Semanas 3 e 4: Sistemas e sua Classificação. PC-Semana 3e4 - RCBetini2 DEFINIÇÃO Um sistema é um modelo matemático de um processo físico que relaciona

Semanas 3 e 4: Sistemas e sua Classificação

PC-Semana 3e4 - RCBetini 2

DEFINIÇÃO

• Um sistema é um modelo matemático de um processo físico que relaciona o sinal de entrada (excitação) com o sinal de saída (resposta).

• Usaremos, como exemplo, x(t) como o sinal de entrada de um sistema e y(t) como a resposta do sistema a esse sinal.

• Assim, a representação matemática desse sistema será: •

• Onde T é a representação da regra que transforma x em y.• Sabendo que um sinal é a representação de um valor que muda

no tempo, e que um sinal carrega consigo informação, podemos também dizer que um sistema é a abstração de um processo ou objeto que coloca um número de sinais dentro de algum relacionamento.


Sistemas com Uma ou Múltiplas entradas e saídas


Sistemas Contínuos e Discretos no Tempo

• Quando os sinais de entrada e saída do sistema são sinais contínuos, isto é, tem valores contínuos de amplitude e de tempo, dizemos que o sistema é contínuo no tempo.

• Por outro lado, os sinais de entrada e saída podem ser discretos. Quando isso ocorre, o sistema é dito como discreto no tempo.


Representação de Sistemas Contínuos e Sistemas Discretos


Sistemas Com Memória e Sem Memória

• Um sistema é dito ser um sistema sem memória quando a saída em qualquer tempo depende somente da entrada naquele mesmo tempo.

• Um exemplo de sistema sem memória é um resistor R onde o sinal de entrada x(t) é a corrente e de saída y(t) é a tensão no resistor.

• O relacionamento de entrada e saída no Resistor é: y(t)=Rx(t) (Lei de Ohm).

• Sistemas que dependam de fatores anteriores são ditos sistemas com memória.

• Um exemplo de sistema com memória é um capacitor C que possui a corrente x(t) como entrada e a tensão y(t) como sinal de saída.


Exemplo de Sistema com Memória

• Sistema discreto onde a entrada e a saída estão relacionados.


SISTEMAS

Sistemas com memória

Sistemas sem memória


Sistema Causal e Não Causal

• Um sistema é chamado de causal se sua saída y(t) em qualquer tempo arbitrário t=t0 depende somente da entrada x(t) para t t0..

• Isto é, a saída de um sistema causal no tempo presente depende somente dos valores presentes ou passados da entrada, não de valores futuros.

• Ou seja, nunca poderemos ter uma saída se não for aplicado uma entrada!

• Um sistema é chamado de não causal se não for causal.• Ex.: y(t)=x(t +1) p/ t=-1 ; y[n]=x[-n] p/ n=-1


Exemplos de Sistemas não Causais

• A saída de um sistema causal no tempo presente depende somente dos valores presentes ou passados da entrada, não de valores futuros.

• Note que todos os sistemas sem memória são causais. Más o inverso não é verdadeiro.


Sistemas Lineares e Não Lineares

• Se o operador T satisfaz as condições (1) e (2) então ele é dito ser um sistema linear e o operador é chamado de operador linear.

• (1) Aditividade => Tx1=y1 e Tx2=y2 então

T{x1+ x2} = y1+ y2 para qualquer sinais x1 e x2 .

(2) Homogeneidade ou Escalar

T{x} = y para qualquer sinal de x e escalar .

• Qualquer sistema que não satisfaz as condições (1) e

(2) é chamado de sistema não linear.


Sistemas Lineares e Não Lineares

As condições anteriores podem ser combinadas numa única condição:

1

)()()()( 22112211 tytytxtxT

Exemplo de sistemas não lineares: y = x2 ; y =cos x.

Note que como consequencia da propriedade de homogeneidade de sistemas lineares é que uma entrada zero produz uma saída zero. Ou se =0 então a saída também será zero.


