informao que se pretende gerar a partir da geometria da


29/114

9

turbina. Um aspecto fundamental a seleo dessas variveis, que deve ser feita de

modo a facilmente se identificarem as melhorias de desempenho na fase inicial de

projeto. O nmero de variveis de projeto tambm merece ateno, pois influencia

significativamente a convergncia do processo de otimizao.

Figura 1 Esquema de central hidreltrica de baixa queda com turbina hlice do tipo

tubular-S (retirado de Quantz, 1976).

Figura 2 Modelo reduzido de turbina hlice do tipo tubular, com tubo de suco

desmontado para visualizao do rotor (LHPCH UNIFEI).

Para o nvel de otimizao a que se prope este trabalho, ser suficiente a

avaliao das distribuies de velocidade apenas nas sees de entrada e de sada do


30/114

10

distribuidor e do rotor. Esse tipo de informao j viabiliza a estimativa dos principais

parmetros energticos da turbina, como potncias, perdas e rendimentos. No ser

necessrio, por exemplo, o clculo do campo de escoamento ao redor dos perfis das ps,

posto que a principal preocupao com relao s deflexes resultantes do

escoamento nas grades. Logo, a geometria ser simplificada de forma que, juntamente

com as equaes da continuidade, equilbrio radial e correlao de desvio, seja a

estritamente necessria para o clculo das distribuies de velocidade nas sees de

entrada e de sada do distribuidor e do rotor.

Tubo de Suco

Fluxo RotorDistribuidor

Eixo

Figura 3 Esquema da seo meridional da turbina hlice considerada.

Turbinas hidrulicas axiais, especialmente as destinadas s baixas quedas, como

as dos tipos bulbo e tubular, apresentam ps muito pouco arqueadas. A Figura 4 a

fotografia de um rotor hlice para alturas de queda nem to baixas, visto que ele

apresenta cinco ps; os rotores de baixas e baixssimas quedas tem apenas quatro ou at

mesmo trs ps. Mesmo assim, acham-se na Figura 4 perfis delgados e pouco arqueados

para as ps do rotor, com exceo talvez para as estaes mais prximas ao cubo (que

so mais espessas devido a requisitos estruturais).

Decidiu-se ento aproximar as linhas mdias dos perfis das ps (camber lines)

por arcos de circunferncia (ARC) de pequena curvatura, uma escolha razovel para um

rotor de turbina hidrulica axial de baixa queda. A espessura das ps no ser

considerada neste trabalho, pois, como j se justificou, nenhum fenmeno de cavitao

ou separao do escoamento ser avaliado diretamente pela metodologia adotada. De

fato, quando os perfis so suficientemente delgados, a espessura no contribui para a


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11

fora de sustentao sobre o hidroflio: em um perfil delgado e pouco arqueado, a

espessura afeta apenas a distribuio de presso, a sustentao sendo uma funo

somente do ngulo de ataque e do arqueamento do perfil (teoria do aeroflio delgado

Karamcheti, 1980). Ser, pois, suficiente considerar apenas as linhas mdias (ou de

arqueamento) para o clculo das velocidades atravs da turbina, sem considerar as

espessuras.

Figura 4 Exemplo de rotor hlice (LHPCH UNIFEI). Notar a esbeltez dos perfis.

Dessa forma, em uma dada estao radial, o perfil da p ARC completamente

definido pelo ngulo de montagem da corda (stagger angle), , comprimento da corda,

l, e arqueamento mximo (posicionado meia corda), f, Figura 5. Como o nmero de

ps previamente fixado neste trabalho, ou seja, no uma varivel de projeto, a

especificao da corda e da flecha do perfil equivalentemente obtida pela

especificao das razes corda-passo (chord-pitch ratio), l/t, e flecha-corda (relative

camber), f/l, consideradas mais apropriadas de se trabalhar por serem adimensionais.

Portanto, os parmetros geomtricos de projeto de uma grade do rotor so, , l/te f/l.

Essa escolha adequada porque, alm de serem grandezas diretas para se especificar

num dimensionamento, levam a todas as caractersticas geomtricas e cinemticas

necessrias das grades numa fase inicial de projeto, tais como ngulos de incidncia,

ngulos de arqueamento, ngulos de ataque, ngulos de desvio, deflexes, etc.


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12

f l b

Figura 5 Linhas mdias dos perfis de p ARC em uma estao radial com as

geometrias de projeto do rotor.

A seguir, mostra-se como, a partir de , l/tef/l, obtm-se os demais parmetros

geomtricos da p ARC. Numa dada estao radial de raio r, o passo t dado por:

pN

rt

2= (3.1)

onde Np o nmero de ps. Logo, dadas as relaesl/t e f/

l, calculam-se os

comprimentos da corda e da flecha respectivamente por:

tt)/(ll = (3.2)

e

ll)/( ff = (3.3)

definindo-se completamente a linha mdia da p ARC, Figura 5. A corda axial b dada

por:

senl=b (3.4)

Tendo em vista a Figura 6, tem-se pelo teorema de Pitgoras:

222)2/( pRx =+l (3.5)

A flechaf tal que:

xRf p = (3.6)


33/114

13

pelo que:

22)( fRx p = (3.7)

Das Equaes (3.5) e (3.7), obtm-se:

222224/ ppp RffRR =++l (3.8)

ou

f

fRp

82

2l

+= (raio de curvatura do perfil) (3.9)

equao essa que mostra ser o raio de curvatura do perfil,Rp, funo apenas da corda l

e da flechaf.

4

5

Rp

Rp

x(at

ali

nhada

corda)

Figura 6 Geometria da p ARC.

