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35
CAPITULO 4
MAGNETIZAÇÃO DOS CLUSTERS
No capítulo anterior tratamos das probabilidades dos clusters, agora falaremos
das energias e seus autovalores e com esses resultados poderemos calcular a
magnetização para cada tipo de cluster. Começaremos com os clusters de tipos
single, logo par e tripla. Os resultados se podem generalizar para outros modelos
[4.1,2].
4.1.- Energia de um cluster tipo single
Seu hamiltoniano é o mesmo hamiltoniano de Zeeman:SHgH BI
rr ¼= m (4.1)
Onde g é o fator de Landé, S é o spin do íon e H é o campo magnético aplicado.
Resolvendo este hamiltoniano temos:
Sm
HmgE
HmgmSHmS
s
sBI
mmsBsIsss
�=
=m
dm ’,’ ,,
Para o íon magnético Mn o spin é S = 5/2, g = 2, mB=9.274 10-24 J/T ou 0.6717 K/T.
ms = -5/2, -3/2, -1/2, 1/2, 3/2, 5/2, e HI é uma matriz diagonal de 6x6 na base
| 5/2, ms Ö. O diagrama de níveis de energía está ilustrado na figura 4.1.
36
Figura 4.1.- Gráfico da energia dos clusters singles de íon Mn, quando o campo magnéticoaplicado vai de 0 a 50 kOe. A energia está em kelvin.
0 10 20 30 40 50-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
ms=-5/2
ms=-3/2
ms=-1/2
ms=1/2
ms=3/2
ms=5/2
E
(k)
H(kOe)
4.2.- Energia de um cluster de tipo par
O hamiltoniano para um cluster de tipo par, que tem dois íons com spins S1 e S2
é:
21
2121 )(2
SSS
SSHgSSJH
T
Biprrr
rrrrr
+=+¼+¼-= m
(4.2)
Onde o spin total do par é: 21 SSSTrrr += e também como todos os íons
magnéticos são iguais: SSS == 21 .
37
Análise
Os operadores zz SSSS 2122
21 ,,, , formam um conjunto completo de observáveis
que comutam entre si e portanto seus autovetores | m1, m2 Ö são comuns. Assim
também os operadores TzT SSSS ,,, 222
21 formam um conjunto completo de
observáveis que comutam e seus vetores próprios | ST, M Ö serão comuns. Então
para achar a energia destes clusters, primeiro pomos o hamiltoniano Hp na base
|m1, m2 Ö e devemos utilizar a relação do produto escalar de operadores seguinte:
zz SSSSSSSS 21212121 )(21 ++=¼ ����
vv
. Logo levando a uma representação matricial do
hamiltoniano obteremos que a matriz do hamiltoniano [Hp], é igual a uma matriz de
Jordan [ HJ ] mais outra diagonal [ MT ], vejamos:
21211’2
’12121
’2
’121
’2
’1 2 mmSSmmHgmmSSmmJmmHmm zzBiP ++¼-= mrr
2’21
’1
2’21
’12
’21
’1
2’21
’1
,,21
,,211,1,2211
1,1,221121’2
’1
)(
2)]1()1()][1()1([
)]1()1()][1()1([
mmmmB
mmmmimmmmi
mmmmiP
mmHg
mmJmmSSmmSSJ
mmSSmmSSJmmHmm
ddmdddddd
+++-+-+--+----++-+-=Ã
��
��
à [ HP ] = -Ji [ HJ ] + g:BH[ MT ] (4.3)
Para o caso do íon Mn encontramos que [ HP ], [ HJ ], [ MT ] são matrizes com
dimensão de 36x36, como o modelo que trataremos é r8 teremos oito constantes
de troca. Então para encontrar as energias dos clusters pares devemos resolver
oito matrizes [HJ] a sua forma diagonal vezes Ji mais a matriz diagonal [MT] vezes
g:BH.
38
Base de dados das energias dos clusters
Nosso grupo LESBT tem um programa feito em linguagem MatLab 5.2, que
calcula a matriz representativa de dimensão 36x36 para os clusters pares e
transforma a matriz [HJ] à forma diagonal, resolvendo cada bloco da matriz de
Jordan por separado e assim podemos ter eficiência do tempo de cálculo como no
espaço de memória. No caso das triplas a dimensão da matriz [ HJ ] é 216 x 216 e
para os quartetos é 1296 x 1296. Depois de definido os valores das constantes de
troca e o modelo de clusters utilizado, o programa realiza os cálculos das energias
dos clusters e constroi uma base de dados de energias para os clusters de tipo
singles pares, triplas e quartetos, em suas diferentes configurações (distancias de
suas ligações) para ser utilizada na determinação da magnetização da amostra e
demais simulações.
