SEM 501 – Dinâmica Aplicada às Máquinasfmarques.eesc.usp.br/wp-content/uploads/2015/04/... · SEM 501 – Dinâmica Aplicada às Máquinas Prof. Assoc. Flávio D. Marques São

SEM 501 – Dinâmica Aplicada às MáquinasProf. Assoc. Flávio D. Marques

São Carlos, 2018

I – Cinemática de um Ponto Material

Exemplo I.1 Um rapaz posicionado à beira de um abismo arremessa uma bola na vertical.Se a velocidade inicial da bola é 15m/s para cima e a bola é arremessada de uma altura de40m do fundo do abismo, determine a máxima altura sB que a bola alcançará e sua velocidadeao atingir o fundo do abismo. Durante todo o tempo de movimento a bola é sujeita a aceleraçãoda gravidade (9, 81m/s2, constante). Desprezar os efeitos da resistência do ar.

Exemplo I.2 O gráfico v–t está relacionado ao movimento retilíneo de um carro. Se o carroparte do repouso na posição s = 0: (a) desenhe os gráficos a–t e s–t; (b) determine a aceleraçãomáxima durante o intervalo de 30s; (c) determine a velocidade média e a distância percorridano intervalo de tempo 30s.

1

Exemplo I.3 Um carrinho inicia do re-pouso no ponto A e move-se nos trilhoshorizontais. Durante o movimento a ace-leração é at = (0, 2t)m/s2, onde t é dadoem segundos. Determine a magnitude daaceleração do carrinho quando este atingeo ponto B.

Exemplo I.4 Partindo do repouso, um bote segue uma trajetória circular (ρ = 50m) a umavelocidade escalar v = (0, 2t2)m/s, onde t é dado em segundos. Determine os módulos davelocidade e da aceleração do bote no instante t = 3s.

Exemplo I.5 O avião à jato desloca-seem uma trajetória parabólica. Quando elepassa pelo ponto A, sua velocidade é de200m/s e está crescendo a uma taxa de0, 8m/s2. Determine o módulo da acelera-ção do jato no ponto A.

2

Exemplo I.6 Uma barra AB apresenta uma rotação angular constante de 5rad/s e estáavançando para cima ao longo do eixo do parafuso a uma razão constante de 10mm/s. Expressara velocidade e aceleração do ponto A em termos de componentes cilíndricas.

Exemplo I.7 Água pinga de uma torneira a uma razão de cinco gotas por segundo. De-termine o espaço que separa duas gotas consecutivas após a gotas mais abaixo ter atingido3m/s.

3

Exemplo I.8 Um trem está viajando a uma velocidade escalar constante de 14m/s. De-termine o módulo da aceleração da frente B do trem no instante em que ele atinge o ponto A(y = 0).

Exemplo I.9 Seja uma bola chutada de A que passa rente ao topo de uma parede, atingindosua altura máxima de trajetória em B. Sabendo que a distância de A para a parede é 20m e quea altura da parede é de 4m, determine a velocidade inicial da bola ao ser chutada. Desprezaro tamanho da bola e resistência do ar.

4

II – Cinemática de um Corpo Rígido

Exemplo II.1 O disco A inicia sua rotação do repouso com uma aceleração angular cons-tante de αA = 2rad/s2. Se o disco A está em contato com o disco B e não ocorre escorregamentoentre os discos, determine a velocidade e aceleração angular de B apenas quando A girar 10revoluções.

Exemplo II.2 Um motor de dois cilindros foi desenvolvido de forma a ter os dois pistõesconectados à manivela BE por meio de uma barra mestra ABC articulada com a barra AD. Sea manivela gira com velocidade angular de 30rad/s, determine as velocidades dos pistões C eD.

Exemplo II.3 Determine a localização do centro instantâneo de velocidade nula para (1) aroda da Figura (a) que rola sem escorregar pelo solo; (2) a biela BC da Figura (b); (3) oelemento CB da Figura (c).

5

Exemplo II.4 Num dado instante, o vo-lante está girando com a velocidade e aaceleração angulares indicadas na figura.Determine a aceleração do bloco B, nesteinstante.

Exemplo II.5 A manivela AB de um motorgira com aceleração angular de 20rad/s2

no sentido horário. Determine a acelera-ção do pistão no instante em que AB estána posição mostrada na figura. Nesse ins-tante, ωAB = 10rad/s e ωBC = 2, 43rad/s.

