Semigrupos num ericos esparsos: estrutura e cotasftorres/TALKS/TALKS... · Semigrupos num ericos Semigrupos de Arf Semigrupos esparsos Algumas refer^encias Exemplo Xcurva alg ebrica

Semigrupos numericosSemigrupos de Arf

Semigrupos esparsosAlgumas referencias

Semigrupos numericos esparsos: estrutura e cotas

Paula Murgel Veloso

Universidade Federal Fluminense, Departamento de Analise, Niteroi - RJ(colaboracao com Prof. Andre L. Contiero – UFAL, & Carlos Gustavo T. A.

Moreira – IMPA)

31 de marco de 2014

Paula Murgel Veloso Semigrupos numericos esparsos: estrutura e cotas



Definition

H e um semigrupo numerico de genero g se

(1) H ⊆ N;

(2) 0 ∈ H;

(3) H semigrupo (aditivo);

(4) #(N \ H) = g .

(4) significa, equivalentemente: o mdc entre os geradores de H e 1.




Definition


(1) H ⊆ N;

(2) 0 ∈ H;


(4) #(N \ H) = g .





Definition


(1) H ⊆ N;

(2) 0 ∈ H;


(4) #(N \ H) = g .





Definition


(1) H ⊆ N;

(2) 0 ∈ H;


(4) #(N \ H) = g .





Definition


(1) H ⊆ N;

(2) 0 ∈ H;


(4) #(N \ H) = g .





Definition


(1) H ⊆ N;

(2) 0 ∈ H;


(4) #(N \ H) = g .





Notacao

H = {0 = n0 < n1 < . . .} (nao lacunas)

Gaps(H) := N \ H = {`1 < `2 < . . . < `g} (lacunas)

multiplicidade de H: n1 (o menor elemento nao nulo do semigrupo)

numero de Frobenius de H: `g (a maior lacuna)

condutor de H: o menor c tal que c + n ∈ H, para todos n ∈ Nc = `g + 1 = nc−g

Fato: `g ≤ 2g − 1.Defina: K := 2g − `g ≥ 1.




Notacao

H = {0 = n0 < n1 < . . .} (nao lacunas)









Notacao

H = {0 = n0 < n1 < . . .} (nao lacunas)









Notacao

H = {0 = n0 < n1 < . . .} (nao lacunas)









Notacao

H = {0 = n0 < n1 < . . .} (nao lacunas)









Notacao

H = {0 = n0 < n1 < . . .} (nao lacunas)









Exemplo

X curva algebrica (projetiva, nao singular, irredutıvel, definidasobre um corpo algebricamente fechado) de genero g ,

P ∈ X .

semigrupo de Weierstrass de P em X :H(P) = {k ∈ N ; ∃ funcao em X com um polo de ordem k em Pe nenhum outro polo }lacuna de Weierstrass para P: k ∈ N tal que nao existe funcao emX com exatamente um polo de ordem k em P.Gaps(H(P)) := {lacuna de Weierstrass para P}

Da definicao: H(P) = N \Gaps(H(P)).

Teorema das lacunas de Weierstrass: #Gaps(H(P)) = g




Exemplo

X curva algebrica (projetiva, nao singular, irredutıvel, definidasobre um corpo algebricamente fechado) de genero g , P ∈ X .







Exemplo


semigrupo de Weierstrass de P em X :

H(P) = {k ∈ N ; ∃ funcao em X com um polo de ordem k em Pe nenhum outro polo }lacuna de Weierstrass para P: k ∈ N tal que nao existe funcao emX com exatamente um polo de ordem k em P.Gaps(H(P)) := {lacuna de Weierstrass para P}






Exemplo


semigrupo de Weierstrass de P em X :H(P) = {k ∈ N ; ∃ funcao em X com um polo de ordem k em Pe nenhum outro polo }

lacuna de Weierstrass para P: k ∈ N tal que nao existe funcao emX com exatamente um polo de ordem k em P.Gaps(H(P)) := {lacuna de Weierstrass para P}






Exemplo








Exemplo








Exemplo








Observacoes

Fatos banais, mas muito uteis

1 Para todo ì ∈ Gaps(H), existe uma funcao de reflexao bemdefinida

Ri : H ∩ {0, 1, 2, . . . , ì} −→ Gaps(H); n 7→ ì − n.

2 Para todo ì ∈ Gaps(H), se d | ì , entao d ∈ Gaps(H).

H e um semigrupo simetrico se `g = 2g − 1.H e um semigrupo quase-simetrico se `g = 2g − 2.

H e um semigrupo γ-hiperelıtico se tem exatamente γ lacunaspares.H e um semigrupo hiperelıtico se 2 ∈ H.