Tem-se ainda:


34/114

14

=

pR

2/arcsen

l (3.10)

= 2/ (3.11)

e

= 2/ (3.12)

Com isso,

+==4 (ngulo geomtrico de entrada da p) (3.13)

Para uma p em ARC, o raio de curvatura tambm pode ser calculado por:

45 coscos =

bRp (3.14)

de modo que

+=

45 cosarccos pR

b(ngulo geomtrico de sada da p) (3.15)

As Equaes (3.1) a (3.4), (3.9), (3.13) e (3.15) fornecem todas as grandezas

geomtricas necessrias para o clculo do escoamento nas sees de entrada e de sada

das grades do rotor.

Para a geometria do distribuidor, como as aletas no so torcidas ao longo do

raio, um nico ngulo de sada, 2, suficiente como varivel de projeto, devendo o

restante da geometria das aletas ser previamente estabelecido. Essa escolha permitir ao

programa de otimizao alterar a quantidade de movimento angular do fluido que o

distribuidor descarrega para o rotor, buscando-se um valor tal que favorea as

melhores condies de absoro da energia do fluido pelas ps. De fato, a otimizao

da geometria somente do rotor, em geral, insuficiente para se obter grandes aumentos

no rendimento da turbina como um todo (Ueda, 1982).

Na Figura 7, apresentam-se as geometrias de projeto numa estao radial para as

grades do distribuidor e do rotor.


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15

2

f

l

Figura 7 Geometrias de projeto em uma estao radial (grades do distribuidor e rotor).

3.2 PARAMETRIZAO

Escolheu-se parametrizar o ngulo de montagem,, a razo corda-passo, l/t, e o

arqueamento relativo, f/l, em termos dos valores dessas grandezas nas estaes radiais

referentes ao cubo, meio e ponta das ps, ou seja, 0%, 50% e 100% da envergadura,

respectivamente. Isso leva a 3 3 = 9 variveis de projeto para o rotor. Somando ainda

a nica varivel de projeto escolhida para o distribuidor (2), resulta um total de apenas

9 + 1 = 10 variveis de projeto para a turbina inteira.

Em geral, uma parametrizao deve permitir boa reproduo de toda a

geometria, ainda que alguns detalhes de menor importncia sejam negligenciados. Alm

de facilitar as alteraes geomtricas durante o processo de otimizao, a

parametrizao muito importante para se reduzir o nmero de variveis de projeto

numa turbomquina, sendo usada at mesmo na gerao e modificao de malhas em

problemas tratados via CFD (Drtina e Sallaberger, 1999; Lipej, 2004; Oyama, 2005).

Dentre as muitas possibilidades de parametrizao, optou-se por funes

parablicas para se descrever a geometria das ps ao longo de toda sua extenso radial.

H de fato diversas maneiras de se parametrizar a geometria, sendo que a forma mais


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16

adequada e conveniente talvez s possa ser determinada por meio de um estudo

paramtrico. Neste trabalho, tal investigao no foi realizada, mas mesmo assim

acredita-se que a escolha de parbolas seja razovel para aproximar satisfatoriamente as

configuraes geomtricas usualmente encontradas em turbinas hidrulicas axiais. Na

Figura 8, reproduzida do artigo de Lipej (2004), encontra-se o ngulo de montagem ()

e o arqueamento relativo (f/l) segundo as parametrizaes adotadas por esse autor.

Embora no as cite explicitamente, dizendo somente que poderiam ser compostas por

funes lineares ou de ordem mais alta, percebe-se claramente pela figura que funes

polinomiais, exponenciais ou logartmicas so fortes candidatas a servir de

parametrizao.

Figura 8 Parametrizao da geometria do rotor no trabalho de Lipej (2004).

Alm disso, a geometria do rotor da turbina hidrulica projetada por Souza

(1989) que ser usada mais adiante para as comparaes com os resultados da

otimizao razoavelmente reproduzida pelas parametrizaes parablicas propostas,

como mostra a Figura 9.

Sejay qualquer uma das trs grandezas a serem parametrizadas (, l/touf/l).yh,

ym eyt so respectivamente os valores dey nas estaes do cubo, meio e ponta das ps,

cujos raios, adimensionalizados pelo raio da ponta (rt), soRh (= rh/rt),Rm (= rm/rt) e

Rt (= rt/rt = 1), Figura 10. Tem-se ento o seguinte sistema linear em a, b e c oriundo

da parametrizaoy = aR + bR + c, Rh R 1 :

=++=++

=++

t

mmm

hhh

ycbaycbRaR

ycbRaR

2

2

(3.16)


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17

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Raio adimensional, r/rt

0

10

20

30

40

50

60

ngulodemontagemd

acorda,graus

0

10

20

30

40

50

60

Projeto de Souza (1989)

Parametrizao

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Raio adimensional, r/ rt

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

Razocorda-passo,

(-)

Projeto de Souza (1989)

Parametrizao

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

Figura 9 Parametrizaes parablicas para a geometria do rotor de Souza (1989).

y

R

Rt= 1

ytym

yh

Rm

Rh

Figura 10 Esquema de parametrizao de uma grandeza genrica das ps,y.


38/114

18

A forma matricial para o sistema (3.16) :

=

t

m

h

mm

hh

y

y

y

c

b

a

RR

RR

111

1

12

2

( [A]{abc} = {y} ) (3.17)

Como Rh, Rm e Rt (=1) so todos distintos entre si, a matriz [A] no-singular pelo

teorema de Vandermonde e logo esse sistema pode ser resolvido pela regra de Cramer

(Alonso et al., 1990). Para tal, calcula-se:

)1)((

111

1

1

det2

2

+== hmhmhmmm

hh

RRRRRRRR

RR

A (3.18)

)()1()1(

11

1

1

det mhthmmh

t

mm

hh

RRyRyRy

y

Ry

Ry

a ++== (3.19)

e

)()1()1(

11

1

1

det22222

2

hmthmmh

t

mm

hh

RRyRyRy

y

yR

yR

b ++==

(3.20)

Agora, pela regra de Cramer:

A

aa

det

det= (3.21)

A

bb

det

det= (3.22)

e, pela terceira equao do sistema (3.16):

bayc t = (3.23)

o que conclui o clculo da parbola de parametrizao adotada.


