SEGUNDA FASE DEL TRABAJO COLABORATIVO

1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1.−x−4 y−11 z=−15x−9 y+z=−8−x+6 z=6

−x1−4 x2−11 x3=−15

x1−9 x2+ x3=−8

−x1+6 x3=6

Solución

(−1 −4 −111 −9 1

.−1 0 6 |−15−86 )

−1 f 1( 1 4 111 −9 1

.−1 0 6 |15−86 )

f 2−1 f 1; f 3+ f 1(1 4 110 −13 −100 4 17 | 15−23

21 )−113

f 2(1 4 11

0 1 1013

0 4 17|15231321

)

f 1−4 f 3 ; f 3−4 f 2(1 0 103

13

0 1 1013

0 0 18113

|10313231318113

)13181

f 3(1 0 10313

0 1 1013

0 0 1|1031323131

)f 2−10

13f 3 ; f 1−103

13∗f 3(1 0 0

0 1 00 0 1|

011)

Resultado=x1=0x2=1x3=1

1.2. −7 x+2 y−1 z+4w=103 x−5 y−2 z−w=−9

Solución

(−7 2 −1 43 −5 −2 −1|10−9)

−17

f 1∗(1 −27

17

−47

3 −5 −2 −1|−107

−9 )f 2−3 f 1∗(1

−27

17

−47

0 −297

−177

57

|−107−337

)−729

f 2∗(1−27

17

−47

0 1 1729

−529

|−1073329

)

f 1+ 27f 2∗(1 0 9

29−1829

0 1 1729

−529

|−32293329

)Resultado=

x+ 929

z+(−1829 )w=−3229

y+ 1729

z+(−529 )w=3329

Depejamos xde la primera ecuacion

x=−929

z−(−1829 )w−3229

Depejamos xde la segunda ecuacion

y=−1729

z−(−529 )w+ 3329

Lo que buscamos es u vector [ x , y , z ,w ], que satisfaga el sistema por lo tanto podemos escribirlo así:

[−929 z+1829

w−3229

,− 1729

z+ 529

w+ 3329

, z ,w](1)Esta es una solución particular

[−929 z+1829

w−3229

,−1729

z+ 529

w+ 3329

, z ,w]Si z=0 y w=0 , resulta

[−3229 , 3329

,0 ,0] solucion particular 1Otra solución particular si z=2 y w=1, resulta

[−3229 , 429

,2 ,1]solucion particular 2

2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera para hallar A−1 )

x− y−z=03 x− y+3 z=2−x+z=−1

A=| 1 −1 −13 −1 3

−1 0 1 |Calculamos la determinante

¿1∗|−1 30 −1|−(−1 )∗| 3 3

−1 1|+ (−1 )∗| 3 −1−1 0 |=6

Cofactores

A11=(−1)1+1|M 11|=M 11=|1 30 1|=1

A12=(−1)1+2|M 12|=−M12=−| 3 3−1 1|=−6

A13=(−1)1+3|M13|=M 13=| 3 −1−1 0 |=−1

A21=(−1)2+1|M 21|=−M21=−|−1 −10 1 |=1

A22=(−1)2+2|M 22|=M22=| 1 −1−1 1 |=0

A23=(−1)2+3|M 23|=−M 23=−| 1 −1−1 0 |=−1

A31=(−1)3+1|M 31|=M 31=|1 −13 −1|=2

A32=(−1)3+2|M32|=−M32=−|1 −13 3 |=−6

A33=(−1)3+3|M 33|=M 33=|1 −13 −1|=2

Matriz de cofactores

A=(A11 A12 A13A21 A22 A23A31 A32 A33)=(1 −6 −1

1 0 −12 −6 2 )

AdjA=A t ( 1 1 2−6 0 −6−1 −1 2 )

A−1= 1DetA

∗AdjA=16∗( 1 1 2

−6 0 −6−1 −1 2 )

