ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ENGENHARIA CIVIL

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS E GEOTÉCNICA

TITULO DO PROJETO:

BUSCA POSICIONAL ÓTIMA DE PILARES DE EDIFÍCIO

Candidato: Igor Bello de Oliveira Silva (Nr. USP 10769671)

São Paulo, maio de 2019.

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Resumo

Por muito tempo, o processo de estruturação na construção civil foi feito de forma bruta, sem muitos artifícios tecnológicos, isso devido por muito à complexidade da sua concepção por meio digital.

Atualmente, os problemas de otimização estrutural vêm apresentando crescente interesse, devido à evolução da computação já existem softwares mais robustos que realizam de forma automática cada etapa desse processo de concepção do projeto (lançamento, análise, dimensionamento), sendo assim, tornou-se fácil a implementação computacional de algoritmos matemáticos que promovem a busca por valores ótimos da função objetivo escolhida para o projeto.

Deste modo, nesse projeto objetiva-se desenvolver um programa computacional que integre todo o processo de concepção da estrutura ao algoritmo genético, sendo este utilizado como algoritmo fonte do projeto de otimização, de modo a obter um conjunto de soluções que busquem valores ótimos da posição dos pilares.

A função custo deve ser tomada com o uso de rotinas prontas de dimensionamento de armaduras, de modo a minimizar esse valor, nesse caso a função custo seria proporcional à quantidade de aço utilizado na estrutura.

PALAVRAS CHAVE: Posição de Pilares; Edifícios; Algoritmos Genéticos.

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1. Introdução e Justificativa

Estudos de soluções otimizadas sempre atraem a atenção da área de Engenharia Estrutural. Especificamente, na área de projetos de estruturas, busca-se sempre obter baixo custo de produção, tal como economia de material, no tocante ao menor peso de aço, no volume de concreto, na área de formas, etc. Mas, respeitando as restrições impostas tais como os limites de segurança última e de serviço, conforme preconizadas pelas normas correntes de projeto em concreto armado no país.

Conceitualmente, a otimização de estruturas pode ser classificada em três grandes grupos, a saber: otimizações paramétrica, de forma e topológica. A otimização paramétrica correspondente a uma análise de parâmetros sem alterações no formato estrutural. Esses parâmetros podem estar relacionados às propriedades constitutivas ou geométricas, tais quais módulos de elasticidade ou espessura de uma placa (Lima, 2011). A otimização de forma consiste em encontrar a melhor configuração da estrutura, otimizando o seu contorno. A otimização topológica buscar encontrar a melhor localização e distribuição para os elementos estruturais.

Para o emprego da otimização estrutural o uso de algoritmos computacionais que provejam resultados otimizados que podem se tornar uma excelente opção para diminuir a necessidade de inúmeras verificações para a identificação da melhor da melhor concepção estrutural de um determinado projeto. Com a evolução da capacidade dos computadores, diversos métodos de otimização topológica podem ser utilizados.

Em meio aos métodos de otimização existentes, considera-se os métodos determinísticos e estocásticos. Os métodos determinísticos proporcionam eficiência e rapidez, porém não fornecem um nível de confiança de que as melhores soluções serão encontradas ou em alguns problemas complexos, sua aplicação se torna impraticável. Os métodos estocásticos conseguem fornecer um nível de confiança de que as melhores soluções serão encontradas, entretanto, exige um maior tempo de processamento, pois são procedimentos que envolvem a geração de soluções aleatórios com o objetivo de explorar um conjunto de possibilidades; à medida que as soluções aumentam, sua análise cresce exponencialmente, tendo em vista um grande número de variáveis.

Já os métodos estocásticos são capazes de localizar facilmente a proximidade do ótimo global, contudo, como é baseado na geração aleatória de cada variável - dentro de uma população estabelecida; à medida que as variáveis aumentam, sua análise cresce exponencialmente, o que inviabiliza em termos de tempo de processamento seu uso em problemas com um grande número de variáveis. Porém, para casos com poucas variáveis de interesse, em virtude de sua facilidade de inserção de seu modelo de busca dentro da formulação do problema de análise estrutural, bem como a fácil imposição de funções de restrição, sem a necessidade de intrincadas manipulações algébricas, faz com que seu uso seja interessante, face aos bons resultados apresentados.

