RACIOCÍNIO LÓGICO / PROFESSOR: RONILTON LOYOLA Questões 01. Considerando as definições da lógica proposicional e a proposição composta ”Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”, assinale a opção correspondente à simbolização correta dessa proposição, onde A e B são, respectivamente, as proposições simples ”Antônio é desembargador” e ”Jonas é juiz”. (A) ¬(A ∧ B) (B) (¬A) ∨ (¬B) (C) (¬A) ∧ (¬B) (D) (¬A)�B (E) ¬[A ∨ (¬B)]� 02. Proposição é toda sentença declarativa que pode ser classificada, unicamente, como verdadeira ou como falsa. Portanto, uma proposição que não possa ser classificada como falsa será verdadeira e vice-versa. Proposições compostas são sentenças formadas por duas ou mais proposições relacionadas por conectivos. Sejam P e Q proposições e ¬P e ¬Q, respectivamente, suas negações. Se P é uma proposição verdadeira e Q é uma proposição falsa, então é verdadeira a proposição composta: (A) P ∧Q (B) ¬P ∧Q (C) ¬P v Q (D) ¬P v ¬Q (E) ¬P ��¬Q 03. Se Alceu tira férias, então Brenda fica trabalhando. Se Brenda fica trabalhando, então Clóvis chega mais tarde ao trabalho. Se Clóvis chega mais tarde ao trabalho, então Dalva falta ao trabalho. Sabendo-se que Dalva não faltou ao trabalho, é correto concluir que: (A) Alceu não tira férias e Clóvis chega mais tarde ao trabalho. (B) Brenda não fica trabalhando e Clóvis chega mais tarde ao trabalho. (C) Clóvis não chega mais tarde ao trabalho e Alceu não tira férias. (D) Brenda fica trabalhando e Clóvis chega mais tarde ao trabalho. (E) Alceu tira férias e Brenda fica trabalhando. 04. Uma tabela-verdade de proposições é construída a partir do número de seus componentes. Quantas combinações possíveis terá a tabela-verdade da proposição composta ”O dia está bonito, então vou passear se, e somente se, o pneu do carro estiver cheio” ? (A) 1(B) 3 (C) 6 (D) 8 (E) 12 05. Considere a seguinte proposição: ”Na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza: (A) um silogismo; (B) uma tautologia; (C) uma equivalência;

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(D) uma contingência; (E) uma contradição. 06. Sob o ponto de vista da Lógica Matemática, a única das afirmativas abaixo que pode ser considerada como equivalente a ”Se bebo líquido gelado, então sinto dor de dentes” é: (A) Não bebo líquido gelado ou sinto dor de dentes. (B) Se não bebo líquido gelado, então não sinto dor de dentes. (C) Se sinto dor de dentes, então bebi líquido gelado. (D) Não bebo líquido gelado ou não sinto dor de dentes. (E) Bebo líquido gelado e não sinto dor de dentes. 07. Com base nas regras da Lógica Sentencial, assinale a opção que corresponde à negação da proposição ”Mário é contador e Norberto é estatístico”. (A) Se Mário não é contador, então Norberto não é estatístico. (B) Mário não é contador e Norberto não é estatístico. (C) Se Mário não é contador, então Norberto é estatístico. (D) Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico. (E)Se Mário é contador, então Norberto é estatístico. 08. Proposições compostas são denominadas equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos verdadeiro (V) ou falso (F), para todas as possíveis valorações V ou F atribuídas às proposições simples que as compõem. Assinale a opção correspondente à proposição equivalente à ¬[[A∧(¬B)]���C]. (A) A∧(¬B)∧(¬C) (B) (¬A)∨(¬B)∨C (C) C�[A∧(¬B)] (D) (¬A)∨B∨C (E) [(¬A)∧B]�(¬C) 09. Se não é verdade que ”alguma professora universitária não dá aulas interessantes”, então é verdade que: (A) Todas as professoras universitárias dão aulas interessantes; (B) nenhuma professora universitária dá aulas interessantes; (C) nenhuma aula interessante é dada por alguma professora universitária; (D) nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes; (E) todas as aulas não interessantes são dadas por professoras universitárias.

10. Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: ”Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não durmam a sesta”.A condiçãonecessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:

(A) No máximo, um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. (B) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. (C) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. (D) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. (E) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

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11. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que: (A) todo C é B; (B) todo C é A; (C) algum A é C; (D) nada que não seja C é A; (E) algum A não é C. 12. Uma professora de Matemática faz as três seguintes afirmações: • ”X > Q e Z < Y”; • ”X > Y e Q > Y se, e somente se, Y > Z”; • ”R ≠ Q se, e somente se, Y = X”. Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que: (A) X > Y > Q > Z (B) X > R > Y > Z (C) Z < Y < X < R (D) X > Q > Z > R (E) Q < X < Z < Y

13. Em um grupo de 10 homens, sabe-se que 7 sãotraficantes, 5 são assassinos e 4 são traficantes e assassinos. Quantas destes 10 homens não são nem traficantes nem assassinos?