Método direto
Com outro método que chamaremos “direto” podemos encontrar as energias do
cluster par e alguns casos de cluster tipo triplo e quarteto. Isto é possível quando o
hamiltoniano HP na base correspondente | ST, M Ö resolve a sua forma diagonal
diretamente. Por exemplo, para os clusters pares o hamiltoniano tomará a
seguinte forma, nessa base de vetores próprios :
TzBTip HSgSSSJH m+---= )( 22
21
2 (4.4)
Suas energias próprias são:
[ ]T
T
BTTip
SM
SS
HMgSSSSJE
���
++-+-=20
)1(2)1( m
Para nosso caso do íon magnético Mn com spin S = 5/2, g = 2
ST = 5, 4, 3, 2, 1, 0.
39
Para o cluster de tipo par quando a interação Ji é negativa o estado
fundamental corresponde a um acoplamento antiferromagnético de dois spins,
então ST = 0 e não é degenerado. Se nós determinamos a diferença entre as
energias do estado fundamental e os outros estados ST = 1,2,..,2S, encontraremos
os valores seguintes com a equação (4.4):
2|Ji|, 6|Ji|, 12|Ji|,..,2S(2S+1)|Ji|
Na figura 4.2 podemos apreciar esses valores para nosso caso de íon Mn.
Figura 4.2 .- Gráfico dos níveis de energia do cluster tipo par em campo nulo em função do spintotal ST. O íon magnético corresponde ao íon Mn com spin S=5/2.
0 1 2 3 4 5-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
Ep=-Ji[ST(ST+1)-2S(S+1)]
E /
|Ji|
ST
Num campo magnético aplicado igual a zero (H=0) cada estado tem níveis que
são degenerados, mas esta degenerescência desaparece quando o campo
aplicado é maior que zero (H>0). Então dizemos que esses níveis foram
separados pela interação Zeeman e os vetores próprios estão na base { |ST,MÖ }.Uma conseqüência do desdobramento Zeeman, é que o estado fundamental do
cluster par muda descontinuamente com o incremento do campo magnético
aplicado H. Na figura 4.3 vemos esse fenômeno. Essas mudanças são causadas
pelo cruzamento de dois níveis menores contíguos, então nesse ponto as energias
são as mesmas e temos as relações seguintes aplicando a equação (4.4):
40
( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]
TiSB
TSBTTiP
TSBTTiP
SJHg
SHgSSSSJE
SHgSSSSJE
T
T
T
2
121
1121
=Ã-+-+-=
--+---=
mmm
O primeiro cruzamento acontecerá quando ST=1 e campo magnético H1
aplicado. Se seguirmos aumentando o campo magnético aparecerá um segundo
cruzamento quando ST=2, então H2 é igual a 2H1. Um terceiro cruzamento
aparecerá quando ST=3 e o campo magnético aplicado H3 é 3H1, etc.. Por isso
podemos escrever para o campo Hn :
Sn
ng
JH
B
in
2,..,3,2,1
2
== m
Figura 4.3 .- Gráfico da interseção dos menores níveis de energia do cluster par emfunção do campo magnético aplicado. As interseções estão em 2, 4, 6, 8 e 10 paraos íons magnéticos de Mn.
0 2 4 6 8 10 12-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
mT=0
mT=-1
mT=-2
mT=-3
mT=-4
mT=-5Hn = 2n|Ji| / gmB
H5H4
H3
H2
H1
E/|J
i|
gmBH/|Ji|
41
4.3.- Energia de um cluster de tipo tripla
Para um cluster de tipo tríade ou tripla mista aberta ou fechada onde os três
íons magnéticos S1, S2 e S3 tem interações com diferente constante de troca Ji, Jk e Jl
não se pode achar uma solução analítica exata de seu hamiltoniano, sendo
encontradas soluções numéricas. Mas em algumas situações onde Ji = Jk, Jl =0,
ou Ji = Jk = Jl ou Ji = Jk ,Jl � 0, se acham soluções analíticas como veremos mais
adiante.
Para o caso geral já mencionado, onde a interação de troca Ji tem lugar entre
os íons magnéticos de spin S1 e S2, a iteração Jk só tem lugar com os íons
magnéticos S1 e S3 e a iteração Jl só tem lugar com os íons magnéticos S2 e S3, seu
hamiltoniano é:
32
321
321323121 )(222
SSS
SSSS
SSSHgSSJSSJSSJH
a
T
BlkiMT
rrr
rrrr
rrrrrrrrrr
+=++=
++¼+¼-¼-¼-=� m(4.5)
Podemos reduzir este hamiltoniano ao seguinte:
T
aTa
a
TzBalikaTiMT
SM
SSSSS
SS
HSgSSSJSSJJSSSJH
�+��-
��+---¼-----=�
20
)()(2)( 23
22
231
221
2 mrr
(4.6)
O spin total do cluster tripla é: ST = S1+S2+S3 e também para nosso caso:
S1=S2=S3= S. Faremos a continuação uma análise semelhante ao caso do cluster
par.
