Sistemas de MedidasPara podermos comparar um valor com outro, utilizamos uma grandeza predefinida como referncia, grandeza esta chamada de unidade padro.As unidades de medida padro que ns brasileiros utilizamos com maior frequncia so ograma, olitroe ometro, assim como ometro quadradoe ometro cbico.Alm destas tambm fazemos uso de outras unidades de medida para realizarmos, por exemplo a medio de tempo, de temperatura ou de ngulo.

Subconjunto de Unidades de Medida do Sistema Mtrico DecimalMedida deGrandezaFatorMltiplosUnidadeSubmltiplos

CapacidadeLitro10klhldalldlclml

VolumeMetro Cbico1000km3hm3dam3m3dm3cm3mm3

reaMetro Quadrado100km2hm2dam2m2dm2cm2mm2

ComprimentoMetro10kmhmdammdmcmmm

MassaGrama10kghgdaggdgcgmg

Observe que as setas que apontam para a direita indicam uma multiplicao pelo fator multiplicador (10, 100 ou 1000 dependendo da unidade de medida), assim como as setas que apontam para a esquerda indicam uma diviso tambm pelo fator.

A converso de uma unidade para outra unidade dentro da mesma grandeza realizada multiplicando-se ou dividindo-se o seu valor pelo fator de converso, dependendo da unidade original estar esquerda ou direita da unidade a que se pretende chegar, tantas vezes quantos forem o nmero de nveis de uma unidade a outra.

Exemplos de Converso entre Unidades de MedidaConverta2,5 metrosemcentmetrosPara convertermos2,5 metrosemcentmetros, devemos multiplicar (porque na tabelametroest esquerda decentmetro)2,5por10duas vezes, pois para passarmos demetrosparacentmetrossaltamos dois nveis direita. Primeiro passamos demetrosparadecmetrose depois dedecmetrosparacentmetros:

Isto equivale a passar a vrgula duas casas para a direita.Portanto:2,5 m igual a250 cmPasse5.200 gramasparaquilogramasPara passarmos5.200 gramasparaquilogramas, devemos dividir (porque na tabelagramaest direita dequilograma)5.200por10trs vezes, pois para passarmos degramasparaquilogramassaltamos trs nveis esquerda. Primeiro passamos degramaparadecagrama, depois dedecagramaparahectogramae finalmente dehectogramaparaquilograma:

Isto equivale a passar a vrgula trs casas para a esquerda.Portanto:5.200 g igual a5,2 kgQuantoscentilitrosequivalem a15 hl?Para irmos dehectolitrosacentilitros, passaremos quatro nveis direita. Multiplicaremos ento 15 por 10 quatro vezes:

Isto equivale a passar a vrgula quatro casas para a direita.Portanto:150.000 clequivalem a15 hl.Quantosquilmetros cbicosequivalem a14 mm3?Para passarmos demilmetros cbicosparaquilmetros cbicos, passaremos seis nveis esquerda. Dividiremos ento 14 por 1000 seis vezes:

Portanto:0,000000000000000014 km3, ou a1,4 x 10-17km3se expresso em notao cientfica equivalem a14 mm3.Passe50 dm2parahectometros quadradosPara passarmos dedecmetros quadradosparahectometros quadrados, passaremos trs nveis esquerda. Dividiremos ento por 100 trs vezes:

Isto equivale a passar a vrgula seis casas para a esquerda.Portanto:50 dm2 igual a0,00005 hm2

Equivalncia entre medidas de volume e medidas de capacidadeUm cubo com aresta de10 cmter um volume de1.000 cm3, medida esta equivalente a1 l.Como1.000 cm3equivalem a1 dm3, temos que1 dm3equivale a1 l.Como um litro equivale a1.000 ml, podemos afirmar que1 cm3equivale a1 ml.1.000 dm3equivalem a1 m3, portanto1 m3 equivalente a1.000 l, que equivalem a1 kl.

