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Apresentao
Caros professores orientadores e alunos do Programade Iniciao Cientfi ca PIC da OBMEPEste um nmero especial da Revista do Professor de Matemtica RPM, elaborado para utilizao no PIC da OBMEP a ser realizado a partir do primeiro semestre de 2014.
A RPM, como seu nome diz, uma revista dedicada aos professores de Matemtica da educao bsica, a alunos e professores de cursos de licenciatura em Matemtica e a todos aqueles que se interessam pela Matemtica do nvel mdio. O tratamento dado aos temas abordados procura ser acessvel e agradvel, sem sacrifi car o rigor. A revista uma publicao da Sociedade Brasileira de Matemtica SBM e tem sido editada e distribuda sem interrupes desde 1982.
A revista publica crnicas, artigos e sees, como Problemas, O leitor pergunta, Livros, Olhando mais de cima, etc. Nos artigos, temas interessantes de nvel elementar ou avanado so apresentados de modo acessvel ao professor e ao aluno do ensino bsico ou de cursos de Licenciatura em Matemtica. Uma experincia interessante em sala de aula, um problema que suscita uma questo pouco conhecida, uma histria que merea ser contada ou at uma nova abordagem de um assunto conhecido. Nas sees, a revista conversa com o leitor, publicando problemas e/ou solues propostas por eles, cartas, resenhas de livros, erros encontrados em textos didticos, etc.
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Contedo
Atividades em sala de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 05Um jogo aritmtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Seis problemas no triviais equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16O menino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22O problema dos cinco discos: sorte ou sabedoria? . . . . . . . . . . . . . . . 26 Calculadora padro: um problema interessante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Uma equao interessante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Painis Painel I
O nmero 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Painel II
Sexta-feira 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Painel III
O jogo de bilhar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Painel IV
Codi cando e decifrando mensagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Painel V
Qual a relao entre os nmeros 102.564 e 410.256? . . . . . . . . . . . . . . . 49Painel VI
Uma demonstrao visual para a frmula do sen(A + B) . . . . . . . . . . . . . 51Painel VII
Valores irracionais de funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Painel VIII
Mgica com nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Painel IX
Destreza ou esperteza? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Painel X
Determinante para fatorar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Funes interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60A formiga inteligente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66A demonstrao feita por Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
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Para este exemplar especial, o Comit Editorial da RPM escolheu artigos que pretendem ampliar o conhecimento dos alunos em diferentes tpicos, bem como temas que motivem discusses ou satisfaam curiosidade terica e histrica de alunos interessados em Matemtica. Alm disso, publicamos vrias propostas de atividades que podem ser aplicadas nas salas de alunos de ensino fundamental e mdio. As atividades tentam despertar a curiosidade dos alunos para tpicos importantes da Matemtica que so explicitados nas justifi cativas dos procedimentos propostos.
Apresentamos tambm uma seo Problemas com: Problemas I: problemas interessantes com nmeros primos.Problemas II: uma seleo de problemas extrados do PISA (Programme for International Student Assessment Programa Internacional de Avaliao de Alunos).Problemas III: vinte problemas selecionados entre os publicados na seo Problemas da RPM, que abrangem a maioria dos tpicos da educao bsica.
As solues dos problemas propostos esto no fi nal deste fascculo.
Os artigos aqui publicados no apresentam as referncias bibliogr-fi cas, citaes ou agradecimentos que constam nos artigos originais da RPM.
Comit Editorial da RPM
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Atividades em sala de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 05Um jogo aritmtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Seis problemas no triviais equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16O menino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22O problema dos cinco discos: sorte ou sabedoria? . . . . . . . . . . . . . . . 26 Calculadora padro: um problema interessante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Uma equao interessante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Painis Painel I
O nmero 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Painel II
Sexta-feira 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Painel III
O jogo de bilhar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Painel IV
Codifi cando e decifrando mensagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Painel V
Qual a relao entre os nmeros 102.564 e 410.256? . . . . . . . . . . . . . . . 49Painel VI
Uma demonstrao visual para a frmula do sen(A + B) . . . . . . . . . . . . . 51Painel VII
Valores irracionais de funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Painel VIII
Mgica com nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Painel IX
Destreza ou esperteza? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Painel X
Determinante para fatorar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Funes interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60A formiga inteligente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66A demonstrao feita por Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
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A Matemtica da folha de papel A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Retngulo ureo, diviso urea e sequncia de Fibonacci . . . . . . . . . 82Usando Geometria para somar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Mdias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Problemas diversos resolvidos com Geometria Analtica . . . . . . . . 112A sombra do meu abajur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Ilha do tesouro. Dois problemas e duas solues . . . . . . . . . . . . . . . 125Qual mesmo a defi nio de polgono convexo? . . . . . . . . . . . . . . . 129A soluo de Tartaglia para a equao do 3o graue a emergncia dos nmeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Grandezas incomensurveis e nmeros irracionais . . . . . . . . . . . . . 153A outra face da moeda honesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Nmero de regies: um problema de contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Intuio e Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Problemas I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Problemas II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Problemas III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Soluo dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
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Atividades em sala de aula
Aprende-se Matemtica fazendo Matemtica.Apresentamos aqui dois grupos de atividades quepermitem a alunos do ensino fundamental fazerMatemtica. As folhas contendo as atividades foramcopiadas de nmeros da revista The MathematicsTeacher* (O professor de Matemtica).No incio da primeira atividade, alguns exemplos podemser feitos coletivamente. Ao fim de cada atividade interessante comparar os resultados obtidos pelos alunosreforando o fato de que um mesmo problema pode tervrias solues.O primeiro grupo de atividades trabalha as operaesaritmticas com nmeros inteiros. O segundo grupo deatividades trabalha com visualizao de figuras no espao,permitindo aos alunos descobrir padres e fazerconjecturas. As primeiras partes podem ser aplicadas emsalas do ensino fundamental e a parte final no ensinomdio, explorando generalizaes e suas representaesalgbricas.
Na pgina 15 deste exemplar est uma soluo de cadaproblema proposto no Primeiro grupo.
* Publicao do National Council of Teachers of Mathematics NCTM, Reston, Virginia, USA.
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Primeiro grupo: atividades I, II e III.I. Instrues Em cada linha h 5 nmeros e um sexto nmero, chamado total.
Coloque os sinais +, , , e parntesis, colchetes, chaves, demodo que o resultado das contas indicadas seja o total.
Os 5 nmeros devem ser usados, cada um deles uma s vez, emqualquer ordem.
Exemplo: 7, 8, 1, 9, 9 total: 16.Uma soluo: (9 9) (7 + 8 + 1) = 16.
1. 1, 5, 3, 6, 10 total: 5
2. 8, 11, 9, 1, 8 total: 2
3. 11, 10, 15, 20, 3 total: 6
4. 12, 18, 3, 11, 12 total: 8
5. 4, 16, 10, 24, 25 total: 1
6. 17, 14, 7, 17, 13 total: 7
7. 2, 9, 5, 9, 4 total: 22
8. 3, 6, 10, 5, 7 total: 2
9. 8, 6, 11, 5, 21 total: 7
10. 6, 1, 2, 2, 17 total: 8
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II. Instrues Trabalhe com os nmeros 11, 14, 3, 19 e 9. Coloque os sinais +, , , e parntesis, colchetes, chaves, para
obter todos os nmeros de 1 at 11. Os nmeros 11, 14, 3, 19 e 9 devem ser usados, cada um deles uma
s vez, em qualquer ordem.
1. (11 + 14 19 + 3) 9 = 1
2.
3.
4.
5.
6. 11 [(19 + 9) 14 + 3] = 6
7.
8.
9.
10.
11. [9 (19 14) 3] 11 = 11
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III. Instrues Trabalhe com os nmeros 2, 3, 5, 7 e 11. (Observe que so os cinco
primeiros nmeros primos.) Coloque os sinais +, , , e parntesis, colchetes, chaves, para
obter os nmeros pedidos nos itens de 1 a 10 abaixo. Os nmeros 2, 3, 5, 7 e 11 devem ser usados, cada um deles uma s
vez, em qualquer ordem.
1. Escreva (seguindo as instrues) o menor primo mpar.3 = [(2 5) + (7 3)] 11
2. Escreva o menor nmero natural mpar.
3. Escreva o menor nmero natural primo.
4. Escreva o menor nmero natural composto.
5. Qual o maior nmero natural composto que voc consegue escrever?
6. Qual o maior nmero natural mpar que voc consegue escrever?
7. Escreva o menor nmero natural que voc consegue achar, usandouma s vez cada uma das operaes.
8. Determine e escreva o maior nmero natural par possvel, usandouma s vez cada uma das operaes.
9. Escreva um nmero natural usando apenas subtraes.
10. Determine e escreva o maior nmero primo possvel obedecendo sinstrues.
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Segundo grupo Descobertas com cubos: atividades I, II, III e IVDescrio
Um cubo grande, decomposto em cubos pequenos, mergulhadonuma lata com tinta. Pergunta-se quantas faces dos cubos pequenosficaro pintadas.
ObjetivosEstudantes visualizaro figuras no espao, construiro uma tabela,
descobriro padres na tabela e, usando esses padres, faro conjeturas.Diretrizes
Distribuir para cada aluno folhas com as atividades ou coloc-lasno quadro-negro. Sugere-se dividir a classe em grupos de dois alunos,deixando-os trabalhar juntos.
Aps completar a atividade I, os estudantes devem registrar seusresultados na tabela (atividade III). Certifique-se de que todos osestudantes tm os valores corretos, pois conjeturas sero feitas a partirdos dados da tabela. Poucos estudantes conseguiro completar a tabelapara um cubo 10 10 10, a menos que algum padro tenha sidoidentificado (atividade IV). Pergunte: Existem constantes em umacoluna? Existem mltiplos?. Sugerir aos alunos que procurem fatorescomuns vai ajud-los a reconhecer padres. Por exemplo, 0, 6, 24, 54 e96 so as 5 primeiras entradas em uma das colunas. Um padro torna-semais visvel se esses nmeros forem escritos como 0, 6 1, 6 4,6 9 e 6 16.I. Responda s perguntas a seguir para cada um dos cubos das figuras 1,
2, 3 e 4.a) Quantos cubos pequenos h no cubo grande?
Se esse cubo maior for jogado numa lata de tinta e totalmentesubmerso:b) Quantos cubos pequenos tero 3 faces pintadas?c) Quantos cubos pequenos tero 2 faces pintadas?d) Quantos cubos pequenos tero 1 face pintada?e) Quantos cubos pequenos tero 0 face pintada?
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f) Qual a soma de suas respostas em b), c), d) e e)?
II. Complete a figura 5, desenhando um cubo 6 6 6. Respondanovamente s perguntas a), b), c), d), e), e f).
III. Agora registre as informaes na tabela abaixo. Considerando, emcada caso, o lado dos cubos pequenos como unidade.
Comprimento dolado do cubo
maior
nmero de cubos pequenoscom faces pintadas
0 1 2 3 4
nmero totalde cubospequenos
23456
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IV. Voc observa padres na tabela? Em caso afirmativo, complete atabela para um cubo 7 7 7. Em caso negativo, desenhe o cubo eento complete a tabela.
