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8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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“Estruturas sob Efeitos
Dinâmicos”
Junho 2016
Eng . Sérg io E. Sto lo vas
1
Sistemas Estruturais em Concreto - CWB
1Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Descrição fenomenológica dos principais Efeitos Dinâmicos
que interessam à Engenharia de Estruturas
Fonte (agente) de perturbação Transmissor (es)
da Vibração=Estrutura Receptor
Fontelocal
Equipamento (mecânico) Estrutura: – elementos estruturais
e/ou
– elementos não estruturais
- Estruturae/ou
-Conteúdo do
edifício(elementos não
estruturais,moveis,
equipamento,etc.)
-PESSOAS
Atividade de sereshumanos
Fonte externa Veículos transitando naRua
-Estrutura externae/ou
-SOLOe/ou
– elementos estruturaise/ou
– elementos não estruturais
Ferrovias
Metrô
Equipamento para obrascivis
Sísmicos –Explosões SOLO – Água – SOLO, etc
Vento – Booms Sônicos -
Blast
AR
2Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Descrição fenomenológica dos principais efeitos dinâmicos
que interessam à Engenharia de Estruturas
Fonte (agente) de perturbação Transmissor (es)da Vibração=Estrutura
Receptor
Fontelocal
Equipamento (mecânico) Estrutura: – elementos estruturais
e/ou
– elementos não estruturais
- Estruturae/ou
-Conteúdo do
edifício(elementos nãoestruturais,
moveis,equipamento,
etc.)-PESSOAS
Atividade de sereshumanos
Fonte externa Veículos transitando naRua
-Estrutura externae/ou
-SOLOe/ou
– elementos estruturaise/ou
– elementos não estruturais
Ferrovias
Metrô
Equipamento para obrascivis
Sísmicos –Explosões SOLO – Água – SOLO, etc
Vento – Booms Sônicos -
Blast
AR
3Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Descrição fenomenológica dos principais efeitos dinâmicos
que interessam à Engenharia de Estruturas
Fonte (agente) de perturbação Transmissor (es)da Vibração=Estrutura
Receptor
Fontelocal
Equipamento (mecânico) Estrutura: – elementos estruturais
e/ou – elementos não estruturais
- Estruturae/ou
-Conteúdo do
edifício(elementos nãoestruturais,
moveis,equipamento,
etc.)-PESSOAS
Atividade de sereshumanos
Fonte externa Veículos transitando naRua
-Estrutura externae/ou
-SOLOe/ou
– elementos estruturaise/ou
– elementos não estruturais
Ferrovias
Metrô
Equipamento para obrascivis
Sísmicos –Explosões SOLO – Água – SOLO, etc
Vento – Booms Sônicos -
Blast
AR
Ação Estrutura Resposta
Assumidosgeralmente
comoProcessos determinísticos
Nãodeterminísticos
“Processos
Aleatórios”
O INPUT:
Históriada
Excitação
F=F(t)
O RESULTADO:
Histórias de DeslocamentosVelocidadesAcelerações MomentosCortantes,
...
(de acordo aoque tenha que
ser avaliado oudimensionado)
4Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Descrição dos elementos com os quais mexe a Dinâmica
de Estruturas
Ação Estrutura RespostaIdealizaçãomediantemodelos
matemáticospreferentemente
Discretos e comComportamento
Linear
Fonte(agente)
de perturbação Transmissor (es)
da Vibração Receptor
da Vibração
ou
Oresultado
daanálise
O que afetará ao receptor (o receptor pode ser ou não um
elemento da Estrutura)
* Forças variáveisatuando sobre aestrutura, como
resultado da ação dasfontes
Em geral “Historia
de Forças” com
definição:Determinista ou
Aleatória5Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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AçãoDinâmica
Estrutura Resposta
E, I , massas e amortecimento
da Viga
Jack Dinâmico
E, Ida Viga
João Estático
Históriada ação
Histórias de Deslocamentos
Velocidades
Acelerações MomentosCortantes
Ação
Estática
Estrutura Resposta
Peso: P
João Dinâmico
Deslocamentos
Momentos
Cortantes
6Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Diferencia entre Análise Estático e Dinâmico
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http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 7/1887Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Por exemplo:
O vento exerce forçasessencialmente horizontais sobre
os edifícios.
Essas Histórias de Forças são muitocomplexas.
Para edifícios altos os efeitos dovento na estrutura serão função nãosomente da História de Forças, mas
também dos atributos dinâmicos(inerciais e modais) da estrutura.
Diferencia entre Análise Estático e Dinâmico
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http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 8/1888Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Revisão de conceitos básicos deestruturas submetidas a forças estáticas:
Energia, Deformação, Rigidez.
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http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 9/1889Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
F
d
Trabalho realizado pelas forças aplicadas a uma estruturaelástica
Considerando um processo quase estático no quala força é incrementada de 0 até F, o trabalho
realizado pela força aplicada é:
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http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 10/18810Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
F
d
Energia Elástica armazenada
M
Assumindo:- Processos quase estáticos
- Hipóteses de Euler-Bernoulli (seçõesplanas permanecem planas).
