Sistemas digitais 1

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Sistemas Digitais

JONI

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DAS/CTC/UFSCSistemas Digitais - 2009

Sistemas Digitais

Plano : Conceitos Básicos

1. Introdução

2. Histórico

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Introdução

Sistemas Digitais

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Introdução

1. Introdução

A palavra digital vem do grego “digitus” que significa “número”:

Um sistema digital é portanto um sistema no qual a informação está codificada e circula sob a forma de números (ou valores discretos)

Ex. computadores, televisores digitais, relógios digitais, transmissão digital.

Em contraposição, os sistemas analógicos a informação varia de modo contínuo (função do tempo)

Ex. Transmissão analógica, TV tradicional, Vantagens do uso das técnicas digitais

Os sistemas digitais são mais fáceis de projetar O armazenamento da informação é fácil Precisão e exatidão são maiores Os sinais digitais podem ser processados (operações pode ser

programadas) Circuitos digitais são menos afetados por ruídos Os circuitos digitais são mais adequados a integração

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Introdução

Limitação para uso de sistemas digitais

O mundo real é predominantemente analógico: grandezas variam de forma contínua em relação ao tempo.

Para se tirar proveito das técnicas digitais lidamos com entradas e saídas analógicas, três etapas devem ser executadas:

Converter o “mundo real” das entradas analógicas para a forma digital

Processar ( ou operar ) a informação digital Converter as saídas digitais de volta para o mundo real, em sua

forma analógica

6


Introdução

A conversão é feita através de circuitos de amostragem, filtros e conversores analógicos digitais e digitais analógicos :

7


Introdução

Um sistema digital é chamado binário só dois valores possíveis na codificação da informações tratadas ou armazenadas.

Podemos considerar representações assumindo valores entre ligado/desligado, verdadeiro/falso, etc.

Vantagem da representação binária é a facilidade de implementação de circuitos eletrônicos:

produção em larga escala de unidades que efetuam operações padronizadas

Circuitos cada vez mais velozes obtidas implementações operando em velocidades que ultrapassam MHz ou GHz

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Histórico2. Histórico:

A evolução dos sistemas digitais teve seu início no século 16, entretanto, estes somente mostraram-se úteis no século passado, e sua vulgarização se deu graças à evolução na microeletrônica.

Período Acontecimento

século 16: Pascal e Leibniz introduzem calculadoras baseadas em engrenagens.

século 19: Charles Babbage constrói máquina mecânica programável.

década de 30: computadores baseados em relés para cálculos de balística.

1943: construído o Eniac, com 18.000 válvulas.

1948: invenção do transistor.

1951: primeiro computador comercial, o Univac I.

anos 60: apogeu dos computadores transistorizados.

anos 70: circuitos integrados, invenção do microprocessador.

anos 80: integração em larga escala (VLSI).

anos 90: mais de 10 milhões transistores em um chip.

ano 2000: Pentiun 4: 42 milhões de transistores

ano 2003: Itanium 2: 410 milhões de transistores

futuro: circuitos biológicos; circuitos usando luz; ?.

Concluíndo então:

Este curso visa apresentar as bases necessárias à compreensão, análise e projeto de circuitos envolvendo sinais digitais e deve servir como base para um curso posterior sobre microprocessadores e microcontroladores

9


Sistemas Numéricos

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Sistemas Digitais

Plano : Sistemas Numéricos

1. Sistema Decimal

2. Sistema Binário

3. Sistemas Octal e Hexadecimal

4. Conversão entre Bases

5. Conversão de Números Fracionários

6. Representação de Números com Sinal

a. Complemento 2

b. Complemento 1

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Sistemas Numéricos

1. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

1.1 Sistema decimal

O sistema decimal, também chamado sistema de base 10, é nosso sistema de numeração usual.

Operações e representações envolvem combinações com dez possíveis dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9).

O incremento de uma unidade a um dígito decimal faz avançar ao dígito na sequencia da representação decimal:

Se o incremento do digito a direita leva ao digito inicial da seqüência, então o primeiro digito a esquerda é também incrementado

100199

50149

48147

1019

918

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Sistemas Numéricos A posição de cada dígito em um número está associada a um peso

que pode ser expresso na forma de uma potencia da base: Desta forma podemos decompor um número em potencias da

base 10:

Da mesma forma um número fracionário:

Dos exemplos acima podemos deduzir uma regra genérica para a decomposição de números em potências da base 10:

0123 1041031051022534 xxxx

21012 10410310510210134,125 xxxxx

..1010101010....,... 22

11

00

11

2221012

xdxdxdxdxdddddd

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Sistemas Numéricos1.2 Sistema binário

O sistema binário ou sistema na base 2 tem uma estrutura análoga a do sistema decimal com a ressalva de operar com somente dois dígitos: 0 e 1.

