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8/17/2019 Separata Uni

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SEPARATA CURSO DE MODELOS MATEMÁTICOS APLICADOS A LAINGENIERÍA

UNI

Profesor: Alfredo Marín Suárez

Docteur Ingénieur en Sciences et Techniques Minières - !tion "éostatistique

alfredo#aringeo$hot#ail%co#

htt!:&&'''%geoestadistica%org%co#

1. INTRODUCCIÓN

(a "eoestadística a!orta una herra#ienta deno#inada )ariogra#a* el cual tienea!licaciones en las ciencias geol+gicas , #lti!les a!licaciones en otras

disci!linas% (a "eoestadística fue desarrollada , !resentada !or "eorge

Matheron en la década de los ./ del siglo 00% 1n efecto la "eoestadística

considera que las 2aria3les regionalizadas están #odeladas en un es!acio de

2aria3les aleatorias reales L2 so3re un es!acio de !ro3a3ilidades

4


2/14

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5

.%67.%68.%6..%64.%65 88888

8 −+−+−+−+−=σ

77%68 =σ

Representación de la variable regionalizada en el espacio.

1n la que se define la funci+n )ariogra#a:

o

9 una etensi+n del )ariogra#a deno#inado )ariogra#a ;ruzado que relaciona

dos 2aria3les:

1n esta !eque


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2.5 A#"a *"#edem# a #n!"u&" l# 6a"'"ama de la 4#na A 0 +

"raficando el 2ariogra#a !ara la zona A%

7

( ) ( ) ( )

( ) ( )5//%7

88

7485?6C

///%486

7.84.5?8

87

88

888

=−+−

=

=−+−+−=

−−−−

x

x

x

γ

?Chγ

h

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ///%@88

458.?6C

..D%686

47857.?8

87

88

888

=−+−

=

=−+−+−

=

−−−−

x

x

x


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"raficando el 2ariogra#a !ara la zona E%

C#m# e *uede #)e"(a" el em&76a"'"ama% 3ue m8 #m9nmen!e e le den#m&na

(a"'"ama% da uen!a de la $#na e!"u!u"almen!e d&,e"en!e.

5. MODELOS DE 6ARIOGRAMAS MÁS COMUNES

a? 1fecto de Pe!ita Puro

3? Modelo 1sférico o de Mather+n

5

?Chγ

h

Ch

h


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c? Modelo de For#er, o 1!onencial

d? Modelo con efecto GB(1H

e? Modelo "aussiano

.


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E de n#!a" 3ue e!# m#del# 0 u #m)&nane n# #n neea"&amen!e l#

9n&#.

:. APLICACIÓN DEL 6ARIOGRAMA CRU4ADO EN EL ESTUDIO DE

CORRELACIONES

:.1 Para 2isualizar esta funci+n* considere#os un e=e#!lo de una zona de terreno

e!lorado del cual he#os o3tenidos 2alores geoquí#icos del ro , Plata , desea#os

estudiar la relaci+n entre los dos 2alores% Para este efecto a!licare#os el 2ariogra#a

cruzado%

Siendo la for#ula:

A!licando:

;u,a gráfica es la siguiente:

[ ][ ] 6?C?C?C?C xRh x Z Z h x Z x Z E h B B B A AB ∀+−+−=γ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

)( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )//%4

84

5D75?7C

85%588

58746D85?6C

66%486

[email protected]@D.5?8C

85%I87

56786@[email protected]?4C

=−−

=

=−−+−−

=

=−−+−−+−−

=

=−−+−−+−−+−−

=

x

x

x

x

AuAg

AuAg

AuAg

AuAg

γ

γ

γ

γ

h

?Ch AuAg γ


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O)e"(am# 3ue uand# a0 una #""ela&/n *#&!&(a al!a en!"e la (a"&a)le% el

(a"'"ama "u$ad# !&ende a !#ma" (al#"e *#&!&(# al!#.

:.2 Ahora 2ea#os que !asa en otra zona* donde los 2alores geoquí#icos de la Plata

to#an otros 2alores:

A!licando la f+r#ula:

;on su gráfica:

O)e"(am# 3ue uand# a0 una #""ela&/n ne'a!&(a al!a en!"e la (a"&a)le el

(a"'"ama "u$ad# !&ende a !#ma" (al#"e ne'a!&(# al!#.

Al realizar el análisis estadístico descri!ti2o de las líneas de #uestreo de la Jona A , la

Jona E* corres!ondientes a la 2aria3le regionalizada !lo#oK o3tene#os el #is#o

@

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )//%/

84

4475?7

D5%.88

4.745485?6C

66%/86

487.5.8484.5?8C

.%D87

4578588.8..4.445?4C

=−−

=

−=−−+−−

=

=−−+−−+−−

=

−=−−+−−+−−+−−

=

x

x

x

x

AuAg

AuAg

AuAg

AuAg

γ

h

?Ch AuAg γ


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resultado estadísticoK es decir* que este análisis estadístico descri!ti2o no nos a,uda a

dar cuenta del as!ecto estructural de estos fen+#enos total#ente diferentes% 1n tanto* al

a!licar la funci+n )ariogra#a 2e#os que sí da cuenta del as!ecto estructural de estos

fen+#enos total#ente diferentes% Por lo que constitu,e una herra#ienta de gran utilidad

