SEQUÊNCIA DE ENSINO “PASSEIOS ALEATÓRIOS DA CARLINHA

SEQUÊNCIA DE ENSINO “PASSEIOS ALEATÓRIOS DA

CARLINHA”: CONTRIBUIÇÕES DA ÁRVORE DE

POSSIBILIDADES

Robson dos Santos Ferreira Universidade Bandeirante de São Paulo

[email protected]

Verônica Yumi Kataoka Universidade Bandeirante de São Paulo

[email protected]

Mônica Karrer Universidade Bandeirante de São Paulo

[email protected]

RESUMO

Neste trabalho apresentamos parte de uma pesquisa, cujo objetivo foi

investigar a aprendizagem de conceitos probabilísticos de alunos do terceiro

ano do ensino médio por meio da aplicação do experimento de ensino

“Passeios Aleatórios da Carlinha” nos ambientes papel & lápis e

computacional, software R. A construção e a análise do experimento

ocorreram sob a perspectiva do letramento probabilístico de Gal e do

construcionismo de Papert, sendo aplicada uma atividade composta de

quatro seções. Neste artigo, selecionamos os principais resultados das duas

primeiras seções e discutimos as contribuições do trabalho com a árvore de

possibilidades na construção do conceito de probabilidade apresentadas na

terceira seção. O trabalho foi desenvolvido de acordo com a metodologia de

Design Experiment de Cobb et al.e as atividades foram aplicadas a sete

alunos do terceiro ano do ensino médio de uma escola estadual da cidade de

Ibiúna no estado de São Paulo. Os resultados demonstraram avanços na

compreensão de conceitos probabilísticos e o trabalho com a árvore de

possibilidades proporcionou importantes reflexões em relação ao objeto

V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 2 28 a 31 de outubro de 2012, Petrópolis, Rio de janeiro, Brasil

matemático Probabilidade, contribuindo para o desenvolvimento do

letramento probabilístico proposto por Gal.

Palavras-chave: Probabilidade; Construcionismo; Letramento Probabilístico; Árvore de Possibilidades.

RESUMEN

En este trabajo presentamos parte de una investigación, cuyo objetivo fue

investigar sobre el aprendizaje de conceptos probabilísticos en alumnos de

tercer año de enseñanza media por medio de la aplicación del experimento

de enseñanza “Paseos aleatorios de Carlinha” en los ambientes papel y lápiz,

y computacional con software R. La construcción y el análisis del

experimento ocurrirán bajo la perspectiva de la alfabetización probabilística

de Gal y del construccionismo de Papert, siendo una actividad compuesta de

cuatro secciones. En este artículo, seleccionamos los principales resultados

de las dos primeras secciones y discutimos las contribuciones de trabajar

con diagramas de árbol en la construcción del concepto de probabilidad

presentadas en la tercera sección. El trabajo fue desarrollado de acuerdo con

la metodología de Design Experiment de Cobb et. al. y las actividades

fueron aplicadas a siete alumnos de tercer año de enseñanza media de una

escuela estatal de la ciudad de Ibiúna en el estado de São Paulo. Los

resultados demostraron avances en la comprensión de conceptos

probabilísticos y el trabajo con el diagrama de árbol proporcionó reflexiones

importantes en relación al objeto matemático Probabilidad, contribuyendo al

desarrollo de la alfabetización probabilística propuesta por Gal.

Palabras clave: Probabilidad; Construccionismo; Alfabetización Probabilística; Diagrama de Árbol.

1. Introdução

Segundo Borovcnik & Kapadia (2009), erros conceituais em Probabilidade podem

afetar decisões pessoais em situações importantes, como, por exemplo, o veredicto de

um júri ou um investimento no mercado financeiro, sendo que conhecimentos de

Probabilidade são essenciais para o entendimento de qualquer procedimento inferencial

da Estatística. Esses autores relatam, ainda, que os conceitos de riscos (não somente em

mercados financeiros) e confiabilidade estão intimamente relacionados e dependentes


da Probabilidade. Desta maneira, o desafio é ensinar conceitos probabilísticos com o

objetivo de capacitar os alunos a compreendê-los e aplicá-los, possibilitando que esses

alunos se tornem letrados em Probabilidade (GAL, 2005).

Para Coutinho (2001) e Batanero & Godino (2002), a construção dos conceitos

probabilísticos deve ser feita a partir da compreensão de suas três noções básicas:

percepção do acaso; ideia de experiência aleatória e noção de probabilidade.

No contexto do ensino de Probabilidade, Batanero & Godino (2002) afirmam

ainda que o aluno deve observar o caráter imprevisível de cada resultado isoladamente

num experimento aleatório, percebendo a variabilidade das pequenas amostras a partir

de uma dinâmica de comparação dos resultados obtidos por cada aluno ou partes, bem

como estar atento ao fenômeno da convergência, olhando para a acumulação dos

resultados de toda a turma, e, posteriormente, comparando a confiabilidade de pequenas

e grandes amostras.

Para aumentar o tamanho da amostra na realização da experimentação aleatória,

em sala de aula, pode se utilizar do recurso computacional (Chance & Rossman, 2006).

De acordo com Mills (2002), diversos pesquisadores têm sugerido o uso de

computadores no ensino de Probabilidade por acreditarem que os alunos podem

aumentar sua capacidade de entendimento dos conceitos abstratos ou difíceis.

No uso do ambiente computacional para se trabalhar Probabilidade, pode se

pensar no conceito de construcionismo, o qual, segundo Papert (1980), caracteriza-se

pela busca da liberdade de iniciativa do aprendiz e pelo seu controle nesse ambiente. No

construcionismo, o aprendizado é entendido como construção pessoal do conhecimento.

