INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA

CAMPUS SÃO JOSÉ

CURSO DE ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES

CADERNO DE EXERCÍCIOS

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

PROF. JESUÉ GRACILIANO DA SILVA

1

Prezados estudantes, este texto tem por objetivo contribuir para a simplificação do aprendizado da disciplina de Estatística e Probabilidades.

Organizamos uma lista de 100 exercícios que deverão ser resolvidos durante o semestre e selecionamos 15 vídeos (disponíveis no blog: http://segredosdaestatistica.wordpress.com).

Também selecionamos mais de 50 apostilas completas e as disponibilizamos em uma pasta compartilhada do Dropbox.

A partir da solução de exercícios práticos vamos discutir a fundamentação teórica necessária.

A Estatística é uma disciplina universal, aprendida na maioria dos cursos superiores em todas as grandes universidades do mundo. Possibilita uma compreensão mais precisa do mundo e por isso é uma ferramenta poderosa para engenheiros, pesquisadores, cientistas, gestores públicos e executivos.

O engenheiro que dominar essa ferramenta tem um diferencial para toda sua vida profissional.

Nosso objetivo maior é despertar o interesse pelo assunto, que é inesgotável.

Atenciosamente,

Prof. Jesué Graciliano da Silva

Instituto Federal de Santa Catarina – Campus São José.

2

1-Qual a probabilidade de uma caixa de leite, escolhida aleatoriamente seja do tipo U, sabendo que ele está fora das especificações?

Tipo B Tipo C Tipo U TotalDentro das

especificações500 4500 1500 6500

Fora das especificações

30 270 50 350

Total 530 4770 1550 6850Solução

2- Em um lançamento de duas moedas não viciadas (ao mesmo tempo), qual é a probabilidade de sair 2 coroas?

Solução

3

3- Uma caixa tem 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. Selecionando-se aleatoriamente (por sorteio) 2 bolas sem reposição, qual a probabilidade de sair 2 bolas pretas? E se houvesse reposição?

Solução

4- Considere 3 lançamentos seguidos de uma moeda honesta. Qual a probabilidade de sair apenas 1 cara nesses 3 lançamentos?

Solução

4

5- Em uma rede de computadores, em 60% dos dias ocorre alguma falha. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X = número de dias com falha na rede, considerando o período de observação de 3 dias. Suponha que os eventos são independentes.

Solução

5

6- Uma empresa de suco fez uma pesquisa para saber a preferência do consumidor. Foram entrevistadas 500 pessoas, sendo que 300 delas gostavam da marca Sucobom (A), 250 gostavam de Supersuco (B) e 50 delas nenhum dos dois. Considere que um dos entrevistados seja agora escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que ele seja consumidor do suco A e do suco B ? Qual a probabilidade de que ele seja consumidor do suco A ou do suco B?

Solução

7- Considere que dois dados honestos sejam lançados juntos. Em cada jogada, calcula-se a soma dos resultados. Qual a probabilidade de que a soma seja 6 ou 7 ?

Solução

6

8- Um piloto tem probabilidade de vencer uma corrida calculada em 1/5. Qual a probabilidade do piloto não vencer a corrida?

Solução

9) De um baralho de 52 cartas extraem-se 2 cartas sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade de se obter um ás e um valete nessa ordem?

Solução

7

10) Lança-se dois dados não viciados. Se a soma dos pontos nos dois lados foi 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles?

Solução

8

11- Uma caixa tem 9 bolas, sendo 2 brancas, 3 vermelhas e 4 pretas. Qual a probabilidade de ser retirar uma bola que não seja preta?

Solução

12- Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos alimentares dessa comunidade revelou que: 25 consomem carnes e verduras, 93 consomem verduras, 39 consomem carnes. Uma pessoa é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja consumidora de apenas carne? Qual a probabilidade dela não consumir nem carne e nem verdura?

Solução

13- Escolhe-se ao acaso um dos anagramas da palavra XADREZ. Qual a probabilidade da palavra escolhida começar por XA ?

Solução

9

14- Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso dessa urna. Qual a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 2 ou de 3 ?

Solução

15- A probabilidade de um guarda rodoviário aplicar 4 ou mais multas em um dia é de 65%. A probabilidade dele aplicar 4 ou menos multas em um dia é de 56%. Qual a probabilidade dele aplicar exatamente 4 multas?

Solução

10

16- Considere o lançamento simultâneo de um dado e de uma moeda, ambos não viciados. Qual a probabilidade de sair (6, Cara) ?

Solução

17- Em um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de selecionarmos aleatoriamente uma carta tipo “Ás vermelho”?

Solução

11

18- Um casal pretende ter 3 filhos. Qual a probabilidade de nascerem dois meninos?

Solução

19- Três moedas honestas são lançadas ao mesmo tempo. Qual a probabilidade de que saia no mínimo 2 caras?

Solução

12

20- Dois aparelhos de alarme funcionam de forma independente, detectando presença com probabilidades de 0,95 e 0,90. Qual a probabilidade de que um dado problema seja detectado por apenas um dos aparelhos?

Solução

21- Em uma classe de 35 alunos loiros ou morenos, 20 são homens, dos quais 4 são loiros. Dentre as mulheres há 8 loiras. Sorteando-se ao acaso um dos alunos, qual a probabilidade de se sortear uma mulher loira?

Solução

13

22- Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. 2 peças são retiradas uma após a outra sem reposição e de forma aleatória. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?

Solução

23- Em um colégio 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais que 1,80m de altura. O total de homens é de 60% dos estudantes. Se um estudante é escolhido aleatoriamente e tem mais que 1,80m de altura, qual a probabilidade de que seja uma mulher?