Exemplo II.6 Seja uma barra girando no plano XY em relação ao ponto O e ao longodessa barra um colar C , que está a uma distância de 0, 3m de O, se desloca como mostrado nafigura. A velocidade e aceleração do colar são dadas em relação à barra. Determinar os vetoresvelocidade e aceleração do colar C medidos num referencial fixo (X, Y ) arbitrário.

α = 4 rad/s2

ω = 2 rad/s 3 m/s

4 m/s2

C

X

Y

O

6

III – Dinâmica de um Ponto Material: Força e Aceleração

Exemplo III.1 Uma bala de massa m é impulsionada dentro de uma câmara pela pressão deum gás causada pela queima de pólvora. Se a pressão causa uma força de F = F0 sin(πt/t0)

na bala, determine a velocidade e posição em função do tempo t. Dentro da câmara, qual é avelocidade máxima atingida pela bala?

Problem 13-17

The bullet of mass m is given a velocity due to gas pressure caused by the burning of powderwithin the chamber of the gun. Assuming this pressure creates a force of F = F0sin(St / t0) onthe bullet, determine the velocity of the bullet at any instant it is in the barrel. What is the bullet’smaximum velocity? Also, determine the position of the bullet in the barrel as a function of time.

Solution:

F0 sin Stt0

§¨©

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m a advdt

F0

msin

S tt0

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0

vv1

´µ¶

d

0

t

tF0

msin

S tt0

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´µµ¶

d

vF0 t0

Sm1 cos

S tt0

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vmax occurs when cosS tt0

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1� , or t t0

vmax2F0 t0

Sm

0

ss1

´µ¶

d

0

t

tF0 t0

Sm

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1 cosS tt0

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´µµ¶

d

sF0 t0

Smt

t0

Ssin

S tt0

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© 2007 R. C. Hibbeler. Published by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under all copyright laws as they currently exist. No portion of this material may

be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.

For the exclusive use of adopters of the Hibbeler series of books.

Exemplo III.2 Em um dado instante o bloco A de 10lb está se movendo para baixo comvelocidade de 6ft/s. Determine sua velocidade decorridos 2s. O bloco B tem peso de 4lb e ocoeficiente de fricção cinético entre este o plano horizontal é µc = 0, 2. Despreze as massasdas polias e cordas.

*Problem 13-24

At a given instant block A of weight WA is moving downward with speed vA0. Determine its speedat a later time t. Block B has a weight WB and the coefficient of kinetic friction between it and thehorizontal plane is Pk. Neglect the mass of the pulleys and cord.

Given:

WA 10 lb

vA0 6fts

t 2 s

WB 4 lb

Pk 0.2

g 32.2ft

s2

Solution L sB 2sA�

Guesses aA 1ft

s2 aB 1

ft

s2 T 1 lb

Given T PkWB�WB�

g§¨©

·¸¹aB

2T WA�WA�

g§¨©

·¸¹aA

0 aB 2aA�

T

aA

aB

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¹̧

Find T aA� aB�� T 3.38 lb aA

aB

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10.40

20.81�§¨©

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ft

s2

vA vA0 aA t� vA 26.8fts

© 2007 R. C. Hibbeler. Published by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved.

This material is protected under all copyright laws as they currently exist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.


Exemplo III.3 Uma aeronave desloca-se com velocidade constante de 800ft/s por uma tra-jetória y = 20× 10−6x2 +5000 (ft). Determine os módulos das componentes de forças normal etangencial que o acento exerce no piloto (peso de 180lb) quando a aeronave passa pelo pontomais baixo da trajetória em relação ao solo.

7

Problem 13-55

The plane is traveling at a constant speed v along the curve y = bx2 + c. If the pilot hasweight W, determine the normal and tangential components of the force the seat exerts onthe pilot when the plane is at its lowest point.

Given:

b 20 10 6�u1ft

c 5000 ft

W 180 lb

v 800fts

Solution:

x 0 ft

y b x2 c�

y' 2b x

y'' 2b

U1 y'2�� 3y''

Fn W�Wgv2

U

§¨©

·¸¹

Fn WWgv2

U

§¨©

·¸¹

� Fn 323 lb

Ft 0 at 0 FtWg

§̈©

·̧¹at




Exemplo III.4* Determine a velocidade constante dos passageiros do carrossel tal que oscabos de sustentação de todas as cadeiras apresentem inclinação θ = 30◦, como ilustrado nafigura. A massa de cada passageiro é mp = 50kg e a massa total passageiro e cadeira émc = 80kg. Determine também as componentes das forças tangencial, normal e binormal que acadeira exerce no passageiro durante o movimento. Seja b = 6m, d = 4m e g = 9, 81m/s2.