E desconsiderando a deformada por
cortante, a Energia Elástica dU armazenada em uma fatia de viga (onde
o Momento é M) será:
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http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 11/18811Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
F
d
Energia Elástica armazenada
U
=
=
[ ]
=
=
[
(}
]
=
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http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 12/18812Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
F
d
Energia Elástica armazenada Trabalho realizado pelas for
Teorema de Clapeyron “O trabalhodas forças externas sobre uma estrutura
lineal é igual à Energia Elásticaarmazenada” :
=
U
=
=
=
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F
d
= =
Teorema II de Castigliano “ A derivadaparcial da Energia Elástica armazenada
respeito de uma força é igual aodeslocamento onde a força é aplicada na
direção da força”
U
=
=
Energia Elástica armazenada
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http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 14/18814Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Energia Elástica Armazenada
Para qualquer trecho de viga (pilar) de comprimento ∆ no qual o momento mudalinearmente entre e :
A Energia Elástica armazenada será:
Em particular:
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http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 15/18815Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Rigidez (k) e Flexibilidade (a) de estruturas de 1 grau deliberdade
F
d
= =
= ℎ3
= =
Rigidez é a força queprovoca um
deslocamento unitário
Flexibilidade é odeslocamento
provocado por uma
força unitária
=
1 1
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http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 16/18816Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Rigidez (k) e Flexibilidade (a) de estruturas de 1 grau deliberdade
F
d
=
ℎ2
ℎ
2
= ℎ6 = (ℎ2 )ℎ
6 = ℎ24
Castigliano:
= = ℎ12
= = 1
= =
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Estruturas de 1 grau de liberdade são
aquelas nas quais é necessário 1 número real
(1 coordenada) para determinar
completamente a configuração de deformação
e todos os parâmetros relevante.
Graus de liberdade é um termo genérico utilizado em referência àquantidade mínima de números reais necessários para determinar
completamente a configuração de uma estrutura
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Estática de Estruturas de 1 grau de liberdade
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http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 19/18819Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
F
d
Considerando um processo quase estático no quala força é incrementada de 0 até F, o trabalho
realizado pela força aplicada é:
Até agora falamos de estruturas submetidas a cargas estáticas-MEMO:
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d
AçãoEstática
Resposta
Consideramos um processoquase estático no qual a
força é incrementada de 0 atéF
F;;
;
Estrutura
EI
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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ExcitaçãoEstática
Estrutura Resposta
ESTRUTURASDE UM GRAU DE
LIBERDADESUBMETIDAS ACARGA
ESTÁTICACUMPREM
F = k u
F u=F/k
21Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Rigidez das Estruturas lineares de um grau de liberdade
=
k= Rigidez
Em
estática amassa éirrelevante
22Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Começaremos por estudar a Dinâmica de:
Estruturasde 1 grau de liberdade
Começaremos por estudar a Dinâmica de
Estruturas de 1 grau de liberdade
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Uma estrutura quefoi tirada da
posição de
equilíbrio semovimenta mesmo
se não estiver
submetida a
excitação ...
24Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Sir Isaac Newton Jean Le Rond d’Alembert
1643-1727 1717-1783
Segunda Lei de Newton
25Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
C it t ó i (1)
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Conceitos teóricos (1)
26Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
C it t ó i (2)
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Conceitos teóricos (2)
-
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C it t ó i (3)
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Conceitos teóricos (3)
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C it t ó i (3 )
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Conceitos teóricos (3a)
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Princípio de D’Alambert :
32Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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A solução geral será soma da solução da equaçãodiferencial homogênea e de uma solução particular:
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Espaço Real Espaço Complexo
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Excitação Estrutura Resposta
Oscilações livres de um sistema de um grau de liberdade
ZERADA
FreqüênciaNatural Angular[Rad/s]
FreqüênciaNatural[Hz=1/s]
PeríodoNatural
[s]
n
n
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Freqüência angular natural , medida em Rad/s
Freqüência natural , medida em ciclos/s, ou seja (1/s)=Hz
Período natural , medido em s
36Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Tn=1/fn
freqüência natural (ou própria) de
vibração é a freqüência à qual umaestrutura SDOF “gosta” vibrar
quando não está submetida a
excitações 37Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
E t t d d lib d d
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Estruturas de um grau de liberdade
=
De k ; m
[ k ] = N/m
[m] = kg 38Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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a
u e s t
u
O movimento harmônico é a projeçãonuma reta do movimento circular
uniforme cuja velocidade angular é igual
à freqüência angular:w
n.
39Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Tn=1/fn
x
y
y
x
40Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 41/188
Mas por que teria que ser senoidal (cosenoidal), e não qualquer outra“coisa periódica”!!!?
u
u
Já que a “história harmônica” é a
que permite que a energia total do“sistema mola-massa” seja a
mesma para cada instante datrajetória !!!
a
41Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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O movimento harmônicoé resultado da ausência
de agentes nãoconservativos (forças)
que alterem a energia dosistema.
42Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Estrutura de um grau de liberdade; massa m e arigidez é k
43Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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o deslocamento é d st = F0/k
A rigidez é k já que quando é aplicada uma forçaestática F0
44Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 45/188
o deslocamento estático continua sendo
d st = F0/k
Mesmo quando se muda a massa
45Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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A particularidade desta estrutura é que quando se aplica uma força
igual ao peso ( F0=mg ) , o deslocamento será d st = 1cm
Qual é a frequência natural????
46Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Quando se aplicam uma força igual ao peso
F0=mg , o deslocamento é d st = 1cm
Qual é a frequência natural????
47Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Quando me aplicam uma força igual ao meu pesoF0=mg , meu deslocamento resulta d st = 1cm
Qual é minha freqüência natural????
em metros
48Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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em metros
Se soubermos quantodesloca a estrutura deum grau de liberdadesubmetida ao peso
aplicado na direção dograu de liberdadepodemos saber afrequência natural
49Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Excitação Estrutura RespostaZERADA
Sistemas que não são submetidos a excitações nem possuem mecanismos dedissipação de energia conservam a energia e continuariam oscilando com um
mesmo nível energético para sempre!!!
Todo sistema real temmecanismos de desperdiço deenergia que são idealizados
geralmente medianteamortecedores viscosos
50Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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52Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Conceitos teóricos (4)
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Conceitos teóricos (4)
53Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Conceitos teóricos (5)
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 54/188
Conceitos teóricos (5)
54Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 55/188
55Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Conceitos teóricos (6)
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 56/188
Conceitos teóricos (6)Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade zero
56Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Conceitos teóricos (6a)
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Conceitos teóricos (6a)Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade zero
57Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Conceitos teóricos (6b)
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Conceitos teóricos (6b)Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade zero
58Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Conceitos
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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59Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Conceitosteóricos
(6c)Equação da oscilação
livre amortecida partindode velocidade zero
Conceitos teóricos (6)
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 60/188
VIDE
Conceitos teóricos (6)Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade zero
60Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
ZERADA
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 61/188
Excitação Estrutura RespostaZERADA
Sem
Amortecimento
Com
Amortecimento
61Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Conceitos teóricos (7)
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 62/188
Conceitos teóricos (7) Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade inicial
62Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 63/188
Conceitos teóricos (7)
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 64/188
Conceitos teóricos (7) Equação da oscilação livre amortecida partindo de um impulso
64Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Conceitos teóricos (7)
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 65/188
Conceitos teóricos (7) Somar Impulsos (Método de Green)
Integral de Duhamel
65Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Conceitos teóricos (7)
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 66/188
Conceitos teóricos (7) Somar Impulsos (Método de Green)
Integral de Duhamel
VIDE
66Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Estática
Na Estática setemos F edesejamos
averiguar M, nãoprecisamos
calculard:
M=FhSe o dado for
d
(não F) e seconhecemos
EI,h podemoscalcular M
semnecessidadede calcular F
69Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
No instante t os esforçosinternos dependem da
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Estática
Dinâmica mm
Na dinâmicaos esforços
internosdevem ser
analisados a
partir dadeformação
no instante t .
Esforçosinternos
dependem dahistória deforças e nãoda força noinstante t
pdeformação no instante t
70Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
N i f
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Dinâmica
mmNão interessausar a força F
real no instanteem questão já
que odeslocamento éconsequênciada História F(t)e não da forçainstantânea.
No instante t os esforçosinternos dependem da
deformação no instante t
71Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Na Dinâmica Estrutural os esforços internos
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Na Dinâmica Estrutural os esforços internosdevem ser analisados sempre a partir da
deformação no instante t .
Esforços internos dependem da história de
forças e não da força no instante t.
Não temos equilíbrio de Forças!!!Porém,…
72Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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FORÇA ESTÁTICA EQUIVALENTE
73Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Po rém, resu lta operac io nalmen te úti l u sar uma FORÇA FICTÍCIA
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74Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Po rém, resu lta operac io nalmen te úti l u sar uma FORÇA FICTÍCIA
que atuando estat icamente geraria o deslocamento (t).
Chamamos a essa fo rça: FORÇA ESTÁTICA EQUIVALENTE F st,eq
F st,eq
M = F st,eq
h
Porém resu lta operac ionalmente úti l usar uma FORÇA
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75Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Porém, resu lta operac ionalmente úti l usar uma FORÇA
FICTÍCIA que atuando es tati camente gerar ia o
deslocamento (t).
