Sistemas Dinâmicos com Campo de Direções Parcialmente Conhecido

Laécio Carvalho de Barros(laeciocb@ime.unicamp.br)

IMECC - Unicamp

Um Esquema de Modelagem

Fenômeno

Regras

Lógica p/Regras função

EDO

EDIF?

MetodologiaControladores fuzzy e métodos numéricos para equações diferenciais (Runge-Kutta) foram usados para realizar as simulações.

Sn, In 1/S dS/dt

1/I dI/dt

Runge-kuttaControle fuzzy

Sn+1,In+1

Metodologia

Princípio bem aceito Ecologia

“Uma população varia a uma taxa proporcional a própria população em cada instante t.”

Modelo Clássico de Malthus

Característica do Modelo:

A variação é dada pela derivada.

Nesse caso tem-se o seguinte PVI:

0)0( xx

axdt

dx

Obs. : crescimento específico (dx/dt) constante.

Modelo Clássico de Malthus

Solução do Modelo

Lógica Fuzzy: o começo

Lofti Zadeh publica (1965) o artigo com as primeirasIdéias sobre conjuntos fuzzy.

Principal interesse era armazenar conceitos como “aproximadamente”, “em torno de” etc.

Conj. Clássico e conj. Fuzzy

Função de pertinência

Um subconjunto fuzzy F de U é definido por uma função µ : U [0, 1], chamada função de pertinênciade F . µ (x) indica o grau com que “x” é um elemento de F.

Ex.: “em torno de 100”

contrário caso

x se

x se

0

11010010

110

1009010

90

x

x

µ(x) =

Malthus com regras

Uma primeira tentativa de modelagem para tal princípio poderia nos levar às seguintes regras

-Se a população(X) é baixa(B) então a variação é baixa(B);

-Se a população(X) é média(M) então a variação é média(M);

-Se a população(X) é alta(A) então a variação é alta(A).

Conjuntos fuzzy para os antecedentes e conseqüentes das regras de Malthus

Método de Mamdani

Solução p-fuzzy

Modelo presa-predador de Lotka-Volterra

O modelo presa-predador clássico de Lotka-Volterra, que se tornou um paradigma da Biomatemática, pressupõe que:

1- Tanto as presas como os predadores estão distribuídos uniformemente num mesmo habitat, ou seja, todos os predadores têm a mesma chance de encontrar cada presa;

2- O encontro entre os indivíduos das duas espécies seja ao acaso, a uma taxa proporcional ao tamanho das duas populações;

3- A população de presas x(t) cresce exponencialmente na ausência de predadores (crescimento ilimitado por escassez de predadores);

4- A população de predadores y(t) decresce exponencialmente na ausência de presas (decrescimento por escassez de alimento);

5- A população de predadores é favorecida pela abundância de presas; 6- A população de presas é desfavorecida pelo aumento de predadores.

Modelo Clássico do tipo Presa-Predador de Lotka-Volterra

Estas seis hipóteses são resumidas nas equações abaixo, denominadas Modelo de Lotka-Volterra:

xybxdt

dy

xyaxdt

dx

Interpretação para parâmetros

a: taxa de crescimento da população de presas na ausência de predadores;

(α/β): a eficiência de predação, isto é, a eficiência de conversão de uma unidade de massa de presas em uma unidade de massa de predadores, já que α representa a proporção de sucesso dos ataques dos predadores e β a taxa de conversão de biomassa das presas em predadores;

b : taxa de mortalidade de predadores na ausência de presas; Obs.:Os pontos críticos do sistema são: (0,0), um ponto de sela

instável, e ((b/β),(a/α)) que é um centro estável.

Plano de fase do modelo clássico de Lotka-Volterra

Ciclos Ecológicos

Re-interpretando as seis hipóteses comentadas acima:

A hipótese

"1" significa apenas que, dentro de cada espécie, o ambiente não privilegia nenhum indivíduo. Portanto é natural que as variáveis de estado sejam apenas quantidades;

"2" significa apenas que há interação entre as espécies; "3" indica que não há auto-inibição nas presas, isto é, para um dado número de

predadores, o crescimento específico das presas é constante, podendo ser positivo ou negativo;

"4" como em "3", espera-se que, para um dado número de presas, o crescimento específico dos predadores seja constante, podendo ser positivo ou negativo;

"5" apenas indica que o crescimento específico dos predadores aumenta com o número de presas;

"6" significa que o crescimento específico das presas diminui com o aumento dos predadores.

Resumidamente, as hipótese de 3 a 6 indicam que, dada uma certa quantidade de uma espécie, a outra tem crescimento (decrescimento) malthusiano.

Arquitetura para modelo p-fuzzy de Lotka-Volterra

Representação gráfica da regras

Base de Regras para Lotka-Volterra

Se X é A1 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 Se X é A2 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 Se X é A3 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 Se X é A4 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2 Se X é A1 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 Se X é A2 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 Se X é A3 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 Se X é A4 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2 Se X é A1 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 Se X é A2 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 Se X é A3 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 Se X é A4 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2 Se X é A1 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 Se X é A2 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 Se X é A3 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 Se X é A4 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2

Soluções para o p-fuzzy Lotka-Volterra

Em cada instante t, o número de presas e de predadores é dado pelas fórmulas

dssdt

dytyty

dssdt

dxtxtx

t

t

t

t

)()()(

)()()(

0

0

0

0

Estimativas

Assim, os valores de x(t) e y(t) são estimados pelas fórmulas

onde e são as saídas do controlador correspondentes às entradas e .)( 1itx )( 1ity

)( 1'

itx )( 1'

ity

)()()(

)()()(

1'

1

1'

1

iii

iii

thytyty

thxtxtx

Contingentes populacionais e plano de fase para o p-fuzzy Lotka-Volterra