Problem 13-67

Determine the constant speed of the passengers on the amusement-park ride if it is observed thatthe supporting cables are directed at angle T from the vertical. Each chair including its passengerhas a mass mc. Also, what are the components of force in the n, t, and b directions which the chairexerts on a passenger of mass mp during the motion?

Given:

T 30 deg d 4 m

mc 80 kg b 6 m

mp 50kg g 9.81m

s2

Solution:

The initial guesses:

T 100 N v 10ms

Given T sin T� � mcv2

d b sin T� ��

§¨©

·¸¹

T cos T� � mc g� 0

T

v§¨©

·¸¹

Find T v�( ) T 906 N v 6.30ms

6Fn = man; Fnmp v2

d b sin T� �� Fn 283 N

6Ft = mat; Ft 0 N Ft 0

6Fb = mab; Fb mp g� 0 Fb mp g Fb 491 N




8

IV – Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido: Força e Aceleração

Exemplo IV.1 Um rapaz e sua bicicleta tem massa total de 80kg com centro de massa noponto G (a = 0, 55m, b = 0, 4m e c = 1, 2m). Se o coeficiente de atrito cinético no pneu traseiroé µB = 0, 8, determine as reações normal em A e B e desaceleração do rapaz quando os freiostraseiros são aplicados a ponto de bloquear essa roda. Determine também qual é o valor mínimodo coeficiente de atrito cinético tal que a roda traseira B começa a perder o contato com o solodada a aplicação dos freios na roda dianteira (bloqueio). Desprezar as massas das rodas.

*Problem 17-48

The bicycle and rider have a mass M withcenter of mass located at G. Determinethe minimum coefficient of kinetic frictionbetween the road and the wheels so thatthe rear wheel B starts to lift off theground when the rider applies the brakesto the front wheel. Neglect the mass ofthe wheels.

Given:

M 80 kg b 0.4 m

a 0.55 m c 1.2 m

Solution: NB 0

Guesses aG 1m

s2

Pk 0.1

NA 1 N

Given Pk NA M aG

NA M g� 0

M g a M aGc

aG

Pk

NA

§¨¨¨©

·¸¸¸¹

Find aG Pk� NA�� NA 785 N aG 4.49m

s2 Pk 0.458




Exemplo IV.2 Para determinar experimentalmente o valor do momento de inércia de massa deuma biela de 4kg esta é suspensa horizontalmente em A por uma corda e em B por um mancalde um instrumento usado para medida de força. No equilíbrio o instrumento mede 14, 6N emB. No instante em que a corda em A é solta, a força medida no instrumento é de 9, 3N . Paraessas condições, determinar IG, bem como a posição horizontal do centro de massa G. Admitirg = 9, 81m/s2 e a = 350mm.

*Problem 17-68

In order to experimentally determine the moment of inertia IG of a connecting rod of mass M,the rod is suspended horizontally at A by a cord and at B by a bearing and piezoelectric sensor,an instrument used for measuring force. Under these equilibrium conditions, the force at B ismeasured as F1. If, at the instant the cord is released, the reaction at B is measured as F2,determine the value of IG. The support at B does not move when the measurement is taken.For the calculation, the horizontal location of G must be determined.

Given:

M 4 kg a 350 mm

F1 14.6 N g 9.81m

s2

F2 9.3 N

Solution:

Guesses

x 1 mm IG 1 kg m2�

Ay 1 N D 1rad

s2

Given

Ay M g� F1� 0

M� g x F1 a� 0

F2 M g� M� D a x�( )

M g a x�( ) IG M a x�( )2�ª¬ º¼D

x

IG

Ay

D

§¨¨¨¨©

·¸¸¸¸¹

Find x IG� Ay� D��

x 130 mm Ay 24.6 N D 34.1rad

s2 IG 0.0600 kg m2�




Exemplo IV.3 Uma barra uniforme de 10lb e comprimento l = 2ft é apoiada a um planohorizontal por um rolete A de massa desprezível. O coeficiente de atrito cinético entre o rolete

9

e o plano é µk = 0, 2. Desprezando d, determinar as acelerações no centro de massa da barrae no ponto A quando um força de 15lb é exercida no ponto A, conforme a figura. Admitirg = 32, 2ft/s2.