39/114

19

No exagero enfatizar, novamente, o carter conceptual do projeto otimizado

proposto neste trabalho. Nesse estgio do dimensionamento da turbina, os padres

obtidos para os perfis de velocidade a partir da geometria considerada so mais

relevantes que a prpria geometria, embora esta tambm seja representativa

construtivamente. Um procedimento complementar poderia ser a otimizao do projeto

inverso das grades, garantindo as distribuies de velocidade inicialmente calculadas na

otimizao conceptual. De fato, tal abordagem vem sendo efetuada em questes mais

complexas de otimizao de turbinas hidrulicas, onde o desempenho de cavitao

tambm um objetivo do problema e programas CFD do tipo Navier-Stokes 3D so

empregados como solver. No entanto, como j citado anteriormente, o alto custo

computacional nesse tipo de anlise ainda um fator limitante para o processo de

otimizao. Nesta dissertao, mais uma vez, o objetivo desenvolver uma

metodologia de projeto intermediria, de baixo custo computacional, vivel de se

perfazer rapidamente em um nico computador (PC) e que preceda a anlises mais

sofisticadas para j adiantar resultados bsicos importantes.


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20

Captulo 4

CLCULO DO ESCOAMENTO EM UMA TURBINA

HIDRULICA AXIAL

Repete-se a seguir a Figura 3, onde se apresenta o esquema da seo meridional

da turbina hidrulica considerada neste trabalho, i. e., uma turbina hlice do tipo

tubular, com distribuidor cilndrico e aletas sem toro ao longo do raio.

Tubo de suco

RotorDistribuidor

Figura 11 Esquema da seo meridional da turbina hlice considerada.


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21

Neste captulo, ser desenvolvido o procedimento de clculo das distribuies de

velocidade antes e aps o distribuidor (estator) e antes e aps o rotor. Para tal, ser

imposta a condio de equilbrio radial das mquinas de fluxo axiais. O desvio angular

do escoamento na sada das grades ser avaliado usando-se correlaes empricas

provenientes da literatura. Uma vez estabelecidas as distribuies de velocidade,

calculam-se as perdas hidrulicas atravs da turbina, tambm por meio de correlaes, e

a potncia absorvida pelas ps, usando-se agora a equao de Euler para as

turbomquinas equao integral da quantidade de movimento angular. Com isso, tem-

se o rendimento da turbina (o alvo da otimizao) e a altura de queda disponvel, que

ser submetida a restries.

Os desenvolvimentos que se seguem fazem referncia s Figuras 12 a 15 para aconveno de pontos e definies dos tringulos de velocidade. Os ndices h e t

referem-se respectivamente s estaes radiais do cubo (hub) e da ponta das ps (tip). c

a velocidade absoluta, w a velocidade relativa e u a velocidade circunferencial (ou

de conduo) das ps. e so respectivamente os ngulos do escoamento absoluto e

relativo, medidos a partir da direo circunferencial (conveno alem). Os ndices u e

m correspondem respectivamente aos componentes circunferencial e meridional da

velocidade. Por exemplo, cm5h o componente meridional da velocidade absoluta na

seo de sada do rotor, na estao do cubo.

Distribuidor Rotor

1 2 4 5

rTubo de sucoFluxo

Figura 12 Conveno de pontos na seo meridional da turbina.

1: entrada do distribuidor; 2: sada do distribuidor

4: entrada do rotor; 5: sada do rotor


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22

RotorDistribuidor

u

Figura 13 Representao das linhas de corrente absolutas instantneas

em uma seo cilndrica.

5f

5

w5

c5

4

4f w4

u

u

c4

2f cu2

cm2

c2

c1

Figura 14 Componentes de velocidade Figura 15 Tringulos de velocidade

nas grades do distribuidor. nas grades do rotor.


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23

4.1 EQUAO DE EQUILBRIO RADIAL

A equao da quantidade de movimento na direo radial tambm conhecida

como equao de equilbrio radial. Em mquinas de fluxo axiais, essa equao

desempenha papel fundamental no estabelecimento das distribuies de velocidade.

Neste trabalho, a equao de equilbrio radial ser usada em conjunto com as equaes

da energia e da continuidade para relacionar os componentes meridional e

circunferencial da velocidade absoluta aps o distribuidor (cm2 e cu2) e aps o rotor (cm5

e cu5). Isso realmente necessrio para que o campo de velocidade a ser obtido seja

compatvel com os princpios fsicos de conservao de energia, massa e quantidade de

movimento.

A equao de equilbrio radial pode ser obtida da maneira como se segue.

Admite-se um escoamento com simetria axial e incompressvel. Desprezam-se as foras

viscosas e o componente radial da velocidade, ou seja, supe-se um fluxo puramente

axial na projeo meridional. Admite-se ainda escoamento absoluto em regime

permanente no estator e escoamento relativo estacionrio no rotor.

r

z

CL

c

c

c

z

u

CL

dL

d

r

p + dpp

Distribuidor Rotor

Figura 16 Elemento de fluido no recinto entre o distribuidor e o rotor.

Aplicando-se a 2 lei de Newton para o movimento ao elemento de fluido

representado na Figura 16, tem-se:

dmd aF rr = (4.1)


44/114

24

sendo a fora resultante sobre o elemento de massa dm eFr

d ar

, sua acelerao medida

de um referencial inercial. Tomando o componente radial de ambos os vetores:

) ) dmdrr aF

rr

= (4.2)

O componente radial da acelerao a acelerao centrpeta devida velocidade

circunferencial cu. Logo:

) dmr

cd ur

2

F =r

(4.3)

O componente radial da fora resultante tem origem nas presses estticas p e p + dp

nas faces do elemento (Figura 16):

) dLdrdpdLdrdppdLdrpd r =+= )(Fr

(4.4)

Das Equaes (4.3) e (4.4), e sendo dm = rddLdr, tem-se:

r

c

dr

dp u2

= (Equao de equilbrio radial) (4.5)

Essa a equao da quantidade de movimento na direo r, chamada de equao de

equilbrio radial.