Levando em consideração as características do construcionismo e do letramento

probabilístico proposto por Gal, a pesquisa realizada por Ferreira (2011) teve como

objetivo investigar a aprendizagem de conceitos probabilísticos de alunos do 3º ano do

ensino médio por meio da aplicação do experimento de ensino “Passeios Aleatórios da

Carlinha” nos ambientes papel & lápis e computacional, software R. Nesse artigo

discutimos as contribuições oferecidas pela árvore de possibilidades nesse processo de

construção do conceito de probabilidade, bem como da sua colaboração no

desenvolvimento do letramento probabilistico dos alunos participantes.

2. Referencial teórico

O trabalho na perspectiva construcionista mostra-se relevante uma vez que,

segundo Valente (1994), o construcionismo destaca-se por proporcionar uma construção


do conhecimento baseada na realização concreta de uma ação que produz como

resultado um produto “palpável”, o qual passa a ser de interesse pessoal de quem o

produz. Nesse ambiente, segundo esse mesmo autor, as construções mentais, que devem

estar apoiadas por construções concretas, favorecem o desenvolvimento de abstrações,

e, a partir delas, ocorre um movimento dialético entre o concreto e o abstrato.

Nesse contexto, o controle do aluno sobre o processo favorece o seu aprendizado,

cabendo ao professor propor novos desafios que o estimulem, respeitando os seus níveis

cognitivos de desenvolvimento. Vale salientar que a ênfase não está no produto que o

aluno apresenta, mas sim, no processo pelo qual ele passa a atingir seus objetivos.

Para Maltempi (2004), atualmente o construcionismo tem sido muito utilizado em

pesquisas envolvendo o uso do computador na Educação Matemática, sendo a

tecnologia um dos focos do construcionismo. Esse autor ressalta que, para se constituir

um ambiente educacional efetivo, é necessário muito mais do que um aprendiz e um

computador, devemos constituir um ambiente que propicie a motivação do aprendiz a

continuar aprendendo, que incentive a discussão e a descoberta e, além disso, que

respeite as características específicas de cada um. Desta forma, o professor assume a

tarefa de fazer com que tudo isso aconteça de forma harmônica.

Esse movimento se mostra um ambiente propicio para o desenvolvimento do

letramento probabilístico proposto por Gal (2005), o qual é caracterizado por cinco

elementos: Abordagem de grandes tópicos, Cálculos probabilísticos, Linguagem,

Contexto e Perguntas críticas.

Na abordagem de grandes tópicos, devem-se explorar os conceitos de variação,

aleatoriedade, independência, previsão e incerteza. A familiaridade com esses tópicos,

segundo esse autor, pode possibilitar aos alunos um entendimento da representação, da

interpretação e das implicações de afirmações probabilísticas. Apesar de alguns

aspectos desses tópicos poderem ser representados por símbolos matemáticos ou termos

estatísticos, as suas nuanças não podem ser completamente explicitadas por notações

técnicas, assim, os alunos devem também compreender intuitivamente a natureza

abstrata contida nos mesmos.

Nos cálculos probabilísticos a atenção deve estar nas formas de encontrar ou

estimar a probabilidade de eventos. Os alunos devem se familiarizar com os diferentes

caminhos para o cálculo de probabilidade dos eventos, para que, desta maneira, possam

entender as afirmações probabilísticas feitas por outras pessoas, gerar estimativas sobre


a possibilidade dos eventos e ter condições de se comunicar. Neste momento, as três

visões de probabilidade, clássica, frequentista e subjetiva, tornam-se úteis, apesar de a

visão clássica ainda prevalecer nos textos escolares, com a justificativa de que esse tipo

de probabilidade seria a base para aprender tópicos mais avançados, tais com

distribuição de amostragem ou comportamento de sistemas físicos ou químicos.

Na Linguagem o foco está nos termos e nos métodos utilizados para comunicar

resultados probabilísticos. O domínio de probabilidade requer familiaridade com vários

conceitos complexos, especialmente variabilidade, aleatoriedade, independência,

previsibilidade e certeza, como também os conceitos de chance, possibilidade ou risco,

mas estes termos abstratos na maioria das vezes não têm definições triviais que possam

ser explicadas em linguagem simples ou por meio de referências a objetos reais. Por

essa razão, os seus significados muitas vezes só podem ser entendidos depois de um

processo acumulativo. Além disso, os termos usados nas aulas de Matemática podem

não necessariamente possuir a semântica implicada ao discurso do dia a dia. Essa

situação pode afetar a compreensão dos alunos e aumentar as chances para conflitos ou

ambiguidades nas conversas em sala de aula. Cabe, portanto, aos professores, trabalhar

os conceitos abstratos em uma linguagem formal, porém, sem se esquecer das

habilidades dos estudantes no entendimento sobre como os termos são utilizados em seu

dia a dia.

O contexto se constitui em uma importante característica, uma vez que volta às

atenções para a compreensão do papel e dos significados das mensagens probabilísticas

em diferentes contextos. Ser “letrado” em probabilidade requer que sejam

desenvolvidos conhecimentos que não se limitem a grandes ideias e métodos para se

descobrir probabilidades e entender a linguagem da chance, mas também que seja

valorizado o papel dos processos probabilísticos e a sua comunicação no mundo. O

contexto, nesta perspectiva, leva em consideração, além do conhecimento necessário na

área, a sua relação com o denominado “mundo de conhecimento”. Assim, o contexto é

um importante elemento do ponto de vista educacional, uma vez que ajuda a explicar a

necessidade de se aprender probabilidade ou incerteza em diferentes circunstâncias da

vida.