Análise
Os operadores zzz SSSSSS 32123
22
21 ,,,,, , formam um conjunto completo de
observáveis que comutam e seus autovetores | m1,m2,m3 Ö comuns. Também os
operadores TzaT SSSSSS ,,,,, 2223
22
21 , formam um conjunto completo de observáveis
42
que comutam e seus vetores próprios |Sa,ST,MÖ também são comuns. Podemos
perceber que as matrizes que representam os operadores TzaT SSSSSS ,,,,, 2223
22
21 do
hamiltoniano HT-M formam matrizes diagonais nessa base comum. Entretanto o
operador da interação S1·S3 não tem uma representação em forma de matriz
diagonal nesta base. EMBEDEMBEDEMBEDEMBED
Então podemos escrever seu hamiltoniano como a soma de dois termos, o
primeiro tem uma representação matricial na forma de Jordan que devemos levar
a sua forma diagonal por algum método numérico, o segundo término já tem forma
diagonal.
O hamiltoniano para um cluster de tipo tríade mista aberta, que tem três íons
magnéticos com spin S1, S2 e S3 onde a constante de troca Ji existe entre os íons de
spins S1 e S2, a iteração Jk só tem lugar com os íons magnéticos S1 e S3, seu
hamiltoniano é:
32
321
3213121 )(22
SSS
SSSS
SSSHgSSJSSJH
a
T
BkiMAT
rrr
rrrr
rrrrrrrr
+=++=
++¼+¼-¼-=� m(4.8)
Tal como o mencionamos esse hamiltoniano também não tem solução analítica
exata e precisamos voltar à análise anterior. Entretanto, se ambas as interações
são antiferromagnéticas, o estado fundamental tem spin total 5/2.
Casos do método direto
A partir da equação (4.6) podemos considerar os seguintes casos que podem
resolver-se diretamente:
a) O hamiltoniano do cluster de tipo tríade aberta onde tem três íons
magnéticos com spin S1, S2 e S3, a constante de troca Ji é igual para as
interações com spin S1 e S2, S1 e S3. A terceira constante de troca é muito
fraca ou igual a zero. Então Ji=Jk e Jl=0, na equação (4.5)
)()(2 321321 SSSHgSSSJH BiOT
rrrrrrr ++¼++¼-=� m e na equação (4.6) achamos:
43
32
321
221
2 )(
SSS
SSSS
HSgSSSJH
a
T
TzBaTiOT
rrr
rrrr
+=++=
+++-=� m(4.9)
Os níveis de energia são:
[ ]
T
aTa
a
BaaTTiOT
SM
SSSSS
SS
HMgSSSSSSJE
�+��-
��++-+-+-=�
20
)1()1()1( m
O estado fundamental desta tripla aberta, sem campo magnético aplicado
H, se determina com os valores de Sa = 5 e ST = 5/2, então E0 = - 30|Ji|
b) O cluster de tipo tríade fechada, onde tem três íons magnéticos com spin
S1, S2 e S3, a interação de troca Ji é igual para cada uma das três interações
e tem lugar com os íons de spins S1 e S2, S1 e S3, S2 e S3. Então Ji =Jk =Jl , o
hamiltoniano na equação (4.5) se escreve:
)()(2 321133221 SSSHgSSSSSSJH BiFT
rrrrrrrrrr ++¼+¼+¼+¼-= m e com a equação
(4.6) se reduz a:
32
321
23
22
2221
2 )()(
SSS
SSSS
HSgSSSJSSSJH
a
T
TzBaiaTiFT
rrr
rrrr
+=++=
+---++-= m(4.10)
Os níveis de energia são:
[ ]
T
aTa
a
BTTiFT
SM
SSSSS
SS
HMgSSSSJE
�+��-
��++-+-=
20
)1(3)1( m
44
O estado fundamental desta tripla fechada, sem campo magnético aplicado
H, se determina com os valores de Sa = 2 ou 3 e ST = ½, então E0 = - 25.5|Ji|.
c) O hamiltoniano do cluster de tipo tríade mista fechada, onde tem três íons
magnéticos com spins S1, S2 e S3, a constante de troca Ji é igual para cada
uma das duas interações com spins S1 e S2, S1 e S3, e a iteração Jk só tem
lugar com os íons magnéticos S2 e S3. Então Ji =Jk ,Jl � 0 na equação
(4.5), )(2)(2 32132321 SSSHgSSJSSSJH BliMT
rrrrrrrrr ++¼+¼-+¼-= m e na equação
(4.6) temos:
32
321
23
22
2221
2 )()(
SSS
SSSS
HSgSSSJSSSJH
a
T
TzBalaTiFT
rrr
rrrr
+=++=
+---++-= m(4.11)
Os níveis de energia são:
[ ] [ ]
T
aTa
a
BaalaaTTiMT
SM
SSSSS
SS
HMgSSSSJSSSSSSJE
�+��-
��++-+-+-+-+-=
20
)1(2)1()1()1()1( m
O estado fundamental desta tripla fechada sem campo magnético aplicado
H é mais complicado de determinar porque também depende dos valores
das constantes de troca Ji e Jl. Por exemplo, se supomos que as constantes
de troca obedecem |Ji |>2|Jl |, com os valores de Sa = 5 e ST = 5/2, obteremos
o estado fundamental com energia E0 = - 30|Ji | + 12,5|Jl |. Nesta situação
estão incluídas as triplas estudadas no item a). Quando Ji é próximo de Jl,
ambas sendo antiferromagnéticas, se reproduz a situação do item b), em
que o estado fundamental tem spin total 1/2. Esta situação persiste no
intervalo 5/8|Ji |<= |Jl |<=14/8|Ji |.