Usando agora a equao de Bernoulli para o rotor (Bran e Souza, 1979):

constante22

22

=+uwp

(4.6)

onde o efeito gravitacional j fra negligenciado, tem-se por diferenciao:

02

2

=+dwdp

(4.7)

Observe que, como se desprezou anteriormente o componente radial da velocidade,

admitiu-se implicitamente linhas de corrente paralelas ao eixo da mquina (razovel

como primeira aproximao numa turbina hidrulica axial), e, portanto, u = r

suposto constante ao longo de uma dada linha de corrente.

Dos tringulos de velocidade e da equao de Euler das turbomquinas, tem-se:


45/114

25

22)(

2

4

2

5

2

5

2

4

54

wwccccuY uup

+

== (4.8)

e

22)(

22 dwdcucddY up +== (4.9)

Impondo-se agora Yp = constante na Equao (4.9) trabalho especfico uniforme ao

longo do raio , obtm-se:

0=pdY (4.10)

constante=urc (vrtice potencial) (4.11)

e

22 dwdc = (4.12)

Alm disso,

uuuuu rdcdrcrdcdrcrcd ==+= 0)( (4.13)

Combinando as equaes de equilbrio radial (4.5) e Bernoulli (4.7):

2

2dw

drcr

cu

u = (4.14)

e usando as Equaes (4.13) e (4.12), chega-se a:

2)(

2dcrdc

r

cu

u = (4.15)

ou seja:

0)( 22 = uccd (4.16)

ou

constante02 == mm cdc (4.17)

Assim, Yp = const. rcu = const. e cm = const. numa mquina de fluxo

hidrulica puramente axial.Inversamente, supondo cm = const., pode-se provar que Yp = const. Da Equao

(4.9):


46/114

26

ducudcucddY uuup == )( (4.18)

ou

drcrdcdY uup = (4.19)

pelo que:

u

p

u rdcdY

drc =

(4.20)

em que u = r, com sendo a velocidade angular do rotor.

Usando novamente a Equao (4.14) (equilbrio radial e Bernoulli) e a Equao

(4.9), deriva-se:

pu

u dYdc

drcr

c=

2

2

(4.21)

que com a Equao (4.20) torna-se:

pu

pu dYdc

rdcdY

r

c=

2

2

(4.22)

ou

221

22uu

p

dcdc

r

cdY +=

(4.23)

Usando-se agora a hiptese de cm = const. na Equao (4.23), hiptese esse que leva

diretamente a c cu = const., ou dc dcu = 0, obtm-se:

01 =

u

cdY up (4.24)

Logo, ou cu = u ou Yp = const. O caso cu = u um caso particular sem interesse

prtico para turbinas hidrulicas axiais, pois leva a um grau de reao terico de apenas

0,5 e um ngulo de entrada no rotor 4 = 90, valor muito alto para uma turbina axial.

Conclui-se dessa maneira que cm = const. Yp = const. (rcu = const.) em uma

mquina de fluxo hidrulica axial, de acordo com a condio de equilbrio radial. A

hiptese de vrtice potencial de fato muito usada nos projetos de turbinas axiais, pois

constitui uma soluo extremamente simples para a equao de equilbrio radial, com


47/114

27

distribuies uniforme para a velocidade meridional e trabalho especfico, e hiperblica

para a velocidade circunferencial. No entanto, s verificada na prtica se a toro

radial das palhetas diretrizes (aletas do distribuidor) realmente assegurar a formao do

vrtice potencial no recinto entre o distribuidor e o rotor. Para isso, o ngulo de sada

2 deve crescer do cubo para a ponta de maneira tal que, juntamente com a velocidade

meridional e o desvio angular do escoamento na sada das grades em cada estao

radial, se obtenha rcu2 = const. Se esse no for o caso, a distribuio de velocidade

meridional no ser uniforme ao longo do raio, assim como a distribuio do trabalho

especfico das ps. Alm disso, a condio de vrtice potencial no constitui,

necessariamente, a configurao tima para o campo de escoamento. Logo, o correto

equilbrio radial dever ser considerado no intuito de se obter perfis de velocidade maisrealistas e otimizados.

4.2 EQUILBRIO RADIAL APS O DISTRIBUIDOR

Admitindo escoamento incompressvel e em regime permanente no distribuidor

(estator), a equao da energia (1 lei da Termodinmica), escrita como (Fox e

McDonald, 1998):

PdSS Ypp = 21 (4.25)

em quepS a presso de estagnao (pS =p + c2), a massa especfica do fluido e

YPd a perda de energia mecnica por unidade de massa que ocorre no distribuidor,

devido s irreversibilidades do escoamento.

Na entrada do distribuidor, a presso esttica, p1, e a velocidade, c1, so

admitidas constantes, de modo quepS1 uniforme ao longo do raio. Portanto, derivando

a Equao (4.25), obtm-se:

dr

dY

dr

dp PdS = 2 (4.26)

A equao de equilbrio radial (4.5) na sada do distribuidor escrita como:

r

c

dr

dp u2

22 = (4.27)


48/114

28

Da definio de presso de estagnao, pode-se escrever:

)(2

2

2

2

222 umS ccpp ++=

(4.28)

e

dr

dcc

dr

dcc

dr

dp

dr

dp uu

m

m

S 2

2

2

222 ++= (4.29)

Usando a equao da energia na forma (4.26) e a equao de equilbrio radial (4.27) em

(4.29), obtm-se:

dr

dc

cdr

dc

cr

c

dr

dY uu

m

m

uPd 2

2

2

2

2

2

++= (4.30)

que pode ser rearranjada como:

dr

dYr

dr

dcrc

dr

dcrcc Pdmm

u

uu+++= 22

2

2

2

20

(4.31)

ou

dr

dYr

dr

dcrc

dr

rcdc Pdmm

u

u ++=2

2

2

2

)(0 (4.32)

A Equao (4.32) expressa a condio de equilbrio radial aps o estator.