Solução

14

24- Uma fábrica tem 3 máquinas A, B e C responsáveis por 40%, 50% e 10% da produção. Os percentuais de peças defeituosas produzidas pelas respectivas máquinas são: 3%, 5% e 2%. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que ela é defeituosa. Qual a probabilidade de que ela tenha vindo da máquina B?

Solução

15

25- Uma moeda viciada é lançada 8 vezes. A probabilidade de se obter cara em cada jogada é de 0,60. No total de lançamentos, qual a probabilidade de se obter 5 caras?

Solução

26- Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de que saia pelo menos uma face com o número 5?

Solução

16

27- Considere o experimento aleatório E = dado honesto é lançado e a face é observada e os eventos A = ocorre face 3 e B = ocorre face impar. Qual a probabilidade de que o evento A ocorrer? Qual a probabilidade do evento A ocorrer sabendo que o evento B já ocorreu?

Solução

28- Em uma caixa há 5 bolas iguais, mas de cores vermelhas e 4 pretas. Retiramos duas bolas sucessivamente sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam vermelhas?

Solução

17

29- Qual o espaço amostral relativo ao experimento de lançamento de 3 moedas (cara ou coroa) consecutivamente?

Solução

30- Dados os algarismos 1,2,3, 4,5,6,7 construímos todos os números que podem ser representados usando-se dois deles sem repetir. Escolhendo-se um dos números formados (aleatoriamente), qual a probabilidade dele ser par?

Solução

18

31- No lançamento de 2 dados honestos simultaneamente, qual a probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e 5 no segundo?

Solução

32 Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. Qual a probabilidade de que o bilhete sorteado seja maior que 40 ou número par ?

Solução

19

33- Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6 saia com o dobro de freqüência da face 1 e que as outras faces saiam com a freqüência esperada de um dado não viciado. Qual a freqüência da face 1?

Solução

34- Uma central telefônica PABX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade de que a central não receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 minuto?

Solução

20

35- Um servidor HTTP recebe uma média de 3,5 acessos por minuto. Qual a probabilidade de observarmos apenas 2 acessos por minuto?

Solução

36-- Uma delegacia de polícia recebe um média de 5 solicitações por hora. Qual a probabilidade de que ela receba 2 solicitações em uma determinada hora selecionada aleatoriamente?

Solução

21

37- Um processo de produção produz 10 itens defeituosos por hora. Encontre a probabilidade de 4 ou menos itens sejam defeituosos em uma retirada aleatória por hora usando Poisson.

Solução

38- Considerando X como sendo uma variável aleatória discreta igual ao número de vezes em que ocorre a face CARA em 5 lançamentos de uma moeda honesta. Qual a probabilidade de ocorrer duas caras ? Qual a probabilidade de ocorrer no máximo 2 caras?

Solução

22

39- A partir da tabela, analise qual a Probabilidade de que um estudante selecionado ao acaso seja mulher e esteja cursando universidade?

Solução

40- Suponha que há 7 peças vermelhas e 5 peças azuis em uma sacola. Suponha que você selecione duas peças, uma após a outra e sem reposição. Construa um diagrama de árvore para esta informação. Qual a probabilidade de que as duas peças retiradas aleatoriamente sejam azuis ?Solução

23

41- A Companhia C & W tem recebido recentemente diversas reclamações de que suas garrafas estão sendo preenchidas com conteúdo abaixo do especificado. Uma reclamação foi recebida hoje, mas o administrador da produção não é capaz de identificar de qual das duas plantas (A ou B) é a garrafa. Qual é a probabilidade de que a garrafa com pouco preenchimento provenha da planta A? Seja S o evento: a garrafa foi preenchida com conteúdo abaixo do especificado.

Solução

42- Um certo tipo de fruta é produzido em 2 distritos, A e B. Ambas as áreas as vezes são atacadas por uma praga (mariposa que ataca as frutas).Suponha que as probabilidades são P(A) = 1/10, P(B) = 1/20, P(A e B) = 1/50. Qual é a probabilidade de que um OU outro (ou ambos) distrito estar infetado em um determinado momento?Solução

24

43- Há dois guardas de segurança para um grande estabelecimento. Cada um carrega um aparelho de controle ativado por detectores nos edifícios. O Guarda 1 é está atento ao aparelho 80% do tempo. O Guarda 2 não é tão confiável e só responde ao aparelho 50% do tempo. Se os guardas relatam independentemente qualquer alerta para a polícia ou ao corpo de bombeiros, qual é a probabilidade de que pelo menos um informará um alerta?Solução

44- A companhia de aviação X recentemente forneceu a seguinte informação para o Departamento de aviação Civil (DAC) sobre os voos da origem A ao destino B.

Seja A o evento: o voo chega adiantado. Seja B o evento: o voo chega atrasado. Qual é a probabilidade de que um voo chegue adiantado ou atrasado?

Solução

25

45- Em uma amostra de 150 estudantes, 70 disseram que somente têm um aparelho de CD, 50 disseram que somente têm uma TV e 25 disseram que têm ambos. O Diagrama de Venn a seguir descreve esta situação.

Se um estudante é selecionado ao acaso, qual é a probabilidade de que ele tenha somente um aparelho de CD? De que ele tenha somente uma TV? De que ele tenha tanto uma TV como um aparelho de CD?Solução

46- O Departamento de Estatística do Trabalho de um município estimou que 20 % da força de trabalho está desempregada. Uma amostra de 14 trabalhadores é obtida deste município. Calcule a probabilidade de 3 pessoas da amostra estarem desempregadas.Solução

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47- Um time de futebol joga 3 partidas. Assumindo que a probabilidade de vitória em cada jogo é de 50%, qual é a probabilidade de que o time vença dois jogos?