Sistemas Variantes e Invariantes no Tempo.

O deslocamento do sinal representa o que ocorre com o sinal de saída em relação ao sinal de entrada. Definindo o deslocamento como T, o deslocamento é dado por:

)(

)(

tx

tyT

)(

)()(

sX

sYsH


Sistemas Variantes e Invariantes no Tempo.

• No domínio da frequência, o deslocamento do sinal é chamado de H(s), onde s é a frequência, e H(s) é a relação do sinal de saída com o sinal de entrada, estando a saída e a resposta também no domínio da frequência.

• Neste caso, chamamos H(s) de função de transferência do sistema (FT).

• Para o cálculo e estudo de sistemas, é particularmente interessante estudarmos sistemas no qual o deslocamento do sinal não seja variável no tempo, pois assim podemos trabalhar com um sistema no qual apenas uma função será sua característica.

• Desta forma a FT é constante!


Sistema Invariante no TempoUm sitema é invariante no tempo se para um deslocamento no tempo (atraso ou avanço) do sinal de entrada houver o mesmo deslocamento de tempo no sinal de saída. Para sistemas contínuos teremos:

)()}({ ztyztxT

][]}[{ knyknxT Um sistema que não satisfaz as equações acima é

chamado de variante no tempo.

E para sistemas discretos teremos:


Sistemas Lineares Invarintes no Tempo (Sistemas LTI)

• Sistemas lineares que também são invariantes no tempo são ditos sistemas Lineares Invariantes no Tempo ou Sistemas LTI (Linear Time Invariant).


Sistemas Estáveis

• Um sistema é dito ser um sistema estável se ele satisfaz a condição de que um sinal de entrada x(t) produz uma resposta também limitada y(t), de forma que:

2

1

)(

)(

kty

ktx

Note que K1 e K2 são constantes reais e finitas!


Sistemas com Realimentação ou Feedback

• Sistemas com retroalimentação, também chamados de sistemas de feedback ou retorno, são sistemas cuja saída é controlada pela entrada.

• Um exemplo bastante prático de sistema retroalimentado é uma estufa que tenha um sensor de temperatura.

• Desejando manter a temperatura constante, um sensor é instalado, junto com um ventilador ou um ar condicionado.

• Caso a temperatura lida esteja mais alta que a especificada, o sistema irá atuar para corrigir a saída.


Sistemas com Realimentação ou Feedback

Num sistema de Feedback o sinal de saída retorna e é adicionado a entrada do sistema.

y(t)SistemaE

x(t)


RELAÇÕES IMPORTANTES:

12 j 1j1 j j2414

jsene

jjsen

jjjje

jjje

j

j

j

cos

...)!7!5!3

(

...!6!4!2

1cos

...!7!6!5!4!3!2

1

...!3!2

1

753

642

765432

32 1 je

1 jne

12 nje

jej 2

jej 2

jej 2


Fórmula de Euler

Identidades Trigonométricas


Identidades Trigonométricas


Expanção em Séries de Potências


Funções Logarítmicas e Exponenciais


)cos()()(

)()cos()(` xjxsenxf

xsenjxxf

)()(

)cos()()(

)cos()()(

`

`

2`

xfjxf

xxsenjjxf

xjxsenjxf

Revisão sobre Números Complexos


Cxjxf

exf

jdxdxxf

xf

Cjx

)(ln

)(

)(

)(`




• Onde j é o número complexo, x é a frequência e C a defasagem do sinal.

• Normalmente trabalhamos com a defasagem inicial sendo 0, para simplificar os cálculos.


