SEM0104 SEM0104 - Aula 7 Aula 7 Equacionamento de … · SEM0104 SEM0104 - Aula 7 Aula 7 Equacionamento de Mecanismos Prof. Dr. Marcelo Prof. Dr. Marcelo Becker Becker SEM - EESC

SEM0104 SEM0104 -- Aula 7Aula 7

Equacionamento de Equacionamento de MecanismosMecanismosMecanismosMecanismos

Prof. Dr. Marcelo Prof. Dr. Marcelo BeckerBeckerSEM - EESC - USP

•• Notação ComplexaNotação Complexa

• Equacionamento de Links

• Mecanismos Simples

Sumário da AulaSumário da Aula


• Mecanismos Complexos

• Bibliografia Recomendada

EESC-USP © M. Becker 2008 2/36

Notação ComplexaNotação Complexa

• Formas de representação:

– Exponencial

R = OP.e iθPIm

– Senos e Cosenos

R = OP.e iθ

R = OP.(i.sin θ + cos θ)

ORe

R θ



•• Equacionamento de LinksEquacionamento de Links







• Derivada Primeira

– Exponencial

R = OP.iθ.e iθ.

. PIm

EquacionamentoEquacionamentoLinks RígidosLinks Rígidos

– Senos e Cosenos

R = OP.iθ.e iθ

R = OP.θ.(i.cos θ - sin θ).

. ORe

R θR.


• Derivada Segunda

– Exponencial

R = OP.(i2θ2.e iθ + iθ.e iθ ).

..

..

....

PIm


– Senos e Cosenos

Rt

..

Rn

..

ORe

R θRt

..

Rn

..

R = - OP.θ2.(cos θ + i.sin θ)+ OP.θ.(i.cos θ − sin θ)

..

.

..


• Determinação do Módulo de R:..

PIm

..

R = - OP.(θ2.sin θ + θ.cos θ).

..

..

RRe = - OP.(θ2.cos θ - θ.sin θ). ..


Rn

Re

R θRt

..

..

OR..

β

RIm = - OP.(θ2.sin θ + θ.cos θ).

..

..

RIm +..

R = ..

RRe

..

2 2


• Determinação da fase de R:..

PIm


..

R

Rn

Re

R θRt

..

..

OR..

β

..

tan(β) = RIm

RRe


EquacionamentoEquacionamentoLinks não RígidosLinks não Rígidos

• Formas de representação:

– Exponencial

R1 = R1.e iθ1Im A

– Senos e Cosenos

R1 = R1.e iθ1

R1 = R1.(i.sin θ1 + cos θ1)

ORe

R1

θ1

A


• Derivada Primeira

– Exponencial

AIm


R1 = R1.iθ1.e iθ1 + R1.eiθ1

.. .

. .

– Senos e CosenosO

Re

R1θ1R1t

.

R1n

.

R1t

.

R1n

.

R1 = R1.θ.(i.cos θ - sin θ)+ R1.(cos θ + i.sin θ)

..

.



– Exponencial


..

...

Rt

..

AIm

R1 = R1.(i2θ1

2.e iθ1 + i.θ1.e iθ1 )+ R1.(i.θ1.e iθ1 + e iθ1 )+ R1.i.θ1.e iθ1

..

...

t

Rn

..

.. .

.

ORe

R1

θ1R1t

..

R1n

..



– Seno e Coseno

A

O

Im

R1

θ1R1t

..


ORe

R1n

..

R = - R1.θ12.(cos θ1 + i.sin θ1) +...

...+ R1.θ1.(i.cos θ1 − sin θ1) +...

...+ 2.R1.θ1.(i.cos θ1 - sin θ1) +...

...+ R1.(i.sin θ1 + cos θ1)

..

.

..

.

..