Vários métodos de busca estocástica existem na literatura, mas, nesse trabalho foi empregado o método de otimização por meio de Algoritmos Genéticos (AG’s), é um método estocástico de otimização e busca que faz uso de conceitos da Genética e é baseado nos mecanismos de evolução de populações de seres vivos. Foi inspirado no princípio da seleção natural e sobrevivência do mais apto estabelecido por Charles Darwin em seu livro “The Origin of Species em 1859”. Os princípios básicos de AGs foram rigorosamente estabelecidos em Holland (1975) e podem ser encontrados em muitas referências bibliográficas como exemplo: Goldberg (1989) e Michalewicz (1996).

Nesse aspecto, o objetivo deste trabalho de iniciação científica é o desenvolvimento de um modelo computacional de busca das melhores posições de pilares de uma edificação, de modo a usar como função custo uma rotina - já desenvolvida pelo seu orientador - que calcula 2

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a quantidade de armaduras necessária para o dimensionamento de sua seção de acordo com as normas de concreto atuais, empregando essa técnica de otimização estocástica em conjunto com um sistema de análise de esforços e deslocamentos de estruturas de edifícios já existente.

2. Otimização

“Otimização é o ato de se obter o melhor resultado sob determinadas circunstâncias” (RAO, 2009, p. 1, tradução nossa)1. Segundo RAO (2009), a otimização pode ser definida como o processo de busca de condições que tornam máximos ou mínimos valores de uma dada função matemática, chamada função objetivo. Para isso, procuram-se valores para um conjunto de variáveis, também chamadas de parâmetros de projeto, que satisfaçam a condição objetivo, quando sujeitas ou não a restrições impostas previamente.

Ao se estabelecer a função objetivo do problema de otimização, é necessário se definir as suas variáveis, assim como suas restrições quando existentes. Este processo de definição é compreendido como parametrização e, segundo KHAN (2017), ao se utilizar de técnicas de parametrização de projeto, a determinação de um número apropriado de parâmetros e restrições é crucial para o desenvolvimento da sua solução, pois este fator está ligado diretamente ao custo operacional da máquina, em que, a cada adição de novas variáveis com suas respectivas restrições, será exigido uma capacidade de processamento computacional cada vez maior.

RAO (2009) apresenta uma extensa classificação dos problemas de otimização e afirma que não há um método em específico que resolva de modo eficiente todos os tipos. Na verdade, ao longo dos anos, foram desenvolvidos diversos métodos de solução para os mais variados tipos de problema. Tais métodos de busca pelo ótimo são chamados de técnicas de programação matemática, as quais geralmente são estudadas como parte da pesquisa operacional, ramo da matemática que trata de aplicações de técnicas e métodos científicos em problemas de tomadas de decisões, os quais procuram estabelecer a melhor solução.Com isso, RAO (2009) classificou os métodos de solução de problemas de otimização em: técnicas de otimização, ou programação matemática; técnicas de processos estocásticos; métodos estatísticos; e técnicas de otimização moderna, ou não tradicional. A tabela 1 apresenta esta classificação.

Tabela 1 - Classificação dos métodos de solução para problemas de otimização.

1 “Optimization is the act of obtaining the best result under given circumstances.”3

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Fonte: RAO (2009)

Com o surgimento de máquinas com capacidade de processamento cada vez maior, tornou-se possível a obtenção de soluções dos mais variados tipos de problemas de otimização através da implementação computacional. Com isso, a otimização passou a ser um assunto bastante visado nos últimos anos, tanto no âmbito acadêmico como no âmbito profissional.

Na engenharia de estruturas, são encontradas diversas aplicações do estudo de otimização, em que geralmente procura-se otimizar frequência natural, rigidez, massa, resistência, custos etc. através da busca de valores ótimos para dimensões da seção transversal dos elementos de barras, do melhor posicionamento de pilares, da melhor escolha de materiais etc.