Distribuies de cm2 e cu2 que satisfazem a essa equao esto em conformidade com os

princpios de conservao de energia e quantidade de movimento. Embora algumas

simplificaes tenham sido feitas para se chegar Equao (4.32) (foras viscosas

desprezveis na direo radial, fluxo puramente axial na projeo meridional, presso de

estagnao uniforme na entrada do distribuidor), a observncia dessa relao conduz a

tendncias realistas para o ncleo do escoamento em turbomquinas axiais. Novamente

pode-se observar que com a hiptese de vrtice potencial (rcu2 = const.) e desprezando-

se o efeito das perdas sobre o equilbrio radial (dYPd / dr= 0), obtm-se de (4.32) cm2 =

const., tal qual fora demostrado na seo anterior usando-se a equao de Bernoulli

(que de fato pode-se aplicar quando so desprezados os efeitos viscosos).

Dividindo agora ambos os membros da Equao (4.32) por r e reagrupando,

chega-se finalmente a:


49/114

29

dr

rcd

r

c

dr

Ycd uuPdm )()2/( 222

2 =+

(4.33)

ou

drrcd

rdrYcd uPdm

2

2

2

2

2 )(21)2/( =+ (4.34)

equao essa numa forma conveniente para ser integrada e expressar cm2 em termos de

rcu2. Como ltima simplificao, o efeito das perdas hidrulicas sobre o equilbrio

radial pode ser negligenciado na Equao (4.34), ou seja, admite-se dYPd / dr= 0. Note

que no est sendo afirmado serem nulas as perdas no distribuidor, mas apenas que seu

efeito sobre o equilbrio radial na Equao (4.34) desprezvel (Peng et al., 2002a).

Essa afirmao ser tanto mais vlida quanto mais uniforme for o perfil de YPd. Alm

disso, citando Denton (1993), ...muitos escoamentos so dominados pelas leis de

conservao de massa, energia e quantidade de movimento, e no por efeitos viscosos

detalhados. O poder das equaes de conservao nunca deve ser subestimado e

modelos de escoamento que no satisfaam a essas equaes esto fadados ao

fracasso. Dessa forma, tem-se:

drrcd

rdrcd um

2

22

2

2 )(1)( = (4.35)

que aps a integrao do cubo (rh) a um raio rgenrico torna-se:

=r

r

u

hmmh

drdr

rcd

rcrc

2

2

2

2

2

2

2

)(1)( (4.36)

Definindo:

=r

r

u

dh

drdr

rcd

rrI

2

2

2

)(1)( (4.37)

escreve-se explicitamente a distribuio de velocidade meridional aps o distribuidor

satisfazendo ao equilbrio radial ao longo de todo o raio:

)()( 2 22 rIcrc dhmm += (4.38)

A continuidade geral agora imposta para o clculo da velocidade meridional na

estao do cubo (cm2h); Q a vazo volumtrica atravs da turbina:


50/114

30

=t

h

r

rm rdrrcQ )(2 2 (4.39)

ou

2)(2

Qrdrrc

t

h

r

rm = (4.40)

Substituindo a Equao (4.38), obtm-se finalmente:

2)(2 2

QrdrrIc

t

h

r

rdhm =+ (4.41)

A Equao (4.41) uma equao no-linear com a incgnita em uma integral para

ajustar cm2h de acordo com a continuidade geral e a condio de equilbrio radial. Para

resolv-la, escolheu-se um mtodo de bisseo padro do MatLab

(funo fzero). J

a integrao em (4.41) realizada numericamente segundo a regra de Simpson (Silva e

Miyazima, 2000).

O clculo da integralId(r) em (4.37) exige o conhecimento prvio da distribuio

do momento cinemtico rcu2(r). Porm, os componentes circunferenciais cu2 so

calculados usando-se os componentes meridionais cm2ainda no determinados. Logo,um procedimento iterativo teve que ser adotado. Primeiramente assume-se uma

distribuio uniforme para cm2 (= Q/[(rt2 rh

2)]). Com isso, alguns valores de rcu2

podem ser calculados usando-se as relaes de grade (geometria e correlao de desvio)

emNestaes radiais (ver item 4.4). Uma distribuio parablica na forma rcu2 = K1 +

K2r + K3r2 ento ajustada a esses N valores usando-se mnimos quadrados (Silva e

Miyazima, 2000). A escolha de uma distribuio parablica realmente adequada para

turbinas hidrulicas axiais, pois reproduz muito bem os padres tpicos de giro (Peng etal., 2002a), pode recuperar o vrtice potencial (caso particular importante) e tem

fornecido boa preciso no problema em questo. Em seguida, essa distribuio

parablica usada no clculo analtico de Id(r) em (4.37), o que possibilita a

determinao do perfil de cm2 (4.38) aps a resoluo da Equao (4.41) para cm2h. Essa

nova distribuio de cm2 agora usada para recalcular os valores de rcu2 nasNgrades e

as iteraes continuam at que o campo de velocidade na sada do distribuidor convirja,

Figura 17.


51/114

31

Distribuio inicial de cm2

Geometria da grade,correlao de desvio;ajuste parablico para rcu2

Integral Id

c de acordo com acondio de equilbrio radial

e continuidade geral

m2Os perfis de velocidade

convergiram?

Campo de velocidade

na sada do estator

Sim

No

Figura 17 Esquema iterativo para o clculo dos perfis de velocidade aps o estator.