Chamamos a essa fo rça: FORÇA ESTÁTICA
EQUIVALENTE F st,eq
F st,eq
M = F st,eq
h
= F(t) – m a
FUIEU
Memo Rig idez
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Memo Rig idez
76Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
=
=
=
=
=
=
=
Efeitos de Carregamentos
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Harmônicos
77Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
(t ) =
; ᆎ
=
= 2
Efeitos de Carregamento s Harmônico s (t ) =
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78Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
; ᆎ
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= (t ) =
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80Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
→ ∞
= /(−)+ (∅)
=
=
= ∅ = ξ r
−
; ᆎ
deslocamento estático
(
)
Amplificação
Excitação Estrutura Resposta
Parte do tempo a 100% do tempo a Parte do tempo a
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Excitação Estrutura Resposta
Harmônica SDOF Depende da
freqüência daexcitação
excitação se opõe aodeslocamento (freia a
resposta)
excitação tem adireção davelocidade
excitação se opõe aodeslocamento (freia a
resposta)
Excitação Estrutura Resposta
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Harmônica com freq. f SDOF com freq.própria fn
Depende de f
MuitoImportante!:A freqüênciada resposta
noestacionário
coincide
sempre coma freqüênciada excitação
Para f >> fn a resposta estáatrasada uma fase de quase ½ciclo (180o =
P
Rad) respeito àforça.
Para f << fn a resposta noestacionário está quase em fase
com a força (um pouquinhoatrasada)
Para f ~ fn a resposta ficaatrasada uma fase de ¼ciclo (90o = P/2 Rad )
respeito à força.
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Ao cabo de alguns ciclos o transienteapaga e a resposta será:
a) senoidal , b) com a freqüência daexcitação,
c) com amplitude dependente não
somente da amplitude P e da rigidez k,mas também do amortecimento e da
relação entre freqüências de excitação efreqüência própria da estrutura.
d) Com um atraso (fase f). 83Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Ao cabo de alguns ciclos o transienteapaga e a resposta será:
a) senoidal , b) com a freqüência daexcitação,
c) com amplitude dependente não
somente da amplitude P e da rigidez k,mas também do amortecimento e da
relação entre freqüências de excitação efreqüência própria da estrutura.
d) Com um atraso (fase f). 84Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Excitação Estrutura Resposta
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Excitação Estrutura RespostaSDOF Estacionária
Em quase todos os
casos o interesse seráexclusivamente na
parte Estacionária daresposta
f fase
85Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
No estacionário a energia introduzida ao sistema pelotrabalho realizado pelas forças externas é igual à
energia dissipada pelo amortecimento. O resultado éum movimento harmónico (fora de fase com asforças) que simula uma oscilação livre não
amortecida
- r<<1 efeitoquase estático ou
- r~~1 efeito de sincronização com afreqüência natural ou ressonância
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quase-estático ousub-sincronizado
- r>>1 efeitosuper-
sincronizado ouisolado
86Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Excitação Estrutura Resposta
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Excitação Estrutura RespostaSDOF Estacionária
Obs:
Em ressonância:
87Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Excitação Estrutura Resposta
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Excitação Estrutura RespostaSDOF Estacionária
1) Quando temos uma excitação harmônica atuando sobre um sistema de um
grau de liberdade, a resposta estacionária será também harmônica, e semprecom a mesma freqüência da excitação, sempre retrasada e “amplificada ou
diminuída”.
2) A fase e a amplitude da resposta estacionária estarão influenciadas pelosparâmetros: a) amplitude da excitação, b) rigidez do sistema, c) fator de
amortecimento, d) razão entre a freqüência da excitação e a própria dosistema.
3) Em geral estamos interessados somente na resposta estacionária. Somentepara efeitos de impacto o interesse se centrará na resposta transiente.
4 ) A superposição de excitações coadjuvantes terá como resposta a soma dasrespostas resultantes das excitações individuais.
Qualquer excitação relevante poderá ser expressada (mediante a análise deFourier) como soma de excitações harmônicas . Devido a isso a
importância das mesmas.
88Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Jean aptiste Joseph Fourier
ESSE É “O CARA”!!!
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Toda função F(t) periódica de período T que cumpra Hipóteses de regularidade
poderá ser expressada da maneira
O que resulta equivalente a
com
É a média dafunção no
intervalo
É uma combinação linear de infinitas funções harmônicas defreqüências múltiplas da freqüência de F(t):
w 2w 3w 4w ....
90Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
O 1º termo não nulo se chamaH ô i F d t l ( 1)
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Cn é o coeficiente de Fourier para a freqüência ” nw
T ”e representa a magnitude de F(t) nesse Harmônico
Harmônico Fundamental (n=1), e os
seguintes Harmônicos Superiores
A medida que se vão agregando progressivamente termos correspondentes aHarmônicos Superiores se consegue uma melhor aproximação da função F(t). Sendoque infinitos termos é muita coisa na prática se adota um número finito p de termos
(de 1 até p)
Exemplo:
Fenômeno deGibson nas
descontinuidades
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Casos simplificados:
Função Periódica ParFunção Periódica Impar
Suma de COSENOSSuma de SENOS
Nestes casos resulta umacombinação linear de
Harmônicos com freqüência
múltipla dew
T, e em fase!!!