O último elemento, referente às perguntas críticas, tem como propósito

possibilitar ao aluno refletir e questionar criticamente uma estimativa ou uma

declaração probabilística. Os alunos devem estar atentos a erros e conceitos falsos,


mesmo que seus mecanismos não sejam sempre entendidos, pois algumas pessoas,

incluindo aquelas com habilidades em Estatística, tendem a estimar probabilidades

utilizando-se de certos métodos, sem necessariamente pensar sobre aleatoriedade,

variedade, independência ou sobre os riscos que podem surgir ao utilizar caminhos

diferentes daqueles provenientes de aspectos formais.

3. Método

Para o desenvolvimento da pesquisa utilizamos a metodologia de Design

Experiment de Cobb et al. (2003), tendo em vista que ela representa um modelo para

pesquisa em Educação Matemática, cujo objetivo é analisar os significados construídos

pelos estudantes quando inseridos em ambientes de comunicação matemática.

Segundo Cobb et al. (2003), desenvolvimento e pesquisa devem ocorrer por meio

de ciclos contínuos de design, de interação, de análise e de redesign, a pesquisa não

deve registrar somente os sucessos ou as falhas, mas focalizá-los nas interações que

contribuam para nossa compreensão dos fatores de aprendizagem envolvidos, deve

envolver o desenvolvimento de relatos fidedignos sobre métodos que possam

documentar e conectar processos de interações aos resultados de interesse.

A pesquisa baseada no design pode ocorrer de vários modos, tanto com grupos

que contêm vários estudantes como com um grupo reduzido de alunos, dependendo dos

objetivos pensados. Em nossa pesquisa, levando em consideração que o objetivo foi

analisar os vários aspectos em relação à construção do conceito de probabilidade no

decorrer do experimento de ensino, optamos por trabalhar com a versão em pequena

escala. O trabalho foi realizado com sete alunos que foram organizados em três grupos

denominados D1, D2, e D3. Neste caso, o professor-pesquisador, o qual assumiu o

papel de orientador do processo, conduziu uma série de sessões de ensino com esse

pequeno grupo, evidenciando, com profundidade, as construções e evoluções

apresentadas por estes sujeitos, tanto por meio de suas observações, bem como da

análise dos áudios e imagens gravadas com o uso do software Camtasia.

4. Experimento de ensino: Passeios Aleatórios da Carlinha - PAC

Antes do desenvolvimento do experimento foi aplicada uma atividade preliminar

de familiarização ao software R, uma vez que os participantes precisavam das

ferramentas básicas para interagir com o mesmo. Ressaltamos que, na perspectiva

construcionista, de acordo com Papert (1980), deve-se buscar a liberdade de iniciativa,


bem como o seu controle do ambiente computacional.

O objetivo geral do experimento foi apresentar noções elementares da teoria de

Probabilidade: espaço amostral, eventos, probabilidade de eventos simples; construir

tabelas simples e gráficos de barras; discutir as diferenças entre um experimento

determinístico e um aleatório; estimar probabilidades por meio da frequência relativa;

calcular a probabilidade teórica a partir da árvore de possibilidades e analisar padrões

observados e esperados.

A atividade foi aplicada em quatro seções. Uma síntese dos principais aspectos de

cada seção, evidenciando o ambiente no qual cada etapa foi desenvolvida, pode ser

observada na figura 1.

Organização da atividade “Os passeios aleatórios da Carlinha”

Sessão I: A estória

(Contexto)

Sessão II: A simulação

Sessão III: A árvore de

possibilidades

Sessão IV: A decisão

História e concepções prévias de

probabilidade

Papel & Lápis

II.1 Simulação

Computacional

II.2 Organização dos resultados e a probabilidade frequentista

Papel & Lápis e Computacional

III.Construção da árvore de

possibilidades

Papel & Lápis

III.2 Organização dos resultados e a

probabilidade teórica ou laplaciana

Papel & Lápis e Computacional

IV.1 Comparação entre as diversas

formas de atribuir probabilidade.

Reflexões Papel & Lápis

IV.2 Simulação Computacional

Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?

Figura 1 - Esquema da atividade “Os passeios aleatórios da Carlinha”. Fonte: Adaptada de Cazorla, Gusmão, Kataoka (2011).

Em cada seção, as questões deveriam ser respondidas baseadas em uma ação

solicitada. Na primeira seção, os alunos deveriam ler a seguinte estória e responder

cinco questões: A Carlinha costumava visitar seus amigos durante os dias da semana em

uma ordem pré-estabelecida: segunda-feira, Luiz; terça-feira, Felipe; quarta-feira,

Fernanda; quinta-feira, Alex; e sexta-feira, Paula. Para tornar mais emocionantes os

encontros, a turma combinou que o acaso escolhesse o amigo a ser visitado pela

Carlinha. Para isso, na saída de sua casa e a cada cruzamento, Carlinha deve jogar uma

moeda; se sair cara (C), andará um quarteirão para o Norte, se sair coroa (X), um


quarteirão para o Leste. Cada jogada representa um quarteirão de percurso. Carlinha

deve jogar a moeda quatro vezes para poder chegar à casa dos amigos (Figura 2).

Figura 2 - Ilustração dos caminhos

Após a leitura da estória, os alunos responderam as questões apresentadas a

seguir, que tinham como objetivo investigar as concepções intuitivas de probabilidade

dos alunos, bem como as diferenças entre um experimento determinístico e um

aleatório:

1) Qual é a diferença entre a forma antiga da Carlinha visitar seus amigos e a nova forma?