Existem vários métodos estocásticos na literatura, mas nesse trabalho será utilizado o método de otimização por meio de Algoritmos Genéticos (AG’s). Sendo com este, possível realizar estudos de um número maior de soluções com redução do tempo. O algoritmo genético é um método de busca que faz uso de conceitos da genética e é baseado nas estruturas de evolução de seres vivos, no princípio da seleção natural e sobrevivência do mais apto. Foi inspirado por Charles Darwin em seu livro “The Origin of Species em 1859”.

3. Algoritmos genéticos – AG’s

Os algoritmos genéticos (AG’s) foram desenvolvidos por Holland (1992) e popularizados por Goldberg (1989), cujos objetivos principais dos autores foram investigar e projetar sistemas artificiais simulares referentes aos princípios naturais das espécies.

Segundo Cheung e Reis (2001), os algoritmos genéticos iniciam o processo de busca criando um conjunto inicial aleatório de soluções possíveis denominado como “população”, cujos indivíduos são denominados “cromossomos”, o tamanho da população é preservado ao longo de cada geração. O cromossomo é uma string, cujas características ou "genes" podem ser codificadas através de representação binária, real, dentre outras. Os cromossomos tendem

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a evoluir-se gradativamente através de sucessivas iterações produzindo novas gerações de indivíduos mais aptos ou capazes em termos da função de aptidão.

A cada geração, os cromossomos são avaliados através da função aptidão, fazendo a classificação das soluções, para selecionar e formar a próxima geração, considerando que os cromossomos com altos valores da função objetivo têm elevada probabilidade de serem preservados para a próxima geração. Depois de várias iterações o algoritmo converge para uma solução do problema ótima ou subótima. A seguir serão descritas etapas realizadas pelos algoritmos genéticos no processo de otimização.

3.1 Representação dos parâmetros

A codificação é a forma de representação de uma possível solução do problema, podendo ser feita por codificação binária, como feito nos trabalhos de Holland na década de 70, ou representação com números reais e inteiros, conforme tem sido realizado recentemente.

Os AG's trabalham com os códigos de espaço (cromossomos) e de solução. As operações genéticas trabalham no código de espaço, já as etapas de avaliação e seleção trabalham no espaço de solução.

Os "cromossomos" são, analogamente, estruturas de dados. Estas estruturas contém as possíveis soluções para o problema a ser maximizado ou minimizado.

3.2 População inicial

A população inicial é criada, em geral, aleatoriamente, através de rotinas computacionais existentes nos compiladores. O número da quantidade de indivíduos da população inicial é definido a cada problema, contudo, se a população for pequena existe a possibilidade de criar alguns locais do espaço de busca podem não estar sendo representados.

3.3 Função aptidão

A função aptidão avalia a capacidade de sobrevivência de um indivíduo da população durante as iterações, classificando as soluções indicando as chances de reprodução de cada um. A classificação pode ser feita através de uma ordenação das soluções de forma decrescente ou crescente as suas aptidões, respectivamente ao problema de maximização ou minimização.

3.4 Seleção

A seleção dos indivíduos da população é baseada na “sobrevivência do mais apto”, onde as soluções com mais alta probabilidade de sobrevivência são mantidas para o conjunto que formará a próxima solução, chamada de população temporária, enquanto as soluções com baixa aptidão serão descartadas da próxima geração.

3.5 Reprodução

Na etapa de reprodução, o algoritmo genético tenta crias soluções novas e melhores, baseado na população da geração anterior.

Como primeiro passo, toda a população temporária é agrupada em pares, gerando um conjunto de progenitores potenciais.

Nessa etapa é aplicado um operador genético sobre os progenitores, de modo que sejam geradas novas soluções. O princípio dos operadores genéticos é transformar a

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população com as gerações, de forma a obter um resultado satisfatório no final do processo, sendo necessários para que a população se diversifique, mas mantenha as características adquiridas pelas gerações anteriores.

