Sistema Elite de Ensino

SISTEMA ELITE DE ENSINO

PROVA DE MATEMÁTICA – COLÉGIO NAVAL – 2010

(PROVA AMARELA)

GABARITO COMENTADO ELABORADO PELO PROFESSORES:

ÁLVARO

GANDHI

HAROLDO

MADEIRA

ROBERTO

QUESTÃO 1 – RESPOSTA: e

Num quadrado ABCD de lado 6 cm, traça-se a circunferência K de centro em A e raio 4 cm.

Qual é medida, em cm, do raio da circunferência tangente exterior a K e tangente ao lado BC no

ponto C?

a) 2,4

b) 2,5

c) 2,6

d) 2,7

e) 2,8

RESOLUÇÃO:

2 22 2 26 r 6 r 4 36 12r r 36 r 8r 16

20r 56 r 2,8

QUESTÃO 2 – RESPOSTA: c

A área de um quadrado de 5 cm de lado, na unidade u definida como sendo a área de um círculo

de raio 1 cm, é:

a) exatamente 25.

b) exatamente 12,5

c) aproximadamente 8.

d) aproximadamente 6.

e) aproximadamente 5.

RESOLUÇÃO:

2 2 2 2 1u π 1 cm π cm 1cm u

π

2 2 2 1 25S 5 cm 25 cm 25 u u 8u

π π

QUESTÃO 3 – RESPOSTA e

Sabe-se que: o número natural K dividido pelo número natural A dá quociente 56 e resto zero; K

dividido pelo número natural B dá quociente 21 e resto zero; e os algarismos de A são os

mesmos de B e ambos possuem dois algarismos, porém em ordem inversa. A soma dos

algarismos de K é igual a:

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

RESOLUÇÃO:

K 56A 21B

A xy 10x y e B yx 10y x

56 10x y 21 10y x 7x 2y

Como x e y são algarismos, então x 2 e y 7 .

K 56 27 1512

A soma dos algarismos de K é 9.

QUESTÃO 4 – ANULADA

Sobre o sistema formado por 3x + 4y = 7 e 6x + 8x = 15, pode-se afirmar que é:

a) indeterminado.

b) determinado e 9x + 12y.

c) determinado e x = y = 0

d) determinado e x = – y 0.

e) impossível.

RESOLUÇÃO:

3x 4y 7 15 53x e y

6x 8x 15 14 56

Logo, o sistema é determinado, mas nenhuma das opções traz uma condição correta.

A questão deve, portanto, ser anulada.

Nota-se que houve um erro de digitação no enunciado que deveria ser 3x 4y 7

6x 8y 15

e que

representa um sistema impossível já que 3 4 7

6 8 15 . Estivesse o enunciado correto, a opção

seria letra e.

QUESTÃO 5 – RESPOSTA: d

Um funcionário usa uma empilhadeira para transportar bobinas de 70 kg ou de 45 kg, sendo uma

de cada vez. Quantas viagens com uma carga deverá fazer, no mínimo, para transportar

exatamente uma tonelada dessa carga?

a) 18

b) 17

c) 16

d) 15

e) 14

RESOLUÇÃO:

Sendo m o número de viagens com a carga de 70 kg e n o número de viagens com a carga de 45

kg, temos:

m 70 n 45 1000 14m 9n 200

Resolvendo a equação Diofantina: m 400 9t

, tn 600 14t

.

m 400 9t 0 t 44

t 43,44n 600 14t 0 t 43

t 43 m n 15m n 200 5t

t 44 m n 20

O número mínimo de viagens é 15.

QUESTÃO 6 – RESPOSTA: a

A menor raiz da equação ax2 + bx + c = 0, com abc 0, é a média geométrica entre “m” e a

maior raiz. A maior raiz é a média geométrica entre “n” e a menor raiz. Pode-se afirmar que “m

+ n” é expresso por:

a) 3

2

3abc – b

a c

b) 3

2

3abc b

a c

c) 3

2

3abc – b

c a

d) 3

2

abc b

c a

e) 3

2

abc – b

c a

RESOLUÇÃO:

Sejam 1r e 2r , com 1 2r r , temos: 2

11 2

2

rr m r m

r

22

2 1

1

rr n r n

r

3

32 2 3 31 2 1 2 1 21 2 1 2

2 1 1 2 1 2

3 3

3 2 2

b c b3

r r 3r r r rr r r r a a am n

cr r r r r r

a

b 3bc a 3abc b

ca a a c


O combustível A é composto de uma mistura de 20% de álcool e 80% de gasolina. O

combustível B é constituído exclusivamente de álcool. Um motorista quer encher completamente

o tanque do seu carro com 50% de álcool e 50% de gasolina. Para alcançar o seu objetivo

colocou x litros de A e y litros de B. A razão x/y é dada por:

a) 5/3

b) 3/5

c) 2/5

d) 5/2

e) 3/2

RESOLUÇÃO:

Numa mistura de x litros de A e y litros de B, a quantidade de álcool é 0,2x y . Se o percentual

de álcool nesse combustível é 50%, então

0,2x y 1 x 1 50,4x 2y x y y 0,6x

x y 2 y 0,6 3


Sobre o lado maior de um retângulo de base 1 e altura 2 constrói-se um retângulo de base 2 e

altura 3; sobre o maior lado desse último, constrói-se um retângulo de base 3 e altura 4; e assim

sucessivamente, até se construir o retângulo de base 99 e altura 100. Com quantos zeros termina

o produto das áreas de cada um desses retângulos?

a) 39

b) 40

c) 46

d) 78

e) 80

RESOLUÇÃO:

2100!

P 1 2 2 3 3 4 99 100100

Como 100! termina em 100 100

20 4 245 25

zeros, então

2

100!P

100 termina em

24 24 2 46 zeros.


O conjunto solução de números reais, tal que o valor da expressão

15 10

8

x 5 2x 1

3x 1é maior do

que, ou igual a zero, é:

a) 1 1

5; ;3 2

b) 1; 5;2

c) ;

d)1 1; 5;

3 2

e) 1

5;2

RESOLUÇÃO:

15 10

8

x 5 2x 10

3x 1

No quociente acima, 5 é raiz de multiplicidade ímpar, 1

2 e

1

3 são raízes de multiplicidade par, e

1

3 não é um valor válido para x, pois anula o denominador.

1

S 5;2


Em um triângulo retângulo ABC, é a bissetriz interna relativa ao cateto maior AC e AH é a altura

relativa à hipotenusa BC. S e o ponto I é a intersecção entre BD e AH, pode-se afirmar que med(BH)

med(BH) é igual a:

a) med(BC)

med(AH)

b) med(BC)

med(AD)

c) med(BC)

med(CD)

d) med(AD)

med(AI)

e) med(AD)

med(IH)

RESOLUÇÃO:

1

a SOLUÇÃO:

Teorema das bissetrizes no ABHΔ : BH BA

HI AI

ADIΔ é isósceles AI AD BH BA

HI AD

Teorema das bissetrizes no ABCΔ : AB BC

AD CD

BH BA BC

HI AD CD

2a SOLUÇÃO:

BH ABcot g

IH ADθ

Lei dos senos no BCDΔ :

sen 90BC CD BC coscot g

sen CD sen sensen 90

θ θθ

θ θ θθ

BH BCcot g

HI CDθ

QUESTÃO 11 – RESPOSTA: A

Sendo A B Ch , h , e h as medidas das alturas; A B Cm ,m e m as medidas das medianas; e A B Cb ,b e b

as medidas das bissetrizes internas de um triângulo ABC, analise as afirmativas a seguir.

I – O triângulo formado pelos segmentos A B C1/ h , 1 / h e 1 / h é semelhante ao triângulo ABC.

II – O triângulo formado pelos segmentos A B C1/ m , 1 / m e 1/ m é semelhante ao triângulo ABC.

III – O triângulo formado pelos segmentos A B C1/ b , 1 / b e 1 / b é semelhante ao triângulo ABC.

Pode-se concluir que

a) apenas I é sempre verdadeira.

b) apenas II é sempre verdadeira.

c) apenas III é sempre verdadeira.

d) I, II e III são sempre verdadeiras.

e) I, II e III são sempre falsas.

RESOLUÇÃO:

I - VERDADEIRA

CA B

A B C

c ha h b h a b cS 2S

1 1 12 2 2

h h h

II – FALSA

Observe como contra-exemplo um triângulo retângulo isósceles de lados a 2 , b 2 e c 2 2 .

