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Seminário – LCS/LPS. Aplicações da Teoria do Caos em Comunicações e Processamento Digital de Sinais. Marcio Eisencraft. Sumário da apresentação. Introdução - Sinais caóticos Modulação usando portadoras caóticas Estimação de sinais caóticos Espectro de sinais caóticos - PowerPoint PPT Presentation
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Seminário – LCS/LPS
Marcio Eisencraft
Aplicações da Teoria do Caos em Comunicações e Processamento Digital de Sinais
2
Sumário da apresentação
1. Introdução - Sinais caóticos
2. Modulação usando portadoras caóticas
3. Estimação de sinais caóticos
4. Espectro de sinais caóticos
5. Pesquisa e trabalhos atuais
Sinais caóticos: Limitados
Determinísticos
Aperiódicos
Dependência sensível com as condições iniciais
Características levam a aplicações de sinais caóticos
em diversas áreas tecnológicas
Telecomunicações desde 1990. Áreas: modulação,
codificação, criptografia entre outras3
1. Sinais Caóticos
4
1.1 Caos - Histórico• Séculos XVIII e XIX - Início do estudo das equações diferenciais. • 1890 - Poincaré - Soluções muito complicadas• Década de 1960 - Assunto retomado:
– Smale, Palis, Peixoto - dinâmica simbólica - análise de órbitas caóticas.– Lorenz - equações diferenciais simples com dependência sensível às condições iniciais
• Década de 1970 - Inúmero de trabalhos em dinâmica não-linear e aplicações nas mais diversas áreas
• Década de 1980 - Computação de alta velocidade - possibilita “visualizar” resultados matemáticos abstratos - chama atenção de pesquisadores de inúmeras áreas
• 1984 - Circuito eletrônico que gera sinais caóticos (Chua);• 1990 - Possibilidade de sincronismo de sistemas caóticos – Pecora e Carroll• Muitos trabalhos subseqüentes. Destacam-se:
– Cuomo e Oppenheim (MIT); Chua (Berkeley); Hassler (Swiss Federal Institute of Technology); Grebogi (IFUSP), .Rovatti, Setti (Ferrara), entre muitos outros
5
1.2 Equações de diferenças
1s n as n
n s1(n) s2(n)
0 1 5
1 2 10
2 4 20
3 8 40
4 16 80
5 32 160
• Modelo populacional exponencial
• Exemplo: a = 2
6
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
4
n
s[n
]
Modelo exponencial
s(0) = 1
s(0) = 5
• Comportamento simples: a>1, exponencial crescente; 0<a<1, exponencial decrescente
7
1.2 Equações de diferenças
1 1s n as n s n
• Modelo logístico: população futura é proporcional à população atual mas limitada pelos recursos naturais
• a = 2,8 n s1(n) s2(n)
0 0.4000 0.8000
1 0.6720 0.4480
2 0.6172 0.6924
3 0.6616 0.5963
4 0.6269 0.6740
5 0.6549 0.6628
6 0.6328 0.6258
7 0.6506 0.6557
0.6429 0.6429
8
• Órbitas convergem para ponto fixo – população se estabiliza independentemente da condição inicial
0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
s[n
]
Mapa logístico - a = 2.8
s
1(0) = .4
s2(0) = .8
9
1.2 Equações de diferenças
1 1s n as n s n
• a = 3,3 n s1(n) s2(n)
0 0.1500 0.8000
1 0.4207 0.5280
2 0.8043 0.8224
3 0.5195 0.4820
4 0.8237 0.8239
5 0.4791 0.4787
6 0.8236 0.8235
7 0.4795 0.4796
0.82360.4794
0.82360.4794
10
•Convergem para órbita periódica de período 2 – população varia entre dois valores
0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
s[n
]
Mapa logístico - a = 3.3
s1(0) = .15
s2(0) = .8
11
1.2 Equações de diferenças
1 1s n as n s n
• a = 3,5 n s1(n) s2(n)
0 0.1500 0.8000
1 0.4462 0.5600
2 0.8649 0.8624
3 0.4090 0.4153
4 0.8460 0.8499
5 0.4560 0.4465
6 0.8682 0.8650
7 0.4005 0.4088
0.87500.38280.82690.5009
0.87500.38280.82690.5009
12
• Órbitas convergem para órbita periódica de período 4 – população varia entre quatro valores
0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
s[n
]
Mapa logístico - a = 3.5
s1(0) = 0.15
s2(0) = 0.8
13
1.2 Equações de diferenças
1 1s n as n s n • a = 4
n s1(n) s2(n)
0 0.3000 0.3001
1 0.8400 0.8402
2 0.5376 0.5372
3 0.9943 0.9945
4 0.0225 0.0220
5 0.0879 0.0860
6 0.3208 0.3143
7 0.8716 0.8621
8 0.4476 0.4755
9 0.9890 0.9976
? ?