As três duplas destacaram o fato de que, no primeiro modo de visita, existia uma

ordem pré-estabelecida e, no segundo modo, as visitas se deram a partir dos resultados

apresentados no lançamento das moedas, sendo que D1 ainda frisou que, nesta nova

forma de visita, alguns amigos poderiam ser mais visitados.

2)Quais são os possíveis resultados ao lançar uma moeda?

D1 e D3 conseguiram identificar que, no caso do lançamento de uma moeda

honesta, haveria apenas duas possibilidades: cara ou coroa. Já a dupla D2 apresentou a

seguinte resposta: “Que visitaria Paula se todas as faces fossem coroa; Luiz, se todas

fossem cara; Felipe, se uma fosse coroa e o resto cara; Fernanda, no caso de duas caras

e uma coroa; e Alex, no caso de três coroas e uma cara”. Essa afirmação nos levou a

observar que o grupo fez uma relação com quem seria visitado dependendo do resultado

da moeda, não respondendo assim o proposto pela pergunta.

3)Qual é a chance de sair cara? E de sair coroa? Por que vocês acham isso?

Todos os grupos justificaram que, uma vez que a moeda tem apenas duas faces, a

chance de sair uma delas é de 50%. Essa resposta revela a tendência dos alunos

pensarem apenas na equiprobabilidade, na probabilidade clássica.

PAULA

ALEX

FERNANDA

FELIPE

CARLINHA LUIZ


4) Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados? Quais são as chances? Qual é a chance? Por que vocês acham isso?

Todos os grupos visualizaram que os amigos não tinham a mesma chance de

serem visitados, e, em suas justificativas, nota-se que nenhum grupo usou-as baseadas

no conceito formal e nem aquelas baseadas em crenças. D1 e D3 justificaram que um

amigo pode ser visitado mais de uma vez na semana dependendo da face da moeda que

sair; D2 relatou que, se no primeiro sorteio sair a face cara, Paula não poderá ser

visitada.

As justificativas apresentadas nesta tarefa confirmam o que os estudos de

Gusmão e Cazorla (2009) e de Hernandez, Kataoka e Oliveira (2010) sinalizam: as

justificativas dos alunos podem se basear na probabilidade teórica ou em crenças, mas

que, neste momento do experimento, ainda são imprevisíveis.

5) Imagine que vocês jogaram 4 vezes a moeda, como vocês anotariam esse resultado imaginário?

Percebeu-se, nesta tarefa, que nenhum grupo utilizou esquemas mais elaborados

para imaginar os resultados no lançamento de moedas. D1 respondeu que poderia sair:

coroa, coroa, cara, coroa e, portanto, Alex seria o amigo visitado. D2 imaginou três

coroas e uma cara, sendo assim Alex o amigo visitado; e D3 respondeu cara, coroa,

coroa, coroa e, com esse resultado, Felipe seria o amigo visitado. De acordo com

Nagamine; Henriques & Carzola (2010), as respostas apresentadas por D1 e D3 são

registros aceitáveis, porém evidenciam uma incompreensão do enunciado, já a resposta

apresentada por D2 demonstra um registro que não explicita a ordem da ocorrência dos

eventos.

4.1 Seção II. A simulação

Na segunda seção os alunos responderam a sete tarefas, sendo que três (1, 5 e 7)

foram realizadas diretamente no software R, e as outras quatro (2, 3, 4 e 6), no papel &

lápis, mas com o apoio dos resultados obtidos no R. Ressalta-se que os alunos não

lançaram a moeda, mas sim, simularam seu lançamento.

Nesta seção era esperado que os alunos utilizassem as funções de simulação

apresentadas na atividade preliminar, permitindo ao grupo a sua autonomia e controle

do ambiente computacional como previsto por Papert (1980) em sua visão

construcionista. Pretendia-se, ainda, que os alunos refletissem sobre as respostas

apresentadas na primeira seção em consonância com os resultados obtidos na


experimentação, uma vez que, por meio da interação dos alunos com o experimento de

ensino, era esperado que, a cada tarefa, os alunos pudessem construir o seu

conhecimento sobre probabilidade e que esse avanço pudesse ser observado nos

resultados obtidos no decorrer do desenvolvimento do experimento de ensino. Assim,

nas reflexões propostas nesta seção, o objetivo foi que os próprios alunos analisassem se

realmente os conceitos de probabilidade que tinham ao iniciar o experimento, se

confirmavam ou não após a simulação, principalmente no que se refere à pergunta

chave: “Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?”.

1) Para Carlinha visitar um amigo, vocês (cada dupla de participantes) terão que

simular o lançamento da moeda quatro vezes, que denominamos de experimento. Se

sair cara (0), Carlinha andará um quarteirão para o Norte, se sair coroa (1), um

quarteirão para o Leste. Para a realização desta simulação no software R, utilizaremos

a seguinte linguagem: para representar a face cara utilizaremos o algarismo 0 e para

representar a face coroa o algarismo 1 . Vocês devem simular esse experimento 30

vezes. Por exemplo, se sair a sequência: cara, cara, coroa, cara, ou seja, (0,0,1,0);

deve-se atribuir Alex para o amigo visitado. A cada simulação preencha a tabela 1.

Tabela 1: Resultados da Simulação Tabela 1. Resultados da simulação. Experimento Seqüência Amigo

visitado Experimento Seqüência Amigo

visitado 1. 16. 2. 17. 3. 18. 4. 19. 5. 20. 6. 21. 7. 22. 8. 23. 9. 24.

10. 25. 11. 26. 12. 27. 13. 28. 14. 29. 15. 30.

