Sistemas Dinâmicos Não-Lineares aplicados ao Design Sonoro

Bolsista: Marcelo A. Hoffmann (IC do período de Agosto de 2004 à Julho de 2005 (SAE/Unicamp))Orientador: Jonatas Manzolli (NICS)

Premissas do método FracWaveNa metodologia do Caos visualiza-se um espaço abstrato (espaço-fase). As coordenadas são os graus de liberdade do sistema.Cada ponto no espaço-fase representa um estado do sistema dinâmico em um certo momento do tempo. Um mapa não-linear, no caso discreto, gera órbitas, simples pontos limitados por ciclos, osciladores simples ou caóticos no espaço-fase. Essas estruturas são chamadas atratores, limites assintóticos da solução do sistema com aproximação de tempo infinita

Mapas NLD’s utilizadosUtiliza-se os dois sistemas dinâmicos não-lineares (NLD) abaixo:

MAPA NLD 1:

X(k+1) = Y(k) - sin(abs(B*X(k)-C))) Y(k+1) = A - X(k)

MAPA NLD 2:

X(k+1) = Y(k) – sign(X(k))*((abs(B-C*X(k)))^0.5)Y(k+1) = A - X(k)

Primeiro teste: mapa 2A = -1.4B = -3.9C = 1.410.000 iterações no mapa 24096 pontos interpolados no mapa, ou seja, DW de 4096 pontos.Frequência de 440HzDuração de 0,5 segundos, ganho igual a 0,5

Análises de um sinal periódicoPara um som de 440Hz (tendo uma DW de 4096 pontos) devemos ter então um vetor de leitura (indice) dos pontos interpolados, que armazena um ponto a cada 41 pontos do mapa. Ver a relação a baixo:

indice = (compvetor * fsom) / Fs Tendo, por exemplo, 44100 pontos e uma Fs (freq. Amostragem) igual

a 44,1kHz, teríamos que o vetor de leitura no buffer armazenaria 1 ponto a cada 440 pontos presentes no mapa.

Em um sinal periódico a informação seria irrelevante, porém, em um sinal não-linear, poderíamos perder informações ao ter um vetor de leitura

Mapa Espaço-fase

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

x(k)

y(k)

Espaço-fase, mapa NLD

Dynamic WaveTable (DW)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Numero de iteraçoes

Com

porta

men

to d

o N

LD

Dynamic Wavetable, Comportamento da funçao x(k) em funçao do numero de iteraçoes apos interpolaçao

EspectroGramaprimeiroteste.wav

Segundo teste: mapa 1A= -2,6541B= 3,5412 C= -2,4561625 iterações no mapa 11024 amostras na DW Freqüência de 267 Hz, (indice = 6)Duração de 0,5 segundos, ganho igual a 0,5

Mapa Espaço-fase

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

x(k)

y(k)

Espaço-fase, mapa NLD

Dynamic WaveTable

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Numero de iteraçoes

Com

porta

men

to d

o N

LDDynamic Wavetable, Comportamento da funçao x(k) em funçao do numero de iteraçoes apos interpolaçao

EspectrogramaSegundoteste.wav

Terceiro teste : Amostra diretamente do mapa 1

Agora faz-se um teste diretamente do mapa, considerando agora uma região com forte atrator.O comportamento tende a ser periódico, já que na determinada região o mapa espaço-fase é regular.Circunferências caracterizam sons que provavelmente venham a ser periódicos. Nesse teste, não foi controlada a frequência do somVerificar a distribuição de energia no sonograma (espectrograma)

Parâmetros iniciaisA = 2,84885714285714B = -0,401857142857143C = 4,27142857142857500 iterações no mapa512 pontos interpolados na DWDuração de 0,5 segundos e ganho igual a 0,5

Mapa Espaço-fase

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x(k)

y(k)

Espaço-fase, mapa NLD

Dynamic WaveTable

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Numero de iteraçoes

Com

porta

men

to d

o N

LD

Dynamic Wavetable, Comportamento da funçao x(k) em funçao do numero de iteraçoes apos interpolaçao

Espectrogramaterceiroteste.wav

Novos testes, A = -2,6541, B = 3,5412, C = -2,456 e 1625 iterações

quartoteste.wav Sintetizado através do mapa 1, s/ controle de frequência, 2048 iterações

quintoteste.wav Sintetizado através do mapa 1, s/ controle de frequência, 4096 iterações

sextoteste.wav Sintetizado através do mapa 1, s/ controle de frequência, 8192 iterações