F(t) IMPAR
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F(t) IMPAR
Sawtooth
SQUARE
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A gráfica das amplitudes para cadafreqüência é o Espectro de
Freqüências cujo domínio são osmúltiplos da freqüência fundamental f 1
f : f 1
Cn
Em muitos casos a excitaçãoestará definida pela freqüência
diretrizw
T e pelos primeiroscoeficientes relevantes Cn
(amplitudes do espectro truncado)
Sinal no domínio do Sinal no domínio das
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tempo =
História no tempo do Sinal
freqüências =
Espectro de freqüênciasdo Sinal
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Espectro de freqüência de uma função periódica
mostra a decomposição da função nos seus componentes harmônicos
para as diferentes freqüências
+
Espectro de freqüência de
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uma função periódica
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E it ã E t t R t
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Excitação Estrutura RespostaSDOF
b) Toda excitação periódica com história conhecida pode ser formulada graças a FOURIER como superposição de excitações harmônicas. Para obter a resposta ficaria somente
somar os efeitos dessas excitações harmônicas. Mais na frente veremos que a análise de
Fourier pode ser generalizado para excitações que não sejam necessariamenteperiódicas.
c) O Espectro de Freqüências de uma excitação basta para poder estimar a resposta, Para
chegar às histórias de resposta exatas deveríamos também conhecer as “fases” dosdiferentes harmônicos da excitação.
AGORA LOGO VEREMOS COMO MEXER COM SISTEMAS DE MAIS DE GRAU DE LIBERDADE
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102Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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103Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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104Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Excitação Estrutura Resposta
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çEstática
p
ESTRUTURASDE UM GRAU DE
LIBERDADE
SUBMETIDAS ACARGA
ESTÁTICACUMPREM
F = k u
Fu=F/k
Rigidez das Estruturas lineares de um grau de liberdade
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=
k= Rigidez
Emestática a
massa éirrelevante
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Uma estrutura que
foi tirada da
posição de
equilíbrio semovimenta mesmo
se não estiver
submetida aexcitação ...
Sir Isaac Newton Jean Le Rond d’Alembert
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1643-1727 1717-1783
Segunda Lei de Newton
Conceitos teóricos (1)
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Conceitos teóricos (2)
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-
Conceitos teóricos (3)
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Princípio de D’Alambert :
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8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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A solução geral será soma da solução da equação
diferencial homogênea e de uma solução particular:
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Espaço Real Espaço Complexo
Excitação Estrutura RespostaZERADA
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Excitação Estrutura Resposta
Oscilações livres de um sistema de um grau de liberdade
Freqüência
Natural Angular[Rad/s]
Freqüência
Natural[Hz=1/s]
PeríodoNatural
[s]
n
n
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Freqüência angular natural , medida em Rad/s
Freqüência natural , medida em ciclos/s, ou seja (1/s)=Hz
Período natural , medido em s
Tn=1/fn
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freqüência natural (ou própria) de
vibração é a freqüência à qual umaestrutura SDOF “gosta” vibrar
quando não está submetida a
excitações
Estruturas de um grau de liberdade
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=
De k ; m
[ k ] = N/m
[m] = kg
u
O movimento harmônico é a projeção
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a
u e s t
numa reta do movimento circularuniforme cuja velocidade angular é igual
à freqüência angular:w
n.
Tn=1/fn
y
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x
y
x
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Mas por que teria que ser senoidal (cosenoidal), e não qualquer outra
“coisa periódica”!!!?
u
u
Já que a “história harmônica” é a
que permite que a energia total do“sistema mola-massa” seja a
mesma para cada instante da
trajetória !!!
a
O movimento harmônicoé resultado da ausência
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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é resultado da ausênciade agentes não
conservativos (forças)que alterem a energia dosistema.
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Olá! Sou uma estrutura de um grau de liberdade.Tenho uma massa m e minha rigidez é k
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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meu deslocamento é d st = F0/k
Minha rigidez é k já que quando me aplicam umaforça estática F0
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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meu deslocamento estático continua sendo
d st = F0/k
Mesmo quando me mudam a massa
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Minha particularidade é que quando me aplicam uma força igual ao
meu peso ( F0=mg ) , meu deslocamento resulta d st = 1cm
Qual é minha freqüência natural????
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Quando me aplicam uma força igual ao meu peso
F0=mg , meu deslocamento resulta d st = 1cm
Qual é minha freqüência natural????
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Quando me aplicam uma força igual ao meu peso
F0=mg , meu deslocamento resulta d st = 1cm
Qual é minha freqüência natural????
em metros
Se soubermos quantose desloca a estrutura
de um grau de
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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em metros
de um grau deliberdade submetidaao peso aplicado nadireção do grau deliberdade podemossaber a frequência
natural
Olá Estrutura!
fn= ?