Solução

48- Considerando um lote de 10.000 peças. Admitamos que 10% delas sejam defeituosas. Duas peças são selecionadas aleatoriamente. Qual a probabilidade de que ambas sejam perfeitas?Solução

49- Um casal pretende ter 3 filhos. Qual a probabilidade de se ter uma menina? Solução

27

50- Considere que cada lâmpada do circuito em paralelo tenha probabilidade de falha de 0,5%. Qual a probabilidade de que pelo menos uma delas funcione?

Solução

51- Considere o circuito da figura. A probabilidade de que cada relé esteja fechado é de 12%. Todos os relés funcionam independentemente. Qual é a probabilidade de que o circuito permita a passagem de corrente entre A e B?

Solução

28

52- Uma multinacional produz circuitos integrados em 3 fábricas F1, F2 e F3 na proporção de 30%, 45% e 25% respectivamente. As probabilidades de que um circuito integrado produzido por essas fábricas não funcione são 1%, 2% e 3%. Escolhido ao acaso um circuito com defeito, qual a probabilidade de que ele seja fabricado na F1?

Solução

53- Em um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de se extrair na seqüência uma carta de 10 de paus preta, 10 de ouros vermelha e 10 de copas vermelha?

Solução

29

54- Um professor importante, residente no Rio de Janeiro, preocupado com um possível seqüestro, adota a seguinte estratégia para se deslocar da sua casa até o escritório onde trabalha: duas vezes por semana usa um carro branco, duas vezes por semana usa um carro azul e uma vez por semana um carro cinza prateado; duas vezes por semana usa a rota A, duas vezes por semana a rota B e uma vez por semana a rota C; A decisão sobre qual rota e qual carro utilizar em uma dada semana é independente e é escolhida ao acaso no domingo a noite, porém sempre é mantida a proporção acima. Determine a probabilidade deste professor estar usando o carro azul na rota B em uma terça-feira durante uma semana sem feriados.Solução

55- Em uma turma de gestão de empresas 15% dos alunos afirmaram que dominam bem Estatística. Já 65% disseram que são bons em Probabilidades. Encontramos um aluno por acaso. Qual a probabilidade dele dominar estatística ou probabilidade? Qual a probabilidade de que domine probabilidade, sabendo-se que ele domina estatística?

Solução

30

56-  Um teste de laboratório detecta uma doença quando ela está presente em 95% dos casos. No entanto, o teste também fornece um resultado "falso positivo" para 5% das pessoas saudáveis testadas. (Isto é, se uma pessoa saudável faz o teste, então, com probabilidade 1%, o resultado do teste dirá que ela possui a doença.) Se 0,5 da população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que o resultado do teste é positivo?

Solução

57- Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, registrou que 650 deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um dos consumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard?

Solução

31

58- Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa (sucesso) é p=0,1. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas. Qual a probabilidade de se obter: a) Uma peça defeituosa?  b) Nenhuma peça defeituosa? c) Duas peças defeituosas? D) No mínimo duas peças defeituosas? E) No máximo duas peças defeituosas?Solução

59- Suponha que uma pessoa está participando de um programa de televisão e lhe é fornecida a possibilidade de escolher entre   portas. Atrás de uma das portas existe um carro e atrás das demais não existe prêmio algum. O participante escolhe uma porta, digamos a porta   e o apresentador abre outra porta, digamos a porta  , revelando que não há nada atrás dela e então oferece ao participante a oportunidade de trocar de porta. O que é mais vantajoso, trocar ou não a porta escolhida?

http://www.youtube.com/watch?v=xQ7_nxzmJBY

Solução

60- Suponha que um aluno pretende fazer um teste de múltipla escolha com 10 questões e cinco alternativas por questão respondendo cada uma das questões de forma aleatória. Qual é probabilidade dele acertar no máximo 3 questões?

32

Solução

33

61- Um módulo eletrônico é formado por peças do tipo A, B e C. A taxa de defeitos em cada peça é de 50 por milhão, 80 por milhão e 120 por milhão respectivamente. Somente montando é possível perceber o defeito. Qual o número de módulos por milhão que darão o defeito?

Solução

62- Na Páscoa uma avó compra ovos para seus 8 netos. Ela comprou 1 chocolate Lacta e 2 chocolates Garotos para cada neto. Dentro do chocolate há brindes, sendo que a probabilidade de se encontrar um brinde no chocolate Lacta é de 1/8. Já para o chocolate Garoto a chance é de 1/16. Nesse caso, qual é a probabilidade do neto mais velho ser o único a ganhar um brinde no chocolate Lacta?

Solução

34

63- Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a probabilidade da mulher engravidar é de 20% em cada mês. Qual é a probabilidade dela engravidar somente no 4º. Mês?

Solução

64- Uma pesquisa mostrou que 10% da população tem determinado tipo de doença. Há um teste que detecta com 92% de precisão a doença, mas há 5% de alarme falso. Se o seu teste foi POSITIVO, qual a probabilidade de você estar doente?

Solução

35

65- Pesquisas mostram que o percentual de gênios na população obedece uma curva normal com média de QI = 100 e desvio padrão de 15. Qual a probabilidade de encontramos pessoas com QI superior a 145 em uma população?

Solução

66- Em uma cidade sabe-se que 59% das casas têm TV a cabo. Escolhemos 6 casas aleatoriamente e perguntamos para eles se eles possuem TV a cabo. Qual a probabilidade de encontrarmos 5 famílias com TV a cabo na amostra?

