Sinais e Sistemas - professorluislolis.weebly.comprofessorluislolis.weebly.com/uploads/1/3/2/7/13273601/3-sinais_e... · Sinais e Sistemas Luis Henrique Assump˘c~ao Lolis 21 de fevereiro

Sinais e Sistemas

Luis Henrique Assumpcao Lolis

21 de fevereiro de 2014

Luis Henrique Assumpcao Lolis Sinais e Sistemas 1

Conteudo

1 Classificacao de sinais

2 Algumas funcoes importantes

3 Transformada de Fourier

4 Densidade Espectral

5 Autocorrelacao

6 Exercıcios de aula

7 Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares

8 Filtros

9 Transformada de Hilbert

10 Sinais passa-baixa e pass-faixa


Sumario





5 Autocorrelacao



8 Filtros




Sinais Determinısticos

Sinais Aleatorios

Sinais Periodicos

Sinais nao Periodicos

Sinais Analogicos

Sinais Discretos

Sinais de Energia

Sinais de Potencia


Sinais Determinısticos e Aleatorios

Sinais Determinısticos

Se sabe o valor do sinal para qualquer instante de tempo.Pode se descrever com uma equacao:

x(t) = 5 cos (2π10t)

Sinais Aleatorios

Nao se pode determinar o valor em um exato instante dotempo, mas se observado por um longo perıodo de tempo,algumas caracterısticas probabilısticas podem se definir:media, variancia, momentos. Ex: Ruıdo termico, sequenciaaleatoria de dados.


Sinais Periodicos e nao Periodicos

Sinais Periodicos

x(t) = x(t+ T0), −∞ < t <∞Sinais nao Periodicos

Nao satisfazem a condicao acimaEx: pulsos, sinais digitais


Sinais Analogicos e Discretos

Sinais Analogicos

Uma funcao x(t) contınua no tempo e na amplitude, um sinalque existe para todos os pontos no tempo t.Sinal eletrico: quando uma forma de onda fısica (ex: som) setransforma em onda eletrica atraves de transdutor (ex:microfone)

Sinais Discretos

Um sinal x(kT ) so existe nos instantes kT , T definido comoperıodo de amostragem.Um sinal e Digital e discreto no tempo e na amplitude.


Sinais de Energia e Sinais de Potencia

Sinal eletrico, x(t): tensao, v(t), ou corrente, i(t), compotencia instantanea p(t) dada por:

p(t) = v2(t)/R = i2(t)R. Supondo R = 1Ω,⇒ p(t) = x2(t)

A energia dissipada durante o intervalo de tempo (−T/2, T/2)por um sinal real com potencia instantanea p(t) e,

ETx =

∫ T2

−T2

x2(t) dt



A potencia media dissipada pelo sinal durante esse intervalo e,

P Tx = 1TE

Tx = 1

T

∫ T2

−T2

x2(t) dt

Potencia Media

E a taxa a qual a energia e liberada. → Determina a tensao (oucorrente) que deve ser aplicada a um transmissor, intensidade decampo magnetico, ...



Sinais de Energia: 0 < Ex <∞. Onde,

Ex = limT→∞

ETx = limT→∞

∫ T2

−T2

x2(t) dt =

∫ ∞−∞

x2(t) dt

Sinais de Potencia: 0 < Px <∞. Onde,

Px = limT→∞

P Tx = limT→∞

1

T

∫ T2

−T2

x2(t) dt


Exemplos

Calcular a potencia do seguinte sinal: g(t) = Acos(2πfct)

Determine se os seguintes sinais sao de energia ou depotencia:

(a) x1(t) = e−2tu(t)(b) x2(t) = ej(2t+π/4)

(c) x3(t) = cos(t)


Sumario





5 Autocorrelacao



8 Filtros




Degrau unitario: u(t) =

0, t < 01, t ≥ 0

Funcao Sinal: sgn(t) =

−1, t < 01, t > 00, t = 0

Pulso retangular: rect(t) =

1, −1

2 < t < 12

0, fora

Impulso unitario:

1

∫ ∞−∞

δ(t) dt = 1

2 δ(at) = 1|a|δ(t)

3 x(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0)

4

∫ ∞−∞

x(t)δ(t− t0) dt = x(t0)

Funcao sinc: sinc(t) = sin(πt)πt


Sumario





5 Autocorrelacao



8 Filtros




Conceitos

Muitas vezes e mais interessante representar o sinal nodomınio da frequencia do que no tempo.

Circuitos sao mais facilmente analisados no domınio dafrequencia (ex: filtro passa-baixa).

A passagem de um sinal por um sistema linear com memoria:convolucao no tempo, e multiplicacao na frequencia.


