Roteiro de Estudos OBMEP NA ESCOLA Grupo N2 Ciclo 1€¦ · matemática através da resolução de problemas. Assim ... 2ª semana: aula para alunos ... A seguir estamos disponibilizando

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Roteiro de Estudos – OBMEP NA ESCOLA Grupo N2 – Ciclo 1

1ª semana: encontro de formação: Professores da Educação Básica e Coordenadores

Nesse encontro, antecedendo as aulas a serem ministradas aos alunos, espera-se que sejam discutidos os conteúdos, as estratégias para o desenvolvimento dos estudos e os materiais de apoio ao ensino que foram disponibilizados. Dois aspectos fundamentais devem ser enfatizados nesse encontro: - a metodologia a ser utilizada no Programa OBMEP na Escola se baseia no ensino da matemática através da resolução de problemas. Assim, a seguir foram fornecidas listas de questões, uma a cada encontro presencial, que devem ser trabalhadas junto aos alunos. Espera-se que ao longo desse trabalho uma discussão qualitativa sobre conceitos e resultados correlatos aos assuntos em foco seja estimulada; - o aluno deve ter o pleno conhecimento de que a atividade presencial é apenas o início do processo de ensino inerente ao ciclo. Não é esperado que essa atividade presencial seja amplamente abrangente e conclusiva quanto a formação do aluno em relação aos conteúdos abordados. Então, os materiais presentes no Portal da Matemática irão complementar essa ação formativa. Logo, o aluno deve ser claramente informado da existência do Portal, dos materiais complementares lá existentes e da forma de acesso a esse ambiente virtual. As atividades presenciais e virtuais se complementam e cabe ao professor enfatizar isso junto aos alunos, incentivando continuamente a participação dos alunos nas atividades presentes no Portal. Salientamos que não é aceitável atitudes que se omitam de buscar essa parceria entre ações presenciais e virtuais. - Assuntos a serem abordados:

Encontro 1: Paridade.

Representações e operações numéricas: naturais, inteiros, racionais e reais.

O sistema decimal.

Encontro 2:

Divisão Euclidiana.

Fenômenos periódicos: padrões numéricos.

Números primos e fatoração.

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- Material de apoio ao professor:

Apostila do PIC da OBMEP “Encontros de Aritmética”, F. Dutenhefner, L. Cadar. http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf - Materiais complementares presentes no Portal da Matemática:

Sobre Paridade:

Tópicos Adicionais Módulo “Sistemas de Numeração e Paridade”

(http://matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=53) videoaulas:

“Problemas envolvendo paridade”, “Problemas com dominós”, “Dominós, pesagens e

outros problemas”.

Sobre Sistema Decimal:

Tópicos Adicionais Módulo “Sistemas de Numeração e Paridade”


“Sistema de numeração decimal”.

Sobre Divisão Euclidiana:

8º Ano do Ensino Fundamental Módulo “Números Naturais: Contagem,

Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclidiana”


“Teorema da Divisão Euclidiana”.

Sobre Números Primos:

8º Ano do Ensino Fundamental Módulo “Números Naturais: Representação,

Operações e Divisibilidade”


“Números Primos: Teorema Fundamental da Aritmética”.

ENCONTRO 1 2ª semana: aula para alunos convidados

- Assuntos a serem abordados:

Paridade.

Representações e operações numéricas: naturais, inteiros, racionais e reais.

O sistema decimal.

A referência que segue será nossa fonte principal de apoio:

http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf

http://matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=53




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Apostila do PIC da OBMEP “Encontros de Aritmética”, F. Dutenhefner, L. Cadar. http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf

A seguir estamos disponibilizando uma lista com oito exercícios. O Professor deverá discutir esses exercícios com seus alunos, acompanhando e auxiliando no entendimento das estratégias de resoluções apresentadas pelos alunos. É importante incentivar o envolvimento coletivo de todos nessas discussões das resoluções, cabendo ao Professor enfatizar e aprofundar os conhecimentos matemáticos associados às questões apresentadas. Se todos os exercícios da lista forem resolvidos durante o tempo do encontro, então cabe ao professor propor exercícios adicionais sobre os assuntos abordados, nesse sentido a apostila indicada será um elemento auxiliar importante.

Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N2 – ciclo 1 – Encontro 1

Os exercícios 1, 2 e 3 objetivam explorar o conjunto dos números naturais através da

sua divisão entre números pares e ímpares. Observamos que a análise da paridade

dos números pode ser utilizada na solução de vários problemas interessantes. Os

exercícios 4 e 5 visam despertar a atenção dos alunos quanto às representações e

operações numéricas fundamentais envolvendo números naturais, inteiros, racionais e

reais. Por fim, os exercícios 6, 7 e 8, contribuem para um correto entendimento do

sistema posicional de numeração. É esperado que os alunos observem que na

representação decimal de um número, a posição de um algarismo interfere em seu

valor relativo. As soluções dos exercícios serão apresentadas ou indicadas a seguir.

EXERCÍCIO 1. Você pode encontrar cinco números ímpares cuja soma seja 100?

Justifique a sua resposta.

(Esse exercício encontra-se na apostila “Encontros de Aritmética”, página 4)

EXERCÍCIO 2. Pedro comprou um caderno com 96 folhas e numerou-as de 1 a 192.

Vitor arrancou 25 folhas do caderno de Pedro e somou os 50 números que encontrou

escritos nas folhas. Esta soma poderia ser igual a 1990? Justifique a sua resposta.


EXERCÍCIO 3. Determine a paridade do número

9992773211001321876192845 ++ .


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Sugestão: Como as potências são grandes esqueça a calculadora....incentive o aluno a

observar que a potência inteira positiva de um número mantém a sua paridade.

EXERCÍCIO 4. Na abertura de um hipermercado, os uniformes dos funcionários são

numerados conforme eles forem contratados. O primeiro a ser contratado terá

uniforme numerado com o 1, o segundo com o 2 e assim por diante com a numeração

aumentando de 1 em 1. Cada funcionário irá utilizar apenas um uniforme, com a

respectiva numeração por ele obtida no ato de sua contratação. Sabendo que há 406

funcionários e, que a cada cinco algarismos estampados sequencialmente nos

uniformes, será necessário utilizar um litro de tinta fluorescente, então quando litros de

tinta serão necessários para pintar os algarismos dos números presentes em todos os

uniformes?

EXERCÍCIO 5. Dois meses atrás o prefeito de uma cidade iniciou a construção de

uma nova escola. No primeiro mês foi feito3

1 da obra e no segundo mês mais

3

1 do

que faltava. Determine o número racional que corresponde à parte da obra que ainda

não foi construída.

(Esse exercício encontra-se na apostila “Banco de Questões 2005”, nível 2, questão 18)

EXERCÍCIO 6. Retire 10 dígitos do número 1234512345123451234512345 de modo

que o número remanescente seja o maior possível?


EXERCÍCIO 7. Encontre o menor número natural de nove algarismos cuja soma

desses algarismos seja 59. Você poderá utilizar algarismos repetidos em suas

simulações.

Sugestão: Esse número não poderá começar por zero e quanto mais zeros pudermos utilizar

melhor pois desejamos o menor número nas condições exigidas.

EXERCÍCIO 8. Considere três algarismos distintos A, 2 e C, com A e C não nulos.

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(a) Construa todos os números com dois algarismos distintos possíveis de serem

formados com os algarismos A, 2 e C.

(b) Sabendo que a soma de todos os números obtidos no item (a) é 132,

determine o valor da soma A+C.