Solução

36

67- Dois tipos diferentes de máquina, X e Y são projetadas para produzir o mesmo produto. Elas te m o mesmo prec o de venda. Um fabricante está tentando decidir qual delas comprar e observou 10 máquinas distintas de cada tipo em operac ão por uma hora. A tabela seguinte mostra as produc ões horárias nas primeiras duas colunas. As médias são x = 403/10 = 40,3 unidades por hora e y = 408/10 = 40,8 unidades por hora. Portanto, com base nestes dados, o tipo Y é um pouco mais rápida. Podemos retirar mais alguma informac ão a partir destes dados?

Solução

37

68- Em uma pesquisa para presidente da república, qual deve ser a amostra aleatória simples, se desejamos garantir um erro amostral menor que 2%?Solução

69-Em uma empresa com 1000 funcionários, desejamos estimar o percentual de pessoas que são favoráveis a um determinado treinamento. Qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro da pesquisa seja menor que 5% ?

Solução

38

70- Encontre a correlação existente entre os dados apresentados.

Solução

39

71- O uso diario de agua por pessoa em uma determinada cidade e normalmente distribuido com media μ igual a 50 litros e desvio padrao σ igual a 5 litros. Se uma pessoa for selecionada aleatoriamente, qual a probabilidade dela consumir menos que 20 litros de agua por dia ?

Soluçao

40

72- Construa o histograma que represente a distribuição do peso dos estudantes de uma determinada escola.

Solução

41

73- Um professor pretende delimitar seu sítio com uma cerca construída com piquetes de madeira de cinco fios paralelos de arame farpado (veja figura). A forma do terreno é retangular e o comprimento de cada lado foi cuidadosamente determinado por um processo de medição não tendencioso (não gera erros sistemáticos) que tipicamente apresenta distribuição normal com desvio padrão de 0,4 m. Sabendo que as médias de quatro medições de cada um dos lados foram 18,2m, 25,4m, 18,2m e 25,4m, determine o comprimento mínimo de arame farpado que o professor deverá adquirir para cercar sua propriedade com nível de confiança de 95% de que não faltará arame para a tarefa. Observação: despreze as sobras (inicial e final) da fixação das extremidades do arame na cerca.

Solução

42

74-Uma fábrica de café em pó deve produzir sacos com 500 g de café (desconsiderando a massa do saco). Funcionários do Fantástico retiraram uma amostra aleatória de 9 sacos e as massas do conteúdo de cada saco foram medidas, sendo encontrado o valor médio de 483 g, com desvio padrão experimental de 70 g. Com estes dados é possível afirmar que o consumidor está sendo lesado? Caso contrário, o que você faria para confirmar se o consumidor está sendo lesado?

Solução

43

75- Corre por ai a notícia de que gasolina aditivada é melhor que a não aditivada. Um nobre mortal decidiu verificar por si se o rendimento médio do seu automóvel, expresso em quilometro rodado por litro de combustível, é melhor quando gasolina aditivada é usada. Para tal, durante 18 semanas seguidas o rendimento médio do seu automóvel foi medido semanalmente. Nas semanas pares foi usada a gasolina aditivada e nas semanas ímpares a gasolina comum. O trajeto percorrido em cada semana foi rotineiramente o mesmo, embora pequenas variações nas condições do trânsito fossem observadas. Foram obtidos os seguintes resultados: (a) gasolina aditivada: média 12,4 km/l e desvio padrão experimental 0,6 km/l e (b) gasolina comum: média 11,8 km/l e desvio padrão experimental 0,5 km/l. Teste a hipótese nula de que o rendimento médio com ambas as gasolinas é o mesmo contra a hipótese alternativa de que o rendimento da gasolina aditivada é melhor para um nível de significância de 0,05. É possível afirmar que a gasolina aditivada apresenta melhor rendimento? Justifique sua resposta.

Solução

44

76- José Ricardo fez um ensaio para determinar a influência da corrente de alimentação de um laser diodo na qualidade de um certo tipo de imagem. Para tal, realizou seis ensaios com a corrente de 60 mA e seis outros ensaios com a corrente de 100 mA. Para cada ensaio, calculou um certo coeficiente, encontrando os resultados da tabela abaixo. Quanto maior o valor do coeficiente, melhor é qualidade da imagem. Com 95% de probabilidade é possível afirmar que a corrente de alimentação do laser diodo influi na qualidade da imagem?

Corrente Ensaio 1 Ensaio 2 Ensaio 3 Ensaio 4 Ensaio 5 Ensaio 6

60 mA 208,6 209,0 208,1 208,3 209,2 208,3

100 mA 202,1 197,9 200,4 200,7 203,0 203,1

Solução

45

77- Um fabricante deve produzir sacos contendo 1 kg de açúcar. A lei estabelece que o fabricante deva garantir que pelo menos 95% dos sacos produzidos não tenham menos que 980 g de açúcar (massa líquida, sem o saco). Para controlar sua produção ele dispõe de uma balança com erros sistemáticos desprezíveis e erros aleatórios que geram desvio padrão de 2,0 g, válido para toda a faixa de medição. Para determinar a massa dos sacos vazios (dentro dos quais o açúcar será acondicionado) um conjunto de 100 sacos vazios foi medido uma única vez pela mesma balança, sendo encontrada a indicação de 848,0 g. Deseja-se usar esta balança e medir apenas uma vez a massa de cada saco cheio de açúcar e decidir se o saco de açúcar atende ou não as exigências da lei. Estabeleça um procedimento apropriado para efetuar este controle de qualidade (especifique passo a passo o que deve ser feito e os detalhes do teste a ser realizado).