Fonte: Acervo Pessoal Esta tarefa foi executada por todos os grupos de maneira satisfatória, tanto no

sentido de obter as trinta simulações corretamente, como na discussão e na busca das

ferramentas necessárias para a utilização do software R (Figura 3).

Após a simulação e os resultados obtidos no R, foi solicitado aos alunos que

respondessem as perguntas a seguir:


Figura 3- Simulação de D3

2) Quem tem mais chance de ser visitada Paula ou Fernanda? Por quê?

Todos os grupos identificaram que Fernanda seria a amiga mais visitada. As

justificativas utilizadas, apontadas por Hernandez, Kataoka & Oliveira (2010), estão

baseadas nos resultados da simulação, tendo como destaque o fato que, para Paula ser

visitada, teria de sair quatro faces iguais e isso fez com que ela fosse menos visitada do

que Fernanda.

3) Existe a chance da Carlinha não visitar algum amigo?( )Não( )Sim Por quê?

D2 e D3 identificaram que havia a possibilidade de algum amigo não ser visitado:

D2 usou como exemplo o caso de Paula, relatando “que no caso de sair apenas faces

coroa não será visitada”; D3 relatou que, apesar de não ter acontecido em sua simulação

o caso de um amigo não ser visitado, esse seria um resultado possível. Já o grupo D1

parece que não respondeu com base nos possíveis resultados de uma simulação, mas

sim, pensando na probabilidade teórica, uma vez que, na sua justificativa, alegou que

qualquer sequência levaria à casa de um amigo (Figura 4).

Figura 4- Resposta de D1- Questão 4.

4) Depois de ter realizado a simulação, vocês mudariam de opinião na seguinte

questão: “Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?” Pense na sua

resposta considerando a questão 4 da seção I. ( ) Não ( ) Sim. Por quê?


Os grupos D2 e D3 declararam mudar de opinião quando questionados se “Todos

os amigos têm a mesma chance de serem visitados?”, em relação ao que foi respondido

na tarefa 4 da seção I; apenas o grupo D1 manteve a sua resposta.

5) Sistematizem os resultados obtidos no R na seção II em uma tabela que represente os

dados descritos abaixo. Esta tabela é chamada de Tabela de Distribuição de

Freqüência – TDF (Tabela 2).

Tabela 2: Distribuição do número de visitas que cada amigo recebeu da Carlinha

Nenhum grupo apresentou dificuldades, uma vez que bastaria organizar os

resultados obtidos na tarefa 1 desta mesma seção. Para obter os resultados em

porcentagem, os alunos utilizaram as ferramentas do R que já tinham sido trabalhadas

nas atividades de familiarização.

6) Depois que vocês organizaram os resultados na TDF, vocês mudariam de opinião na

seguinte questão: “Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?” Pense

na sua resposta considerando a questão 3 dessa seção II.( ) Não ( ) Sim. Por quê?

Os alunos dos grupos D2 e D3, mais uma vez, disseram que mudaram de opinião,

só que agora em relação à resposta dada na tarefa 4. Já o grupo D1 não mudou de

opinião, mas alterou a sua justificativa.

O grupo D2, apesar de indicar uma mudança de opinião, isso, de fato, não

ocorreu, já que os alunos desse grupo reconheciam que algum amigo poderia não ser

visitado dependendo da face da moeda, ou seja, eles mudaram apenas a justificativa,

deixando-a um pouco mais elaborada do que a apresentada na tarefa 4 da seção I.

Apesar de D3 declarar mudar de opinião na tarefa 4, essa mudança não foi

observada na justificativa apresentada, quando comparada com a resposta dada na seção

um. Nota-se que, em ambas, o grupo relatou não ser possível afirmar se todos têm ou

não a mesma chance de visita, uma vez que as visitas dependerão da face que aparecerá

de maneira aleatória. Escutando o diálogo que o grupo teve no momento desta tarefa,

percebeu-se que, apesar de os alunos não terem avançado na ideia que gira em torno

desta questão, a dupla abriu espaço para a discussão, sendo que um elemento do grupo


falou “temos que pegar a folha da tarefa 4 para olharmos o que respondemos”. De fato,

eles observaram a resposta da tarefa 4, porém chegaram à conclusão de que a

justificativa utilizada deveria permanecer a mesma.

07) Construam um gráfico e escolham uma dupla qualquer. Em seguida, comparem

seus resultados. Eles são iguais? ( ) Sim ( ) Não. O que vocês acham disso?

Todos os grupos relataram que os gráficos não eram iguais uma vez que as

sequências obtidas pelas simulações eram diferentes para cada grupo. D2 destacou que,

apesar das diferenças, a Fernanda era sempre a amiga mais visitada, e o amigo menos

visitado, em um dos gráficos, era Paula e, no outro, era Luiz. D3 destacou que, apesar

das diferenças, Fernanda e Alex mantiveram maiores chances de visita.

4.2 Seção III. A Árvore de Possibilidades

Nesta seção, a tarefa 5 poderia ser feita no software, e as outras quatro, no

ambiente papel & lápis.

1) Completem a árvore de possibilidades, indicando a sequência sorteada, o número de

caras e o amigo visitado (Quadro 1). Observe que cada ramo se desdobra em dois

novos ramos (um para cara e outro para coroa) a cada sorteio:

Ponto de partida

Primeiro sorteio

Segundo sorteio

Terceiro sorteio

Quarto sorteio

Seqüência sorteada

Nº de caras

Amigo visitado

C CCCC 4 Paula C X C X C X Carlinha C X X

Esta tarefa tinha por finalidade possibilitar ao aluno, por meio da árvore de

possibilidades, a visualização de dezesseis caminhos (tarefa 2), que são mutuamente

excludentes, o que significa que a Carlinha não pode percorrer simultaneamente dois ou

mais caminhos. Logo, o espaço amostral associado ao experimento aleatório "Lançar

uma moeda 4 vezes” é formado por Ω=0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110,

0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111; que são os dezesseis caminhos

possíveis, sendo a probabilidade para cada caminho de 161 , desde que os lançamentos


da moeda sejam independentes. Logo, o resultado pode ser obtido pela multiplicação

das probabilidades de cada lançamento (21 .