•• Mecanismos SimplesMecanismos Simples






EquacionamentoEquacionamento4 Barras 4 Barras -- PosiçãoPosição

R R

R3

Im

R2 R4

R1x

R1y

Re

R2 + R3 + R4 = R1y + R1x


EquacionamentoEquacionamento4 Barras 4 Barras -- PosiçãoPosição

R R

R3

Imθ4

θ3R2 R4

R1x

R1y

Re

R2.(cosθ2 + i.sinθ2) + R3.(cosθ3 + i.sinθ3) + ...

... + R4.(cosθ4 + i.sinθ4) = -i.R1y + R1x

θ3

θ2θ1y


• 1o Determinar os ângulos

B

L2: link motor

L1: solo

L : link acoplador

EquacionamentoEquacionamentoMecanismos Simples Mecanismos Simples –– 4 Barras4 Barras

R2R4

R1

R3

O2

O4

A

B

θ2δ

θ3

γγγγ

L3: link acoplador

L4: link seguidor

θ2: âng. da barra motriz

δ: âng. da barra seguidora

θ3: âng. da barra acopladora

γ: âng. de transmissão


• Aplicar Lei dos Cosenos

B

ABO4


R2R4

R1

R3

O2O4

A

B

θ2δ

γγγγ

αααα

β

AO2O4


• Mecanismos “Cruzados”


• “Descruzar” o Mecanismo e seguir o equacionamento


EquacionamentoEquacionamento4 Barras 4 Barras -- VelocidadeVelocidade

R R

R3

Imθ4

θ3R2 R4

R1x

R1y

Re

θ3

θ2θ1y

R2.θ2.(-sinθ2 + i.cosθ2) + R3.θ3.(-sinθ3 + i.cosθ3) + ...

... + R4.θ4.(-sinθ4 + i.cosθ4) = 0

. .

.


• Dividir em Re e Im

EquacionamentoEquacionamento4 Barras 4 Barras -- VelocidadeVelocidade


... + R4.θ4.(-sinθ4 + i.cosθ4) = 0

. .

.

R2.θ2.cosθ2 + R3.θ3.cosθ3 + R4.θ4.cosθ4 = 0. ..

-R2.θ2.sinθ2 - R3.θ3.sinθ3 - R4.θ4.sinθ4 = 0. ..

Re

Im


EquacionamentoEquacionamento4 Barras 4 Barras -- AceleraçãoAceleração

R R

R3

Imθ4

θ3R2 R4

R1x

R1y

Re

θ3

θ2θ1y


... + R4.θ4.(-sinθ4 + i.cosθ4) – R2.θ22.(cosθ2 + i. sinθ2) -...

... - R3.θ32.(cosθ3 + i. sinθ3) – R4.θ4

2.(cosθ4 + i. sinθ4) = 0

.. ..

.. .

. .



EquacionamentoEquacionamento4 Barras 4 Barras -- AceleraçãoAceleração


... + R4.θ4.(-sinθ4 + i.cosθ4) – R2.θ22.(cosθ2 + i. sinθ2) -...

... - R3.θ32.(cosθ3 + i. sinθ3) – R4.θ4

2.(cosθ4 + i. sinθ4) = 0

.. ..

.. .

. .

Re

Im

... - R3.θ3 .(cosθ3 + i. sinθ3) – R4.θ4 .(cosθ4 + i. sinθ4) = 0

.. .. ..

-R2.θ2.sinθ2 - R3.θ3.sinθ3 - R4.θ4.sinθ4 – ...

... - R2.θ22.cosθ2 - R3.θ3

2.cosθ3 - R4.θ42. cosθ4 = 0

.. .

R2.θ2.cosθ2 + R3.θ3.cosθ3 + R4.θ4.cosθ4 –...

... – R2.θ22.sinθ2 -R3.θ3

2.sinθ3 – R4.θ42.sinθ4 = 0

.. .. ..

.. .


Mecanismos SimplesMecanismos SimplesBielaBiela--ManivelaManivela

• Exemplos de Aplicação: Motores de Combustão Interna, Máquinas Ferramenta, Compressores, etc.