Nota: considere como normalmente distribuídas as populações dos sacos de açúcar cheios e dos sacos de açúcar vazios. Considere também as medições dos sacos de açúcar cheios e das embalagens vazias são linearmente independentes.

Solução

46

78- Dois fabricantes de aditivo para gasolina entraram numa disputa para revelar qual dos dois aditivos torna os automóveis mais econômicos. Para isso, o mesmo automóvel percorreu repetidas vezes o mesmo percurso nas mesmas condições e o consumo médio foi medido para cada aditivo. Com o aditivo A o consumo médio foi calculado a partir de 8 medições levando ao valor médio de 15,62 km/L com desvio padrão de 0,805 km/L. Para o aditivo B o consumo médio foi de 16,21 km/L, calculado a partir de 8 medições, tendo sido encontrado o desvio padrão de 0,744 km/L. É possível afirmar, com nível de significância de 0,05, que o consumo médio do aditivo tipo B é pelo menos 0,50 km/L melhor que o do aditivo A? (suponha que a distribuição das medições de consumo seja normal).Solução

47

79 Um dono de restaurante tipo bufê vende comida a taxa de R$ 20,00/kg. Para cobrar de seus clientes o preço devido, ele tem que subtrair do valor da massa total indicada pela balança o valor médio da massa dos pratos vazios. Para chegar neste valor, as massas de todos os cem pratos disponíveis no restaurante foram medidas uma única vez pela própria balança. Foram encontrados valor médio de 110,0 g e desvio padrão de 15,0 g. A balança foi regulada para eletronicamente subtrair 110,0 g de cada prato medido e já indicar o valor a ser pago em Reais. Com base nestas informações, determine, em Reais, o tamanho da faixa que exprime o intervalo de confiança do troco, isto é, o tamanho da faixa em torno do valor em Reais indicado pela balança dentro do qual estará o preço justo correspondente a quantidade de comida selecionada por um cliente. Considere que a balança esteja livre de erros sistemáticos.

Solução

48

80- Suponha que uma lei estabeleça que a massa bruta de cada caixa de leite tipo longa vida deva ser não menor que 1050 g. Para verificar se esta tolerância unilateral é obedecida deve ser usada uma balança isenta de erros sistemáticos, mas que possui um erro aleatório com média zero e distribuição normal com desvio padrão de 8 g. Estabeleça um critério baseado, em uma única medição para cada caixa de leite, com o qual seja possível garantir, com 95% de nível de confiança, que a tolerância é atendida.

Solução

49

81- Um agricultor fez uma análise comparativa entre os volumes de suco produzidos por dois tipos de laranjas. Selecionou aleatoriamente duas amostras contendo, cada uma, 36 laranjas escolhidas ao acaso da mesma safra. A amostra das laranjas tipo “A” apresentou a média de 125,0 ml de suco por laranja, com desvio padrão de 9,6 ml. A amostra de laranjas tipo “B” apresentou a média de 144,2 ml de suco por laranja e desvio padrão de 12,0 ml. Para o nível de confiança 95% pergunta-se:

(a) Qual o intervalo de confiança para o valor médio do volume de suco por laranjas do tipo “A”?

(b) Qual o intervalo de confiança para a diferença média entre o volume de suco por laranjas do tipo “B” e o volume de suco por laranjas do tipo “A”?

Solução

50

82- Envelopes de 50 g de uma mistura em pó para preparo de café com leite devem ser idealmente formados por 25 g de café solúvel em pó e 25 g de leite em pó. Uma máquina automática é usada para produzir envelopes de 50 g da mistura. A máquina possui dois bicos de injeção, um para cada tipo de pó. A quantidade média de pó dispensada por cada bico pode ser livre e individualmente regulada entre 20 g e 30 g. Na média a quantidade efetivamente dispensada por cada bico corresponde ao valor regulado, porém os valores individuais apresentam variações que se distribuem normalmente e de forma independente. O bico de café em pó apresenta desvio padrão de 0,8 g e o de leite em pó de 0,6 g. Pergunta-se: (a) para que valores as quantidades dispensadas por cada um dos bicos devem ser reguladas para que 95% dos envelopes produzidos contenham não menos que 50,0 g da mistura? (b) para esta mesma regulagem, calcule a probabilidade de um conjunto de 25 envelopes escolhidos ao acaso conter mais que 1270 g do pó da mistura.

Solução

51

83. Pretende-se comparar as tensões de ruptura de três materiais distintos: A, B e C. Cento e vinte corpos de prova similares foram avaliados em uma mesma bateria de testes, sendo 40 de cada material. Os valores médios e desvios padrões das respectivas amostras estão na tabela abaixo. Com base nestes dados, e com nível de confiança de 95%, é possível afirmar que as resistências destes materiais são significativamente diferentes? Use testes de hipóteses para justificar sua resposta.

Material Valor médio Desvio padrão

A 230,2 MPa 12,5 MPa

B 227,4 MPa 11,9 MPa

C 223,4 MPa 12,9 MPa

Solução

52

84- Um fabricante pretende avaliar a correlação existente entre a temperatura do dia e o consumo de cerveja. Os dados foram inseridos na tabela a seguir. Avalie qual a correlação é mais adequada.

Solução

53

85- Um lojista organizou o registro de vendas diárias de certo aparelho. Se o lucro por unidade é de R$ 20,00, qual o lucro esperado nas vendas de uma semana ? Considere xi o número de aparelhos vendidos em uma semana. Na tabela a seguir, a probabilidade de se vender nenhum aparelhos na semana é de 0,1. A probabilidade de se vender 4 aparelhos é 0,2.

