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2 2

B A B Ad(A,B) x x y y

d(A,B) b a

Sistema cartesiano ortogonal

É constituído por duas retas, x e y, perpendiculares entre si.

Em que: - A reta x é chamada eixo das abscissas; - A reta y é a chamada eixo das ordenadas; - O ponto O é chamado origem; - O número a é denominado abscissa de P; - O número real b é denominado ordenada de P; - O par ordenado (a, b) representa as coordenadas de P.

Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos A e B de coordenadas a e b, respectivamente é dado por:

Em que d(A, B) é a distância entre A e B. O número real não-negativo d(A,B) é denominado, também, comprimento do segmento AB.

Distância entre dois pontos no plano

A distância entre os pontos A AA x ,y e B BB x ,y é dada por:

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2 2

A B A BM M

x x y yM x ,y M ,

3 3

A B C A A AG G

x x x y y yG x ,y G ,

1

1

1

A A A A

B B B B

C CC C

A x ,y x y

B x ,y D x y

x yC x ,y

Ponto Médio de um segmento

O ponto médio do segmento AB, sendo A AA x ,y e B BB x ,y é dado por:

Coordenadas do baricentro de um triângulo

O baricentro de um triângulo ABC de coordenadas A AA x ,y , B BB x ,y e C CC x ,y é dado por:

Alinhamento de três pontos

Sejam os pontos da figura:

- D = 0 A, B e C são colineares, isto é, estão alinhados. - D 0 A, B e C são os vértices de um triângulo.

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Estudo da reta

(i) Equação geral

1

1 0

1A A

B B

x y

x y ax by c

x y

Em que:

A B

A B

A A B B

a y y

b x x

c x y x y

Observações:

0

0

0 0

ca y reta horizontal

b

cb y reta vertical

a

c ax by reta passa pela origem

`

O coeficiente angular ou declividade m da reta é dado por:

B A

B A

y y atg m m

x x b

(ii) Reta que passa por um ponto dado e a declividade conhecida

Seja a reta r que passa por A AA x ,y e com declividade m; então:

A Ay y m x x

(iii) Equação reduzida

A equação reduzida da reta r da figura é dada por:

y mx b

b é o chamado coeficiente linear.

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(iv) Equação segmentária

A equação segmetária da reta r que passa pelos pontos A(a, 0) e B(0, b) da figura é dada por:

1x y

a b

(v) Equação paramétrica

São equações que não relacionam diretamente entre si as coordenadas x e y. Essas equações são

dadas em função de uma terceira variável t, chamada parâmetro.

Posição relativas entre duas retas

Sejam as retas : r r r

s s s

reta r : y m x b

reta s : y m x b

1

r s

r s r s

r s r s

r

s

m m r e s são concorrentes.

m m e b b r e s são paralelas e dist int as.

m m e b b r e s são paralelas e coincidentes.

m r e s são perpendiculares.m

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Ângulos entre duas retas

Sejam as retas r1 e r2 indicadas nas figuras seguintes. O ângulo agudo entre elas é tal que:

2 1

1 21

m mtg

m m

1

1tg

m

Distância entre ponto e reta

Dados um ponto P(xP, yP) e uma reta r de equação ax + by + c = 0, a distância entre P e r é dada por:

2 2

P Pax by cd P,r

a b

Área de um triângulo

1

2S D com

1

1

1

A A

B B

C C

x y

D x y

x y