en el trata#iento de 2aria3les regionalizadas%

3ser2a#os que cuando ha, una correlaci+n !ositi2a alta entre las 2aria3les

regionalizadas* el 2ariogra#a cruzado tiende a to#ar 2alores !ositi2os altosK #ientras

que* cuando ha, una correlaci+n negati2a alta entre las 2aria3les* el 2ariogra#a cruzado

tiende a to#ar 2alores negati2os altos% Por lo que el 2ariogra#a cruzado se su#a a las

herra#ientas que !er#iten estudiar la correlaci+n entre 2aria3les%

;. TERON

;onsiderando las 2aria3les JCi? que están cerca de un so!orte geo#étrico a

esti#ar , dentro de su aureola de influencia% Aureola definida !or #edio de los

alcances esti#ados a !artir de un estudio de 2ariogra#as%

)isualizare#os el !rocedi#iento a !artir de la siguiente dis!osici+n de las

#uestras con res!ecto a un so!orte geo#étrico )%

?C 44 x z λ

?C 88 x z λ

?C nn x z λ V


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Disposición de uestras con respecto a un soporte geo!trico V.

9 desea#os esti#ar la 2aria3le JC? del so!orte geo#étrico ) a !artir de las

#uestras JCi?% 1ntonces necesita#os encontrar los !esos !ara esti#ar la 2aria3le

J2C/?* a !artir de:

1n el e=e#!lo que !resentare#os a continuaci+n considere#os que esta#os en

condiciones de a!licar un Lrigeage ordinario 3a=o la hi!+tesis estacionaria de

orden 8* !or lo que usare#os el siguiente siste#a de ecuaciones%

1ste siste#a resulta de #ini#izar la 2arianza de esti#aci+n su=eta a la condici+n

de uni2ersalidad * que hace que nuestro esti#ador sea insesgado%

1l error co#etido en este !rocedi#iento de esti#aci+n 2iene dado !or la 2arianza

de Lriging de Matheron siguiente:

E?em*l#@

A !artir de los 2alores de la !otencia de un #anto de Be#atita en los !untos A ,

E* se desea esti#ar la !otencia en el !unto ;% ;onsiderando que la !otencia del

#anto tiene el siguiente #odelo de 2ariogra#a%

4/

( ) ( ) ( ) ( )nnV x Z x Z x Z x Z λ λ λ +++= %%%8844/M

( ) ( )∑=

=+n

V vuvv4

**β

α β α β γ γ λ 4=∀α a n

∑=

=n

4

4β

β λ

∑=

=n

4

4β

β λ

( ) ( )V V uV v " "# 48

* γ γ λ σ −+=

( ) =hγ

−

6

6

8

4

8

6

a

h

a

h$

$ ah >∀

[ ]ah */∈∀

a .= % 4=$


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1s decir un #odelo de Matheron o ta#3ién deno#inado esférico% A continuaci+n

se #uestra la u3icaci+n de las !otencias , su orden de #agnitud%

Variable regionalizada &otencia en los puntos A % B de un anto de 'eatita

1ntonces tendre#os a !artir del siste#a de ecuaciones anterior* el siguiente

siste#a !articular:

>ee#!lazando:

+

44


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I%

II%

III%

>estando CI? N CII? :

Ahora tene#os el siguiente siste#a:

IO%

IIO%

Su#ando CI? Q CII? :

>ee#!lazando en CII? :

1n la !ri#era ecuaci+n inicial:

Des!e=a#os:

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Pará#etro auiliar que será usado !osterior#ente en la f+r#ula de la 2arianza de

Lriging de Matheron%

Siendo la !otencia esti#ada del #anto igual a:

>ee#!laza#os:

Ahora 2ea#os cuál es el error que se co#ete en esta esti#aci+n* !ara lo cual

!articulariza#os la f+r#ula de la 2arianza de Lriging de Matheron dada

anterior#ente%

>ee#!lazando:

1ste 2alor es el error co#etido en el !roceso de esti#aci+n realizado%

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REFERENCIAS

- Matheron "% C4.8* 4.6? - Traité de "éostatistique A!!liquée%

1d% Techni!* Paris )(% 4K )(% 8%

- "ui3al D% C48? - Si#ulation de Sché#as Intrinsèques% R-84 1%R%S%M%P%

- ournel A% C4? - "éostatistique Miniere* to#o 4 , 8% 1%R%S%M%P

- Maréchal A%* Derais#e %* ournel A%* Matheron "% C4@? - ;ours de

"éostatistique non (inéaire% ;-7 1%R%S%M%P%

- Marín Suárez A% C4@? - Méthodologie de (Oesti#ation et Si#ulation

Multi2aria3le des "rands "ise#ents Tridi#ensionnels% Thèse !résentée

IOécole Rationale Su!érieure des Mines de Paris

Para o3tener el grado de:

Docteur Ingénieur en Sciences et Techniques Minières - !tion "éostatistique

- Marín Suárez A% C4@.? - Modelo "eoestadístico de Filones de Al#adén% 1d%

Minas de Al#adén S%A%* Al#adén C1s!ae#, R%* Eoucher A%* Uu %* ournel A% C8//? - A!!lied "eostatistics 'ith

"S(IE and S"1MS% 1d% ;a#3ridge Vni2ersit, Press%

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