Solução

54

86- Uma pesquisa pretende estimar o tempo médio de estudo da população adulta de uma cidade. Sabe-se que o tempo de estudo tem distribuição normal com desvio padrão de 2,6 anos. Foram entrevistadas 25 pessoas, obtendo-se um tempo médio de estudos de 10,5 anos. Com um intervalo de confiança de 90% qual é o intervalo que representa o tempo médio de estudo da população?

Solução

55

87- O quadro seguinte representa as alturas (em cm) de 40 alunos de uma classe.

a) Construir uma tabela de freqüência das alturas dos alunos.

b) Construir o histograma.

Solução

56

88- Calcule a correlação que relaciona a idade e a altura de uma criança.

Solução

57

89- Calcule a média, a mediana e a moda dos dados apresentados a seguir:

82, 86, 88, 84, 91, 93

Solução

90- Uma fabrica de cimentos necessita encher sacos com peso médio de 50kg. Mas em alguns casos o peso varia de acordo com a distribuição normal. A Uma amostra de 20 sacos de cimento apresentou massa média de 50kg e desvio padrão de 2 kg. Se um saco de cimento for selecionado aleatoriamente no depósito para análise, qual a probabilidade de que ele tenha menos de 48kg?

Solução

58

91- Um determinado tipo de barbante é vendido como sendo capaz de resistir 180 N. Um cliente retirou 5 amostras e obteve valores de resistência de 185N, 182N, 187N, 183N e 189N. Com um nível de confiança de 99% é possível afirmar que os barbantes vendidos tem resistência superior a 180N ?

Solução

59

92- Um professor está interessado em demonstrar que as notas de algumas disciplinas têm relação direta com as notas de outras. No caso foram analisados um conjunto de 12 alunos em duas disciplinas: Estatística e Cálculo. Analise se há uma correlação entre as notas das duas áreas.

Aluno Nota em

Matemática

Nota em

Estatística

A 5 6

B 8 9

C 7 8

D 10 10

E 6 5

F 7 7

G 9 8

H 3 4

I 8 6

J 5 3

K 4 7

L 6 7

Solução

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93- Qual a reta ajustada que melhor representa a correlação entre a grandeza X e Y representada abaixo?

Xi 5 8 7 10 6 7 9 3 8 2

Yi 6 9 8 10 5 7 8 4 6 2

Solução

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94- Uma pesquisa com 100 pessoas mediu o tempo de reação para frear um carro em milisegundos. O valor médio obtido foi de 180ms com um desvio padrão de 50ms. Considerando que o tempo de reação obedece a lei da distribuição normal, qual é a probabilidade de encontrar uma pessoa com tempo de reação menor que 100ms?

Solução

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95- Uma fabrica produz resistores com resistência média de 100 ohms e desvio padrão de 10 ohms. Considerando que a resistência segue uma distribuição normal, qual é a probabilidade da média de uma amostra aleatória de 25 resistores apresentar resistência menor que 95 ohms?

Solução

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96- Uma fábrica de resistores garante que seus produtos apresentam desvio padrão de 10 ohms e distribuição normal. Uma amostra de 25 resistores foi testada. O valor da resistência média foi de 98 ohms. Com um nível de confiança de 95%, podemos inferir que a população de resistores tem que faixa de valores?

Solução

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97- Um fabricante afirma em seu catálogo que suas lâmpadas apresentam vida útil de 2000 horas e desvio padrão de 50 horas. Um comprador desconfiado fez um teste com 16 lâmpadas e obteve que o tempo de vida útil é de 1970 horas. Com um nível de confiança de 95% é possível afirmar que o fabricante está mentindo?

Solução

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98- São realizados teste de tensão de ruptura em 22 corpos de prova. A carga no ponto de falha foi calculada em um valor médio de 13,71MPa e desvio padrão de 3,55. Os dados obtidos nos permite afirmar com nível de confiança de 95% que a tensão de ruptura da população dos corpos de prova é superior a 10 MPa?

Solução

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99- Ordene os dados indicando o 1º, 2º e 3º quartil

45, 56, 62, 67, 48, 51, 64, 71, 66, 52, 44, 58, 55, 61, 48, 50, 62, 51, 61, 55

Solução

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100- Faça a análise da distribuição de altura obtida a partir de uma amostra de 40 alunos de uma escola.

Altura Freqüência

140-145 3

145-150 5

150-155 2

155-160 7

160-165 14

165-170 6

170-175 0

175-180 1

180-185 2

Solução

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Resumo de Estatística e ProbabilidadesEste resumo e uma simplificaçao de alguns conceitos da area de Estatistica e probabilidades. Sua utilizaçao deve ser precedida da consulta à Bibliografia indicada.

1- Apresentação

O que e estatistica e para que ela serve? Por que engenheiros devem estudar estatistica?

Encontramos na literatura diversas definições para estatistica. Podemos simplificar dizendo que estatistica e o estudo da coleta, organizaçao, analise, interpretaçao e apresentaçao de dados.

A definiçao pode parecer complexa, mas a humanidade ja aplicava os rudimentos da estatistica desde a antigüidade. Varios povos ja registravam o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos; faziam estimativas das riquezas individuais e social; distribuiam terras ao povo; cobravam impostos e realizavam inqueritos quantitativos por processos que, hoje, chamamos de “Estatistica.

Em Roma na epoca de Otavio Augusto, que governou por 41 anos, ja se fazia gestao pública e se tomava decisões por meio de indicadores. Roma chegou a abrigar 1 milhao de pessoas no inicio da era Crista.

E a diversao com jogos de azar tambem vem de longa data. Um jogo romano famoso e o "general".

A estatistica se consolidou como ciência a partir do seculo XVII com Bernoulli, Pascal, Gauss, Galton, Gosset entre outros grandes nomes.