O incremento funciona da mesma forma:

100111

11110

10101

01100

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Sistemas Numéricos Podemos decompor um número binário da mesma forma que fizemos

para um numero decimal, mas como soma de potencias da base 2:

A notação usada indica o número com a base (base 2) em representação decimal. Podemos fazer em representação binária:

0123452 202121202021100110 xxxxxx

02

12

22

32

42

522 100101101100100101100110 xxxxxx

• operações algébricas acima devem ser efetuadas na base 2• a decomposição de números binários também vale quando os

números são fracionários

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Sistemas Numéricos

Sistemas Binário e Decimal

O sistema binário é o mais importante em sistemas digitais, mas sistema decimal é o mais usado na representação de quantidades externas.

tabela de equivalência entre números decimais e binarios :

Base 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Base 2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001

Em computadores números binários possuem uma nomenclatura própria:

Um dígito binário é chamado bit grupo de 8 bits (ou seja um numero binário de 8 dígitos) é

chamado byte Em número binário o bit mais significativo (o que tem

maior peso) é chamado de MSB (Most Signicant Bit) o bit menos significativo e chamado LSB (Least Signicant

Bit)

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Sistemas Numéricos

1.3 Os sistemas Octal e Hexadecimal

o sistema octal usa a base 8 e emprega os dígitos 0,1,2,3,4,5,6 e 7 para a construção e operações de números.

A decomposição de números em potencias da base 8 funciona da mesma forma que nos casos anteriores

Conversão binário/octal: como 8 = 23 a conversão entre números binários e octais é facilitada basta agrupar os dígitos binários em grupos de 3.

Considere o número 10110011001112

Dando o número em octal: 131478

1 011 001 100 111

1 3 1 4 7

São necessários só três bits binários para representar os dígitos octais

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Sistemas Numéricos

O sistema hexadecimal usa a base 16 para seus números e seus dígitos são 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E e F.

Conversão binário/hexadecimal: como 16 =24 pode ser obtida agrupando os dígitos binários em grupos de 4:

Considere o numero binário 11110011001112:

Seu equivalente hexa é portanto: 1E6716

Representações octal e hexadecimal de números binários são bastante usadas em sistemas digitais

números mais compactos (menos dígitos) e mais fáceis de visualizar.

1 1110 0110 0111

1 E 6 7

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Sistemas Numéricos Tabela de correspondência

Base 10 Base 2 Base 8 Base 16 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10

...... ...... ...... ......

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Sistemas Numéricos

1.4 Conversão entre bases

É natural efetuar operações na base 10 Frequentemente é mais simples converter operandos para essa base

efetuar operações e reconverter os mesmos para a base de origem. Questão de visualização

Conversão entre base decimal para outras, de números inteiros e fracionários:

Conversão de um número inteiro na base 10 (n10) para uma base b (nb), n10nb: dividir n10 e os quocientes de divisões sucessivas por essa base b, usando

operações de divisão inteira na base 10. os restos r das divisões inteiras (sucessivas) tomados de trás para frente

fornecem os dígitos do numero nb

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Sistemas Numéricos

Exemplo: a conversão do numero 8710 para a base 2 (q : quociente da divisao de n por b)

O número correspondente na conversão é então: 10101112

Passo 1 2 3 4 5 6 7 8 n 87 43 21 10 5 2 1 0 q 43 21 10 5 2 1 0 - r 1 1 1 0 1 0 1 -

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Sistemas Numéricos

Conversão de número inteiro de base b qualquer para a base 10 (nbn10) toma por base a decomposição do número em potencias da base

Exemplo: converter o número 10101112 para a base 10.

Conversão de um numero nb de uma base qualquer b para base 10: Basta expressar nb como uma soma de potencias da base b Depois expressar a base b em seu equivalente na base 10 E em seguida efetuar as operações indicadas na base 10

02

12

22

32

42

52

622 1011011011001011001011010111 xxxxxxx 0123456

2 212121202120211010111 xxxxxxx 12401606410101112 102 871010111

A maneira mais simples de efetuar a conversão de uma base a qualquer para outra base b qualquer (na nb) é usar a base 10 como passo intermediário: na n10 nb

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Sistemas Numéricos

1.5 Conversão de Números Fracionários

Em mudança de base separação entre as partes inteira e fracionária:

Mudança de base de suas partes inteira e fracionaria separadamente

Já vimos a mudança de inteiros resta então a mudança da parte fracionaria

Dado um numero fracionário nb expresso sob a forma ib ,fb onde ib e fb são respectivamente as partes inteira e fracionaria de nb

A parte fb pode ser expressa na forma:

...44

33

22

11

bxdbxdbxdxbdfb

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Sistemas Numéricos

A conversão de numero fracionário de base b qualquer para a base 10 segue o mesmo procedimento da conversão de números inteiros.