Voc realmente pegou o jeito? Se voc acha que sim, complete atabela para um cubo 10 10 10.Eis uma questo que pode ser usada para culminar essa atividade:Seja n o comprimento de um lado do cubo. Quando voc completarna tabela a linha correspondente a n, a soma dos valores dessalinha ser n3?
Nota do tradutorPara completar a tabela para um cubo de lado n, pode-se considerar
o cubo grande como sendo formado por n camadas horizontais. Cadacamada um quadrado n x n . Nos esboos abaixo, o nmero em cadacubo pequeno indica quantas de suas faces ficam pintadas aps a imersodo cubo na lata de tinta:
faces pintadas 0 1 2 3camadas sup. e inf. 2(n 2)2 8(n 2) 8camadas intermedirias (n 2)3 4(n 2)2 4(n 2)total (n 2)3 6(n 2)2 12(n 2) 8
Adaptado do artigoAtividades em sala de aula
Renate Watanabe, RPM 61
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Um jogo aritmtico
IntroduoComo seria bom se pudssemos fazer da Matemtica umafonte de prazer ainda maior do que ela j . Isso possvelse tivermos como aliado um poderoso recurso ldico: ojogo. Proponho aqui um jogo aritmtico, que muito fcilde aprender, e pode ser jogado por duas ou mais pessoas.A idia sortear um nmero que, em seguida, deve serobtido de outros, atravs das quatro operaes. Pararepresentar os inteiros usamos as cartas de um baralhocomum, com exceo dos coringas. O s (A), o valete(J), a dama (Q) e o rei (K) representam os nmeros 1, 11,12 e 13 respectivamente.
Formando nmerosEstamos acostumados ao clculo de expresses aritm-ticas, isto , dada uma expresso envolvendo nmeros eoperaes matemticas, encontrar o nmero que lhecorresponde. Aqui se pede a soluo do problema rec-proco: dado um nmero, encontrar uma expresso aritm-tica que corresponde a esse nmero. No jogo s permi-tido o uso das 4 operaes aritmticas bsicas (adio,subtrao, multiplicao e diviso) e de parnteses. Porexemplo, com os nmeros 2, 5, 7, 8 e 11, alguns dosnmeros que podemos formar so:
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19 = 11 + 833 = (5 2) 1164 = (8 2) (5 + 11)81 = 2 5 7 + 1180 = ((5 2) 7 11) 8100 = (7 + 2 + 11) 5
Note que:1. No necessrio usar todos os inteiros disponveis;2. O uso de parnteses no tem restries. Podemos tambm usar
parnteses encaixados como na expresso do nmero 80;3. S podemos usar cada inteiro disponvel uma nica vez;4. No se pode formar nmeros por justaposio, isto , com o 5 e o 2
no podemos formar nem o 25 nem o 52.
Na prtica, no precisamos escrever a expresso usando parnteses.Para formar o 80, declaramos: 5 menos 2 3; 3 vezes 7 21; 21 menos11 10; 10 vezes 8 80. Para formar o 64, declaramos: 8 dividido por 2 4; 5 mais 11 16; 4 vezes 16 64.
O que necessrio1. Um baralho (descartam-se os coringas);2. Cada jogador pode, se julgar necessrio, ter caneta ou lpis e uma ou
mais folhas de papel.
Incio do jogoColocamos o baralho na mesa, com as cartas voltadas para baixo,
num monte, de modo que no se possa ver que nmeros representam.Escolhe-se de comum acordo um participante para iniciar a rodada. Entoos itens 1, 2 e 3 a seguir devem ser repetidos at que haja um vencedor.O jogo1. Escolhemos a carta de cima do monte e multiplicamos seu valor por
13: em seguida, somamos o resultado do produto ao valor de umasegunda carta retirada de cima do monte. Obteremos um nmeroentre 14 a 182 (13 1 + 1 = 14 e 13 13 + 13 = 182). Esse onmero que deve ser formado na rodada. As duas cartas tiradas vopara baixo do monte;
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2. O jogador da vez retira uma carta de cima do monte e a pe com onmero para cima, no centro da mesa, ou ao lado da ltima cartaretirada;
3. Ele ento faz suas anotaes e clculos, e ter duas opes:a) Formar o nmero sorteado ganhando a rodada (1 ponto). Nesse
caso, o jogador da vez passa a ser aquele que est sua esquerdae colocam-se as cartas retiradas debaixo do monte. A partir daqui,precisa-se sortear um novo nmero, portanto retorna-se ao item 1para o incio de outra rodada;
b) Passar a vez ao jogador da sua esquerda. Em seguida d-seprosseguimento rodada retornando-se ao item 2.
Quem vencer um total de 3 rodadas primeiro vence o jogo. Enquantoisso no ocorrer, repetem-se os itens 1, 2 e 3 sucessivamente.
Um exemploO primeiro jogador, A, tira a carta de cima do monte, digamos, 5 e a
carta seguinte, uma dama. Ento, o nmero a ser formado na rodadaser 13 5 + 12 = 77. As duas cartas tiradas vo para baixo do monte.O segundo jogador, B, tira a carta de cima do monte, digamos 8 e acoloca aberta na mesa. No d para formar 77 com o nmero 8. Elepassa a vez para A (se o jogo s tiver dois jogadores), que tira, digamos,6. Com 8 e 6 e as quatro operaes ainda no d para obter 77. O 6 ficaaberto na mesa e A passa a vez para B que tira, digamos, um valete. Com6, 8 e 11 no d para obter 77. a vez de A que tira, digamos, 3.
A dois casos podem ocorrer:(1) A percebe que 6 11 + 8 + 3 = 77. Ento a rodada termina, A ganha
1 ponto, as cartas vo para baixo do monte e tudo comea de novocom B tirando as duas cartas de cima do monte para obter um novonmero.
(2) A no percebeu que podia obter 77 com as cartas da mesa e passa avez para B. Se B obtiver o 77, ele que ganha um ponto e uma novarodada se inicia. Se B no obtiver o 77, ele tira mais uma carta domonte e assim, sucessivamente, at que um dos jogadores conseguirformar o 77 com as cartas que esto abertas na mesa.
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ConclusoTenho jogado com amigos j h algum tempo. Estou convencido de
que esse um jogo intelectualmente estimulante e muito agradvel. claro que existem muitos jogos com essas qualidades, mas esse tem avantagem de ser matematicamente educativo. Alm disso, uma formade viver a Matemtica, interagir com ela, senti-la, toc-la. Tambm estoucerto de que podemos criar jogos matemticos que trabalhem acompreenso de teoremas e suas demonstraes, bem como suasaplicaes na resoluo de problemas..., mas esse j um outro assunto...
Adaptado do artigoUm jogo aritmtico
Eric Campos Bastos Guedes, RPM 55.
I 1. 10 (6 + 3 + 1) + 5 2. 11 + 1 9 (8 8) 3. 11 [(20 15) 3 10] 4. (11 + 3) 12 + 18 12 5. (4 + 16) 10 (25 24) 6. 17 17 + (14 13) 7 7. (9 9) + ( 5 4) + 2 8. (7 6) + [3 (10 5)] 9. 5 [(11 + 21) 8] + 610. (17 1) [(6 2) 2]
II 2. 9 {14 [(19 + 3) 11]} 3. {11 [(19 + 9) 14]} 3 4. 19 9 + 11 14 3 5. 9 {14 [(11 + 19) 3]} 7. 14 {[(3 + 19) 9] 11} 8. 9 [(11 3) (14 + 19)] 9. 11 3 (14 + 19) + 910. 19 9 + 11 14 + 3
III 2. 1 = 5 [( 11 + 3) 7 + 2] 3. 2 = [(5 + 3) (11 7)] 2 4. 4 = [(5 + 3) (11 7)] 2 5. 2 3 5 7 11 = 2310 6. 11 7 5 (3 + 2) = 1925 7. 0 = [(11 + 3) 2 7] 5 8. [(11 3) (5 + 7)] 2 = 48 9. 5 {3 [(11 2) 7]} = 410. 11 7 5 3 2 = 1153
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Respostas das Atividades Primeiro grupo
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Seis problemasno triviais equivalentes
Neste artigo dois problemas sero chamados equivalentesse sua resoluo fizer uso do mesmo tipo de Matemtica.Problemas equivalentes evidenciam talvez a qualidademais importante da Matemtica: a possibilidade de umconceito terico ser usado como modelo para muitasidias diferentes. fcil produzir exemplos.Se o conceito terico for combinaes, como emProbabilidade, essa ideia tambm pode ser usada paradeterminar as leis de Mendel em Biologia, para calcularcoeficientes binomiais, para calcular certas probabili-dades em jogos de baralho, para achar o nmero depolgonos de vrios tipos que tenham pontos arbitrrios,como vrtices, e assim por diante, quase que indefini-damente.Mas difcil produzir bons exemplos quando se desejamproblemas equivalentes em uma escala muito menor, ondemesmo tipo de Matemtica no significa Matemtica deum mesmo campo, ou de um mesmo tpico dentro deum campo ou assunto que usem as mesmas ideias.Especificamente tentei encontrar problemas satisfazendoas seguintes condies:1) Os problemas deveriam ser matematicamente
idnticos at nos nmeros usados na sua resoluo.
O poder da Matemtica de relacionar o queaparentemente no tem relao.
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2) At que uma resoluo fosse examinada, nada no problema deveriaindicar que o mesmo tipo de Matemtica pudesse ser usado. Assimos problemas deveriam, na medida do possvel, vir de tpicostotalmente desvinculados dentro da Matemtica ou dentro deaplicaes da Matemtica.
3) Os problemas deveriam estar no mbito da Matemtica do ensinofundamental ou ensino mdio, quanto mais simples, melhor.
Problemas
1. Expresse 12
como soma de duas fraes de numerador 1 (fraes do
tipo 1n , n um inteiro positivo).
2. Ache todos os retngulos cujos lados tenham por medida nmerosinteiros e que tenham rea e permetro numericamente iguais.
3. Quais pares de inteiros positivos tm mdia harmnica igual a 4?4. Ache os possveis pares de inteiros cujo produto seja positivo e igual
ao dobro de sua soma.5. Dado um ponto P, ache todos os n tais que o espao em torno de P
possa ser coberto, sem superposio, por polgonos regulares,congruentes, de n lados.
6. Para quais inteiros positivos n > 2, o nmero 2n divisvel porn 2?Para mostrar a equivalncia, verificaremos que os seis problemas se
reduzem resoluo de uma equao que a caracterizao do primeiro.
Reduo dos problemas a uma equaoProblema 1
Se 12
for a soma de duas fraes de numerador 1 ento 12
1 1= +p q
,
onde p e q so inteiros positivos. (A equao ser resolvida mais
adiante.)