14
• Órbitas limitadas, determinísticas, aperiódicas; sensibilidade às condições iniciais
• CAOS
0 10 20 30 40 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
s[n
]
Mapa logístico - a = 4
s
1(0) = 0.3
s2(0) = 0.3001
15
Caos em Sistemas Discretos
• Mapa Logístico( )( 1) ( ) 1 ( )s n as n s n+ = -
16
1.3 Equações diferenciais
bzxyz
yrxxzy
yxx
17
• Propriedades interessantes dos sinais caóticos
para Telecomunicações:
– Ocupam largas faixas de freqüências;
– Função de autocovariância impulsiva;
– Função de covariância cruzada com outras órbitas
com valores muito baixos.
• Propriedades desejadas para modulações
spread spectrum.
1.4 Propriedades interessantes
18
Sumário da apresentação
1. Introdução - Sinais caóticos
2. Modulação usando portadoras caóticas
3. Estimação de sinais caóticos
4. Espectro de sinais caóticos
5. Pesquisa e trabalhos atuais
19
2.1 Sistema de Wu e Chua
• Sincronismo de sistemas caóticos
• Mensagem inserida na geração do sinal
20
Exemplos - Sistema de Wu e Chua
21
2.2 Influência da Limitação em Banda
m(t) = sen(2500t) - fa = 8kHz - passo de integração = 0,06 - a = -30dB
22
2.2 Influência da Limitação em Banda
fci = 0,02fcs = 0,7 fci = 0,02fcs = 0,7 fci = 0,02
• Inserir filtros passa-banda nas malhas do transmissor e do receptor de forma a limitar o espectro do sinal caótico a ser transmitido.EISENCRAFT, M. ; GERKEN, M. Comunicação Utilizando Sinais Caóticos: Influência de Ruído e de Limitação em Banda. In: XVIII Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2000, Gramado. Anais do Simpósio Brasileiro de Telecomunicações. Gramado : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2000.
23
2.3 Resolvendo o problema da limitação em banda
24
fcs = 0,7, fss = 0,9fcs = 0,63
2.4 Resultados Obtidosfci =0,02, fli =0,05fcs = 0,7, fss = 0,9fcs = 0,63
25
2.5 Diminuindo os efeitos do ruído
• Sincronismo é extremamente sensível ao ruído no canal
• Direção a seguir: comunicações digitais não-coerentes
• Em sistemas não-coerentes não há necessidade de recuperar o sinal caótico no receptor
26
2.6 Modulações digitais• Símbolo transmitido como os coeficientes de
uma combinação linear de sinais caóticos
1
0
N
n
1mz nxm Circuito de decisão
1ˆmx ×
1
0
N
n
ns1̂
1mz nxm Circuito de
decisão
1ˆmx
• Transmissor – Nb=1 • Receptor coerente
• Receptor não-coerente0 50 100 150 200 250 300 350 400
-0.5
0
0.5
CO
OK
0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.5
0
0.5
CS
K u
nip
ola
r Seqüência: {1,1,0,1,0,0,1,0}
0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.5
0
0.5
n
CS
K b
ipola
r
27
2.7 DCSK – Differential Chaos Shift Keying
• Modulador DCSK
• Demodulador diferencial
• CSK com Nb=2 em que as seqüências de base consistem em segmentos de sinais caóticos repetidos
1
2
N
Nn
1mz nxm Circuito de
decisão
mx̂
2
N
z
1Nn
Re
Parte real
( )* Conjugação
28
2.8 FM-DCSK – Frequency Modulated DCSK
Modulador em
freqüência
s t
| 1 |
Magnitude-ângulo para complexo
02
Nn
NnN
2
1
N 2
N
z
s n
n2
mx n is n
11
m
bE
• Modificação do DCSK – energia por símbolo constante
• Antes da modulação insere-se o sinal caótico num modulador FM
• Energia do sinal FM independe do sinal modulante
29
-10 -5 0 5 10 15 20 25 3010
-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
Eb/N
0 (dB)
BE
R
Curvas de desempenho em canal AWGN
CSKCOOKDCSKFM-DCSKASKDPSK
2.9 SimulaçõesEISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. Modulações digitais usando portadoras caóticas: uma análise comparativa. In: XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07), 2007, Recife. Anais do XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações. Rio de Janeiro : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2007. v. 1. p. 1-6.