Exemplos de Converso entre Medidas de Volume e Medidas de CapacidadeQuantosdecalitrosequivalem a1 m3?Sabemos que1 m3equivale a1.000 l, portanto para convertermos delitrosadecalitros, passaremos um nvel esquerda. Dividiremos ento 1.000 por 10 apenas uma vez:

Isto equivale a passar a vrgula uma casa para a esquerda.Poderamos tambm raciocinar da seguinte forma:Como1 m3equivale a1 kl, basta fazermos a converso de1 klparadecalitros, quando ento passaremos dois nveis direita. Multiplicaremos ento 1 por 10 duas vezes:

Portanto:100 dalequivalem a1 m3.348 mm3equivalem a quantosdecilitros?Como1 cm3equivale a1 ml, melhor dividirmos348 mm3por mil, para obtermos o seu equivalente em centimetros cbicos:0,348 cm3. Logo348 mm3equivale a0,348 ml, j quecm3emlse equivalem.Neste ponto j convertemos de uma unidade de medida de volume, para uma unidade de medida de capacidade.Falta-nos passarmos demililitrosparadecilitros, quando ento passaremos dois nveis esquerda. Dividiremos ento por 10 duas vezes:

Logo:348 mm3equivalem a0,00348 dl.

Clculo de reaParte superior do formulrioClculo da rea do Tringulo

Denominamos detringuloa um polgono de trs lados.Observe a figura ao lado. A letrahrepresenta a medida da altura do tringulo, assim como letrabrepresenta a medida da sua base.A rea do tringulo ser metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da medida da altura, tal como na frmula abaixo:

A letraSrepresenta a rea ou superfcie do tringulo.

No caso do tringulo equiltero, que possui os trs ngulos internos iguais, assim como os seus trs lados, podemos utilizar a seguinte frmula:

Ondelrepresenta a medida dos lados do tringulo.

ExemplosA medida da base de um tringulo de 7 cm, visto que a medida da sua altura de 3,5 cm, qual a rea deste tringulo?Do enunciado temos:

Utilizando a frmula:

A rea deste tringulo 12,25 cm2.Os lados de um tringulo equiltero medem 5 mm. Qual a rea deste tringulo equiltero?Segundo o enunciado temos:

Substituindo na frmula:

A rea deste tringulo equiltero de aproximadamente 10,8 mm2.

Clculo da rea do Paralelogramo

Um quadriltero cujos lados opostos so iguais e paralelos denominadoparalelogramo.Comhrepresentando a medida da sua altura e combrepresentando a medida da sua base, a rea do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-sebporh, tal como na frmula abaixo:

ExemplosA medida da base de um paralelogramo de 5,2 dm, sendo que a medida da altura de 1,5 dm. Qual a rea deste polgono?Segundo o enunciado temos:

Substituindo na frmula:

A rea deste polgono 7,8 dm2.Qual a medida da rea de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base so respectivamente 10 cm e 2 dm?Sabemos que2 dmequivalem a20 cm, temos:

Substituindo na frmula:

A medida da rea deste paralelogramo 200 cm2ou 2 dm2.Clculo da rea do Losango

Olosango um tipo particular de paralelogramo. Neste caso alm dos lados opostos serem paralelos, todos os quatro lados so iguais.Se voc dispuser do valor das medidasheb, voc poder utilizar a frmula do paralelogramo para obter a rea do losango.Outra caracterstica do losango que as suas diagonais so perpendiculares.

Observe na figura direita, que a partir das diagonais podemos dividir o losango em quatro tringulos iguais.Consideremos a basebcomo a metade da diagonald1e a alturahcomo a metade da diagonald2, para calcularmos a rea de um destes quatro tringulos. Bastar ento que a multipliquemos por 4, para obtermos a rea do losango. Vejamos:

Realizando as devidas simplificaes chegaremos frmula:

ExemplosAs diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual a medida da sua superfcie?Para o clculo da superfcie utilizaremos a frmula que envolve as diagonais, cujos valores temos abaixo:

Utilizando na frmula temos:

A medida da superfcie deste losango de 75 cm2Qual a medida da rea de um losango cuja base mede 12 cm e cuja altura seja de 9 cm?Neste caso, para o clculo da rea utilizaremos a frmula do paralelogramo, onde utilizamos a base e a altura da figura geomtrica, cujos valores temos abaixo:

Segundo a frmula temos:

A medida da rea do losango de 108 cm2.

Clculo da rea do QuadradoTodoquadrado tambm um losango, mas nem todolosangovem a ser um quadrado, do mesmo modo que todo quadrado um retngulo, mas nem todo retngulo um quadrado.O quadrado um losango, que alm de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui todos os seus ngulos internos iguais a 90. Observe ainda que alm de perpendiculares, as diagonais tambm so iguais.Por ser o quadrado um losango e por ser o losango um paralelogramo, podemos utilizar para o clculo da rea do quadrado, as mesmas frmulas utilizadas para o clculo da rea tanto do losango, quanto do paralelogramo.