4.3 EQUILBRIO RADIAL APS O ROTOR

O campo de velocidade na entrada do rotor admitido igual ao da sada do

distribuidor, aproximao razovel para a turbina considerada (Figura 11). Os perfis de

velocidade na sada do rotor so obtidos seguindo-se um procedimento anlogo ao do

item 4.2 anterior. Agora, a equao da energia escrita como (Fox e McDonald, 1998):

pSS YYpp ++= Pr54 (4.42)

onde YPr a perda de energia mecnica por unidade de massa no rotor e Yp o trabalho

especfico das ps, calculado usando-se a equao de Euler das turbomquinas a

equao fundamental das turbinas (Quantz, 1976):

)( 54 uup ccuY = (4.43)

Como fra negligenciado o efeito das perdas hidrulicas sobre o equilbrio radial aps o

estator (Equao 4.35), resulta que a presso de estagnao constante na entrada do

rotor (veja a Equao 4.26):


52/114

32

024 ===dr

dY

dr

dp

dr

dp PdSS (4.44)

Da definio de presso de estagnao, tem-se para a sada do rotor:

dr

dcc

dr

dcc

dr

dp

dr

dp uu

m

m

S 5

5

5

5

55 ++= (4.45)

Substituindo a equao de equilbrio radial, dada por:

r

c

dr

dp u2

55 = (4.46)

e as Equao (4.44) e (4.45) na derivada da equao da energia (4.42), obtm-se:

dr

dY

dr

dY

dr

dcc

dr

dcc

r

c puu

m

m

u ++++= Pr555

5

2

50 (4.47)

Da Equao (4.43), deriva-se:

dr

ucd

dr

ucd

dr

dYuup )()( 54 = (4.48)

O primeiro termo do segundo membro de (4.48) j est disponvel, pois a distribuio

de ucu4 igual a de ucu2, que fora calculada no item 4.2 anterior usando-se um ajuste

parablico (ucu4 = ucu2 =rcu2 = K1 + K2r+ K3r2). Substituindo ento (4.48) em

(4.47), resulta:

dr

ucdr

dr

dYr

dr

dcrc

dr

ucdr

dr

dcrcc umm

uu

uu

)()(0 4Pr55

555

2

5 ++++= (4.49)

equao essa que expressa a condio de equilbrio radial aps o rotor. Novamente,

distribuies de cm5 e cu5 que satisfaam a essa equao estaro em conformidade com

os princpios de conservao de energia e quantidade de movimento, constituindo um

campo de velocidade realista para o escoamento na sada do rotor da turbina. Pode-se

ainda rearranjar (4.49) na forma:

dr

ucd

rdr

Ycd

rdr

rcd

ucumu

u

)()2/()(

)(04Pr

2

55

5 +

+

+= (4.50)

ou


53/114

33

dr

ucd

dr

rcd

r

uc

dr

Ycd uuum )()()()2/( 455Pr2

5

=+

(4.51)

que mais conveniente para se integrar e expressar cm5 em termos de rcu5. Novamente,

pelas mesmas justificativas dadas no item 4.2, o efeito das perdas hidrulicas sobre oequilbrio radial aps o rotor pode ser negligenciado, isto , admite-se dYPr/ dr= 0 na

Equao (4.51). Mais uma vez, no se est afirmando serem nulas as perdas no rotor,

mas apenas que seu efeito sobre o equilbrio radial desprezvel (Peng et al., 2002a).

Dessa forma, tem-se aps a integrao do cubo (rh) a um raio rgenrico:

(h

hruru

r

r

uu

hmm ucucdrd

)r

rcd

r

uccrc ||2

)()(2)( 44

552

5

2

5

= (4.52)

Definindo:

( )h

hruru

r

r

uu

r ucucdrdr

rcd

r

ucrI ||2

)()(2)( 44

55

= (4.53)

escreve-se explicitamente a distribuio de velocidade meridional aps o rotor

satisfazendo ao equilbrio radial ao longo de todo o raio:

)()( 2 55 rIcrc rhmm += (4.54)

A continuidade geral novamente imposta para o clculo da velocidade meridional na

estao do cubo (cm5h), levando Equao no-linear (4.57), anloga obtida para o

distribuidor (4.41):

=t

h

r

rm rdrrcQ )(2 5 (4.55)

2)(5

Qrdrrc

t

h

r

rm = (4.56)

2)(2 5

QrdrrIc

t

h

r

rrhm =+ (4.57)

A Equao (4.57) tambm resolvida usando-se o mtodo de bisseo da funo

fzero do MatLab

e a integrao em (4.57) realizada numericamente segundo a

regra de Simpson.Analogamente ao clculo da integral Id(r) em (4.37), o clculo da integral Ir(r)

em (4.53) apresenta a mesma dificuldade inicial: o conhecimento prvio da distribuio


54/114

34

do momento cinemtico rcu5(r). Porm, como ocorre na sada do distribuidor, os

componentes circunferenciais (cu5) so calculados usando-se os componentes

meridionais (cm5) ainda no determinados. Adotou-se, ento, o mesmo esquema

iterativo para resolver o problema. Primeiramente, assume-se uma distribuio inicial

para cm5 (por exemplo, cm5 = cm4). Com isso, alguns valores de rcu5 podem ser

calculados usando-se as relaes de grade (geometria, tringulos de velocidade e

correlao de desvio) emNestaes radiais (ver 4.4). Uma distribuio cbica na forma

rcu5 = K4 + K5r + K6r2

+ K7r3

ento ajustada a esses N valores usando-se mnimos

quadrados. A escolha de uma distribuio cbica em vez de uma parablica mostrou-se

necessria para reproduzir as inflexes tpicas no perfil de cu5. Em seguida, essa

distribuio cbica usada no clculo analtico de Ir(r) em (4.53), onde a regressoparablica para rcu2 (= rcu4) tambm utilizada. Isso possibilita a determinao do

perfil de cm5 (4.54) aps a resoluo da Equao (4.57) para cm5h. Essa nova distribuio

de cm5 agora usada para recalcular os valores de rcu5 nas N grades e as iteraes

continuam at que o campo de velocidade na sada do rotor convirja, Figura 18.

Distribuio inicial de cm5

Geometria da grade,tringulos de velocidade,correlao de desvio;esquema de sub-relaxao,

ajuste cbico para rcu5

Integral Ir

c de acordo com acondio de equilbrio radial

e continuidade geral

m5Os perfis de velocidade

convergiram?