30
2.10 Comparações entre os sistemasSistema Limiar Energia Sincronização Não uso
da dinâmica
CSK coerente X X
CSK não-coerente X X XDCSK X XFM-DCSK X
31
Sumário da apresentação
1. Introdução - Sinais caóticos
2. Modulação usando portadoras caóticas
3. Estimação de sinais caóticos
4. Espectro de sinais caóticos
5. Pesquisa e trabalhos atuais
32
• Sistema dinâmico
• Seqüência observada
sendo r (n) AWGN com média nula• Determinar o menor mse que um estimador sem viés
de s0 pode assumir dado s’ (n) e f (.) (CRLB).
3.1 CRLB - Formulação do problema
0' , , 0 1s n s n s r n n N
1s n f s n
33
Sejam
Teorema 1 0' , , 0 1s n s n s r n n N
• uma órbita do sistema dinâmico
1s n f s n
• r(n) um processo ruído branco gaussiano de média nula e variância σr
2
• o mapa f(.) derivável em todos os pontos dessa órbita
Então,
0
2
0 211
1 0 ,
ˆmse
1
r
nN
n j s j s
sdfds
0,s n s
34
Teorema 2• Nas mesmas condições do Teorema 1, o
limite do CRLB quando N → ∞ é
• L≡L(s0) ≠ 1 é o número de Lyapunov do atrator para o qual a órbita s(n,s0) converge
• Resultado válido para órbitas caóticas ou não.
2
20 2
1ˆmse s
1r N
L
L
EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. . The Cramer-Rao bound for initial conditions estimation of chaotic orbits.
Chaos, Solitons and Fractals, v. 38, p. 132-139, 2008.
35
3.2 O MLE
• MLE: Valor de θ que maximiza p(x; θ)
• Simples para mapas com densidade invariante uniforme (Papadopoulos; Wornell, 1993)
• Assintoticamente sem viés e eficiente.
• Usando o Teorema 2, mostra-se que para o mapa fT(.)
4 1
3
N
G
36
0 20 40 60 800
20
40
60
80
100
120
Mapa fI(.) - = 0
SNRin
(dB)
Gd
B (
dB
)
N = 3N = 5N = 10N = 20
MLE – Estimação da condição inicial – fI(.)
37
3.3 Estimação pelo algoritmo de Viterbi
• Idéia básica: interpretar seqüências caóticas como um
processo de Markov que em cada instante assume
um de NS estados possíveis
• Domínio U segmentado em NS intervalos: U1, ..., UNs
• Estado q(n) = j se
• Dedieu e Kisel (1999) partição uniforme
– Mapas com densidade uniforme
• Proposta para mapas mais genéricos: utilizar partição
não-uniforme
js n U
38
Exemplos de matrizes de transição de estados
-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1-1
-0.5
0
0.5
1
s
Mapa tenda fT(.)
U1 U
2 U3 U
4 U5
-0.809 -0.309 0.309 0.809-1
-0.5
0
0.5
1
s
Mapa quadratico fQ
(.)
U1
U2 U
3U
4 U5
1A
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 2
1 2
0 0
1 0 0 02
1ij j ia P s n U s n U
39
Simulações - mapa quadrático fQ(.)
EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. . Estimating chaotic orbits generated by maps with nonuniform invariant density. In: 9th Experimental Chaos Conference, 2006, São José dos Campos. The 9th Experimental Chaos Conference - Sessions and Abstracts, 2006. p. 67-68.
