Sinais válidos em esquemas conjuntos para a localização e ...€¦ · 4 Esquemas de controlo para o vector de valores esperados e a matriz de covariâncias 35 4.1 Cartasindividuaispara

Sinais válidos em esquemas conjuntos para a localizaçãoe a dispersão com exemplos em R

Tânia Isabel Cavaco Ralha

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Matemática e AplicaçõesPerfil em Probabilidades e Estatística Matemática

Orientador: Doutor Manuel João Cabral MoraisCo-Orientadora: Doutora Maria do Rosário de Oliveira Silva

Júri

Presidente: Doutor António Manuel Pacheco PiresOrientador: Doutor Manuel João Cabral Morais

Vogal: Doutora Patrícia Alexandra de Azevedo Carvalho Ferreira e Pereira Ramos

Dezembro 2014

Quality is never an accident; it is always the result of high inten-

tion, sincere effort, intelligent direction and skillful execution; it

represents the wise choice of many alternatives.

William A. Foster

Abstract

The performance of a product often depends on one (or several) quality characteristic(s).

Control charts are used to determine whether a process should undergo a formal examination for

quality-related problems and have been used to routinely monitor quality characteristics not only in

manufacturing, but also in areas such as accounting, administration, clinical chemistry, epidemiology,

health care, water monitoring, etc.

Joint schemes for the process mean (vector) and the (co)variance (matrix) are essential to determine

if unusual variation in the location and spread of an univariate (multivariate) normal (vector of) quality

characteristic(s) has occurred.

Having this in mind, this dissertation includes:

• a detailed discussion on the Shewhart and EWMA joint schemes for the process mean (vector) and

the (co)variance (matrix) of an univariate (bivariate) normally distributed quality characteristic;

• the study on the phenomenon of valid signals such as misleading signals, unambiguous signals

(as opposed to misleading signals) and simultaneous signals;

• several examples on how the R statistical software can be used to illustrate not only the occurrence

of those types of valid signals, but also the monitoring of the location and spread in practice.

Keywords: Shewhart and EWMA joint schemes, run length, valid signals, R statistical software.

i

ii

Resumo

O desempenho de um produto depende em geral de uma (ou várias) característica(s) de qualidade.

As cartas de controlo são usadas para determinar se um processo deve ser submetido a um exame

formal para detectar problemas relacionados com a qualidade e têm sido usadas para monitorizar

de forma rotineira características de qualidade não só na indústria, mas também em áreas como

contabilidade, administração, química clínica, epidemiologia, assistência médica, controlo de água, etc.

Os esquemas conjuntos para o (vector de) valor(es) esperado(s) e a (matriz de) (co)variância(s) do

processo são essenciais para determinar se ocorreram variações incomuns na localização e dispersão de

uma (um vector de) característica(s) de qualidade normal (normais) univariada (multivariadas).

Tendo em vista isso, esta dissertação inclui:

• uma discussão detalhada sobre esquemas conjuntos de Shewhart e EWMA para o (vector de) va-

lor(es) esperado(s) e a (matriz de) (co)variância(s) de uma característica de qualidade univariada

(bivariada) normalmente distribuída;

• o estudo sobre o fenómeno dos sinais válidos, tais como sinais erróneos, sinais não ambíguos (por

oposição a sinais erróneos) e sinais em simultâneo;

• vários exemplos de como o software estatístico R pode ser usado para ilustrar não só a ocorrência

desses tipos de sinais válidos, mas também o controlo da localização e dispersão na prática.

Palavras-Chave: Esquemas conjuntos Shewhart e EWMA, run length, sinais válidos, software esta-

tístico R.

iii

iv

Agradecimentos

A realização desta dissertação de mestrado só foi possível graças à colaboração, de forma directa ou

indirecta, de várias pessoas às quais gostaria de exprimir algumas palavras de agradecimento.

Um especial agradecimento ao meu orientador, Professor Doutor Manuel Cabral Morais, pela dispo-

nibilidade manifestada para orientar este trabalho e também pela exigência, rigor, paciência e revisão

crítica e minuciosa do texto.

Gostaria também de agradecer à minha co-orientadora, Professora Doutora M. Rosário de Oliveira,

pelas valiosas contribuições para este trabalho.

À Professora Doutora Patrícia Ferreira Ramos pelos programas em Mathematica facultados que

serviram de ponto de partida para o código elaborado em R.

Ao Eng. António Silva pelos dados gentilmente cedidos que enriqueceram o Capítulo 6 desta dis-

sertação.

A todos os meus colegas e amigos pela constante paciência, apoio e confiança no meu trabalho e

nas minhas capacidades.

Por último, mas não menos importante, à minha família pelo apoio e enorme carinho e ao meu

namorado que, apesar da ausência, nunca deixou de expressar o seu carinho e de me dar força para

terminar esta dissertação.

v

vi

Conteúdo

Abstract i

Resumo iii

Agradecimentos v

Lista de Tabelas ix

Lista de Figuras xiii

Glossário xv

Lista de abreviaturas xvii

1 Introdução 1

1.1 Cartas de controlo de qualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Esquemas de controlo conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Sinais válidos: sinais erróneos, não ambíguos e em simultâneo . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Objectivos e organização da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Breve introdução ao R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Esquemas de controlo para o valor esperado e a variância 7

2.1 Cartas individuais para µ e para σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Esquemas de controlo conjuntos para µ e σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Medidas usuais de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Sinais erróneos, não ambíguos e em simultâneo em esquemas conjuntos para µ e σ2 19

3.1 Sinais erróneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Probabilidade de sinal erróneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Sinais não ambíguos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 Probabilidade de sinal não ambíguo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Sinais em simultâneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

vii

viii Conteúdo

3.6 Probabilidade de sinal em simultâneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Esquemas de controlo para o vector de valores esperados e a matriz de covariâncias 35

4.1 Cartas individuais para µ e Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Esquemas conjuntos para µ e Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 Medidas usuais de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4 Cenários fora de controlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 Sinais válidos para esquemas conjuntos para µ e Σ 49

5.1 Sinais erróneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Probabilidade de sinal erróneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3 Sinais não ambíguos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4 Probabilidade de sinal não ambíguo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.5 Sinais em simultâneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.6 Probabilidade de sinal em simultâneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6 Modelação de problema real 65

6.1 Análise exploratória de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2 Esquemas conjuntos para a localização e dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3 Desempenho das quatro cartas do fabricante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7 Conclusões 71

Referências 76

A Código R 77

Lista de Tabelas

2.1 Cartas individuais Shewhart para µ e para σ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Cartas individuais EWMA para µ e para σ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Valores críticos das cartas Shewhart e EWMA para µ e para σ2. . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Amostras originais e valores observados das estatísticas XN , S2N , WN e VN (dados

originais sob controlo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Amostras simuladas e valores observados das estatísticas XN , S2N , WN e VN (dados

simulados fora de controlo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Tipos de sinais erróneos puros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Amostras simuladas, valores observados das estatísticas do esquema conjunto Shewhart

(com µ sob controlo e σ2 fora de controlo) e emissão de sinal erróneo do Tipo III à 3a

amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20


(com µ fora de controlo e σ2 sob controlo) e emissão de sinal erróneo do Tipo IV à 10a

amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Valores das PMS do Tipo III para esquemas conjuntos Shewhart e EWMA. . . . . . . . 23

3.5 Valores das PMS do Tipo IV para esquemas conjuntos Shewhart e EWMA. . . . . . . . 24

3.6 Tipos de sinais não ambíguos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


(com µ sob controlo e σ2 fora de controlo) e emissão de sinal não ambíguo do Tipo III

à 3a e 14a amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


(com µ fora de controlo e σ2 sob controlo) e emissão de sinal não ambíguo do Tipo IV

à 7a amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.9 Valores das PUNS do Tipo III para esquemas conjuntos Shewhart e EWMA. . . . . . . 28

3.10 Valores das PUNS do Tipo IV para esquemas conjuntos Shewhart e EWMA. . . . . . . 29

3.11 Amostras simuladas, valores observados da estatística do esquema conjunto Shewhart

(com µ e σ2 fora de controlo) e emissão de sinal em simultâneo à 4a amostra. . . . . . . 30

ix

x Lista de Tabelas

3.12 Valores das PSS para o esquema conjunto Shewhart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.13 Valores das PSS para o esquema conjunto EWMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Estatísticas e limites de controlo das cartas individuais T 2 de Hotelling e |S| — caso

bivariado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Estatísticas e limites de controlo das cartas individuais EWMA para µ e para Σ — caso

bivariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Valores críticos e restantes parâmetros das cartas individuais para µ e para Σ — caso

bivariado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Medidas amostrais e valores observados das estatísticas T 2N , UN , ZN e WN (dados

simulados sob controlo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Medidas amostrais e valores observados das estatísticas T 2N , UN , ZN e WN (dados

simulados fora de controlo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1 Tipos de sinais erróneos para dados bivariados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Medidas amostrais e valor observados das estatísticas do esquema conjunto Hotelling-|S|

(com µ sob controlo e Σ fora de controlo) e emissão de sinal erróneo do Tipo III à 2a

amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


(com µ fora de controlo e Σ sob controlo) e emissão de sinal erróneo do Tipo IV à 6a

amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.4 Valores críticos das cartas individuais para µ e para Σ e respectivos ARL sob controlo;

ARL sob controlo do esquema conjunto — caso bivariado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.5 PMS do Tipo III para os esquemas conjuntos Hotelling-|S| (λ = 1) e EWMA (λ =

0.5, 0.05) para µ e Σ (com µ sob controlo e Σ fora de controlo) — caso bivariado. . . . 53

5.6 PMS do Tipo IV para os esquemas conjuntos Hotelling-|S| (λ = 1) e EWMA (λ =

0.5, 0.05) para µ e Σ (com µ fora de controlo e Σ sob controlo) — caso bivariado. . . . 54

5.7 Tipos de sinais não ambíguos para dados bivariados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.8 Medidas amostrais e valores observados das estatísticas do esquema conjunto Hotelling-

|S| (com µ sob controlo e Σ fora de controlo) e emissão de sinal não ambíguo do Tipo

III à 14a amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


|S|(com µ fora de controlo e Σ sob controlo) e emissão de sinal não ambíguo do Tipo

IV à 2a amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.10 PUNS do Tipo III para esquemas conjuntos Hotelling-|S| (λ = 1) e EWMA (λ =

0.5, 0.05) para µ e Σ (com µ sob controlo e Σ fora de controlo) — caso bivariado. . . . 58

5.11 PUNS do Tipo IV para esquemas conjuntos Hotelling-|S| (λ = 1) e EWMA (λ =

0.5, 0.05) para µ e Σ (com µ fora de controlo e Σ sob controlo) — caso bivariado. . . . 58

Lista de Tabelas xi


|S| (com µ e Σ fora de controlo) e emissão de sinal em simultâneo à 4a amostra. . . . . 59

5.13 PSS para os esquemas conjuntos Hotelling-|S| (λ = 1) e EWMA (λ = 0.5, 0.05) para µ

e Σ (com µ e Σ fora de controlo) — caso bivariado, cenário 1. . . . . . . . . . . . . . . 61








(dados transformados). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

xii Lista de Tabelas

Lista de Figuras

2.1 Cartas Shewhart para µ e σ2 (dados originais sob controlo). . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Cartas EWMA para µ e σ2 (dados originais sob controlo). . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Esquemas conjuntos dos tipos Shewhart e EWMA para µ e σ2 (dados simulados fora

de controlo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Esquema conjunto Shewhart (com µ sob controlo e σ2 fora de controlo) e emissão de

sinal erróneo do Tipo III à 3a amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Esquema conjunto Shewhart (com µ fora de controlo σ2 sob controlo) e emissão de sinal

erróneo do Tipo IV à 10a amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Curvas das PMS do Tipo III para esquemas conjuntos Shewhart e EWMA. . . . . . . . 23

3.4 Curvas das PMS do Tipo IV para esquemas conjuntos Shewhart e EWMA. . . . . . . . 24

3.5 Esquema conjunto Shewhart (com µ sob controlo e σ2 fora de controlo) e emissão de

sinal não ambíguo do Tipo III à 3a e 14a amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6 Esquema conjunto Shewhart (com µ fora de controlo e σ2 sob controlo) e emissão de

sinal não ambíguo do Tipo IV à 7a amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.7 Curvas das PUNS do Tipo III para esquemas conjuntos Shewhart e EWMA. . . . . . . 28

3.8 Curvas das PUNS do Tipo IV para esquemas conjuntos Shewhart e EWMA. . . . . . . 29

3.9 Esquema conjunto Shewhart (com µ e σ2 fora de controlo) e emissão de sinal em simul-

tâneo à 4a amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.10 Curva da PSS para o esquema conjunto Shewhart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.11 Curva da PSS para o esquema conjunto EWMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Característica de qualidade bivariada (X,Y ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2 Cartas T 2 de Hotelling para µ e |S| para Σ (dados simulados sob controlo). . . . . . . . 40

4.3 Cartas do tipo EWMA para µ e para Σ (dados simulados sob controlo). . . . . . . . . . 40

4.4 Scatterplot das médias amostrais, elipse de confiança e limites de controlo de Shewhart

(dados simulados sob controlo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.5 Esquema conjunto Hotelling-|S| para µ e Σ (dados simulados fora de controlo). . . . . . 41

4.6 Esquema conjunto do tipo EWMA para µ e Σ (dados simulados fora de controlo). . . . 42

xiii

xiv Lista de Figuras

5.1 Esquema conjunto Hotelling-|S| (com µ sob controlo e Σ fora de controlo) e emissão de

sinal erróneo do Tipo III à 2a amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2 Esquema conjunto Hotelling-|S| (com µ fora de controlo e Σ sob controlo) e emissão de

sinal erróneo do Tipo IV à 6a amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3 Esquema conjunto Hotelling-|S| (com µ sob controlo e Σ fora de controlo) e emissão de

sinal não ambíguo do Tipo III à 14a amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4 Esquema conjunto Hotelling-|S| (com µ fora de controlo e Σ sob controlo) e emissão de

sinal não ambíguo do Tipo IV à 2a amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.5 Esquema conjunto Hotelling-|S| (com µ e Σ fora de controlo) e emissão de sinal em

simultâneo à 4a amostra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.1 QQ-plots das variáveis X e Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.2 Esquema conjunto Hotelling-|S| para µBC e ΣBC (dados originais transformados). . . . 67

6.3 Esquema conjunto Hotelling-|S| para µBC e ΣBC (dados simulados fora de controlo). . 68

6.4 Cartas individuais usadas pelo fabricante (transformação inversa dos dados simulados

fora de controlo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.5 Esquema conjunto Hotelling-|S| para µBC e ΣBC (dados simulados sob controlo). . . . 69

6.6 Cartas individuais usadas pelo fabricante (transformação inversa dos dados simulados

sob de controlo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Glossário

1 (0) vector de uns (zeros).

a vector.

aT transposto de a.

A = [aij ]li,j=k matriz com entradas aij , i, j = k, k + 1, . . . , l.

χ2k distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade.

χ2k,ν distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade e parâmetro de não centralidade ν.

eu (u+ 1)-ésimo vector da base ortonormada em Rx+1, u ∈ {0, 1, . . . , x} e x ∈ N.

I matriz identidade.

v.a. variável aleatória.

i.i.d. independentes e identicamente distribuídas.

µ valor esperado.

µ vector de valores esperados.

σ2 variância.

Σ matriz de covariâncias.

n dimensão da amostra.

N índice da amostra.

N (µ, σ2) distribuição normal univariada com valor esperado µ e variância σ2.

Np(µ,Σ) distribuição normal multivariada, de dimensão p, com valor esperado µ e matriz de covari-

âncias Σ.

xv

xvi Glossário

Lista de abreviaturas

ARL average run length — número esperado de amostras recolhidas até emissão de sinal.

CUSUM cumulative sum — somas acumuladas.

EWMA exponentially weighted moving average.

LCL lower control limit — limite de controlo inferior.

MS misleading signal — sinal erróneo.

PMS probability of a misleading signal — probabilidade de sinal erróneo.

PUNS probability of an unambiguous signal — probabilidade de sinal não ambíguo.

PSS probability of a simultaneous signal — probabilidade de sinal em simultâneo.

RL run length — número de amostras recolhidas até emissão de sinal.

SPC statistical process control — controlo estatístico de processos.

SS simultaneous signal — sinal em simultâneo.

UCL upper control limit — limite de controlo superior.

UNS unambiguous signal — sinal não ambíguo.

xvii

xviii Lista de abreviaturas

Capítulo 1

Introdução

As sociedades há muito que dependem da qualidade de bens e serviços (Juran e Godfrey, 1999, p.

35.1). Não surpreende pois que autores como Gitlow et al. (1989, pp. 8–9) refiram que as preocupações

com a qualidade remontam ao Império da Babilónia (1830AC–539AC) e à civilização Fenícia (1550AC–

300AC) (Ramos, 2013, p. 1).

O início do século XX foi marcado pela inclusão da noção de processo nas práticas de qualidade. Na

década de 1920, Walter A. Shewhart (1891–1967), um estatístico nos Bell Laboratories, apercebeu-se

que era importante controlar não apenas os produtos finais, mas também o processo responsável pela

produção dos mesmos (ASQ, n.d.). Ao reconhecer que os dados gerados pelos processos industriais

podem ser analisados utilizando métodos estatísticos, Shewhart lançou as bases para o controlo esta-

tístico de processos (SPC, statistical process control) e as técnicas aliadas de amostragem de aceitação

(Wetherill e Brown, 1991, p. 1).

Num memorandum de 16 de Maio de 1924, Shewhart propôs a primeira carta de controlo de

qualidade. Curiosamente, esta tinha por objectivo controlar a percentagem de defeitos numa amostra

de dimensão fixa, e só mais tarde Shewhart veio a propor as cartas de controlo para o valor esperado

e desvio padrão de um processo (Mason e Young, 2002, p. 4).

O SPC desempenha, sem sombra de dúvida, um papel muito importante na indústria moderna e

deve ser entendido como uma análise estatística objectiva da variação do processo e das causas que

estão na sua origem (Wetherill e Brown, 1991, pp. xiii, 6).

1.1 Cartas de controlo de qualidade

Shewhart reconheceu que qualquer processo de produção, por melhor que tenha sido planeado, apre-

senta sempre alguma variabilidade (Wieringa, 1999, p. 2) e distinguiu variabilidade aceitável e inde-

sejável, devida a causas aleatórias (chance/common causes) e a causas assinaláveis (special/assignable

causes), respectivamente (Ramos, 2013, p. 3).

1

2 1.2. Esquemas de controlo conjuntos

As causas aleatórias resultam de variações incontroláveis e intrínsecas à natureza aleatória da

característica de qualidade e não podem ser “reduzidas” de forma expedita (Nelson, 1982, p. 177). As

causas assinaláveis são responsáveis por alterações inaceitáveis da característica de qualidade e podem

dever-se ao ajuste incorrecto da maquinaria, a erros dos operadores ou a matéria prima inadequada, e,

desta forma, devem ser detectadas, identificadas e eliminadas (Ramos, 2013, p. 3). Um processo que

é apenas afectado por causas aleatórias diz-se sob controlo, caso contrário diz-se fora de controlo.

As cartas de controlo de qualidade Shewhart são uma ferramenta elegante, usada para detectar a

presença de causas assinaláveis (Juran e Godfrey, 1999, Section 4.16). Shewhart sugeriu a utilização da

média da amostra e um par de limites de controlo, um limite inferior de controlo (LCL, lower control

limit) e um limite superior de controlo (UCL, upper control limit), definindo, deste modo, a carta X

para controlar o valor esperado de uma característica de qualidade contínua X (Morais et al., 2013).

Estes limites de controlo são escolhidos de forma a que não seja emitido sinal durante um intervalo tão

grande quanto possível quando o processo estiver sob controlo, e que seja emitido sinal com o menor

atraso possível assim que o processo fique fora de controlo. As médias amostrais que se encontrem para

além dos limites de controlo são responsáveis pela emissão de sinais que podem ser de dois tipos: falsos

alarmes ou sinais válidos, consoante sejam emitidos com o processo sob controlo ou fora de controlo,

respectivamente. Um sinal emitido pela carta pode sugerir a presença de causas assinaláveis e, como

tal, deve ser investigado.

As cartas do tipo Shewhart apenas utilizam o último valor observado da estatística de controlo

para emitir (ou não) sinal e ignoram qualquer informação referente a amostras anteriores, o que as

torna pouco sensíveis a shifts de pequena e média magnitude (Montgomery, 2009, p. 400). Esta

limitação conduziu à proposta das cartas dos tipos CUSUM (cumulative sum) e EWMA (exponentially

weighted moving average), devidas a Page (1954) e Roberts (1959), respectivamente. As estatísticas de

controlo destas cartas têm carácter recursivo, incorporando assim toda a informação sobre o processo

e tornando-as mais sensíveis a shifts de pequena e média magnitude.

1.2 Esquemas de controlo conjuntos

O controlo eficaz de um processo implica a monitorização conjunta da sua localização e dispersão, pelo

que pressupõe a utilização de esquemas usualmente designados de esquemas conjuntos (ou simultâneos).

Estes esquemas têm recebido grande atenção na literatura e podem dividir-se, de acordo com Morais e

Pacheco (2000) e, mais recentemente, McCracken e Chakraborti (2013), em duas categorias distintas:

• esquemas conjuntos que fazem uso de uma carta de controlo para uma estatística sumária univari-

ada (Chengalur et al., 1989; Domangue e Patch, 1991; Chen et al., 2001) ou bivariada (Takahashi,

1989; Ramzy e Peiris, 2013); e

• esquemas conjuntos que resultam da utilização simultânea de duas cartas individuais (Crowder,

1. Introdução 3

1987; Saniga, 1989; Konstantinos e George, 2012).

É comum na prática serem utilizadas simultaneamente duas cartas, uma para o valor esperado

µ e outra para a variância σ2 (Morais et al., 2013). Desta forma a implementação de um esquema

conjunto envolve duas estatísticas de controlo, uma para descrever a localização e outra a dispersão

da característica de qualidade. Interpretar as duas cartas de controlo individualmente não é recomen-

dável, como reporta Ramos (2013, p. 6) citando Gan (1997); esta autora acrescenta ainda que não é

realista assumir que apenas um dos parâmetros está sujeito a shifts. Um esquema conjunto que utiliza

simultaneamente duas cartas individuais emite sinal sempre que cada uma das cartas individuais o

fizer. Por consequência, pode suspeitar-se que o processo se encontra fora de controlo caso pelo menos

uma das cartas emita um sinal.

1.3 Sinais válidos: sinais erróneos, não ambíguos e em simul-

tâneo

Quando se utilizam esquemas conjuntos para controlar µ e σ2, a emissão de sinal pode indicar uma

alteração em µ, em σ2 ou em ambos os parâmetros. Logo podem ocorrer os seguintes eventos:

• um sinal é emitido exclusivamente pela carta para µ, apesar deste parâmetro estar sob controlo

e σ2 estar fora de controlo;

• µ está fora de controlo e σ2 sob controlo, no entanto, um sinal é emitido somente pela carta para

σ2.

Qualquer das situações anteriores é um caso particular dos sinais erróneos (MS, misleading signals)

definidos por St. John e Bragg (1991). Os dois eventos acima são sinais válidos que conduzem a uma

interpretação errada de um shift em µ como um shift em σ2 ou vice-versa (Ramos, 2013, p. 7), o que

pode levar o utilizador de um esquema conjunto a tentar diagnosticar e corrigir uma causa assinalável

inexistente e consequentemente agravar custos de inspecção e produção, como de forma pertinente

referiram Morais e Pacheco (2006).

O primeiro trabalho reportando sinais erróneos foi publicado por St. John e Bragg (1991). Estes

autores identificaram os três tipos seguintes de sinais erróneos, de acordo com Morais e Pacheco (2000):

I. µ sofre um aumento mas o sinal é dado pela carta para σ2 ou na parte negativa da carta para µ;

II. µ sofre uma diminuição mas o sinal é dado pela carta para σ2 ou na parte positiva da carta para

µ;

III. σ2 sofre um aumento mas o sinal é dado meramente pela carta para µ.

4 1.3. Sinais válidos: sinais erróneos, não ambíguos e em simultâneo

Tendo considerado que é mais grave identificar incorrectamente o parâmetro que sofreu alteração,

Morais e Pacheco (2000) apenas estudaram o sinal erróneo de Tipo III e definiram e investigaram um

quarto tipo de sinal erróneo que relaciona os tipos I e II:

IV. µ sofre uma alteração mas o sinal é dado unicamente pela carta para σ2.

Tendo em conta que mais importante do que saber se os sinais erróneos ocorrem é saber quão

frequentes estes são, Morais e Pacheco (2000) e Morais (2002, p. 112) recomendaram o cálculo da

probabilidade de sinal erróneo (PMS, probability of a misleading signal), na avaliação do desempenho

de um esquema conjunto para µ e σ2.

As PMS foram calculadas e estudadas por outros autores, nomeadamente:

• Reynolds Jr. e Stoumbos (2001) consideraram o fenómeno dos sinais erróneos (embora não os

tenham designado como tal) e calcularam a probabilidade de sinais erróneos dos tipos III e IV

para esquemas conjuntos para o valor esperado e variância de observações individuais (Ramos,

2013, p. 9);

• Morais (2002) e Morais e Pacheco (2006) estabeleceram resultados de monotonia das PMS dos

tipos III e IV;

• Antunes (2009) avaliou numericamente a redução relativa nas PMS resultante da substituição

de um esquema conjunto Shewhart por um esquema conjunto EWMA e calculou as PMS de

esquemas conjuntos residuais para o valor esperado e variância de um processo autoregressivo de

primeira ordem (AR(1));

• Ramos et al. (2012) deduziram propriedades de monotonia das PMS de esquemas conjuntos

para o valor esperado e a variância de processos gaussianos estacionários, tais como modelos

autoregressivos de primeira e segunda ordem (AR(1) e AR(2)) e modelos mistos autoregressivos

e médias móveis de ordens p = 1 e q = 1 (ARMA(1,1));

• Ramos et al. (2013c) estenderam a definição de MS e forneceram um estudo numérico sobre as

PMS para esquemas conjuntos Shewhart e EWMA para o vector de valores esperados e a matriz

de covariâncias de um processo i.i.d. normal bivariado;

• Ramos et al. (2013c) e Ramos et al. (2013b) estabeleceram propriedades de monotonia para as

PMS de esquemas conjuntos para o vector de valores esperados e a matriz das covariâncias de

um processo i.i.d. normal bivariado e p−variado, respectivamente;

• Knoth et al. (2009) averiguaram as consequências de se falsamente assumir que um processo é

i.i.d. nas PMS de esquemas conjuntos tradicionais dos tipos Shewhart e EWMA para o valor

esperado e a variância quando na verdade o processo é AR(1); Morais et al. (2014) continuaram

este trabalho considerando adicionalmente processos AR(2) e ARMA(1,1).