Quando dispomos da medida do lado do quadrado, podemos utilizar a frmula do paralelogramo:

Comohebpossuem a mesma medida, podemos substitu-las porl, ficando a frmula ento como sendo:

Quando dispomos da medida das diagonais do quadrado, podemos utilizar a frmula do losango:

Como ambas as diagonais so idnticas, podemos substitu-las pord, simplificando a frmula para:

ExemplosA lateral da tampa quadrada de uma caixa mede 17 cm. Qual a superfcie desta tampa?Do enunciado temos que a varivell igual a17:

Substituindo na frmula temos:

Portanto a superfcie da tampa desta caixa de 289 cm2.A medida do lado de um quadrado de 20 cm. Qual a sua rea?Como o lado mede20cm, temos:

Substituindo na frmula temos:

A rea do quadrado de 400 cm2.A rea de um quadrado igual a 196 cm2. Qual a medida do lado deste quadrado?Temos queS igual a196.

Utilizando a frmula temos:

Como a medida do lado no pode ser negativa, temos que o lado do quadrado mede 14 cm.Clculo da rea do Retngulo

Por definio o retngulo um quadriltero equingulo (todo os seus ngulos internos so iguais), cujos lados opostos so iguais.Se todos os seus quatro lados forem iguais, teremos um tipo especial de retngulo, chamado de quadrado.Por ser o retngulo um paralelogramo, o clculo da sua rea realizado da mesma forma.Se denominarmos as medidas dos lados de um retngulo como na figura ao lado, teremos a seguinte frmula:

ExemplosUm terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual a rea deste terreno?Atribuindo5 varivelhe25 varivelbtemos:

Utilizando a frmula:

A rea deste terreno de 125 m2.A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimenses 30 cm por 15 cm. Qual a rea desta tampa?Podemos atribuir15 varivelhe30 varivelb:

Ao substituirmos as variveis na frmula teremos:

Portanto a rea da tampa da caixa de sapatos de 450 cm2.Clculo da rea do Crculo

A diviso do permetro de uma circunferncia, pelo seu dimetro resultar sempre no mesmo valor, qualquer que seja circunferncia. Este valor irracional constante representado pela letra grega minsculapi, grafada como:

Por ser um nmero irracional, o nmeropipossui infinitas casas decimais. Para clculos corriqueiros, podemos utilizar o valor3,14159265. Para clculos com menos preciso, podemos utilizar3,1416, ou at mesmo3,14.O permetro de uma circunferncia obtido atravs da frmula:

O clculo da rea do crculo realizado segundo a frmula abaixo:

Onderrepresenta o raio do crculo.

ExemplosA lente de uma lupa tem 10 cm de dimetro. Qual a rea da lente desta lupa?Como informado no enunciado, o dimetro da circunferncia da lupa igual a 10 cm, o que nos leva a concluir que o seu raio igual a 5 cm, que corresponde metade deste valor:

Substituindo-o na frmula:

A rea da lente da lupa de 78,54 cm2.Um crculo tem raio de 8,52 mm. Quantos milmetros quadrados ele possui de superfcie?Do enunciado, temos que o valor do raior:

Ao substituirmos valor derna frmula teremos:

A superfcie do crculo de 228,05 mm2.

Clculo da rea de Setores Circulares

O clculo da rea de um setor circular pode ser realizado calculando-se a rea total do crculo e depois se montando uma regra de trs, onde a rea total do crculo estar para 360, assim como a rea do setor estar para o nmero de graus do setor.SendoSa rea total do crculo,Sa rea do setor circular eo seu nmero de graus, temos:

Em radianos temos:

A partir destas sentenas podemos chegar a esta frmula em graus:

E a esta outra em radianos:

Onderrepresenta o raio do crculo referente ao setor e o ngulo tambm referente ao setor.