Generalização do hamiltoniano de um cluster
Também podemos generalizar a análise que fizemos num cluster par e triplo e
estendê-lo ao caso de um cluster quarteto, resolvendo o hamiltoniano (4.12) onde
45
n = 1,2,3,4, é o tipo de cluster single, par, tripla e quarteto respectivamente. A
matriz diagonal (4.13) devemos achar para cada tipo de cluster.
ÊÊ +¼-=�
n
iziB
n
jijiijn HSgSSJH mrr
2 (4.12)
[ ] [ ] [ ]MHgEJE B
n
ji
ijij
n
TSbSaSMTSbSaSm+-=Ê
�,,,,,
(4.13)
Notamos que a energia dos estados dos clusters depende de seus números
quânticos:
ST,M para o cluster par onde 0 � ST � 2S e |M| � ST, M é o mesmo para todo tipo
de cluster.
Sa,ST,M para o cluster triplo, onde 0 � Sa � 2S e |Sa – S| � ST � Sa + S.
Sa,Sb,ST,M para o cluster quarteto onde 0 � Sa � 2S, 0 � Sb � 2S e
|Sa – Sb | � ST � Sa + Sb.
Até agora dispomos de duas bases de dados como são, a base de dados para
a estrutura hcp das probabilidades dos clusters com sua estatística hierarquizada
(mencionada no capítulo 3), e a base de dados das energias dos clusters pares,
triplas, quartetos. Com essa base de dados procederemos a calcular a
magnetização da amostra.
4.4.- Magnetização
O ponto de partida do calculo da Magnetização e da Susceptibilidade Magnética
dos clusters de spins é a função de partição Zi para um cluster de tipo i, que é
igual à somatória da exponencial dos autovalores da energia Ek,i desse cluster de
tipo i, vezes o fator b = ( kBT )-1 (a soma é efetuada sobre todos os níveis de
energia k para cada tipo de cluster i):
46
Ê -=k
iki EZ )exp( ,b (4.14)
Em nosso caso do íon Mn de spin S = 5/2 e modelo J1J2J3J4J5J6J7J8 a função de
partição toma formas parecidas para cada tipo de cluster dependendo da
quantidade de números quânticos que têm suas energias. Para facilitar nossa
notação reescrevemos as equações (4.13) da energia para um cluster de tipo i
assim:
Ek,i = E’k,i + gmBHM
Onde no cluster single i = 1 e E’k,i=0, para o cluster par i =1,2,..,8 e E’k,i= E’ST,i, para
o cluster triplo i=1,2,..,104 e E’k,i= E’Sa ,ST,i, para o cluster quarteto i =1,2,..,3928 e
E’k,i= E’Sa,Sb,ST,i. , mas Sa, Sb nem sempre são bons números quânticos. (Aqui
tambem o índice k se refere aos índices necessários para distinguir os diferentes
autoestados da energía do mesmo tipo de cluster i) Com essa notação a função
de partição tomará a seguinte forma:
]exp[]exp[
]exp[
’,
,
’,
HMgEZ
HMgEZ
BM
ikk
i
MkBiki
mbb
mbb
--=Ã--=ÊÊ
Ê(4.15)
Conhecendo a função de partição podemos calcular a energia livre Fi e também
a energia livre total F.