1. Introdução 5

Como sugeriram Hawkins e Maboudou-Tchao (2008), é de suma importância identificar correcta-

mente qual o parâmetro do processo que se encontra fora de controlo. Desta forma, torna-se pertinente

estudar a emissão de sinal apenas pela carta para µ (resp. σ2), quando o processo está fora de con-

trolo devido a um shift unicamente em µ (resp. σ2) (Ramos, 2013, p. 112). De facto, estes sinais

válidos permitem ao utilizador de um esquema conjunto ter uma ideia se o sinal é emitido pela carta

“correcta”, tendo sido denominados de sinais não ambíguos (UNS, unambiguous signals) por Ramos

(2013, p. 112). Um sinal não ambíguo de Tipo III (resp. IV) ocorre se a carta individual para σ2 (resp.

µ) desencadeia um sinal antes da carta individual para µ (resp. σ2), quando o valor esperado (resp.

variância) do processo está sob de controlo e a variância (resp. valor esperado) está fora de controlo.

É importante referir que um sinal não ambíguo não é o complementar de um sinal erróneo, uma

vez que ambos os sinais não consideram o caso em que ambas as cartas individuais emitem sinal

simultaneamente (Ramos, 2013, p. 112).

Por fim, a leitura de Hawkins e Maboudou-Tchao (2008, tables 3 e 4) sugere o cálculo da probabi-

lidade de emissão de um sinal em simultâneo (SS, simultaneous signal) pelas duas cartas individuais

que constituem o esquema conjunto, quando tanto µ como σ2 se encontram fora de controlo.

1.4 Objectivos e organização da tese

Os principais objectivos desta tese passam por avaliar o desempenho de um esquema conjunto para:

• o valor esperado e a variância utilizando as PMS e as probabilidades de sinal não ambíguo (PUNS,

probability of an unambiguous signal) dos tipos III e IV, bem como a probabilidade de sinal em

simultâneo (PSS, probability of a simultaneous signal);

• o vector dos valores esperados e a matriz das covariâncias, no caso bivariado, recorrendo para tal

às PMS e PUNS dos tipos III e IV e também às PSS.

Para além disso irá ser também efectuada a análise de um conjunto de dados industriais bivariados e

proceder-se à ilustração de esquemas de controlo de qualidade para estes dados, fazendo uso do R (R

Core Team, 2013).

No Capítulo 2 desta tese são apresentadas cartas individuais para µ e para σ2 dos tipos Shewhart

e EWMA. Posteriormente, são introduzidos os esquemas conjuntos dos tipos Shewhart e EWMA, que

fazem uso de duas cartas individuais uma para µ e outra para σ2 e emitem sinal desde que pelo

menos uma das cartas o faça. Por fim, são apresentadas algumas medidas de desempenho, mais

especificamente o RL (run length) e o ARL (average run length), tanto das cartas individuais, como

dos esquemas conjuntos. A redacção deste capítulo foi inspirada em Antunes (2009).

Aquando da utilização dos esquemas conjuntos podem ocorrer sinais erróneos, sinais não ambíguos

e sinais em simultâneo, descritos e ilustrados no Capítulo 3. São ainda definidas as probabilidades

destes três tipos de sinais válidos, fornecidas as expressões exactas das probabilidades destes sinais

6 1.5. Breve introdução ao R

válidos para o esquema conjunto Shewhart e as expressões que permitem obter valores aproximados

destas probabilidades para o esquema conjunto EWMA.

Na vida real, deparamo-nos muitas vezes com medidas de controlo de qualidade multivariadas,

uma vez que a qualidade geral de um produto é normalmente determinada por mais do que uma

característica de qualidade (Liu, 1995). Posto isto, no Capítulo 4 são apresentados cartas individuais

dos tipos Shewhart e EWMA para o vector de valores esperados (µ) e para a matriz de covariâncias (Σ)

de características de qualidade bivariadas. Estas cartas utilizadas em simultâneo constituem esquemas

conjuntos, cujo desempenho é descrito neste capítulo à custa novamente de RL e ARL. Importa referir

que este capítulo segue de perto a exposição de Ramos (2013, sections 3.1 a 3.3).

O Capítulo 5 é estruturalmente similar ao Capítulo 3 e reporta-se ao cálculo das PMS, PUNS e

PSS para o caso bivariado.

No Capítulo 6 é utilizado um conjunto de dados reais de uma características de qualidade bivariada

que representa um par de medidas relevantes de uma peça fabricada pela indústria automóvel. Primei-

ramente é efectuada uma análise preliminar do conjunto de dados. De seguida é ilustrada a utilização

de esquemas conjuntos para o vector de valores esperados e a matriz de covariâncias da característica

de qualidade. Por fim, são tecidos alguns comentários acerca das cartas propostas e da adequação das

cartas já utilizadas pelo fabricante.

No último capítulo são tecidas algumas considerações finais e resumidas, o que se julga serem, as

principais contribuições desta dissertação.

1.5 Breve introdução ao R

O R é uma linguagem de programação de código aberto focada principalmente em processamento

estatístico, mas que tem ganho a atenção de outras áreas de conhecimento como a Análise Numérica.

É baseada na linguagem S e permite integração com outras como C, C++, Fortran, Java, Python, etc.

(Santos-Fernández, 2012, p. 1). As suas características colocam-no na elite dos softwares estatísticos.

É fácil de usar, flexível, multiplataforma e por último, mas não menos importante, é um software

gratuito, ao contrário da maioria dos softwares estatísticos que são bastante dispendiosos.

O software R consiste apenas nalguns megabytes de funções básicas, que são constantemente actu-

alizadas. Podem ser adicionados pelo utilizador packages com funções adicionais, o que faz com que

o programa principal funcione de forma bastante leve. Estes packages encontram-se disponíveis no

Comprehensive R Archive Network (CRAN) e cobrem um vasto leque de tópicos (R, n.d.).

Todas as funções utilizadas ao longo desta dissertação foram implementados na linguagem R e

as funções utilizadas para desenhar as cartas de controlo foram fruto da adaptação de programas

dos packages qcc (Scrucca, 2004) e MSQC (Santos-Fernández, 2014) e encontram-se disponíveis no

Apêndice A. O código elaborado para calcular as probalidades de emissão de sinais válidos não consta

deste apêndice por ser bastante extenso, no entanto, pode ser disponibilizado a quem o solicitar.

Capítulo 2

Esquemas de controlo para o valor

esperado e a variância

2.1 Cartas individuais para µ e para σ2

Os métodos de SPC têm como principal objectivo controlar o nível esperado e a variância de um pro-

cesso, em particular, porque a variabilidade é arqui-inimiga da qualidade e necessita de ser combatida

com algum vigor (Wetherill e Brown, 1991, p. 4).

A presença de causas assinaláveis pode resultar em alterações no valor esperado (µ) ou na variância

(σ2) de uma característica de qualidade X, que se assumirá doravante ser uma variável aleatória (v.a.)

com distribuição normal com valor esperado µ e variância σ2, N (µ, σ2), onde µ ∈ R e σ2 > 0.

São requeridas pelo menos duas cartas, uma para controlar o valor esperado e outra para controlar

a variância do processo (Wetherill e Brown, 1991, p. 85), bem como a recolha de amostras de dimensão

fixa n. Admita-se que µ0 e σ20 são os valores alvo conhecidos de µ e σ2 e, sem perda de generalidade,

que a ocorrência de uma causa assinalável resulta numa alteração de µ0 para µ = µ0 + δσ0/√n ou

num aumento de σ20 para σ2 = (θσ0)2. Ao considerar-se δ = µ−µ0

σ0/√n(−∞ < δ < +∞) e θ = σ

σ0(θ ≥ 1),

tem-se que (δ, θ) = (0, 1) se o processo está sob controlo, caso contrário (δ, θ) assume um par de valores

constantes diferentes de (0, 1) e diz-se que o processo está fora de controlo.

Nesta secção serão descritas as cartas Shewhart individuais X (carta padrão) e S2 (carta unilateral

superior) que irão ser utilizadas para controlar alterações em µ e aumentos em σ2.

Na Tabela 2.1 encontram-se as estatísticas, os limites de controlo, bem como os alvos das duas

cartas. De referir que Antunes (2009, p. 13) adoptou a estatística S2+N = max{σ2

0 , S2N} e os limites

de controlo LCLS−σ = σ20 e UCLS−σ = σ2

0n−1 × γS−σ. No entanto, a carta resultante possui o mesmo

desempenho do que a adoptada nesta dissertação. A escolha dos valores críticos γS−µ e γS−σ será

discutida mais tarde.

Caso o N−ésimo valor observado da estatística não esteja entre os limites de controlo da respectiva

7

8 2.1. Cartas individuais para µ e para σ2

Tabela 2.1: Cartas individuais Shewhart para µ e para σ2.

Carta X (padrão)

Estatística XN = 1n

∑ni=1XiN (média da N−ésima amostra aleatória (a.a.))

LCL LCLS−µ = µ0 − γS−µ × σ0/√n

Alvo µ0UCL UCLS−µ = µ0 + γS−µ × σ0/

√n

Carta S2 (unilateral superior)

Estatística S2N = 1

n−1∑ni=1(XiN − XiN )2 (variância corrigida da N−ésima a.a.)

LCL LCLS−σ = 0Alvo σ2

0

UCL UCLS−σ = σ20

n−1 × γS−σ

Tabela 2.2: Cartas individuais EWMA para µ e para σ2.

Carta EWMAµ (padrão)

Estatística WN ={w0, N = 0(1− λE−µ)WN−1 + λE−µXN , N ∈ N

LCL LCLE−µ = µ0 − γE−µ ×√

λE−µ2−λE−µ

× σ20n

Alvo µ0

UCL UCLE−µ = µ0 + γE−µ ×√

λE−µ2−λE−µ

× σ20n

Carta EWMAσ (unilateral superior)

Estatística VN ={v0, N = 0max{ln(σ2

0), (1− λE−σ)VN−1 + λE−σ ln(S2N )}, N ∈ N

LCL LCLE−σ = ln(σ20)

Alvo ln(σ20)

UCL UCLE−σ = ln(σ20) + γE−σ0 ×

√λE−σ

2−λE−σ×Ψ′[(n− 1)/2]

carta, a N−ésima amostra é responsável pela emissão de um sinal e o utilizador é alertado para a

presença de potenciais causas assinaláveis que devem ser investigadas e eliminadas (Nelson, 1982, p.

178).

A Tabela 2.2 resume as estatísticas, os limites de controlo e os alvos das cartas individuais EWMA

para µ (carta padrão) e para σ2 (carta unilateral superior), onde λE−µ, λE−σ ∈ (0, 1] representam os

pesos atribuídos ao valor esperado e ao logaritmo da variância corrigida da amostra mais recente e

são denominados de parâmetros de alisamento. Os limites de controlo apresentados correspondem aos

limites assintóticos sob controlo:

limN→∞

{E[WN | (δ, θ) = (0, 1)]± γE−µ ×

√V (WN | (δ, θ) = (0, 1))

}= µ0 ± γE−µ ×

√λE−µ

2− λE−µ× σ2

n; (2.1)

2. Esquemas de controlo para o valor esperado e a variância 9

limN→∞

{E[(1− λE−σ)VN−1 + λE−σ ln(S2

N ) | (δ, θ) = (0, 1)] + γE−σ

×√V [(1− λE−σ)VN−1 + λE−σ ln(S2

N ) | (δ, θ) = (0, 1)]}

= ln(σ20) + γE−σ ×

√λE−σ

2− λE−σ×Ψ′[(n− 1)/2]. (2.2)

Note-se ainda que Ψ′ representa a função trigamma, ou seja, Ψ′(z) = d2lnΓ(z)dz2 , que, para valores inteiros

positivos, pode obter-se recursivamente:

Ψ′(n+ 1) =

1.66449340668, n = 0

Ψ′(n)− 1/n2, n ∈ N.(2.3)

A escolha das constantes γE−µ, γE−σ, λE−µ e λE−σ será também discutida mais tarde.

Irão ser utilizados os seguintes valores iniciais das estatísticas sumárias EWMA: w0 = µ0 e v0 =

ln(σ20), que correspondem à adopção de um head-start (Lucas e Crosier, 1982) de 0% em ambas as

cartas.

As estatísticas XN e S2N são estimadores centrados de µ e σ2, respectivamente, quer quando o

processo está sob controlo, quer quando o processo está fora de controlo, sendo ainda estatísticas

independentes uma vez que a característica de qualidade é normalmente distribuída. Verifica-se ainda

que as estatísticas WN e VN , funções de XN e S2N (respectivamente), também são independentes pelo

teorema dos blocos disjuntos (Karr, 1993, p. 76).

Exemplo 2.1. Montgomery (2009, p. 252) considera uma característica de qualidade que representa

a medida do diâmetro interno dos anéis de um pistão do motor de um carro; admite que esta é

normalmente distribuída, com valores alvo para o valor esperado e a variância iguais a µ0 = 74.001 e

σ20 = 8.836× 10−5 (respectivamente), tendo recolhido 25 amostras de dimensão n = 5.

Tal como consideraram Morais (2002, p. 93) e Antunes (2009, p. 15), γS−µ, γS−σ, γE−µ e γE−σtomam os valores que constam da Tabela 2.3.

Tabela 2.3: Valores críticos das cartas Shewhart e EWMA para µ e para σ2.

Carta ParâmetrosX γS−µ = 3.09023S2 γS−σ = 16.9238EWMAµ λE−µ = 0.134; γE−µ = 2.8891EWMAσ λE−σ = 0.043; γE−σ = 1.2198

Na Tabela 2.4 são apresentadas os valores das 25 amostras consideradas, que se admitiu terem sido

recolhidas com o processo sob controlo, bem como os valores observados das estatísticas das cartas

individuais dos tipos Shewhart e EWMA para µ e para σ2.

De forma a desenhar as cartas de controlo Shewhart e EWMA foram elaboradas várias funções,

adaptando algumas das contidas no package qcc (Scrucca, 2004). Nomeadamente, para as cartas do

10 2.1. Cartas individuais para µ e para σ2

Tabela 2.4: Amostras originais e valores observados das estatísticas XN , S2N ,WN e VN (dados originais

sob controlo).

N x1N x2N x3N x4N x5N xN s2N wN vN

1 74.03000 74.00200 74.01900 73.99200 74.00800 74.0102 2.182× 10−4 74.00223 -9.2952192 73.99500 73.99200 74.00100 74.01100 74.00400 74.0006 5.630× 10−5 74.00201 -9.3162723 73.98800 74.02400 74.02100 74.00500 74.00200 74.0080 2.175× 10−4 74.00282 -9.2783054 74.00200 73.99600 73.99300 74.01500 74.00900 74.0030 8.250× 10−5 74.00284 -9.2836545 73.99200 74.00700 74.01500 73.98900 74.01400 74.0034 1.493× 10−4 74.00292 -9.2632686 74.00900 73.99400 73.99700 73.98500 73.99300 73.9956 7.580× 10−5 74.00194 -9.2729067 73.99500 74.00600 73.99400 74.00000 74.00500 74.0000 3.050× 10−5 74.00168 -9.3212768 73.98500 74.00300 73.99300 74.01500 73.98800 73.9968 1.502× 10−4 74.00102 -9.2990139 74.00800 73.99500 74.00900 74.00500 74.00400 74.0042 3.070× 10−5 74.00145 -9.33409110 73.99800 74.00000 73.99000 74.00700 73.99500 73.9980 3.950× 10−5 74.00099 -9.33409111 73.99400 73.99800 73.99400 73.99500 73.99000 73.9942 8.200× 10−6 74.00008 -9.33409112 74.00400 74.00000 74.00700 74.00000 73.99600 74.0014 1.780× 10−5 74.00025 -9.33409113 73.98300 74.00200 73.99800 73.99700 74.01200 73.9984 1.093× 10−4 74.00001 -9.33409114 74.00600 73.96700 73.99400 74.00000 73.98400 73.9902 2.342× 10−4 73.99869 -9.33409115 74.01200 74.01400 73.99800 73.99900 74.00700 74.0060 5.350× 10−5 73.99967 -9.33409116 74.00000 73.98400 74.00500 73.99800 73.99600 73.9966 6.080× 10−5 73.99926 -9.33409117 73.99400 74.01200 73.98600 74.00500 74.00700 74.0008 1.117× 10−4 73.99947 -9.33409118 74.00600 74.01000 74.01800 74.00300 74.00000 74.0074 4.880× 10−5 74.00053 -9.33409119 73.98400 74.00200 74.00300 74.00500 73.99700 73.9982 7.170× 10−5 74.00022 -9.33409120 74.00000 74.01000 74.01300 74.02000 74.00300 74.0092 6.370× 10−5 74.00142 -9.33409121 73.98800 74.00100 74.00900 74.00500 73.99600 73.9998 6.670× 10−5 74.00120 -9.33409122 74.00400 73.99900 73.99000 74.00600 74.00900 74.0016 5.530× 10−5 74.00126 -9.33409123 74.01000 73.98900 73.99000 74.00900 74.01400 74.0024 1.423× 10−4 74.00141 -9.33409124 74.01500 74.00800 73.99300 74.00000 74.01000 74.0052 7.570× 10−5 74.00192 -9.33409125 73.98200 73.98400 73.99500 74.01700 74.01300 73.9982 2.617× 10−4 74.00142 -9.334091

µ0 = 74.001; σ20 = 8.836× 10−5; n = 5

[LCLS−µ, UCLS−µ] = [73.988, 74.014]; [LCLS−σ , UCLS−σ ] = [0, 3.738× 10−4]

[LCLE−µ, UCLE−µ] = [73.998, 74.004]; [LCLE−σ , UCLE−σ ] = [−9.334,−9.189]

tipo Shewhart, Scrucca (2004) apresenta a carta S, tendo sido necessário alterar a estatística para S2.

Em relação às cartas do tipo EWMA, Scrucca (2004) apresenta exclusivamente a carta para µ, pelo

que foi criada uma função que desenhasse a carta EWMA para σ2. Por fim, a carta EWMA para µ

de Scrucca (2004) considera limites exactos, tendo estes sido alterados para limites assintóticos.

Recorrendo ao código produzido podem ser desenhadas as cartas Shewhart e EWMA para µ e para

σ2 que estão representadas nas figuras 2.1 e 2.2:

>qcc(Dados , center =µ,std.dev=σ,nsigmas =γS−µ,type =" xbar ")

>qcc(Dados , center =σ2 ,std.dev=σ,nsigmas =γS−σ ,type =" S2 ")

>ewma_ass (Dados , center =µ,std.dev=σ,lambda = λE−µ,nsigmas =γE−µ)

>ewma_lns2_ass (Dados , center =lnσ2 ,lambda = λE−σ ,nsigmas =γE−σ).

Refira-se, por fim, que nenhuma das cartas foi responsável pela emissão de qualquer falso alarme,

facto confirmado, pelos valores nulos de Number beyond limits (cartas Shewhart) e No. of points beyond

limits (cartas EWMA).


Figura 2.1: Cartas Shewhart para µ e σ2 (dados originais sob controlo).

Figura 2.2: Cartas EWMA para µ e σ2 (dados originais sob controlo).

2.2 Esquemas de controlo conjuntos para µ e σ2

De modo a respeitar a máxima de Shewhart que refere que o controlo de um processo passa pelo

controlo conjunto dos parâmetros de localização e escala, é costume adoptar esquemas conjuntos para

µ e σ2. Estes esquemas conjuntos emitem sinal se o valor observado da estatística de pelo menos uma

das duas cartas individuais estiver para além dos limites de controlo.

Exemplo 2.2. Considere-se a característica de qualidade descrita no Exemplo 2.1 e assuma-se que os

parâmetros µ e σ2 sofrem uma alteração dos seus valores alvo, µ0 = 74.001 e σ20 = 8.836× 10−5, para

µ = 74.004 e σ2 = 2.25× 10−4, ou seja, δ = µ−µ0σ0/√n' 0.71 e θ = σ/σ0 ' 1.6.

A Tabela 2.5 apresenta as 15 amostras simuladas (usando a função do R rnorm) e os valores

observados das estatísticas das cartas individuais dos tipos Shewhart e EWMA para µ e para σ2.

Os valores a negrito na Tabela 2.5 são responsáveis pela emissão de sinal e são visíveis na Figura

2.3 por se encontrarem para além dos limites de controlo. Este exemplo, tal como o Exemplo 2.1

em Antunes (2009, pp. 15-17), ilustra quer a vantagem, quer a necessidade da utilização de esquemas

conjuntos para µ e σ2 ao invés da utilização exclusiva da carta X (padrão). Com efeito, é graças às

cartas Shewhart e EWMA para σ2 que são emitidos os primeiros sinais válidos, mais concretamente à

4a amostra.

12 2.2. Esquemas de controlo conjuntos para µ e σ2

Tabela 2.5: Amostras simuladas e valores observados das estatísticas XN , S2N , WN e VN (dados

simulados fora de controlo).

N x1N x2N x3N x4N x5N xN s2N wN vN

1 73.99055 74.00677 74.02782 73.98704 74.00280 74.00300 2.60× 10−4 74.00127 -9.287692 74.00599 74.01462 74.00040 74.03377 74.00192 74.01534 1.88× 10−4 74.00262 -9.257293 74.01026 74.01873 73.99811 73.98840 74.03073 74.00925 2.78× 10−4 74.00351 -9.211344 73.96933 74.01718 74.00454 74.01919 74.01048 74.00415 4.12× 10−4 74.00359 -9.150415 74.03536 73.98600 74.02784 74.03332 74.00407 74.01732 4.62× 10−4 74.00543 -9.087166 73.96722 74.01116 73.99505 74.01588 74.00834 73.99953 3.86× 10−4 74.00464 -9.034387 74.01508 74.00878 74.02014 73.99974 73.99235 74.00722 1.27× 10−4 74.00499 -9.031648 73.99507 73.97811 73.99046 73.99561 74.00030 73.99191 7.17× 10−5 74.00323 -9.053659 73.99825 73.97461 73.99137 74.03255 74.01334 74.00202 4.85× 10−5 74.00307 -8.9925110 74.03386 73.99942 74.00264 74.00124 73.98602 74.00463 3.11× 10−4 74.00328 -8.9531011 73.99143 74.03499 73.99557 74.02314 73.98829 74.00668 4.42× 10−4 74.00374 -8.9002812 73.97451 73.99916 74.01804 74.02109 74.02907 74.00837 4.79× 10−4 74.00436 -8.8462713 73.97718 74.03447 73.99345 74.00637 74.01159 74.00461 4.55× 10−4 74.00439 -8.7967714 73.99170 73.97402 73.99681 74.00526 73.99057 73.99167 1.31× 10−4 74.00269 -8.8029415 73.99018 74.00896 74.00188 74.01052 74.00319 74.00295 6.44× 10−5 74.00272 -8.83936

µ0 = 74.001; σ20 = 8.836× 10−5; n = 5; µ = 74.004; σ2 = 2.25× 10−4

[LCLS−µ, UCLS−µ] = [73.988, 74.014]; [LCLS−σ , UCLS−σ ] = [0, 3.738× 10−4]

[LCLE−µ, UCLE−µ] = [73.998, 74.004]; [LCLE−σ , UCLE−σ ] = [9.334,−9.189]

Figura 2.3: Esquemas conjuntos dos tipos Shewhart e EWMA para µ e σ2 (dados simulados fora decontrolo).


2.3 Medidas usuais de desempenho

O desempenho de uma carta individual ou de um esquema conjunto é usualmente avaliado à custa do

RL.

É desejável que o RL seja grande quando o processo se encontra sob controlo, de forma a minimizar

o número de falsos alarmes. Para além disso, o RL deverá ser pequeno quando o processo está fora de

controlo, de modo a emitir um sinal válido com o menor atraso possível. Os desempenhos das cartas

Shewhart para µ e σ2 são dados por:

RLS−µ(δ, θ) = inf{N ∈ N : XN < LCLS−µ ou XN > UCLS−µ}; (2.4)

RLS−σ(θ) = inf{N ∈ N : S2N > UCLS−σ}. (2.5)

Tendo em conta que

X − (µ0 + δσ0/√n)√

(θσ0)2

n

∼ N(0, 1), (2.6)

n− 1(θσ0)2S

2 ∼ χ2n−1, (2.7)

pode afirmar-se que o RL da carta individual para µ depende da magnitude dos shifts em µ e σ2, isto

é, de δ e θ, e que o RL da carta individual para σ2 apenas depende de θ. Pode adiantar-se também

que RLS−µ(δ, θ) e RLS−σ(θ) são v.a. geométricas, cujos parâmetros são, respectivamente:

ξS−µ(δ, θ) = 1−{

Φ[γS−µ − δ

θ

]− Φ

[−γS−µ − δ

θ

]}; (2.8)

ξS−σ(θ) = 1− Fχ2n−1

(γS−σθ2

). (2.9)

Consequentemente, a função de sobrevivência, F , do RL de cada uma das cartas Shewhart é, para

m ∈ N,

FRLS−µ(δ,θ)(m) = [1− ξS−µ(δ, θ)]m, (2.10)

FRLS−σ(θ)(m) = [1− ξS−σ(θ)]m, (2.11)

e o respectivo ARL dado por

ARLS−µ(δ, θ) = 1ξS−µ(δ, θ) , (2.12)

ARLS−σ(θ) = 1ξS−σ(θ) . (2.13)

De modo a que o ARL cada uma das cartas individuais seja aproximadamente igual a um valor

nominal de referência ARL∗ (e.g. 500 amostras, como no Exemplo 2.1) quando o processo está sob

14 2.3. Medidas usuais de desempenho

controlo, os valores críticos das cartas do tipo Shewhart correspondem aos quantis

γS−µ = Φ−1(

1− 12×ARL∗

); (2.14)

γS−σ = F−1χ2n−1

(1− 1

ARL∗

). (2.15)

Atendendo ao facto de o esquema conjunto para µ e σ2 emitir sinal quando pelo menos uma das

cartas individuais emite sinal, o RL deste esquema é

RLS−µ,σ(δ, θ) = min{RLS−µ(δ, θ), RLS−σ(θ)} (2.16)

(Morais e Pacheco, 2000).