As medianas são Am 5 , Bm 5 e Cm 2 . 2 2 2

2 2 2A B C

1 1 1 1 2 1 1 1

5 2m m m5 5 2

Logo, o triângulo de lados A

1

m,

B

1

m e

C

1

m não é retângulo e, consequentemente, não é

semelhante ao triângulo original.

III – FALSA

Observe como contra-exemplo um triângulo retângulo isósceles de lados a 2 , b 2 e c 2 2 .

As bissetrizes são Ab 2 4 2 2 , Bb 2 4 2 2 e Cb 2 .

2 22

2 2 2A B C

1 1 1 1 1 1 1 1

2b b b24 2 22 4 2 2 2 4 2 2

Logo, o triângulo de lados A

1

b,

B

1

b e

C

1

b não é retângulo e, consequentemente, não é

semelhante ao triângulo original.


Quantos são os números inteiros com os quais é possível, no conjunto dos reais, calcular o valor

numérico da expressão algébrica 2103x– x – 300 ?

a) 100

b) 99

c) 98

d) 97

e) 96

RESOLUÇÃO:

2 2103x–x –300 –x 103x –300 0 x 100 x 3 0 3 x 100

A quantidade de valores interiros de x é 100 3 1 98


O número natural 198 está escrito na base 10. Em quantas bases de numeração o número dado é

escrito com três algarismos?

a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

RESOLUÇÃO:

Se o número 198 é escrito com 3 algarismos na base b, então 2 3b 198 b .

2*

3

b 198 b 14b b 6,7,8, ,14

b 198 b 6

A quantidade de bases de numeração é 14 6 1 9 .


Os números

4x

2 x e

2 x

4x são inteiros e positivos, com x – 0;2 . Nessas condições, pode-se

concluir que:

a) x 0

b) 0 x 1 / 3

c) 1/ 3 x 1 / 2

d) 1/ 2 x 2 / 3

e) 2 / 3 x 1

RESOLUÇÃO:

Se um número e seu inverso são inteiros e positivos, então ambos são iguais a 1.

4x 2 1 1

1 4x 2 x x 0,4 x2–x 5 3 2

Note que x não poderia assumir os valores 0 ou 2.


Dado o número

4040

2009 –1 – 2010 , analise as afirmativas a seguir.

I. N é divisível por 2008.

II. N é divisível por 2009.

III. N é divisível por 402009 2010 .

Com base nos dados apresentados, pode-se concluir que:

a) apenas a afirmativa I é verdadeira.

b) apenas a afirmativa II é verdadeira.

c) apenas a afirmativa III é verdadeira.

d) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.

e) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.

RESOLUÇÃO:

I. FALSA

40 4040 40

N 2009 –1 – 2010 1 –1 – 2 2 mod2008

II. VERDADEIRA

40 4040 40

N 2009 –1 – 2010 0 –1 –1 0 mod2009

III. VERDADEIRA

1a SOLUÇÃO:

40 40

404040 40

2009 1 2009 mod2009 2010

N 2009 –1 – 2010 2009 – 2010 0 mod2009 2010

2a SOLUÇÃO:

Seja 40p(x)= (x 1) 2010 , então o resto da divisão de p(x) por x 2010 é igual a

40p 2010 2009 2010 .

Concluímos que, se 40x 2009 , então

40

40 40 40 40 2009 –1 – 2010 (2009 2010). 2009 2010 (2009 2010).

k n

Logo, o resto da divisão de

4040

2009 –1 – 2010 por 402009 2010 é zero.

Note que faltou no enunciado explicitar que

4040

N 2009 –1 – 2010 , sem essa informação a

questão perde o sentido, sendo passível de anulação.

QUESTÃO 16 – RESPOSTA: d

Em um trapézio isósceles ABCD, de base maior AB, está inscrito um arco de circunferência

AMB, onde M é ponto médio da base menor CD. O ângulo DBC, formado pela diagonal BD e

pelo lado BC desse trapézio, mede 50 e o ângulo DBA mede 10. Qual é a razão entre as

medidas da base AB e do comprimento do arco AMB, sabendo-se que os lados congruentes

desse trapézio são tangentes ao arco AMB nos pontos A e B?

a) 3

b) 3

c) 2 3

3

d) 3 3

2

e) 2 2

RESOLUÇÃO:

O ângulo ˆABF 10 é um ângulo inscrito, então AF 20 .