• Deslocamento do Pistão

• Velocidades

• Aceleração

ManivelaPistão

Biela



• Equacionamento

A

BR3

O2

BR2

R1



• Equacionamento

A

BR3

θθθθ3333

O2

B

θθθθ2222

R2

R1

R2 + R3 = R1EESC-USP © M. Becker 2008 25/36

Mecanismos SimplesMecanismos SimplesBielaBiela--Manivela Manivela -- PosiçãoPosição

• Equacionamento

A

BR3

θθθθ3333

O2

B

θθθθ2222

R2

R1

R2.(cosθ2 + i.sinθ2) + R3.(cosθ3 + i.sinθ3) = R1


Mecanismos SimplesMecanismos SimplesBielaBiela--Manivela Manivela -- VelocidadeVelocidade

• Equacionamento

A

BR3

θθθθ3333

O2

B

θθθθ2222

R2

R1

R2.θ2.(i.cosθ2 - sinθ2) + R3.θ3.(i.cosθ3 - sinθ3) = R1

. . .



EquacionamentoEquacionamentoBielaBiela--Manivela Manivela -- VelocidadeVelocidade

. .

R2.θ2.(i.cosθ2 - sinθ2) + R3. θ3.(i.cosθ3 - sinθ3) = R1

.

R2.θ2.cosθ2 + R3.θ3.cosθ3 = 0. .

Re

Im

-R2.θ2.sinθ2 - R3.θ3.sinθ3 = R1

. ..


Mecanismos SimplesMecanismos SimplesBielaBiela--Manivela Manivela -- AceleraçãoAceleração

• Equacionamento

A

BR3

θθθθ3333

O2

B

θθθθ2222

R2

R1

R2.θ2.(-sinθ2 + i.cosθ2) + R3.θ3.(-sinθ3 + i.cosθ3) -...

...- R2.θ22.(cosθ2 + i.sinθ2) - R3.θ3

2.(cosθ3 + i.sinθ3) = R3

.. ..

.. ..



EquacionamentoEquacionamentoBielaBiela--Manivela Manivela -- AceleraçãoAceleração

R2.θ2.(-sinθ2 + i.cosθ2) + R3.θ3.(-sinθ3 + i.cosθ3) -...

...- R2.θ22.(cosθ2 + i.sinθ2) - R3.θ3

2.(cosθ3 + i.sinθ3) = R3

.. ..

....

.. .. .

Re

Im

..

R2.θ2.cosθ2 + R3.θ3.cosθ3 - R2.θ22.sinθ2 -...

...- R3.θ32.sinθ3) = 0

.. .. .

.

.. .

.

-R2.θ2.sinθ2 - R3.θ3.sinθ3 - R2.θ22.cosθ2 -...

...- R3.θ32.cosθ3 = R3

..







•• Mecanismos ComplexosMecanismos Complexos



Mecanismos ComplexosMecanismos ComplexosMecanismo ToggleMecanismo Toggle

• Sobrepujar grandes resistências com a aplicação de pequenas forças

• Aplicações:– Prensas

– Travas de Portas

O2

– Travas de Portas

– Etc.

• Barras CB e BO4 com

Mesmo comprimentoO4

A

BC



• Equacionamento

O2F = 2 tan αP

O4

A

BC

αααα αααα

P

F

P

α 0 F oo



• Equacionamento: Dividir em 2 mecanismos Simples

– 4 Barras: O2ABO4

O2

– Biela-Manivela: CBO4

O4

A

BC

αααα αααα







•• Mecanismos ComplexosMecanismos Complexos

•• Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada


Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada

• Shigley, JE. e Uicker, JJ., 1995, “Theory of Machines

and Mechanisms”.

• MABIE, H.H., OCVIRK, F.W. “Mecanismos e dinâmica das máquinas”.

• MARTIN, G.H. “Cinematics and dynamics of


• MARTIN, G.H. “Cinematics and dynamics of machines”.

• NORTON, R. “Machinery dynamics”.

• Notas de Aula

Documents

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