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Na engenharia como nas demais ciências e preciso compreender a realidade para intervir. Se nao podemos medir um fenômeno com precisao nao podemos tomar as decisões mais acertadas.

Para ilustrar a importância da estatistica na engenharia vamos imaginar um exemplo simples. Vamos construir a estrutura de 200 torres de telecomunicações. Cada uma delas e composta por 50 barras de perfil em “I”. Qual deve ser a tensao de projeto nesse caso se sabemos que nem todas as barras iguais da treliça têm a mesma resistência?

Se pudessemos medir a resistência à traçao de 5 peças escolhidas aleatoriamente de um lote teriamos 5 valores de tensao maxima admissivel de traçao: 2050N, 2020N, 1920N, 2220N e 1800N.

Nesse caso, a amostra e adequada? Qual deveria ser a amostra minima para se fazer uma afirmaçao da resistência à traçao com intervalo de confiança de 95%?

Como exemplo na area da educaçao sabemos que temos dificuldades em combater a evasao. Se fosse nomeado(a) secretario(a) da educaçao do seu municipio o que faria inicialmente?

A resposta depende do estilo de cada gestor, mas o mais comum e fazer um extenso diagnóstico. Quais sao os indices de evasao por escola, por bairro? Quais os motivos da evasao? O que as escolas com menores indices de evasao apresentam em comum? E as com maiores indices? Existe relaçao entre democracia e desenvolvimento? E entre educaçao e riqueza das nações? Quantos bilhões de pessoas seremos em 2040? A

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seguridade social brasileira sera capaz de garantir aposentadorias dignas dentro de 20 anos? Uma nova vacina e capaz de conter uma epidemia? O nivel de consumo das classes D e E tera crescimento na próxima decada? A produçao de laranjas para exportaçao sera suficiente no próximo ano?

A realidade e complexa e exige aplicaçao de tecnicas da estatistica para intervençao. O BIG DATA ja e uma realidade concreta para compreensao do mundo.

Você ja viu o filme: “O homem que virou o jogo” ou ja ouviu falar de Nate Silver? Ele escreveu um livro chamado: “O sinal e o ruido – por que tantas previsões falham e outras nao?” Ou ja leu o livro: “Os números governam suas vidas?”

Nos videos a seguir e possivel visualizar algumas aplicações diversas dessa ciência matematica.

Sejamos politicos, engenheiros, pedagogos, administradores nao importa sua profissao, podemos afirmar que a estatistica e uma ciência que pode mudar sua forma de agir como profissional. Afinal ninguem pode controlar e medir algo que nao conhece.

http://www.youtube.com/watch?v=LsMt5jp1a9k

http://www.youtube.com/watch?v=AfYVOsuT-EI

http://segredosdaestatistica.wordpress.com

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2- Estatística descritiva

Para simplificar o que chamamos de estatistica descritiva, vamos fazer a analise da estatura dos estudantes de uma escola que tem 400 alunos. Uma amostragem foi obtida coletando aleatoriamente (tabela de números aleatórios) 10% dos alunos de cada turma. Os resultados sao apresentados na Tabela:

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A partir da amostra obtida podemos estimar a media das estaturas da escola. Podemos estimar o desvio padrao e construir histogramas com as distribuições de freqüência. A seguir podemos ver um exemplo de histograma. Construa um para a distribuiçao de alturas.

A seguir apresentamos um exemplo de analise estatistica descritiva das notas de uma determinada prova.

74

No caso da amostra de 40 estudantes de uma populaçao de 400 temos que saber se a amostra e representativa para se estabelecer a inferência. Se a amostra for representativa podemos inferir informações sobre a populaçao a partir de apenas uma parte. Por meio da inferência e tecnicas de amostragem podemos entrevistar pouco mais de 3000 eleitores e conhecer a tendência de voto de todo o Brasil. Mas o interessante e perceber que essa informaçao varia diariamente e tem uma margem de erro indicada.

Considere ainda o exemplo: Um mecânico anotou a vida útil das baterias de carro de seus clientes. Os dados sao descritos e organizados por meio do diagrama de ramos e folhas, da tabela de freqüências e do histograma.

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Veja o exemplo de como podemos representar conjunto de dados em diagrama de caixa (Box plot).

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Estabelecer correlações e um trabalho importante na engenharia e em muitas outras ciências.

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A seguir temos um exemplo de correlaçao estatistica relacionando a potência do motor (HP) e o tempo para se acelerar um carro. O que podemos inferir a partir do grafico?

Você poderia afirmar que ha correlaçao estatistica entre o peso (N) e a estatura dos estudantes de sua turma? E entre horas de estudo e resultados nas provas? Ou entre temperatura no verao e venda de cervejas? Ou entre tempo de exposiçao de uma marca e resultado nas vendas? Ou entre anos de escolaridade e salarios? A partir dessas reflexões podemos compreender a importância de correlacionarmos variaveis como forma de entender os fenômenos que nos rodeiam.

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Todo projeto de tese ou dissertaçao parte de uma pergunta chave.

Por exemplo: Sera que o consumo de açúcar aumenta os riscos do desenvolvimento do câncer ? Sera que a transparência se relaciona com o indice de confiança? O que você pode concluir a partir da leitura dos graficos a seguir?

3- Probabilidades

Diversos autores apontam que o calculo das Probabilidades teve inicio na Idade Media, com as primeiras tentativas de analise matematica das chances de se vencer nos jogos de azar, muito difundidos na epoca. Os jogos tambem eram utilizados para se prever o futuro, decidir conflitos e dividir heranças.