Observacoes



Ri : H ∩ {0, 1, 2, . . . , ì} −→ Gaps(H); n 7→ ì − n.







Observacoes



Ri : H ∩ {0, 1, 2, . . . , ì} −→ Gaps(H); n 7→ ì − n.







Observacoes



Ri : H ∩ {0, 1, 2, . . . , ì} −→ Gaps(H); n 7→ ì − n.







Definicao

H e um semigrupo de Arf se, para todos ni , nj , nk ∈ H, comni ≥ nj ≥ nk , temos:

ni + nj − nk ∈ H.

Ha diversas caracterizacoes alternativas ([Barucci, Dobbs, Fontana(1997)] apresentam 15 condicoes equivalentes!).

Teorema [C. Campillo, J. I. Farran, J. Munuera (2000)]

H e um semigrupo de Arf ⇔ para todos ni , nj ∈ H, com ni ≥ nj ,temos:

2ni − nj ∈ H.




Definicao






2ni − nj ∈ H.




Definicao






2ni − nj ∈ H.




Propriedade

As nao lacunas em um semigrupo de Arf satisfazem a umacondicao de espacamento mınimo

(assim, as lacunas satifazem auma condicao de espacamento maximo).

Corolario [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]

Se H e um semigrupo de Arf , entao:

ì − ì−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g .

(equivalentemente, ni+1 − ni ≥ 2, i = 1, . . . , c − g).




Propriedade

As nao lacunas em um semigrupo de Arf satisfazem a umacondicao de espacamento mınimo (assim, as lacunas satifazem auma condicao de espacamento maximo).



ì − ì−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g .





Propriedade




ì − ì−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g .





Propriedade




ì − ì−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g .





EstruturaSemigrupos esparsos limite

Definicao

H e um semigrupo esparso se

ì − ì−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g

(ou, equivalentemente: ni+1 − ni ≥ 2, i = 1, . . . , c − g).

Exemplo

g ≥ 5,H = N \ {1, . . . , g − 3, g − 1, g + 1, g + 2} ={0, g − 2, g , g + 3, g + 4, . . .}H e um semigrupo esparso, mas nao um semigrupo de Arf:2g − (g − 2) = g + 2 6∈ H.





Definicao


ì − ì−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g


Exemplo

g ≥ 5,H = N \ {1, . . . , g − 3, g − 1, g + 1, g + 2} ={0, g − 2, g , g + 3, g + 4, . . .}

H e um semigrupo esparso, mas nao um semigrupo de Arf:2g − (g − 2) = g + 2 6∈ H.





Definicao


ì − ì−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g


Exemplo

g ≥ 5,H = N \ {1, . . . , g − 3, g − 1, g + 1, g + 2} ={0, g − 2, g , g + 3, g + 4, . . .}H e um semigrupo esparso,

mas nao um semigrupo de Arf:2g − (g − 2) = g + 2 6∈ H.





Definicao


ì − ì−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g


Exemplo

g ≥ 5,H = N \ {1, . . . , g − 3, g − 1, g + 1, g + 2} ={0, g − 2, g , g + 3, g + 4, . . .}H e um semigrupo esparso, mas nao um semigrupo de Arf:

2g − (g − 2) = g + 2 6∈ H.





Definicao


ì − ì−1 ≤ 2, i = 2, . . . , g


Exemplo

g ≥ 5,H = N \ {1, . . . , g − 3, g − 1, g + 1, g + 2} ={0, g − 2, g , g + 3, g + 4, . . .}H e um semigrupo esparso, mas nao um semigrupo de Arf:2g − (g − 2) = g + 2 6∈ H.





Outros exemplos

H e um semigrupo esparso ordinario se Hg = {0, g + 1, g + 2, . . . }.H e um semigrupo esparso hiperordinario se H = aN +Hg ,0 < a < g .





Saltos simples e duplos

Dizemos que um par (ì , ì+1) e um salto em um semigrupoesparso H se ì , ì+1 sao lacunas subsequentes de H.

Um salto e simples ou duplo se ì+1 − ì = 1 ou ì+1 − ì = 2,respectivamente.

Conjuntos de saltos

D := {(ì , ì+1) ; ì+1 − ì = 2} (saltos duplos),

D := #D,

S := {(ì , ì+1) ; ì+1 − ì = 1} (saltos simples),

S := #S.








Conjuntos de saltos


D := #D,


S := #S.








Conjuntos de saltos


D := #D,


S := #S.








Conjuntos de saltos


D := #D,


S := #S.





Contando saltos

Lembre-se: K = 2g − `g ≥ 1.