Uma vez que o esquema conjunto diz respeito a uma característica de qualidade que se assume

possuir distribuição normal, as cartas individuais para µ e σ2 têm desempenhos independentes, condi-

cionalmente a (δ, θ). Por consequência, é possível definir a função de sobrevivência de RLS−µ,σ(δ, θ)

como o produto das funções de sobrevivência dos RL de cada uma das cartas individuais, ou seja,

FRLS−µ,σ(δ,θ)(m) =FRLS−µ(δ,θ)(m)×FRLS−σ(θ)(m), m ∈ N. (2.17)

Deste modo o RL para o esquema conjunto Shewhart possui distribuição geométrica, com o seguinte

parâmetro

ξS−µ,σ(δ, θ) = ξS−µ(δ, θ) + ξS−σ(θ)− ξS−µ(δ, θ)× ξS−σ(θ)

= 1−[Φ(γS−µ − δ

θ

)− Φ

(−γS−µ − δ

θ

)]× Fχ2

n−1

(γS−σθ2

), (2.18)

pelo que o seu ARL é igual a

ARLS−µ,σ(δ, θ) = 1ξS−µ,σ(δ, θ) . (2.19)

Para os esquemas EWMA definem-se os RL das cartas individuais para µ (carta padrão) e σ2 (carta

unilateral superior):

RLE−µ(δ, θ) = inf{N ∈ N : WN < LCLE−µ ou WN > UCLE−µ}; (2.20)

RLE−σ(θ) = inf{N ∈ N : VN > UCLE−σ}. (2.21)

As distribuições aproximadas de RLE−µ(δ, θ) e RLE−σ(θ) são obtidas utilizando a abordagem

markoviana descrita em detalhe por Brook e Evans (1972).

Adaptando o que sugere Morais (2002, Cap. 6 e Table A.7), no caso da carta para µ é necessário:

• dividir o intervalo [LCLE−µ, UCLE−µ] em (2xµ + 1) sub-intervalos com amplitude ∆µ,

E−xµ = [e−xµ , e−xµ+1] e Ei = (ei, ei+1], i = −xµ + 1, . . . , xµ, onde xµ é um inteiro positivo,


∆µ = UCLE−µ−LCLE−µ2xµ+1 e ei = LCLE−µ + (i+ xµ)×∆µ, i = −xµ, . . . , xµ;

• associar estes (2xµ+1) sub-intervalos aos estados transientes −xµ,−xµ+1, . . . , xµ de uma cadeia

de Markov absorvente com espaço de estados discreto {−xµ,−xµ + 1, . . . , xµ, xµ + 1};

• aproximar RLE−µ(δ, θ) pelo tempo até à absorção no estado (xµ + 1) desta cadeia de Markov.

Do mesmo modo, no caso da carta para σ2 é suposto:

• dividir o intervalo [LCLE−σ, UCLE−σ] em (xσ + 1) sub-intervalos com amplitude ∆σ,

E0 = [e0, e1] e Ei = (ei, ei+1], i = 1, . . . , xσ, onde xσ é um inteiro positivo, ∆σ = UCLE−σ−LCLE−σxσ+1

e ei = LCLE−σ + i×∆σ, i = 0, . . . , xσ;

• associar estes (xσ+1) sub-intervalos aos estados transientes 0, 1, . . . , xσ de uma cadeia de Markov

absorvente com espaço de estados discreto {0, 1, . . . , xσ, xσ + 1};

• aproximar RLE−σ(θ) pelo tempo até à absorção no estado (xσ + 1) desta cadeia de Markov.

As transições entre estados transientes destas duas cadeias de Markov são regidas por matrizes sub-

-estocásticas do tipo Q = [qij ]. As somas parciais à esquerda das entradas da matriz Qµ(δ, θ;xµ),

aµ,i,j(δ, θ;xµ) =∑k≤j

qµ,i,k(δ, θ;xµ), (2.22)

são dadas por

(2.23)aµ,i,j(δ, θ;xµ) = Φ

1θ

− γE−µ√λ−1E−µ(2− λE−µ)

+ 2γE−µ × [(j + 1 + xµ)− (1− λE−µ)(i+ 1/2 + xµ)](2xµ + 1)

√λE−µ(2− λE−µ)

− δ

,para i = −xµ, . . . , 0, . . . , xµ, j = −xµ− 1, . . . , 0, . . . , xµ. As somas parciais à esquerda das entradas da

matriz Qσ(θ;xσ),

aσ,i,j(θ;xσ) =∑k≤j

qσ,i,k(θ;xσ), (2.24)

são iguais a

aσ,i,−1(θ;xσ) = 0, i = 0, . . . , xσ, (2.25)

aσ,i,j(θ;xσ) = Fχ2n−1

n− 1θ2 × exp

γE−σ ×√

Ψ′(n−12 )× [(j + 1)− (1− λE−σ)(i+ 1/2)]

(xσ + 1)√λE−σ(2− λE−σ)

,

i, j = 0, . . . , xσ. (2.26)


A função de sobrevivência do RL e o ARL da carta para µ, condicionados a (δ, θ) e à adopção de

um head-start de 0%, são aproximados por

FRLE−µ(δ,θ)(m) ' e>xµ × [Qµ(δ, θ;xµ)]m × 1µ (2.27)

ARLE−µ(δ, θ) ' e>xµ × [I−Qµ(δ, θ;xµ)]−1 × 1µ, (2.28)

onde m ∈ N, ev designa o (v+1)-ésimo vector da base ortonormada de R2xµ+1 e 1µ é um vector coluna

com (2xµ + 1) uns. De forma análoga, a função de sobrevivência do RL e o ARL da carta para σ2,

condicionados a θ e a um head-start de 0%, são aproximados por

FRLE−σ(θ)(m) ' e>0 × [Qσ(θ;xσ)]m × 1σ (2.29)

ARLE−σ(θ) ' e>0 × [I−Qσ(θ;xσ)]−1 × 1σ, (2.30)

onde m ∈ N, e0 designa o 1o vector da base ortonormada de Rxσ+1 e 1σ é um vector coluna com

(xσ + 1) uns.

Por forma a que as cartas individuais EWMA possuam ARL sob controlo igual a ARL∗ (e.g. 500

amostras, como nas cartas individuais do Exemplo 2.1), os valores críticos γE−µ e γE−σ são obtidos por

pesquisa numérica, bastando para tal fixar os valores de λE−µ e λE−σ, porque não existem fórmulas

fechadas, como para γS−µ e γS−σ.

Como seria de esperar, o RL para o esquema conjunto EWMA é

RLE−µ,σ(δ, θ) = min{RLE−µ(δ, θ), RLE−σ(θ)}. (2.31)

Invocando novamente o facto de WN e VN serem v.a. independentes, condicionalmente a (δ, θ), a

função de sobrevivência de RLE−µ,σ(δ, θ) é o produto das funções de sobrevivência dos RL das cartas

individuais:

FRLE−µ,σ(δ,θ)(m) =FRLE−µ(δ,θ)(m)×FRLE−σ(θ)(m), m ∈ N. (2.32)

Este produto pode ser aproximado substituindo os seus factores pelas respectivas aproximações defi-

nidas em (2.27) e (2.29).

Uma vez que este RL é uma v.a. não negativa (concretamente inteira positiva), o seu valor esperado

pode ser obtido através da soma dos valores da função de sobrevivência (Karr, 1993, p. 114) de

RLE−µ,σ(δ, θ) em N0:

ARLE−µ,σ(δ, θ) =+∞∑m=0

[FRLE−µ(δ,θ)(m)×FRLE−σ(θ)(m)

]. (2.33)

Pode obter-se uma aproximação de ARLE−µ,σ(δ, θ), substituindo FRLE−µ(δ,θ)(m) e FRLE−σ(θ)(m)

pelas suas aproximações markovianas e truncando a série em (2.33) considerando um erro relativo de,


por exemplo, 10−6.

Embora os valores críticos γS−µ, γS−σ, γE−µ e γE−σ tenham sido obtidos de modo a que o ARL

cada uma das cartas individuais seja aproximadamente igual a ARL∗ quando o processo está sob

controlo, há autores que calculam estes valores críticos de modo a que o ARL do esquema conjunto

seja igual a ARL∗∗ e os ARL das cartas individuais sejam aproximadamente iguais.


Capítulo 3

Sinais erróneos, não ambíguos e em

simultâneo em esquemas conjuntos

para µ e σ2

3.1 Sinais erróneos

Uma vez que as causas assinaláveis responsáveis por shifts em µ podem diferir das causas assinaláveis

associadas a shifts em σ2 (Montgomery, 2009, p. 244), o processo de diagnóstico e correcção pode

variar dependendo da carta responsável pelo sinal (Knoth et al., 2009). Assim, não surpreende que

nesta dissertação se considerem somente tipos de sinais erróneos, designados de sinais erróneos puros

por Morais e Pacheco (2000) e referidos na Tabela 3.1.

Tabela 3.1: Tipos de sinais erróneos puros.

Tipo de MS µ σ2 1a carta a emitir sinalIII sob controlo fora de controlo carta para µIV fora de controlo sob controlo carta para σ2

Atendendo às definições dos sinais erróneos dos tipos III e IV, estes ocorrem quando δ = 0 e θ > 1

(Tipo III) e δ 6= 0 e θ = 1 (Tipo IV).

Exemplo 3.1. Considere-se a característica de qualidade descrita no Exemplo 2.1 e admita-se que o

valor esperado está sob controlo e que a variância sofre um aumento do seu valor alvo σ20 = 8.836×10−5

para σ2 = 2.56× 10−4 (i.e. θ = σ/σ0 ' 1.7).

A Tabela 3.2 apresenta 15 amostras simuladas e os valores observados das estatísticas das cartas

individuais do tipo Shewhart para µ e para σ2, sendo de assinalar os 3 valores a negrito associados a

sinais válidos e aos pontos a vermelho, visíveis na Figura 3.1.

19

20 3.1. Sinais erróneos

Tabela 3.2: Amostras simuladas, valores observados das estatísticas do esquema conjunto Shewhart(com µ sob controlo e σ2 fora de controlo) e emissão de sinal erróneo do Tipo III à 3a amostra.

N x1N x2N x3N x4N x5N xN s2N

1 73.99154 74.00143 73.97674 73.97920 74.01986 73.99375 3.11 × 10−4

2 73.98605 74.02218 74.01100 74.00027 73.98493 74.00089 2.58 × 10−4

3 73.98775 73.99543 73.97639 73.99691 73.98260 73.98781 7.46 × 10−5

4 74.00120 73.99743 74.01520 73.99153 73.99051 73.99917 9.94 × 10−5

5 73.99008 74.00075 73.99392 74.00664 74.00217 73.99871 4.41 × 10−5

6 74.00111 73.99800 73.98875 73.99746 73.98526 73.99412 4.56 × 10−5

7 73.98333 73.98599 74.01186 73.97576 73.98708 73.98880 1.86 × 10−4

8 74.00875 73.99802 74.02573 73.99122 73.99544 74.00383r 1.92 × 10−4

9 73.97482 74.00133 74.01527 73.98704 74.01524 73.99874 3.15 × 10−4

10 73.99550 73.96601 74.01508 74.01258 74.00452 73.99874 3.93 × 10−4

11 74.01364 73.99732 73.98790 74.00900 74.00355 74.00228 1.02 × 10−4

12 74.00968 73.99849 74.00802 74.02481 74.00196 74.00859 1.03 × 10−4

13 73.98742 74.03844 73.99906 73.96980 74.00962 74.00087 6.59 × 10−4

14 74.02810 73.98834 73.98380 73.99127 74.01307 74.00092 3.58 × 10−4

15 74.00826 73.99903 73.98879 74.00465 74.01891 74.00393 1.24 × 10−4

µ0 = 74.001; σ20 = 8.836 × 10−5; n = 5; σ2 = 2.56 × 10−4

[LCLS−µ, UCLS−µ] = [73.988, 74.014]; [LCLS−σ, UCLS−σ] = [0, 3.738 × 10−4]

Figura 3.1: Esquema conjunto Shewhart (com µ sob controlo e σ2 fora de controlo) e emissão de sinalerróneo do Tipo III à 3a amostra.

De entre estes 3 sinais válidos destaque-se o primeiro que corresponde à ocorrência de sinal erróneo

do Tipo III, uma vez que a carta para µ emite sinal válido antes da carta para σ2, pese embora o valor

esperado esteja sob controlo e seja a variância a ter sofrido um aumento.

Importa ainda referir que a ocorrência deste sinal não é de surpreender já que o desempenho da

carta para µ é sensível a alterações quer no valor esperado, quer na variância, como se referiu na Secção

2.3. É curioso notar que um aumento significativo de magnitude θ ' 1.7 na variância só é assinalado

pela carta para σ2 à 10a e 13a amostras (veja-se a Figura 3.1).

Considere-se agora que a variância está sob controlo e que o valor esperado sofre um aumento do

seu valor alvo µ0 = 74.001 para µ = 74.004 (ou seja, δ = µ−µ0σ0/√n' 0.71).

Na Tabela 3.3 podem encontrar-se 15 amostras simuladas e os valores observados das estatísticas

das cartas Shewhart individuais para µ e σ2.

3. Sinais erróneos, não ambíguos e em simultâneo em esquemas conjuntos para µ e σ2 21

Tabela 3.3: Amostras simuladas, valores observados das estatísticas do esquema conjunto Shewhart(com µ fora de controlo e σ2 sob controlo) e emissão de sinal erróneo do Tipo IV à 10a amostra.


1 74.00442 74.00420 74.02133 74.02723 73.99547 74.01053 1.75 × 10−4

2 74.02311 74.00605 74.00103 73.99777 74.00362 74.00632 9.76 × 10−5

3 73.99597 73.99598 74.00293 74.00885 73.99497 73.99974 3.60 × 10−5

4 73.99788 74.00003 74.00342 74.00595 74.00454 74.00237 1.11 × 10−5

5 73.99752 74.01656 74.00129 73.99615 73.99167 74.00064 9.11 × 10−5

6 74.01333 74.00714 73.98002 74.00138 74.02640 74.00565 2.92 × 10−4

7 74.00783 73.99746 74.01003 73.99336 73.99741 74.00122 5.29 × 10−5

8 74.01606 73.98514 74.00729 73.98546 74.00459 73.99971 1.91 × 10−4

9 74.00783 74.00605 74.00434 74.00253 74.00227 74.00461 5.57 × 10−5

10 74.03512 73.99897 74.02263 73.97589 74.00606 74.00773 5.16 × 10−4

11 73.97948 73.99467 73.98884 73.99803 74.00220 73.99264 7.80 × 10−5

12 74.00632 73.98689 73.99997 74.00335 74.00784 74.00087 7.02 × 10−5

13 73.98324 74.02244 74.00428 74.01156 74.00364 74.00503 2.06 × 10−4

14 74.00321 74.00213 74.01671 74.00964 74.01441 74.00922 4.24 × 10−5

15 74.00638 74.00114 74.01564 74.02425 73.99310 74.00810 1.48 × 10−4

µ0 = 74.001; σ20 = 8.836 × 10−5; n = 5; µ = 74.004


Figura 3.2: Esquema conjunto Shewhart (com µ fora de controlo σ2 sob controlo) e emissão de sinalerróneo do Tipo IV à 10a amostra.

Na Figura 3.2 é visível um sinal válido emitido pela carta para σ2 à 10a amostra; o valor observado

da estatística encontra-se a negrito na Tabela 3.3. Este sinal corresponde à ocorrência de sinal erróneo

do Tipo IV. De facto, apesar do desempenho da carta para σ2 não depender do shift em µ, a carta para

σ2 pode emitir sinal antes da carta para µ, não obstante σ2 estar sob controlo e µ fora de controlo.

Mais ainda, a carta para µ não emite qualquer sinal, como se pode constatar pela Figura 3.2, apesar

de ser este o único parâmetro que se encontra fora de controlo.

3.2 Probabilidade de sinal erróneo

Mais importante do que saber se os sinais erróneos ocorrem é saber quão frequentes estes são (Morais,

2002, p. 112), pelo que não surpreende que, na avaliação do desempenho de um esquema conjunto para

22 3.2. Probabilidade de sinal erróneo

µ e σ2, Morais e Pacheco (2000) tenham recomendado o cálculo da PMS.

De acordo com a definição de sinais erróneos dos tipos III e IV e, tal como notou Morais (2002, p.

117), pode tirar-se partido da independência entre as estatísticas de controlo das cartas para µ e σ2,

para escrever as PMS da seguinte forma:

PMSIII(θ) = P [RLσ(θ) > RLµ(0, θ)]

=+∞∑i=1

[FRLµ(0,θ)(i)− FRLµ(0,θ)(i− 1)]× [1− FRLσ(θ)(i)], θ > 1; (3.1)

PMSIV (δ) = P [RLµ(δ, 1) > RLσ(1)]

=+∞∑i=1

[FRLσ(1)(i)− FRLσ(1)(i− 1)]× [1− FRLµ(δ,1)(i)], δ 6= 0. (3.2)

É possível deduzir as expressões exactas para as PMS dos esquemas conjuntos Shewhart,

PMSIII−S(θ) e PMSIV−S(δ), após ter substituído as expressões das funções de distribuição dos

RL em (3.1) e (3.2), como o fizeram Knoth et al. (2009):

PMSIII−S(θ) = ξS−µ(0, θ)× [1− ξS−σ(θ)]ξS−µ,σ(0, θ) , θ > 1; (3.3)

PMSIV−S(δ) = [1− ξS−µ(δ, 1)]× ξS−σ(1)]ξS−µ,σ(δ, 1) , δ 6= 0. (3.4)

A PMS do Tipo III (resp. IV) pode ser interpretada como uma probabilidade condicionada. Efec-

tivamente, esta corresponde à probabilidade da carta para µ (resp. σ2) emitir sinal e a carta para

σ2 (resp. µ) não o fazer, dado que o esquema conjunto foi responsável pela emissão de sinal (Ramos,

2013, p. 9).

Em relação às PMS dos esquemas conjuntos EWMA não é possível simplificar as expressões, nem

as PMS são passíveis de interpretação como probabilidades condicionadas, como notou Ramos (2013,

p. 27). No entanto, devido ao carácter markoviano das estatísticas de controlo das cartas individuais

para µ e σ2, as PMS podem ser aproximadas tirando partido de (2.27) e (2.29) e truncando as séries

(3.1) e (3.2) considerando um erro relativo de, por exemplo, 10−6.

É ainda importante salientar que o cálculo da probabilidade de sinal erróneo foi implementado

no R através do package spc (Knoth, 2014). No entanto, o autor adopta uma estatística diferente

da aqui considerada para a carta σ2 e obtém valores críticos fixando o ARL do esquema conjunto

e considerando os ARL das cartas individuais iguais, deste modo, os valores das PMS não irão ser

calculadas por recurso a este package.

Exemplo 3.2. Procede-se à ilustração do cálculo das PMS dos tipos III e IV dos esquemas conjuntos

Shewhart e EWMA, tendo-se para o efeito recorrido às funções PMS.3.S, PMS.3.E, PMS.4.S e PMS.4.E

elaboradas no R. Considera-se o seguinte conjunto de parâmetros retirados de Morais (2002, pp. 120–

121, Table 6.4) e adoptado por (Antunes, 2009, pp. 16, 23):


• n = 5;

• µ0 = 0 e σ20 = 1;

• γS−µ = 3.09023 e γS−σ = 16.9238;

• λE−µ = 0.134 e γE−µ = 2.8891;

• λE−σ = 0.043 e γE−σ = 1.2198;

• xµ + 1 = xσ + 1 = 41.

Importa referir que os valores críticos acima foram obtidos de forma a que o ARL por parte de cada

uma das cartas individuais seja aproximadamente igual ao valor ARL∗ = 500 quando o processo está

sob controlo.

Tabela 3.4: Valores das PMS doTipo III para esquemas conjuntosShewhart e EWMA.

θ PMSIII−S(θ) PMSIII−E(θ)

1.02 0.476613 0.4170151.03 0.465842 0.3807351.05 0.445584 0.3185771.1 0.401783 0.2142221.2 0.337471 0.1249611.3 0.294136 0.0928321.4 0.263400 0.0785221.5 0.240238 0.0714001.6 0.221722 0.0678381.7 0.206146 0.0663111.8 0.192512 0.0660711.9 0.180230 0.0666982 0.168950 0.0679363 0.088310 0.097349

Figura 3.3: Curvas das PMS do Tipo III para esquemasconjuntos Shewhart e EWMA.

A Tabela 3.4 e a Figura 3.3 retratam a variação da PMS do Tipo III em função de θ para os

esquemas conjuntos dos tipos Shewhart e EWMA. Verifica-se que as PMS em qualquer dos casos são

muito elevadas quando os shifts em σ2 possuem pequena magnitude. A título de exemplo, para θ = 1.02

as PMS assumem valores próximos de 45%, como ilustra a Tabela 3.4. Para valores moderados de θ

as PMS para o esquema conjunto Shewhart assumem ainda valores não negligenciáveis, por exemplo,

para θ = 1.5, a PMS assume um valor de cerca de 24%.

Na Figura 3.3 é bem patente que o esquema conjunto do tipo Shewhart emite sinais erróneos do

Tipo III mais frequentemente que o esquema conjunto EWMA, na presença de shifts em σ2 de pequena,

média e grande magnitude. No entanto, caso se pretenda minimizar o valor da PMS do Tipo III, não

se recomenda a substituição do esquema conjunto Shewhart por um esquema conjunto EWMA quando

θ toma valores muito elevados, nomeadamente para θ > 3, neste exemplo em particular.

Na Figura 3.4 e na Tabela 3.5 pode comparar-se a variação da PMS do Tipo IV em função de δ

para os esquemas conjuntos dos tipos Shewhart e EWMA. É de notar que as PMS em qualquer um dos


esquemas é muito elevada para shifts em µ de pequena magnitude; com efeito, para δ = 0.05 o valor da

PMS é aproximadamente 49% e 47% para os esquemas conjuntos Shewhart e EWMA, respectivamente.

É também bastante notório que, para valores pequenos ou moderados de δ, o esquema conjunto EWMA

emite sinais erróneos com menor frequência do que o esquema conjunto Shewhart. A título de exemplo,

para δ = 0.5 a PMS para o esquema conjunto Shewhart assume um valor de cerca de 29% enquanto

que a PMS para o esquema conjunto EWMA assume um valor próximo de 5%.

Como não poderia deixar de ser, os valores obtidos para as PMS dos tipos III e IV coincidem com

os que constam em Morais (2002, p. 125, Table 6.6) e Antunes (2009, pp. 35–36, tabelas 3.5–3.6).

Tabela 3.5: Valores das PMS doTipo IV para esquemas conjuntosShewhart e EWMA.

δ PMSIV−S(δ) PMSIV−E(δ)

0.05 0.496258 0.4719530.1 0.486730 0.4045010.2 0.451344 0.2492280.3 0.400673 0.1432960.4 0.343289 0.0844060.5 0.286308 0.0521030.6 0.234262 0.0336050.7 0.189271 0.0224260.8 0.151773 0.0153320.9 0.121258 0.0106541 0.096797 0.007479

1.5 0.032678 0.0013292 0.012359 0.0002253 0.002305 0.000005

Figura 3.4: Curvas das PMS do Tipo IV para esquemasconjuntos Shewhart e EWMA.

Por ainda existirem muitos utilizadores de esquemas de controlo de qualidade que continuam bas-

tante relutantes em utilizar esquemas conjuntos EWMA, Morais et al. (2013) exploraram a utilização

de estatísticas de controlo alternativas para os esquemas conjuntos do tipo Shewhart, visando a redu-

ção da PMS dos tipos III e IV. Tendo este objectivo em mente, estes autores utilizaram dois esquemas

conjuntos do tipo Shewhart que fazem uso dos seguintes pares de estatísticas de controlo sugeridas por

Walsh (1952):

•√n(X − µ0)/S e S2;

• X e∑ni=1(Xi − µ0)2/n.

Após uma análise cuidada dos resultados de Morais et al. (2013), verifica-se que a PMS do Tipo III

para os esquemas alternativos são inferiores às do esquema conjunto (X, S2). Contudo, estes valores

ainda ficam aquém das PMS para o esquema homólogo EWMA.

Em relação às PMS do Tipo IV, apenas o esquema que faz uso do par de estatísticas (X,∑ni=1(Xi−

µ0)2/n) possui valores das PMS inferiores às do esquema conjunto (X, S2), para shifts de pequena

magnitude no valor esperado. Mais uma vez, estes valores não são inferiores às PMS do Tipo IV para


o esquema conjunto EWMA.

Resumindo, utilizar um esquema conjunto EWMA é uma boa estratégia para reduzir globalmente

as PMS dos tipos III e IV.

3.3 Sinais não ambíguos

Aquando da utilização de um esquema conjunto para µ e σ2, para além de sinais erróneos podem

também ocorrer sinais não ambíguos. Tratam-se também de sinais válidos, no entanto, correspondem

a sinais provenientes somente da carta σ2 (resp. µ) quando este parâmetro está fora de controlo e µ

(resp. σ2) está sob controlo, tal como se descreve na Tabela 3.6.

Tabela 3.6: Tipos de sinais não ambíguos.

Tipo de UNS µ σ2 1a carta a emitir sinalIII sob controlo fora de controlo carta para σ2

IV fora de controlo sob controlo carta para µ

Os sinais não ambíguos e o cálculo das respectivas probabilidades são de grande importância, uma

vez que permitem avaliar o esquema conjunto para µ e σ2 no que respeita à emissão de sinal pela carta

“correcta” associada ao único parâmetro que se encontra fora de controlo (Ramos, 2013, p. 112).

Exemplo 3.3. Considere-se novamente a característica de qualidade descrita no Exemplo 2.1 e assuma-

se que µ = µ0 = 74.001 e σ2 = 2.56× 10−4 (i.e. θ = σ/σ0 = 1.7).

Tabela 3.7: Amostras simuladas, valores observados das estatísticas do esquema conjunto Shewhart(com µ sob controlo e σ2 fora de controlo) e emissão de sinal não ambíguo do Tipo III à 3a e 14aamostras.