Campo de velocidadena sada do rotor

Sim

No

Figura 18 Esquema iterativo para o clculo dos perfis de velocidade aps o rotor.

Para o rotor, porm, um esquema iterativo puramente de substituio apresentou

srios problemas de convergncia. Isso se deve ao carter altamente no-linear das

equaes e ao fato de que o perfil de velocidade na entrada do rotor no-uniforme,

diferentemente do que ocorre na entrada do estator, havendo ainda absoro da energia

do fluido pelas ps do rotor. A sada escolhida para contornar essa dificuldade, que

surgiu devido ao modo como se resolveu a condio de equilbrio radial, foi empregar

um esquema de sub-relaxao. Embora isso retarde a convergncia do algoritmo, evitou


55/114

35

as instabilidades que a impediam. Cada vez que uma nova distribuio de cm5

calculada (Equao 4.54), levando a uma nova distribuio de cu5 nas grades (a partir

dos tringulos de velocidade; ), os novos valores atribudos de fato para cgrade

uc 5 u5 so:

atual

u

grade

u

novo

u ccc 555 )1( += (4.58)

onde o fator de sub-relaxao. Para iniciar esse esquema, a primeira distribuio de

cu5 igualada a zero. Como faixa recomendada para os valores do fator de sub-

relaxao, tem-se 0,05 0,20, sendo que 0,10 foi o valor usado nos resultados a

serem apresentados.

4.4 CORRELAO DE DESVIO; TRINGULOS DE

VELOCIDADE

Os desvios do escoamento em relao aos ngulos geomtricos de sada das

grades, tanto no distribuidor como no rotor, so avaliados usando-se a correlao de

desvio de Carter e Hughes (Horlock, 1973). Por exemplo, em uma dada estao radial

do distribuidor, o ngulo de desvio na sada, (Figura 19), dado por:

l/22 tmaletaf == (4.59)

2f

2aleta

1aleta

l

t

b


56/114

36

Figura 19 Desvio angular do escoamento na sada de uma grade do distribuidor.

onde 2f o ngulo do escoamento, 2aleta o ngulo geomtrico (ngulo construtivo)

da palheta diretriz, (= 1aleta 2aleta) o ngulo de arqueamento do perfil (camber

angle), l a corda do perfil, t o passo da estao radial e m um fator emprico. Em

Horlock (1973), m fornecido graficamente em funo do ngulo de montagem (em

graus; stagger angle) e do tipo de linha mdia do perfil (circular ou parablica). Esse

grfico foi aproximado pela funo linear m() = 0,21 0,04(90 )/60, para as linhas

de arqueamento ARC adotadas neste trabalho (captulo 3).

Uma vez determinado 2f (= 2aleta + ) e tendo-se a distribuio de cm2 (item

4.2), calcula-se (veja a Figura 14):

f

mcc2

2

2sen

= (4.60)

e

f

m

u

cc

2

2

2tan

= (4.61)

Com isso, tem-se tambm a velocidade absoluta na entrada do rotor, que foi admitida

igual velocidade na sada do distribuidor (item 4.3), ou seja:

(4.62)

=

=

=

=

f

uu

mm

cc

cc

cc

24

24

24

24

rr

Da, calcula-se imediatamente (veja a Figura 15):

=4

4

4 arctanu

m

fcu

c (4.63)

e

f

mcw4

4

4sen

= (4.64)

O ngulo do escoamento relativo na sada do rotor determinado tambm por

meio da correlao de desvio de Carter e Hughes (Figura 20):

l/555 tmppf +=+= (4.65)


57/114

37

onde agora = 4p 5p e m = m() = 0,21 0,04(90 )/60, sendo o ngulo de

montagem da p (em graus) e 4p e 5p, respectivamente, seus ngulos geomtricos de

entrada e de sada. Tendo-se tambm a distribuio de cm5 (item 4.3), calcula-se (veja a

Figura 15):

f

mcw5

5

5sen

= (4.66)

f

m

u

cuc

5

5

5tan

= (4.67)

2

5

2

55 mu ccc += (4.68)

e

=

5

5

5 arctan2/m

u

c

c (4.69)

finalizando os elementos dos tringulos de velocidade necessrios aos clculos de

deflexes, incidncias, ngulos de ataque, trabalhos especficos, perdas, etc.

l

t

4p

5p

5f

Figura 20 Desvio angular do escoamento na sada de uma grade do rotor.


58/114

38

Deve-se comentar ainda que a correlao de Carter e Hughes foi desenvolvida

sobre dados experimentais de turbinas a gs subsnicas (de baixa velocidade) e, como

no h dependncia explcita dos parmetros dessa correlao com o nmero de Mach

ou qualquer outra grandeza relacionada compressibilidade do escoamento, admitiu-se

ser aplicvel tambm a escoamentos incompressveis (turbinas hidrulicas). Se algum

parmetro dependesse, por exemplo, do nmero de Mach, ento o nmero de Mach

seria igualado a zero numa tentativa de ainda assim aplicar essa correlao. De fato,

modelos de desvios e de perdas especficos para turbinas hidrulicas so bastante

escassos na literatura em comparao com as numerosas publicaes referentes a

turbinas a gs.Saliente-se tambm que o modelo de desvio de Carter e Hughes s vlido em

situaes afastadas do stall da grade em questo, ou seja, em situaes relativamente

prximas de incidncia zero e com deflexes moderadas. Note tambm que, nesse

modelo, o desvio depende somente da geometria da grade (passo, corda, ngulo de

montagem, ngulo de arqueamento, tipo de linha de esqueleto), o que torna mais direta

sua aplicao.

