Superfıcies Regradas - Aula 13

O estudo de superfıcies regradas e um assunto classico em Geometria Diferencial,e por este motivo apresentaremos esta nocao acompanhado de alguns exemplos.Em seguida, mostraremos que, para superfıcies regradas que satisfazem uma dadacondicao, as singularidades concentram-se ao longo de uma curva desta superfıcie

A nocao de superfıcie regrada

Intuitivamente podemos considerar uma superfıcie regrada como uma superfıciegerada por uma linha reta movendo-se ao longo de uma curva. Mais formalmente,temos a definicao que segue.

Definicao 1. A superfıcie parametrizada X : I × IR→ IR3 definida por X(t, v) =α(t) + vw(t) , onde α,w : I → IR3 sao funcoes diferenciaveis, I e um intervaloaberto, e chamada superfıcie regrada. Neste caso, chamamos α a curva base ouuma diretriz, e as retas v 7→ α(t) + vw(t) sao chamadas de geratrizes.

Podemos dizer que a superfıcie regrada e gerada pela famılia a 1−parametrode retas {α(t), w(t)}

Exemplo 1. Os exemplos mais simples de superfıcies regradas sao as superfıciestangentes a uma curva regular, os cilindros e os cones. Um cilindro e uma su-perfıcie regrada gerada por uma famılia a 1-parametro de retas {α(t), w(t)}, t ∈ I,onde α(t) esta contida em um plano P e w(t) e paralelo a uma direcao fixa emIR3. Um cone e uma superfıcie regrada gerada por uma famılia {α(t), w(t)}, t ∈ I,onde α(I) ⊂ P e todas as geratrizes passam por um ponto p fora do plano P .

Exemplo 2. Sejam S1 o cırculo unitario x2 + y2 = 1 no plano xy, e α(s) umaparametrizacao de S1 pelo comprimento de arco. Para cada s, seja w(s) = α′(s)+e3. Entao

X(t, v) = α(s) + v(α′(s) + e3)

e uma superfıcie regrada, a qual podemos coloca-la de forma mais familiar

X(t, v) = (cos s− v sin s, sin s+ v cos s, v)

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e observando que x2 + y2 − z2 = 1 + v2 − v2 = 1. Isto mostra que o traco de X eum hiperboloide de revolucao.

Definimos superfıcies regradas de modo a permitir a ocorrencia de singulari-dades (ie, pontos (t, v) onde Xt ∧Xv = 0). Isso e necessario se queremos incluirsuperfıcies tangentes e cones. Mostraremos adiante que as singularidades de umasuperfıcie regrada, que satisfaz uma dada condicao, concentram-se ao longo deuma curva desta superfıcie.

Suponha sem perda de generalidade que |w(t)| = 1, t ∈ I ( o que implica〈w(t), w′(t)〉 = 0), e que w′(t) 6= 0 para todo t ∈ I. Salvo mensao em contrario,iremos supor que

X(t, v) = α(t) + vw(t) (1)

e uma superfıcie regrada com |w(t)| = 1, t ∈ I e tal que w′(t) 6= 0, ∀t ∈ I.

Queremos encontrar uma curva parametrizada β(t) tal que 〈β′(t), w′(t)〉 = 0,t ∈ I, e que o traco de β esteja contido no traco de X, ie

β(t) = α(t) + u(t)w(t). (2)

Supondo a existencia de uma tal curva β, obtemos

β′ = α′ + u′w + uw′,

portanto, como 〈w,w′〉 = 0,

0 = 〈β′, w′〉 = 〈α′, w′〉+ u〈w′, w′〉.

Segue-se que u = u(t) e dado por

u = −〈α′, w′〉

〈w′, w′〉. (3)

Assim, se definimos β(t) pelas equacoes (2) e (3) obtemos a curva desejada.

Mostraremos agora que a curva β nao depende da escolha da diretriz α paraa superfıcie regrada. β e entao chamada linha de estriccao, e seus pontos sao

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chamados de pontos centrais da superfıcie regrada. Seja α uma outra diretriz dasuperfıcie, ie, vale pata todo (t, v),

X(t, v) = α(t) + vw(t) = α(t) + sw(t) (4)

para alguma funcao s = s(v). Entao, das eqs. (2) e (3) obtemos

β − β = (α− α) +〈α′ − α′, w′〉〈w′, w′〉

w,

onde β e a linha de estriccao correspondendo a α. Por outro lado, a eq. (4)implica que

α− α = (s− v)w.

Assim,

β − β =

[(s− v) +

〈(v − s)w′, w′〉〈w′, w′〉

]w = 0.

Isto prova a nossa afirmacao.

Tomaremos agora a linha de estriccao como a diretriz da superfıcie regrada e

X(t, v) = β(t) + uw(t) (5)

Assim temos

Xt = β′ + uw′, Xu = w eXt ∧Xu = β′ ∧ w + uw′ ∧ w.

Como 〈w′, w〉 = 0 e 〈w′, β′〉 = 0,concluımos que β′ ∧ w = λw′, λ = λ(t). Assim

|Xt ∧Xu|2 = (λ2 + u2)|w′|2.

Segue-se que os eventuais pontos singulares da superfıcie regrada (5) situam-seao longo da linha de estriccao u = 0, e eles ocorrem se e somente se λ(t) = 0.Observe tambem que

λ =〈β′ ∧ w,w′〉|w′|2

Vamos calcular a curvatura Gaussiana da superfıcie (5) em seus pontos regu-lares. Como

Xt = β′ + uw′, Xu = w, Xtu = w′, Xuu = 0,

temos

g = 0, f =λ|w′|2

|Xt ∧Xu|, EG− F 2 = (λ2 + u2)|w′|2,

donde

K =eg − f 2

EG− F 2= − λ2

(λ2 + u2)2(6)

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Isto mostra que, em pontos regulares, a curvatura Gaussiana K de uma su-perfıcie regrada satisfaz K ≤ 0, e e zero apenas ao longo das geratrizes queintersectam a linha de estriccao em um ponto singular.

A funcao λ = λ(t) e chamada o parametro de distribuicao de X.

Se X e regular, temos

N(t, u) =Xt ∧Xu

|Xt ∧Xu|=λw′ + uw′ ∧ w√λ2 + u2|w′|

.

Por outro lado (λ 6= 0),

N(t, 0) =w′λ

|w′||λ|.

Portanto, se θ e o angulo formado por N(t, u) e N(t, o),

tan θ =u

|λ|

Exemplo 3. Considere a superfıcie regrada dada por

X(t, v) = α(t) + vw(t) =

(t,

v√1 + k2t2

,vkt√

1 + k2t2

), t ∈ IR, v ∈ IR

cujo traco coincide com o paraboloide hiperbolico z = kxy.

Como α′(t) = (1, 0, 0) concluimos que a linha de estriccao e a propria α. Oparametro de distribuicao e dado por

λ =1

k.

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