Proposicao [Contiero, Moreira, Veloso]

Seja H semigrupo esparso de genero g . Entao:

1 D + S = g − 1.

2 D = g − K .

3 S = K − 1.





Contando saltos




1 D + S = g − 1.

2 D = g − K .

3 S = K − 1.





Contando saltos




1 D + S = g − 1.

2 D = g − K .

3 S = K − 1.





Contando saltos




1 D + S = g − 1.

2 D = g − K .

3 S = K − 1.





Espacamento das ultimas lacunas

Proposicao [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]

Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − K .

Se g ≥ 2K − 1, entao

ì+1 − ì = 2,

para todo i = 2K − 2, . . . , g − 1.

Pergunta natural

Existem semigrupos esparsos de genero g com `g = 2g − K eg ≥ 2K − 1?







Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − K .Se g ≥ 2K − 1, entao

ì+1 − ì = 2,

para todo i = 2K − 2, . . . , g − 1.

Pergunta natural








Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − K .Se g ≥ 2K − 1, entao

ì+1 − ì = 2,

para todo i = 2K − 2, . . . , g − 1.

Pergunta natural






Algumas consequencias da contagem de saltos

Corolario [Contiero, Moreira, Veloso]

Se H semigrupo esparso simetrico de genero g , entao H e osemigrupo hiperelıtico

H = 〈2, 2g + 1〉.


Se H semigrupo esparso quase-simetrico, entao

ou H = 〈3, 4, 5〉, ou H = 〈3, 5, 7〉.





Algumas consequencias da contagem de saltos


Se H semigrupo esparso simetrico de genero g , entao H e osemigrupo hiperelıtico

H = 〈2, 2g + 1〉.


Se H semigrupo esparso quase-simetrico, entao

ou H = 〈3, 4, 5〉, ou H = 〈3, 5, 7〉.





Algumas consequencias da contagem de saltos (cont.)

Teorema [Contiero, Moreira, Veloso]

Seja H semigrupo esparso de genero g ≥ 3 e `g = 2g − 3.

EntaoH e um dos seguintes semigrupos:

1 H = 3N +H5, H e 2-hiperelıtico;


3 H = 2(N \ {1}) ∪H2g−2, H e 1-hiperelıtico.


Seja H semigrupo de genero g ≥ 6 e `g = 2g − 3. Entao saoequivalentes:

a. H e esparso;

b. H is 1-hiperelıtico.







Seja H semigrupo esparso de genero g ≥ 3 e `g = 2g − 3. EntaoH e um dos seguintes semigrupos:






a. H e esparso;














a. H e esparso;













Seja H semigrupo de genero g ≥ 6 e `g = 2g − 3.

Entao saoequivalentes:

a. H e esparso;














a. H e esparso;














a. H e esparso;











2 H = 3N +H10 , H e 4-hiperelıtico;


4 H = H4, H e 2-hiperelıtico;


6 H = {0, 5, 7} ∪ H8, H e 4-hiperelıtico.





































3 H = 2(N \ {1, 3}) ∪H2g−4, g ≥ 6, H e 2-hiperelıtico;

4 H = {0, 5, 7} ∪ H9, H e 4-hiperelıtico;

5 H = {0, 5, 7, 10} ∪ H11, H e 4-hiperelıtico;

6 H = {0, 5, 7, 10, 12} ∪ H13, H e 4-hiperelıtico;

7 H = {0, 5} ∪ H7, H e 3-hiperelıtico;





































10 H = 2(N \ {1, 2}) ∪H2g−4, g ≥ 5, H e 2-hiperelıtico;Paula Murgel Veloso Semigrupos numericos esparsos: estrutura e cotas




Definicao

Um semigrupo esparso limite H e um semigrupo esparso de generog = 2K − 1 e `g = 2g − K .

Note que um semigrupo esparso limite tem tantos saltos simplesquanto duplos, i.e., S = D.

Lema [Contiero, Moreira, Veloso]

Seja H semigrupo esparso de genero g = 2K + j , j ≥ 0,com`g = 2g − K .

Entao existe um semigrupo esparso limite H de genero g = 2K − 1e `g = 2g − K = 3K − 2 tal que H e um subsemigrupo de H.





Definicao










Definicao










Definicao










Estrutura de semigrupos esparsos limite com `g par

Denote: K = 2k .


Se H e um semigrupo esparso limite de genero g e `g par, entao4 6∈ H.


Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 com`g = 2g − 2k = 6k − 2 par. Entao:

3 ∈ H ⇔ 6k − 5 /∈ H.






Denote: K = 2k .





3 ∈ H ⇔ 6k − 5 /∈ H.






Denote: K = 2k .




Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 com`g = 2g − 2k = 6k − 2 par.