21 .

21 .

21 =

161 ).

Pretendia-se que os alunos percebessem que a probabilidade de cada caminho ser

de 161 não implicaria no fato de que cada amigo teria de ser visitado pela Carlinha.

Como cada caminho tem tal probabilidade de ser escolhido, então era esperado que os

alunos identificassem que só existiria um caminho que levaria à Paula (0000), sendo

assim, a sua probabilidade de visita (de 161 ) seria a mesma para Luiz (1111). No caso de

Alex, existiriam quatro possibilidades (0001, 0010, 0100, 1000), sendo então 164 a sua

probabilidade de visita, fato que também aconteceria com a probabilidade de visita de

Felipe (1110, 1101, 1011, 0111).Neste contexto, Fernanda seria a colega que teria a

maior probabilidade de visita, ou seja, 6/16 (0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100).

Era esperado também que os alunos percebessem que a visita de cada amigo

poderia ser determinada pelo número de vezes que aparece a face cara, associando este

fato à soma obtida em cada combinação, ou seja, no caso da soma ser 0 − quatro faces

cara − Paula será a amiga visitada; no caso de soma igual a 1 − três faces cara - Alex

será visitado; se a soma for 2 − duas faces caras - Fernanda será visitada; para o caso de

soma 3 − uma face cara− a visita será a Felipe; e se ocorrer nenhuma face cara, ou seja,

para soma igual a 4, Luiz será o amigo visitado. No estudo de Hernandez, Kataoka &

Oliveira (2010), nessa tarefa, 61,3% dos grupos de alunos identificaram corretamente

que os caminhos para chegar a cada amigo dependiam do número de caras.

Observou-se que nesta tarefa, D1 conseguiu montar a árvore, mas apresentou

dificuldade na hora de contar os amigos visitados. O professor-pesquisador interferiu

ajudando o grupo a construir um exemplo de sequência e mostrando, no esquema de

caminhos, qual era o amigo visitado (Figura 5), e isto foi suficiente para que o grupo

conseguisse terminar a tarefa.

D2 executou a tarefa, mas cometeu um erro ao atribuir cinco visitas a Felipe e

cinco para Fernanda, quando na realidade seriam quatro para Felipe e seis para

Fernanda (Figura 6). Observa-se, que o erro ocorreu no momento que o grupo deveria

ter registrado a sequência XCXC, indicando Fernanda como sendo a amiga a ser

visitada, mas registrou a sequência XCXX, apontando Felipe como sendo o amigo a ser


visitado. Neste momento, não houve qualquer interferência do professor-pesquisador,

uma vez que, na ocasião da execução da tarefa, o erro não foi percebido nem pelo grupo

nem pelo professor-pesquisador. Apesar deste erro, o grupo não apresentou dificuldade

na composição da árvore, tendo em vista que conseguiu fazer a relação entre as

sequências e os amigos a serem visitados, conforme solicitado na tarefa 3.

Figura 5 Exemplo utilizado para realização da tarefa 1.

Figura 6- Resultados de D2 na tarefa 1

D3 apresentou muita dificuldade na execução da tarefa. Inicialmente, os alunos

não entenderam como completar a árvore, sendo necessária a interferência do professor-

pesquisador, o qual apresentou para este grupo o mesmo exemplo realizado com o

grupo D1 Posteriormente, a dupla também apresentou dificuldades para a composição

das sequências, sendo novamente necessária a interferência do professor-pesquisador, o

qual mostrou, no exemplo executado anteriormente, qual era a sequência gerada e como

ela era composta a partir da árvore. Após esta nova interferência, ainda com um pouco

de dificuldade, o grupo conseguiu compor a árvore. Vale ressaltar que questões sobre

árvore de possibilidades são trabalhadas no caderno 3 da 2ª série do ensino médio do

estado de São Paulo (São Paulo, 2010), mais especificamente na situação de

aprendizagem 2, indicando que seria provável que os alunos conhecessem esse tipo de


representação. Dessa forma, uma justificativa para as dificuldades apresentadas pelos

alunos pode ser atribuída ao fato de que, neste caso do experimento de ensino, os

alunos, além da determinação das sequências, ainda tinham que relacionar os resultados

com o número de caras e o nome do amigo a ser visitado.

2) E agora, quantos caminhos existem ao todo?

Todos os grupos identificaram e responderam que existiam 16 caminhos ao todo.

3) Descubram, se existe, uma relação comum a todos os caminhos que levam a cada um

dos amigos: a) Paula, b)Alex, c) Fernanda, d) Felipe, e) Luiz.

D1 e D2 conseguiram fazer uma relação de visitas relacionadas com o número de

caras, como previsto nos objetivos da tarefa. Esta relação foi feita a partir da observação

da coluna contida na árvore, onde era anotado o número de caras e, logo após, o amigo

visitado. D3, como relatado na atividade anterior, apresentou muita dificuldade no

preenchimento da árvore, o que prejudicou o entendimento da mesma, uma vez que os

esforços ficaram concentrados no preenchimento, fazendo com que o grupo não se

atentasse à coluna das caras para responder a esta questão. O grupo analisou apenas a

coluna das sequências, percebendo que era possível fazer uma relação com o número de

caras no caso de Paula e Luiz, uma vez que, para esses dois, era nítido na árvore que

eles dependiam das quatro faces iguais para serem visitados.Já para os demais, o grupo

não conseguiu fazer esta relação, apresentando respostas mais vagas, relatando, por

exemplo, que Alex tinha menos chance de visitas, uma vez que poucas combinações

levavam a seu nome, e que Fernanda seria a que teria mais chances, porque existiam

várias combinações que levavam a seu nome.