Transformada de Fourier

g(t) G(f)

G(f) = F [g(t)] =

∫ ∞−∞

g(t)e−j2πft dt

g(t) = F−1[G(f)] =

∫ ∞−∞

G(f)ej2πft df

G(f) = X(f) + jY (f)

G(f) = |G(f)|ejθ(f)

|G(f)| =√X2(f) + Y 2(f) e θ(f) = tan−1

(Y (f)X(f)

)


Algumas propriedades da Trasformada de Fourier

1 Se g(t) e real, entao

G(−f) = G∗(f)|G(−f)| = |G(f)|θ(−f) = −θ(f)

2 Teorema de Parseval:∫ ∞−∞

g1(t)g∗2(t) dt =

∫ ∞−∞

G1(f)G∗2(f) df

Se g1(t) = g2(t) = g(t)⇒ Teorema da Energia de Rayleigh:

E =

∫ ∞−∞|g(t)|2 dt =

∫ ∞−∞|G(f)|2 df


Pares de Transformadas de Fourier


Propriedades da Transformadas de Fourier


Transformada - Pulso retangular

rect(t) =

1, −1

2< t <

1

20, |t| ≥ 1

2

g(t) = A rect( tT )

G(f) =

∫ T/2

−T/2Ae−j2πftdt = AT

sin(2πfT )

T


Transformada - Pulso retangular


Transformada - Pulso sinc

Dual do pulso retangular.

Filtro ideal

g(t) = sinc(2Wt)

A sinc(2Wt) A

2Wrect

(f

2W

)


Pulso de Radio Frequencia

Um pulso RF como produto de um cosseno e um pulsoretangular.

O produto no tempo e a convolucao na frequencia. Atransformada do pulso retangular vai se deslocar para asposicoes dos pulsos de Dirac da transformada do cosseno.

g(t) = A rect

(t

T

)cos(2πfct)

G(f) =1

2sinc[T (f − fc)] + sin[T (f + fc)]


Pulso de Radio Frequencia


Sumario





5 Autocorrelacao



8 Filtros




Definicao

Caracteriza a distribuicao da energia ou potencia de um sinalno domınio da frequencia.

Importante para avaliar o sinal e o ruıdo na saıda de um filtro.

As grandezas sao a Densidade Espectral de Potencia (DEP) eDensidade Espectral de Energia (DEE).


Densidade Espectral de Energia

Definicao da energia no tempo e na frequencia:

Ex =

∫ ∞−∞

x2(t)dt =

∫ ∞−∞|X(f)|2df

X(f) a transformada de Fourier do sinal nao-periodico x(t).Sendo assim Ψx(f) = |X(f)|2 e definida como a DEE dosinal x(t).


Densidade Espectral de Potencia

Considerando um sinal periodico em T0, classificado como umsinal de potencia. A potencia desse sinal e dada por:

Px =1

T0

∫ T0/2

−T0/2

x2(t)dt =

∞∑n=−∞

|cn|2

Onde |cn| sao os coeficientes complexos da serie de Fourier dosinal periodico.

Sendo assim, para um sinal de potencia determinıstico a DEPe dada por:

Gx(f) =∑∞n=−∞ |cn|2δ(f − nf0)

Observando uma versao truncada do sinal de potencia, agoracom energia finita, limitado em −T/2, T/2, podemos calculara transformada de Fourier desse sinal, de maneira que a DEPdo sinal x(t) e dada por:

Gx(f) = limT→∞

1

T|XT (f)|2


Exemplo

Calcular a potencia atraves do metodo temporal e frequencial

x(t)A cos(2πf0t)


Sumario





5 Autocorrelacao



8 Filtros




Autocorrelacao de um sinal de energia

Mede o grau de correlacao do sinal com uma versao atrasada delemesmo:

Rx(τ) =

∫ ∞−∞

x(t)x(t+ τ)dt, para −∞ < τ <∞

Rx(τ) mostra quao perto esta um sinal de uma copia desse mesmosinal atrasado em τ unidade de tempo.

Rx(τ) = Rx(−τ) Simetrico em τ em torno de zero

Rx(τ) ≤ Rx(0)para todo τ

o valor maximo ocorre na origem

Rx(τ)↔ Ψx(f) a autocorrelacao e a DEE formam um parde transformada de Fourier

Rx(0) =∫ ∞−∞

x2(t)dt

o valor na origem e igual a energia do sinal


Autocorrelacao de um sinal de potencia

Rx(τ) = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2x(t)x(t+ τ)dt, para −∞ < τ <∞

A media no tempo pode ser tomada em um unico perıodo detempo T0

Rx(τ) =1

T0

∫ T0/2

−T0/2x(t)x(t+ τ)dt, para −∞ < τ <∞


Autocorrelacao de um sinal de potencia

Para um sinal periodico

Rx(τ) = Rx(−τ) Simetrico em τ em torno de zero

Rx(τ) ≤ Rx(0)para todo τ

o valor maximo ocorre na origem

Rx(τ)↔ Gx(f) a autocorrelacao e a DEP formam um parde transformada de Fourier

Rx(0) =

1

T0

∫ T0/2

−T0/2x2(t)dt

o valor na origem e igual a potencia mediado sinal


Sumario





5 Autocorrelacao



8 Filtros




Exercıcios de aula

1 Determine a densidade espectral de energia de um pulsoretangular x(t) = rect(t/T ), onde x(t) = 1 para−T/2 ≤ t ≤ T/2. Calcule a energia normalizada no pulso.