18
RPM
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BMEP
Problema 2Sejam a e b o comprimento e a largura do retngulo procurado. Comoa rea e o permetro so numericamente iguais, temos:
2a+ 2b = ab2(a + b) = aba bab
a b
+=
+ =
12
1 1 12.
Como a e b devem ser inteiros e positivos essa ltima equao tem amesma forma que a equao do Problema 1.
Problema 3
A mdia harmnica de dois nmeros x e y 2xyx y+
.
Sejam x e y inteiros positivos. Das condies dadas:
2 4
2
12
xyx yxyx yx yxy
+=
+=
+= .
A ltima equao tem a mesma forma que a equao na 3a linha doProblema 2 e assim se reduz equao do Problema 1.
Problema 4Sejam x e y dois inteiros, z o seu produto, z > 0. Os nmeros x e ydevem ser positivos pois a sua soma e produto so positivos. Das
condies dadas obtm-se xy = z e x y z+ =2
. As condies juntas
implicam: x y xy x yxy
+ = +
=
212
.
19
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BMEP
Essa ltima equao idntica equao da ltima linha do Problema 3e assim reduz-se equao do Problema 1.
Problema 5Este o problema mais difcil de caracterizar. Seja k o nmero depolgonos com vrtice em P. Se os polgonos no se sobrepuserem,forem regulares e congruentes, utilizando a notao da figura abaixo,
obter-se-: 1 2 360= = = =... k k em graus.
Mas os ai so medidas de ngulos de polgonos regulares de n lados,portanto
i n n=( )2 180
1 < i < k.
Temos ento:
360 2 180
2 2k
nn
knn
=
=
( )
( )
2n = (n 2)k2n + 2k = nk.
Das condies do problema segue-se que n e k devem ser inteirospositivos e portanto essa equao tem a mesma forma que a da primeiralinha do Problema 2.
Problema 6Se 2n divisvel por n 2 ento 2n = (n 2)k, onde k um numerointeiro. Essa equao idntica a uma das equaes do Problema 5 eportanto se reduz do Problema 1.
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Equao diofantinaAssim, os seis problemas podem ser resolvidos considerando-se a
equao do Problema 1. Devido s condies, essa equao umaequao diofantina e sua soluo interessante.
1. Seja 12
1 1= +p q
onde p e q so inteiros positivos.
2. impossvel termos 14
1>p
e 14
1>q
(pois a soma no chegaria a
ser 12
) e assim pelo menos uma das fraes 1p
ou 1q
deve ser maior
do que ou igual a 14
. Suponham os 1 14p
.
3. Ento p = 1, 2, 3 ou 4.
4. pq
q= = + = 1 121 1 2 o que no possvel pois q posi-
tivo; pq q
= = + =2 12
12
1 1 0 , que no tem soluo;
p = 3 q = 6;p = 4 q = 4.
5. Por causa da simetria de p e q na equao original, obtemos resultados
correspondentes se 1 14q
.
6. Portanto temos 3 solues:(p, q) = (3, 6); (p, q) = (4, 4); (p, q) = (6, 3).
SoluesTodos os problemas esto agora resolvidos.
Problema 1 A resposta 12
1316
14
14
1613
= + = + = + .
21
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Problema 2 Existem dois retngulos satisfazendo as condies dadas:um 4 4 e o outro, 3 6.Problema 3 Duas respostas: 4 e 4 ou 3 e 6 so pares de inteiros cujamdia harmnica 4.Problema 4 Os pares so idnticos ao do problema 3.Problema 5 Os nicos polgonos regulares congruentes que, semsuperposio, cobrem o espao em torno de P (e assim cobrem o plano)so os polgonos de 3 lados (seis tringulos eqilteros em torno de P),os de 4 lados (quatro quadrados em torno de P) e os de 6 lados (trshexgonos regulares em torno de P), como se v na figura.
Seis tringulos, quatro quadrados, trs hexgonos.
Problema 6 A resposta : n 2 um divisor de 2n quando n = 3,n = 4 ou n = 6. (A condio n > 2 no problema original garante sern 2 positivo. Sem essa condio existiriam as solues n = 1, n = 0ou n = 2).ResumoOs seis problemas formam um grupo de problemas, no triviaisequivalentes que podem ser usados em classes de ensino fundamental emdio. fcil desenvolver outros grupos de problemas mais apropriadospara o uso em lgebra Elementar ou Geometria. Tais grupos deproblemas podem ser usados para demonstrar o poder de um pouco deMatemtica abstrata na resoluo de exerccios que, primeira vista,pareciam no relacionados.
Adaptado do artigoSeis problemas no triviais equivalentes
Zalman Usiskin, RPM 04.
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O menino
No havia sada. Teria que esperar por trs horas oprximo vo para Salvador. Arquiteto por formao eprofisso, tinha que apresentar um projeto na manhseguinte, numa cidade prxima capital da Bahia.Assentei-me como pude. Teria que olhar para aquelerelgio pendurado no teto por trs horas. Como se nobastasse, o relgio registrava os segundos. Relgios queregistram segundos demoram mais que os que no ofazem.Alguns apelam para palavras cruzadas, outros giram ospolegares e eu, como o vcio do cachimbo entorta a boca,trao em folhas de papel as formas que se me apresentamno ambiente que alcanado pelas retinas. Lpis e papelna mo, registrava dois lances de escada e uma escadarolante que surgiram a minha frente. Mal traara asprimeiras linhas, deparei-me com uma questo que meintrigou: quantos degraus deveria desenhar na escadarolante? Em vo, tentei contar os degraus visveis. Se aescada parasse, poderia cont-los. Tive mpetos de apertaro boto vermelho prximo ao corrimo, onde se liaPARAR. Meu censurador no permitiu que o fizesse.Fiquei ali, inerte, com o cachimbo na mo e sem poderfumar.
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Um menino sentou-se ao meu lado, brincando com uma bola. Semtirar os olhos da bola, ela disse em voz clara e pausada:
Pepino no parece inreal?
Olhei-o, ligeiramente, com o canto dos olhos e, sem nada dizer,retornei ao meu cachimbo apagado. Alguns instantes depois, senti minhacamisa ser puxada e escutei novamente:
Pepino no parece inreal?
Dessa vez, com uma mo segurando a bola e com a outra puxando aminha camisa, ele me olhava firmemente.
No inreal, irreal.
Pois , no parece?
Aquela insistncia irritou-me. Eu, diante do mais intrincado problemada existncia humana quantos degraus ficam visveis quando a escadarolante pra e aquele menino me questionando sobre a realidade deum pepino! Tentando dissuadi-lo, resolvi apresentar-lhe a complexidadedo problema que me afligia.
Olha, menino, estou tentando desenhar aquelas escadas e no seicomo acabar o desenho da escada rolante. Quantos degraus devodesenhar? Meu desenho est parado e a escada est subindo. Se a escadaparasse de repente, quantos degraus ficariam visveis?
Sem nada dizer, colocou a bola sobre a cadeira, subiu e desceu aescada (que sobe). Apontando para o relgio, disse:
Eu deso a escada duas vezes mais rpido do que subo.
E repetiu sua viagem ao vo da escada, mostrando-me que, no mesmotempo em que dava um passo para subir, dava dois para descer.Novamente sem nada dizer, comeou a subir a escada rolante, contandoos passos: um, dois, trs, ..., num total de vinte passos. Do alto da escada,olhou-me como quem estivesse fazendo a mais bvia das coisas, ecomeou a descer a mesma escada rolante, contando os passos: um,dois, trs, ..., num total de trinta e cinco passos.
Em seguida tomou o lpis e o papel de minhas mos e completou,com traos infantis, o meu desenho.
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Nenhum censurador poderia me conter. Levantei-me bruscamente eapertei o boto vermelho. Ansioso, comecei a contar os degraus. Parameu espanto, correspondia ao desenho do menino. Com a maior seriedadeque j tive em minha vida voltei-me para o menino e perguntei-lhe:
Por que o pepino parece inreal?
Quantos degraus o menino desenhou?Vamos resposta:
Vamos tomar como unidade de tempo o tempo no qual o menino dum passo subindo a escada. Seja n o nmero de degraus da escada rolanteque desaparecem (ou surgem) na unidade de tempo. Como o meninodeu 20 passos para chegar ao topo da escada, ele demorou 20 unidadesde tempo.
Isso significa que desapareceram 20n degraus. Chamando de N onmero de degraus visveis, temos:
N = 20 + 20n ou n N= 2020
. (1)
O menino deu 35 passos para descer a escada rolante (que sobe).Lembremos que a frequncia de seus passos duas vezes maior nadescida que na subida. Ou seja, o tempo de dar dois passos descendo igual ao de um passo subindo. Cada passo na descida demora 1
2 da
unidade de tempo.
Ele demorou 352
unidades de tempo para descer a escada. Isso
significa que surgiram 352n
degraus novos. Assim,
N n= 35 352
ou n N= 70 235
. (2)
Igualando (1) e (2):N N
=
2020
70 235
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35N 700 = 1400 40Nou
75N = 2100, de onde
N = =210075
28
O menino desenhou 28 degraus.
Adaptado do artigoO menino
Ledo Vaccaro Machado, RPM 42.
DesafioDistribuir os nmeros de 1 a 9 dentro dos pontos brancos (de interseco),sem repetir, de forma que a soma dos nmeros pertencentes circun-ferncia externa seja exatamente igual soma dos nmeros pertencentesa cada uma das circunferncias internas.
Resposta na pgina 171.
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O problema dos cinco discos:sorte ou sabedoria?
Neste artigo queremos mostrar uma curiosidade sobre oantigo problema dos cinco discos. A mais belaapresentao desse problema encontra-se em O homemque calculava (Tahan, Malba 32a edio. Record, Riode Janeiro, 1986). Nele contada uma lenda onde trsprncipes muito sbios e conhecedores da Matemticaque pretendiam casar-se com a princesa Dahiz, filha dorei Cassim.A prova dos cinco discos foi proposta por um grandesbio da corte para decidir qual dos trs pretendentes erao mais inteligente.Foram mostrados aos prncipes cinco discos, sendo doispretos e trs brancos, todos de mesmo peso e tamanho.Em seguida vendaram-lhe os olhos e, ao acaso, foipendurado um desses discos s costas de cada um dostrs. Disse o rei: Cada um de vs ser interrogadoparticularmente e aquele que descobrir a cor do discoque lhe coube por sorte, ser declarado o vencedor. Oprimeiro a ser interrogado poder ver os discos dosoutros dois, ao segundo ser permitido ver o disco doterceiro, e o terceiro ter que formular a resposta semver nada. Aquele que der a resposta certa ter quejustific-la.
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Aconteceu ento que o prncipe Camoz quis ser o primeiro. Viu osdois discos dos seus adversrios e errou. Em seguida, sabendo queCamoz havia errado, o prncipe Benefir se prontificou em ser o segundo,mas tambm errou. Aradim, o terceiro prncipe, acertou com absolutasegurana. Qual foi a resposta do prncipe Aradim e como ele descobriu?
Esse o problema dos cinco discos. Malba Tahan d uma inteligentesoluo desse problema, onde conclui tambm que Aradim foiconsiderado o mais inteligente entre os trs prncipes.