ExemplosQual a rea de um setor circular com ngulo de 30 e raio de 12 cm?Aplicando a frmula em graus temos:

A rea do setor circular de 37,6992 cm2.Qual a superfcie de um setor circular com ngulo de 0,5 rad e raio de 8 mm?Aplicando a frmula em radianos temos:

A superfcie do setor circular de 16 mm2.Clculo da rea de Coroas Circulares

O clculo da rea de uma coroa circular pode ser realizado calculando-se a rea total do crculo e subtraindo-se desta, a rea do crculo inscrito. Podemos tambm utilizar a seguinte frmula:

OndeRrepresenta o raio do crculo errepresenta o raio do crculo inscrito.

ExemplosQual a rea de uma coroa circular com raio de 20 cm e largura de 5 cm?Se a largura de 5 cm, significa quer = 20 - 5 = 15, substituindo na frmula temos:

A rea da coroa circular de 549,78 cm2.Qual a superfcie de uma coroa circular comr = 17eR = 34?Aplicando a frmula em temos:

A superfcie desta coroa circular 2723,7672.

Resoluo Detalhada do Problema no Comeo da PginaPara resolvermos tal problema, primeiramente vamos calcular a rea da sala.Para podermos utilizar a frmula do clculo da rea de um retngulo, vamos atribuir os4mda largura letrahe os5,5mdo comprimento letrab:

Resolvendo atravs da frmula:

Agora que sabemos que a sala tem uma rea de22m2, precisamos conhecer a rea do ladrilho.Como o ladrilho quadrado, precisamos calcular a rea de um quadrado, s que devemos trabalhar emmetrose no emcentmetros, pois a rea da sala foi calculada utilizando-se medidas emmetrose no medidas em centmetros. Poderamos ter convertido as medidas da sala emcentmetros, para trabalharmos apenas com centmetros. O importante que utilizemos sempre a mesma unidade (mltiplo/submltiplo).A transformao de25cmemmetros realizada dividindo-se tal medida por100:

Ento a medida dos lados dos ladrilhos de0,25m.Se tiver dvidas sobre como realizar tal converso, por favor acesse a pgina que trata sobre asunidades de medidas, l voc encontrar vrias informaes sobre este assunto, incluindo vrios exemplos e umlinkpara uma calculadora sobre o tema.Voltando ao problema, como o ladrilho quadrado, a rea do ladrilho com ladol=0,25 igual a:

Como dito no comeo da pgina, a resoluo do problema se resume ao clculo darazoentre a rea da sala e a rea do ladrilho.Como a sala tem uma rea de22m2e o ladrilho de0,0625m2, temos a seguinte razo:

Ou seja, para ladrilhar o piso da sala inteira sero necessrios ladrilhos352.Volumes de Slidos

Volume de um prisma qualquer

O volume de um prisma qualquer pode ser calculado multiplicando-se a rea da base pela alturaUm prima um poliedro que possui uma base inferior e uma base superior. Essas bases so paralelas e congruentes, isto , possuem as mesmas formas e dimenses, e no se interceptam. Para determinarmos o volume de um prisma qualquer, ns calculamos a rea de sua base para, em seguida, multiplic-la pela sua altura. Sendo assim:V = (rea da base) . alturaNa imagem acima, a rea do prisma de base retangular pode ser calculada por:

V = a . b . cJ a rea do prisma de base triangular dada por:

V =a . b. c2

Volume de um cilindro

O volume de um cilindro calculado multiplicando-se a rea da base pela alturaAssim como ocorre com os prismas, para calcular o volume do cilindro, multiplicamos a rea da base pela altura. Podemos definir novamente:V = (rea da base) . alturaPara o cilindro da figura acima, podemos calcular seu volume como:

V = . r2. a

Volume de um cone

O volume de um cone calculado multiplicando-se a rea da base por um tero da alturaO cone tem uma diferenciao das outras formas vistas at aqui. Ao calcularmos o volume do cone, ns multiplicamos a rea da base por um tero da sua altura. Podemos definir:V = (rea da base) . 1/3 alturaPara o cilindro da figura acima, podemos calcular seu volume como:

V = . r2.a 3

Volume de uma pirmide

O volume de uma pirmide calculado atravs do produto da rea da base por um tero da alturaA pirmide assemelha-se ao cone em relao ao clculo do volume. Para calcular o volume da pirmide, multiplicamos a rea da base por um tero da sua altura. Definimos novamente:V = (rea da base) . 1/3 alturaPara a pirmide da figura acima, podemos calcular seu volume como:

V =b. c.a 2 3

V =b . c . a 6Parte inferior do formulrio