O ângulo ˆCBF 50 é um ângulo de segmento, então BF 100 .

AMB 120 AB é o lado do triângulo equilátero inscrito na circunferência

Supondo que a circunferência tenha raio R, então AB R 3 e o comprimento de AMB é 12 R

3.

Logo a razão pedida é

R 3 3 3

2 R 2

3

.

Note, entretanto, que a situação exposta é impossível, pois ao se construir a figura descrita

os ângulos DBC e DBA não possuirão medidas 50 e 10 , respectivamente.

As inconsistências podem ser vistas nas figuras abaixo:


Sobre o lado BC do quadrado ABCD constrói-se um triângulo PBC, sendo o ponto P externo ao

quadrado e o quadrilátero PCDB convexo. Se o ângulo PDC é congruente ao ângulo PBC, pode-

se afirmar que o quadrilátero PCDB é

a) sempre circunscritível em um círculo.

b) sempre circunscritível a um círculo.

c) inscritível em um círculo apenas se for um trapézio.

d) circunscritível a um círculo apenas se for um trapézio.

e) impossível de ser inscrito em um círculo.

RESOLUÇÃO:

ˆ ˆPDC PBC B e D estão num arco capaz de sobre PC #PCDB é inscritível


Analise as afirmativas a seguir.

I)

330,333... 27 3(3 ) 3

II) 1(2 3) 2 3

III) 3k10 tem 3k 1 algarismos, qualquer que seja o número natural k.

Assinale a opção correta.

a) Apenas a afirmativa II é verdadeira.

b) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.

c) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.

d) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.

e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.

RESOLUÇÃO:

I. VERDADEIRA

271 1

270,333... 27 93 3(3 ) 3 3 3 e

327

1 13 27

3 93 33 3 3 3

II. VERDADEIRA

1

22

1 2 3 2 32 3 2 3

2 3 2 3 2 3

III. VERDADEIRA

3k 0k 0 10 10 1 possui 3 0 1 1 algarismo

3k

3k zeros

k 0 10 1 00 0 3k10 possui 3k 1 algarismos para qualquer natual k.

QUESTÃO 19 – RESPOSTA: b

Os números naturais x e 18 são, nessa ordem, inversamente proporcionais aos números naturais y

e 45. Se x y , quantos são os valores possíveis para x?

a) 9

b) 10

c) 15

d) 18

e) 20

RESOLUÇÃO:

1 4x 18xy 18 45 810 2 3 5

1 1

y 45

x e y são divisores de 810

Como x y para encontrar a quantidade de valores de x basta calcular a metade da quantidade de

divisores naturais de 810, pois esses aparecem sempre aos pares, um maior e outro menor que

810 .

d 1 1 4 1 1 1 20 há 20

102

possíveis valores de x

QUESTÃO 20 – RESPOSTA: b

O triângulo de lados 0,333 cm, 0,5 cm e 0,666 cm é equivalente ao triângulo isósceles de

base 0,333 cm e lados congruentes medindo x centímetros cada um. Com base nos dados

apresentados, é correto afirmar que x é igual a

a) 3

2

b) 151

24

c) 1

3

d) 257

48

e) 15 4 6

36

RESOLUÇÃO:

1

0,3333

; 1

0,52

; 2

0,6663

1 1 2 3 32p p

3 2 3 2 4

Utilizando a Fórmula de Heron para o cálculo da área do triângulo:

23 3 1 3 1 3 2 3 5 1 1 15S cm

4 4 3 4 2 4 3 4 12 4 12 48

O triângulo da figura deve possuir área igual a 215cm

48, então

1 1 15 15

S h h2 3 48 8

Aplicando o Teorema de Pitágoras no ACH :

2 22 15 1 15 1 151 151

x x cm8 6 64 36 64 9 24

COMENTÁRIO:

A questão 4 deve ser anulada e as questões 15 e 16 são passíveis de

anulação pelos motivos expostos nas suas soluções.

A questão 13 deve ser anulada, pois envolve o assunto bases de

numeração, que não faz parte do Programa para as provas escritas,

conforme anexo III do Edital do Concurso.

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