1 73.99098 74.00394 73.98763 74.02652 74.00627 74.00307 2.36 × 10−4

2 73.98787 74.00880 74.01281 74.01021 73.99611 74.00316 1.15 × 10−4

3 74.02519 74.00724 73.99106 73.96556 74.01900 74.00161 5.75 × 10−4

4 74.00028 74.00074 74.01610 74.01414 74.01050 74.00835 5.53 × 10−5

5 74.01570 74.01351 74.00219 73.96917 74.01092 74.00230 3.69 × 10−4

6 74.00010 73.99851 73.97747 73.99335 74.00769 73.99542 1.27 × 10−4

7 74.02274 73.99936 74.00720 74.00014 73.97897 74.00168 2.49 × 10−4

8 73.99436 73.99469 74.00005 74.01860 74.01321 74.00418 1.23 × 10−4

9 73.99837 73.99695 74.01215 74.00991 73.98998 74.00147 8.68 × 10−5

10 73.98968 74.00683 74.01330 73.99920 74.01510 74.00482 1.11 × 10−4

11 74.00737 73.99121 74.00646 73.98293 74.02393 74.00238 2.52 × 10−4

12 74.03269 73.99512 73.98429 74.01012 73.99884 74.00412 3.38 × 10−4

13 74.03943 74.00037 74.01204 74.00145 73.98911 74.00848 3.65 × 10−4

14 74.00402 73.97212 74.02445 74.00345 74.03576 74.00796 5.91 × 10−4

15 74.00861 73.98964 74.01077 73.98605 73.98094 73.99520 1.85 × 10−4

µ0 = 74.001; σ20 = 8.836 × 10−5; n = 5; σ2 = 2.56 × 10−4


26 3.3. Sinais não ambíguos


individuais do tipo Shewhart para µ e para σ2.

Os dois valores a negrito na última coluna da Tabela 3.7 são responsáveis pela emissão de sinal e

são visíveis a vermelho na carta para σ2 na Figura 3.5.

Este exemplo ilustra a ocorrência de sinais não ambíguos do Tipo III; de facto σ2 está fora de

controlo e µ está sob controlo mas apenas a carta σ2 emite sinais válidos, neste caso à 3a e 14a

amostras.

Figura 3.5: Esquema conjunto Shewhart (com µ sob controlo e σ2 fora de controlo) e emissão de sinalnão ambíguo do Tipo III à 3a e 14a amostras.

Considere-se agora que a característica de qualidade possui valor esperado µ = 74.004 fora de

controlo e variância σ20 = 8.836× 10−5.

Tabela 3.8: Amostras simuladas, valores observados das estatísticas do esquema conjunto Shewhart(com µ fora de controlo e σ2 sob controlo) e emissão de sinal não ambíguo do Tipo IV à 7a amostra.


1 73.99610 74.01701 73.99220 74.00466 74.02009 74.00601 1.53 × 10−4

2 73.99833 73.99956 73.99803 74.00131 74.00530 74.00051 8.84 × 10−5

3 74.01554 73.99646 73.99384 74.00252 73.99393 74.00046 8.35 × 10−5

4 74.00269 73.99839 73.98347 74.00626 74.00156 73.99848 7.83 × 10−5

5 74.01246 74.01285 74.01780 74.01064 74.01170 74.01309 7.64 × 10−5

6 74.00124 74.01733 74.01809 73.99782 73.99598 74.00609 1.11 × 10−4

7 74.00697 74.01443 74.02483 74.01544 74.01790 74.01591 4.14 × 10−5

8 74.01294 73.99451 73.98520 73.98744 74.00266 73.99655 1.31 × 10−4

9 74.01857 73.99646 74.00330 74.02182 73.99971 74.00797 1.32 × 10−4

10 74.00928 73.99566 73.99967 73.99719 74.00335 74.00103 2.97 × 10−5

11 74.01775 74.00576 74.01361 73.99844 74.00295 74.00770 6.20 × 10−5

12 73.99531 74.01108 74.00294 74.00340 74.00619 74.00378 3.29 × 10−5

13 73.99332 74.01204 73.99856 74.00867 73.99686 74.00189 6.47 × 10−5

14 74.00079 73.98424 74.00116 73.99204 74.00137 73.99592 5.81 × 10−5

15 74.00208 74.00188 74.00726 74.00430 74.00789 74.00468 7.92 × 10−5

µ0 = 74.001; σ20 = 8.836 × 10−5; n = 5; µ = 74.004



individuais do tipo Shewhart para µ e para σ2.


Figura 3.6: Esquema conjunto Shewhart (com µ fora de controlo e σ2 sob controlo) e emissão de sinalnão ambíguo do Tipo IV à 7a amostra.

O valor a negrito é responsável pela emissão de sinal válido, é visível a vermelho na Figura 3.6

e ilustra a ocorrência de um sinal não ambíguo do Tipo IV. Efectivamente, o valor esperado da ca-

racterística de qualidade está fora de controlo e a sua variância sob controlo, mas é a carta para µ a

responsável por um sinal válido, à 7a amostra neste exemplo.

3.4 Probabilidade de sinal não ambíguo

É importante averiguar com que frequência os sinais não ambíguos ocorrem, pelo que ao avaliar o

desempenho do esquema conjunto seja recomendável calcular a probabilidade de sinal não ambíguo

(PUNS).

As PUNS dos tipos III e IV são iguais a:

PUNSIII(θ) = P [RLσ(θ) < RLµ(0, θ)]

=+∞∑i=1

[FRLσ(θ)(i)− FRLσ(θ)(i− 1)]× [1− FRLµ(0,θ)(i)], θ > 1; (3.5)

PUNSIV (δ) = P [RLµ(δ, 1) < RLσ(1)]

=+∞∑i=1

[FRLµ(δ,1)(i)− FRLµ(δ,1)(i− 1)]× [1− FRLσ(1)(i)], δ 6= 0. (3.6)

Escusado será dizer que é possível simplificar as expressões das PUNS dos esquemas conjuntos

Shewhart, PUNSIII−S(θ) e PUNSIV−S(δ), substituindo as expressões da função distribuição dos RL

nas expressões (3.5) e (3.6):

PUNSIII−S(θ) = ξS−σ(θ)× [1− ξS−µ(0, θ)]ξS−µ,σ(0, θ) , θ > 1; (3.7)

28 3.4. Probabilidade de sinal não ambíguo

PUNSIV−S(δ) = [1− ξS−σ(1)]× ξS−µ(δ, 1)]ξS−µ,σ(δ, 1) , δ 6= 0. (3.8)

Em relação às PUNS dos esquemas conjuntos EWMA, não é possível simplificar as expressões

(3.5) e (3.6), no entanto, as PUNS podem ser aproximadas utilizando as aproximações markovianas

para as funções de sobrevivência de RLµ e RLσ em (2.27) e (2.29) e truncando as séries (3.5) e (3.6)

considerando um erro relativo de, por exemplo, 10−6.

Exemplo 3.4. Na Figura 3.7 e Tabela 3.9 é patente a variação das PUNS do Tipo III em função de θ

para os esquemas conjuntos dos tipos Shewhart e EWMA. Estas probabilidades foram obtidas através

do recurso às funções PUNS.3.S e PUNS.3.E elaboradas no R.

Verifica-se que, em qualquer um dos casos, as PUNS assumem um valor pouco superior a 50%, para

shifts de pequena magnitude em σ2. A título de exemplo, para θ = 1.02, a PUNS do Tipo III para o

esquema conjunto Shewhart é aproximadamente igual a 52% e para o esquema conjunto EWMA é de

cerca de 58%, como se pode verificar na Tabela 3.9.

Tabela 3.9: Valores das PUNS doTipo III para esquemas conjuntosShewhart e EWMA.

θ PUNSIII−S(θ) PUNSIII−E(θ)

1.02 0.522105 0.5814371.03 0.532717 0.6175461.05 0.552615 0.6793201.1 0.595247 0.7825491.2 0.655892 0.8690811.3 0.693547 0.8980031.4 0.716497 0.9086971.5 0.729840 0.9118101.6 0.736692 0.9109741.7 0.739001 0.9077191.8 0.738031 0.9028111.9 0.734632 0.8966902 0.729398 0.8896303 0.635472 0.788034

Figura 3.7: Curvas das PUNS do Tipo III para esquemasconjuntos Shewhart e EWMA.

Para valores moderados de θ, verifica-se que o esquema conjunto EWMA emite sinais não ambíguos

do Tipo III com mais frequência do que o esquema conjunto Shewhart, como mostra a Figura 3.7. De

facto, para θ = 1.5 a PUNS do Tipo III do esquema EWMA é de cerca de 91%, enquanto que para o

esquema conjunto Shewhart está próximo de 73%.

É de realçar que a PUNS do Tipo III apresenta um comportamento não monótono quer para o

esquema conjunto Shewhart, quer para o do tipo EWMA, como é visível na Figura 3.7. A PUNS do

Tipo III assume um comportamento crescente para ambos os esquemas até um determinando valor de

θ a partir do qual decresce. Este comportamento decrescente deve-se provavelmente ao facto da carta

para µ ser muito sensível à ocorrência de grandes shifts em σ2 e como tal ser responsável pela emissão

de sinais válidos a par da carta para σ2.


A Figura 3.7 deixa bem claro que há vantagem em utilizar o esquema conjunto EWMA, já que

a PUNS do Tipo III para este esquema é, de um modo geral, bem superior à do esquema conjunto

Shewhart.

A variação das PUNS do Tipo IV em função de δ, para os esquemas conjuntos dos tipos Shewhart e

EWMA, é ilustrada na Tabela 3.10 e Figura 3.8, tendo os valores destas PUNS sido obtidos por recurso

às funções PUNS.4.S e PUNS.4.E. Estes resultados numéricos sugerem que as PUNS do Tipo IV têm um

comportamento monótono não decrescente em ambos os esquemas conjuntos. Está-se em crer que este

comportamento se deve ao facto do desempenho da carta para σ2 não depender da magnitude do shift

em µ e como tal quando µ está fora de controlo é a carta para µ que emite sinal mais frequentemente.

As PUNS do Tipo IV, para ambos os esquemas conjuntos, apresentam valores muito próximos de

50%, quando o shift é de pequena magnitude. Por exemplo, para δ = 0.05 o valor da PUNS do Tipo IV

é aproximadamente 50% e 53% para os esquemas conjuntos Shewhart e EWMA, respectivamente. Para

valores moderados de δ, é bem notório, na Figura 3.8, que o esquema conjunto do tipo EWMA emite

sinais não ambíguos com maior frequência do que o do tipo Shewhart, recomendando-se vivamente a

substituição deste esquema conjunto por um do tipo EWMA, caso se pretenda maximizar as PUNS

do Tipo IV.

Tabela 3.10: Valores das PUNS doTipo IV para esquemas conjuntosShewhart e EWMA.

δ PUNSIV−S(δ) PUNSIV−E(δ)

0.05 0.502734 0.5267540.1 0.512244 0.5941050.2 0.547558 0.7491490.3 0.598128 0.8549360.4 0.655398 0.9137650.5 0.712265 0.9460630.6 0.764207 0.9645950.7 0.809108 0.9758410.8 0.846530 0.9830260.9 0.876985 0.9878161 0.901397 0.991117

1.5 0.965387 0.9979262 0.985666 0.9994643 0.995700 0.999957

Figura 3.8: Curvas das PUNS do Tipo IV para esquemasconjuntos Shewhart e EWMA.

Por fim, é de notar que, para shifts de grande magnitude, a PUNS do Tipo IV aproximam-se, como

seria de desejar, de 1 para ambos os esquemas conjuntos.

3.5 Sinais em simultâneo

Quando é utilizado um esquema conjunto para monitorizar o valor esperado e a variância, podem

ocorrer sinais em simultâneo. Tratam-se de sinais válidos que conduzem à identificação correcta dos

parâmetros fora de controlo.

30 3.5. Sinais em simultâneo

A intuição dita que a ocorrência de sinais em simultâneo é bastante frequente quando as magnitudes

dos shifts em ambos os parâmetros são particularmente elevadas, tal como se ilustrará na próxima

secção.

Exemplo 3.5. Ilustra-se a emissão de sinal em simultâneo fazendo uso de um esquema conjunto do

tipo Shewhart para o valor esperado e a variância da característica de qualidade até agora considerada,

quando ambos os parâmetros estão fora de controlo: µ = 74.004 6= µ0 e σ2 = 2.56 × 10−4 6= σ20 (ou

seja, δ = µ−µ0σ0/√n' 0.71 e θ = σ/σ0 ' 1.7).

Tabela 3.11: Amostras simuladas, valores observados da estatística do esquema conjunto Shewhart(com µ e σ2 fora de controlo) e emissão de sinal em simultâneo à 4a amostra.


1 74.01146 74.00130 73.97141 74.00188 73.98482 73.99597 2.59 × 10−4

2 73.98272 74.01866 74.00139 73.97837 73.99064 73.99436 2.61 × 10−4

3 74.00979 73.99882 73.99232 73.99273 73.99821 73.99837 4.98 × 10−5

4 74.00615 74.03023 73.98161 74.05252 74.02317 74.01873 7.07 × 10−4

5 74.00489 74.01063 73.98913 73.99348 74.00345 74.00032 7.73 × 10−5

6 73.96787 73.99562 74.02301 74.02825 74.00693 74.00434 5.83 × 10−4

7 74.00290 74.03041 74.02682 73.98106 74.00601 74.00944 4.00 × 10−4

8 74.01478 74.00575 74.00575 74.00146 74.00080 74.00571 3.11 × 10−5

9 74.00120 73.99857 74.00198 74.01969 74.04359 74.01301 3.62 × 10−4

10 73.99524 74.00061 73.99639 74.03502 73.98860 74.00317 3.36 × 10−4

11 73.96185 74.00869 73.96830 73.98115 74.02869 73.98973 7.97 × 10−4

12 74.02225 74.01344 73.96799 73.99508 73.97588 73.99493 5.44 × 10−4

13 74.02023 73.99304 73.96390 74.01685 74.02770 74.00434 6.79 × 10−4

14 73.99289 73.99889 74.00702 73.99600 74.02183 74.00333 1.35 × 10−4

15 74.01081 73.98249 73.98615 74.00482 74.01575 74.00000 2.22 × 10−4

µ0 = 74.001; µ0 = 74.004; σ20 = 8.836 × 10−5; σ2 = 2.56 × 10−4; n = 5


Figura 3.9: Esquema conjunto Shewhart (com µ e σ2 fora de controlo) e emissão de sinal em simultâneoà 4a amostra.


individuais do tipo Shewhart para µ e para σ2, bem como valores a negrito associados a sinais válidos


e visíveis a vermelho na Figura 3.9. No entanto, apenas a 4a amostra é responsável pela emissão de

um sinal em simultâneo.

3.6 Probabilidade de sinal em simultâneo

Por fim, é também importante calcular a frequência com que os sinais em simultâneo ocorrem, quando

os parâmetros de localização e escala estão fora de controlo, pelo que o desempenho do esquema

conjunto para µ e σ2 deve ser avaliado também à luz da probabilidade de sinal em simultâneo (PSS):

PSS(δ, θ) = P [RLσ(θ) = RLµ(δ, θ)]

=+∞∑i=1

[FRLµ(δ,θ)(i)− FRLµ(δ,θ)(i− 1)]× [FRLσ(θ)(i)− FRLσ(θ)(i− 1)], δ 6= 0, θ > 1. (3.9)

É possível deduzir a expressão para a PSS(δ, θ) do esquema conjunto Shewhart, substituindo as

funções de distribuição dos RL na expressão (3.9):

PSSS(δ, θ) = ξS−σ(θ)× ξS−µ(δ, θ)ξS−µ,σ(δ, θ) , δ 6= 0, θ > 1. (3.10)

Lida-se novamente com uma probabilidade condicionada, neste caso de ambas as cartas individuais

emitirem sinal sabendo que o esquema conjunto foi responsável pela emissão de sinal.

Em relação às PSS dos esquemas conjuntos EWMA, é apenas possível obter valores aproximados,

recorrendo às aproximações markovianas em (2.27) e (2.29) e truncando a série (3.9) considerando uma

vez mais um erro relativo de 10−6.

Exemplo 3.6. Na Figura 3.10 e na Tabela 3.12 pode verificar-se a variação da PSS em função de δ e

θ para o esquema conjunto do tipo Shewhart, tendo-se utilizado a função PSS.S para obter os valores

desta probabilidade.

Tabela 3.12: Valores das PSS para o esquema conjunto Shewhart.

δθ 0.05 0.10 0.20 0.30 0.50 0.70 1.00 1.50 2.00

1.02 0.00129 0.00131 0.00140 0.00153 0.00183 0.00210 0.00237 0.00257 0.002641.05 0.00181 0.00184 0.00196 0.00214 0.00258 0.00300 0.00345 0.00381 0.003941.10 0.00299 0.00303 0.00321 0.00349 0.00422 0.00497 0.00588 0.00672 0.007071.20 0.00667 0.00675 0.00708 0.00760 0.00907 0.01081 0.01330 0.01622 0.017751.30 0.01236 0.01248 0.01297 0.01375 0.01605 0.01899 0.02373 0.03039 0.034651.50 0.02999 0.03017 0.03092 0.03215 0.03590 0.04107 0.05050 0.06714 0.081291.90 0.08522 0.08546 0.08642 0.08801 0.09300 0.10023 0.11460 0.14497 0.178432.00 0.10173 0.10197 0.10294 0.10454 0.10956 0.11688 0.13158 0.16330 0.199433.00 0.27627 0.27644 0.27711 0.27822 0.28176 0.28702 0.29798 0.32367 0.35702

É importante referir que a PSS é muito baixa quando o shift em σ2 é pequeno, independentemente

dos valores de δ. Este facto encontra justificação no seguinte: quando θ assume um valor fixo pequeno

32 3.6. Probabilidade de sinal em simultâneo

e o shift em µ varia, a carta para µ, cujo desempenho depende de δ e de θ, tenderá a emitir sinais mais

frequentemente do que a carta para σ2 porque o desempenho desta não depende de δ; a carta do tipo

Shewhart para σ2 é pouco sensível a shifts na dispersão de pequena e média magnitude, pelo que terá

tendência a ser responsável por poucos sinais válidos.

De assinalar também que os valores das PSS são consideráveis para shifts de grande magnitude

quer em µ, quer em σ2, ou não fossem as cartas individuais do tipo Shewhart bastante sensíveis a shifts

de tal magnitude.

A Tabela 3.12 e a Figura 3.10 sugerem que a PSS tem um comportamento crescente em δ e θ, no

entanto, este crescimento é bastante mais acentuado em θ.

Figura 3.10: Curva da PSS para o esquema conjunto Shewhart.

A Figura 3.11 e a Tabela 3.13 denotam a variação da PSS em função de δ e θ para o esquema

conjunto do tipo EWMA, tendo os valores desta probabilidade sido obtidos por recurso à função

PSS.E.

Tal como para o esquema conjunto Shewhart e independentemente do valor de δ, a PSS é muito

baixa quando o shift em σ2 é pequeno. Mais, por lidar-se com cartas individuais EWMA mais sensíveis

que as do tipo Shewhart a shifts de pequena e média magnitude em µ e σ2, não surpreende que a

PSSE(δ, θ) seja superior à PSSS(δ, θ) para valores pequenos ou moderados de δ e θ.

É de assinalar que a PSS aparenta ter um comportamento crescente em θ, tal como se pode

confirmar pela consulta da Tabela 3.13 e da Figura 3.11, contudo o mesmo não se pode afirmar para


δ.

Tabela 3.13: Valores das PSS para o esquema conjunto EWMA.

δθ 0.05 0.10 0.20 0.30 0.50 0.70 1.00 1.50 2.00

1.02 0.00204 0.00224 0.00279 0.00326 0.00367 0.00365 0.00318 0.00199 0.001021.05 0.00287 0.00318 0.00412 0.00504 0.00611 0.00628 0.00562 0.00363 0.001911.10 0.00434 0.00481 0.00641 0.00832 0.01134 0.01259 0.01202 0.00836 0.004711.20 0.00746 0.00809 0.01047 0.01393 0.02181 0.02806 0.03176 0.02689 0.017721.30 0.01081 0.01147 0.01405 0.01807 0.02881 0.04014 0.05231 0.05429 0.042241.50 0.01835 0.01895 0.02135 0.02524 0.03686 0.05201 0.07625 0.10412 0.106331.90 0.03748 0.03793 0.03974 0.04272 0.05203 0.06530 0.09082 0.13917 0.179542.00 0.04314 0.04357 0.04525 0.04804 0.05675 0.06927 0.09372 0.14204 0.186463.00 0.11447 0.11470 0.11557 0.11703 0.12166 0.12848 0.14248 0.17409 0.21235

Figura 3.11: Curva da PSS para o esquema conjunto EWMA.


Capítulo 4

Esquemas de controlo para o vector

de valores esperados e a matriz de

covariâncias

A maioria dos dados é naturalmente multivariada e consiste em medidas de várias características para

cada unidade observacional (Fuchs e Kenett, 1998, p. v). Assim sendo, é natural que o desempenho

de um produto dependa muitas vezes de várias características de qualidade que podem estar inter-

-relacionadas (Ramos, 2013, p. 65). As variáveis multivariadas são muito mais do que um conjunto de

variáveis univariadas, portanto não se deve utilizar cartas univariadas separadamente para controlar

estas características, uma vez que estas cartas não têm em consideração a correlação existente entre

as características de qualidade. Há pois que recorrer a cartas e métodos multivariados.

Apesar de os computadores e os softwares modernos terem criado novas oportunidades para recolher

e analisar dados, a utilização de métodos multivariados não é uma prática comum na indústria (Fuchs

e Kenett, 1998, p. v). Curiosamente, o controlo de qualidade multivariado é uma das áreas de SPC que

tem registado um desenvolvimento notável e recebido uma atenção considerável na literatura que se

tem materializado não apenas em vários artigos, mas também em livros dedicados apenas a controlo de

qualidade multivariado, tais como Fuchs e Kenett (1998), Mason e Young (2002) e Santos-Fernández

(2012). Outra indicação desta popularidade crescente é o desenvolvimento de packages para softwares

estatísticos, tais como o MINITAB (Fuchs e Kenett, 1998) e o R (Santos-Fernández, 2012), como refere

Ramos (2013, p. 65), ou ainda o SAS (Mason e Young, 2002).

Assuma-se, por enquanto, que o vector de p características de qualidade contínuas, X, tem distri-

buição conjunta normal p−variada com vector de valores esperados µ e matriz de covariâncias Σ e

que a ocorrência de uma causa assinalável resulta numa alteração ou em µ ou em Σ ou em ambos os

parâmetros da distribuição multivariada. Quando o processo está sob controlo, X possui vector de va-

35

36 4.1. Cartas individuais para µ e Σ

lores esperados µ0 e matriz de covariâncias Σ0, onde µ0 e Σ0 se admite serem conhecidos. Assume-se

ainda que o output multivariado é i.i.d. Com efeito, e como menciona Ramos (2013, p. 66), a maioria

dos trabalhos existentes sobre cartas de controlo multivariadas assenta no pressuposto de que os n

vectores que constituem o N -ésimo grupo racional ou amostra aleatória, X1N , ...,XnN , são i.i.d. a

X, (Tang e Barnett, 1996) e que as sucessivas amostras aleatórias são independentes. Considerem-se

ainda XN = 1n

∑ni=1XiN e SN = 1

n

∑ni=1(XiN − XN )>(XiN − XN ), o vector de valores esperados e

a matriz de covariâncias da N -ésima amostra aleatória, respectivamente.

4.1 Cartas individuais para µ e Σ

A primeira carta de controlo para o vector de valores esperados de uma característica de qualidade

p−variada associada a output i.i.d deve-se a Hotelling (1947) e foi justamente designada de carta T 2 de

Hotelling. A estatística desta carta é baseada no quadrado da distância de Mahalanobis entre o vector

das médias da amostra aleatória e o seu valor alvo µ0, (X − µ0)>Σ0−1(X − µ0). Esta carta possui

somente um limite de controlo superior uma vez que grandes valores desta distância correspondem a

pontos afastados do alvo µ0, enquanto que pequenos valores desta distância correspondem a pontos

próximos de µ0. Apesar de já terem sido propostas várias cartas para o controlo de µ, a carta T 2 de

Hotelling continua a ser de longe a mais referenciada e popular (Ramos, 2013, p. 67).

A dispersão de uma característica de qualidade p−variada pode ser sumariada na matriz de cova-

riâncias Σ(p×p), que contém p× (p+ 1)/2 parâmetros diferentes. Esta matriz necessita também de ser

monitorizada de forma a verificar se Σ se afasta do seu alvo Σ0. De acordo com Ramos (2013, p. 68),

a primeira carta de controlo para Σ foi proposta por Montgomery e Wadsworth (1972), 25 anos depois

da proposta da carta T 2 de Hotelling para µ, mostrando a falta de atenção que a monitorização de Σ

tem recebido na literatura de controlo de qualidade.

Existem essencialmente duas formas de construir uma estatística de controlo univariada das cartas

para Σ: o determinante da matriz das covariâncias da amostra aleatória, |S|, usualmente designado

de variância generalizada; e o traço da matriz de covariâncias da amostra aleatória, tr(S), também

conhecido como variância total. Nesta dissertação irá ser utilizada uma estatística baseada na variância

generalizada, apesar de |S| representar de modo bastante simplista a dispersão de uma estrutura

multivariada (Ramos, 2013, p. 69). Mais, a carta possui somente limite de controlo superior.

Na Tabela 4.1 encontram-se sumariadas as estatísticas e os limites das cartas T 2 de Hotelling

(unilateral superior) e |S| (unilateral superior), que foram decalcadas de Ramos (2013, pp. 67, 69)

e dizem respeito a p = 2 no caso da carta para Σ. De referir que o limite de controlo superior

da carta T 2 de Hotelling é do tipo E(T 2N ) + γH−µ ×

√V (T 2

N ), onde estes momentos dizem respeito

à distribuição sob controlo da estatística desta carta. O limite de controlo superior da carta |S| é

definido de forma similar. A escolha dos valores críticos γH−µ e γH−Σ, que figuram nas expressões de

UCL, será discutida mais tarde.

4. Esquemas de controlo para o vector de valores esperados e a matriz de covariâncias 37

Tabela 4.1: Estatísticas e limites de controlo das cartas individuais T 2 de Hotelling e |S| — casobivariado.

Carta Hotelling T 2 (unilateral superior)Estatística T 2

N = n(XN − µ0)>Σ0−1(XN − µ0)

LCL LCLH−µ = 0UCL UCLH−µ = 2 + 2γH−µ

Carta |S| (unilateral superior)

Estatística UN = 2(n−1)|SN |1/2

|Σ0|1/2

LCL LCLH−Σ = 0UCL UCLH−Σ = 2(n− 2) + 2γH−Σ

√n− 2

Tabela 4.2: Estatísticas e limites de controlo das cartas individuais EWMA para µ e para Σ — casobivariado .