Os operadores genéticos podem ser utilizados de diversas maneiras, os mais comuns são: Cruzamento de um Ponto, Cruzamento Multipontos, Cruzamento Uniforme.

3.6 Estrutura básica de um AG’s

A ideia básica do funcionamento dos AG’s é tratar as possíveis soluções do problema como “indivíduos” de uma “população” que irá evoluir a cada iteração “geração”. Neste sentido, é necessário construir um modelo onde os indivíduos sejam as soluções do problema. A seguir, figura 1, está o fluxograma para representação das etapas do Processo de otimização utilizando Algoritmos Genéticos (AG’s).

Figura 1-Fluxograma de um AGs.

4. Objetivo

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O objetivo do trabalho é a otimização da posição ótima de pilares de uma planta de edifício fixa, de modo a se buscar menor quantidade de aço ao longo dos pilares. Para isso, devem-se inserir nas funções custo rotinas já existentes de dimensionamento de pilares em estruturas de concreto armado, conforme indicado pelas normas. Também deve ser fixado a quantidade de pilares no projeto.

5. Plano de trabalho e cronograma de sua execução

Distribuem-se as tarefas do projeto da seguinte forma:1. estudar a linguagem de programação Fortran e linguagem C++;2. estudar o programa de edifícios, já escrito em Fortran, e o programa Galib, de código aberto, de Algoritmos Genéticos, escrito em C++;3. Interligar os sistemas computacionais de AG’s e do Edifício para a análise de otimização, criando as funções custo advindas de rotinas prontas de dimensionamento de pilares;4. Aplicar em um caso de planta de pavimento para verificar as posições ótimas; 5. Redação de relatórios;

A tabela a seguir apresenta uma divisão das atividades descritas anteriormente, divididas em semestres, prevendo um ano para a execução do projeto.

Atividade Ano (bimestres)1/2 3/4 5/6 7/8 9/10 11/12

1) X X2) X X3) X X X4) X X5) X X

6. Materiais e métodos

Para o desenvolvimento do projeto, o aluno deve estudar materiais relativos à aprendizagem da linguagem C++, com o livro de Deitel (2006), e para a linguagem Fortran, indicam-se o livro de Nyhoff e Leestma (1996) e as notas de aula do professor orientador que se encontra em seu site pessoal, Almeida (2015).

Para o desenvolvimento do trabalho será utilizado o programa computacional de Edifícios produzido pelo professor orientador em linguagem Fortran. O professor orientador fornecerá a biblioteca de componentes do método de Algoritmos Genéticos para linguagem C++ desenvolvida por WALL (1996) no Instituto de Tecnologia de Massachusetts. Esta biblioteca já está funcionando do programa Visual Studio 2013, sendo este o ambiente de desenvolvimento integrado que o aluno utilizará. Com isso, após o estudo desta biblioteca, ele deverá desenvolver um algoritmo que importará os dados obtidos na análise estrutural realizada anteriormente e aplicará o processo de otimização pelo método dos Algoritmos Genéticos, de fácil ligação com o código em C++, via a chamada de uma função.

O aluno já cursou a disciplina Introdução à Computação, com nota final de 8,9. Nesse semestre está cursando a disciplina de Introdução a Mecânica das Estruturas, onde aprende

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os conceitos básicos necessários ao projeto e no próximo semestre estudará Resistência dos Materiais. Enfatiza-se que ele não precisa entender de forma profunda conceitos relativos ao Método dos Elementos Finitos ou de Análise Matricial para desenvolver seu projeto, uma vez que focará no desenvolvimento de uma estratégia para criar os pontos de apoios da malha já pronta e como realizar a ligação dos programas já implementados.

O professor orientador está com outro aluno cursando o mestrado estudando esse assunto, mas aplicado na otimização de posições e no dimensionamento de vigas em edifícios, não em pilares. De modo que o aluno também já tem uma referência e apoio para iniciar sua pesquisa.

Para o projeto, o aluno deve utilizar o Laboratório LMC – Laboratório de Mecânica Computacional – que está localizado no departamento onde o professor orientador está lotado, e nesse existem os computadores e os compiladores para ele desenvolver suas atividades do projeto.