Eis a soluo de Malba Tahan: o prncipe Aradim afirmou que o seudisco era branco e justificou da seguinte maneira: Se Camoz (o primeiroa falar) tivesse visto dois discos pretos, ele obviamente teria acertado.Como ele errou, conclui-se que viu dois discos brancos, ou um preto eum branco. Na hiptese de Benefir ter visto em minhas costas um discopreto, ele (usando o mesmo raciocnio que fiz com relao a Camoz)teria acertado. Logo, ele s pode ter visto um disco branco e, portanto, omeu disco branco.
A curiosidade que pretendemos apresentar que, sob o ponto devista matemtico e levando em conta somente o acerto da cor do disco,a chance de erro dos dois anteriores era bem pequena, o que tornadiscutvel a concluso de que Aradim fosse mais inteligente que Camozou Benefir.
Com efeito, vamos calcular as probabilidades de acerto da cor dodisco de cada um dos trs prncipes, levando em conta que todos elesso sbios.
As possveis distribuies dos discos
Sejam b = (disco branco) e p = (disco preto). Por simplicidadeescrevemos
A = Aradim, B =Benefir e C = Camoz.
Ento a ordem em que os prncipes se apresentaram para sereminterrogados pode ser representada por uma terna ordenada (C, B, A).
A ttulo de exemplo, perguntamos quantas maneiras diferentes podemC possuir disco branco, B possuir disco preto e A possuir disco preto?Isto , de ocorrer (b, p, p).
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Sabemos que existem trs discos brancos b1, b2 e b3 e dois discospretos p1 e p2. Por uma simples contagem, obtemos seis maneirasdiferentes de ocorrer (b, p, p), a saber:
(b1, p1, p2), (b1, p2, p1), (b2, p1, p2), (b2, p2, p1),(b3, p1, p2) e (b3, p2, p1).
claro que o nmero total de maneiras em que podem ser distribudosos discos aos prncipes A5, 3 = 60. Descrevendo esses casos, obtemos:
Eventos FrequnciaE1 = (b, b, b) 6E2 = (p, b, b) 12E3 = (b, p, b) 12E4 = (b, b, p) 12E5 = (p, p, b) 6E6 = (p, b, p) 6E7 = (b, p, p) 6
Lembretesa) Se os conjuntos unitrios de um espao amostral finito U tm todos
a mesma probabilidade, ento a probabilidade de um evento Aqualquer de U ser dada por:
P A n An U
( ) ( )( )
=
onde n(A) o nmero de elementos do evento A e n(U) onmero total de elementos do espao amostral U.
b) Nas mesmas condies de a), se A1, A2, ..., An so eventos disjuntosentre si,
P A A A n A n A n An Un
n( ... ) ( ) ( ) ... ( )( )1 2
1 2 =+ + +
.
Como o problema afirma que a escolha dos discos feita ao acaso,segue-se que o espao amostral associado ao problema satisfaz ascondies necessrias para a validade de a) e b). No difcil verificartambm que o acerto da cor do disco admite uma estratgia que maximiza
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a probabilidade de vitria de cada concorrente e garante, comprobabilidade 1, a existncia de um vencedor, que certamente ser nicouma vez que o processo terminaria no momento em que um dosconcorrentes acertasse a cor do seu disco. Como os concorrentessupostamente so sbios, razovel admitir que eles seguiro a melhorestratgia em cada situao e portanto teremos
P(C) + P(B) + P(A) = 1onde P(C), P(B) e P(A) so, respectivamente, as probabilidades devitria de C, B e A.
A estratgia tima e a correspondente probabilidade de vitria de C.
Se C vir dois discos pretos nos seus adversrios, saber que restamtrs discos brancos. Responder ento com absoluta segurana que possuium disco branco. Assim o evento E7 lhe favorvel. Caso C veja doisdiscos brancos, saber que restam dois discos pretos e um disco branco.Logo responder possuir disco preto, contando com a probabilidade2/3 de acertar. Consequentemente, o evento E2 lhe favorvel e oevento E1 lhe desfavorvel. Suponhamos agora que C tenha vistoum disco branco e um disco preto em seus concorrentes. Concluir querestam dois discos brancos e um disco preto. Logo, dever responderque possui um disco branco, contando com a probabilidade 2/3 deacertar. Segue que os eventos E3 e E4 lhe so favorveis e o evento E6lhe desfavorvel.
Em resumo, usando essa estratgia, C ir acertar na hiptese de terocorrido qualquer um dos eventos disjuntos E2, E3, E4 ou E7 e irerrar se houver E1, E5 ou E6. Segue-se, ento, que:
P C n E n E n E n En U
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
=
+ + +=
+ + +=
2 3 4 7 6 12 12 1260
710
.
Isso mostra que a probabilidade vitria do prncipe Camoz, oprimeiro candidato, de 70%, contando com a sua sabedoria, restandoassim apenas 30% de probabilidade para que os outros dois prncipestivessem chance de serem apenas interrogados.
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Considerando ainda que Aradim s seria interrogado caso Benefir (osegundo interrogado) tambm errasse, pode-se mostrar que ele o queteria a menor chance de ser escolhido como noivo de Dahiz.
No entanto, Aradim possuidor de muita sorte, pois os dois primeirosconcorrentes erraram.
Para completar, a probabilidade de Benefir acertar de 20% e aprobabilidade do prncipe Aradim acertar de apenas 10%.
A reabilitao de AradimEsse clculo, entretanto, diz respeito s ao fato de acertar, ou no, a
cor do seu disco. Acontece que o rei dissera que os prncipes deveriam,tambm, justificar a resposta correta.
Fica a pergunta do que o rei entendia por justificar.Seria aceitvel, em caso de dvida, uma adivinhao educada, isto ,
uma opo pela alternativa mais provvel? Ou seria necessria umaexplicao lgica de como se chegou nica alternativa correta possvel?Neste caso, quais seriam as probabilidades de vitria de cada um dostrs concorrentes?
Adaptado do artigoO problema dos cinco discos: Sorte ou Sabedoria?
Ma-To Fu e Roberto Elias, RPM 11.
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Calculadora padro:um problema interessante
Suponhamos que voc tem uma calculdadora de bolso,padro, de 8 dgitos, que efetua as quatro operaes,+ , , ,
e extrai razes quadradas. Ser possvel, usandoessa calculadora, extrair a raiz n-sima de um nmeroqualquer?
Na verdade, dado um nmero real x, no negativo, usandosomente as teclas , , , ,+ possvel achar xp/q,onde p e q so nmeros naturais. Vamos explicar comoisso possvel mostrando alguns exemplos.
Exemplo 1: Calcule 53 .
Seja x = 53 . Ento x3 = 5. Multiplicando por x os doislados da igualdade, obtemos x4 = 5x ou x = 54 x .Inicialmente criamos uma sequncia de nmeros reaissendo x1 uma aproximao de 5
3 (por exemplo, x1 = 1)e x x nn n+ = =1 4 5 1 2 3, , , , ." Vamos mostrar os valoresde alguns termos da sequncia obtidos na calculadora e,em seguida vamos dar uma justificativa do por que asequncia converge para 53 .
Tomemos x1 = 1. Ento, x x24
3445 5 5= =, ,
e assimpor diante.
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Vejamos os valores calculados sendo que a notao [*] significaque apertamos a tecla *:
[5] [ ] [ ] 1.4953487Com o valor anterior mantido na tela, fazemos[] [5] [=] [ ] [ ] 1.653591
Repetindo sempre os comandos [] [5] [=] [ ] [ ] obtemos1.69570191.70639621.70908021.70975191.70991991.70996191.70997241.70997501.70997571.70997581.70997591.7099759,o que indica que uma aproximao para 53 com erro menor que 107 1,7099759.
Uma idia do por que funciona: consideremos a expresso
5 5 5 54444 " com infinitos radicais. Podemos escrever
5 5 5 54444 " = 5 5 5 5 514
116
164
1256
14116
164
1256 =
+ + +" " .
Sabemos que 14
116
164
1256 1
13
1414
+ + + + =
=" , pela frmula da
soma dos termos de uma PG infinita, logo, temos
5 5 5 54444 " = 51/3 = 53 = x. Ou seja, admitindo que existe o limite
de xn quando n tende ao infinito, ento, esse limite ser 53 .
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Um outro modo de verificar o valor x do limite da sequncia(admitindo que esse limite exista) :
x x x= = =5 5 5 5 5 5 5 5 54444 4 444" ", , .logo Como x
diferente de zero, a igualdade implica x = 53 .
Exemplo 2: Calcule 55 .
Seja x = 55 . Ento, x5 = 5 e vemos que x8 = x5x3 = 5x3 que implica
x x= 5 38 . Vamos construir uma sequncia x1, x2, x3, ..., xn, ..., com
x1=1 e os outros termos como na tabela, usando a calculadora para obteros nmeros aps as flechas.
x x
x x
2 138 8
18
3 238 388
18364
5 5 5 5 1 2228445
5 5 5 5 5 125 1 3
= = = =
= = = = +
.
. 1186680
5 5 125 5 5 1 3565069
5
4 338 9
18364
98 64
5
18382
x x
x
= == =
=
+ +
+ +
.
9983
2784
6
18382
983
2784
81855
+
+ + + +
=x#
Aqui, a cada passo, utilizamos apenas as teclas [], [5], [=] e [ ]. Novamente aceitando que a sequncia escolhida converge para umlimite x diferente de zero, podemos fazer:
18
38
98
278 1
152 3 4
1838
+ + + + =
=" , logo,
x = = =+ + + +
5 5 5183
829
8327
8415 5
".
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Ou, como no exemplo anterior, elevando x a oitava potncia, obtemos
x8 = 5x3, e como x diferente de zero vem que x = 55 .
A argumentao dos exemplos apresentados foi baseada no fato deque a sucesso "" ,,,,,, 1321 +nn xxxxx converge. Isso realmenteacontece? Vamos responder a essa pergunta no caso do ltimo exemplo.
Os grficos das funes y = x8 e y = 5x3 esto mostrados na figura
abaixo e como o nmero procurado, x = 55 , satisfaz x8 = 5x3, vemosque x ser a bscissa no nula do ponto de interseco dos dois grficos.
Partindo, por exemplo, de x1=1, examinemos a sucesso de pontos,representados no grfico:
P P P P
P P
1 2 38
48 38
5388 38
1 0 1 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5
= = = =
=
( , ); ( , ); ( , ); ( , );
( , ); 66388 3 9885 5 5 5 5= ( , ); "
Observe que os pontos P2, P4, P6, ... pertencem ao grfico dey = 5x3 e que os pontos P3, P5, P7, ... pertencem ao grfico de y = x
8.
A sucesso de todos os pontos converge para o ponto de interseco
dos dois grficos que o ponto P = ( , )5 55 85 , o que mostra que a
sucesso das abscissas x1, x2, x3, ..., xn, ..., converge para x = 55
.