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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em metros
“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérg io Stol ov as
Excitação Estrutura RespostaZERADA
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Sistemas que não são submetidos a excitações nem possuem mecanismos dedissipação de energia conservam a energia e continuariam oscilando com um
mesmo nível energético para sempre!!!
Todo sistema real temmecanismos de desperdiço deenergia que são idealizados
geralmente medianteamortecedores viscosos
“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérg io Stol ov as
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Conceitos teóricos (4)
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Conceitos teóricos (5)
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“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérg io Sto lo vas
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Conceitos teóricos (6)Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade zero
8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos
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Conceitos teóricos (6)Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade zero
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Conceitos teóricos (6)Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade zero
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VIDE :
“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérgio Stolovas
Excitação Estrutura RespostaZERADA
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Sem
Amortecimento
Com
Amortecimento
Conceitos teóricos (7) Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade inicial
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Conceitos teóricos (7) Equação da oscilação livre amortecida partindo de um impulso
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Conceitos teóricos (7) Equação da oscilação livre amortecida partindo de um impulso
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Conceitos teóricos (7) Somar Impulsos (Método de Green)
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Integral de Duhamel
Conceitos teóricos (7) Somar Impulsos (Método de Green)
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Integral de Duhamel
VIDE
“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérgio Stolovas
Estática Engenheiros:
E f
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Na Estática
se temos F edesejamosaveriguar M,
nãoprecisamos
calcular d
Esforçosinternos são
conseqüênciassempre dedeformações!!!
===
Zerodeformação
significa
Zero esforçointerno
===
Na Estática épossível usarequilíbrio e
muitas vezesesquecer das
deformações
Se o dado for d
(não F)
e seconhecemos
EI,h podemoscalcular M
semnecessidadede calcular F
Estática
Di â i
Engenheiros:
Esforços
No instante t os esforçosinternos dependem dadeformação no instante t
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Dinâmica mm Esforçosinternos são
conseqüênciassempre dedeformações!!!
===
Zerodeformação
=
Zero esforçointerno
===
Em estática épossível usarequilíbrio e
muitas vezesesquecer das
deformações
Na dinâmicaos esforços
internosdevem ser
analisados apartir da
deformaçãono instante t .
Esforçosinternos
dependem da
história deforças e nãoda força noinstante t
Na Dinâmica Estrutural os esforços internosdevem ser analisados sempre a partir da
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deformação no instante t .
Esforços internos dependem da história de
forças e não da força no instante t.
Não temos equilíbrio de Forças!!!
“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérg io St ol ovas
Excitação Estrutura Resposta
Harmônica SDOF Depende da
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Harmônica SDOF Depende dafreqüência da
excitação
“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérg io Sto lo vas
Excitação Estrutura Resposta
Harmônica SDOF Depende da
Parte do tempo aexcitação se opõe ao
deslocamento (freia a
100% do tempo aexcitação tem a
direção da
Parte do tempo aexcitação se opõe ao
deslocamento (freia a
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Harmônica SDOF Depende dafreqüência da
excitação
deslocamento (freia aresposta)
direção davelocidade
deslocamento (freia aresposta)
“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérgio Stolovas
Excitação Estrutura Resposta
Harmônica com freq. f SDOF com freq.própria fn
Depende de f
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Muito
Importante!:A freqüênciada resposta
noestacionáriocoincide
sempre coma freqüênciada excitação
Para f >> fn a resposta está
atrasada uma fase de quase ½ciclo (180o =
P
Rad) respeito àforça.
Para f << fn a resposta noestacionário está quase em fase
com a força (um pouquinhoatrasada)
Para f ~ fn a resposta ficaatrasada uma fase de ¼ciclo (90o = P/2 Rad )
respeito à força.
“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérgio Stolovas
Excitação Estrutura Resposta1grau de liberdade (SDOF)
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Ao cabo de alguns ciclos o transienteapaga e a resposta será:
a) senoidal , b) com a freqüência daexcitação,
c) com amplitude dependente nãosomente da amplitude P e da rigidezk, mas também do amortecimento e
da relação entre freqüências deexcitação e freqüência própria da
estrutura.
d) Com um atraso (fasef
).
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Excitação Estrutura RespostaSDOF Estacionária
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Em quase todos oscasos o interesse será
exclusivamente naparte Estacionária da
resposta
f
fase
- r<<1 efeitoquase-estático ousub-sincronizado
- r~~1 efeito de sincronização com afreqüência natural ou ressonância
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- r>>1 efeitosuper-
sincronizado ouisolado
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Excitação Estrutura RespostaSDOF Estacionária
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Obs:
Em ressonância:
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Estacionária
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Estacionária
Senoidal
Não apaga!!!
Transiente
Apaga!!!
Estacionária
Controle de resposta =diminuir amplitude de x(t)
Aumento a massa para aumentar r, dst fica na mesma
Diminuindo k aumentaria r, mas também dst
Quase- estático. Aumento k para diminuir dst. Diminui r,mas a contribuição não é muito relevante.
