Semelhança de triângulos e relações métricas no triângulo retângulo

Prof. Osmar Mantovani, Prof. Fernando Lorenzo Paschoal e

Prof. Marcos Valério PaesColégio Visconde de Porto Seguro Valinhos

2011

Importante• Este material apresenta semelhança de triângulos logo no início mas seu

objetivo é favorecer a aplicação dos conhecimentos de semelhança na apresentação das relações métricas no triângulo retângulo. Assim, não são apresentados os conhecidos “casos de semelhança”, por exemplo. A abordagem utilizada para este tema é “ângulos iguais e lados proporcionais”.

• Alguns slides possuem anotações com observações e justificativas para a utilização do mesmo.

• Os slides de 13 a 16 estão elaborados de forma que o professor possa entregá-los a seus alunos para que eles deduzam as relações métricas a partir de semelhança de triângulos. Esses slides podem ser impressos no próprio Powerpoint em uma única folha.

• Os ângulos retos apresentados nas figuras não apresentam o “ponto” dentro do quadrado. Os desenhos, em sua maioria, foram feitos em Geogebra e esta opção não está disponível no software.

O conceito de semelhança

• Ampliando e reduzindo figuras simples:

Definição de polígonos semelhantes

• Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem, simultaneamente, duas condições:– As medidas dos lados que se correspondem são

proporcionais.– As medidas dos ângulos que se correspondem são

iguais.

Polígonos semelhantes

Polígonos semelhantes: ângulos “iguais” e lados proporcionais.

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Semelhança de triângulos

Polígono qualquer: corte paralelo a um dos lados determina ângulos iguais mas lados não necessariamente proporcionais

Triângulo qualquer : corte paralelo a um dos lados determina ângulos iguais e lados proporcionais.

Semelhança de triângulos

• A forma de um triângulo fica completamente definida quando são conhecidos os seus ângulos.

• Na verdade, a forma de um triângulo fica completamente definida quando são conhecidos 2 de seus 3 ângulos.

Semelhança de triângulos

• Ou seja, se dois triângulos possuem dois ângulos iguais, o terceiro ângulo de ambos também é igual.

• Neste caso, os ângulos

Pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º

º36´CC^^

Semelhança de triângulos

• Se os dois triângulos possuem (dois) ângulos iguais então, consequentemente, possuem lados proporcionais.

Construindo figuras semelhantes utilizando Homotetia

• Homotetia: obtemos figuras semelhantes, semelhantemente dispostas.• A palavra homotetia vem do grego homós-igual + thétós-colocado + ia

Semelhança e homotetia

Polígonos semelhantes e homotéticos (semelhantemente dispostos)

Polígonos semelhantes

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (EXERCÍCIOS)

Semelhança

Relações métricas no triângulo retângulo

Medidas:a: hipotenusab: maior catetoc: menor catetoh: altura relativa à

hipotenusam: projeção do cateto bn: projeção do cateto c

Relações métricas no triângulo retângulo

m.nh

m

h

h

nHC

HA

AH

BH

ΔCAH e ABH

2

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

b.___c.___

b

c

AC

AB

HAC e ABC

:1

Caso

___.___b

a

b

BC

AC

HAC e ABC

:2

2

Caso

Relações métricas no triângulo retângulo

___.______

n

a

AB

AB

HBA e ABC

:3

Caso

___.______.___

a

c

HA

BC

HAC e ABC

:4

Caso

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (GABARITOS)

Semelhança

H

Relações métricas no triângulo retângulo

m.nh

m

h

h

nHC

AH

HA

BH

ΔCAH e ABH

2

Relações métricas no triângulo retângulo

b.hc.mm

h

b

cHC

HA

AC

AB

HAC e ABC

:1

Caso

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

m.ab

b

m

a

bAC

HC

BC

AC

HAC e ABC

:2

2

Caso

n.ac

c

n

a

cAB

HB

BC

AB

HBA e ABC

:3

2

Caso

Relações métricas no triângulo retângulo

b.ca.hb

h

a

cAC

HA

BC

AB

HAC e ABC

:4

Caso

Relações métricas no triângulo retângulo