4) Depois que vocês analisaram quantos caminhos levam à Carlinha para a casa de

cada amigo, vocês mudariam de opinião na seguinte questão: “Todos os amigos têm a

mesma chance de serem visitados?” Pense na sua resposta considerando a questão 5

da seção II.( ) Não ( ) Sim. Por quê?

Era esperado que, se algum aluno ainda não tivesse percebido que nem todos os

amigos teriam a mesma chance de serem visitados, houvesse mudança de opinião a

partir dos resultados da árvore de possibilidades. Notou-se que D3, que vinha

aparentemente apresentando mais dificuldades, foi o único grupo que começou a

perceber que, a partir da árvore, era necessário alterar a sua justificativa em relação à

pergunta “Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?” Percebemos isso

ao analisar a justificativa apresentada pelo grupo: “A possibilidade de sorteio é maior da


Fernanda por ter mais caminhos a serem saídos”. Essa resposta demonstra um avanço

do grupo na construção do conceito de probabilidade uma vez que, por meio da árvore,

desconstruíram a justificativa de que as visitas dependiam apenas do sorteio. Este

avanço nas observações de D3 leva-nos a reforçar a necessidade da análise da

construção do conhecimento ao longo de todo o desenvolvimento do experimento.

Notamos assim que, apesar das maiores dificuldades apresentadas por D3 até aquele

momento, isso não prejudicou o avanço do grupo no decorrer da sequência de tarefas e

no repensar de sua resposta a cada novo questionamento. Os outros grupos, D1 e D2,

parecem não mudar de opinião e, em suas justificativas, continuam acreditando que as

visitas ainda estavam condicionadas apenas à aleatoriedade dos sorteios das moedas.

Observamos que, desde a primeira seção, os alunos já declararam perceber que os

amigos não tinham as mesmas chances de visita, porém, inicialmente, com justificativas

mal estruturadas, sendo esperado que os alunos apresentassem justificativas mais

próximas da probabilidade teórica e com a observação da árvore de possibilidades.

Porém, pôde-se notar que os alunos tinham pouca familiaridade com as associações

necessárias após a estruturação da árvore de possibilidades, o que pode ter desviado a

atenção deles apenas para o entendimento da dinâmica da construção da árvore em

detrimento da compreensão do conceito probabilístico envolvido. Notamos que,

somente a partir das discussões propostas na seção seguinte, é que ficou mais clara a

ideia de probabilidade teórica.

5) Analisando e sistematizando os resultados da árvore de possibilidades, preencham a

Tabela 3 (Figura 7):

Tabela 3. Distribuição de probabilidade da visita da Carlinha a seus amigos

Amigo Nº de caminhos Nº de caminhos/total de caminhos (fração)

Probabilidade (p)*

Luiz Felipe

Figura 7: Fragmento da tabela 3

Nesta tarefa, era esperado que todos os alunos chegassem ao mesmo resultado, a

não ser que tivessem errado a montagem da árvore de possibilidades ou o cálculo. A

tarefa foi respondida por todos os grupos sem dificuldades, apenas D2 ainda carregou o

erro cometido na tarefa 1. Neste momento, o professor interferiu questionando o grupo

sobre a quantidade de visitas de cada amigo e solicitou que o grupo olhasse novamente

para a tarefa 1. Após esta orientação, o grupo se mostrou confiante na resposta da tarefa

1 e manteve a resposta apresentada inicialmente. Sendo assim, o professor-pesquisador


optou por não apontar o erro, dando continuidade às tarefas e deixando para que,

posteriormente, em uma possível comparação com os colegas dos outros grupos, esse

erro pudesse ser percebido pelo próprio grupo.

Ao final deste bloco de tarefas, foi possível notar que os participantes se

mostraram totalmente envolvidos com a problemática posta, já conseguiam encarar cada

nova tarefa como um importante passo para a resolução do problema ao qual já se

colocavam na posição de integrantes. Isto nos fez identificar uma importante

característica do construcionismo, uma vez que, segundo Maltempi (2004), o

aprendizado deve ocorrer por meio de um processo ativo, em que os aprendizes sejam

parte do desenvolvimento das tarefas e não meros espectadores do processo. É possível

notar que, como previsto no construcionismo, este bloco de tarefas contribuiu para

proporcionar aos aprendizes uma posição de controle sobre as suas próprias

construções.

Acreditamos que contribuímos para o desenvolvimento do que Gal (2005)

denomina de letramento probabilístico, por meio destas novas reflexões propostas neste

bloco de tarefas. Assim, a árvore de possibilidades e a organização proposta na tabela

de distribuição de probabilidade da visita da Carlinha a seus amigos fizeram com que os

alunos refletissem, mesmo que de maneira informal, sobre elementos como

aleatoriedade, previsão e incerteza,contemplando, assim, pontos da abordagem de

grandes tópicos, além de também serem colocados a pensar sobre cálculos

probabilísticos em visões diferenciadas. Outra importante característica a ser destacada

é que os alunos passaram a atribuir sentido mais contextualizado ao termo

probabilidade, ou seja, este termo deixou de ser um termo de caráter específico escolar e

passou a ser um termo pensado e estudado em uma situação mais cotidiana. Isso se deve

tanto ao fato do termo estar sendo trabalhado por meio de uma situação que pode ser

considerada como “menos formal” para os alunos quando relacionada à forma como

este assunto é normalmente tratado no decorrer das aulas de matemática, como ao fato

de que, neste momento, os alunos já se sentiam parte da problemática posta.