SOLUÇÕES e COMENTÁRIOS Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N2 – ciclo 1 – Encontro 1

EXERCÍCIO 1. Suponha que existam 5 números impares cuja a soma é 100, isto é,

Como a soma de dois números ímpares é um número ímpar, temos

Como a soma de dois números pares é um número par, obtemos

Como a soma de um número par com um número ímpar é um número ímpar,

concluímos

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Portanto, concluímos que a soma de 5 números ímpares não pode ser 100, visto que

100 não é um número ímpar.

EXERCÍCIO 2. Em cada página, de um lado está escrito um número par e do outro

lado está escrito um número ímpar. Assim, Vitor somou 25 números pares (obtendo

um número par) e somou 25 números ímpares (obtendo um número ímpar). Como a

soma de um número par e um ímpar é um número ímpar, esta soma não pode ser

igual a 1990.

EXERCÍCIO 3. No primeiro parêntesis, há uma diferença entre um ímpar e um par

resultando, portanto, em um número ímpar. No segundo, há uma soma de dois

ímpares, resultando em um par. Como um número elevado a um expoente tem sua

paridade preservada (usando a sugestão), temos uma soma de um número ímpar

(primeiro parêntesis) com um par (segundo parêntesis). Disto, o número obtido ao final

é ímpar.

EXERCÍCIO 4. Analisemos as utilizações de algarismos nas numerações:

- de 1 a 9 são necessários 9 algarismos.

- de 10 a 99 temos 90 números de dois algarismos: 2x90=180 algarismos.

- de 100 a 406 temos 307 números de três algarismos: 3x307=921 algarismos.

Logo, a quantidade total de algarismos é de 921+180+9=1110. Assim, serão

necessários 2225

1110= litros de tinta.

EXERCÍCIO 5. No primeiro mês foi construído 3

1 da escola, restando assim,

3

2

3

13

3

11

da escola para serem construídos. Logo, no segundo mês foi

construído 3

1 dos

3

2restantes, isto é,

9

2

33

21

3

2

3

1

da escola. Logo, nos dois meses

foram construídos 9

5

9

23

9

2

3

1

da escola. Portanto, falta construir

9

4

9

59

9

51

da escola.

EXERCÍCIO 6. Nosso objetivo é ter o maior número possível de algarismos iguais a 5

à esquerda. Para isso podemos retirar a sequência inicial 1234, deixando um 5, isto é,

1234512345123451234512345.

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Continuando nosso raciocínio, retiramos a próxima sequência 1234, obtendo o número

1234512345123451234512345.

Está ação é possível, pois até o momento retiramos apenas 8 dígitos. Se tivéssemos

deixado algum dos algarismos diferente de 5 à esquerda, o nosso número não seria o

maior. Entretanto, não podemos obter outro 5, visto que para tanto teríamos que

retirar 12 algarismos do nosso número inicial, o que não é permitido. Assim sendo,

neste momento podemos retirar apenas 2 algarismos. Logo, retiramos os dois

próximos algarismos pequenos, isto é, a sequência 12, obtendo

1234512345123451234512345.

Portanto, o maior número que conseguimos obter retirando 10 algarismos do número

1234512345123451234512345 é o número

553451234512345.

EXERCÍCIO 7. Considere um número de 9 algarismos, conforme indicado abaixo:

__ __ __ __ __ __ __ __ __

Como queremos o menor possível, na primeira casa, da esquerda para a direita,

devemos ter 1 (0 ou 1). De fato, o algarismo 0 não pode ser escolhido, pois neste caso

o número teria oito e não nove algarismos.

Logo, começamos com o preenchimento: 1 __ __ __ __ __ __ __ __

No restante, como sobraram oito algarismos, a soma máxima possível é 8x9=72, que

supera 59. Colocamos 0 na próxima casa:

1 0 __ __ __ __ __ __ __

Sobraram agora sete algarismos, cuja soma máxima é de 9x7=63, que ainda supera

59. Com isto, procedemos como antes colocando o 0:

1 0 0 __ __ __ __ __ __

Porém, sobram seis casas somando, no máximo, 9x6=54. Portanto, não podemos

preencher com 0 a terceira casa, mas devemos preencher com 4, obtendo, ao final, o

número: 1 0 4 9 9 9 9 9 9 .