ÊÊ
-=Ã-=
4
1
ln)(
),(
),(ln),(
n
ni
i
ni
B
iBi
Zn
xPTkTHF
THZTkTHF
(4.16)
Onde Zin e Pi
n(x) são a função de partição e probabilidade do cluster de tipo i
pertencente a um single quando n=1, a um par quando n=2, a uma tripla quando
n=3 e a um quarteto quando n=4. O numero n é o numero de íons de esse tipo de
cluster i. Quando precisamos calcular a energia livre por unidade de massa
devemos multiplicar a toda a expressão por o fator (Na x/mx), onde x é a
47
concentração dos íons de manganês, Na é o numero de Avogadro, mx é a massa
molecular da amostra quando a concentração x tem o valor nominal ou um valor
comprovado experimentalmente (no capítulo 5 achamos o valor da concentração x
para ambas amostras pelo método da saturação magnética).A magnetização Mi
para um cluster de tipo i é encontrada pela relação:
iT
ii Z
HHF
M ln1
��ÜÜÝ
ÛÌÌÍË-=ÜÝ
ÛÌÍË��-= b
]exp[]exp[
]exp[]exp[
’,
’,
HMgE
HMgMEgM
BM
ikk
BM
ikk
Bi mbbmbb
m ----
=Ã ÊÊÊÊ
(4.17)
(Aqui também o índice k se refere aos índices necessários para distinguir os
diferentes autoestados da energía do mesmo tipo de cluster i)
Para calcular a magnetização total M da amostra por unidade de massa ate
quartetos se deve usar a seguinte fórmula:
ÊÊ�
= 4
1
)(
n i
ni
ni
x
atotal M
nxP
mxN
M (4.18)
Mas se os clusters estão diluídos num retículo cristalino diamagnético (com
susceptibilidade cd) se deve somar à magnetização a contribuição do retículo
cristalino:
HMn
xPm
xNM d
n i
ni
ni
x
atotal c+= ÊÊ
�
4
1
)((4.19)
Agora definiremos alguns termos usados como são a saturação verdadeira M0
por unidade de massa, que é devida ao completo alinhamento de todos os íons
magnéticos. Outro término muitas vezes referido na literatura é a saturação
técnica Ms a qual nos referiremos mais adiante.EMBED
48
Sgm
xNM B
x
a mÜÜÝÛÌÌÍ
Ë=0
Como já falamos o fato de substituir o modelo de spins distribuídos
aleatoriamente que têm interação entre si, por outro modelo formado de cluster
que não têm interação entre si, nos permitirá calcular a magnetização total da
amostra com a equação (4.18). A equação (4.19) se usa quando o campo
magnético aplicado H ou a susceptibilidade cd são importantes. A equação (4.17)
da magnetização Mi de cada tipo de cluster na presença do campo magnético
externo H (H pode crescer ou decrescer), pode ser simplificada dependendo do
tamanho do cluster. No seguinte parágrafo discutiremos esse assunto.
4.5.- Magnetização de um cluster single
No modelo J1J2..Jn onde o spin do íon magnético é S, usando a equação (4.17) a
magnetização MI de um cluster single toma a forma seguinte:
)(ySBgM SBI m= (4.20)
Onde BS(y) é a função de Brillouin:
HSgySy
Sy
SS
SS
yB
B
S
mb=-++= )
2coth(
21
)2
12coth(
212
)((4.21)
A função de Brillouin tem a propriedade de tender a 1 quando o argumento y
tende a � ,o que significa que a baixa temperatura a magnetização se aproximará
à saturação mais rapidamente. Vemos na figura 4.4, que quanto menor é a
temperatura a curva terá uma rampa com maior pendente, esse gráfico é com
respeito à saturação verdadeira que tem ordenada 1.0.
49
Figura 4.4 .- Gráfico da magnetização dos clusters singles até 50 kOe e a temperaturas de 0.8 K e2 K. Aqui a magnetização M está em unidades de massa,então:M = (Nax /mx) S
8 MI. O valor de S = 5/2, n = 1, a probabilidade S8 = (1-x)56 e x = 0.01.
EMBED
0 5 10 15 200,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2 K
0.8 K
Saturação Verdadera = M0
S8=(1-x)56
x=0.01
M /
M0
H(kOe)
4.6.- Magnetização de um cluster par
Num cluster par se o campo magnético aplicado é igual a zero (H=0) cada
estado tem níveis que são degenerados, mas esta degenerescência é levantada
quando o campo aplicado é maior que zero (H>0) numa direção que chamaremos
z. Então dizemos que esses níveis foram separados pela a interação Zeeman e os
vetores próprios têm a base { |ST,MÖ }. Como já falamos anteriormente uma
conseqüência do desdobramento Zeeman é que o estado fundamental do cluster
par muda descontinuamente com o incremento do campo magnético aplicado H,
essas mudanças são causadas pelos cruzamentos de dois níveis menores
contíguos. O cruzamento acontece só para valores múltiplos do campo magnético
H1 aplicado, que corresponde a um primeiro degrau que aparecerá na curva de
50
magnetização. Se seguirmos aumentando o campo magnético aparecerá um
segundo degrau quando H2 é igual a 2H1, assim um terceiro degrau aparecerá
quando o campo aplicado H3 é igual a 3H1, etc., e se deve cumprir a relação do
campo magnético Hn com a interação de troca Ji :
Sn
HgJn nBi
2,..,3,2,1
2
== m
(4.22)
Lembramos que em cada um desses valores do campo Hn, o valor do número
quântico M decresce de uma unidade, sendo cada vez mais negativo porque
começamos com o valor do estado fundamental onde M=0.