Exemplo: conversão do numero 1101.0011012 para a base 10

654321

01232

212021212020

21202121001101.1101

xxxxxx

xxxx 6430232 2022002022001101.1101

64

10

16

1

8

1001048001101.1101 2 203125,13001101.1101 2

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Sistemas Numéricos

Conversão de número fracionário da base 10 para outra base b qualquer:

Aparte inteira método apresentado anteriormente de divisão inteira

Parte fracionaria usando o método apresentado a seguir

Método:

Representação da parte fracionária fb de número em uma base b por:

Para a conversão na base b temos de encontrar os valores d-i

na base b Multiplicando fb pela base b obtemos:

Então d-1 pode ser retirado como parte inteira de b x f

Aplicando sucessivamente essa multiplicação sobre a parte fracionaria restante obteremos os demais dígitos de fb

....... 44

33

22

11

bdbdbdbdfb

........ 34

23

12

01

bdbdbdbdfb b ...).....(. 44

33

22

11

bdbdbdbdbfb b

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DAS/CTC/UFSC

Sistemas Numéricos

Exemplo: vamos converter o valor decimal 4,40710 para a base 2: Parte inteira: 410 1002 Parte fracionária f10 = 0,407

Sistemas Digitais - 2009

Iteração i fi b x fi d-i 1 0,407 0,814 0 2 0,814 1,628 1 3 0,628 1,256 1 4 0,256 0,512 0 5 0,512 1,024 1 6 0,024 0,048 0 7 0,048 0,096 0 8 0,096 0,192 0 9 0,192 0,384 0 10 0,384 0,768 0 11 0,768 1,536 1 12 0,536 1,072 1 13 0,072 0,144 0 14 ...... ...... ......

f10 0,40710 = 0.0110100000110..2 e com a parte inteira considerada, teremos: 4,40710 =

100.0110100000110..2 Observe que um número com uma quantidade finita de dígitos em uma base pode tornar-se uma dízima periódica em outra base.

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Sistemas Numéricos

1.6 Representação de números com sinal Com d bits (dígitos binários) podemos representar ate 2 d valores

distintos de números. Exemplo: Em um registrador de 4 bits podemos ter os valores

inteiros positivos de 0 a 15 (24 dezesseis valores).

1101 13

1110

14

1111

15

0000

0 0001

1 0010

2 0011

3

4 0100

5 0101 6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

10

1010

11

1011

1100 12

E a representação de números negativos ???

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Sistemas Numéricos

Sinal e Magnitude Podemos empregar o bit mais significativo MSB para indicar o sinal :

0 +1 -

1101 -5

1110

-6

1111

-7

0000

0 0001

1 0010

2 0011

3

4 0100

5 0101 6

0110

7

0111

-0

1000

-1

1001

-2

1010

-3

1011

1100 -4

Faixa de valores representados de -7 a +7 ( (2d -1 -1)). Desvantagem da técnica é a dupla representação do zero Técnica também é chamada sinal-magnitude.

Valore NegativosValores Positivos

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Sistemas Numéricos

Representação com números complementares Os números binários manipulados simultaneamente por um

processador tem um número d constante e finito de dígitos binários (8, 16, 32,..)

As operações aritméticas entre esses números são então efetuadas com módulo M (M =2 d ) aritmética modular ou aritmética de campo fixo.

Ex, Incrementar valores com campo fixo d = 3 bits (módulo 2 3 ):

000 001 010 011 100 101 110 111 000 001 ...