Isso mostrado rigorosamente usando-se tcnicas de Anlise Real.Quanto a escolha x1=1, ela foi feita simplesmente para facilitar os
y= x5
y=x
3
8
2 1
5
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clculos e tambm por sabermos que 55 est prximo de 1. Setivssemos escolhido qualquer outro valor, por exemplo, x1=100, o limiteda sucesso x1, x2, x3, ..., xn, ... continuaria satisfazendo x
8 = 5x3.
8xy = e 35xy = esto mostrados na figura a seguir e como onmero procurado, ,55=x satisfaz ,5 38 xx = vemos que x serexatamente a abscissa, com 0x , do ponto de interseco dos grficosde 8xy = e 35xy = .
Ora, o fato algbrico de que a raiz 38 5xx = existe, equivalente aofato de que os grficos se cortam. Para ,379,150 5 x o grfico de
8xy = estar acima do grfico de 35xy = .
Partindo de um valor arbitrrio, por exemplo, 11 =x , examinemos aseguinte sucesso de pontos do plano cartesiano, representados no grfico
acima: );55,5();5,5();5,1();0,1( 8 3848321 ==== PPPP");555,55();55,55( 8 8 938 8 368 38 8 35 == PP
Observe que os pontos ",,, 642 PPP esto sobre o grfico de 35xy =e que os pontos ",,, 753 PPP esto sobre o grfico de 8xy = .
Os pontos "" ,,,,, 321 nPPPP convergem para o ponto )5,5( 5851=P ,que exatamente o ponto de interseco dos dois grficos. ento bvioque a sucesso "" ,,,,,, 1321 +nn xxxxx converge exatamente para 5 5 .Pode-se mostrar, rigorosamente, usando as tcnicas de Anlise Real, queisso realmente acontece.
Quanto a escolha, ,11 =x ela foi feita simplesmente para facilitar osclculos e tambm por sabermos que 5 5 est prximo de 1. Se tivssemosescolhido qualquer outro valor para 1x , por exemplo, ,1001 =x o limite dasucesso, que estamos supondo existir, continuaria satisfazendo .5 38 xx =
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Voc certamente j percebeu o procedimento geral: se quisermoscalcular x an= ou seja, achar x tal que xn = a, devemos transformaressa igualdade de modo a obter, do lado esquerdo, um expoente que sejauma potncia de 2. Isso feito multiplicando-se os dois membros por
uma potncia conveniente de x. Assim, por exemplo, se x a= 11 ento
x11 = a, que implica x16 = x11x5 = a x5 ou 16 5axx = e utilizaremos asucesso x1, x2, x3, ..., xn, ..., na qual x axn n+ =1
516 .
Adaptado dos artigosVamos usar a calculadora?
Hideo Kamayama e Eduardo Wagner, RPM 26.
Vamos continuar usando a calculadoraJoo Bosco Pitombeira de Carvalho, RPM 51.
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Uma equao interessante
H algum tempo, um amigo professor mostrou-me aequao
2 1 1 13 3x x + =
e fez a seguinte observao: apesar de, no decorrer daresoluo, elevarmos as equaes somente a potnciasmpares (duas elevaes ao cubo), ainda assim,surpreendentemente, aparece uma raiz falsa. Por qu?Antes de mostrar como o professor resolveu a equao,vejamos o porqu da sua surpresa.Sabemos que x = y xn = yn, x, y R, n N,mas a recproca desta afirmao s verdadeira se n formpar. Isto ,
xn = yn x = y, x, y R, se n for mpar. fcil ver que a propriedade xn = yn x = y no vale sen for par basta observar que 52=(5)2 e 5 5. Oque vale :
xn = yn | x | = | y |, x, y R, n N.As falsas solues aparecem nitidamente quando,resolvemos equaes irracionais. Vejamos um exemplo:Quais so as solues da equao
2 3 3x x = ?
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BMEP
2 3 3 2 3 3 2 3
6 9 8 12 0 6
12 2
2
23
24
x x x x x
x x x x x
= = =
= + + = =
( ) ( )
ou xx = 2.
As passagens 2, 3 e 4 so equivalncias, mas a recproca da implicao1 no verdadeira. por isso que, aps resolvermos a equao,testamos as razes encontradas, para ver se elas, de fato, satisfazem aequao inicial. No exemplo, 6 raiz de (2), mas 2 no .
Portanto, estamos acostumados com o aparecimento de falsas razesna resoluo de equaes irracionais.
Mas, no exemplo que o professor apresentou, o fato de aparecer umaraiz falsa era estranho, pois a resoluo da equao exigia apenas queseus membros fossem elevados ao cubo e sabemos que, em R,
x3 = y3 x = y.Vejamos como o professor resolveu a equao:
2 1 1 13 3x x + = . (1)Elevando ao cubo, obtemos
2 1 3 2 1 1 3 2 1 1 1 13 2 3 3 3 2x x x x x x + + + =( ) . .( ) (2) 3 2 3 2 1 1 2 1 1 13 3 3 3x x x x x + + =. ( ) (3)o termo entre parnteses vale 1 ( a prpria equao (1)!) 3 2 3 2 1 1 13x x x + =( )( ) (4) 3 3 2 1 1 33x x x+ =( )( ) (5)
2 3 1 123 x x x + = (6) 2x2 3x + 1 = (1 x)3 (7) 2x2 3x + 1 = 1 3x + 3x2 x3 (8) x3 x2 = 0. (9)
E, portanto, x = 0 ou x = 1.
Verifica-se, por substituio em (1), que 1 soluo, mas 0 no .
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Onde e por que apareceu essa falsa raiz?
Sugiro que o leitor tente responder a essa pergunta antes de prosseguir.
Observe que x = 0 no soluo das equaes (1), (2) e (3), mas soluo das equaes a partir de (4). Na verdade, (1), (2) e (3) soequivalentes entre si (possuem o mesmo conjunto soluo), e as equaesde (4) a (9) tambm so equivalentes entre si, mas (3) e (4) no soequivalentes. Foi nessa passagem que fizemos algo ilcito.
O que fizemos para passar de (3) a (4)? Ora, usamos novamente aequao (1) substituindo 2 1 13 3x x + por 1, e esse procedimentono gera uma equao equivalente anterior. Tendo duas equaesequivalentes, (1) e (3), se substituirmos uma na outra, obtemos umanova equao que consequncia das anteriores, mas no ,necessariamente, equivalente a elas. Assim (3) (4), mas no vale arecproca.
Vejamos um exemplo onde esse fato mais evidente:x = 2 (o conjunto soluo {2}),
2 = x ( equivalente a de cima).Substituindo uma na outra, obtemos
x = x, cujo conjunto soluo R!Assim, o aparecimento de uma raiz falsa no est ligado ao fato de a
equao ser irracional nem s potncias que tomamos, e sim, aoprocedimento da resoluo.
Mais uma palavra sobre esse fato: o truque utilizado na passagemde (3) para (4) til, pois limpou a equao, mas no umaequivalncia no podemos perder de vista a equao original. Situaescomo essa so comuns, por exemplo, na trigonometria quando usamos,numa equao, a identidade sen2 x + cos2 x = 1.
Vamos ilustrar o aparecimento de falsas razes atravs de mais doisexemplos:
x = 1 x (e, portanto, x = 1/2).Se elevarmos ambos os membros ao cubo, teremos:
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x = l x x3 = (l x)3 x3 = 1 3x + 3x2 x3 (substituindo x por 1 x)
x3 = 1 3(1 x) + 3x2 x3 2x3 3x2 3x + 2 = 0 x = 1/2; x = 1; x = 2.
Outro exemplo:x = 1.
x = 1 (x l)2 = 0 x2 2x + 1 = 0 (substituindo x por 1)
x2 2.1 + 1 = 0 x2 = 1 x = l ou x = l.
Adaptado do artigoUma equao interessanteCludio Possani, RPM 19.
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PAINIS
Painel I O nmero 12
Ao nmero 12 so atribudos muitos significados, sobretudode ndole religiosa ou espiritual, cuja influncia provocoualguns efeitos na organizao de nosso cotidiano.Na historiografia judaico-crist, temos os 12 filhos de Jacob,filho de Isaac e neto de Abrao, dos quais derivaram as 12tribos de Israel. Refere-se ainda que Jacob usava um peitoralsobre o qual haviam sido incrustadas 12 pedras preciosasque so a revelao de 12 poderes csmicos. Tambm acoroa usada na sagrao da monarquia inglesa tem 12 pedraspreciosas.So 12 os deuses principais da mitologia grega, que vivemno Monte Olimpo. O ano tem 12 meses. O zodaco divide aesfera celeste em 12 casas. O relgio est dividido em 12horas.A bandeira da Unio Europia tem 12 estrelas douradas,que, segundo a Comisso Europia, representam asolidariedade e harmonia entre os povos da Europa, porqueo nmero 12 tradicionalmente um smbolo de perfeio,de plenitude e de unio.No consigo acreditar que os nmeros tenham algumsignificado que os transcenda, porm creio que a naturezaabstrata dos nmeros propicia a sua utilizao comorepresentantes de significados que os transcendem.Atribuies e interpretaes do significado do nmero 12,sobretudo relacionadas com questes religiosas e sociais,decorrem do fato, do domnio aritmtico, de 12 ser o produtode 3 por 4 e, alm disso, parece-me que o fato de 12 termuitos divisores, 1, 2, 3, 4, 6 e 12, pode ter ajudado na sua
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projeo. que, entre as quatro operaes aritmticas elementaresefetuadas no conjunto dos nmeros inteiros, a diviso a nica que nemsempre d resultados inteiros, sendo uma minoria os casos em que issoacontece. Conjugando esse fato com a circunstncia de que a maioriados seres humanos se mostra mais disponvel para o clculo com inteirosdo que com outros tipos de nmeros, compreende-se a importncia dadaaos nmeros inteiros que se evidenciam por terem muitos divisores como12, 24 e 60, por exemplo.
Mas o objetivo deste artigo mostar uma interveno do nmero 12numa relao entre os domnios algbrico e geomtrico. Consideremosuma funo quadrtica f(x) = ax2 + bx + c com a > 0 e = b2 4ac >0, condio essa, como bem sabemos, que implica a existncia de duasrazes reais distintas da equao ax2 + bx + c = 0. Essas razes so asabcissas dos pontos em que a parbola, grfico de f, intersecta o eixo x.
Consideramos o tringulo formadopelos pontos A, B e pelo ponto V, vrticeda parbola, como na figura. Esse tringulo issceles, j que AV = VB. Vamosverificar que o muito falado nmero 12relaciona a funo quadrtica com apossibilidade de o tringulo AVB serequiltero.
Como conhecido, as coordenadas dos pontos A, V e B so dadasem funo dos coeficientes da funo quadrtica:
A ba
B ba
V ba a
=
=
+ =
( ; ), ( ; ) ( ; ).2
02
02 4
e
Podemos usar o teorema de Pitgoras para calcular AV:
AVa
b ba
AVa
22 2
4 24
4=
+
=
+ ( ( ) .ou
Por outro lado, ABba
ba a
=
+
=
2 2
.