Problem 17-101

A uniform rod having weight W is pin-supported at A from a roller which rides on horizontal track.Assume that the roller at A is replaced by a slider block having a negligible mass. The coefficient ofkinetic friction between the block and the track is Pk. Neglect the dimension d and the size of theblock in the computations.

Given:

W 10 lb

F 15 lb

l 2 ft

Pk 0.2

g 32.2ft

s2

Solution:

Guesses aG 1ft

s2 aA 1

ft

s2 D 1

rad

s2

Given

F PkW�Wg

§̈©

·̧¹aG

F PkW�� l2

112

Wg

§̈©

·̧¹l2D

aA aG Dl2§̈©·̧¹

�

aG

aA

D

§̈¨¨©

·̧¸¸¹

Find aG aA� D��

aG 41.86ft

s2 D 126

rad

s2 aA 167

ft

s2




Exemplo IV.4* Determine a maior aceleração possível de um carro de corrida de 975kg demaneira que os pneus dianteiros não percam o contato com o solo. Admitir tração traseirae coeficientes de atrito estático µe = 0, 8 e cinético µc = 0, 6. As dimensões principais são:a = 1, 82m, b = 2, 20m e h = 0, 55m. Tomar g = 9, 81m/s2.

Problem 17-25

Determine the greatest possible acceleration of the race car of mass M so that its front tires donot leave the ground nor the tires slip on the track. The coefficients of static and kineticfriction are Ps and Pk respectively. Neglect the mass of the tires. The car has four-wheel drive.

Given:

M 975 kg Ps 0.8

a 1.82 m Pk 0.6

b 2.20 m g 9.81m

s2

h 0.55 m

Solution:

First assume that all wheels are onthe verge of slipping

FA PsNA

FB PsNB

Guesses

NA 1 N NB 1 N aG 1m

s2

Given

PsNB PsNA� MaG NA NB� Mg� 0

NA� a NB b a�( )� PsNBh� PsNAh� 0

NA

NB

aG1

§̈

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¸¸¹

Find NA NB� aG�� NA

NB

§¨©

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261�

9826§¨©

·¸¹

N aG1 7.85m

s2

Next assume that the front wheels loose contact with the ground NA 0

Guesses NB 1 N FB 1 N aG 1m

s2

Given FB MaG NB Mg� 0 NB b a�( ) FBh� 0

NB

FB

aG2

§̈

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·̧

¸¸¹

Find NB FB� aG�� NB

FB

§¨©

·¸¹

9565

6608§¨©

·¸¹

N aG2 6.78m

s2




10

V – Dinâmica de um Ponto Material: Trabalho e Energia

Exemplo V.1 Determine a altura h requerida da montanha russa para que quando o carrinhoesteja em repouso no ponto A (o mais alto) o mesmo atinja uma velocidade v = 100km/h noponto B. Também determine qual seria o mínimo raio de curvatura ρ no ponto B para que ospassageiros não experimentem força normal maior que 4Mg (newtons), onde M é a massa deum passageiro.

*Problem 14-8

Determine the required height h of the roller coaster so that when it is essentially at rest at thecrest of the hill it will reach a speed v when it comes to the bottom. Also, what should be theminimum radius of curvature U for the track at B so that the passengers do not experience anormal force greater than kmg? Neglect the size of the car and passengers.

Given:

v 100kmhr

k 4

Solution:

T1 U12� T2

m g h12

m v2

h12

v2

g

h 39.3 m

k m g m g�m v2

U

Uv2

g k 1�( )

U 26.2 m




Exemplo V.2 O movimento de uma camionete de peso 4500lb é contido usando um caixa debrita AB (d = 50ft) e uma barreira de barris BC . Admite-se que ao atingir a caixa de brita aforça de resistência é constante e vale Ft = 160lb por roda e na barreira de barris a força deresistência é dada pelo gráfico (k = 1000lb/ft3). Determinar a distância x que a camionete irápenetrar a barreira se em A a velocidade é v0 = 60ft/s (g = 32, 2ft/s2)

*Problem 14-20

The motion of a truck is arrested using a bed of loose stones AB and a set of crash barrels BC.If experiments show that the stones provide a rolling resistance Ft per wheel and the crashbarrels provide a resistance as shown in the graph, determine the distance x the truck of weightW penetrates the barrels if the truck is coasting at speed v0 when it approaches A. Neglect thesize of the truck.