Incrementar k também é boa!!!
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Estacionária
Para casos habituais na engenharia civil
Amortecimentos são bem menores que 0,25.
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Estacionária
Senoidal
Não apaga!!!
Transiente
Apaga!!!
Estacionária
Quase- estático. Aumento k para diminuir dst. Diminui r,mas a contribuição não é muito relevante.
Incrementar k também é boa!!!
Controle de resposta =diminuir amplitude de x(t)
Aumento a massa para aumentar r, dst fica na mesma
Diminuindo k aumentaria r, mas também dst
No resto dos casos (r<1,5) o deslocamentodinâmico sempre ficará maior que o
deslocamento estático (faça o que quiser massempre será maior)
Ou seja que a amplificação poderá ser < 1somente se r>>1 for suficientemente grande:
ISOLAMENTO VIBRACIONAL
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Excitação Estrutura RespostaSDOF Estacionária
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1) Quando temos uma excitação harmônica atuando sobre um sistema de um
grau de liberdade, a resposta estacionária será também harmônica, e semprecom a mesma freqüência da excitação, sempre retrasada e “amplificada ou
diminuída”.
2) A fase e a amplitude da resposta estacionária estarão influenciadas pelosparâmetros: a) amplitude da excitação, b) rigidez do sistema, c) fator deamortecimento, d) razão entre a freqüência da excitação e a própria do
sistema.
3) Em geral estamos interessados somente na resposta estacionária. Somentepara efeitos de impacto o interesse se centrará na resposta transiente.
4 ) A superposição de excitações coadjuvantes terá como resposta a soma das
respostas resultantes das excitações individuais.
Qualquer excitação relevante poderá ser expressada (mediante a análise deFourier) como soma de excitações harmônicas . Devido a isso a
importância das mesmas.
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Análise de Fourier
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Excitação Estrutura RespostaSDOF Estacionária
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1) Quando temos uma excitação harmônica atuando sobre um sistema de um
grau de liberdade, a resposta estacionária será também harmônica, e semprecom a mesma freqüência da excitação, sempre retrasada e “amplificada ou
diminuída”.
2) A fase e a amplitude da resposta estacionária estarão influenciadas pelosparâmetros: a) amplitude da excitação, b) rigidez do sistema, c) fator deamortecimento, d) razão entre a freqüência da excitação e a própria do
sistema.
3) Em geral estamos interessados somente na resposta estacionária. Somentepara efeitos de impacto o interesse se centrará na resposta transiente.
4 ) A superposição de excitações coadjuvantes terá como resposta a soma das
respostas resultantes das excitações individuais.
Qualquer excitação relevante poderá ser expressada (mediante a análise deFourier) como soma de excitações harmônicas . Devido a isso a
importância das mesmas.
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Jean aptiste Joseph Fourier
ESSE É “O CARA”!!!
Toda função F(t) periódica de período T que cumpra Hipóteses de regularidade
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poderá ser expressada da maneira
O que resulta equivalente a
com
É a média dafunção nointervalo
É uma combinação linear de infinitas funções harmônicas defreqüências múltiplas da freqüência de F(t):
w 2w 3w 4w ....
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O 1º termo não nulo se chamaHarmônico Fundamental (n=1), e os
seguintes Harmônicos Superiores
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Cn é o coeficiente de Fourier para a freqüência ” nwT ”
e representa a magnitude de F(t) nesse Harmônico
A medida que se vão agregando progressivamente termos correspondentes aHarmônicos Superiores se consegue uma melhor aproximação da função F(t). Sendoque infinitos termos é muita coisa na prática se adota um número finito p de termos
(de 1 até p)
Exemplo:
Fenômeno deGibson nas
descontinuidades
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Casos simplificados:
Função Periódica ParFunção Periódica Impar
Suma de COSENOS
Suma de SENOS
Nestes casos resulta umacombinação linear de
Harmônicos com freqüência
múltipla de wT, e em fase!!!
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F(t) IMPAR
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Sawtooth
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SQUARE
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A gráfica das amplitudes para cadafreqüência é o Espectro de
Freqüências cujo domínio são osmúltiplos da freqüência fundamental f 1
f : f 1
Cn
Em muitos casos a excitaçãoestará definida pela freqüência
diretrizw
T e pelos primeiroscoeficientes relevantes Cn
(amplitudes do espectro truncado)
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Sinal no domínio dotempo =
História no tempo do Sinal
Sinal no domínio dasfreqüências =
Espectro de freqüências
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p p qdo Sinal
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Espectro de freqüência de uma função periódica
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mostra a decomposição da função nos seus componentes harmônicos
para as diferentes freqüências
+
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Espectro de freqüência de
uma função periódica
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APPLETS Fourier
http://www sciences univ
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http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Elec/Fourier/fourier1.html
Olá Estrutura!fn= ?