Exercícios Sobre Sinais e Sistemas


1) Um sinal contínuo x(t) é mostrado na figura abaixo, desenhe e rotule cada um dos seguintes sinais:


Resolução 1(a): SINAL DESLOCADO E ATRASADO EM RELAÇÃO A REFERÊNCIA

t’ = t-2t’ = 0 → t = 2t’ = 1 → t = 3t’ = 2 → t = 4t’ = 3 → t = 5t’ = 4 → t = 6


Resolução 1(b): SINAL COMPRIMIDO EM RELAÇÃO A t E AMPLITUDE AMPLIFICADA EM RELAÇÃO A t

t’ = 2tt’ = 0 → t = 0t’ = 1 → t = 1/2t’ = 2 → t = 1t’ = 3 → t = 3/2t’ = 4 → t = 2


Resolução 1(c): SINAL EXPANDIDO EM RELAÇÃO A t E AMPLITUDE COMPRIMIDA EM RELAÇÃO A t

t’ = t/2t’ = 0 → t = 0t’ = 1 → t = 2t’ = 2 → t = 4t’ = 3 → t = 6t’ = 4 → t = 8


Resolução 1(c): SINAL TRANSLADADO EM 180°

t’ = -tt’ = 0 → t = 0t’ = 1 → t = -1t’ = 2 → t = -2t’ = 3 → t = -3t’ = 4 → t = -4


Resolução do exercício 1

Sinal atrasado de 2 unidades! Sinal comprimido!

Sinal expandido de 2 unidades! Sinal transladado de 180 graus!


2) Um sinal discreto no tempo é mostrado na figura abaixo. Desenhe e rotule cada um dos seguintes sinais:


Resolução 2(a): SINAL DESLOCADO E ATRASADO EM 2 UNIDADES EM RELAÇÃO A REFERÊNCIA

n’ = n-2n’ = -2 → n = 0n’ = -1 → n = 1n’ = 0 → n = 2n’ = 1 → n = 3n’ = 2 → n = 4n’ = 3 → n = 5n’ = 4 → n = 6n’ = 5 → n = 7n’ = 6 → n = 8


Resolução 2(b): SINAL COMPRIMIDO EM 2 UNIDADES EM RELAÇÃO A n

n’ = 2nn’ = -2 → n = -1n’ = -1 → n = -1/2n’ = 0 → n = 0n’ = 1 → n = 1/2n’ = 2 → n = 1n’ = 3 → n = 3/2n’ = 4 → n = 2n’ = 5 → n = 5/2n’ = 6 → n = 3


Resolução 2(c): SINAL TRANSLADADO EM 180°

n’ = -nn’ = -2 → n = 2n’ = -1 → n = 1n’ = 0 → n = 0n’ = 1 → n = -1n’ = 2 → n = -2n’ = 3 → n = -3n’ = 4 → n = -4n’ = 5 → n = -5n’ = 6 → n = -6


Resolução 2(d): SINAL TRANSLADADO EM 180° E ADIANTADO DE 2 UNIDADES EM RELAÇÃO A n.

n’ = -n+2n’ = -2 → n = 4n’ = -1 → n = 3n’ = 0 → n = 2n’ = 1 → n = 1n’ = 2 → n = 0n’ = 3 → n = -1n’ = 4 → n = -2n’ = 5 → n = -3n’ = 6 → n = -4


3) DADO O SINAL CONTÍNUO NO TEMPO ESPECIFICADO POR:

a) Determine a sequência discreta no tempo obtida pela amostragem uniforme de x(t), com um intervalo de amostragem de 0,25s:



b) Determine a sequência discreta no tempo obtida pela amostragem uniforme de x(t), com um intervalo de amostragem de 0,50s:



c) Determine a sequência discreta no tempo obtida pela amostragem uniforme de x(t), com um intervalo de amostragem de 1,00s:


4) OS SEGUINTES SINAIS POSSUEM AMPLITUDE DISCRETA, TEMPO DISCRETO E/OU SÃO DIGITAIS?

• Número de dias de chuva por mês.

Amplitude e tempo discretos.• Média de temperatura alta por mês.

Amplitude contínua e tempo discreto.• Temperatura atual.

Amplitude e tempo contínuos.• População atual da china.

Amplitude discreta e tempo contínuo.• Produção diária de leite de uma vaca.

Tempo discreto e amplitude contínua.

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