(A)6 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) 1

14. Léa, Mara e Lúcia têm,cada uma, um único bicho de estimação. Uma delas tem um pônei, a outra tem um peixe, e a terceira tem uma tartaruga.Sabe-se que:

● Léa não é a dona do peixe. ● Lúcia não é dona do pônei. ● A tartaruga não pertence a Mara. ● O peixe não pertence a Lúcia.

Com base nas informações acima, é correto afirmar que:

(A) Léa é dona do peixe.(B) Léa é dona da tartaruga. (C) Mara é dona do pônei.(D) Lúcia é dona da tartaruga.

15. Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das três caixas contém um, e somente um, objeto. Uma delas contém um livro; a outra, uma caneta; e a terceira contém um diamante. Em cada uma das caixas, existe uma inscrição, a saber:

● Caixa 1: ”O livro está na caixa 3”.

● Caixa 2: ”A caneta está na caixa 1”.

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● Caixa 3: ”O livro está aqui”.

Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que a inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. Com tais informações, Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 estão, respectivamente:

(A)a caneta, o diamante, o livro;

(B) o livro, o diamante, a caneta;

(C) o diamante, a caneta, o livro;

(D) o diamante, o livro, a caneta;

(E) o livro, a caneta, o diamante.

RACIOCÍNIO LÓGICO Resoluções Questão 01 RESOLUÇÃO: Sejam as proposições: A: Antônio é desembargador. B: Jonas é juiz. ¬A: Antônio não é desembargador. ¬B: Jonas não é juiz. A proposição ”Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”pode ser escrita da seguinte maneira ”Antônio nãoé desembargador eJonas não é juiz”; em símbolos, temos: (¬A) ∧(¬B). Gabarito: letra C. Questão 02 RESOLUÇÃO: Vamos fazer uma pequena tabela atribuindo os valores lógicos das proposições envolvidas no enunciado e nas alternativas: P ¬PQ¬QP ∧Q¬P ∧Q¬P v Q¬P v ¬Q¬P ��¬Q V F F V F FFV F Veja que, dentre as proposições compostasdas alternativas, a única verdadeira é a da alternativa D. Gabarito: letra D. Questão 03 RESOLUÇÃO: Sejam as proposições:

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P: Alceu tira férias. Q: Brenda fica trabalhando. R: Clóvis chega mais tarde ao trabalho. S: Dalva falta ao trabalho. O enunciado do problema é composto de premissas. Vamos admitir que todas sejam verdadeiras e chegar a uma conclusão também verdadeira. Vamos representar em símbolos as premissas verdadeiras do enunciado: ● ”Se Alceu tira férias, então Brenda fica trabalhando”, isto é, P ��Q. ● ”Se Brenda fica trabalhando, então Clóvis chega mais tarde ao trabalho”, isto é, Q � R. ● ”Se Clóvis chega mais tarde ao trabalho, então Dalva falta ao trabalho”, isto é, R ��S. ● ”Dalva não faltou ao trabalho”, isto é, a proposição S é logicamente falsa. Como S é falsae a premissa R ��S é verdadeira, concluímos que R deve ser falsa. Como R é falsa, para que a premissaQ � R seja verdadeira, Q deve ser falsa. Como Q é falsa, para que a premissaP ��Q seja verdadeira, P também de ser falsa. Conclusão: P, Q, R e S são todas falsas, isto é, - Alceu não tira férias. - Brenda não fica trabalhando. - Clóvis não chega mais tarde ao trabalho. - Dalva não falta ao trabalho. Gabarito: letra C. Questão 04 RESOLUÇÃO: A proposição composta dada no enunciado e constituída pelas seguintes proposições simples: P: O dia está bonito. Q: Vou passear. R: O pneu do carro está cheio. Em símbolos, a proposição ”O dia está bonito, então vou passear se, e somente se, o pneu do carro estiver cheio” é dada por (P �Q)���R. Vimos que o número de combinações ou linhas da tabela-verdade de uma proposição composta é dado pela expressão 2N , onde N representa o número de proposições simples componentes. Como N = 3, concluímos que o número de combinações ou linhas da tabela-verdade é 23 = 8. Gabarito: letra D. Questão 05 RESOLUÇÃO: Sejam as proposições: P: O candidato A será eleito. ¬P: O candidato A não será eleito. A proposição dada no enunciado pode ser simbolicamente representada porP v ¬P. Veja a tabela-verdade: P ¬P P v ¬P V F V