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Painel II Sexta-feira 13
As pessoas criaram um mito sobre as sextas-feiras 13, dizendo queessas datas so propcias para ocorrer coisas macabras, horrveis... Pareceque nas ltimas dcadas esse mito foi bastante reforado e divulgadopela srie de filmes Sexta-feira 13 que o cinema exibiu. Mas no soapenas coisas ruins que esto ligadas sexta-feira 13, muito pelocontrrio; temos um belo problema de Matemtica: todo ano h pelomenos uma sexta-feira 13.
Para verificarmos o prometido, vamos inicialmente enumerar os dias13 de um determinado ano. Para isso imaginemos um ano de 365 dias(se o ano tiver 366 dias, o mesmo mtodo funciona!). Lembre que, numano de 365 dias, os meses de janeiro, maro, maio, julho, agosto, outubroe dezembro tm 31 dias, enquanto abril, junho, setembro e novembrotm 30 dias e fevereiro tem 28 dias. Assim, temos que:
Para que AVB seja equiltero, devemos ter AB = AV, o que equivalente a 12 = 2 ou, como > 0, equivalente a = 12.
Adaptado do artigoO nmero 12
Carlos Grosso, RPM 67.
1o de janeiro dia 1 2 de janeiro dia 2 3 de janeiro dia 3
...
13 de janeiro dia 13...
13 de fevereiro dia 44
13 de maro dia 72...
13 de abril dia 103...
13 de maio dia 133...
13 de junho dia 164
44
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...
13 de julho dia 194...
13 de agosto dia 225...
13 de setembro dia 256...
13 de outubro dia 286...
13 de novembro dia 317...
13 de dezembro dia 347Assim, temos que os dias 13 de um determinado ano de 365 dias so
13, 44, 72, 103, 133, 164, 194, 225, 256, 286, 317 e 347, que, quandodivididos por 7 (uma semana tem sete dias), deixam restos 6, 2, 2, 5, 0, 3,5, 1, 4, 6, 2 e 4, respectivamente. Perceba que todos os restos possveisde uma diviso por 7 apareceram, isto , 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Assim,perceba que:
se a primeira sexta-feira do ano for dia x (x no mximo7), as sextas-feiras seguintes sero os dias x + 7, x + 14, x+ 21, ... Se, por exemplo, x for 7, ento todas as sextas-feiras do ano cairo nos dias 7, 14, 21, 28, 35, 42, ... doreferido ano. Como entre os dias 13 h um que mltiplode 7 (o dia 133), segue que esse dia ser uma sexta-feira 13(isso ocorreu em 2005; veja que 13 de maio de 2005 foiuma sexta-feira 13). Seguindo o mesmo raciocnio, se aprimeira sexta-feira do ano fosse dia 6 de janeiro, ento assextas-feiras seriam os dias 6, 13, 20, 27, 34, 41, ... Comoentre os dias 13 h um cujo resto da diviso por 7 6 (odia 13), segue que, nesse ano, 13 de janeiro seria uma sexta-feira 13.
Esse raciocnio mostra que em qualquer ano existe pelo menos umasexta-feira 13. Perceba que pode haver mais de uma sexta-feira 13. Se,por exemplo, o dia 2 de janeiro for uma sexta-feira, ento as demaissextas-feiras desse ano sero os dias 2, 9, 16, 23, 30, 37,44, ..., ou seja,os dias que deixam resto 2 quando divididos por 7.
Assim, em um ano de 365 dias em que 2 de janeiro uma sexta-feira,
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os dias 44, 72 e 317 (que divididos por 7 deixam resto 2) seriam sextas-feiras 13. Noutras palavras, 13 de fevereiro, 13 de maro e 13 de novembroseriam sextas-feiras 13 (que ano azarado, hein??? Prepare-se, 2009 serassim!).
Adaptado do artigoSexta-feira 13
Carlos A. Gomes, RPM 59.
Painel III O jogo de bilhar
Estava numa pousada, no salo de jogos, observando uma partida debilhar. Em dado momento, apresentou-se a situao ilustrada na figura,sendo que o jogador precisava acertar a bola cinza, mas no podia baterna bola preta.
Para ajudar, um amigo do jogadoradotou a estratgia:
mediu, com um outro taco,colocado apoiado na direoperpendicular borda da mesa,como na figura, a distncia d dabola cinza at o ponto B, na bordada mesa.
marcou nesse taco o ponto A talque a distncia BA vale d.
disse ao jogador para mirar no pontoA e bater na bola branca.
Ao bater no ponto C, na borda damesa, a bola branca, no movimentorefletido, acertou a bola cinza.
A pergunta que me ocorreu foi: Porque deu certo? A resposta fundamenta-se na lei fsica que afirma que, na
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situao descrita, a medida do ngulode incidncia da bola, ao bater na mesa, igual ao ngulo de reflexo. O ngulo BCAe o ngulo de incidncia so opostos pelovrtice, logo tm a mesma medida ,mostrando que a reta r a bissetriz dongulo DCA, sendo D um ponto datrajetria de reflexo. Em consequncia, o simtrico de A, em relao ar, que o ponto no qual est a bola cinza, pertence reta CD. Logo, atrajetria de reflexo da bola branca passa pela bola cinza.
Alm disso, a estratgia adotada fornece a trajetria de menor percursopara a bola branca atingir a bola cinza nas condies do problema. Isso garantido pelo teorema a seguir, atribudo a Heron, matemtico deAlexandria que viveu no primeiro sculo depois de Cristo.
Teorema de HeronDada uma reta r e dois pontos P e Q, no mesmo lado da reta r, o
ponto R sobre a reta r tal que a distncia PR + RQ a menor possvel aquele em que os ngulos que os segmentos PR e RQ fazem com areta r so iguais.
Demonstrao do teoremaSeja Q o simtrico de Q em relao reta r. Por hiptese, a reta
r bissecciona o ngulo QRQ. Segue, por congruncia de tringulos, aigualdade QR = QR. Seja R qualquer ponto sobre a reta r, diferentede R.Ento,QR + RP = QR + RP = QP.MasQP < QR + RP= QR + RP.Logo, QR + RP < QR + RP.
Adaptado do artigoO jogo de bilhar
Jos Carlos Magossi, RPM 69.
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Painel IV Codificando e decifrando mensagens
Operaes de servios disponveis na Internet, movimentaes bancriase outras transaes eletrnicas necessitam da criptografia paracomunicao confidencial de dados.A palavra criptografia tem origem grega (kripto = escondido, oculto;grapho = grafia) e define a arte ou cincia de escrever mensagens emcdigos, de forma que somente pessoas autorizadas possam decifr-las.A criptografia to antiga quanto a prpria escrita; j estava presente nosistema de escrita hieroglfica dos egpcios e os romanos utilizavamcdigos secretos para comunicar planos de batalha. Contudo, desdeaquele tempo, seu princpio bsico continua o mesmo: encontrar umatransformao (funo) injetiva f entre um conjunto de mensagensescritas em um determinado alfabeto (de letras, nmeros ou outrossmbolos) para um conjunto de mensagens codificadas. O fato de f serinversvel a garantia de o processo ser reversvel e as mensagenspoderem ser reveladas pelos receptores. O grande desafio de um processocriptogrfico, portanto, est em ocultar eficientemente os mecanismos(chaves) para a inverso de f, de modo que estranhos no possam faz-lo.
Descreveremos aqui dois exemplos elementares de processos cripto-grficos, sendo o primeiro acessvel inclusive para alunos do ensinofundamental.
Inicialmente, relacionamos nmeros ao alfabeto (o smbolo #representa um espao em branco) que vamos utilizar nos modelos. Assim:
Portanto, cifrar uma mensagem recai no problema de permutarnmeros por meio de uma regra f. Pode-se fazer isso, de forma muito
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prtica, por exemplo, atravs das funes afins f(x) = ax + b com a, binteiros, a 0, definidas no conjunto {0, 1, ..., 26}. Suponhamos queAna e Ivo desejem trocar mensagens sigilosas utilizando o alfabetoescolhido. O primeiro passo a tomarem definirem a funo cifradora,digamos f(x) = 2x 3. Assim, por exemplo, mensagem R E V I S T A R P MAna associa a sequncia numrica 18 5 22 9 19 20 1 0 18 16 13
mas transmite a Ivo a seqncia numrica obtida pelas imagens de f,isto ,
33 7 41 15 35 37 1 3 33 29 23.
Ao receb-la, Ivo, calculando a imagem de f xx
=
+1 32
( ) nessa
sequncia e utilizando a correspondncia alfabeto-numrica, obtm amensagem original.
Depois de os alunos dominarem o processo, seria oportuno que oprofessor propusesse situaes em que um intruso tente decifrarmensagens apoderando-se das sequncias numricas codificadas. Comoestamos utilizando funes afins, para tanto suficiente apenas duasassociaes corretas entre nmeros das sequncias original e codificada.Admitindo conhecidas essas associaes, um exerccio interessantepara os alunos determinarem f.
O segundo mtodo criptogrfico que apresentaremos utiliza matrizesinvertveis como chaves, o que dificulta um pouco mais sua violao.
Suponhamos que Ana e Ivo combinem previamente utilizar a matriz
A =
3 21 1
e sua inversa A =
1 1 21 3
como chaves. Para trans-
mitir a mesma mensagem acima, Ana inicialmente monta uma matrizmensagem M dispondo a sequncia numrica associada em coluna ecompleta a posio restante com 0, ou seja, obtm
M =
18 22 19 1 18 135 9 20 0 16 0 .
Em seguida, codifica-a calculando,
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Painel V Qual a relao entre os
nmeros 102.564 e 410.256?
Facilmente observamos que o segundo nmero do ttulo, 410 256, o qudruplo do primeiro, 102 564. O que nos chama a ateno que osalgarismos desses nmeros so os mesmos, tendo sido o bastantetrasladarmos o algarismo 4 das unidades do primeiro nmero para aesquerda, a fim de obtermos o segundo nmero.
Admitamos agora a questo sendo apresentada sob o seguinte aspecto:determinar um nmero inteiro positivo N, formado de n algarismos eterminando pelo algarismo 4, tal que ao trasladarmos esse 4 (algarismodas unidades) para a primeira posio, obtemos outro nmero que oqudruplo desse nmero N.
AM =
=
3 21 1
18 22 19 1 18 135 9 20 0 16 0
64 84 97 3 86 3923 31 39 1 344 13
.
e transmite a seqncia 64 23 84 31 97 39 3 1 86 34 39 13. Para ler amensagem recebida, Ivo, da mesma forma, restaura a forma matricialAM, e em seguida, com sua chave A1, pode recuperar M atravs daidentidade matricial, M = A1(AM).
Os mtodos tratados neste trabalho tem apenas carter instrutivo. Naprtica atual so pouco utilizados pela inconvenincia de exigirem trocasprvias de chaves entre os usurios. So, portanto, inviveis na descriode transaes eletrnicas nas quais um nico receptor recebe dados demilhares de emissores, como ocorre em vendas pela Internet, transaesbancrias e outras. Mesmo nesses casos mais complexos, a Matemticaresolveu a trama, e desta vez, quem diria, o ramo da Teoria dos Nmeros.O leitor interessado neste envolvente tema poder consultar a apostilaCriptografia, IC-OBMEP 2007.