Given:

Ft 160 lb

W 4500 lb

v0 60fts

d 50 ft

k 1000lb

ft3

g 32.2ft

s2

Solution:

12Wg

§̈©

·̧¹v0

2 4Ft d� kx4

4� 0 x

2Wv02

kg

16Ft d

k�

§¨©

·¸¹

14

x 5.44 ft




Exemplo V.3 Cada uma das tiras elásticas de um estilingue tem um comprimento não esticadode l = 200mm. Eles são puxados para uma posição como na figura, sendo a = 240mm eb = 50mm. Um objeto de M = 25g é arremessado do estilingue. Desprezando a massa dastiras elásticas e adotando a rigidez das mesmas como k = 50N/m, determine a velocidade queo objeto atinge quando as tiras voltarem à condição não esticadas. Se o objeto é arremessadoexatamente na direção vertical, determine a máxima altura h atingida.

11

Problem 14-74

Each of the two elastic rubber bands of the slingshot has an unstretched length l. If they arepulled back to the position shown and released from rest, determine the maximum height thepellet of mass M will reach if it is fired vertically upward. Neglect the mass of the rubber bandsand the change in elevation of the pellet while it is constrained by the rubber bands. Each rubberband has a stiffness k.

Given:

l 200 mm

M 25 gm

a 240 mm

b 50 mm

k 50Nm

Solution:

T1 V1� T2 V2�

0 212k b2 a2� l�� 2ª

«¬

º»¼

� Mgh

hkMg

b2 a2� l�� 2 h 416 mm




Exemplo V.4* Uma escada rolante move-se com velocidade constante v = 0, 6m/s. Se osdegraus têm altura h = 125mm e largura l = 250mm, determine a potência necessária do motorpara elevar uma massa média M = 150kg por degrau. A escada apresenta n = 32 degraus esua altura é d metros. Adotar g = 9, 81m/s2. Na eventualidade da escada não se movendo,determine também a velocidade constante com que uma pessoa de 80kg deve subir os degrausconsiderando gerar uma potência de 100W .

Problem 14-46

The escalator steps move with a constant speed v. If the steps are of height h and length l,determine the power of a motor needed to lift an average mass M per step.There are nsteps.

Given:

M 150 kg h 125 mm

n 32 l 250 mm

v 0.6ms

d nh

Solution:

T atanhl

§̈©·̧¹

P nMgv sin T� �

P 12.63 kW




12

VI – Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido: Trabalho e Energia

Exemplo VI.1 Uma barra de peso W = 10lb (a = 1ft) é articulada em seu centro O econectada a uma mola de torção de constante k = 5 lb.ft

rad. Se a barra é solta do repouso quando

θ = 90◦, use o princípio do trabalho e energia para obter a velocidade angular no instante emque θ = 0◦. Adotar g = 32, 2ft/s2.

*Problem 18-8

The bar of weight W is pinned at its center O and connected to a torsional spring. Thespring has a stiffness k, so that the torque developed is M = kT�� If the bar is releasedfrom rest when it is vertical at T = 90q, determine its angular velocity at the instant T = 0q�Use the prinicple of work and energy.��

Given:

W 10 lb

k 5lb ftrad

a 1 ft

g 32.2ft

s2

Solution:

T0 90 deg Tf 0 deg Guess Z 1rads

Given12

kT02 1

2kTf

2 12

Wg

§̈©

·̧¹

2a( )2

12Z2

� Z Find Z� � Z 10.9rads




Exemplo VI.2 O motor M permite a ação de uma força no cabo dada por P = 800(3− 2e−x)

(N ), onde x é a quantidade em metros de cabo enrolado pelo motor. A polia da figura tem massaMp = 10kg, raio r = 0, 3m e raio de giração em relação ao ponto O de kO = 0, 21m. Calculea velocidade do caixote de massa Mc = 50kg após ser elevado do repouso em h = 2m. Adotarg = 9, 81m/s2 e desprezar escorregamento do cabo na polia.

Problem 18-14

The pulley of mass Mp has a radius of gyration about O of kO. If a motor M supplies a force to

the cable of P = a (b � ce-dx) where x is the amount of cable wound up, determine the speed ofthe crate of mass Mc when it has been hoisted a distance h starting from rest. Neglect themass of the cable and assume the cable does not slip on the pulley.