A−1=(16

16

13

−1 0 −1−16

−16

13

)3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

3.1. Contiene a los puntos R=(−6,6 ,1 ) y Q=(−10 ,2,−3)

Solución

3L contiene a los puntos R=(−6,6 ,1 ) y Q=(−10 ,2,−3)

v=RQ=(−10+6 ) i+(2−6 ) j+(−3−1) k

v=RQ=−4 i−4 j−4 k

Por lo tanto

a=−4b=−4 c=−4

Ecuaciones paramétricas

x=x1+taentonces x=−6−4 t

y= y1+tb entonces y=6−4 t

z=z1+tc entonces z=1−4 t

x−x1a

=y− y1b

=z−z1c

Entonces

x+6−4

= y−6−4

= z−1−4

Para encontrar otros puntos que se encuentren en la recta, podemos darle valor a t, en las ecuaciones paramétricas. t=2

x=−6−4 t x=−6−4 (2 )=−14

y=6−4 t y=6−4 (2 )=−2

z=1−4 t z=1−4 (2 )=−7

Por tanto el punto −14 ,−2 ,−7¿ también está en L

3.2. Contiene a P=(−5 ,0 ,−8) y es paralela a la recta x−9−1

= y+3−6

= z−5−10

Solución

v=(−1 ,−6 ,−10 )

P= (−5 ,0 ,−8 )=(x1 y1 , z1 ) y v=−i−6 j−10 k

x=−5−t

y=0−6 t

z=−8−10 t

Donde las ecuaciones simétricas son de la siguiente forma

x−x1a

=y− y1b

=z−z1c

x+5−1

= y−0−6

= z+8−10

4. Encuentre la ecuación general del plano que:4.1. Contiene los puntos S= (1,−8 ,−2 ) ,Q=(−3,0 ,−8 ) y T=(5 ,−6 ,1)

Solución

Formamos los vectores SQ y ST

SQ= (−3−1 ) i+ (0+8 ) j+(−8+2 ) k=−4 i+8 j−6 k

ST=(5−1 ) i+(−6+8 ) j+ (1+2 ) k=4 i+2 j+3 k

Hallamos un vector perpendicular a SQ y ST , (este nos sirvecomo vector normal )

SQ X ST=|−4 8 −64 2 3 |

¿ i|8 −62 3 |− j|−4 −6

4 3 |+k|−4 84 2|=i (24+12 )− j (−12+24 )+k (−8−32 )

¿36 i−12 j−40 k

Entonces utilizando cualquiera de los tres puntos (por ejemplo Q) tenemos:

36 (x−x1 )−12 ( y− y1)−40 ( z−z1 )=0

36 (x−(−3 ) )−12 ( y−0 )−40 ( z− (−8 ) )=0

36 ( x+3 )−12 ( y )−40 ( z+8 )=0

36 x+108−12 ( y )−40 z−320=0

36 x−12 y−40z=−108+320

36 x−12 y−40 z=212(÷4)

9 x−3 y−10 z=53

Graficando

4.2. Contiene al punto Q= (−7 ,2 ,1 ) y tiene como vector normal n=−i−2 j+4 k

Solución

−( x+7 )−2 ( y−2 )+4 ( z+1 )=0

−x−7−2 y+2+4 z+4=0

−x−2 y+4 z=7−2−4

−x−2 y+4 z=1

5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:

π1:−3 x−5 y+z=−2 y π2:−9 x+7 y+3 z=−10

Solución

π1→n1=−3 i−5 j+ k

π2→n2=−9 i+7 j+3 k

n1 x n2=|−3 −5 1−9 7 3|

¿ i|−5 17 3|− j|−3 1

4 −9|+k|−3 −5−9 7 |=i (−15−7 )− j (27−4 )+ k (−21−24 )

¿−22 i−23 j−66 k ≠0 i+0 j+0 k→No son paralelos

Hallamos los puntos de intersección

(−3 −5 1−9 7 3|−2−10)−13

f 1( 1 53

−13

−9 7 3 | 23−10)f 2+9 f 1(1 5

3−13

0 22 0 | 23−4)122

f 2(1 53

−13

0 1 0 | 23−211

)f 1−5

3f 2(1 0 −1

30 1 0 | 3233−2

11)

Las ecuaciones resultantes son:

x− z3=3233

y=−211