Sistemas de Controle IIIN8SC3

Prof. Dr. Cesar da Costa

3.a Aula: Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos

Modelo Variáveis de Estado

Introdução; Variáveis de Estados de Sistemas Dinâmicos; Equação Diferencial de Estado; Função de Transferência a partir das Equações de Estados; Resposta no Domínio do Tempo e Matriz de Transição de Estados; Discretização da Resposta no domínio do Tempo; Exemplo de Projetos; Analise de Modelos de Variáveis de Estados usando MATLAB.

Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos

Tendência dos sistemas modernos aumento de sua complexidade. Principalmente devido a necessidade de uma boa precisão.

As variáveis de estado descrevem a resposta futura de um sistema, dado

o estado presente, as excitações de entrada e as equações que descrevem

a dinâmica.

Variáveis de Estado:É o menor conjunto de variáveis que determina o estado de um sistemadinâmico. Se pelo menos “n” variáveis X1(t ), X2 (t)... Xn(t) são necessárias

para descrever completamente o comportamento de um sistema dinâmico, então estas “n” variáveis são um conjunto de variáveis de estado.

Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos

Modelo de Variáveis de Estado:

É um conjunto de equações diferenciais de 1a ordem na forma matricial,representando as relações entre as entradas e saídas, e algumas

características internas do sistema.

É possível enviar para dentro do modelo mais informações a cerca da planta, pois o sistema pode ter mais de uma entrada;

Vários modelos de variáveis de estado podem ser obtidos para um mesmo sistema, depende da escolha das variáveis de estado;

As teorias de controle moderno são desenvolvidas para esta abordagem;

A simulação de sistemas geralmente necessita de modelo de variáveis de estado.

Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos

As técnicas no domínio do tempo podem ser usadas para sistemas não-lineares, variantes no tempo e multivariáveis;

Um sistemas variante no tempo é um sistema para o qual um ou mais parâmetros do sistema podem variar em função do tempo;

O domínio do tempo é o domínio matemático que incorpora a resposta e a descrição de um sistema em termos do tempo, t.

Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos

A representação de sistemas de controle no domínio do tempo constitui uma

das bases da teoria de controle moderno e da otimização de sistemas.

Um sistema de equações diferenciais descreve o comportamento do

sistema em termos da taxa de variação de cada uma das variáveis de

estado.

Equação Diferencial de Estado

O Estado de um sistema é descrito por meio de um sistema de equaçõesdiferenciais de primeira ordem em termos das variáveis de estados.

Equação Diferencial de Estado

Equação de Estado e de Saída Linearizados:

Circuito RLC

Circuito RLC

( )dvci c u t ic LdtdiLL Ri vcLdt

( )1( )2

x v tcx i tL

Variáveis de Estado

0 ( )Lv Ri t

Circuito RLC

Substituindo-se as variáveis de estado nas equações do circuito, tem-se:

12

22 1

0 2

( )dxc u t xdtdxL Rx xdtv Rx

12

22 1

0 2

( )1 1

1

dxu t xdt

dxx xdt

v

c cRL LRx

Equação Diferencial de Estado

Equação Diferencial de Estado

(0)( ) ( )x bX s U ss a s a

Transformada de Laplace da equação de estado .( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t

A Transformada de Laplace Inversa resulta na solução da equação de estado:

( )( ) (0) ( )0

t a tatx t e x e bu d

Forma Padrão de Representação do Modelo de Variáveis de estado de um Sistema

Modelo de Estado de um Sistema no MATLAB

Um sistema dinâmico que consiste num número finito de elementos

concentrados pode ser escrito por equações diferenciais ordinárias em que

o tempo é a variável independente.

Fazendo uso de notação matricial-vetorial, uma equação diferencial de

ordem n pode ser representada por uma equação matricial-vetorial de

primeira ordem.

Se n elementos do vector são um conjunto de variáveis de estado, então a

equação diferencial matricial vetorial é denominada de equação de estado.

Modelo de Estado de um Sistema no MATLAB

Deste modo, um sistema representado na forma de equações de estado

será dado por:

Modelo de Estado de um Sistema no MATLAB

Considerando o sistema representado no espaço de estado, a sua

introdução no MATLAB efetua-se pelo método comum de introdução de

matrizes na Janela de Comando:

Conversão da representação de sistemas para função de transferência no MATLAB

É possível converter a representação de sistemas em equações de

estados ou a partir dos polos, zeros e ganho, através do uso das

seguintes funções:

ss2tf - Conversão de representação em espaço de estados para

função de transferência.

zp2tf - Representação em função de transferência a partir dos

Pólos, Zeros e Ganho do sistema.

Considere o seguinte sistema dado na forma de equações de estado:

Prompt do MATLAB:

A função de transferência será:

No caso do sistema estar descrito pelos seus Pólos, Zeros e Ganho, a

conversão para a representação em função de transferência será dada por:

Prompt do MATLAB:

A função de transferência será:

Conversão da representação de sistemas para espaço de estados no MATLAB

Tal como no item anterior, é possível converter a representação de

sistemas em função de transferência ou a partir dos polos, zeros e

ganho para a representação em espaço de estados, através do uso das

seguintes funções:

tf2ss - Conversão da função de transferência para a representação

em modelo de espaço de estados. .

Zp2ss - Representação do modelo de espaço de estados a partir

dos Polos, Zeros e Ganho do sistema. .

Considere a função de transferência do seguinte sistema :

A sua representacao em espaco de estado será:

Se fossem dados os Pólos, Zeros e Ganho do sistema, a conversão

para a representação em espaço de estados seguiria a mesma

metodologia apresentada para o caso da função de transferência, tendo

em consideração que se pretende obter as matrizes A, B, C, D e não o

numerador e denominador.

Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do Sistema no MATLAB

Dado qualquer sistema representado no espaço de estados ou descrito por

uma função de transferência, é possível extrair os seus os Polos, Zeros e o

Ganho através do uso das seguintes funções:

tf2zp - Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do sistema a partir da função de transferência.

ss2zp - Obtenção dos Pólos, Zeros e Ganho do sistema a partir da sua representação em espaço de estados.

Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do Sistema no MATLAB Os Pólos, Zeros e o Ganho dos sistemas anteriores representados no

espaço de estados e em forma de função de transferência são dados por :

Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do Sistema no MATLAB

NOTA : Em todos os tipos de conversões apenas é necessário ter em

consideração que a função de transferência é dada por um numerador e

denominador, enquanto a representação em espaço de estado pelas

matrizes A, B, C, D. A representação do sistema pode ainda ser expressa

pelos seus Pólos (p), Zeros (z) e Ganho (k).