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F V V Repare que, na última coluna, só temos o valorlógico Verdadeiro (V), o que caracteriza uma tautologia ou proposição logicamente verdadeira. Gabarito: letra B. Questão 06 RESOLUÇÃO: Sejam as proposições: P: Bebo líquido gelado. ¬P: não bebo líquido gelado. Q: Sinto dor de dentes. Em símbolos, a proposição ”Se bebo líquido gelado, então sinto dor de dentes” é dada por P ��Q. Das equivalências notáveis, sabemos que(P��Q)⇔(¬Pv Q). Logo, a proposição dada é equivalente a “não bebo líquido gelado ou sinto dor de dentes”. Gabarito: letra A. Questão 07 RESOLUÇÃO: Sejam as proposições: P: Mário é contador. Q: Norberto é estatístico. Queremos a negação da conjunção ”Mário é contador eNorberto é estatístico”, isto é, a negação da conjunção P ∧Q. Sabemos que a negação da conjunção é dada pela equivalência ¬(P∧Q)⇔¬Pv¬Q.Então, a negação da conjunção ”Mário é contador e Norberto é estatístico” é a disjunção ”Mário não é contador ou Norberto não é estatístico”. Mas repare que, em todas as alternativas, a negação é dada sob a forma de condicional e não de disjunção. Daí, vamos transformar a disjunção em condicional. Sabemos da seguinte equivalência (¬P v Q) ⇔(P��Q). Veja que, para transformarmos a disjunção em condicional, negamos a primeira proposião e conservamos a segunda proposição. Daí, (¬P v ¬Q) ⇔(P�¬Q). Logo, a disjunção ”Mário não é contador ouNorberto não é estatístico” pode ser escrita da forma ”Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico”. Gabarito: letra D. Questão 08 RESOLUÇÃO: A proposição ¬[[A∧(¬B)]���C] é a negação da condicional[A∧(¬B)]���C, onde o antecedente (P) é a proposição A∧(¬B) e o consequente (Q) é a proposição C. Vimos que a negação da condicional P ��Q é equivalente a P ∧¬Q, ou seja, é a conjunção do antecedente (P) com a negação do consequente (Q). Substituindo P e Q, respectivamente, por [A∧(¬B)] eC, temos que a negação de [A∧(¬B)]���C é equivalente a [A∧(¬B)] ∧(¬C), isto é, A∧(¬B) ∧(¬C). Gabarito: letra A. Questão 09 RESOLUÇÃO:

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Como o enunciado diz que a proposição”alguma professora universitária não dá aulas interessantes” não é verdade, ou seja, é falsa, concluímos que a sua negação é verdade.A negaçãode ”algumaprofessora universitária nãodáaulas interessantes” é a proposição ”todasas professoras universitárias dão aulas interessantes”. Logo, é verdade que ”todas as professoras universitárias dão aulas interessantes”. Gabarito: letra A.

Questão 10 RESOLUÇÃO:

Repare que a afirmação de Pedro é equivalente a ”É mentira que todos os aldeões daquela aldeia ficam acordados ”. Ora, se ”É mentira que todosos aldeões daquela aldeiaficamacordados”, concluímos que ”Pelo menos umaldeão daquela aldeia dorme a sexta”. Gabarito: letra C.

Questão 11 RESOLUÇÃO:

Os diagramas seguintes representam as proposições ”pelo menos um A é B” e ”todo B é C”. Repare que temos também, necessariamente, que ”algum A é C”.

Gabarito: letra C. Questão 12 RESOLUÇÃO: As três afirmações da professora podem ser simbolicamente representadas da seguinte maneira: 1) (X > Q) ∧ (Z < Y) 2) [(X > Y) ∧ (Q > y)] � Y > Z 3)( R ≠ Q) � (Y = X) Sabe-se que as três afirmações da professora são verdadeiras: • Como a afirmação 1 é verdadeira e trata-se de uma conjunção, devemos ter: X > Q é verdadeira e Z < Y (ou Y > Z) é verdadeira ( lembre-se de que V ∧ V é V). • Como a afirmação 2 é verdadeira e Y > Z é verdadeira, concluímos que a conjunção(X > Y) ∧(Q > y) também é verdadeira (lembre-se de que V� V é V). Já que a conjunção(X > Y) ∧(Q > y) é verdadeira, necessariamente X > Y é verdadeirae Q > Y é verdadeira. • Como a afirmação 3 é verdadeira e Y = X é falsa (vimos que X > Y), concluímos que R ≠ Qtambém deve ser falsa (lembre –se de que F � F é V). Como R ≠ Q é falsa, concluímos que R = Q. Resumindo, temos as seguintes verdades: X > Q, Z < Y, X > Y, Q > Y, R = Q. Arrumando de acordo com as alternativas propostas, vem:X > Q = R > Y > Z, isto é, X > R > Y > Z. Gabarito: letra B.