EXERCÍCIO 8. (a) Com os algarismos A, 2 e C podemos construir seis números

distintos: A2, AC, 2A, 2C, CA e C2.

(b) Utilizando a representação decimal para os números obtidos no item (a), obtemos:

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A2 = Ax10 + 2; AC = Ax10 + C; 2A = 2x10 + A; 2C = 2x10 + C; CA = Cx10 + A; C2 =

Cx10 + 2. Agora, como A2+AC+2A+2C+CA+C2 = 132, segue que 22A+22C+44=132,

o que implica que 22A+22C+44=132 22(A+C) = 88 A+C = 4.

3ª semana: Período destinado para estudo dos alunos e preparação dos professores

Em cada ciclo, a terceira semana é destinada para estudos individuais ou em grupo. Nesta semana, alunos e professores devem se dedicar para o estudo dos materiais teóricos indicados, para assistir as videoaulas e para resolver os exercícios propostos. Nesta semana não existe nenhuma aula programada e nenhum encontro entre coordenadores, professores e alunos. Esta é uma semana de estudo. Por este motivo, é muito importante que no primeiro encontro entre professores e alunos convidados, o professor passe o maior número possível de informações para os alunos, indicando apostilas, videoaulas e exercícios.

ENCONTRO 2 4ª semana: aula para alunos convidados

Assuntos a serem estudados:

Divisão Euclidiana.

Fenômenos periódicos: padrões numéricos.

Números primos e fatoração.

A referência que segue será nossa fonte principal de apoio: Apostila do PIC da OBMEP “Encontros de Aritmética”, F. Dutenhefner, L. Cadar. http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf

A seguir estamos disponibilizando uma lista com oito exercícios. O Professor deverá discutir esses exercícios com seus alunos, acompanhando e auxiliando no entendimento das estratégias de resoluções apresentadas pelos alunos. É importante incentivar o envolvimento coletivo de todos nessas discussões das resoluções, cabendo ao Professor enfatizar e aprofundar os conhecimentos matemáticos associados às questões apresentadas. Se todos os exercícios da lista forem resolvidos durante o tempo do encontro, então cabe ao professor propor exercícios adicionais sobre os assuntos abordados, nesse sentido a apostila indicada será um elemento auxiliar importante.


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Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N2 – ciclo 1 – Encontro 2

As questões 1, 2 e 3 estão associadas ao algoritmo da divisão, enfatizando operações

algébricas associadas a esse algoritmo. As questões 4 e 5 buscam integrar o

algoritmo da divisão à busca e percepção de padrões numéricos e fenômenos

periódicos. Por fim, as questões 6, 7 e 8, contribuem para o entendimento do conceito

de números primos e da possibilidade de fatoração de um número natural arbitrário

como produto de primos, estabelecendo uma primeira relação com o teorema

fundamental da aritmética. As soluções dos exercícios serão apresentadas ou

indicadas a seguir.

EXERCÍCIO 1. Efetue a divisão euclidiana nos casos que seguem, identificando os

restos:

a) de -43 por 3 ; b) de 43 por 3 ; c) de -1453 por 10000

EXERCÍCIO 2. Sabe-se que 503 e 418 deixam restos 7 e 2 quando divididos por 8,

respectivamente. Quais são os restos das divisões de 503 + 418 e 503 x 418 por 8?

Qual é o resto da divisão de 503 – 418 por 8?


EXERCÍCIO 3. O dobro de um número, quando dividido por 5, deixa resto 1. Qual é o

resto da divisão deste número por 5?


EXERCÍCIO 4. Com o intuito de organizar os documentos arquivados, o gerente de

uma empresa está numerando as caixas de documentos e colocando em várias

estantes com duas colunas de 6 prateleiras, conforme o esquema seguinte. As

estantes estão dispostas em fileiras e também são numeradas da esquerda para a

direita.