As formascomplementares permitem implementar a subtração usando operações de soma com campo fixo (aritmética modular)

simplifica os circuitos necessários para as operações aritméticas

Existem dois tipos de números complementares: o complemento 2 (C2) e o complemento 1 (C1)

Palavra: bits manipulados simultaneamente

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Sistemas Numéricos

Complemento 2 (representação de números negativos) Usando um campo de dígitos d (módulo M =2d ), o complemento 2 (C2) de

um número n (indicado por ) é dado por:

Exemplo: um número de 4 bits n = 510 = 01012, nosso módulo M vale 24 e o complemento 2 de n e dado por:

Os complementos dos primeiros números com 4 bits:

MnMn mod2

22242 101101011000016mod52 n

n10 n2 2 4-n 2n 0 0000 10000 0000 1 0001 10000-0001 1111 2 0010 10000-0010 1110 3 0011 10000-0011 1101 4 0100 10000-0100 1100 5 0101 10000-0101 1011

2n

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Sistemas Numéricos

Maneira simples de determinar o complemento 2 de n :

tem o mesmo número de bits (d) que n ;

Percorrer n da direita para a esquerda (LSB MSB) preservando todos os bits até o primeiro “1” (inclusive) e complementar os demais.

2n

d n 2n 4 1101 0011 4 1000 1000 3 110 010 9 111000110 000111010 1 1 1 6 011111 100001

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Sistemas Numéricos

Uso de complemento 2 para representar números negativos Continuamos a considerar o bit mais significativo (MSB)

representando o sinal Mas usamos o complemento 2 para representar a magnitude do

número negativo

Exemplos: Queremos representar n = -310 em binário:

Dado n = 10102 a representação n na base 10 é de número negativo (n10 < 0 ). Mostre o número negativo correspondente na base 10:

00112 n

10102 n 0110101022 n

310 n

10210 6)0110( n

2

22 11010011 n 211013

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Sistemas Numéricos Método de representação de números negativos com d = 4 e representações

complemento 2:

1101 -3

1110

-2

1111

-1

0000

0 0001

1 0010

2 0011

3

4 0100

5 0101 6

0110

7

0111

-8

1000

-7

1001

-6

1010

-5

1011

1100 -4

Formas Complementares

Formas Verdadeiras

[-(2(d-1)); +(2(d-1) -1)]

33


Sistemas Numéricos

Representação por Complemento 1 O Complemento 1 de um número binário n com d bits é indicado

e definido por:

Exemplos de representação complemento 1:

)2(mod11 dMondeMnMn

1n

Regra prática no cálculo do C1

basta complementar todos os bits do número n

d n 1n 2n

4 1101 0010 0011 4 1000 0111 1000 3 110 001 010 9 111000110 000111001 000111010 1 1 0 1 6 011111 100000 100001

O complemento 2 de um número n pode ser obtido a partir de sua representação em complemento 1: 112 nn

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Sistemas Numéricos

Método de representação de números negativos com representações complemento 1:

1101 -2

1110

-1

1111

-0

0000

0 0001

1 0010

2 0011

3

4 0100

5 0101 6

0110

7

0111

-7

1000

-6

1001

-5

1010

-4

1011

1100 -3

Formas Complementares

Formas Verdadeiras

[-(2(d-1)-1); +(2(d-1) -1)]

35


Sistemas Numéricos

Exemplos de complemento 1:

Se tivermos n2 = 1010 então n10 < 0 :

11000011

31

2

10

n

n

102

11

2

501011010

1010

n

n

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Sistemas Numéricos

Operações aritméticasAs operações aritméticas básicas com números binários seguem os mesmos princípios de operações em base decimal.

Aritmética binária com campo fixo Operação de soma entre os números binários (110110102 e

101100012):

O resultado de uma operação é mantido dentro de um número de bits (módulo); bits mais significativos em excesso são descartados.

Se a soma acima é para 8 bits o resultado a ser considerado é:

11011010+1011000

1110001011

10001011

transporte

37


Sistemas Numéricos

Se estivermos operando com números com sinal (C1, C2, etc) temos que tomar cuidado com alterações indesejáveis do bit de sinal:

O mesmo para a soma de dois números negativos que pode provocar um excesso que descartado mantém o resultado em n bits como positivo.

10011010+1001000

1+100101011

01011010+0011000

110001011Overflow

Underflow

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DAS/CTC/UFSC

Transporte (carry) excedendo o módulo da operação não significa overflow ou underflow:


1110 (-2 em C2)+1101 (-3 em C2)11011 (-5 em C2)

Resultado em 4 bits com transporte e sem underflow

39


Sistemas Numéricos

Subtração entre dois números binários pode ser realizada através da soma do primeiro com o complemento C2 ou C1 do segundo (o subtraendo).

Exemplo com C2 : usando complemento 2 realizar a operação X = 3710 – 8610 (001001012 - 010101102):

10

2

2

49

)00110001(

11001111

11001111

1010101000100101

0101011000100101

0101011000100101

X

X

40


A subtração entre dois números binários usando C1 é um pouco mais complicado que C2.