2 Encontre, atraves de media temporal, a potencia do seguintesinal: x(t) = 10 cos(10t) + 20 cos(20t)

3 Repita o problema anterior aplicando a soma de coeficientesespectrais.

4 Encontre a funcao de autocorrelacao dex(t) = A cos(2πf0t+ φ) em funcao do perıodo T0 = 1/f0.Encontre a potencia media normalizada de x(t) usando afuncao de autocorrelacao.

5 Aplicando o resultado do item anterior, encontre a funcao deautocorrelacao de x(t) = 10 cos(10t) + 20 cos(20t) e a suapotencia atraves da funcao de autocorrelacao.


Dependencia Tempo-Frequencia


O Dilema da Largura de Banda


Sumario





5 Autocorrelacao



8 Filtros




Sistemas que respeitam o princıpio da superposicao. Ex: canalde comunicacao e filtros.

δ(t) - Resposta ao impulso

A superposicao para explicar a integral de convolucao


Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares

y(t) =

∫ ∞−∞

x(τ)h(t− τ) dτ

y(t) = x(t) ∗ h(t) - integralde convolucao

Y (f) = X(f)H(f)


Resposta em frequencia

Transformada de Fourier da resposta ao impulso de umsistema:

H(f) =

∫ ∞−∞

h(t)e−j2πftdt


Resposta em frequencia

Transformada de Fourier da resposta ao impulso de umsistema:

H(f) =

∫ ∞−∞

h(t)e−j2πftdt

Sinal complexo separavel em reposta em amplitude e fase:

H(f) = |H(f)|ejβ(f)

Se o filtro e consiste de uma entrada e uma saıda ele temresposta ao impulso real, e nesse caso:

|H(f)| = |H(−f)|β(f) = −β(−f)


Sumario





5 Autocorrelacao



8 Filtros




Definicao

Dispositivo seletivo em frequencia para receber o sinal deinteresse e rejeitar o sinal de interferencia.

Definido atraves da banda passante e a banda de rejeicao.

Filtro causal:

A resposta ao impulso e zero para valores negativos de tempo

Tipos de filtros: passa-baixa, passa-alta, passa-faixa,rejeita-faixa.


Passa-baixa ideal

H(f) =e−j2πft0 , −B ≤ f ≤ B

0, |f | > B

h(t) = 2B sinc[2B(t− t0)]


Sumario





5 Autocorrelacao



8 Filtros




Transformada de Hilbert

E uma outra maneira de analisar os sinais.

Enquanto Fourier separa a base dos sinais pelos conteudos emfrequencia, Hilbert separa os sinais pelos conteudos em fase.

Se a fase e alterada em ±90 graus para todas as componentesde frequencia temos a transformada de Hilbert sinal.


Hilbert na frequencia e no tempo

Implementa −90o para frequencias positivas e +90o parafrequencias negativas

sgn(f) =

1, f > 00, f = 0−1, f < 0

G(f) = −j sgn(f)G(f)

Entao a transformada de Hilbert e a convolucao do sinal coma transformada inversa de −j sgn(f):

1

πt −j sgn(f)

g(t) =1

π

∫ ∞−∞

g(τ)

t− τdτ

g(t) = − 1

π

∫ ∞−∞

g(τ)

t− τdτ



Sumario





5 Autocorrelacao



8 Filtros




Sinal analıtico

Definimos um sinal chamada analıtico a partir de um sinal realg(t)

g+(t) = g(t) + jg(t)

g(t) transformada de Hilbert de g(t).

Analisando da na frequencia:

G+(f) = G(f) + sgn(f)G(f)

G+(f) =

2G(f), f > 0G(0), f = 0

0, f < 0

Pode ser tambem deduzido a partir de transformada inversapara somente frequencias positivas e multiplicado por 2.

Existe tambem o sinal analıtico para frequencias negativas.g−(t) = g∗+(t)


Representacao Canonica de Sinais Passa Banda

Se um sinal ocupa uma banda de 2W em torno de umafrequencia central ±fc, podemos indicar esse sinal comosendo um sinal complexo em banda base (espectro naosimetrico) que e entao deslocado para +fc onde tomamosposteriormente a parte real.

Essa representacao serve para criar e analisar sinais quetransportam informacao em toda a banda (modulacao emquadratura) e tambem para ambientes de simulacao onde avelocidade de simulacao depende da banda analisada, porexemplo 2W << fc.


Representacao Canonica de Sinais Passa Banda

fc conhecida como portadora do sinal. O sinal analıtico g(t)pode ser definido da seguinte maneira:

g+(t) = g(t)ej2πfct

g(t) e chamado de envelope complexo do sinal. E um sinalpassa baixa e contem toda a informacao do sinal de origem.

Como g(t) e a parte real de g(t), transformando o espectroem simetrico novamente. Temos:

g(t) = <[g(t)ej2πfct

]E quando g(t) e complexo, podemos separar em:g(t) = gI(t) + jgQ(t)



O sinal passa banda na forma canonica

g(t) = gI(t) cos(2πfct)− gQ(t) sen(2πfct)

gI(t) e a componente em fase e gQ(t) a componente emquadratura.


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