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Terminada esta organização, um funcionário precisava encontrar documentos que

estavam na caixa de número 115. Em qual estante e em qual coluna ele encontrará

esta caixa? Esta caixa estará na parte inferior ou na parte superior da estante?

EXERCÍCIO 5. As vogais ,a ,e ,i ,o u estão sendo colocadas em círculos

concêntricos sobre quatro semirretas 1, 2, 3 e 4 no sentido anti-horário conforme

mostra o esquema seguinte.

Com base na ilustração determine:

(a) a centésima vogal; (b) o número do círculo no qual a centésima vogal será colocada; (c) a semirreta no qual a centésima vogal será colocada.

EXERCÍCIO 6. Dê a fatoração em primos de 378, 1800 e 241.

EXERCÍCIO 7. Liste todos os divisores positivos do número a = 23.52.


EXERCÍCIO 8. O número 32016 – 1 é primo ou composto? Justifique a sua resposta.

Sugestão: Efetuando as operações distributivas, discuta com seus alunos a validade da

igualdade 2 31 2( ..... 1) 1 1 . n n nn x x xx x x x , em que n é um número

natural. Utilize tal igualdade com n = 2016 e x = 3.

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SOLUÇÕES e COMENTÁRIOS Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N2 – ciclo 1 – Encontro 2

EXERCÍCIO 1. O algoritmo da divisão estabelece que dados dois inteiros a e b, com a

positivo e não nulo, então existe um único par de inteiros q (quociente) e r (resto) tal

que

b = aq + r, com 0 r < a. Assim, a condição que limita a variação do resto r impõe

uma condição de este seja não negativo. Logo,

a) -43 = 3. (-15) + 2, então o resto é 2;

b) 43 = 3 . 14 + 1, então o resto é 1;

c) -1453 = 10000. (-1) + 8547, então o resto é 8547.

EXERCÍCIO 2. Observe que 503 = 8q + 7 e 418 = 8k +2, com q e k inteiros. Logo,

503 + 418 = 8 (q+k+1) +1, ou seja, o resto da divisão desse número por 8 é 1;

503 x 418 = (8q + 7) x (8k+2), efetuando as distributivas e associando

convenientemente segue que 503 x 418 = 8 {q(8k+2) + 7k + 1} + 6, ou seja, o resto da

divisão desse número por 8 é 6;

503 - 418 = (8q + 7) - (8k+2) = 8(q-k) + 5, ou seja, o resto desse número por 8 é 5.

Observe que a unicidade do resto é preponderante em todos os casos.

EXERCÍCIO 3. Existem duas soluções apresentadas na apostila PIC da OBMEP “Encontros de Aritmética”, F. Dutenhefner, L. Cadar, página 61. http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf Entendemos ser interessante discutir essas duas soluções com os alunos.

EXERCÍCIO 4. Cada estante comporta 12 caixas, para encontrar a estante

correta basta dividirmos 115 por 12, obtendo que 115 = 9 x 12 + 7, o que

significa que a caixa está na estante 9. Além disso, a caixa está na 2a coluna,

pois a primeira coluna foi preenchida com 6 caixas e a sétima caixa deve estar

alocada na próxima coluna, ou seja, 2a coluna. Logo, seguindo o padrão da

organização, a caixa está na primeira posição da 2a coluna, ou seja, está na

parte superior da estante.


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EXERCÍCIO 5. (a) Como temos 5 vogais, ao distribuí-las sobre os círculos, elas

se repetirão a cada múltiplo de 5 somado com 1, ou seja, a letra a está na

posição 1, 6, 11, ... . Desse modo, notamos que a letra a aparece na posição

101, portanto na centésima posição teremos a letra que antecede a letra a , ou

seja, teremos a letra u .