Entao:

3 ∈ H ⇔ 6k − 5 /∈ H.






Denote: K = 2k .





3 ∈ H ⇔ 6k − 5 /∈ H.





Estrutura de semigrupos esparsos limite com `g par (cont.)


Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 com`g = 2g − 2k par.

Entao 3 ∈ H, i.e.,

H = 3N +H6r−2 = 〈3, 6k − 1, 6k + 1〉.


Se H e um semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 e`g = 2g − 2k par,entao H e um semigroup de Arf. Alem disso, H e um semigrupode Weierstrass.







Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 com`g = 2g − 2k par.Entao 3 ∈ H,

i.e.,

H = 3N +H6r−2 = 〈3, 6k − 1, 6k + 1〉.









Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 com`g = 2g − 2k par.Entao 3 ∈ H, i.e.,

H = 3N +H6r−2 = 〈3, 6k − 1, 6k + 1〉.










H = 3N +H6r−2 = 〈3, 6k − 1, 6k + 1〉.


Se H e um semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 e`g = 2g − 2k par,

entao H e um semigroup de Arf. Alem disso, H e um semigrupode Weierstrass.








H = 3N +H6r−2 = 〈3, 6k − 1, 6k + 1〉.


Se H e um semigrupo esparso limite de genero g = 4k − 1 e`g = 2g − 2k par,entao H e um semigroup de Arf.

Alem disso, H e um semigrupode Weierstrass.








H = 3N +H6r−2 = 〈3, 6k − 1, 6k + 1〉.







Cotas para semigrupos esparsos com `g par

Teorema [J. Munuera, F. Torres, J. Villanueva (2009)]

Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.

Se g ≥ 4k − 1, entao g ≤ 6k − n1.


Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.Entao g ≤ 4k − 1 (i.e., D ≤ S).







Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.Se g ≥ 4k − 1,

entao g ≤ 6k − n1.









Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.Se g ≥ 4k − 1, entao g ≤ 6k − n1.











Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.

Entao g ≤ 4k − 1 (i.e., D ≤ S).









Seja H semigrupo esparso de genero g com `g = 2g − 2k par.Entao g ≤ 4k − 1

(i.e., D ≤ S).














Semigrupos esparsos limite com `g ımpar

Denote: K = 2k + 1.


Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.Se a multiplicidade n1 de H e par, entao toda nao lacuna menorque `g e par, e H e k-hiperelıtico.






Denote: K = 2k + 1.


Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.

Se a multiplicidade n1 de H e par, entao toda nao lacuna menorque `g e par, e H e k-hiperelıtico.






Denote: K = 2k + 1.


Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.Se a multiplicidade n1 de H e par, entao toda nao lacuna menorque `g e par, e H e k-hiperelıtico.








Se a multiplicidade n1 de H e ımpar, entao H e um dos seguintessemigrupos:

1 H = 3N +H6r+1;

2 H = 〈2j + 1; j ∈ N, r ≤ j ≤ 2r − 1〉 ∪ H6r+1, com r > 1.


Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.Entao ou g ≤ 4k + 1, ou toda nao lacuna menor que `g e par.







Seja H semigrupo esparso limite de genero g = 4k + 1 com`g = 2g − (2k + 1) = 6k + 1 ımpar.Se a multiplicidade n1 de H e ımpar, entao H e um dos seguintessemigrupos:

1 H = 3N +H6r+1;

2 H = 〈2j + 1; j ∈ N, r ≤ j ≤ 2r − 1〉 ∪ H6r+1, com r > 1.










1 H = 3N +H6r+1;

2 H = 〈2j + 1; j ∈ N, r ≤ j ≤ 2r − 1〉 ∪ H6r+1, com r > 1.










1 H = 3N +H6r+1;

2 H = 〈2j + 1; j ∈ N, r ≤ j ≤ 2r − 1〉 ∪ H6r+1, com r > 1.



Entao ou g ≤ 4k + 1, ou toda nao lacuna menor que `g e par.








1 H = 3N +H6r+1;

2 H = 〈2j + 1; j ∈ N, r ≤ j ≤ 2r − 1〉 ∪ H6r+1, com r > 1.






V. Barucci, D. E. Dobbs, M. Fontana, Maximality properties innumerical semigroups and applications to one-dimensionalanalytically irreducible local domains, Mem. Amer. Math. Soc.125, 1997.

C. Munuera, F. Torres, J. Villanueva, Sparse NumericalSemigroups, Lecture Notes in Computer Science: AppliedAlgebra, Algebraic Algorithms and Error-Correcting Codes,5527, 23 – 31, Springer-Verlag Berlin Heilderberg (2009).




Obrigada pela atencao!


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