Carta EWMA para µ (unilateral superior)

Estatística ZN ={

2, N = 0(1− λE−µ)ZN−1 + λE−µT

2N , N ∈ N

LCL LCLE−µ = 0UCL UCLE−µ = 2 + γE−µ

√4λE−µ

2−λE−µ

Carta EWMA para Σ (unilateral superior)

Estatística WN ={

2(n− 2), N = 0(1− λE−Σ)WN−1 + λE−ΣUN , N ∈ N

LCL LCLE−Σ = 0UCL UCLE−Σ = 2(n− 2) + γE−Σ

√4λE−Σ(n−2)

2−λE−Σ

Estas cartas multivariadas do tipo Shewhart têm a desvantagem de usar apenas informação da

amostra corrente, ignorando qualquer informação passada sobre o processo, o que as torna pouco

sensíveis a shifts de pequena e média magnitude em µ ou Σ . De forma a ultrapassar esta dificuldade

pode recorrer-se a cartas do tipo EWMA.

A Tabela 4.2 apresenta as estatísticas e os limites de controlo das cartas EWMA para µ (carta

unilateral superior) e para Σ (carta unilateral superior), onde λE−µ e λE−Σ ∈ (0, 1] representam

os pesos dados à informação mais recente (parâmetros de alisamento). Tal como nas cartas do tipo

EWMA para µ e para σ2, os limites de controlo apresentados correspondem aos limites assintóticos,

quando N →∞ e não é adoptado qualquer head-start (afinal Z0 e W0 são iguais ao valores esperados

das respectivas estatísticas sob controlo).

Exemplo 4.1. Considere-se a característica de qualidade bivariada (X,Y ), originalmente referida por

Aparisi et al. (2001), onde X representa a distância entre os centros de dois buracos interiores e Y

a distância entre os centros de dois buracos laterais, como ilustra a Figura 4.1 retirada de Costa e

Machado (2008, p. 1462). Estes autores adoptaram os seguintes valores alvos para µ e Σ:


Figura 4.1: Característica de qualidade bivariada (X,Y ).

µ0 =[10.0 10.5

]>e Σ0 =

0.45 0.332

0.332 0.5

.Neste exemplo foram simuladas 25 amostras bivariadas de dimensão n = 5 com o processo sob

controlo por recurso à função mvrnorm do R. A escolha dos valores críticos γH−µ, γH−Σ, γE−µ e γE−Σ

é feita de modo a que o ARL sob controlo das cartas individuais seja aproximadamente igual e o ARL

sob controlo do esquema conjunto seja aproximadamente igual a ARL∗ = 500 amostras. Os valores

destas constantes foram decalcados de Ramos (2013, p. 77, Table 3.2) e podem ser encontrados na

Tabela 4.3. Note-se que, para as cartas T 2 de Hotelling e |S|, estes valores críticos possuem fórmulas

fechadas

γH−µ =F−1χ2

2

[√1− (ARL∗)−1

]− 2

2 , (4.1)

γH−Σ =F−1χ2

2(n−2)

[√1− (ARL∗)−1

]− 2(n− 2)

2√n− 2

, (4.2)

como refere Ramos (2013, p. 74). Para as cartas do tipo EWMA é necessário proceder à pesquisa

numérica de γE−µ e γE−Σ, bastando fixar os valores de λE−µ e λE−Σ.

Tabela 4.3: Valores críticos e restantes parâmetros das cartas individuais para µ e para Σ — casobivariado.

Carta ParâmetrosHotelling γH−µ = 5.9078|S| γH−Σ = 4.7509Carta ParâmetrosEWMA para µ λE−µ = 0.5; γE−µ = 5.4664

λE−µ = 0.05; γE−µ = 3.3372EWMA para Σ λE−Σ = 0.5; γE−Σ = 4.5062

λE−Σ = 0.05; γE−Σ = 3.1274

Na Tabela 4.4 são apresentadas as médias, variâncias e covariâncias amostrais de 25 amostras

simuladas com dimensão n = 5 e os valores observados das estatísticas das cartas individuais T 2 de

Hotelling, |S| e EWMA para µ e Σ.

De forma a desenhar estas cartas foram elaboradas várias funções, adaptando algumas das fun-

ções que constam do package MSQC (Santos-Fernández, 2014), por exemplo, para as cartas T 2 de

Hotelling e |S|, foi necessário alterar as estatísticas, pois as consideradas por Santos-Fernández (2014)


Tabela 4.4: Medidas amostrais e valores observados das estatísticas T 2N , UN , ZN eWN (dados simulados

sob controlo).

N xN yN s2X s2

Y sXY |sN | t2N uN zN wN

1 9.4186 10.0537 0.6790 0.6376 0.6102 0.0605 3.7618 5.809 2.8809 5.9052 10.647 10.9524 0.2729 0.2769 0.2536 0.0113 4.6627 2.505 3.7718 4.2053 9.8767 10.8317 0.2941 0.7197 0.2312 0.1582 3.6707 9.393 3.7213 6.7994 10.257 10.5660 0.2507 0.8738 0.4042 0.0557 1.0314 5.572 2.3764 6.1855 9.6638 10.0491 0.3421 0.5280 -0.0413 0.1789 2.0622 9.988 2.2193 8.0876 10.223 10.7710 0.5503 1.4495 0.7570 0.2246 0.7750 11.19 1.4972 9.6397 10.118 10.3782 0.5796 0.5041 0.3640 0.1597 1.0057 9.436 1.2514 9.5388 10.355 10.9669 0.5061 0.4167 0.4119 0.0412 2.2242 4.793 1.7378 7.1659 10.256 10.5194 1.2394 0.3738 0.6737 0.0094 1.2862 2.286 1.5120 4.72610 9.7280 10.3103 0.7667 0.9813 0.6883 0.2785 0.8243 12.46 1.1681 8.59411 9.7049 10.4865 0.6523 1.0580 0.7128 0.1821 1.7852 10.08 1.4767 9.33512 10.084 10.5158 0.6062 1.1869 0.8067 0.0689 0.1207 6.197 0.7987 7.76613 9.5955 10.4311 0.1050 0.1982 0.0695 0.0160 2.8510 2.986 1.8248 5.37614 9.9163 10.4627 0.5984 0.3321 0.2262 0.1476 0.0895 9.071 0.9572 7.22415 10.516 10.7554 0.3160 0.2283 0.1699 0.0433 3.2626 4.912 2.1099 6.06816 9.9527 10.1863 0.5992 1.1834 0.8068 0.0582 1.5482 5.699 1.8291 5.88317 9.6196 10.8118 1.1291 1.6916 1.1858 0.5039 8.4901 16.76 5.1596 11.3218 10.082 10.1001 0.0768 0.8085 0.1984 0.0227 4.2270 3.558 4.6933 7.44019 10.325 10.6275 0.5958 0.6816 0.5516 0.1018 1.4190 7.536 3.0561 7.48820 9.4470 10.4890 0.4031 0.2966 0.3348 0.0074 6.4867 2.037 4.7714 4.76221 10.331 10.9646 1.1487 1.0192 1.0067 0.1574 2.1703 9.369 3.4709 7.06622 10.009 10.7177 0.5301 0.5875 0.5171 0.0440 0.8719 4.955 2.1714 6.01023 10.414 10.8698 0.2057 0.5741 0.3223 0.0142 1.9878 2.816 2.0796 4.41324 10.108 10.6285 0.8395 0.3153 0.4060 0.0999 0.1762 7.462 1.1279 5.93825 9.8141 9.96310 0.1449 0.1274 0.1108 0.0062 3.5173 1.858 2.3226 3.898

µ0 =[10.0 10.5

]>; Σ0 =

[0.45 0.3320.332 0.5

]; |Σ0|= 0.114776; λE−µ = λE−Σ = 0.05

[LCLH−µ, UCLH−µ] = [0, 13.8146]; [LCLH−Σ, UCLH−Σ] = [0, 22.46]

[LCLE−µ, UCLE−µ] = [0, 8.3121]; [LCLE−Σ, UCLE−Σ] = [0, 15.01]

são diferentes de T 2N e UN . Em relação às cartas do tipo EWMA, Santos-Fernández (2014) apresenta

exclusivamente uma carta para µ com estatística distinta de ZN , pelo que foi criada uma função que

desenhasse as cartas EWMA quer para µ, quer para Σ.

Recorrendo ao seguinte código do R, podem ser desenhadas as cartas T 2 de Hotelling, |S| e dos

tipos EWMA para µ e para Σ, que se encontram nas figuras 4.2 e 4.3:

>mult. chart .t2(Dados ,Xmv=µ0 ,S=Σ0 ,gamma =γH−µ)

>gen.var.S(Dados ,S=Σ0 ,gamma =γH−Σ)

>mult. chart .ewma(Dados ,Xmv=µ,s=Σ,lambda = λE−µ,gamma =γE−µ)

>gen.var.ewma(Dados ,S=Σ,lambda = λE−Σ,gamma =γE−Σ).

Em jeito de conclusão, ilustra-se a desvantagem de utilizar duas cartas Shewhart individuais para

µX e para µY em vez de uma carta T 2 de Hotelling para controlar o vector de valores esperados

(µX , µY ). Para tal, voltaram a ser simuladas 25 amostras bivariadas de dimensão n = 5 com o processo

sob controlo e foram desenhados o scatterplot das médias, a elipse de confiança a (1− 1/500)× 100% e

os limites de controlo Shewhart associados a um ARL sob controlo de 2× 500 amostras que constam

da Figura 4.4. Verifica-se que nenhum ponto se encontra fora da elipse de confiança, no entanto, um


dos pontos está para além dos limites de controlo da carta Shewhart para µX e como tal é responsável

por um falso alarme.

Figura 4.2: Cartas T 2 de Hotelling para µ e |S| para Σ (dados simulados sob controlo).

Figura 4.3: Cartas do tipo EWMA para µ e para Σ (dados simulados sob controlo).

Figura 4.4: Scatterplot das médias amostrais, elipse de confiança e limites de controlo de Shewhart(dados simulados sob controlo).


4.2 Esquemas conjuntos para µ e Σ

Como refere (Ramos, 2013, p. 66), a monitorização conjunta de µ e Σ é usualmente feita utilizando

esquemas conjuntos que se dividem em duas categorias distintas:

• esquemas conjuntos que fazem uso de uma carta de controlo para monitorizar ambos os parâme-

tros (Spiring e Cheng, 1998; Yeh e Lin, 2002); e

• esquemas conjuntos que resultam da utilização simultânea de duas cartas individuais — uma

carta para µ e outra para Σ (Zhang e Chang, 2008; Costa e Machado, 2008).

Nesta dissertação serão utilizados os esquemas conjuntos Hotelling-|S| e EWMA que fazem uso

simultâneo de uma carta para µ e de uma carta para Σ. Como seria de esperar, estes esquemas

emitem sinal se o valor observado da estatística de pelo menos uma das cartas individuais estiver

acima do respectivo limite de controlo superior.

Considere-se, doravante, que X é uma característica de qualidade com distribuição normal bivariada

e que os esquemas conjuntos têm por objectivo detectar alterações de µ0 para µ1 = µ0 + 1√nΣ

1/20 δ ou

de Σ0 para Σ1 = ΘΣ0Θ>, onde δ = [δi]i=1,2 e Θ = [Θi,j ]i,j=1,2 representam as magnitudes dos shifts

em µ e em Σ, respectivamente. Se δ = 0 e Θ = I o processo diz-se sob controlo, caso contrário diz-se

que está fora de controlo.

Exemplo 4.2. Considere-se a característica de qualidade referida no Exemplo 4.1. Assuma-se que o

processo está fora de controlo devido à ocorrência de shifts com magnitudes

δ =[0.1 0.1

]>e Θ =

√1.01 0

0√

1.01

.A Tabela 4.5 apresenta as médias, variâncias e covariâncias amostrais de 15 amostras simuladas

com dimensão n = 5 e os valores observados das estatísticas das cartas individuais T 2 de Hotelling,

|S| e EWMA para µ e para Σ.

Figura 4.5: Esquema conjunto Hotelling-|S| para µ e Σ (dados simulados fora de controlo).

42 4.2. Esquemas conjuntos para µ e Σ

Figura 4.6: Esquema conjunto do tipo EWMA para µ e Σ (dados simulados fora de controlo).

Os valores a negrito da Tabela 4.5 são responsáveis pela emissão de sinais válidos e são visíveis nas

figuras 4.5 e 4.6 por se encontrarem acima dos limites de controlo superiores das cartas |S| e EWMA

para Σ.

Tabela 4.5: Medidas amostrais e valores observados das estatísticas T 2N , UN , ZN eWN (dados simulados

fora de controlo).

N xN yN s2X s2

Y sXY |sN | t2N uN zN wN

1 9.8605 10.8314 0.4227 0.2222 0.1311 0.0767 3.9138 6.541 2.9569 6.2702 9.9015 10.1506 0.4528 0.1236 0.0982 0.0463 1.6095 5.084 2.2832 5.6773 10.238 10.3709 0.6935 0.1225 0.2539 0.0205 2.4533 3.380 2.3683 4.5294 10.052 10.5956 1.1439 0.5440 0.5954 0.2677 0.0943 12.22 1.2313 8.3735 10.106 10.6022 1.1926 0.7069 0.5879 0.4974 0.1365 16.65 0.6839 12.516 9.7513 10.1727 0.6978 1.1203 0.6821 0.3165 1.0926 13.29 0.8882 12.907 10.004 10.2639 0.7043 0.6042 0.6089 0.0547 1.1212 5.524 1.0047 9.2128 10.111 10.2837 0.6487 1.0035 0.5672 0.3292 1.8797 13.55 1.4422 11.389 10.431 10.8344 0.9420 0.6896 0.7382 0.1046 2.0690 7.637 1.7556 9.50910 10.181 10.6563 0.4156 0.2501 0.0756 0.0982 0.3741 7.400 1.0648 8.45411 9.9198 10.8631 0.2049 0.2089 0.2037 0.0013 3.5671 0.853 2.3160 4.65412 10.166 10.4509 0.6741 0.4235 0.4914 0.0439 0.8871 4.950 1.6016 4.80213 10.242 11.1335 0.2056 0.2039 0.1333 0.0242 4.7099 3.671 3.1557 4.23614 10.158 10.6743 1.5600 1.3100 0.6601 1.6079 0.3426 29.94 1.7492 17.0915 9.9187 10.2223 0.1683 0.3821 0.0995 0.0544 1.0025 5.509 1.3758 11.30

µ0 =[10.0 10.5

]>; Σ0 =

[0.45 0.3320.332 0.5

]; |Σ0|= 0.114776

µ1 =[10.039 10.541

]>; Σ1 =

[0.4545 0.33530.3353 0.5020

]; |Σ1|= 0.115733


[LCLE−µ, UCLE−µ] = [0, 8.3121]; [LCLE−Σ, UCLE−Σ] = [0, 15.01]

À semelhança do Exemplo 2.2, este ilustra os benefícios da utilização de esquemas conjuntos para

µ e Σ em alternativa ao uso exclusivo de uma carta para µ. De facto, foram as duas cartas para Σ

que emitiram sinal à 14a amostra, sendo que as cartas T 2 de Hotelling e EWMA para µ não emitiram

quaisquer sinais válidos.


4.3 Medidas usuais de desempenho

Tendo em conta os seguintes resultados, referentes às distribuições sob controlo das estatísticas T 2N e

UN e mencionados por Ramos (2013, p. 71),

T 2N = n(XN − µ0)>Σ0

−1(XN − µ0) i.i.d.∼ δ=0, Θ=I χ22, (4.3)

UN = 2(n− 1)|SN |1/2

|Σ0|1/2i.i.d.∼ Θ=I χ

22(n−2), (4.4)

é possível adiantar as distribuições dos RL das cartas individuais T 2 de Hotelling e |S| para µ e Σ,

RLH−µ(δ,Θ) = inf{N ∈ N : T 2N > UCLH−µ}, (4.5)

RLH−Σ(Θ) = inf{N ∈ N : UN > UCLH−Σ}. (4.6)

Tal como no caso univariado, o RL da carta individual para µ depende das magnitudes dos shifts em

µ e Σ (isto é, de δ e Θ), ao passo que o RL da carta individual para Σ apenas depende de Θ. Mais,

RLH−µ(δ,Θ) e RLH−Σ(Θ) têm distribuição geométrica com parâmetros

ξH−µ(δ,Θ) = 1− FT 2N

(2 + 2γH−µ)

=

1− Fχ22,ν

(2 + 2γH−µ) , Θ = I

1− F ∗ (2 + 2γH−µ) , Θ 6= I,(4.7)

ξH−Σ(Θ) = 1− Fχ22(n−2)

{1|Θ|

[2(n− 2) + 2γH−Σ

√n− 2

]}, (4.8)

onde: Fχ22,ν

representa a função de distribuição de uma distribuição qui-quadrado não central com 2

graus de liberdade e parâmetro de não centralidade ν = δ>δ; e F ∗ representa a função de distribuição

de T 2N quando µ ou Σ estão fora de controlo.

O lema que se segue condensa os resultados de Seber (2008, p. 345) e Ramos (2013, p. 72) e permite

adiantar F ∗ quando apenas Σ está fora de controlo.

Lema 4.1. Sejam Σ0 e Σ1 duas matrizes (p × p) reais e simétricas. Se Σ1 for definida positiva,

então existe uma matriz não singular M tal que MΣ1M> = I e MΣ1M> = diag(λ1, . . . , λp) ≡ D,

onde 0 < λ1 ≤ . . . ≤ λp <∞ são as soluções de |Σ0 − λΣ1|= 0.

Seja W = M(X−µ0). Então, caso o vector de valores esperados esteja sob controlo, {√nWj}

i.i.d.∼

N (0, 1) e

T 2N

st=p∑j=1

nW 2j

λj,

i.e., quando a matriz de covariâncias sofre um shift do seu valor alvo Σ0 para Σ1, a função de

distribuição de T 2N , F ∗, coincide com a de uma combinação linear de variáveis aleatórias i.i.d. com

distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade.


A distribuição de F ∗ de T 2N , quando tanto µ como Σ estão fora de controlo, pode ser reescrita como

a distribuição de uma forma quadrática envolvendo uma variável com distribuição normal multivariada,

distribuição essa adiantada por Mathai e Provost (1992, p. 95).

Lema 4.2. A função de distribuição F ∗ pode ser dada por

F ∗(x) =∞∑k=0

(−1)kckxk+1

(k + 1)! , 0 < x <∞, (4.9)

onde

ck =

exp [− 1

2 (b21+b2

2)]√4λ1λ2

, k = 0

1k

∑k−1r=0 dk−rcr, k ≥ 1,

(4.10)

dk = 12

[1− kb21(2λ1)k + 1− kb22

(2λ2)k

], k ≥ 1, (4.11)

λ1, λ2 são os valores próprios da matriz nB′Σ0−1B, B′B = Σ1/n, b = P′B−1(µ1 − µ0) e P′ é a

matriz dos vectores próprios de nB′Σ0−1B.

As funções de sobrevivência dos RL das cartas individuais para µ e Σ são, para m ∈ N:

FRLH−µ(δ,Θ)(m) = [1− ξH−µ(δ,θ)]m; (4.12)

FRLH−Σ(Θ)(m) = [1− ξH−Σ(θ)]m. (4.13)

Os ARL destas cartas individuais são dados por:

ARLH−µ(δ,Θ) = 1ξH−µ(δ,Θ) ; (4.14)

ARLH−Σ(Θ) = 1ξH−Σ(Θ) . (4.15)

O RL para o esquema conjunto Hotelling-|S| é definido por

RLH−µ,Σ(δ,Θ) = min{RLH−µ(δ,Θ), RLH−Σ(Θ)}, (4.16)

pois o esquema conjunto emite sinal caso pelo menos uma das cartas individuais que o constituem o

fizer.

Uma vez que XN e SN são independentes condicionalmente a (δ,Θ), pode concluir-se, mais uma vez

pelo teorema dos blocos disjuntos, que T 2N e UN também são independentes, assim como RLH−µ(δ,Θ)

e RLH−Σ(Θ), sendo possível definir a função de sobrevivência de RLH−µ,Σ(δ,Θ) como o produto das

funções de sobrevivência de RLH−µ(δ,Θ) e RLH−Σ(Θ):

FRLH−µ,Σ(δ,Θ)(m) =FRLH−µ(δ,Θ)(m)×FRLH−Σ(Θ)(m), m ∈ N. (4.17)


Lidamos, uma vez mais com um RL de um esquema conjunto Hotelling-|S| com distribuição geométrica,

desta feita com o seguinte parâmetro:

ξH−µ,Σ(δ,Θ) = ξH−µ(δ,Θ) + ξH−Σ(Θ)− ξH−µ(δ,Θ)× ξH−Σ(Θ). (4.18)

O ARL associado é igual a

ARLH−µ,Σ(δ,Θ) = 1ξH−µ,Σ(δ,Θ) . (4.19)

Para os esquemas EWMA temos:

RLE−µ(δ,Θ) = inf{N ∈ N : ZN > UCLE−µ}; (4.20)

RLE−Σ(Θ) = inf{N ∈ N : WN > UCLE−Σ}. (4.21)

As estatísticas das cartas do tipo EWMA para µ e para Σ são também elas independentes dado

(δ,Θ) e, tal como no caso univariado, as distribuições aproximadas de RLE−µ(δ,Θ) e RLE−Σ(Θ) são

obtidas utilizando novamente a abordagem markoviana.

No caso da carta EWMA para µ é necessário:

• dividir o intervalo [LCLE−µ, UCLE−µ] em (xµ + 1) sub-intervalos com amplitude comum

∆µ = UCLE−µ−LCLE−µ

xµ+1 , E0 = [e0, e1] e Ei = (ei, ei+1], i = 1, . . . , xµ, onde xµ é um inteiro

positivo e ei = LCLE−µ + i×∆µ, i = 0, . . . , xµ;

• associar estes (xµ+1) sub-intervalos aos estados transientes 0, 1, . . . , xµ de uma cadeia de Markov

absorvente com espaço de estados discreto {0, 1, . . . , xµ, xµ + 1};

• aproximar RLE−µ(δ,Θ) pelo tempo até à absorção no estado (xµ + 1) desta cadeia de Markov.

Ao lidar-se com a carta para Σ é preciso:

• dividir o intervalo [LCLE−Σ, UCLE−Σ] em (xΣ + 1) sub-intervalos com amplitude

∆Σ = UCLE−Σ−LCLE−ΣxΣ+1 , E0 = [e0, e1] e Ei = (ei, ei+1], i = 1, . . . , xΣ, onde xΣ é um inteiro

positivo, e ei = LCLE−Σ + i×∆Σ, i = 0, . . . , xΣ;

• associar estes (xΣ+1) sub-intervalos aos estados transientes 0, 1, . . . , xΣ de uma cadeia de Markov

absorvente com espaço de estados discreto {0, 1, . . . , xΣ, xΣ + 1};

• aproximar RLE−Σ(Θ) pelo tempo até à absorção no estado (xΣ + 1) desta cadeia de Markov.

As transições entre estados transientes destas duas cadeias de Markov são regidas por matrizes

sub-estocásticas do tipo Q = [qij ]. As somas parciais à esquerda das entradas da matriz Qµ(δ,Θ;xµ),

aµ,i,j(δ,Θ;xµ) =∑k≤j qµ,i,j(δ,Θ;xµ), são iguais a


(4.22)aµ,i,j(δ,Θ;xµ) = FT 2

N

(1

λE−µ

{2 + (j + 1)

γE−µ√

4λE−µ/(2− λE−µ)xµ + 1

− (1− λE−µ) +[

2 +γE−µ(i+ 1/2)

√4λE−µ(n− 2)/(2− λE−µ)xµ + 1

]}),

para i, j = 0, 1 . . . , xµ. As somas parciais à esquerda das entradas da matriz QΣ(Θ;xΣ),

aΣ,i,j(Θ;xΣ) =∑k≤j qΣ,i,j(Θ;xΣ), são

(4.23)aΣ,i,j(Θ;xΣ) = Fχ2

2(n−2)

(1

λE−Σ|Θ|

{2(n− 2) + (j + 1)

γE−Σ√

4λE−Σ(n− 2)/(2− λE−Σ)xΣ + 1

− (1− λE−Σ) +[

2(n− 2) +γE−Σ(i+ 1/2)

√4λE−Σ(n− 2)/(2− λE−Σ)xΣ + 1

]}),

para i, j = 0, . . . , xΣ.

Por seu lado a função de sobrevivência do RL e o ARL da carta EWMA para µ, condicionais a

(δ,Θ) (e à adopção de um head-start de 0%) são

FRLE−µ(δ,Θ)(m) ' e>µ × [Qµ(δ,Θ;xµ)]m × 1µ, m ∈ N, (4.24)

ARLE−µ(δ,Θ) ' e>µ × [I−Qµ(δ,Θ;xµ)]−1 × 1µ, (4.25)

onde eµ designa o 1o vector da base ortonormada de Rxµ+1 e 1µ é um vector coluna com (xµ +1) uns.

De forma análoga

FRLE−Σ(Θ)(m) ' e>Σ × [QΣ(θ;xΣ)]m × 1Σ, m ∈ N (4.26)

ARLE−Σ(Θ) ' e>Σ × [I−QΣ(Θ;xΣ)]−1 × 1Σ, (4.27)

onde eΣ designa o 1o vector da base ortonormada de RxΣ+1 e 1Σ é um vector coluna com (xΣ + 1)

uns.

Ao invocar-se a independência condicional a (δ,Θ) das estatísticas ZN eWN , o RL para o esquema

conjunto EWMA,

RLE−µ,Σ(δ,θ) = min{RLE−µ(δ,Θ), RLE−Σ(Θ)}, (4.28)

possui função de sobrevivência e ARL

FRLE−µ,Σ(δ,Θ)(m) = FRLE−µ(δ,Θ)(m)×FRLE−Σ(Θ)(m),m ∈ N (4.29)

ARLE−µ,Σ(δ,Θ) =+∞∑m=0

[FRLE−µ(δ,Θ)(m)×FRLE−Σ(Θ)(m)

]. (4.30)

Escusado será dizer que: a função de sobrevivência pode ser aproximada substituindo os factores de

(4.29) pelas aproximações definidas em (4.24) e (4.26); o ARL é aproximado por truncatura da série


em (4.30) considerando um erro relativo de, por exemplo, 10−6 e substituindo FRLE−µ(δ,Θ)(m) e

FRLE−Σ(Θ)(m) pelas suas aproximações markovianas.

4.4 Cenários fora de controlo

Por forma a estudar o desempenho dos esquemas conjuntos para µ e Σ, Ramos (2013, pp. 75–76)

definiu vários cenários para os shifts em µ e Σ.