E, finalmente, destaca-se a característica que acreditamos ser a mais contemplada

com a inserção deste bloco de tarefas no que se refere às perguntas críticas. Notou-se

que os alunos fizeram afirmações do tipo “não é possível determinar se há ou não na

prática privilégios na ordem de visitas”, em todos os momentos. E logo após o trabalho

com a árvore de possibilidades, eles se questionaram sobre a afirmação feita, uma vez


que os resultados obtidos nesta representação apontaram para certos privilégios. Essas

perguntas críticas que ocorreram desde a primeira seção e foram reforçadas com a

inserção da seção II, mostraram-se fundamentais para a condução do experimento na

perspectiva construcionista, pois, de fato, demonstraram a interação dos participantes

com a tarefa proposta.

5. Considerações finais

Ao analisar os resultados e, principalmente quando consideramos a questão

principal que permeou todas as tarefas, notamos um amadurecimento significativo nas

justificativas apresentadas, demonstrando, assim, um maior entendimento do conceito

de probabilidade a cada fase do experimento. O software R permitiu a atividade de

simulação, favorecendo a comparação entre as respostas dadas na primeira seção com

os dados obtidos na experimentação, porém, pudemos notar que o trabalho com a árvore

de possibilidades ocupou um papel de destaque nesse amadurecimento, uma vez que

proporcionou aos alunos importantes reflexões no âmbito da probabilidade teórica,

afastando-os um pouco do raciocínio até então apenas frequentista.

Esses resultados parecem indicar que a utilização desse tipo de experimento pode

se constituir em um importante recurso pedagógico para os professores trabalharem

conceitos probabilísticos na educação básica, e, por conseguinte, possam contribuir para

o letramento probabilístico dos alunos.

Referências

BATANERO, C; GODINO, J. Stochastics and its didactics for teachers: Edumat-

Teachers project. Granada, Universidad de Granada, 2002. Disponível em:

<http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/welcome.html>. Acesso em: 01 dez.

2009.

BOROVCNIK, M; KAPADIA, R. Research and Developments in Probability

Education. International Electronic Journal of Mathematics. V. 4, Number 3,

October 2009 . Disponível em: <http://www.iejme.com>. Acesso em: 20 set. 2010.

CHANCE, B, ROSSMAN, A. Using simulation to teach and learn Statistics. In A.

ROSSMAN & B. CHANCE (Eds.), Proceedings of the Seventh International

Conference on Teaching Statistics. CD ROM. Salvador (Brazil): International

Association for Statistical Education. 2006. Disponível em:


<http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/publications>.Acesso em: 02 dez .2009.

COBB, P et al. Design experiments in education research. Educational Researcher,

Washington, v.32, n.1, p. 9-13, 2003.

COUTINHO, C. Introduction aux Situations Aléatoires dès le Collège: de la

modélisation à la simulation d’expériences de Bernoulli dans l’environnement

informatique Cabri-géomètre II. 2001. Tese ( Doutorado). Univ. J. Fourier, Grenoble,

France, 2001.

FERREIRA, R.S. Ensino de probabilidade com o uso do programa estaistico R

numa perspectiva construcionista. 2011. 155 f. Dissertação (Mestrado em Educação

Matemática) Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 2011.

GAL, I. Towards “Probability Literacy” for all citizens: Building Blocks and

Instructional Dilemmas. In Jones, G. A. (Ed), Exploring probability in school:

Challenges for teaching and learning. p. 39-63. 2005.

GUSMÃO, T. e CAZORLA, I. Uma análise semiótica dos passeios aleatórios da

Mônica: atividade para ensinar conceitos básicos de probabilidade. Anais do IV

Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. SBEM:

Taguatinga-DF, 2009.

HERNANDEZ T., H.M.; KATAOKA, V. Y, OLIVEIRA, M. S. de. Random walks in

teaching probability at the high school. In: 8th Conference International on Teaching

Statistics - ICOTS8, 2010, Ljubljana. Proceedings 8th Conference International on

Teaching Statistics, 2010.

NAGAMINE, C. L; HENRIQUES, A; CAZORLA, I. Análise Apriori dos Passeios

Aleatórios da Mônica. Anais: X Encontro Nacional de Educação Matemática,

Salvador, Bahia, Brasil, 2010.

MALTEMPI, M. In: BICUDO, M.A. V e BORBA, M.C. Educação matemática:

pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2004, p. 264-282.

MILLS, J. Using computer simulation methods to teach statistics: A review of the

literature. Journal of Statistics Education, v.10, n.1, 2002.

PAPERT, S. Midstorms: Children, computers and powerful ideas. Basic Books, New

York. Trad. Como Logo: Computadores e Educação. 2. Ed. São Paulo: Editora

Brasiliense, 1980. 253 p.


SÃO PAULO, Currículo Oficial do Estado de São Paulo: Matemática (Coord.Maria

Inês Fini). São Paulo:SEE, 2009.

VALENTE, J. A. Porque o computador na educação? In: VALENTE J.A. (Org.)

Computadores e Conhecimento: Repensando a Educação. Campinas: Gráfica da

UNICAMP, 1994, p. 24-44.

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SEQUÊNCIA DE ENSINO “PASSEIOS ALEATÓRIOS DA CARLINHA