Given:

Mp 10 kg a 800 N

Mc 50 kg b 3

kO 0.21 m c 2

r 0.3 m d1m

h 2 m

Solution:

Guesses vc 1ms

Given0

hxa b c e d� x�� ´

µ¶

d12

Mp kO2 vc

r§¨©

·¸¹

212

Mc vc2� Mc g h�

vc Find vc� � vc 9.42ms




Exemplo VI.3 O disco de 15lb e raio 0, 5ft gira em relação ao pino A com velocidade angularω = 2rad/s quando θ = 0◦. Por conservação da energia mecânica, determine sua velocidadeangular no instante em que θ = 90◦, bem como as respectivas reações no pino A. Adotarg = 32, 2ft/s2.

13

Problem 18-43

The disk of weight W is rotating about pin A in the vertical plane with an angular velocity Z�

when T = 0°. Determine its angular velocity at the instant shown, T� �90 deg. Also, computethe horizontal and vertical components of reaction at A at this instant.

Given:

W 15 lb

Z1 2rads

T 90 deg

r 0.5 ft

g 32.2ft

s2

Solution:

Guesses Ax 1 lb Ay 1 lb Z2 1rads

D 1rad

s2

Given12

32

Wg

r2§̈©

·̧¹Z1

2W r�

12

32

Wg

r2§̈©

·̧¹Z2

2

Ax�W�g

§̈©

·̧¹

rZ22

Ay W�W�g

§̈©

·̧¹Dr W� r

3�2

Wg

§̈©

·̧¹

r2D

Ax

Ay

Z2

D

§¨¨¨¨©

·¸¸¸¸¹

Find Ax Ay� Z2� D�� D 42.9rad

s2 Z2 9.48

rads

Ax

Ay

§¨©

·¸¹

20.9

5.0§¨©

·¸¹

lb




Exemplo VI.4* O mecanismo consiste de duas barras (l = 3ft) vinculadas a dois discos deraio r = 0, 5ft. O peso de cada barra é 8lb, enquanto que o peso de cada disco é 10lb. Se asbarras são soltas do repouso quando θ = 60◦, calcular as velocidades angulares no instante emque θ = 0◦. Admitir g = 32, 2ft/s2 e que não ocorre escorregamento.

Problem 18-57

The assembly consists of two bars of weight W1 which are pinconnected to the two disks ofweight W2. If the bars are released from rest at T� �T0, determine their angular velocities at theinstant T = 0°. Assume the disks roll without slipping.

Given:

W1 8 lb

W2 10 lb

r 0.5 ft

l 3 ft

T0 60 deg

Solution:

Guess Z 1rads

Given 2W1l2§̈©·̧¹

sin T0� � 212

W1g

§¨©

·¸¹l2

3

§¨©

·¸¹Z2

Z Find Z� � Z 5.28rads




14

VII – Dinâmica de um Ponto Material: Impulso e Quantidade de Movimento

Exemplo VII.1 Uma aeronave de massa M = 7000kg decola de um porta aviões que navegana mesma direção da decolagem com v = 40km/h. A força de empuxo durante a decolagemvaria conforme o gráfico, sendo F1 = 5kN , t1 = 2s, F2 = 15kN e t2 = 5s. calcular a velocidadeda aeronave no tempo t = 5s. Adotar g = 32, 2ft/s2.

Problem 15-29

A jet plane having a mass M takes off from an aircraft carrier such that the engine thrust variesas shown by the graph. If the carrier is traveling forward with a speed v, determine the plane’sairspeed after time t.

Units Used:

Mg 103 kg

kN 103 N

Given:

M 7 Mg t1 2 s

v 40kmhr

t2 5 s

F1 5 kN t 5 s

F2 15 kN

Solution:

The impulse exerted on the plane is equal to the area under the graph.

Mv12F1 t1�

12F1 F2�� t2 t1�� Mv1

v1 v1

2MF1 t1 F1 F2�� t2 t1�� ª¬ º¼� v1 16.11

ms




Exemplo VII.2 Um bloco de massa Ma = 10kg repousa em um plano inclinado (θ = 30◦)apoiado em A. Uma bala de massa Mb = 10g atinge o bloco com velocidade vb = 300m/s,ficando presa ao bloco após o impacto. Determine a distância que o bloco percorre rampa acimaaté parar. Desprezar o atrito entre a rampa e o bloco e adotar g = 9, 81m/s2.

*Problem 15-48

The block of mass Ma is held at rest on thesmooth inclined plane by the stop block atA. If the bullet of mass Mb is traveling atspeed v when it becomes embedded in theblock of mass Mc, determine the distancethe block will slide up along the plane beforemomentarily stopping.