4.5 CORRELAES DE PERDAS; RENDIMENTO DA

TURBINA

As perdas hidrulicas ou de escoamento atravs da turbina so avaliadas usando-

se correlaes empricas da literatura. H vrias formas para se classificar e tratar as

perdas em turbinas hidrulicas (Ueda, 1982). Procurou-se adotar um modelo que

contemple as parcelas mais significativas em turbinas axiais do tipo tubular (Figura 11).

Para o distribuidor, admite-se apenas perdas de perfil, causadas pelo atrito viscoso com

as aletas. J para o rotor, alm das perdas de perfil, consideram-se as perdas por choque

na entrada, ocasionadas por ngulos desfavorveis ao escoamento incidente sobre as

ps. Tem-se tambm as perdas no tubo de suco, associadas recuperao imperfeita

de presso esttica nesse difusor e que, em turbinas de baixa queda, representam

normalmente a maior parcela da perda total (Drtina e Sallaberger, 1999; Moura e Brasil

Jnior, 2005). As perdas so calculadas aps a determinao dos perfis de velocidade


59/114

39

nas sadas do distribuidor e do rotor, pois so correlacionadas s velocidades nessas

sees.

Ao se usarem modelos de perdas em um projeto, o fundamental que esses

modelos indiquem as corretas tendncias de variao das perdas causadas por alteraes

na geometria da turbina. O conjunto de correlaes escolhido deve orientar a busca em

direo a uma geometria de projeto de boas caractersticas, ou seja, com perdas

mnimas. O modo como cada parmetro de projeto afeta as perdas deve ser evidenciado

pelo modelo adotado. Por exemplo, sabe-se que as perdas no tubo de suco devem-se,

em grande parte, ao giro do escoamento em sua entrada. Assim, um modelo de perdas

para o tubo de suco deve conduzir, durante o processo de otimizao, a uma

geometria do rotor que produza pouco giro na sada (pequenos valores para cu5 ou 5prximo de 90). Da mesma forma, o modelo de perda por choque na entrada do rotor

deve levar a uma geometria para as ps com ngulos de montagem e arqueamentos tais

que se produzam simultaneamente pequenos valores de incidncia na entrada e

deflexes resultantes ainda assim razoveis (para que haja bons valores de trabalho

especfico). Citando Denton (1993): ...o uso de correlaes no deve ser um substituto

de se tentar compreender as origens das perdas... uma boa compreenso fsica para elas

pode ser mais valiosa do que uma predio quantitativa. Tambm, importante ao

usar as correlaes, reconhecer suas limitaes e no desenvolver um falso senso de

segurana se elas fornecem respostas corretas... O mais importante ...ser aptos a

identificar caractersticas boas e ruins do escoamento e alterar nossos projetos de

acordo, mesmo que no possamos quantificar as melhorias antes de test-las.

Finalmente, ...no devemos temer admitir nossa falta de compreenso dos mecanismos

complexos de gerao de entropia. O progresso ocorre mais facilmente quando estamos

cientes de nossas limitaes e continuamente nos esforamos para reduzi-las.

A seguir, descrevem-se as correlaes empregadas no clculo das perdas

especficas (J/kg) nos componentes da turbina. Depois, explica-se a forma como essas

perdas so integradas nos fluxos de massa para se obter a potncia perdida, em watts, e

o modo como se calcula a potncia absorvida pelo rotor. Feito isso, determina-se a

altura de energia da turbina (trabalho especfico da mquina) e seu rendimento total.


60/114

40

4.5.1 Perda no distribuidor

Apenas perdas por atrito (perdas de perfil) so consideradas para o distribuidor.

Ignoram-se, por exemplo, perdas por choque na entrada, admitindo-se implicitamente

que o fluxo incida de maneira ideal sobre as palhetas diretrizes, hiptese razovel para

turbinas hidrulicas axiais (geralmente com apenas um nico estgio).

A perda por unidade de massa em uma estao radial, YPd, dada por:

2

2

2cY dPd = (4.70)

onde c2 a velocidade absoluta na sada da grade e d um coeficiente emprico. No

caso, d calculado usando-se a correlao de Soderberg (Horlock, 1973), descrita mais

adiante.

4.5.2 Perda no rotor

Para o rotor, alm das perdas por atrito, essencial considerar tambm as perdas

por choque na entrada, associadas a uma incidncia desfavorvel do escoamento sobre

as ps. De fato, se a perda por choque no for levada em considerao, geometrias com

altas incidncias no rotor e separao precoce do escoamento poderiam no ser

descartadas durante o processo de otimizao, comprometendo a otimalidade prtica do

projeto encontrado.

Para a perda de perfil (YPr) o clculo anlogo ao do distribuidor. Em uma dada

estao, tem-se:

2

2

5

Pr

wY r= (4.71)

onde w5 a velocidade relativa na sada da grade considerada e r calculado usando-

se a correlao de Soderberg.

Se o nmero de ps fosse infinito, a condio sem choque seria aquela em que a

velocidade relativa na entrada do rotor fosse tangente p, ou seja, com 4f = 4p

(incidncia zero). Com um nmero finito de ps, a condio sem choque passa a ocorrer

com incidncias levemente diferentes de zero e depende essencialmente do nmero de


61/114

41

ps e da forma dos perfis. Para o nvel de otimizao proposto neste trabalho, ser

suficiente aproximar a condio sem choque daquela com incidncia nula, embora no

a seja exatamente. O importante aqui descartar geometrias com incidncias realmente

muito desfavorveis, ainda que a incidncia tima no possa ser determinada com

preciso. Posto isso, o clculo da perda por choque, YPch, realizado usando-se o

esquema proposto por Pfleiderer e Petermann (1979), mas com o componente de

choque, wch, sendo considerado igual ao componente de incidncia:

2

2

ch

Pch

wY = (4.72)

0,5 0,7 e:

ucc

wwf

m

p

m

incch

+==

2

4

4

4

tantan (4.73)

4.5.3 Perda no tubo de suco

O escoamento em tubos de suco complexo, com importantes efeitos

rotacionais tridimensionais e puls

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Rodrigo Barbosa Da Fonseca Albuquerque