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em metros
f n= 6Hz
z=0 02
f=3 Hzf=0 Hz
Achar amplitudes de deslocamento e aceleraçõesda massa em cada caso
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f=6 Hzf=12 Hz
f 0 Hz
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Dançando na sacada
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a) O casal pesa com toda a roupa 130 kg
b) A excitação para o caso da dança com freqüência diretriz de 2,67 Hz será a superposição de 3
componentes harmônicas F1(t), F2(t), F3(t) com freqüênciasf 1= 2,67 Hz, f 2= 5,32 Hz , e f 3= 8,01 Hz,cujas amplitudes serão
F1 = 130x1,228 = 159,6 kgf , F2 = 130x0,311 = 40,4 kgf , F3 = 130x0,032= 4,2 kgf.
F0= 130
F2 (t) = 40,4 cos(33,55t)
F3 (t) = 4,2 cos(50,31t)
F1 (t) = 159,6 cos(16,77t)
Se fn= 5,32 Hz
Parax=0.02, esses 40,4 kgf podem equivaler a:
Feq= 40,4 x 25 = 1010 kgf !!!
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Excitação Estrutura RespostaSDOF
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a) Sistemas de um grau de liberdade submetidos aHistórias Harmônicas de excitação provocam respostas
(que podemos calcular) cujo estacionário é também
Harmônico, e cuja freqüência é a freqüência da excitação,retrasada e “amplificada ou diminuída”.
RESUMINDO:
F=F o cos2 pf t
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Excitação Estrutura RespostaSDOF
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b) Toda excitação periódica com história conhecida pode ser formulada graças a FOURIER como superposição de excitações harmônicas. Para obter a resposta ficaria somente
somar os efeitos dessas excitações harmônicas. Mais na frente veremos que a análise deFourier pode ser generalizado para excitações que não sejam necessariamente
periódicas.
c) O Espectro de Freqüências de uma excitação basta para poder estimar a resposta, Para
chegar às histórias de resposta exatas deveríamos também conhecer as “fases” dosdiferentes harmônicos da excitação.
AGORA LOGO VEREMOS COMO MEXER COM SISTEMAS DE MAIS DE GRAU DE LIBERDADE
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T ~ 2 L1/2
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T ~ 2 L1/2
f ~ 0,5/ L1/2
“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérg io S to lo vas
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T ~ 2 L1/2
f ~ 0,5/ L1/2
“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérg io S to lo vas
To f L(m)
0,111s 9 Hz 3 mm
0,125s 8Hz 4 mm
0,143s 7Hz 5mm
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T ~ 2 L1/2 f ~ 0,5/ L1/2
0,167s 6 Hz 7mm
0,200s 5Hz 1cm
0,250s 4 Hz 1,6cm
0,333s 3 Hz 2,7cm
0,500 s 2 Hz 6,3cm
1,000 s 1 Hz 25 cm
1,250 s 0,8 Hz 39 cm
1,429s 0,7 Hz 51 cm
1,667s 0,6 Hz 69 cm
2,000s 0,5 Hz 1,00 m
2,500s 0,4 Hz 1,56 m
3,333s 0,3 Hz 2,78 m
5,000s 0,2 Hz 6,25 m
10,000s 0,1 Hz 25 m
“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérg io S to lo vas
RR
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T ~ 2 L1/2
f ~ 0,5/ L1/2
A FREQUENCIANATURAL DO
PENDULODEPENDE
SOMENTE DO
CUMPRIMENTODO FIORADIO IMPOSTOA TRAJETORIA
R
T~2R 1/2
f ~ 0,5/R 1/2
“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérg io S to lo vas
RR
T~2R 1/2
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f ~ 0,5/R1/2
Keq ~ Peso / R
O pendulo é um mecanismo não lineal e não uma estrutura lineal. Porem,para pequenas oscilações pode ser assumido como um sistema “massa-
mola” com coeficiente de mola Keq= “PESO/ (Radio da trajetória)”
Quando as ações são de natureza dinâmica a deformaçãoem cada instante será consequência da História prévia das
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em cada instante será consequência da História prévia das
Ações ao longo do tempo e a obtenção da respostaestrutural estará governada não somente pela rigidez, mastambém pelos atributos inerciais (a distribuição da massa
solidária) e pelos atributos de amortecimento (mecanismos
de dissipação da energia).
A Integração da Equação do Movimento (explícita ouimplicitamente) é imprescindível para avaliar o desempenho
funcional e resistente de estruturas submetidas as ações
dinâmicas como é o caso dos edifícios altos submetidos àsações induzidas pelo vento.
188Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Uma maneira habitual de descrever o estado de deformação
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de uma estrutura é associar à mesma a ação estática queaplicada (estaticamente) provocaria tal estado de
deformação. Daí o termo: “Forças Estáticas Equivalentes”,com o qual chamamos a aquele sistema de forças estáticas
“fantasmas” que provocariam a mesma deformação e
solicitações internas em um instante para uma estrutura quena realidade foi submetida a uma História de Ações prévias.