Given:

Ma 10 kg v 300ms

Mb 10 gm T 30 deg

Mc 10 kg

Solution:

Conservation of Linear Momentum: If we consider the block and the bullet as a system,then from the FBD, the impulsive force F caused by the impact is internal to the system.Therefore, it will cancel out. Also, the weight of the bullet and the block are nonimpulsiveforces. As the result, linear momentum is conserved along the x axis

Mb vbx Mb Ma�� vx

Mb v cos T� � Mb Ma�� vx

vx Mb vcos T� �

Mb Ma�§¨©

·¸¹

vx 0.2595ms

Conservation of Energy: The datum is set at the block’s initial position. When the block andthe embedded bullet are at their highest point they are a distance h above the datum. Theirgravitational potential energy is (Ma + Mb)gh. Applying Eq. 14-21, we have

012

Ma Mb�� vx2� 0 Ma Mb�� g h�

h12

vx2

g

§¨©

·¸¹

h 3.43 mm

dh

sin T� � d 6.87 mm




Exemplo VII.3 O bloco B de 10lb está em repouso em uma superfície sem atrito. Agindosobre o bloco uma força radial FR = 2lb e uma horizontal FH = 7lb com θ = 30◦ em relação àtangente da trajetória do bloco. Se o bloco está a uma distância r = 4ft do ponto de rotaçãoA e sabendo que a corda que liga o bloco ao centro de rotação romperá se a força ultrapassar30lb, determine o tempo até o rompimento da corda, bem como a velocidade no momento dorompimento. Adotar g = 32, 2ft/s2.

15

Problem 15-106

The block of weight W is originally at rest on the smooth surface. It is acted upon by a radialforce FR and a horizontal force FH, always directed at T from the tangent to the path asshown. Determine the time required to break the cord, which requires a tension T. What is thespeed of the block when this occurs? Neglect the size of the block for the calculation.

Given:

W 10 lb T 30 deg

FR 2 lb T 30 lb

FH 7 lb r 4 ft

v1 0fts

g 32.2ft

s2

Solution:

Guesses t 1 s v2 1fts

Given

Wg

§̈©

·̧¹v1 r FHcos T� �r t�

Wg

§̈©

·̧¹v2 r

FR FHsin T� �� T�Wg

�v2

2

r

§¨©

·¸¹

t

v2

§¨©

·¸¹

Find t v2�� v2 17.76fts

t 0.91 s




Exemplo VII.4* Uma bola de bilhar de 200g move-se com velocidade v = 2, 5m/s na direçãoda lateral da mesa em A (θ = 45◦). Seja o coeficiente de restituição e = 0, 6. Determine avelocidade da bola após atingir consecutivamente as laterais da mesa em A e B.

Problem 15-79

The billiard ball of mass M is moving with a speed v when it strikes the side of the pool table atA. If the coefficient of restitution between the ball and the side of the table is e, determine thespeed of the ball just after striking the table twice, i.e., at A, then at B. Neglect the size of theball.

Given:

M 200 gm

v 2.5ms

T 45 deg

e 0.6

Solution:

Guesses

v2 1ms

T2 1 deg v3 1ms

T3 1 deg

Given ev sin T� � v2 sin T2� � vcos T� � v2 cos T2� �

ev2 cos T2� � v3 sin T3� � v2 sin T2� � v3 cos T3� �

v2

v3

T2

T3

§̈¨¨¨©̈

·̧¸¸¸¹̧

Find v2 v3� T2� T3�� v2

v3

§¨©

·¸¹

2.06

1.50§¨©

·¸¹

ms

T2

T3

§¨©

·¸¹

31.0

45.0§¨©

·¸¹

deg

v3 1.500ms




16

VIII – Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido:Impulso e Quantidade de Movimento/Momento Angular

Exemplo VIII.1 Uma barra de massa M = 4kg repousa sobre uma superfície sem atrito. Seum impulso I = 8Ns for aplicado na horizontal no ponto A com um ângulo θ = 60◦, calcular avelocidade angular e a velocidade do centro de massa da barra. Seja l1 = 2m e l2 = 1, 75m.

Problem 19-15

The slender rod of mass M rests on a smooth floor. If it is kicked so as to receive a horizontalimpulse I at point A as shown, determine its angular velocity and the speed of its mass center.