7. Formas de análise dos resultados

O objetivo principal do projeto é fazer com que o aluno aprenda sobre o uso da modelagem computacional em problemas de estruturas. Mesmo ele não tendo aprendido sobre a análise matricial em problemas de estruturas, deve absolver esses conhecimentos e terá condições - sob supervisão do professor orientador - de desenvolver o projeto.

Como resultado científico a ser publicado, com o desenvolvimento do trabalho e seu propósito bastante relevante no campo da engenharia civil, pretende-se que o aluno apresente seu projeto do Simpósio de Iniciação Científica da USP.

8. Relevância do trabalho e formação de recurso humana

A relevância do trabalho para a pesquisa é pertinente, pois deve ter contato com dois grandes campos da Engenharia: aplicação da análise numérica no cálculo de esforços e dimensionamento em estruturas e o campo da otimização, que - sem dúvida - é uma área de grande aplicação e estudo para resolver problemas da engenharia. Entretanto, ainda não explorada de maneira suficiente. Destaca-se que a aprendizagem do aluno em vários tópicos será muito importante para sua formação.

Do ponto de vista da formação do aluno, o projeto deverá familiarizar o aluno com o método científico de maneira geral, e o fará conhecer o procedimento de pesquisa acadêmica. Para isso, esse trabalho o fará ter contato com um conjunto de ferramentais muito importante no campo da engenharia. O aluno tem média ponderada de 8,1, onde é o 1º colocado na sua turma de um total de 157 alunos do curso de Engenharia Civil da Escola Politécnica da USP, assim acredita-se que tenha condições de realizar o trabalho.

Tudo isso lhe propiciará um núcleo de conhecimento dentro da área da engenharia com a um foco no campo da simulação numérica, que deverá ser muito útil para a sua formação profissional.

Bibliografia

ALMEIDA, V.S. http://sites.poli.usp.br/p/valerio.almeida/images/Notas_Basicas_Fortran_ano_2015.pdf. Acesso em: 08 abril. 2019.CHEUNG, P.B.; REIS, L.F.R. 2001. Análise de Reabilitação de Redes de Distribuição de Águas para Abastecimento. Plano de Doutorado. Universidade de São Paulo – EESC.

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CORDEIRO, M. de F. Uma técnica para otimização estrutural mediante a derivada topológica. Dissertação (Mestrado) — Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Março 2007.DEITEL, Paul. C++: Como Programar. Edição: 5. Pearson Universidades. 2006.ELTAWEEL, A.; SU, Y. (2017). Parametric design and daylighting: A literature GOLDBERG, D.E. 1989. Genetic algorithms in search, optimization and machine learning. Addison Wesley Longman, London.HOLLAND, J. H. (1975). Adaptation in natural and artificial systems. Ann Arbor,University of Michigan Press.KHAN, S.; GUNPINAR, E.; DOGAN, K.M. A novel design framework for generation and parametric modification of yacht hull surfaces. Ocean Engineering, v.136, p.243-259, 2017.LIMA, M. L. R. Otimização topológica e paramétrica de vigas de concreto armado utilizando algoritmos genéticos. Dissertação (Mestrado), Escola politécnica da Universidade de São Paulo – USP, 2011. Michalewicz, Z. 1996. Genetic algorithms + data structures = evolution programs. Springer-Verlag, Berlin, New York.NYHOFF, L.; LEESTMA, S. FORTRAN 90 for Engineers and Scientists. 1a. edição. Prentice Hall. 1996.RAO, S. S. Engineering optimization: theory and practice. 4. ed. Chichester: J. Wiley, 2009. 813pWALL, Matthew. GAlib: A C++ Library of Genetic Algorithm Components. Massachusetts Institute of Technology, 1996. (http://lancet.mit.edu/ga/).WEAVER, GERE, E. Análise de Estruturas Reticuladas. Editora Guanabara Dois S.A. , Rio de Janeiro, 1981.

Prof. Valério S Almeida

Aluno Igor Bello de Oliveira Silva

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