A equação (4.17) para a magnetização para um cluster par Mp tomará a
seguinte forma:
HSgy
yS
SsinhSS
TkJ
yByS
SsinhSSS
TkJ
gM
B
S
S B
i
S
S
S B
i
BP
mb
m
=ßàÞÏÐ
Î ÜÝÛÌÍ
Ë +ßàÞÏÐ
Î +ßàÞÏÐ
Î ÜÝÛÌÍ
Ë +ßàÞÏÐ
Î += Ê
�
�
212
)1(exp
)(2
12)1(exp
2
0
2
0
(4.23)
Quando se desenha a equação (4.23), o gráfico mostrara uma série de degraus
que são conseqüência dos cruzamentos de níveis já mencionados. O centro de
cada degrau coincide com a posição de cada campo magnético Hn. Depois do
último degrau dos pares J1 e J2 a magnetização pode estar já saturada e atinge a
seu valor real [4.3]. Um exemplo se vê na figura 4.5 onde para nosso caso do íon
Mn nós encontramos cinco degraus, cuja forma se vai suavizando conforme sobe
a temperatura.
51
Figura 4.5 .- Gráfico da magnetização de clusters pares de íons de Mn comconcentração 0.01 na amostra e a temperaturas de 20 mK e 0.1 K.. A probabilidadeé o correspondente a J8, a relação kB T / |J| é 0.06 e 0.33 para as duastemperaturas, notamos cinco degraus porque o spin do íon Mn S é 5/2. Amagnetização M é por unidade de massa: M = (Nax /mx) ( P8
8(x) / 2) MP e se dividiupor M'0= (Nax /mx)gmBS para normaliza-la.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0,000
0,004
0,008
0,012
0,016
0,020
0,024
0,028
0.02 K0.1 K
H5H4
H3
H2
H1
P88= 6x(1-x)93
x = 0.01, Ji/kB= -0.30 KT=0.020 K e T=0.100 K
M /
M0
H(kOe)
Nem sempre poderemos observar os degraus diretamente, algumas vezes
dependendo do tamanho dos degraus só observaremos uns desníveis. Então
precisamos de uma ferramenta importante que é a derivada da curva de
magnetização (a susceptibilidade) que nos permitirá determinar mais facilmente as
posições dos campos magnéticos Hn e assim calcular Ji. A partir da curva das
susceptibilidades obtemos uma serie de picos simétricos onde cada um aponta
para um campo Hn. Também poderemos determinar a largura dos picos dos
degraus, em termos da largura a meia altura de cada pico. Comparando essa
largura DH chamada “largura térmica” da expressão seguinte nos encontraremos a
temperatura efetiva T, que em sempre é a mesma da experiência. Esta expressão
52
se utilizou no modelo de clusters para primeiros vizinhos e pode estender-se para
nosso modelo J1J2J3J4J5J6J7J8.
B
B
gTk
H m53.3=D
Então derivando a equação (4.23) e para nosso caso do íon Mn obteremos uma
série de cinco picos simétricos como se vê na figura 4.6. Esses picos mudam de
largura quando a temperatura cresce.
Figura 4.6 .- Gráfico da susceptibilidade para os clusters pares de íons Mn, onde x = 0.01, aprobabilidade corresponde à interação J8 e a temperaturas T= 20 mK e 0.1 K comum Ji = -0.30 K. No intento de compara-los se dividiu por (3.53M0)/dH, onde dH é alargura térmica.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0,0000
0,0004
0,0008
0,0012
0,0016
0,0020
0,0024
� H(2
0mK
)
DH(100mK)
P88= 6x(1-x)93
x = 0.01, Ji/kB= -0.30 KT=0.020 K e T=0.100 K
H5H4H3
H2H1
(dM
/dH
) dH/(3
.53M
0)
H(kOe)
Como estamos usando o modelo J1J2J3J4J5J6J7J8 detectaremos não somente um
tipo de cluster, que constituiria só uma curva em forma de rampa como na figura
4.5, senão vários tipos de clusters pares cujos degraus aparecem misturados e
suas rampas somadas. Assim podemos vê-lo na seguinte figura 4.7.
53
Figura 4.7 .- Gráfico de uma curva de magnetização com quatro desníveis, o quesignifica que tem quatro rampas devidas a quatro diferentes clusters pares, x =0.005.
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
soma
J4 e J7 =-0.06K
J6 = -0.10KJ3 e J5 =-0.20K
J8 = -0.33K
M
/M0
H(kOe)
Se somarmos à curva de magnetização dos clusters singles mais os clusters
pares, resultará uma curva com desníveis de pendentes decrescentes muito
parecidos a uma curva experimental. Para determinar a altura DM de cada rampa
dessa curva de magnetização partimos de equações lineares, que começam da
origem onde cada uma representa uma suposta rampa. Por outra parte achamos
outras equações que representam os desníveis ou traços que olhamos na curva
de magnetização, podemos calculá-las da reta que passa por cada desnível ou
traço, extrapolando desde o mesmo traço até o eixo das ordenadas. Logo depois
de somar as equações das rampas comparamo-las com as equações dos
desníveis respectivos e assim poderemos encontrar o valor de cada rampa.
Na figura 4.8 temos um exemplo de uma curva de magnetização com quatro
desníveis. Suas quatro rampas foram encontradas, ali vemos que nos desníveis
54
da curva de magnetização ou as rampas, os degraus não se percebem porque a
temperatura efetiva é maior que 20 mK.