Given:

M 4 kg

l1 2 m

l2 1.75 m

I 8 N s

T 60 deg

Solution:

Guesses v 1ms

Z 1rads

Given I sin T� � l2l12

�§¨©

·¸¹

112

M l12Z I M v

Z

v§¨©

·¸¹

Find Z v�� Z 3.90rads

v 2.00ms




Exemplo VIII.2 As duas engrenagens têm respectivamente: WA = 15lb, WB = 10lb, kA =

0, 5ft, kB = 0, 35ft, rA = 0, 8ft, rB = 0, 5ft. Se o motor transmite um momento para a engre-nagem B dado pela função M = 2(1− e−0,5t), determine a velocidade angular da engrenagemA no tempo t = 5s a partir do repouso.

*Problem 19-20

The two gears A and B have weights WA,WB and radii of gyration kA and kBrespectively. If a motor transmits a couple

moment to gear B of M = M0 ( 1 �� e-bt ),determine the angular velocity of gear A attime t, starting from rest.

Given:

WA 15 lb WB 10 lb

rA 0.8 ft rB 0.5 ft

kA 0.5 ft kB 0.35 ft

M0 2 lb ft b 0.5 s 1�

t 5 s

Solution:

Guesses ZA 1rads

ZB 1rads

ImpF 1 lb s

Given0

ttM0 1 e b� t�� ´

µ¶

d ImpFrB�WBg

§¨©

·¸¹

kB2ZB

ImpFrAWAg

§¨©

·¸¹

kA2ZA ZA rA ZB rB

ZA

ZB

ImpF

§̈

¨¨©

·̧

¸¸¹

Find ZA ZB� ImpF�� ImpF 6.89 lb s ZB 75.7rads

ZA 47.3rads




Exemplo VIII.3 Seja um polia dupla (massa MC = 15kg e raio de giração kO = 110mm)de duas rodas de raios r1 = 200mm e r2 = 75mm, respectivamente. Se o bloco A tem massaMA = 40kg e a massa total em B é MB = 85kg, determine a velocidade de B em t = 3s apósdeixar o repouso. Adotar g = 9, 81m/s2.

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*Problem 19-32

The double pulley consists of two wheels which are attached toone another and turn at the same rate. The pulley has a mass MC

and a radius of gyration kO. If the block at A has a mass MA andthe container at B has a mass MB, including its contents,determine the speed of the container at time t after it is releasedfrom rest.

Given:

MC 15 kg kO 110 mm

MA 40 kg r1 200 mm

MB 85 kg r2 75 mm

t 3 s

Solution:

Guess vA 1ms

vB 1ms

Z 1rads

Given MA g t r1 MB g t r2� MA vA r1 MB vB r2� MC kO2Z�

vA Zr1 vB Zr2

vA

vB

Z

§̈¨¨©

·̧¸¸¹

Find vA vB� Z�� Z 21.2rads

vA 4.23ms

vB 1.59ms




Exemplo VIII.4* O telescópio espacial Hubble é energizado por dois painéis solares comona figura. O corpo do telescópio tem massa M1 = 11000kg e raios de giração kx = 1, 64m eky = 3, 85m. Os painéis solares podem ser considerados como placas finas, sendo a massa decada um M2 = 54kg. Através de um motor interno, os painéis sofrem uma velocidade angularde 0, 6j(rad/s), medidas em relação ao sistema de coordenadas no telescópio. Determinar avelocidade angular do telescópio devido à rotação dos painéis. Admitir a = 1, 5m e b = 6m.Desprezar os efeitos da rotação orbital.

Problem 19-35

The Hubble Space Telescope is powered by two solarpanels as shown. The body of the telescope has a mass M1and radii of gyration kx and ky, whereas the solar panelscan be considered as thin plates, each having a mass M2.Due to an internal drive, the panels are given an angularvelocity of Z0j, measured relative to the telescope.Determine the angular velocity of the telescope due to therotation of the panels. Prior to rotating the panels, thetelescope was originally traveling at vG = (vxi + vyj + vzk).Neglect its orbital rotation.

Units Used: Mg 103kg

Given:

M1 11 Mg Z0 0.6rads

vx 400�ms

M2 54 kg a 1.5 m vy 250ms

kx 1.64 m b 6 m vz 175ms

ky 3.85 m

Solution: Angular momentum is conserved.

Guess ZT 1rads

Given 0 2112M2 b

2§̈©

·̧¹Z0 ZT�� M1 ky

2� �ZT� ZT Find ZT� �

ZT 1.19 10 3�urads




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SEM 501 – Dinâmica Aplicada às Máquinasfmarques.eesc.usp.br/wp-content/uploads/2015/04/... · SEM 501 – Dinâmica Aplicada às Máquinas Prof. Assoc. Flávio D. Marques São