40
3.4. MLE x Viterbi
-10 0 10 20 30 40-5
0
5
10
15
SNRin
(dB)
Gd
B (
dB
)
MLE - N = 2
MLE - N = 5
MLE - N = 10
MLE - N = 20Viterbi - N = 20, N
S = 100
MLE - N = 50
41
3.5 O ML-CSK modificado com dois mapas
• (Kisel; Dedieu; Schimming, 2001)
• Transmissor igual ao do CSK com 2 mapas
• Receptor 1 1 2 2m m mx n x s n x s n
Decodificador
de Viterbi
Decodificador
de Viterbi
Circuito de
decisão
Cálculo de
verossimilhança1A
2ACálculo de
verossimilhança
mx n
ˆ 1q
2q̂
1Nn
1Nn
1mz
2mz
1ˆmx
42
Como escolher mapas? (1/2)• Caso mapa tenda: proposta adaptada de
(Kisel; Dedieu; Schimming, 2001)
2A
1 3 1 3 1 3
1 3 1 3 1 3
0 1 2 1 2 0
1 3 1 3 1 3
1 3 1 3 1
0 0
0 0
0
0 0
0 0 3
1 1A
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 2
1 2
0 0
1 0 0 02
43
1 1A
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 2
1 2
0 0
1 0 0 02
2A
0 1 2 1/2
0 0 0
1 0 0 0
0 0 0
0 0
1 0
0
1 0
0 20 0 1/2 1/
Ponto fixo Ponto fixo superatrator!superatrator!
• Procedimento não necessariamente ótimo e deve ser aplicado com cautela
Como escolher o mapa? (2/2)
44
3.6 ML-CSK com um mapa
• Transmissor igual ao do CSK bipolar com uma função de base:
• Receptor:
1 1 11 21, ,m m b bx n x s n x E x E
Decodificador
de Viterbi
-1
Decodificador
de Viterbi
Circuito de
decisão
Cálculo de
verossimilhança1A
1ACálculo de
verossimilhança
mx n
ˆ 1q
2q̂
1Nn
1Nn
1mz
2mz
1ˆmx
45
3.7 Simulações computacionais
0 5 10 15 20 25 30
10-3
10-2
10-1
100
Eb/N
0 (dB)
SE
R
ML-CSK - N = 10
2 mapas - fT(.)
2 mapas - fQ
(.)
1 mapa - fT(.)
1 mapa - fQ
(.)
COOK
46
3.8 Trabalhos futuros (1/2)A. Análise dos sistemas propostos para o caso M-
ário
B. Análise da complexidade computacional
C. Generalização dos Teoremas 1 e 2 para o caso multidimensional
D. Uso de modelos de canais mais complicados
E. Análise estatística da energia de trechos de sinais caóticos
F. Otimização da escolha dos mapas e transformações utilizados no ML-CSK
47
G. Proposta de sistema de modulação com recepção diferencial e estimação com desempenho melhor do que o FM-DCSK.
H. Multiplexação – sistemas multiusuários
3.8 Trabalhos futuros (2/2)
48
Sumário da apresentação
1. Introdução - Sinais caóticos
2. Modulação usando portadoras caóticas
3. Estimação de sinais caóticos
4. Espectro de sinais caóticos
5. Pesquisa e trabalhos atuais
49
4.1 Aplicações - Caracterização Convencional
• Larga faixa de freqüências
• Seqüência de autocorrelação impulsiva
• Seqüência de correlação cruzada com valores baixos
• Apesar de essenciais, poucos resultados analíticos
Objetivos:
• Verificar se caos implica banda larga
• Determinar a banda essencial de sinais caóticos
• Gerar sinais caóticos com banda pré-definida
50
4.2 FAMÍLIA DE MAPAS TENDA INCLINADA
• Parâmetro determina o valor da abscissa em que se localiza o pico da tenda
2 1, 1
1 1( )2 1
, 11 1
I
s sf s
s s
( 1) ( ( ))Is n f s n
51
4.2 Mapas tenda inclinada fI (.)
2 1, 1 ( )
1 1( 1) ( )2 1
, ( ) 11 1
I
s n s ns n f s n
s n s n
-1
-0.5
0
0.5
1
s
f I(s)
0 20 40 60 80 100-1
-0.5
0
0.5
1
n
s(n
,0)
-1 1 = 0,8
• Mapa define processo estocástico com órbitas como funções-amostras
– Seqüência de Autocorrelação (SAC)
– Densidade Espectral de Potência (DEP)
– Função Densidade de Probabilidade (FDP) ou Densidade Invariante
• Exemplo: Ruído Branco Gaussiano
52
4.3 Caos como processo estocástico
DEP FDP
53
*
1( )
2p s 23( )
2p s s
4.4 Densidade Invariante
54
4.5 Seqüência de Autocorrelação
(( )) ()s nR E s n kk
• Para facilitar a notação, define-se
( )s n x e ( ) ( )kIs n k f x y
1 1 1
1 1 1
1( , )(
2( )) k
IR k E xy xy dxdy dx xy xfp x
• Assim
• A SAC R ( k ) para um fixo é definida por
55
4.6 Seqüência de Autocorrelação
Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos
56
4.7 Seqüência de Autocorrelação
Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos
• Substituindo as equações de reta em R (k)
12
2 2
1
1( ) ( ) ( 1) ( ) ( )
12
k
k k k km
R k a m b m a m b m
• Iterando-se uma vez,
12
2 2
1
( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )12
k
k k k km
R k a m b m a m b m
( 1) ( )R k R k
2 1 1(0) ( )
3 3kR E x R k
57
• Para positivos, a SAC decai monotonicamente
• Para negativos, a SAC decai de forma oscilatória
2 1( ) 1 ( )
kR k R k • para 1 = - 2
4.7 Seqüência de Autocorrelação
58
4.7 Seqüência de Autocorrelação
59
4.8 Densidade Espectral de Potência
•A DEP é dada pela TFTD de R(k)
2
2
1( )
3 1 2 cos( )S
KATO, D. M. ; EISENCRAFT, M. On the power spectral density of chaotic signals generated by skew tent maps. In: 8-th International Symposium on Signals, Circuits and Systems (ISSCS 2007), 2007, Iasi. ISSCS 2007 International Symposium on Signals, Circuits and Systems - PROCEEDINGS, 2007. v. 1. p. 105-108.
KATO, D. M. ; EISENCRAFT, M. Caracterização espectral de sinais caóticos. In: XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07), 2007, Recife. Anais do XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07). Rio de Janeiro : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2007. v. 1. p. 1-5.
60
4.8 Densidade Espectral de Potência
• Quanto maior | |, mais concentrado é o espectro dos sinais resultantes
• Sinal de define se órbitas geradas têm suas potências concentradas nas altas ou baixas freqüências
• Simetria com relação a α = 0.5
61
4.8 Densidade Espectral de Potência
62
4.9 BANDA ESSENCIAL
• Um método para quantificar os resultados obtidos é por meio da banda essencial
• A Banda Essencial B é definida como o comprimento do intervalo de freqüência em que p = 95% da potência do sinal está concentrada (LATHI, 1998)
0 0
( ) ( )B
S d p S d
12arctan tan
2 1
pB
63
4.9 BANDA ESSENCIAL
• | | 0: processo ruído branco uniforme
• | | 1: banda essencial extremamente estreita
64
410 Espectro - Conclusões parciaisCaracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos
• Principal motivação: poucos estudos sobre as características espectrais de sinais caóticos
• Resultados analíticos comprovam resultados numéricos
- Verificar se caos implica banda larga• Caos não é sinônimo de banda larga • Sinais caóticos com potência concentrada nas baixas ou altas freqüências
- Determinar a banda essencial de sinais caóticos• Fórmula analítica para família tenda inclinada• Banda essencial relacionada ao expoente de Lyapunov
65
- Gerar sinais caóticos com banda pré-definidaÉ possível escolher uma banda essencial e encontrar um mapa que gere sinais que ocupem essa largura de banda desejada
• Existe unicidade?
Mapa unidimensional DEP e Densidade invariante
4.10 Espectro - Conclusões parciais
66
Comportamento espectral de outros mapas
Propriedades espectrais são mantidas por conjugação?
Mapas multidimensionais
Estudo de características espectrais de esquemas de
modulação caóticos: CSK, DCSK
Novas aplicações empregando essa características
4.11 Algumas Propostas de Trabalhos Futuros
67
Sumário da apresentação
1. Introdução - Sinais caóticos
2. Modulação usando portadoras caóticas
3. Estimação de sinais caóticos
4. Espectro de sinais caóticos
5. Pesquisa e trabalhos atuais
68
A. Trabalhos futuros apresentados na seção sobre
estimação
B. Trabalhos futuros apresentados na seção sobre
espectro
C. Aplicação de conceitos de caos na análise de
séries temporais (quasar (CRAAM); voz)
D. Aplicações em seqüências para espalhamento
espectral
6.1 Trabalhos em andamento