Figura 4.8 .- Gráfico de uma curva de magnetização com quatro desníveis o que significa que temquatro rampas. A primeira rampa corresponde ao cluster single, as demais aosclusters pares onde tem a constante de troca Ji de diferentes.
4.7.- Magnetização das triplas
A magnetização das triplas acontece em seus dois casos, quer dizer,
quando são triplas abertas e triplas fechadas.
a) Para o cluster tripla aberta, quando o campo magnético aplicado é nulo
(H=0), o estado fundamental corresponde a dois spins alinhados no mesmo
sentido e o terceiro no sentido oposto, dando um spin total ST=S muito
parecido aos íons isolados. Por isso a magnetização da tripla aberta a baixo
55
campo nós podemos representá-la como uma função de Brillouin, com spin
S até o primeiro degrau produzido pelo cruzamento dos níveis com o
estado fundamental da mesma tripla.
Comparando os degraus das triplas com os degraus dos pares, podemos
concluir que a tripla aberta tem a mesma quantidade de degraus que um
cluster par, mas seus campos magnéticos Hn estão deslocados pelo valor
2S|Ji| / gmB em relação aos degraus dos pares.
( )Sn
HgJSn nBi
2,..,3,2,1
2
==+ m
(4.24)
A equação para a magnetização para uma tripla aberta é:
]exp[]exp[
]exp[]exp[
’,
’,
HMgE
HMgMEgM
BM
ikk
BM
ikk
BTA mbbmbb
m ----
=Ã ÊÊÊÊ
(4.25)
(Aqui tambem o índice k se refere aos índices necessários para distinguir os
diferentes autoestados da energía do mesmo tipo de cluster tripla aberta).
b) Quando um cluster de tripla fechada está submetido a um campo
magnético nulo (H=0), o estado fundamental depende do valor do spin S,
assim se o spin S é semi-intero então o valor do estado fundamental é
S0=1/2. Se o spin S é um número inteiro então o valor do estado
fundamental é S0=0. Para campos magnéticos maiores (H>0) as posições
dos degraus também dependem do valor do spin do íon magnético S, assim
para o caso de S semi-intero temos a relação seguinte para os cruzamentos
de níveis:
)21
3(,..,2,1
)12(
-==+Sn
HgJn nBi m(4.26)
E para S com valor inteiro:
56
Sn
HgnJ nBi
3,..,2,1
2
== m
(4.27)
A equação (4.25) da magnetização das triplas abertas podemos escrevê-la
de maneira semelhante para as triplas fechadas.
Saturação Técnica da Magnetização
Em geral, em baixa temperatura (kBT<<2|J1|) o comportamento magnético de um
tipo de cluster pode ser descrito como a soma de uma função de Brillouin (exceto
para os clusters como os pares cujo estado fundamental a campo nulo tem spin
zero) e uma função de tipo escada (exceto para os clusters singles). Quando
estamos em baixo campo (g BH<<2|J1|), onde os degraus de magnetização dos
clusters de J1 ainda não ocorreram, a magnetização do sistema é completamente
descrita por uma soma das funções de Brillouin. Na figura 4.4 vemos para os
clusters singles parte da função de Brillouin satura rapidamente na zona de baixo
campo magnético. Para diferençá-la da saturação verdadeira M0 essa saturação é
referida nas publicações como saturação técnica Ms. Seu valor é a soma dos
momentos magnéticos de todos os clusters no estado fundamental a campo nulo.
Para baixas concentrações de íons magnéticos (x ������) o valor de Ms pode ser
estimado com a seguinte equação valida para a estrutura hcp e íon magnético Mn:
( ) ( ) ãâá
ÓÒÑ ++++++= ......
151
31
1221112201201100 TTTTTSMM s .
Nesta expressão S, T representam as probabilidades dos singles e triplas
computadas no modelo J1J2 (em nossa nomenclatura). No primeiro parênteses
estão as triplas cujo estado fundamental a campo nulo tem spin 5/2 (1/3 do spin
total) e no segundo as que têm spin 1/2 (1/15 do total).
57
4.8.- A susceptibilidade magnética
Susceptibilidade a baixa temperatura
A susceptibilidade ci de um cluster de tipo i, usualmente se escreve como a
derivada parcial da magnetização com respeito ao campo magnético H, a
temperatura constante:
T
i
T
ii H
FHM ÜÜÝ
ÛÌÌÍË��-=ÜÝ
ÛÌÍË��=
2
2
c (4.28)
No modelo de clusters a susceptibilidade magnética de um sistema de spins
diluídos no retículo cristalino diamagnético, podemos escrevê-la da seguinte
forma:
dn i
ni
ni
x
a
nxP
mxN ccc += ÊÊ
�
4
1
)((4.29)
Onde Pd é a susceptibilidade do retículo cristalino.