(b) Cada círculo contém 4 vogais, como temos dispostas 100 delas, então elas

ocuparão 254

100 círculos. Deste modo a centésima vogal estará no círculo de

número 25.

(c) Como cada círculo é preenchido por vogais partindo da semirreta 1 e

terminando na semirreta 4 e, além disso, como completaremos o círculo 25

com quatro vogais, então a centésima vogal pertence à semirreta 4.

EXERCÍCIO 6. Efetuando as respectivas divisões sucessivas pelos primos 2, 3,

5 e 7 encontramos que 378 = 2.33.7, 1800 = 23.32.52. O caso 241 é motivador

para se utilizar o Crivo de Eratóstenes. Observe que “se um número natural

a>1 é composto, então ele é múltiplo de algum número primo p tal que p2 a “.

Esse resultado é simples de justificar (se a é composto ele pode ser escrito na

forma a = p.b, em que p é o menor primo do qual a é múltiplo. Naturalmente p e

b são menores do que a e por sua vez b = q.k é múltiplo de algum primo q,

podendo inclusive o próprio b ser primo e nesse caso k = 1. Dessa forma, a =

p.b = p.q.k, assim q é também um fator primo de a. Portanto, p q pois p foi

escolhido como menor fator, então p2p.qa). Vale destacar que usualmente

utilizamos o resultado mencionado na seguinte forma equivalente: “é primo

todo número a que não é múltiplo de nenhum número inteiro primo p tal que p2

< a ”. Consequentemente, como 241 15,54 basta testar p = 2,3,5,7,11 ou 13.

Observe que 241 não é múltiplo de 22=4, 32=9, 52 = 25, 72=49, 112 = 121 ou

132 = 169, logo o próprio 241 é primo.

EXERCÍCIO 7. A solução do exercício é apresentada na apostila PIC da OBMEP “Encontros de Aritmética”, F. Dutenhefner, L. Cadar, página 53. http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf

Observe que não desejamos apenas a quantidade de divisores e sim a

listagem dos mesmos, então nesse momento evite falar em princípio

multiplicativo que determinaria essa quantidade sem a listagem (futuramente

poderemos explorar esse fato).


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EXERCÍCIO 8. Utilizando a igualdade sugerida segue que2016 20153 1 (3 1).(3 ..... 3 1) 2.("monstro") , ou seja, o “monstro” é um

número positivo grande que juntamente com o fator 2 irão produzir uma

decomposição do número dado. Assim, concluímos que 32016 – 1 é composto.

Existe uma resolução simples que se associa à paridade, observe: 3 é ímpar e

como potência inteira positiva de um número mantém a sua paridade, então

32016 é ímpar, por outro lado, como 1 é ímpar e diferença de ímpares é um

número par, segue que 32016 – 1 é par e naturalmente diferente de 2, portanto

composto.

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OBSERVAÇÃO: REITERAMOS A NECESSIDADE DE INCENTIVAR OS ALUNOS A

UTILIZAREM O PORTAL DA MATEMÁTICA, NELE DARÃO CONTINUIDADE AOS

SEUS ESTUDOS FAZENDO USO DE VIDEOAULAS, TEXTOS COMPLEMENTARES

E LISTAS AUXILIARES DE QUESTÕES. A NOSSA ATIVIDADE PRESENCIAL SE

CONFIGURA NUM PRIMEIRO PASSO NO PROCESSO DE ENSINO-

APRENDIZAGEM. OS ALUNOS DEVEM SER CONTINUAMENTE INFORMADOS E

MOTIVADOS À PARTICIPAREM DAS AÇÕES VIRTUAIS PRESENTES NO

PORTAL. ESPERAMOS E NECESSITAMOS QUE VOCÊ PROFESSOR NOS

AUXILIE NA DIVULGAÇÃO DO PORTAL, SOMENTE DESSA FORMA

ATINGIREMOS OS OBJETIVOS PRETENDIDOS NO PROGRAMA OBMEP NA

ESCOLA.

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