Esta autora assumiu, sem perda de generalidade, que os shifts nas duas componentes do valor

esperado do processo são iguais, ou seja, δ = [δi]i=1,2 = [δ]i=1,2, e que os valores da variância quando o

processo está sob controlo são iguais a σ20 . Em relação aos shifts nas entradas da matriz de covariâncias,

foram considerados quatro cenários distintos para a matriz Θ:

Θ1 =

√θ 0

0√θ

; Θ2 =

1√θ

√θ 1

; Θ3 =

√θ −√θ

√θ√θ

; Θ4 =

σ∗√

1−ρ∗

2 σ∗√

1+ρ∗

2

−σ∗√

1−ρ∗

2 σ∗√

1+ρ∗

2

.1. No primeiro cenário, Θ = Θ1 — assume-se que ambas as variâncias sofrem um aumento de σ2

0

para σ2 = θσ20 , θ > 1, e que o coeficiente de correlação não se altera.

2. No segundo cenário, Θ = Θ2 — consideram-se aumentos em ambas as variâncias e no coeficiente

de correlação: as variâncias fora de controlo são ambas iguais a σ2 = σ20(1 + θ + 2

√θρ0), onde

θ > 1 e ρ0 representa o alvo do coeficiente de correlação; a correlação sofre um shift de ρ0 para

ρ = [(1 + θ)ρ0 + 2√θ]/(1 + θ + 2

√θρ0).

3. No terceiro cenário, Θ = Θ3 — considera-se que as variâncias sofrem um aumento e que o

coeficiente de correlação sofre um shift para 0: σ11 sofre um shift do seu valor alvo σ20 para

2σ20θ(1−ρ0) e σ22 sofre um aumento de σ2

0 para 2σ20θ(1+ρ0), onde θ > max{[2(1−ρ0)]−1, [2(1+

ρ0)]−1}.

4. No quarto cenário, Θ = Θ4 — assume-se que a matriz de covariâncias sob controlo é igual à

matriz identidade e que fora de controlo as duas variâncias sofrem uma alteração para σ∗2 (σ∗2 >

1) e que o coeficiente de correlação se altera de 0 para o valor ρ∗ (ρ∗ 6= 0).

48 4.4. Cenários fora de controlo

Capítulo 5

Sinais erróneos, não ambíguos e em

simultâneo para esquemas conjuntos

para µ e Σ

5.1 Sinais erróneos

Quando são utilizados esquemas de controlo conjuntos para µ e Σ podem, também, ocorrer sinais

erróneos, ou seja, sinais válidos que conduzem a uma interpretação errada de um shift em µ (resp. Σ)

como um shift em Σ (resp. µ). No Capítulo 3 foram descritos os sinais erróneos dos tipos III e IV

para características de qualidade univariadas. A sua extensão para o caso bivariado é imediata (Ramos

et al., 2013a) e é sumariada na Tabela 5.1.

Tabela 5.1: Tipos de sinais erróneos para dados bivariados.

Tipo de MS µ Σ 1a carta a emitir sinalIII sob controlo fora de controlo carta para µIV fora de controlo sob controlo carta para Σ

Exemplo 5.1. Retome-se a característica de qualidade bivariada descrita no Exemplo 4.1, e assuma-se

que o processo está fora de controlo, devido a aumentos nas variâncias, sendo que

δ =[0 0

]>e Θ =

√1.01 0

0√

1.01

.Os dados que se seguem ilustram uma situação em que a carta individual para µ emite sinal antes da

carta individual para Σ, i.e., há emissão de sinal erróneo do Tipo III.

A Tabela 5.2 apresenta as médias, variâncias, covariâncias e variância generalizada amostrais, bem

49

50 5.1. Sinais erróneos

como os valores observados das estatísticas de teste das cartas T 2 de Hotelling e |S|, para 15 amostras

bivariadas simuladas de dimensão n = 5.

Tabela 5.2: Medidas amostrais e valor observados das estatísticas do esquema conjunto Hotelling-|S|(com µ sob controlo e Σ fora de controlo) e emissão de sinal erróneo do Tipo III à 2a amostra.

N xN yN s2X s2

Y sXY |sN | t2N uN

1 10.1225 10.2194 0.3453 0.1396 0.1521 0.0251 2.8643 3.7392 9.6260 9.3561 0.4616 0.5021 0.4275 0.0491 16.3226 5.2303 9.9482 10.4568 0.3881 0.8753 0.5438 0.0440 0.0303 4.9554 10.4671 10.9962 0.7902 0.7944 0.6925 0.1481 2.8747 9.0875 10.2058 10.7253 0.4984 0.2476 0.2897 0.0395 0.5765 4.6916 10.4460 10.5579 0.5658 0.7023 0.5288 0.1178 3.6515 8.1047 10.6113 10.9803 0.2312 0.2183 0.0862 0.0430 4.1683 4.8998 9.9413 10.3807 0.4207 0.6015 0.4576 0.0437 0.1514 4.9349 9.7100 10.0080 0.4151 0.9478 0.5386 0.1034 2.4503 7.59310 10.1026 10.7548 0.8025 1.9686 1.1802 0.1870 0.7456 10.21011 10.4122 10.5994 0.5568 0.2321 0.2324 0.0752 2.7093 6.47512 10.0343 10.7471 0.6807 0.9690 0.7390 0.1135 0.9777 7.95713 9.7561 10.7227 0.5231 0.3205 0.2739 0.0926 3.8390 7.18714 9.7603 10.7895 0.9623 0.8847 0.8555 0.1194 4.9003 8.15915 10.0288 10.7965 0.7740 0.6821 0.6111 0.1545 1.4946 9.281

µ0 =[10.0 10.5

]>; Σ0 =

[0.45 0.3320.332 0.5

]; |Σ0|= 0.114776

Σ1 =[

0.4545 0.335320.33532 0.50500

]; |Σ1|= 0.117083


O valor a negrito na Tabela 5.2 está associado à emissão de sinal válido bem destacado a vermelho

na Figura 5.1. Trata-se de uma ocorrência de sinal erróneo do Tipo III, já que a carta para µ emite

sinal antes da carta para Σ, designadamente à 2a amostra, pese embora Σ tome valor distinto de Σ0

e µ esteja sob controlo.

Figura 5.1: Esquema conjunto Hotelling-|S| (com µ sob controlo e Σ fora de controlo) e emissão desinal erróneo do Tipo III à 2a amostra.

Considere-se agora que o processo está fora de controlo, devido à ocorrência de aumentos exclusi-

vamente em ambos os valores esperados, em particular lida-se com δ =[0.05 0.05

]>e Θ = I.

A Tabela 5.3 apresenta, entre outra informação, os valores observados das estatísticas de teste das

cartas individuais T 2 de Hotelling e |S|, para 15 amostras bivariadas simuladas com dimensão n = 5.

5. Sinais válidos para esquemas conjuntos para µ e Σ 51

Tabela 5.3: Medidas amostrais e valor observados das estatísticas do esquema conjunto Hotelling-|S|(com µ fora de controlo e Σ sob controlo) e emissão de sinal erróneo do Tipo IV à 6a amostra.

N xN yN s2X s2

Y sXY |sN | t2N uN

1 10.1106 11.0036 0.5568 1.1566 0.7492 0.0827 3.6261 6.79102 9.9316 10.3136 0.1734 0.3638 -0.0013 0.0631 0.4140 5.93003 10.3752 10.9695 0.2047 0.4918 0.1624 0.0743 2.2921 6.43604 10.1422 10.8209 1.3559 1.2165 1.1944 0.2228 1.1392 11.15005 10.0720 10.5440 0.0679 0.1603 0.0969 0.0015 0.0592 0.91096 9.9591 10.1868 1.2971 1.3173 0.8835 0.9280 1.5886 22.75007 9.6392 10.1745 0.1306 0.0441 0.0486 0.0034 1.5152 1.37608 9.9441 10.5156 0.1604 0.4510 0.0574 0.0691 0.0981 6.20609 10.3710 10.5087 0.4972 0.1197 0.2230 0.0098 2.9061 2.339010 10.6884 11.0089 0.3653 0.7893 0.4544 0.0818 5.2651 6.754011 10.1051 10.9911 0.4020 0.6467 0.4477 0.0596 3.4750 5.764012 10.1922 10.6192 0.4855 0.4940 0.1912 0.2033 0.4203 10.650013 9.6352 10.1641 0.3649 0.0126 0.0234 0.0041 1.5660 1.503014 9.8171 9.9971 0.5837 0.6766 0.4364 0.2045 3.0265 10.680015 10.2834 10.5553 0.8213 0.9933 0.8205 0.1426 1.3565 8.9160

µ0 =[10.0 10.5

]>; Σ0 =

[0.45 0.3320.332 0.5

]; |Σ0|= 0.114776

µ1 =[10.01964 10.52052

]>[LCLH−µ, UCLH−µ] = [0, 13.815]; [LCLH−Σ, UCLH−Σ] = [0, 22.457]

Na Tabela 5.3 encontra-se um único valor a negrito responsável pela emissão de sinal válido à 6a

amostra e claramente visível na Figura 5.2.

Figura 5.2: Esquema conjunto Hotelling-|S| (com µ fora de controlo e Σ sob controlo) e emissão desinal erróneo do Tipo IV à 6a amostra.

Dado que o sinal válido é proveniente exclusivamente da carta para Σ e esta matriz encontra-se

sob controlo ao passo que µ está fora de controlo, lida-se com uma ocorrência de sinal erróneo do Tipo

IV.

5.2 Probabilidade de sinal erróneo

De acordo com a definição de sinais erróneos dos tipos III e IV, as PMS podem ser escritas da se-

guinte forma, ao lidar-se com um esquema conjunto para o vector de valores esperados e a matriz de


covariâncias de uma característica de qualidade com distribuição normal bivariada:

PMSIII(Θ) = P [RLΣ(Θ) > RLµ(0,Θ)]

=+∞∑i=1

[FRLµ(0,Θ)(i)− FRLµ(0,Θ)(i− 1)]× [1− FRLΣ(Θ)(i)], Θ 6= I; (5.1)

PMSIV (δ) = P [RLµ(δ, I) > RLΣ(I)]

=+∞∑i=1

[FRLΣ(I)(i)− FRLΣ(I)(i− 1)]× [1− FRLµ(δ,I)(i)], δ 6= 0. (5.2)

É possível deduzir expressões análogas a (3.3) e (3.4) para as PMS do esquema conjunto Hotelling-

|S|, PMSIII−H(Θ) e PMSIV−H(δ), e voltar a interpretá-las como probabilidades condicionadas:

PMSIII−H(Θ) = ξH−µ(0,Θ)× [1− ξH−Σ(Θ)]ξH−µ,Σ(0,Θ) , Θ 6= I; (5.3)

PMSIV−H(δ) = [1− ξH−µ(δ, I)]× ξH−Σ(I)]ξH−µ,Σ(δ, I) , δ 6= 0. (5.4)

As PMS dos esquemas conjuntos EWMA podem ser aproximadas recorrendo de novo à abordagem

markoviana, nomeadamente utilizando as aproximações markovianas para as funções de sobrevivência

de RLµ e RLΣ em (4.24) e (4.26), truncando as séries (5.1) e (5.2) e considerando para o efeito um

erro relativo de, por exemplo, 10−6.

Exemplo 5.2. Atendendo aos cenários fora de controlo descritos no Capítulo 4, vão ser calculados os

valores das PMS dos tipos III e IV considerando o seguinte conjunto de parâmetros:

• n = 5;

• µ0 = 0;

• Σ0 =

1 0.3

0.3 1

ou Σ0 = I;

• λµ = λΣ = λ ∈ {1, 0.5, 0.05};

• xµ + 1 = xΣ + 1 = 101.

A escolha dos valores críticos γH−µ, γH−Σ, γE−µ e γE−Σ é feita de modo a que os números

esperados de amostras até emissão de sinal pelas cartas individuais sejam aproximadamente iguais e

o ARL sob controlo do esquema conjunto seja cerca de ARL∗ = 500 amostras. Na Tabela 5.4 podem

ser encontrados os valores críticos das cartas individuais para µ e para Σ, os respectivos ARL sob

controlo, bem como o ARL sob controlo do esquema conjunto.

Os valores das PMS do Tipo III encontram-se na Tabela 5.5 e foram obtidos, por exemplo, para

o cenário 1 recorrendo à função do R PMS3_bi_c1. A Tabela 5.6 sumaria os resultados das PMS do

Tipo IV obtidos por recurso à função PMS4_bi.


Tabela 5.4: Valores críticos das cartas individuais para µ e para Σ e respectivos ARL sob controlo;ARL sob controlo do esquema conjunto — caso bivariado.

λ γµ γΣ ARLµ(0, I) ARLΣ(I) ARLµ,Σ(0, I)1.00 5.9078 4.7509 1000.00 999.999 500.0000.50 5.4664 4.5062 999.412 999.412 500.0020.05 3.3372 3.1274 987.181 987.217 500.016

Antes de mais e tal como já salientou Ramos (2013, pp. 83-84), é importante notar que os sinais

erróneos do Tipo III ocorrem com bastante frequência. De facto, a maioria dos valores da PMS do Tipo

III na Tabela 5.5 excedem 50%, chegando mesmo a ultrapassar 90% em alguns casos, como reportam

Ramos (2013, pp. 83-84) e Ramos et al. (2013c).

Tabela 5.5: PMS do Tipo III para os esquemas conjuntos Hotelling-|S| (λ = 1) e EWMA (λ = 0.5, 0.05)para µ e Σ (com µ sob controlo e Σ fora de controlo) — caso bivariado.

Cenário (σ20 , ρ0) (σ2, ρ)

1 (1.00, 0.30)

λ (1.01, 0.30) (1.05, 0.30) (1.200, 0.30) (1.50, 0.30) (2.00, 0.30)1 0.493338 0.470243 0.402394 0.323562 0.2626020.5 0.491053 0.459151 0.367658 0.275227 0.2233780.05 0.478638 0.406067 0.275333 0.214696 0.188278

2 (1.00, 0.30)

λ (1.01, 0.33) (1.05, 0.43) (1.200, 0.66) (1.50, 0.87) (2.00, 0.98)1 0.502779 0.563216 0.861575 0.994459 0.9999710.5 0.502946 0.565347 0.874792 0.996639 0.9999740.05 0.503551 0.571285 0.931102 0.999869 0.999979

3 (1.00, 0.30)

λ ((1.01, 1.88), 0) ((1.05, 1.95), 0) ((1.20, 2.23), 0) ((1.50, 2.79), 0) ((2.00, 3.710), 0)1 0.522975 0.498640 0.425561 0.335134 0.2558990.5 0.459357 0.432878 0.360581 0.285526 0.2279960.05 0.349150 0.332861 0.292123 0.252388 0.222915

4 (1.00, 0)

λ (1.01,±0.50) (1.050,±0.50) (1.20,±0.50) (1.50,±0.50) (2.00,±0.50)1 0.925244 0.908117 0.832100 0.668481 0.4749170.5 0.939738 0.921881 0.832554 0.621058 0.4060730.05 0.986951 0.973323 0.820556 0.487846 0.335958λ (1.01,±0.70) (1.050,±0.70) (1.20,±0.70) (1.50,±0.70) (2.00,±0.70)1 0.995131 0.993212 0.980580 0.922898 0.7603500.5 0.997252 0.995988 0.985959 0.923080 0.7120140.5 0.999853 0.999933 0.998545 0.919548 0.622448

É de notar que:

• em relação ao primeiro cenário, os resultados sugerem que a PMS do Tipo III decresce à medida

que o shift na variância aumenta, mantendo-se constante o coeficiente de correlação; o valor da

PMS do Tipo III decresce com o valor de λ, o que sugere que sinais erróneos deste tipo ocorrem

com mais frequência no esquema conjunto Hotelling-|S| do que no esquema conjunto EWMA;

• para o cenário 2, os resultados numéricos sugerem que a PMS do Tipo III aumenta quando a

variância e o coeficiente de correlação aumentam; o valor desta PMS diminui à medida que λ

aumenta, ao contrário do que acontece com o cenário 1, sugerindo que não há vantagem em

substituir o esquema conjunto Hotelling-|S| pelo esquema conjunto EWMA;

• no cenário 3, os resultados sugerem que a PMS do Tipo III decresce à medida que o shift na

variância aumenta e o valor de λ diminui, tal como no cenário 1;

54 5.3. Sinais não ambíguos

• os resultados numéricos para o cenário 4 sugerem que a PMS do Tipo III decresce quando

a magnitude do shift na variância aumenta e cresce com o valor absoluto do coeficiente de

correlação.

As diferenças ocasionais, designadamente na 5a e 6a casas decimais, entre os resultados desta secção

e os que constam de Ramos (2013, p. 83, Table 3.5) devem-se certamente ao facto de terem sido usados

softwares diferentes no cálculo destas probabilidades.

Tabela 5.6: PMS do Tipo IV para os esquemas conjuntos Hotelling-|S| (λ = 1) e EWMA (λ = 0.5, 0.05)para µ e Σ (com µ fora de controlo e Σ sob controlo) — caso bivariado.

δ

λ 0.05 0.10 0.25 0.50 1 1.5 21 0.495208 0.482609 0.405094 0.232321 0.050466 0.011624 0.003299

0.5 0.494691 0.480744 0.394540 0.204998 0.032235 0.006111 0.0016620.05 0.490680 0.466277 0.319622 0.087947 0.005031 3.744 × 10−4 3.574 × 10−5

Em relação aos sinais erróneos do Tipo IV, constata-se que estes ocorrem com grande frequência

para shifts de pequena magnitude em µ, sendo que os valores da Tabela 5.6 sugerem que os sinais

erróneos do Tipo IV são mais prováveis de acontecer no esquema conjunto Hotelling-|S| do que nos

esquemas conjuntos EWMA. Verifica-se também que o valor da PMS decresce com o valor de δ.

Esta última monotonia na PMS do Tipo IV e outras referentes às PMS do Tipo III foram provadas

por Ramos (2013, p. 88, Theorem 3.5), recorrendo a ordenação estocástica.

5.3 Sinais não ambíguos

Como já se referiu no Capítulo 3, aquando da utilização de um esquema conjunto para a localização

e a dispersão, para além de sinais erróneos podem também ocorrer sinais não ambíguos (UNS), sinais

válidos que conduzem a uma interpretação correcta de um sinal proveniente na carta para µ (resp. Σ)

como um shift em µ (resp. Σ). Como seria de esperar, no caso bivariado vão ser utilizados os tipos de

sinais não ambíguos listados na Tabela 5.7:

Tabela 5.7: Tipos de sinais não ambíguos para dados bivariados.

Tipo de UNS µ Σ 1a carta a emitir sinalIII sob controlo fora de controlo carta para ΣIV fora de controlo sob controlo carta para µ

Exemplo 5.3. Ilustra-se agora a emissão de sinal não ambíguo do Tipo III, ao considerar-se a carac-

terística de qualidade do Exemplo 4.1 com matriz de covariâncias Σ fora de controlo, sendo que

δ =[0 0

]>e Θ =

√1.01 0

0√

1.01

.


A Tabela 5.8 apresenta diversas medidas amostrais sumárias, nomeadamente os valores observados

das estatísticas de teste das cartas individuais T 2 de Hotelling e |S|, para as 15 amostras bivariadas

simuladas com dimensão n = 5 .

Tabela 5.8: Medidas amostrais e valores observados das estatísticas do esquema conjunto Hotelling-|S|(com µ sob controlo e Σ fora de controlo) e emissão de sinal não ambíguo do Tipo III à 14a amostra.

N xN yN s2X s2

Y sXY |sN | t2N uN

1 9.8212 10.7903 0.4227 0.2222 0.1311 0.0767 3.8504 6.54102 9.8622 10.1095 0.4528 0.1236 0.0982 0.0463 1.8463 5.08403 10.1990 10.3298 0.6935 0.1225 0.2539 0.0205 2.4094 3.38004 10.0128 10.5546 1.1439 0.5440 0.5954 0.2677 0.0418 12.22005 10.0669 10.5612 1.1926 0.7069 0.5879 0.4974 0.0525 16.65006 9.7120 10.1317 0.6978 1.1203 0.6821 0.3165 1.3977 13.29007 9.9649 10.2229 0.7043 0.6042 0.6089 0.0547 1.2506 5.52408 10.0717 10.2427 0.6487 1.0035 0.5672 0.3292 1.9437 13.55009 10.3917 10.7933 0.9420 0.6896 0.7382 0.1046 1.7050 7.637010 10.1417 10.6153 0.4156 0.2501 0.0756 0.0982 0.2253 7.400011 9.8805 10.8220 0.2049 0.2089 0.2037 0.0013 3.4576 0.853012 10.1272 10.4099 0.6741 0.4235 0.4914 0.0439 0.8431 4.950013 10.2025 11.0924 0.2056 0.2039 0.1333 0.0242 4.3037 3.671014 10.1187 10.6332 1.5600 1.3100 0.6601 1.6079 0.1974 29.940015 9.8794 10.1813 0.1683 0.3821 0.0995 0.0544 1.1964 5.5090

µ0 =[10.0 10.5

]>; Σ0 =

[0.45 0.3320.332 0.5

]; |Σ0|= 0.114776

Σ1 =[

0.4545 0.335320.33532 0.50500

]; |Σ1|= 0.117083


Figura 5.3: Esquema conjunto Hotelling-|S| (com µ sob controlo e Σ fora de controlo) e emissão desinal não ambíguo do Tipo III à 14a amostra.

O único valor a negrito da Tabela 5.8 é responsável pela emissão de sinal válido, em particular um

sinal não ambíguo do Tipo III à 14a amostra, bem visível na Figura 5.3. De facto, µ está sob controlo e

Σ fora de controlo e, como seria desejável, é a carta para Σ a responsável pela emissão de sinal válido,

sugerindo inequivocamente a presença de uma alteração no parâmetro que está efectivamente fora de

controlo.

Ilustra-se de seguida a emissão de sinal não ambíguo do Tipo IV, tendo considerado para o efeito

56 5.4. Probabilidade de sinal não ambíguo

δ =[0.05 0.05

]>e Θ = I e simulado 15 amostras bivariadas com dimensão n = 5.

Na Tabela 5.9 podem encontrar-se os valores observados das estatísticas das cartas individuais T 2

de Hotelling e |S|. Verifica-se na Figura 5.4 que a 2a amostra é responsável pela emissão de sinal na

carta para µ sem que a carta para Σ o faça. Exemplifica-se assim a ocorrência de sinal não ambíguo

do Tipo IV, pois de facto a carta para µ emite sinal antes da carta para Σ, tal como seria desejável.

Tabela 5.9: Medidas amostrais e valores observados das estatísticas do esquema conjunto Hotelling-|S|(com µ fora de controlo e Σ sob controlo) e emissão de sinal não ambíguo do Tipo IV à 2a amostra.

N xN yN s2X s2

Y sXY |sN | t2N uN

1 10.1415 10.2413 0.3419 0.1382 0.1506 0.0246 2.8069 3.70202 9.6475 9.3823 0.4571 0.4971 0.4232 0.0481 15.7994 5.17903 9.9681 10.4776 0.3843 0.8666 0.5384 0.0432 0.0113 4.90604 10.4844 11.0142 0.7824 0.7865 0.6857 0.1452 3.0897 8.99705 10.2244 10.7447 0.4935 0.2451 0.2868 0.0387 0.6825 4.64506 10.4634 10.5781 0.5602 0.6954 0.5235 0.1155 3.7503 8.02407 10.6279 10.9984 0.2289 0.2161 0.0853 0.0422 4.4045 4.85008 9.9612 10.4018 0.4165 0.5955 0.4530 0.0428 0.1115 4.88509 9.7311 10.0309 0.4110 0.9384 0.5332 0.1013 2.2397 7.517010 10.1218 10.7740 0.7946 1.9491 1.1685 0.1834 0.8299 10.110011 10.4298 10.6194 0.5513 0.2298 0.2301 0.0737 2.8183 6.411012 10.0537 10.7664 0.6739 0.9594 0.7316 0.1113 1.0401 7.878013 9.7770 10.7421 0.5179 0.3174 0.2712 0.0908 3.7947 7.115014 9.7812 10.8086 0.9527 0.8759 0.8470 0.1170 4.8623 8.078015 10.0483 10.8156 0.7664 0.6753 0.6051 0.1514 1.5620 9.1890

µ0 =[10.0 10.5

]>; Σ0 =

[0.45 0.3320.332 0.5

]; |Σ0|= 0.114776

µ1 =[10.01964 10.52052

]>[LCLH−µ, UCLH−µ] = [0, 13.815]; [LCLH−Σ, UCLH−Σ] = [0, 22.457]

Figura 5.4: Esquema conjunto Hotelling-|S| (com µ fora de controlo e Σ sob controlo) e emissão desinal não ambíguo do Tipo IV à 2a amostra.

5.4 Probabilidade de sinal não ambíguo

Por forma a quantificar a frequência com que os sinais não ambíguos ocorrem, calcula-se a probabilidade


de um sinal não ambíguo (PUNS), para o caso bivariado:

PUNSIII(Θ) = P [RLΣ(Θ) < RLµ(0,Θ)]

=+∞∑i=1

[FRLΣ(Θ)(i)− FRLΣ(Θ)(i− 1)]× [1− FRLµ(0,Θ)(i)], Θ 6= I; (5.5)

PUNSIV (δ) = P [RLµ(δ, I) < RLΣ(I)]

=+∞∑i=1

[FRLµ(δ,I)(i)− FRLµ(δ,I)(i− 1)]× [1− FRLΣ(I)(i)], δ 6= 0. (5.6)

Estas reescrevem-se do seguinte modo para o esquema conjunto Hotelling-|S|:

PUNSIII−H(Θ) = ξH−Σ(Θ)× [1− ξH−µ(0,Θ)]ξH−µ,Σ(0,Θ) , Θ 6= I; (5.7)

PUNSIV−H(δ) = [1− ξH−Σ(I)]× ξH−µ(δ,0)]ξH−µ,Σ(δ, I) , δ 6= 0. (5.8)

No caso do esquema conjunto EWMA, os valores aproximados das PUNS vão ser calculados recorrendo

novamente à abordagem markoviana, que adianta aproximações para as funções de sobrevivência de

RLµ e RLΣ em (4.24) e (4.26), e considerando um erro relativo de, por exemplo, 10−6 na truncatura

das séries (5.5) e (5.6).

Exemplo 5.4. Os valores das PUNS dos tipos III e IV, para o mesmo conjunto de parâmetros

considerados no Exemplo 5.2, podem encontrar-se nas tabelas 5.10 e 5.11. Por exemplo, para o cenário

1 as PUNS do Tipo III podem ser obtidas através do recurso à função PUNS3_bi_c1. Para o tipo IV,

estas probabilidades são obtidas utilizando a função do R PUNS4_bi.