Exemplo com C1 : realizar a operação X = 1310 – 1110

(0011012 - 0010112):

10

102

1

2

20000101000001

)1000001(110100001101

001011001101

001011001101

X

transportecom

X

A notação complemento 2 leva vantagem por não necessitar de teste de transporte (carry).

41


Exemplo com C1 : realizar a operação X = – 1310 + 1110

(- 0011012 + 0010112):

10

10

1

2

2)000010(111101

)111101(001011110010

001011001101

001011001101

X

transportesem

X

Embora bem mais complexas as operações de produto e divisão seguem osmecanismos conhecidos para a base decimal

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Sistemas Numéricos

Outros códigos importantesEm alguns casos específicos é interessante a utilização de outras codificações binárias devido a certas vantagens oferecidas por estas.

Decimal Codificado em Binário (BCD): Neste código cada dígito de um

número decimal é codificado na forma de um numero binário. Para representar os dez dígitos decimais (0, ..., 9) são necessários 4 bits.

Considere o número 34710:

Observe que a codificação BCD difere da codificação binária clássica:

34710 = 1010110112

Os números em BCD são mais longos que os binários normais Um dos principais usos da codificação em BCD é em displays.

0011 0100 0111

3 4 7

43


Sistemas Numéricos

Código Gray

Também e chamado de código espelhado e caracteriza se pelo fato de que dois números consecutivos nunca diferem em mais que um bit.

O código Gray é importante em situações onde é necessário minimizar as transições de bits por questões de velocidade e imunidade a ruídos

Por exemplo

para passar de 7 a 8 no sistema binário clássico são necessárias 4 transições de bits (01111000);

no Gray apenas uma transição e necessária (0100 1100)

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DAS/CTC/UFSC

Sistemas Numéricos


Gray 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000

Código Gray Código espelhado

45


Sistemas Numéricos

Tabela abaixo dá uma amostra dos códigos BCD e Gray

Decimal Binário BCD Gray 0 0000 0000 0000 1 0001 0001 0001 2 0010 0010 0011 3 0011 0011 0010 4 0100 0100 0110 5 0101 0101 0111 6 0110 0110 0101 7 0111 0111 0100 8 1000 1000 1100 9 1001 1001 1101 10 1010 0001 0000 1111 11 1011 0001 0001 1110 12 1100 0001 0010 1010 13 1101 0001 0011 1011 14 1110 0001 0100 1001 15 1111 0001 0101 1000

...... ...... ...... ......

46


Sistemas Numéricos

Código 7 segmentos

Código esta relacionado com os displays de segmentos usados em instrumentos para a apresentação de resultados.

Um display é construído usando sete segmentos luminosos (leds) dispostos de forma a representar os dígitos de “0” a “9” e as letras de “A” a “F”:

a

b

c d

e

f

g

a

b

c d

e

f

g

a

b

c d

e

f

g

a

b

c d

e

f

g

a

b

c d

e

f

g

47


Sistemas Numéricos

Considerando um segmento iluminado como tendo o valor “1”, temos a seguinte tabela para os dígitos hexadecimais n código de segmentos

Hexadecimal (Binário)

7 segmentos a b c d e f g

0 (0000) 1 1 1 1 1 1 0 1 (0001) 0 1 1 0 0 0 0 2 (0010) 1 1 0 1 1 0 1 3 (0011) 1 1 1 1 0 0 1 4 (0100) 0 1 1 0 0 1 1 5 (0101) 1 0 1 1 0 1 1 6 (0110) 1 0 1 1 1 1 1 7 (0111) 1 1 1 0 0 0 0 8 (1000) 1 1 1 1 1 1 1 9 (1001) 1 1 1 0 0 1 1 A (1010) 1 1 1 0 1 1 1 B (1011) 0 0 1 1 1 1 1 C (1100) 1 0 0 1 1 1 0 D (1101) 0 1 1 1 1 0 1 E (1110) 1 0 0 1 1 1 1 F (1111) 1 0 0 0 1 1 1

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

a

f

e

g

d

b

c

48

DAS/CTC/UFSC

American Standard Code for Information Exchange Codificação alfanumérica 7 ou 8 bits por símbolo

Outros Códigos Importantes: Código ASCII

48

49

DAS/CTC/UFSC

49


49

50

DAS/CTC/UFSC

mais significativo

menos significativo


50

Parte alta do byte dá a coluna

Parte baixa do byte dá linhas

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Sistemas digitais 1