Adaptado do artigo
Codificando e decifrando mensagensAntonio Carlos Tamarozzi, RPM 45.
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ResoluoSeja N = a1a2a3...an1 4 um nmero de n algarismos, n natural no
nulo. Retirando o algarismo 4 desse nmero, obtemos:
N N a a a an' =
=
410 1 2 3 1
.... [No exemplo: 10256 = (102 564 4)/10.]
Colocando o algarismo 4 esquerda do primeiro algarismo de N,obtemos
N a a a a a a a a Nnn
nn" = = + = +
4 4 10 4 10 4101 2 3 1
11 2 3 1
1... ....
Para que N = 4N precisamos ter
4 4 10 410
40 4 10 4 4 10 139
1N N N N Nn nn
= +
= + =
. . ( ) .
Para N ser inteiro, devemos ter 39 como divisor de 10n1. O menorvalor de n que satisfaz essa condio n = 6:
N = = = =4 10 139
4 99999939
4 25641 1025646( ) ( ) .
N = 410256 = 4N.
Podemos mostrar que, fazendo n = 6k, k = 1, 2, 3, ..., k N*,obtemos todos os nmeros N terminados em 4 e que satisfazem a
condio procurada; logo, Nk
=
4 10 139
6( ), k = 1,2.3,.........., k N*.
Exemplos
Para k = 2, obtemos N = 4 10 139
12( ) , donde N = 4 25641025641 =102564102564.
Para k = 3, obtemos N = 4 10 139
18( ), donde
N = 4 2564102564125641= 102564102564102564.Podemos propor problemas semelhantes ao anterior, como, por
exemplo, obter um nmero inteiro positivo N, formado por n algarismose terminando com o algarismo a, tal que ao trasladarmos esse a(algarismo das unidades) para a primeira posio, temos como resultado
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outro nmero que igual a aN. Procure obter N fazendo a = 1, 2, 3,..., 9, verificando os resultados curiosos que sero obtidos, podendo,em alguns casos, no haver soluo.
Adaptado do artigoQual a relao que existe entre os nmeros 102.564 e 410.256?
Augusto Manoel de Albuquerque Barros, RPM 63.
Cada um tem a sua demonstrao favorita das importantes frmulasde sen(A B) e cos (A B). De qualquer forma, sabido que, deduzidauma delas, as outras podem ser obtidas por complemento, suplemento,etc. Uma das mais simples e rpidas uma demonstrao visual, quese baseia, na igualdade
a = b cosC + c cosB
onde a, b, c, A, B, C so os lados engulos respectivos de um tringulo. Aigualdade pode ser obtida facilmente e dizapenas que o lado a a soma (ou adiferena, se B ou C for obtuso) dasprojees ortogonais dos lados b e c sobreo prprio a, como se v na figura ao lado.
Por outro lado, tambm bastante conhecida a lei dos senos em umtringulo, segundo a qual:
aA
bB
cC
Rsen sen sen
= = = 2
onde R o raio do crculo circunscrito. Isso decorre imediatamente dafigura da pgina seguinte.
Ento num crculo de dimetro 1, tem-se: a = senA, b = senB ec = senC.
Painel VI Uma demonstrao visual para a frmula do sen(A + B)
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Para um tringulo inscrito nesse crculo, aigualdade inicial fica:
senA = senB cosC + senC cosB .E como, finalmente, o ngulo A o
suplemento de B + C, ou seja, tm o mesmoseno, obtm-se a clebre frmula:
sen(B + C) = senB cosC + senC cosB .Essa deduo vlida para B + C < 180o,
o que suficiente para deduzir o caso geral.A demonstrao anterior baseia-se numa
ideia de S.H. Kung, encontrada na revista Mathematics Magazine, vol.64, no 2, abril de 1991.
Adaptado do artigoDemonstraes visuais
Jos Paulo Q. Carneiro, RPM 27.
sensen
A aR
aA
R= =2 2
Painel VII Valores irracionais de funes trigonomtricas
RPM: O que segue uma transcrio adaptada de alguns resultadosencontrados no livro Nmeros: racionais e irracionais, de I. Niven, SBM,RJ, 1984, que decidimos publicar por julgar do interesse de nossosleitores.
So conhecidas as identidades trigonomtricascos2 = cos2 sen2, sen2 = 2sencos,
sen(a + b) = sena cosb + senb cosa ecos(a + b) = cosa cosb + sena senb,
as quais, juntamente com a relao fundamental, cos2 + sen2 = 1,implicam
cos3 = 4cos3 3cos.Fazendo = 20 na ltima igualdade, obtemos:
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12
60 4 20 3 203= = cos cos cosD D D .
Se escrevemos x no lugar de cos20, obtemos a equao8x3 6x 1 = 0,
que por construo tem cos20 como raiz.
Aplicando a essa equao o conhecido resultado sobre razes racionaisde equaes polinomiais:
Se p/q, frao irredutvel, raiz de uma equao comcoeficientes inteiros a
nxn + a
n1xn1
+ ... + a1x + a0 = 0,ento p divisor de a0 e q divisor de an,
temos que as nicas possveis razes racionais da equao so
1 12
14
, , e
18
. Mas, substituindo-se na equao, um clculo
simples mostra que nenhum desses nmeros raiz; logo, a equao notem razes racionais e, portanto, cos20 um nmero irracional.
Tambm temos cos20 = cos210o sen210o = 1 2sen210o.
Logo, se sen10 fosse racional, ento 1 2sen210o seria racional, oque implicaria cos20 racional, o que uma contradio.
Portanto, sen10 irracional.
Usando cos20 = cos210o sen210o = 2cos210o 1, conclui-se, demodo anlogo, que cos10 tambm irracional.
Generalizando, temos o resultado:
Se for um ngulo tal que cos2 irracional, ento cos, sene tg so tambm irracionais.A verificao de que cos e sen so irracionais se faz de modo
anlogo ao utilizado para = 10, usando as igualdadescos2 = cos2 sen2 = 1 2sen2 = 2cos2 1.
Finalmente, se tg fosse racional, ento tg2 seria racional e de 1 12 2 2+ = =tg sec cos
,
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teramos cos racional e, novamente, concluiramos que cos2 racional, uma contradio. Portanto, tg irracional.
Com repetidas aplicaes do resultado anterior mostra-se que cos,sen e tg so irracionais, para, por exemplo, os valores de :
5; 2 30; 1 15; 3730", etc.
Adaptado do artigoValores irracionais de funes trigonomtricas
Paulo A. da Mata Machado e Aldo Trajano Lourdo, RPM 46.
Painel VIII Mgica com nmeros
Truques de adivinhaes aritmticas tm sido apresentados a pessoase alunos de vrios nveis de escolaridade e sempre causam surpresa efazem muito sucesso. Vamos apresentar o truque da adivinhao egpciacom a subseqente explorao das propriedades aritmticas subjacentesa ele.
Nesse truque o apresentador pede a um espectador que pense em umnmero de 10 a 100. O apresentador segue ento os seguintes passos:
1. Pergunta ao espectador se o nmero par ou mpar. Ouvida a resposta,se for par, pede ao espectador que divida o nmero por 2. Se formpar, pede a ele que subtraia 1 e que ento divida o resultado pordois.
2. Pergunta se o resultado obtido par ou mpar e, ouvida a resposta,pede ao espectador para repetir o procedimento descrito no item 1.
3. O procedimento continua com cada novo resultado at o resultado(quociente de uma diviso por 2) tornar-se igual a 1, quando ento osclculos do espectador terminaro.
Quando o apresentador informado de que o resultado igual a 1,ele revela imediatamente ao espectador o nmero pensado por ele.
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Como funciona o truque da adivinhao egpciaSuponhamos que o nmero pensado pelo espectador seja 52. Nas
sucessivas etapas, ele efetuar as contas da coluna abaixo esquerda,enquanto simultaneamente o apresentador ir fazendo, secretamente, asanotaes da coluna direita.
Para cada nmero mpar informado pelo espectador, o apresentadoranota 9. Nos sucessivos estgios da brincadeira, o apresentador marcaas potncias de 2, iniciando em 20 = 1. Em seguida, o apresentadorsoma as potncias de 2 correspondentes s marcas 9,
4 + 16 + 32 = 52,e resgata o nmero que foi pensado pelo espectador!
O truque foi concebido observando o mtodo das divises sucessivaspor 2, usado para representar um inteiro positivo no sistema binrio,isto , como soma de potncias (distintas) de 2, a partir de suarepresentao no sistema decimal. Nesse mtodo, tomando comoexemplo o nmero 52, fazemos a seguinte escada de divisessucessivas por 2, at atingirmos quociente igual a 1, quando o algoritmotermina.
Lendo da direita para aesquerda os 0s e 1s, queso o ltimo quociente e osrestos das divises, obte-mos a representao donmero 52 (aqui represen-tado no sistema decimal) nosistema de numerao debase 2:
Professor 1 2 4 9 8 16 9 32 9
Aluno 52 (nmero pensado) 26 13 6 3 1
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52 = (110100)2 = 1 25 + 1 24 + 0 23 + 1 22 + 0 21 + 0 20= 22 + 24 + 25.
Na seqncia das divises, um resto ser 0 quando o dividendo forpar, e 1 quando o dividendo for mpar, da a importncia de tomar notaapenas das potncias de 2 correspondentes aos restos mpares.
O ttulo adivinhao egpcia inspirado nos algoritmos demultiplicao dos antigos egpcios, baseados na decomposio de inteirospositivos como somas de potncias distintas de 2.
Adaptado do artigoMgicas com nmeros
Joo C. V. Sampaio, RPM 60.
Painel IX Destreza ou esperteza?
Certa vez, quando eu tinha 15 anos, um amigo da minha famliaafirmou que sabia fazer contas mentalmente e com muita rapidez. Paraprovar isso, props a seguinte brincadeira:
Vou escrever um nmero com sete algarismos. Em seguida, vocescreve, abaixo do meu nmero, outro nmero com sete algarismos.Repetimos isso mais uma vez, eu escrevo meu terceiro nmero e, ento,eu direi a voc, sem fazer clculos, qual o valor da soma dos cinconmeros.