Devem-se aos algebristas italianos Pacioli, Cardano e Tartaglia (sec. XVI) as primeiras considerações matematicas acerca dos jogos e das apostas.

No entanto, a contribuiçao decisiva para o inicio da Teoria das Probabilidades foi dada pela correspondência trocada entre os matematicos franceses Blaise Pascal e seu amigo Pierre de Fermat, em que ambos, por diferentes caminhos, chegam à soluçao correta do celebre problema da divisao das apostas em 1654, quando jogo e interrompido antes do final.

Laplace definiu a Probabilidade de ocorrência de um evento A como sendo:79

Como exemplo considere o lançamento de um dado honesto.

O Diagrama de Veen e muito útil para compreensao dos eventos.

80

Se dois eventos sao mutuamente exclusivos:

81

82

Teorema de Bayes

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4- Distribuições de Probabilidades

A distribuiçao de probabilidades associa uma probabilidade a cada resultado numerico de um experimento, ou seja, da a probabilidade de cada valor de uma variavel aleatória.

Quando lançamos duas vezes uma moeda podemos ter nenhuma coroa, uma coroa ou duas coroas.

Se chamarmos de X = número de coroas temos entao a seguinte distribuiçao:

X = 0 pode acontecer 1 vez X = 1 pode acontecer 2 vezes X = 2 pode acontecer 1 vez

CA. CA. = CA, CA. X = 0 CO. = CA, CO. X = 1

CO. CA. = CO, CA. X = 1 CO. = CO, CO. X = 2

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Distribuição de Bernoulli

Considerando a variavel aleatória X que representa o número de sucessos em “n” provas de Bernoulli tem uma distribuiçao denominada Binomial dada por:

Distribuição de Poisson

Na pratica, muitas situações nas quais interessa o número de observações de uma variavel em um intervalo continuo (tempo ou espaço) podem ser convenientemente explicadas pela distribuiçao de Poisson.

Exemplos: número de chamadas telefônicas por minuto, número de mensagens que chegam a um servidor por segundo, número de acidentes por dia, número de defeitos por m2.

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Distribuição Normal

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Podemos transformar a distribuiçao de area unitaria em qualquer outra se conhecermos a media e o desvio padrao.

87

88

5- Teorema Central do Limite

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6- Inferências estatísticas

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7- Testes de hipóteses

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8- Controle estatístico de processos

Diagrama de Ishikawa

Também é chamado de gráfico de causa – efeito e gráfico espinha de peixe. É utilizado para analisar as causas do problema a ser resolvido, sempre com relação a cada um dos seis elementos envolvidos no processo. A sua forma é mostrada na Figura. Para elaboração do diagrama correspondente a determinado problema, deve-se considerar as opiniões de todos os envolvidos no processo.

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Gráfico de Controle para Média e Amplitude

Também chamado carta de controle, é formado por três linhas paralelas ao eixo das abscissas. A intermediária é chamada “linha média” (LM). As outras duas são chamadas “limites de controle”. A região compreendida entre os limites de controle é chamada “zona de controle”. As regiões abaixo do limite inferior de controle (LIC) e acima do limite superior de controle (LSC) são denominadas “zonas de ação”.

Quando usados de forma adequada os gráficos de controle proporcionam benefícios como:

1) Auxiliar os operadores a atingir e manter o controle de um processo.

2) Proporcionar uma linguagem comum para acompanhar o desempenho do processo.

3) Ajudar a tornar o processo mais consistente e previsível.

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7- Anexos

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Exemplo: Estamos interessados em estudar a qualidade da gasolina nos postos de uma determinada cidade. Essa cidade possui N = 40 postos. A empresa que estudará a qualidade pode investigar apenas uma amostra de n = 4 postos. Para selecionarmos uma amostra, utilizando a amostragem casual simples, basta escolhermos uma posição de qualquer linha da tabela de números aleatórios e extrairmos conjuntos de dois algarismos (pois N, que é o tamanho da população, possui 2 casas decimais), até completarmos os 4 elementos da amostra. Se o número sorteado não existir, simplesmente não consideramos e prosseguimos o processo.

Escolhendo a primeira linha da Tabela de Números Aleatórios, temos a seguinte amostra de

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4 elementos: {09, 26, 29, 11}.

Distribuiçao QUI QUADRADO

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REFERÊNCIAS

1.MONTGOMERY, Douglas C; RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros’. Rio de Janeiro: LTC, 2009. ISBN 8521616643.

2.SPIEGEL, Murray R. Estatística. 3.ed. São Paulo: Pearson, 1994. 860 p. ISBN 978-8534601207.

3. CRESPO, Antonio A. Estatística Fácil. 19.ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 224 p. ISBN 978-8502081062.

4. DOWNING, Douglas; CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada (Série Essencial). 3.ed. São Paulo: Saraiva, 2010. 351 p. ISBN 978-8502104167.

5- WALPOLE, Ronald E. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009

6- LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística aplicada. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.

7- . Silver, Nate. O sinal e o ruído: por que tantas previsões falham e outras não. Tradução: Ana Beatriz Rodrigues, Cláudio Figueiredo. 1ª. Edição – Rio de Janeiro. Ed. Intrínseca, 2013.

8- Costa, Sergio Francisco. Introdução ilustrada à estatística. 4ª. Edição. São Paulo. Editora Harbra, 2005.

9- Gladwell, Malcolm. O ponto de virada. Rio de Janeiro. Sextante, 2009.

10- Barbetta, Pedro Alberto. Estatística aplicada às Ciências Sociais. Florianópolis. Ed. Da UFSC, 2011.

Vídeos disponíveis no Youtube

Apostilas diversas disponíveis no Dropbox

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