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Questão 13 RESOLUÇÃO:

Temos aqui um caso de diagrama de conjuntos. Veja:

TRAF ASSAS.

Temos, conforme mostra o diagrama, 3 + 4 + 1 = 8 homens que são traficantes ou assassinos. Logo, do total de 10 homens, 10 – 8 = 2não são traficantes nem assassinos.Gabarito: letra D.

Questão 14 RESOLUÇÃO:

Temos as seguintes pessoas: Léa, Mara e Lúcia. Temos os seguintes bichos de estimação: pônei, peixe e tartaruga. Temos as seguintes informações, todas verdadeiras: 1. Léa não é a dona do peixe. 2. Lúcia não é a dona do pônei. 3. A tartaruga não pertence a Mara. 4. O peixe não pertence a Lúcia.

Com base nessas informações, e sabendo que cada pessoa tem um único bicho de estimação, vamos descobrir quem é a dona de cada bicho. Vejamos: ● Como Léa não é a dona do peixe (informação 1), e o peixe não pertence a Lúcia (informação 4), concluímos que o peixe pertence a Mara(conclusão 1). ● Como Lúcia não é a dona do pônei (informação 2), e nem a dona do peixe (informação 4), concluímos que Lúcia é a dona da tartaruga (conclusão 2). ● Finalmente, por eliminação, é fácil concluirmos que Léa é a dona do pônei(conclusão 3).

● Resumindo, temos que as donas do peixe, da tartaruga e do pônei são, respectivamente, Mara, Lúcia e Léa. Gabarito: letra D.

Questão 15 RESOLUÇÃO: Sabemos, do enunciado, que existem três caixas: caixa 1, caixa 2 e caixa 3. Cada caixa contém um dos seguintes objetos: livro, caneta ou diamante. Em cada uma das caixas, existe a seguinte inscrição: ● Caixa 1: ”O livro está na caixa 3”. ● Caixa 2: ”A caneta está na caixa 1”. ● Caixa 3: ”O livro está aqui”.

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Sabe-se, ainda, que: ● A inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. ● A inscrição da caixa que contém a caneta é falsa. ● A inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. Não sabemos em que caixa se encontra cada objeto. Vamos, então, admitir as seguintes possíveis hipóteses, onde apenas uma delas é verdadeira: o diamante se encontra na caixa 1; o diamante se encontra na caixa 2; o diamante se encontra na caixa 3. ● 1ª hipótese: O diamante se encontra na caixa 1. - Lembremo-nos de que a inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. Como admitimos que o diamante se encontra na caixa 1, a indicação nessa caixa ”O livro está na caixa 3” é verdadeira. - Conclusão: o diamante está na caixa 1, o livro está na caixa 3 e, por eliminação, a canetaestá na caixa 2. Repare que a inscrição da caixa 2, que contém a caneta, é falsa, conforme o enunciado; veja também que a inscrição da caixa 3, que contém o livro, é verdadeira, conforme o enunciado, que afirma que essa inscrição poderia ser verdadeira ou falsa. Veja que nessa hipótese não há contradição. Vimos que não há contradiçãona1ª hipótese, sendo ela a única verdadeira.Poderíamos encerrar o problema por aqui, mas vamos analisar a outras duas hipóteses somente para mostrar que nelas ocorrem contradições. ● 2ª hipótese: O diamante se encontra na caixa 2. - Sabemos que a inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. Como admitimos que o diamante se encontra na caixa 2, é verdadeira a seguinte inscrição: ”A caneta está na caixa 1”. - Como o diamante está na caixa 2, e a caneta está na caixa 1, concluímos, por eliminação, que o livro está na caixa 3. - Mas repare que o enunciado garante que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, ou seja, a inscrição da caixa 1 ”O livro está na caixa 3” é falsa, o que é uma contradição, pois acabamos de deduzir que o livro está na caixa 3. ● 3ª hipótese: O diamante se encontra na caixa 3. - Sabemos que a inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. Como admitimos que o diamante se encontra na caixa 3, é verdadeira a seguinte inscrição: ”O livro está aqui”, o que é uma contradição, pois admitimos que nessa caixa 3 está o diamante e não o livro. Gabarito: letra C.

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