Usualmente determinamos a posição exata no campo magnético Hn dos
degraus de magnetização dos clusters com a derivada numérica de nossos dados
experimentais, para isso utilizamos a relação seguinte:
HM
DD=c (4.30)
Nessa relação 0 = Mi+1 - Mi dos dados da magnetização e + = Hi+1 - Hi dos
dados do campo magnético tirados de nosso experimento.
Susceptibilidade a alta temperatura
Em altas temperaturas ( kBT >> |J1| ) a susceptibilidade (por unidade de volume
ou unidade de massa) c obedece a lei de Curie-Weiss:
Q-=T
Cc (4.31)
58
A constante de Curie C (por unidade de massa) é dada pela equação:
( )B
B
x
a
kSSg
mxN
C3
)1(2 +ÜÜÝÛÌÌÍ
Ë= m(4.32)
(Também a constante C pode ser determinada em unidades de volume, então o
primeiro fator é igual a Nx, onde N é o número total de cátions por unidade de
volume).
A temperatura de Curie-Weiss é:
Ê+=Qi
iiB
JzSxSk
)1(3
2(4.33)
Onde Ji é a constante de troca entre o íon central magnético e um íon
magnético o qual está na esfera de vizinhos distantes i, e zi .é o número de sítios
de cátions sobre essa esfera. Para a estrutura hcp assumimos que J1in
e J1out
são
muito maiores que as outras constantes de troca, então a equação (4.33) se
escreve:
( )outin
B
JJzSxSk 11)1(
32 ++@Q (4.34)
onde z = 6 para essa estrutura.
Com as equações (4.33) ou (4.34) os valores de Q experimentais são usados
para obter informação acerca da constante de troca J1in e J1
out. Outro uso de Q é
para investigar se os íons magnéticos estão distribuídos aleatoriamente, neste
caso na equação (4.33) Q deve ser proporcional a x.
4.9 .- O programa de simulação
A simulação também é um programa de computador em linguagem MatLab 5.1,
cujo algoritmo foi desenhado por nosso grupo e utilizado em outras experiências
anteriores [4.4].
59
O que faz a simulação é calcular a magnetização total dos clusters até
quartetos produzindo resultados (M vs H) com os quais podemos graficar uma
curva de magnetização. Para isso precisa ser alimentada das duas bases de
dados das probabilidades e das energias dos clusters, que já foram descritas
neste e anterior capítulo da presente dissertação. Também alguns parâmetros
mais devem ser introduzidos como são, o modelo utilizado, os valores das
constantes de troca em graus kelvin, a temperatura da amostra.
A base de dados das probabilidades, contém para vários modelos de clusters a
descrição de suas configurações (ligações) entre seus íons mais outros
parâmetros como são nr e Nn,r.
A base de dados das energias é obtida construindo com a descrição das
configurações dos clusters a hamiltoniana de Heisenberg, que depois de resolvê-
la a sua forma diagonal encontra os níveis de energia para cada tipo de cluster.
A magnetização é obtida via função de partição e equações (4.16) e (4.17)
deste capítulo.
Extensivas simulações das curvas de magnetização foram executadas por nós,
para identificar a constante de troca Ji (do vizinho distante) responsável do
desnível produzido na curva de magnetização experimental. Enfim a simulação
usou o modelo standard de clusters. Mas a suposição que Ji decresce de maneira
monótona com a distancia ri foi despreocupada. Em lugar disso seqüências
alternativas das constantes Ji em termos de seus tamanhos foram tentadas, para
otimizar a comparação da curva gerada com a curva dos dados. A simulação
incluiu o modelo J1J2J3J4J5J6J7J8 onde a notação das configurações J1J2JiJjJkJlJmJn
significa que a simulação assume a seguinte ordem:
|J1|>|J2|>|Ji|>|Jj|>|Jk|>|Jl|>|Jm|>|Jn|
A simulação considera clusters quartetos com quartetos corretivos.
60
REFERÊNCIAS
[4.1] M. T. Liu, Y. Shapira, Ewout ter Haar, V. Bindilatti, E. J. MacNiff Jr.Phys. Rev. B 54, 9, 6457(1996).
[4.2] Osamu OkadaJ. Phys. Soc. Japan. 48, 391 (1980).
[4.3] Y. Shapira, S. Foner, D.H. Ridlgey, K. Dwight , A. Wold.Phys. Rev. B 30, 4021 (1984).
[4.4] V. Bindilatti, E. Ter Haar, N. F. Oliveira Jr.,Y. Shapira e M. T. Liu.Phys. Rev. Let. 28, 5425 (1998).
Filename: CAP-04r.docDirectory: D:\User\Rafael\Tes-DisertaTemplate: C:\Program Files\Microsoft Office\Office\Normal.dotTitle: CAPITULO 4Subject:Author: Instituto de FisicaKeywords:Comments:Creation Date: 11/01/01 10:34 AMChange Number: 164Last Saved On: 01/29/02 9:20 PMLast Saved By: Instituto de Fisica da USPTotal Editing Time: 1,558 MinutesLast Printed On: 08/25/03 3:01 PMAs of Last Complete Printing
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