Eu, um tanto desconfiado, aceitei a proposta, ocorrendo o seguinte:
1o nmero escrito por ele: 3 574 186 1o nmero escrito por mim: 1 247 064 2o nmero escrito por ele: 8 752 935 2o nmero escrito por mim: 4 955 231 3o nmero escrito por ele: 5 044 768 Soma fornecida por ele: 23 574 184
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Conferi a soma manualmente e constatei que estava correta. Fiqueiatnito observando aqueles nmeros por alguns instantes, mas nadaconsegui concluir. Ele props outra conta e novamente acertou o resultadoem poucos segundos. Claro que eu sabia (ou desconfiava) que existiaalgum truque por trs daquilo, mas fiquei por alguns anos sem saberqual era. Vamos agora mostrar que, na realidade, tudo no passa de umpouquinho de lgebra: observe que o segundo e o terceiro nmerosescritos por ele so construdos a partir do anterior, de modo que a somacom o anterior seja igual a 9 999 999. Veja:
1o nmero escrito por mim + 2o nmero escrito por ele
1 247 064 + 8 752 935 = 9 999 999
2o nmero escrito por mim + 3o nmero escrito por ele
4 955 231 + 5 044 768 = 9 999 999
Observe agora que, como 9 999 999 = 10 000 000 1, a soma total igual a: primeiro nmero somado + 2 (10 000 000 1) = 20 000 000 2, ou seja, (3 574 186 + 20 000 000) 2 . Para efetuar a soma entreparnteses, observando que o nmero de zeros em 20 000 000 igualao nmero de dgitos do nmero inicial, basta acrescentar o dgito 2 nafrente do nmero original, o que resulta em 23 574 186. Subtraindo 2,obtemos a soma.
Note que, para realizar a ltima operao, no caso em que o algarismodas unidades do primeiro nmero maior do que ou igual a 2, bastasubtrair 2 do algarismo das unidades, mantendo os outros dgitosinalterados. Se ele for 0 ou 1, ento a subtrao um pouco maiscomplicada, sendo necessrio emprestar 1 do algarismo das dezenaspara depois subtrair 2. Como 10 2 = 8, isso equivalente a subtrair1 do algarismo das dezenas e somar 8 ao algarismo das unidades, seesse no for nulo. Se o algarismo das dezenas for nulo, ento precisoemprestar 1 do algarismo das centenas e assim por diante.
Observe que, no caso do desafio proposto pelo amigo de minhafamlia, o nmero inicial 3 574 186. Colocando 2 no incio, obtemos23 574 186. Subtraindo 2 do algarismo das unidades, obtemos23 574 184, que a soma procurada.
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Se algum o desafiar, voc pode tentar dificultar o trabalho para odesafiante dizendo: Quero ver se voc acerta o resultado no caso doprimeiro nmero escrito ter o algarismo das unidades menor que 2, ouseja, igual a 0 ou 1, e o das dezenas nulo. Isso testar se ele entendeurealmente como funciona o truque, que pode ser adaptado facilmentepara o caso de mais dgitos ou para um nmero maior de somandos.Deixamos para o leitor esse trabalho.
Adaptado do artigoDestreza ou esperteza?
Vanderlei Nemitz, RPM 64.
Painel X Determinante para fatorar
H alguns anos, quando ainda existia a Unio Sovitica, submeteu-se aos participantes de uma olimpada juvenil de Matemtica a seguintequesto, aparentemente simples:
Fatorar a expresso a3 + b3 + c3 3abc
Mesmo bons professores de Matemtica, se no conhecerem algumtruque, tero dificuldade em resolver esse problema pelo mtodo direto.Quem duvidar, que o tente.
Entretanto, a teoria dos determinantes d uma soluo fulminante aoproblema. Vejamos: seja o determinante
a b cc a bb c a
a b c abc abc abc a b c abc= + + = + + 3 3 3 3 3 3 3 ,
exatamente a expresso que desejamos fatorar.O determinante no se altera se substitumos, por exemplo, a primeira
linha da matriz por sua soma com as duas outras, ou seja
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a b cc a bb c a
a b c a b c a b cc a bb c a
=
+ + + + + +
=
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )a b c c a bb c a
a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + 1 1 1
2 2 2.
e o problema foi resolvido.Muitos realmente so os caminhos da Matemtica e precisamos ter a
mente aberta e desbloqueada para encontr-los.
Adaptado do artigoUsando determinantes para fatorar
Gilberto Garbi, RPM 41.
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Funes interessantes
A aplicao de situaes do cotidiano na motivao,estudo e ensino de tpicos de contedos programticosaumenta, na maioria da vezes, o interesse e compreensodos alunos da educao bsica, alm de evidenciar que aMatemtica faz realmente parte da vida de todos ns. Noensino de funes, que pode ser iniciado j no nvelfundamental, as aplicaes so muito indicadas para fugirdo formalismo terico. Nessa direo, vou apresentar eestudar alguns aspectos de funes bastante simples quemodelam situaes reais e comuns.I. Em uma capital brasileira, os preos das corridas de
txi tiveram o seguinte aumento: bandeirada: passou de R$ 3,20 para R$ 3,50, tendo,
portanto, um aumento de aproximadamente 9,3%; quilmetro rodado: passou de R$ 1,80 para R$2,20,
tendo, portanto, um aumento de aproximadamente22,2%.
A determinao da funo que fornece o preo de umacorrida j suscita uma discusso interessante. Vrios textosdidticos apresentam funes que modelam situaesdesse tipo como polinomiais de primeiro grau, cujo grfico uma reta. No nosso caso seria:
P1(x) = 3,20 + x 1,80 P2(x) = 3,50 + x 2,20,
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onde P1(x) e P2(x) denotam o preo da corrida de x km antes e depoisdo aumento, respectivamente.
Essa interpretao pressupe uma variao contnua no preo dacorrida em funo dos quilmetros rodados. Mas a realidade no assim.O taxmetro varia em fraes no valor de R$ 0,30, ou seja, supondo queo carro no pare durante a corrida: os valores de P1(x) variam 1,80/0,30 = 6 vezes durante cada km
rodado, o que significa a cada intervalo de rodagem deaproximadamente 166,66 m;
os valores de P2(x) variam 2,20/0,30 = 7, 333... vezes durante cadakm rodado, o que significa a cada intervalo de rodagem deaproximadamente 136,36 m.
Conversas com taxistas nos fizeram concluir que eles no tm emmente o valor exato do comprimento do trecho percorrido antes de cadamudana no preo, apenas deduzem valores aproximados (recebemosrespostas de 200 m, 150 m, etc.); dizem que quem determina o valorexato o INMETRO ao ajustar os aparelhos dos txis.
Aqui cabe uma observao interessante: no caso da P1, o taxmetromuda um nmero inteiro de vezes, 6, em cada km rodado, o que noacontece na P2, uma vez que 2,20 no mltiplo de 0,30. Nesse caso,para que o taxmetro mude um nmero inteiro de vezes, necessrio que
2 200 30,,
x seja inteiro, isto , que x seja mltiplo de 0,30, sendo x o
nmero de km rodados. Isso significa que a expresso afim da funoP1 ou P2 fornece o preo exato de uma corrida de x km, se x ,respectivamente, inteiro ou inteiro mltiplo de 3.
Voltemos ento s funes, P1 e P2 reais, que mudam de valoraos saltos, a cada intervalo de 166,66 m ou de 136,36 m. Seus grficostm a forma de escada, um exemplo no usual de funo . Esboamos,tambm, os grficos das P1 e P2 afins.
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Perguntas
1. Quais os preos, antigo e depois do aumento, de uma corrida de3,5 km = 3500 m?Como 3500/166,6 um valor entre 21 e 22, vemos que o preoantigo dado pelo 22o degrau do grfico da funo P1(x), entoP1(3500) = 3,20 + 21 0,30 = 9,50, ou seja, o preo R$ 9,50. Umclculo anlogo mostra que o preo novo dessa corrida seria R$ 11,00.Vamos responder s perguntas a seguir, considerando as aproximaesde P1(x) e P2(x) pelas funes afins anteriormente consideradas.Isso permite estabelecer expresses algbricas simples para as funesenvolvidas, alm do que os grficos acima mostram que a funoafim uma aproximao razoavelmente boa.
2. Qual ser o aumento percentual no preo de uma corrida de 10 km?Considerando P1(10) = 3,20 + 10 1,80 = 21,20 eP2(10) = 3,50 + 10 2,20 = 25,50, vemos que o aumento percentual de 20,28%.
3. Qual a funo que fornece o aumento percentual numa corrida dex km?Considerando as funes afins, queremos, em funo de x, o valor de
p tal que P x P x p P x2 1 1100( ) ( ) ( )= + , sendo P1(x) = 3,20 + x 1,80 e
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P2(x) = 3,50 + x 2,20. Substituindo os valores e fazendo os clculos,
obtemos p x xx
( ), ,
.= ++
30 403 20 1 80
Como x > 0, temos que o domnio
dessa funo o intervalo [0, +]. interessante observar que, parax = 0, o aumento igual a 30/3,20, que aproximadamente 9,3%,aumento da bandeirada. Para valores de x muito grandes, observando
que p x x
x
( ) , ,=
+
+
30 40
3 20 1 80 , vemos que p tende para p = 40/1,80 =
22,22222... que o aumento percentual do km rodado, isto , paracorridas muito grandes, o aumento da bandeirada no conta, valendoapenas o aumento do km rodado. O grfico da funo p(x), a seguir,ilustra esse resultado e tambm evidencia uma peculiaridade dostaxistas: eles no tm como receber aumentos de um percentual fixo.
II. O governo de um Estado brasileiro mudou a contribuioprevidenciria de seus contribuintes: de 6% sobre qualquer salriopassou para 11% sobre o que excede R$ 1200,00 nos salrios. Porexemplo, sobre um salrio de R$ 1700,00, a contribuio anteriorera
0,06 R$1700,00 = R$ 102,00 e a atual 0,11 (R$ 1700,00 R$ 1200,00) = R$ 55,00.
Provavelmente os alunos no tero dificuldades em determinar asfunes que fornecem o valor das contribuies em funo do valor x
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do salrio. Sendo C1(x) a contribuio anterior e C2(x) a atual, temos:
Os grficos dessas funes esto esboados a seguir e uma anlisedeles permite tirar vrias concluses, por exemplo:
1. Para um salrio de, aproximadamente, R$ 2700,00, o valor dacontribuio permanece o mesmo, por volta de R$ 160,00. Para obtero valor exato do salrio que mantm a contribuio, basta resolver aequao 0,06x = 0,11(x 1200), chegando a x = 2640 e C1(2640) =C2(2640) = 158,40.
2. Para salrios abaixo de R$ 2640,00, a contribuio previdenciriadiminuiu, pois nesse caso temos, para um mesmo x, C2(x) menor doque C1(x). Fica interessante fazer simulaes com salrios e populaopara calcular os valores das arrecadaes antes e depois da mudanada lei, verificando que em determinadas situaes, bastante provveis,a arrecadao estadual diminui consideravelmente.
C x x x
C xx
x x
1
2
6100
0 06
0 0 1200
11100
1200 1200
( ) ,
( )( )
= =
=
1200, maior que a dareta de C1(x); logo, a contribuio, com a nova lei, aumenta maisrapidamente do que antes, medida que o salrio aumenta.
Adaptado do artigoFunes interessantes
Ana Catarina P. Hellmeister, RPM 63.
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A formiga inteligente
Um problemaImagine dois postes verticais AA e BB de tamanhosdiferentes no plano horizontal . Para que posies umaformiga P, no plano, v os dois postes do mesmotamanho?
Em primeiro lugar, devemos pensar o que oco