Antes de mais, é importante salientar um aspecto positivo: os sinais não ambíguos do Tipo III

ocorrem com bastante frequência em esquemas conjuntos para µ e Σ, especialmente na presença de

shifts de grande magnitude em Σ. É de saudar alguns valores da PUNS do Tipo III excedendo 50%.

Atendendo à definição de PUNS e ao facto de

PMSIII(Θ) + PUNSIII(Θ) + P [RLµ(Θ) = RLΣ(0,Θ)] = 1 (5.9)

não surpreende que:

• em relação ao primeiro cenário, os resultados sugiram que a PUNS do Tipo III aumente à

medida que o shift na variância aumenta e diminua com λ, levando a recomendar a utilização

dos esquemas conjuntos EWMA em detrimento do esquema conjunto Hotelling-|S|;

• no cenário 2, a PUNS do Tipo III decresça quando a variância e o coeficiente de correlação

aumentam; o valor desta probabilidade decresça, de um modo geral, à medida que λ aumenta,

ao contrário do que acontece no cenário 1;

58 5.5. Sinais em simultâneo

• os resultados numéricos para as PUNS do Tipo III para o cenário 3 aumentem quer à medida

que o shift na variância aumenta, quer quando λ diminui, à semelhança do cenário 1;

• no cenário 4, a PUNS do tipo III aumente com o shift na variância e decresça com o valor absoluto

do coeficiente de correlação.

Tabela 5.10: PUNS do Tipo III para esquemas conjuntos Hotelling-|S| (λ = 1) e EWMA (λ = 0.5, 0.05)para µ e Σ (com µ sob controlo e Σ fora de controlo) — caso bivariado.

Cenário (σ20 , ρ0) (σ2, ρ)

1 (1.00, 0.30)

λ (1.01, 0.30) (1.05, 0.30) (1.200, 0.30) (1.50, 0.30) (2.00, 0.30)1 0.505660 0.528685 0.595590 0.669643 0.7140720.5 0.507945 0.539754 0.629995 0.715850 0.7459250.05 0.520351 0.592611 0.719625 0.766849 0.768686

2 (1.00, 0.30)

λ (1.01, 0.33) (1.05, 0.43) (1.200, 0.66) (1.50, 0.87) (2.00, 0.98)1 0.496229 0.435912 0.138102 0.005461 1.217× 10−7

0.5 0.496222 0.433934 0.124971 0.003288 2.443× 10−8

0.05 0.496469 0.428753 0.068852 6.232× 10−4 1.744× 10−15

3 (1.00, 0.30)

λ ((1.01, 1.88), 0) ((1.05, 1.95), 0) ((1.20, 2.23), 0) ((1.50, 2.79), 0) ((2.00, 3.710), 0)1 0.468337 0.490913 0.556015 0.625196 0.6594690.5 0.529173 0.553260 0.615041 0.664402 0.6744480.05 0.628670 0.641591 0.670034 0.687078 0.683147

4 (1.00, 0)

λ (1.01,±0.50) (1.050,±0.50) (1.20,±0.50) (1.50,±0.50) (2.00,±0.50)1 0.074226 0.091298 0.166594 0.325897 0.5034330.5 0.059776 0.077581 0.166077 0.371671 0.5652540.05 0.012613 0.026307 0.177630 0.496709 0.621404λ (1.01,±0.70) (1.050,±0.70) (1.20,±0.70) (1.50,±0.70) (2.00,±0.70)1 4.651× 10−3 6.585× 10−3 1.913× 10−2 0.075340 0.2278090.5 2.540× 10−3 3.827× 10−3 1.380× 10−2 0.074991 0.2718730.05 7.374× 10−6 1.000× 10−5 1.357× 10−3 0.077690 0.348990

Em relação aos sinais não ambíguos do Tipo IV, a Tabela 5.11 deixa bem claro que estes sinais

ocorrem com grande frequência para shifts de grande magnitude em µ; leva a crer também que os

sinais não ambíguos do Tipo IV são mais prováveis de acontecer nos esquemas conjuntos EWMA do

que no esquema conjunto Hotelling-|S|, recomendado-se o uso daqueles esquemas.

Tabela 5.11: PUNS do Tipo IV para esquemas conjuntos Hotelling-|S| (λ = 1) e EWMA (λ = 0.5, 0.05)para µ e Σ (com µ fora de controlo e Σ sob controlo) — caso bivariado.

δ

λ 0.05 0.10 0.25 0.50 1 1.5 21 0.503794 0.516392 0.593907 0.766680 0.948535 0.987376 0.995701

0.5 0.504311 0.518258 0.604462 0.794004 0.966777 0.992944 0.9974890.05 0.508326 0.532728 0.679381 0.911083 0.994406 0.999462 0.999923

Atendendo ao facto de PUNSIV (δ) = P [RLµ(δ, I) < RLΣ(I)] e ao comportamento estocástico

monótono decrescente em δ de RLµ(δ, I) (Ramos, 2013, p. 87, Theorem 3.4), pode afirmar-se que a

PUNS do Tipo decresce com δ.

5.5 Sinais em simultâneo

Um utilizador de um esquema conjunto pode ainda deparar-se com uma situação na qual ambos os

parâmetros estão fora de controlo. Nesta cenário ambas as cartas deveriam emitir sinal em simul-


tâneo (SS). Trata-se de um sinal válido que corresponde à “correcta” identificação de shifts nos dois

parâmetros quando ambos se encontram fora de controlo.

Exemplo 5.5. Ilustra-se agora a emissão de sinal em simultâneo, quando quer µ, quer Σ estão fora de

controlo. Com este objectivo em mente foram simuladas 15 amostras bivariadas com dimensão n = 5

na presença de causas assinaláveis que se traduzem em shifts em µ e Σ com magnitudes

δ =[0.05 0.05

]>e Θ =

√1.01 0

0√

1.01

.

Tabela 5.12: Medidas amostrais e valores observados das estatísticas do esquema conjunto Hotelling-|S|(com µ e Σ fora de controlo) e emissão de sinal em simultâneo à 4a amostra.

N xN yN s2X s2

Y sXY |sN | t2N uN

1 9.9325 10.2103 0.3490 0.1614 -0.0673 0.0518 1.1787 5.37502 10.2648 10.6537 0.2166 0.3451 0.2547 0.0099 0.8133 2.34603 9.7454 10.5556 0.1951 0.1144 -0.0206 0.0219 1.8828 3.49404 11.1366 11.2081 1.2146 1.5410 0.8559 1.1393 14.6880 25.20005 10.1203 10.7477 0.1454 0.4869 0.1377 0.0518 0.6558 5.37506 10.0905 10.6733 0.1445 0.2122 0.0280 0.0299 0.3133 4.08207 10.0296 10.3035 0.8606 0.6561 0.6242 0.1750 0.9443 9.87908 10.1654 10.9380 0.0354 0.3613 0.0163 0.0125 2.2607 2.64209 10.2695 10.7782 0.3942 0.5462 0.4005 0.0549 0.9305 5.532010 10.2197 10.4084 0.1772 0.5624 0.2261 0.0485 1.7981 5.202011 9.8672 10.0019 0.2020 0.2708 0.1767 0.0235 3.3338 3.618012 10.0029 10.1910 0.3325 0.1813 -0.0636 0.0562 1.8980 5.600013 10.3879 10.7370 0.2063 0.2883 0.1221 0.0446 1.7191 4.986014 10.2995 10.6615 0.5941 0.8543 0.6559 0.0773 1.0657 6.564015 10.0484 10.5900 0.9279 0.8366 0.8705 0.0184 0.0839 3.2070

µ0 =[10.0 10.5

]>; Σ0 =

[0.45 0.3320.332 0.5

]; |Σ0|= 0.114776

µ1 =[10.01964 10.52052

]>; Σ1 =

[0.4545 0.335320.33532 0.50500

]; |Σ1|= 0.117083


Figura 5.5: Esquema conjunto Hotelling-|S| (com µ e Σ fora de controlo) e emissão de sinal emsimultâneo à 4a amostra.


A Tabela 5.12 sumaria medidas descritivas, assim como os valores observados das estatísticas T 2N e

UN para o conjunto de dados simulados. Nesta tabela foram assinalados a negrito os valores observados

destas estatísticas que são responsáveis por sinais em simultâneo à 4a amostra, como está bem patente

na Figura 5.5.

5.6 Probabilidade de sinal em simultâneo

Por forma a avaliar a frequência com que os sinais em simultâneo ocorrem, ao utilizar esquemas

conjuntos para µ e Σ, é suposto calcular a probabilidade de sinal em simultâneo (PSS):

PSS(δ,Θ) = P [RLΣ(Θ) = RLµ(δ,Θ)]

=+∞∑i=1

[FRLµ(δ,Θ)(i)− FRLµ(δ,Θ)(i− 1)]

×[FRLΣ(Θ)(i)− FRLΣ(Θ)(i− 1)], δ 6= 0, Θ 6= I; (5.10)

Esta probabilidade é, para um esquema conjunto Hotelling-|S|, igual a

PSSH(δ,Θ) = ξH−Σ(Θ)× ξH−µ(δ,Θ)ξH−µ,Σ(δ,Θ) , δ 6= 0, Θ 6= I, (5.11)

ao passo que para os esquemas conjuntos EWMA só é possível obter valores aproximados, sendo as

PSS calculadas utilizando aproximações markovianas para as funções de sobrevivência de RLµ e RLΣ

e truncando a série (5.10), considerando, como já é costume, um erro relativo de 10−6.

Exemplo 5.6. Nas tabelas 5.13, 5.14, 5.15 e 5.16 podem encontrar-se os valores das PSS para os

cenários 1, 2, 3 e 4, respectivamente, utilizando de novo o mesmo conjunto de parâmetros tido em

conta ao longo deste capítulo. Alguns dos valores das PSS são omissos nas tabelas, principalmente

quando λ = 0.05 e os shifts na variância são grandes, pois para estes não foi possível obter uma boa

aproximação da função de distribuição F ∗.

No cenário 1 verifica-se, de um modo geral, que as probabilidades de emissão de sinal em simul-

tâneo são muito baixas, tanto para shifts pequenos como para shifts médios e grandes no vector de

valores esperados e na matriz das covariâncias. Os valores da Tabela 5.13 sugerem que a PSS tem um

comportamento crescente com o aumento do shift na variância. No entanto, o mesmo não se pode

afirmar para δ, pois para shifts de grande magnitude no vector dos valores esperados a probabilidade

de emissão de sinal em simultâneo parece decrescer. Verifica-se ainda que, para shifts pequenos em

µ, a PSS parece decrescer com λ, no entanto, para shifts de grande magnitude em µ não é notório

qualquer comportamento monótono.

No cenário 2 verifica-se que as PSS assumem, em geral, valores bastante baixos. No que respeita

a comportamentos monótonos não parece existir nenhuma monotonia da PSS em função de δ, da


Tabela 5.13: PSS para os esquemas conjuntos Hotelling-|S| (λ = 1) e EWMA (λ = 0.5, 0.05) para µe Σ (com µ e Σ fora de controlo) — caso bivariado, cenário 1.

δ λ(σ2, ρ)

(1.01, 0.30) (1.05, 0.30) (1.200, 0.30) (1.50, 0.30) (2.00, 0.30)

0.05

1 0.000546 0.000741 0.001894 0.006664 0.0216960.5 0.000553 0.000784 0.002254 0.008752 0.0277980.05 0.000614 0.001130 0.005048 0.017937 0.038828

0.10

1 0.000560 0.000758 0.001934 0.006767 0.0219030.5 0.000569 0.000805 0.002310 0.008907 0.0280820.05 0.000643 0.001186 0.005242 0.018318 0.039280

0.25

1 0.000643 0.000871 0.002194 0.007461 0.0233260.5 0.000663 0.000940 0.002676 0.009968 0.0300490.05 0.000822 0.001540 0.006566 0.020955 0.042415

0.50

1 0.000833 0.001137 0.002905 0.009622 0.0280880.5 0.000875 0.001263 0.003715 0.013412 0.0367340.05 0.000697 0.001630 0.010030 0.029367 0.053120

1.00

1 0.001038 0.001456 0.004063 0.014758 0.0428050.5 0.001067 0.001594 0.005303 0.021752 0.0576540.05 1.06× 10−6 2.07× 10−6 0.004328 0.004132 0.082998

1.50

1 0.001082 0.001534 0.004474 0.017875 0.0571050.5 0.001065 0.001599 0.005520 0.025315 0.0755540.05 0.000332 0.000712 0.005889 0.020169 0.078733

2.00

1 0.001093 0.001552 0.004597 0.019256 0.0670810.5 0.000985 0.001475 0.005088 0.024430 0.0823380.05 0.000034 0.000085 0.001624 0.017054 0.080205

variância ou de λ.


δ λ(σ2, ρ)

(1.01, 0.33) (1.05, 0.43) (1.200, 0.66) (1.50, 0.87) (2.00, 0.98)

0.05

1 0.000505 0.000537 0.000488 0.000067 —0.5 0.000506 0.000535 0.000447 0.000043 —0.05 0.000517 0.000518 0.000230 4.82× 10−7 —

0.10

1 0.000516 0.000544 0.000489 0.000067 —0.5 0.000518 0.000542 0.000448 0.000043 —0.05 0.000539 0.000533 0.000230 2.94× 10−7 —

0.25

1 0.000586 0.000588 0.000498 0.000067 —0.5 0.000596 0.000593 0.000456 0.000043 —0.05 0.000676 0.000624 0.000233 4.27× 10−7 —

0.50

1 0.000516 0.000706 0.000519 0.000067 —0.5 0.000777 0.000723 0.000475 0.000042 —0.05 2.19× 10−6 2.24× 10−7 — — —

1.00

1 0.000940 0.000878 0.000548 0.000067 —0.5 0.000953 0.000890 0.000496 0.000042 —0.05 7.28× 10−7 0.000092 — — —

1.50

1 0.000983 0.000930 0.000559 0.000067 —0.5 0.000957 0.000910 0.000497 0.000041 —0.05 0.000301 0.000380 0.000018 — —

2.00

1 0.000993 0.000943 0.000563 0.000068 —0.5 0.000895 0.000872 0.000482 0.000040 —0.05 0.0000182 7.65× 10−6 — — —

Na Tabela 5.15 verifica-se, tal como nos cenários anteriores, que as probabilidades de emissão de

sinal em simultâneo são muito baixas. Porém, para shifts grandes, tanto no vector de valores esperados

como na matriz de covariâncias, esta probabilidade assume valores da ordem dos 15% a 20%. Verifica-

se que, apesar da PSS assumir um comportamento crescente com o aumento do shift na variância, o

mesmo não acontece para o shift em δ, comportamento este semelhante ao do cenário 1. Por fim, e

também à semelhança do cenário 1, não parece haver monotonia da PSS em função de λ.



δ λ(σ2, ρ)

((1.01, 1.88), 0) ((1.05, 1.95), 0) ((1.20, 2.23), 0) ((1.50, 2.79), 0) ((2.00, 3.710), 0)

0.05

1 0.008571 0.010274 0.017787 0.036264 0.0707850.5 0.011351 0.013657 0.023397 0.044234 0.0741070.05 0.022135 0.025362 0.036712 0.055603 0.076585

0.10

1 0.008710 0.010435 0.018036 0.036647 0.0712720.5 0.011566 0.013907 0.023765 0.044726 0.0746170.05 0.022649 0.025917 0.037363 0.056298 0.077188

0.25

1 0.009572 0.011458 0.019663 0.039237 0.0746310.5 0.012930 0.015519 0.026205 0.048067 0.0781310.05 0.025892 0.029467 0.041669 0.061016 0.081341

0.50

1 0.011638 0.014008 0.024196 0.047322 0.0858990.5 0.016282 0.019650 0.033180 0.084510 0.0899120.05 0.032540 0.037415 0.053340 0.075725 0.095144

1.00

1 0.014502 0.017826 0.032811 0.068006 0.1219650.5 0.020070 0.024880 0.045342 0.084510 0.1268190.05 — — 0.004210 0.097401 0.134747

1.50

1 0.015573 0.019374 0.037386 0.084216 0.1617330.5 0.019026 0.023975 0.046768 0.098304 0.1635290.05 0.016019 0.003961 0.012685 0.086330 0.156857

2.00

1 0.015990 0.020004 0.039579 0.094426 0.1952230.5 0.016052 0.020433 0.041826 0.098287 0.1881890.05 0.004824 0.007108 0.021633 0.071417 0.147671


δ λ(σ2, ρ)

(1.01,±0.50) (1.050,±0.50) (1.20,±0.50) (1.50,±0.50) (2.00,±0.50)

0.05

1 0.000237 0.000353 0.001186 0.005541 0.0207910.5 0.000189 0.000303 0.001261 0.007211 0.0273860.05 0.000030 0.000090 — — —

0.10

1 0.000237 0.000353 0.001188 0.005554 0.0208380.5 0.000189 0.000303 0.001263 0.007231 0.0274620.05 0.000030 0.000090 — — —

0.25

1 0.000239 0.000356 0.001201 0.005640 0.0211640.5 0.000191 0.000305 0.001279 0.007374 0.0279890.05 0.000030 0.000091 — — —

0.50

1 0.000243 0.000363 0.001241 0.005917 0.0222790.5 0.000193 0.000311 0.001324 0.007831 0.0298010.05 — — — — —

1.00

1 0.000250 0.000377 0.001325 0.006684 0.0260590.5 0.000198 0.000320 0.001414 0.009071 0.0359890.05 — — — — —

1.50

1 0.000254 0.000384 0.001377 0.007335 0.0305440.5 0.000199 0.000322 0.001449 0.009960 0.0430130.05 — — — — —

2.00

1 0.000255 0.000386 0.001402 0.007743 0.0344850.5 0.000196 0.000318 0.001434 0.010192 0.0479930.05 — — — — —

(1.01,±0.70) (1.050,±0.70) (1.20,±0.70) (1.50,±0.70) (2.00,±0.70)

0.05

1 0.000024 0.000040 0.000200 0.001719 0.01166230.5 0.000013 0.000023 0.000152 0.001898 0.0160120.05 — — — — —

0.10

1 0.000024 0.000040 0.000200 0.001720 0.0116780.5 0.000013 0.000023 0.000152 0.001899 0.0160350.05 — — — — —

0.25

1 0.000024 0.000040 0.000200 0.001727 0.0117770.5 0.000013 0.000023 0.000152 0.001907 0.0161910.05 — — — — —

0.50

1 0.000024 0.000040 0.000201 0.001750 0.0120950.5 0.000013 0.000023 0.000152 0.001928 0.0166830.05 — — — — —

1.00

1 0.000024 0.000040 0.000203 0.001797 0.0129740.5 0.000013 0.000023 0.000152 0.001957 0.0179390.05 — — — — —

1.50

1 0.000024 0.000040 0.000203 0.001826 0.0137470.5 0.000013 0.000023 0.000150 0.001940 0.0187080.05 — — — — —

2.00

1 0.000024 0.000040 0.000204 0.001841 0.0142810.5 0.000013 0.000023 0.000146 0.001878 0.0186760.05 — — — — —


Para o último cenário, a Tabela 5.16 sugere que a PSS tem um comportamento crescente com o

aumento da variância, tal como acontece nos cenários 1 e 3. Este acontecimento pode prender-se com

o facto de a carta para µ ter desempenho dependente de δ e Θ e, por este motivo, emitir sinais mais

frequentemente do que a carta para Σ, pois o desempenho desta apenas depende de Θ.

Por fim, é também importante notar que o valor da PSS parece decrescer com o valor absoluto do

coeficiente de correlação.


Capítulo 6

Modelação de problema real

Os processos modernos de produção em massa são inconcebíveis sem a utilização de procedimentos

adequados de controlo de qualidade (Fuchs e Kenett, 1998, p. v), como é o caso das cartas de controlo

de qualidade.

Neste capítulo irá ser ilustrada a utilização de esquemas de controlo de qualidade para um conjunto

de dados industriais bivariados fazendo uso do software R.

A característica de qualidade diz respeito a um par de medidas contínuas relevantes, (X,Y ), de

uma peça fabricada pela indústria automóvel. Por questões de confidencialidade não serão reveladas

nem as designações das variáveis, nem os dados. Adiante-se, no entanto, que o conjunto de dados é

composto por amostras de dimensão n = 3 recolhidas regularmente.

Primeiramente, irá ser efectuada uma análise exploratória de dados. Posteriormente, vão ser in-

dicadas o que se supõe serem as cartas de controlo de qualidade mais adequadas para o conjunto de

dados apresentado. Por fim, vão serão tecidas algumas considerações acerca da utilização de tais cartas

de controlo, como alternativa às usadas no chão de fábrica, a saber quatro cartas individuais (duas

cartas X para os valores esperados e duas cartas R para os desvios padrão).

6.1 Análise exploratória de dados

Antes de se adoptar qualquer carta de controlo de qualidade é fundamental efectuar uma pequena

análise exploratória de dados de forma a verificar-se, por exemplo, a validade das hipóteses de trabalho

requeridas na implementação dessas mesmas cartas.

Em primeiro lugar, usar-se-á o R para averiguar se as v.a. X e Y são independentes e normal-

mente distribuídas, pressupostos estes assumidos pelo fabricante. Em segundo lugar, é verificada a

normalidade bivariada do par (X,Y ).

De forma a verificar a independência dos dados foi utilizado o teste de independência de Hoeffding

(Hoeffding, 1948), através do uso da função hoeffd do package Hmisc (Harrell Jr et al., 2014), tendo-

65

66 6.1. Análise exploratória de dados

se obtido um valor p = 0.005025, este valor sugere a rejeição da hipótese de independência entres as

variáveis a quaisquer dos níveis usuais de significância (10%, 5% e 1%).

De seguida é investigada a normalidade dos dados, tendo para tal sido desenhados os QQ-plots

para cada variável, por recurso à função qqPlot do package car (Fox e Weisberg, 2011), que constam

da Figura 6.1.

Figura 6.1: QQ-plots das variáveis X e Y .

A análise desta figura sugere que as variáveis não possuem distribuições normais, conclusão esta

confirmada por vários testes de normalidade, nomeadamente os testes de Shapiro-Wilks, do K-squared

D’Agostino (package MSQC ) e de Jarque-Bera (package tseries, Trapletti e Hornik (2013)), que con-

duziram a valores p inferiores a 0.01 em qualquer dos casos.

Foram posteriormente efectuados os testes de normalidade multivariada de Mardia, de Henze-Zirkler

e de Royston do package MSQC e, tal como seria de esperar, os valores p destes testes são inferiores

também a 0.01 levando a crer que o par (X,Y ) não possui distribuição normal bivariada.

Na prática é comum lidar-se com variáveis que não possuem distribuição normal, pelo que é fre-

quente efectuar transformações dos dados (Santos-Fernández, 2012, p. 100), por forma a "normalizá-

los", utilizando para o efeito, por exemplo, a transformação de Box-Cox (Box e Cox, 1964). Foi

efectuada esta transformação, por recurso às funções bcPower e boxcoxnc do package car e AID (Dag

et al., 2014), respectivamente; de seguida as variáveis resultantes da transformação, XBC = X−5.73−1−5.73

e YBC = X−0.02−1−0.02 , foram submetidas aos testes de normalidade univariada e bivariada referidos ante-

riormente. Os valores p dos três testes de normalidade univariada foram superiores em qualquer caso

a 0.1, logo é razoável assumir que XBC e YBC possuem distribuições normais. Em relação aos testes

de normalidade bivariada, os valores p dos testes de Mardia e de Henze-Zirkler são de cerca de 0.03,

enquanto que o do teste de Royston é de 0.15. Posto isto, assumir-se-á com algumas reservas que o

vector resultante da transformação de Box-Cox (XBC , YBC) possui distribuição normal bivariada, pelo

que o vector de valores esperados (µBC) e a matriz de covariâncias (ΣBC) irão ser estimados de forma

robusta através da função covMcd do package robustbase, onde estão implementados os estimadores de

localização e de escala fast MCD (Rousseeuw e van Driessen, 1999).

6. Modelação de problema real 67

6.2 Esquemas conjuntos para a localização e dispersão

Uma vez feita a análise exploratória de dados é altura de desenhar as cartas para o vector de valores

esperados µBC e para a matriz de covariâncias ΣBC , constituindo um esquema conjunto Hotelling-|S|

com ARL sob controlo de 500 amostras.

Tabela 6.1: Medidas amostrais e valor observados das estatísticas do esquema conjunto Hotelling-|S|(dados transformados).

N xBC,N yBC,N s2XBC

s2YBC

sXBCYBC |sBC,N | t2BC,N uBC,N

1 0.1728 -1.6721 3.28× 10−7 0.0833 8.35× 10−5 2.03× 10−8 2.8463 2.10902 0.1725 -1.9147 2.07× 10−8 0.2478 −3.75× 10−5 3.74× 10−9 1.3434 0.90403 0.1721 -1.6596 5.23× 10−7 0.1360 9.14× 10−5 6.28× 10−8 0.4678 3.70604 0.1723 -1.8882 1.04× 10−7 0.1243 −1.11× 10−4 4.53× 10−10 0.1293 0.31475 0.1724 -1.7101 4.21× 10−7 0.2806 −9.91× 10−5 1.08× 10−7 0.2197 4.8660...

......

......

......

......

45 0.1716 -2.3005 9.22× 10−9 0.0073 −7.80× 10−7 6.69× 10−11 5.7260 0.120946 0.1723 -1.8058 1.69× 10−7 0.0830 −1.13× 10−4 1.29× 10−9 0.0704 0.530947 0.1730 -1.2924 4.28× 10−7 0.1958 1.73× 10−4 5.38× 10−8 7.3480 3.430048 0.1722 -2.1877 8.69× 10−9 0.1641 2.81× 10−5 6.34× 10−10 1.7322 0.372549 0.1722 -1.4419 3.47× 10−7 0.3919 −2.50× 10−4 7.37× 10−8 1.6217 4.014050 0.1726 -1.1652 2.30× 10−8 0.1415 5.35× 10−5 4.01× 10−10 4.1942 0.2960

µBC,0 =[0.1722574 −1.7826160

]>; ΣBC,0 =

[2.614149× 10−7 8.470074× 10−5

8.470074× 10−5 3.072983× 10−1

]|ΣBC,0|= 7.315814× 10−8

[LCLH−µBC , UCLH−µBC ] = [0, 13.815]; [LCLH−ΣBC , UCLH−ΣBC ] = [0, 11.501]

Figura 6.2: Esquema conjunto Hotelling-|S| para µBC e ΣBC (dados originais transformados).

A Tabela 6.1 e a Figura 6.2 levam a crer que µBC e ΣBC estão sob controlo.

Embora ciente da possibilidade de aproximar µ e Σ à custa de µBC e ΣBC por recurso ao Método

Delta (Casella e Berger, 2002, p. 245), não se afigura trivial obter as cartas individuais para µ e Σ,

pelo que se deixa esta tarefa para trabalho futuro, caso a empresa reconheça vantagens evidentes no

controlo da localização e dispersão à custa das variáveis aleatórias originais X e Y .

68 6.3. Desempenho das quatro cartas do fabricante

6.3 Desempenho das quatro cartas do fabricante

Por saber-se que o fabricante assume erroneamente a normalidade das duas características de qualidade

e a independência entre estas, questionou-se até que ponto as quatro cartas individuais utilizadas são

capazes de emitir sinais válidos (resp. falsos alarmes) na presença de shifts (resp. ausência de causas

assinaláveis).

Figura 6.3: Esquema conjunto Hotelling-|S| para µBC e ΣBC (dados simulados fora de controlo).

Figura 6.4: Cartas individuais usadas pelo fabricante (transformação inversa dos dados simulados forade controlo).

Por forma a exemplificarem-se os erros cometidos ao assumir-se incorrectamente que X e Y são

6. Modelação de problema real 69

normalmente distribuídos e independentes e ao adoptar-se quatro cartas individuais (duas cartas X

para µX e µY e duas cartas R para σX e σY ), foram simuladas 25 amostras bivariadas de dimensão

n = 3 referentes a (XBC , YBC) com o processo fora de controlo devido à ocorrência de shifts em µBC

e ΣBC com magnitudes

δ =[0.05 0.05

]>e Θ =

√1.01 0

0√

1.01

.Na Figura 6.3 representa-se o esquema conjunto µBC e ΣBC (com ARL sob controlo igual a 370.4/2) e

é visível a observação responsável pela emissão de um sinal válido pela carta para ΣBC à 18a amostra.

Ao efectuar-se a transformação inversa de Box-Cox dos dados referentes a XBC e YBC e uma vez

colocadas as médias e amplitudes amostrais nas quatro cartas adoptadas pelo fabricante1 e que constam

da Figura 6.4, verifica-se que nenhuma destas cartas emite qualquer sinal válido ao contrário do que

seria de esperar já que o processo está fora de controlo.

Assuma-se agora que o processo está sob controlo, simule-se 25 amostras bivariadas de dimensão

n = 3 para (XBC , YBC). O esquema conjunto para µBC e ΣBC é representado na Figura 6.5 e como

seria desejável não emite qualquer falso alarme. No entanto, as quatro cartas individuais usadas pelo

fabricante emitem um falso alarme à 21a amostra, como se pode constatar pela Figura 6.6.

À luz dos resultados anteriores há razões para questionar a utilidade e o desempenho das cartas

individuais utilizadas pelo fabricante, recomendando-se a adopção de um esquema Hotelling-|S| ou

EWMA para controlar conjuntamente µBC e ΣBC .

Figura 6.5: Esquema conjunto Hotelling-|S| para µBC e ΣBC (dados simulados sob controlo).

1É-se levada a crer que estas não são do tipo 3− sigma.

70 6.3. Desempenho das quatro cartas do fabricante

Figura 6.6: Cartas individuais usadas pelo fabricante (transformação inversa dos dados simulados sobde controlo).

Capítulo 7

Conclusões

O principal objectivo desta tese era avaliar o desempenho de esquemas conjuntos para a localização e

dispersão de características de qualidade univariadas e bivariadas no que concerne às PMS, PUNS e

PSS fazendo uso do R.

No Capítulo 2 foram descritas cartas individuais do tipo Shewhart e do tipo EWMA para µ e para

σ2 e foram ainda apresentados esquemas conjuntos constituídos por duas cartas individuais, uma para

µ e outra para σ2.

No Capítulo 3 foram descritos sinais válidos que podem ocorrer aquando da utilização de um

esquema conjunto para µ e σ2, a saber, sinais erróneos, não ambíguos ou em simultâneo. Os resultados

numéricos levam a crer que a probabilidade de sinais erróneos tanto do Tipo III, como do Tipo IV

é bastante elevada quando ocorrem shifts de pequena magnitude. Pode ainda inferir-se para que

shifts é preferível utilizar um esquema conjunto EWMA em detrimento do popular esquema conjunto

Shewhart. Em relação aos sinais não ambíguos recomenda-se, caso se pretenda maximizar as PUNS

dos tipos III e IV, a substituição do esquema conjunto Shewhart por um esquema conjunto EWMA.

Por fim, para os sinais em simultâneo verifica-se que para shifts de pequena magnitude em µ e σ2 é

preferível a utilização de um esquema conjunto EWMA ao recurso a um esquema conjunto Shewhart.

No Capítulo 4 foram apresentadas cartas individuais e esquemas conjuntos Shewhart e EWMA

para o vector de valores esperados µ e a matriz de covariâncias Σ de uma característica de qualidade

bivariada.

No Capítulo 5 foram descritos sinais erróneos, não ambíguos e em simultâneo passíveis de ocorrer

quando são utilizados esquemas conjuntos para µ e Σ. Neste capítulo foram também apresentados

resultados numéricos para a probabilidade de ocorrência destes tipos de sinais para um conjunto de

cenários em que µ ou Σ estão fora de controlo. Verificou-se que a PMS do Tipo III pode atingir

valores superiores a 50% em dois desses cenários deixando claro que o utilizador de um esquema

conjunto para µ e Σ deverá ser cauteloso na interpretação dos sinais válidos. De acordo com Ramos

(2013, pp. 109-110), os valores elevados das PMS do Tipo III podem dever-se ao facto das estatísticas

71

72

das cartas para µ basearem-se em formas quadráticas e, como tal, tenderem a interpretar erradamente

shifts em Σ por shifts em µ; esta autora acrescentou ainda que estes valores elevados podem também

decorrer do facto de a variância generalizada corresponder a uma representação simplista da estrutura

de variância-covariância da característica de qualidade. Quando o interesse é reduzir a PMS do Tipo

IV os resultados sugerem a substituição de esquemas conjuntos Hotelling-|S| por esquemas conjuntos

EWMA. Tendo em conta os resultados numéricos obtidos para as PMS, não surpreende que as PUNS

do Tipo III nesses mesmos dois cenários tenham tomado valores muito baixos. Nos restantes cenários,

a prevalência dos sinais não ambíguos alcançou valores superiores a 50%, tal como seria desejável.

Os sinais não ambíguos de Tipo IV são mais prevalentes nos esquemas conjuntos EWMA do que nos

esquemas conjuntos Hotelling-|S|, sugerindo a utilização daqueles esquemas conjuntos. No cálculo das

PSS para esquemas conjuntos para µ e Σ deparou-se com alguns problemas numéricos, que se espera

virem a ser ultrapassados. Estes prenderam-se com o facto de não ter sido possível obter uma boa

aproximação da distribuição da estatística de teste quando ambos os parâmetros estão fora de controlo.

Por fim, no Capítulo 6 foi efectuada uma breve análise de um conjunto de dados reais provenientes

da indústria automóvel. Constatou-se que as cartas de controlo utilizadas pelo fabricante assentam

em alguns pressupostos que na realidade não são verificados, como é o caso da normalidade ou da

independência entre as características de qualidade, pondo em causa a utilidade e o desempenho destas

cartas. Recomendou-se também o uso de cartas conjuntas que fazem uso de estimativas robustas de

µ e Σ por forma a ter em conta pequenos desvios à hipótese de normalidade; no entanto, trata-se de

um assunto cujo desenvolvimento escapa ao âmbito desta dissertação.

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Apêndice A

Código R

qcc Cartas de controlo de qualidade do tipo Shewhart

Descrição

Esta função cria um objecto da class ’qcc’, este objecto pode ser utilizado para desenhar cartas

de controlo de tipo Shewhart.

Argumentosdata data frame, matriz ou vector contendo observações da característica de

qualidade.

type código que indica qual a estatística de teste que deve ser calculada:

"xbar" média

"R" amplitude

"S" desvio padrão

"S2" variância corrigida.

sizes um valor ou vector de valores que indica o número de amostras.

center valor que indica o centro da estatística ou o alvo do processo.

std.dev valor ou método que indica o desvio padrão do processo.

limits vector com dois valores que indicam os limites de controlo.

data.name sequência de caracteres indicando o nome da variável.

newdata data frame, matriz ou vector que fornece novos dados que devem ser in-

cluídos na carta de controlo mas que não devem ser utilizados nos cálculos.

newsizes vector de valores que indica o número de amostras que devem ser incluídos

na carta de controlo mas que não utilizados nos cálculos.

77

78

nsigmas valor numérico que indica o número de sigmas a utilizar para calcu-

lar os limites de controlo. Este valor é ignorado quando o valor de

confidence.levels é fornecido.

confidence.level nível de confiança utilizado para calcular os limites de controlo, deve ser

um valor entre 0 e 1.

rules uma função de regras a aplicar à carta. Por defeito a função

shewhart.rules é utilizada.

plot valor lógico. Se for TRUE a carta de controlo Shewhart é desenhada.

Código

qcc <- function (data , type = c(" xbar", "R", "S","S2 ") , sizes , center , std.dev ,

limits , data.name , newdata , newsizes , nsigmas = 3, confidence .level , rules =

shewhart .rules , plot = TRUE , ...)

{

call <- match .call ()

if ( missing (data))

stop ("’data ’ argument is not specified ")

type <- match .arg(type)

if ( missing (data.name))

data.name <- deparse ( substitute (data))

data <- data. matrix (data)

if ( missing ( sizes ))

sizes <- apply (data , 1, function (x) sum (! is.na(x)))

else {

if ( length ( sizes ) == 1)

sizes <- rep(sizes , nrow(data))

else if ( length ( sizes ) != nrow(data))

stop (" sizes length doesn ’t match with data ")

}

stats <- paste (" stats .", type , sep = "")

if (! exists (stats , mode = " function "))

stop( paste (" function ", stats , "is not defined "))

stats <- do.call(stats , list(data , sizes ))

if (type ==" S2 "){

estatistica <-c()

i=1

while (i <= length ( stats$statistics )){

estatistica <- append ( estatistica ,max(std.dev ^2, stats$statistics [[i]]));

i=i+1}

statistics <- estatistica

}

else statistics <- stats$statistics

if (is.null( rownames (data)))

labels <- 1: nrow(data)

A. Código R 79

else labels <- rownames (data)

if ( missing ( center ))

center <- stats$center

sd <- paste (" sd.", type , sep = "")

if (! exists (sd , mode = " function "))

stop( paste (" function ", sd , "is not defined !"))

if ( missing (std.dev)) {

std.dev <- NULL

std.dev <- switch (type , xbar = {

if (any( sizes > 25)) " RMSDF " else "UWAVE -R"

}, R = "UWAVE -R", S = "UWAVE -SD", NULL)

std.dev <- do.call(sd , list(data , sizes , std.dev))

}

else {

if (is. character (std.dev))


else {

if (! is. numeric (std.dev))

stop (" if provided the argument ’std.dev ’ must be a method available or a

numerical value . See help(qcc).")

}

}

names ( statistics ) <- rownames (data) <- labels

names ( dimnames (data)) <- list (" Group ", " Samples ")

object <- list(call = call , type = type , data.name = data.name ,

data = data , statistics = statistics , sizes = sizes , center =

center , std.dev = std.dev)

if (! missing ( newdata )) {

newdata .name <- deparse ( substitute ( newdata ))

newdata <- data. matrix ( newdata )

if ( missing ( newsizes ))

newsizes <- apply (newdata , 1, function (x) sum (! is.na(x)))

else {

if ( length ( newsizes ) == 1)

newsizes <- rep(newsizes , nrow( newdata ))

else if ( length ( newsizes ) != nrow( newdata ))

stop (" newsizes length doesn ’t match with newdata ")

}




newstats <- do.call(stats , list(newdata , newsizes )) $statistics

if (is.null( rownames ( newdata ))) {

start <- length ( statistics )

newlabels <- seq( start + 1, start + length ( newstats ))

}

80

else newlabels <- rownames ( newdata )

names ( newstats ) <- newlabels

object$newstats <- newstats

object$newdata <- newdata

object$newsizes <- newsizes

object$newdata .name <- newdata .name

statistics <- c( statistics , newstats )

sizes <- c(sizes , newsizes )

}

conf <- nsigmas

if (! missing ( confidence . level ))

conf <- confidence . level

if (conf >= 1)

object$nsigmas <- conf

else if (conf > 0 & conf < 1)

object$confidence . level <- conf

if ( missing ( limits )) {

limits <- paste (" limits .", type , sep = "")

if (! exists (limits , mode = " function "))

stop( paste (" function ", limits , "is not defined "))

limits <- do.call(limits , list( center = center , std.dev = std.dev , sizes =

sizes , conf = conf))

}

else {

if (! missing (std.dev))

warning ("’ std.dev ’ is not used when limits is given ")

if (! is. numeric ( limits ))

stop ("’ limits ’ must be a vector of length 2 or a 2- columns matrix ")

limits <- matrix (limits , ncol = 2)

dimnames ( limits ) <- list(rep ("" , nrow( limits )), c(" LCL "," UCL "))

}

lcl <- limits [, 1]

ucl <- limits [, 2]

object$limits <- limits

if (is. function ( rules ))

violations <- rules ( object )

else violations <- NULL

object$violations <- violations

class ( object ) <- "qcc"

if (plot)

plot(object , ...)

return ( object )

}

A. Código R 81

ewma_ass Carta de controlo EWMA para µ com limites assintóticos

Descrição

Esta função cria um objecto da class ’ewma.qcc’, este objecto pode ser utilizado para desenhar

cartas de controlo de tipo EWMA para µ com limites assintóticos.


qualidade.




lambda parâmetro de alisamento.

nsigmas valor numérico que indica o número de sigmas a utilizar para calcular os

limites de controlo.






plot valor lógico. Se for TRUE a carta de controlo EWMA é desenhada.

Código

ewma_ass <- function (data , sizes , center , std.dev , lambda = 0.2 , nsigmas = 3,

data.name , newdata , newsizes , plot = TRUE , ...)

{









else {





82

}

type <- if (any( sizes == 1))

"xbar.one"

else "xbar"







stats <- do.call(stats , list(data , sizes ))

statistics <- stats$statistics









}, NULL)


}

else {



else {




}

}



object <- list(call = call , type = "ewma", data.name = data.name ,

data = data , statistics = statistics , sizes = sizes ,

center = center , std.dev = std.dev)






else {




A. Código R 83


}








}

else newlabels <- rownames ( newdata )








}

n <- length ( statistics )

indices <- 1: length ( statistics )

ewma <- ewmaSmooth (indices , statistics , lambda = lambda , start = center )

sigma2 <- std.dev ^2/ sizes * ( lambda /(2 - lambda ))

ucl <- center + nsigmas * sqrt( sigma2 )

lcl <- center - nsigmas * sqrt( sigma2 )

object$x <- ewma$x

y <- as. vector ( ewma$y )

names (y) <- c( names ( object$statistics ), names ( object$newstats ))

object$y <- y

object$sigma <- sqrt( sigma2 )

object$lambda <- lambda

object$nsigmas <- nsigmas

limits <- cbind (lcl , ucl)

colnames ( limits ) <- c(" LCL", "UCL ")


object$violations <- which (y < lcl | y > ucl)

class ( object ) <- "ewma.qcc"

if (plot)

plot(object , title =" xbar EWMA Chart \nfor Dados ", ...)

return ( object )

}

84

ewma_lns2_ass Carta de controlo EWMA com ln (S2) com limites assintóticos

Descrição

Esta função cria um objecto da class ’ewma.qcc’, este objecto pode ser utilizado para desenhar

cartas de controlo de tipo EWMA para σ2 que faz uso de ln (σ2) e de limites assintóticos.

Estatística de teste

VN =

v0, N = 0

max{ln(σ20), (1− λE−σ)VN−1 + λE−σ ln(S2

N ), } N ∈ N


qualidade.





nsigmas valor numérico que indica o número de sigmas a utilizar para calcular os

limites de controlo.






plot valor lógico. Se for TRUE a carta de controlo EWMA é desenhada.

Código

ewma_lns2_ass <- function (data , sizes , center , std.dev , lambda , nsigmas , data.

name , newdata , newsizes , plot = TRUE , ...)

{









else {

A. Código R 85





}

type <- if (any( sizes == 1))

stop (" sizes length must be greater than 1")

else "lnS2"







stats <- do.call(stats , list(data , center , sizes ))

statistics <- stats$statistics









}, NULL)


}

else {



else {




}

}



object <- list(call = call , type = "ewma", data.name = data.name ,

data = data , statistics = statistics , sizes = sizes ,

center = center , std.dev = std.dev)






86

else {





}








}

else {

newlabels <- rownames ( newdata )

}








}

n <- length ( statistics )

indices <- 1: length ( statistics )

ewma <- ewmaSmooth (indices , statistics , lambda = lambda , start = center )

sigma2 <- sqrt( lambda /(2 - lambda ) * trigamma (( sizes -1) /2))

lcl <- center

ucl <- center + nsigmas * sigma2

object$x <- ewma$x

y <- as. vector ( ewma$y )

names (y) <- c( names ( object$statistics ), names ( object$newstats ))

i=1

object$y <-c()

while (i <= length (y)){

object$y <- append ( object$y ,max(center ,y[[i]]));

i=i+1}

object$sigma <- sqrt( sigma2 )

object$lambda <- lambda

limits <- cbind (lcl , ucl)

colnames ( limits ) <- c(" LCL", "UCL ")


object$violations <- which ( object$y < lcl | object$y > ucl)

class ( object ) <- "ewma.qcc"

A. Código R 87

if (plot)

plot(object , title =" ln(S2) EWMA Chart \nfor Dados ", ...)

return ( object )

}

mult.chart.t2 Carta de controlo T 2 de Hotelling, caso bivariado

Descrição

Esta função desenha a carta de controlo T 2 de Hotelling para uma característica de qualidade

bivariada.


T 2N = n(XN − µ0)>Σ0

−1(XN − µ0)

Argumentosx matriz ou array da característica de qualidade.

Xmv vector de valores esperados (µ0).

S matriz de covariâncias (Σ0).

colm número de amostras (n).

gamma constante que define o nível de significância dos limites de controlo.

Código

mult. chart .t2 <- function (x, Xmv , S, colm , gamma , ...)

{

p <- ncol(x)

m <- nrow(x)

if ( class (x) == " matrix " || class (x) == "data. frame ")

(x <- array (data. matrix (x), c(m, p, 1)))

n <- dim(x)[3]

if ( missing ( gamma ))

stop ("’gamma ’ argument is not specified ")

x.jk <- matrix (0, m, p)

t2 <- matrix (0, m, 1)

x.jk <- apply (x, 1:2 , mean)

if ( missing (Xmv))

stop ("’Xmv ’ argument is not specified ")

if ( missing (S))

stop ("’S’ argument is not specified ")

if ( missing (colm))

(colm <- nrow(x))

name <- expression ( paste (bold (" Hotelling Control Chart ")))

88

for (ii in 1:m) {

t2[ii , 1] <- n * t(x.jk[ii , ] - Xmv) %*% solve (S) %*%(x.jk[ii , ] - Xmv)

}

ifelse (n == 1, stop (" individual observations not allowed ") ,

ucl <- 2+2* gamma )

if (any(t2 > ucl)) {

cat (" The following (s) point (s) fall outside of the control limits ")

t3 <- which (t2 > ucl)

print (t3)

}

t3 <- which (t2 > ucl)

par(mar = c(4, 5, 3, 5))

plot(t2 , ylim = c(0, 1.1 * max(max(t2), ucl)), font.main = 1,main = name ,

xlab = " Sample ", ylab = " Statistics ", type = "o", las = 1)

points (t3 , t2[t3], col = 2)

segments (0, ucl , m, ucl , col = 2)

mtext ( paste (" UCL =", round (ucl , 3)), side = 4, at = ucl , las = 2,cex =0.9)

outList = list(ucl = round (ucl , 4) , t2 = round (t2 ,4) , Xmv = round (Xmv , 4) ,

covariance = signif (S, 4))

return ( outList )

}

gen.var.S Carta de controlo |S|, caso bivariado

Descrição

Esta função desenha a carta de controlo |S| para uma característica de qualidade bivariada.


UN = 2(n−1)|SN |1/2

|Σ0|1/2




A. Código R 89

Código

gen.var.S <- function (x,S,gamma , ...)

{

p <- ncol(x)

m <- nrow(x)

n <- dim(x)[3]

if ( missing (S))




stat <- (2*(n -1)* covariance (x,stat) ^(1/2) )/ (det(S) ^(1/2) )

LCL <- 0

UCL <- 2*(n -2) +2* gamma *sqrt(n -2)

t3 <- which (stat > UCL)

if (any(stat > UCL)) {


print (t3)

}

par(mar = c(4, 5, 3, 5))

plot(stat , ylim = c(0, 1.1 * max(max(stat), UCL)), main = "|S| Chart ",

xlab = " Sample ", ylab = " Statistics ", type = "o")

mtext ( paste (" UCL =", round (UCL , 3)), side = 4, at = UCL , las = 2,cex =0.9)

points (t3 , stat[t3], col = 2)

segments (0, UCL , m, UCL , col = 2)

outList = list ("|S| Chart ", UCL = signif (UCL ,4) , stat = signif (stat ,4))

return ( outList )

}

mult.chart.ewma Carta de controlo EWMA para o vector de valores esperados, caso biva-riado

Descrição

Esta função desenha a carta de controlo EWMA para o vector de valores esperados de uma

característica de qualidade bivariada.


Zn =

2, N = 0

λE−µT2N + (1− λE−µ)ZN−1, N ∈ N

90


Xmv vector de valores esperados (µ0).

S matriz das covariâncias (Σ0).

colm número de amostras (n).



Código

mult. chart .ewma <- function (x, Xmv , S, colm , gamma ,lambda , ...)

{

p <- ncol(x)

m <- nrow(x)

if ( class (x) == " matrix " || class (x) == "data. frame ")

(x <- array (data. matrix (x), c(m, p, 1)))

n <- dim(x)[3]



if ( missing ( lambda ))

stop ("’ lambda ’ argument is not specified ")

x.jk <- matrix (0, m, p)

t2 <- matrix (0, m, 1)

x.jk <- apply (x, 1:2 , mean)

if ( missing (Xmv))

stop ("’Xmv ’ argument is not specified ")

if ( missing (S))


if ( missing (colm))

(colm <- nrow(x))

for (ii in 1:m) {

t2[ii , 1] <- n * t(x.jk[ii , ] - Xmv) %*% solve (S) %*%(x.jk[ii , ] - Xmv)

}

name <- expression ( paste (bold (" EWMA Chart for ") , bold(mu)));

if ( lambda > 1 || lambda <0)

stop (" lambda parameter must be between 0 and 1")

na <- length (t2)

start <- 2

S1 <- diag(rep (1, na))

for (i in 1:( na - 1)) {

for (j in i:na) {

S1[j, i] <- (1 - lambda )^(j - i)

}

}

S2 <- (1 - lambda )^seq (1, na)

A. Código R 91

statewma <- lambda * (S1 %*% t2) + S2 * start

ifelse (n == 1, stop (" individual observations not allowed ") ,

ucl <- 2+ gamma *sqrt ((4* lambda )/(2 - lambda )))

if (any( statewma > ucl)) {


t3 <- which ( statewma > ucl)

print (t3)

}

t3 <- which ( statewma > ucl)

par(mar = c(4, 5, 3, 5))

plot(statewma , ylim = c(0, 1.1 * max(max( statewma ), ucl)),

main = name ,

xlab = " Sample ", ylab = " Statistics ", type = "o", las = 1)

points (t3 , statewma [t3], col = 2)

segments (0, ucl , m, ucl , col = 2)

mtext ( paste (" UCL =", round (ucl , 3)), side = 4, at = ucl , las = 2,cex =0.9)

outList = list (" EWMA Chart for mu", ucl = round (ucl , 4) , statewma = round (

statewma ,4) , Xmv = round (Xmv , 4) , covariance = signif (S, 4))

return ( outList )

}

gen.var.ewma Carta de controlo EWMA para a matriz de covariâncias, caso bivariado.

Descrição

Esta função desenha a carta de controlo EWMA para a matriz de covariâncias de uma caracte-

rística de qualidade bivariada.


Yn =

2(n− 2) N = 0

λE−ΣUN + (1− λE−Σ)YN−1 N ∈ N





Código

gen.var.ewma <- function (x,S,gamma ,lambda , ...)

{

92

p <- ncol(x)

m <- nrow(x)

n <- dim(x)[3]

if ( missing (S))




if ( missing ( lambda ))

stop ("’ lambda ’ argument is not specified ")

stat <- (2*(n -1)* covariance (x,stat) ^(1/2) )/ (det(S) ^(1/2) )

if ( lambda > 1 || lambda <0)

stop (" lambda parameter must be between 0 and 1")

na <- length (stat)

start <- 2*(n -2)

S1 <- diag(rep (1, na))

for (i in 1:( na - 1)) {

for (j in i:na) {

S1[j, i] <- (1 - lambda )^(j - i)

}

}

S2 <- (1 - lambda )^seq (1, na)

statewma <- lambda * (S1 %*% stat) + S2 * start

LCL <- 0

UCL <- 2*(n -2)+ gamma *sqrt ((4* lambda *(n -2))/(2 - lambda ))

t3 <- which ( statewma > UCL)

if (any( statewma > UCL)) {


print (t3)

}

par(mar = c(4, 5, 3, 5))

plot(statewma , ylim = c(0, 1.1 * max(max( statewma ), UCL)),

main = expression ( paste (bold (" EWMA Chart for ") , bold( Sigma ))),

xlab = " Sample ", ylab = " Statistics ", type = "o")

mtext ( paste (" UCL =", round (UCL , 3)), side = 4, at = UCL , las = 2,cex =0.9)

points (t3 , statewma [t3], col = 2)

segments (0, UCL , m, UCL , col = 2)

outList = list (" EWMA Chart for Sigma ", UCL = signif (UCL ,4) , statewma = signif (

statewma ,4))

return ( outList )

}

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Sinais válidos em esquemas conjuntos para a localização e ...€¦ · 4 Esquemas de controlo para o vector de valores esperados e a matriz de covariâncias 35 4.1 Cartasindividuaispara