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IntroduçãoMotivação
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ResoluçãoCasos Fáceis
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Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
MAE125 – Álgebra Linear II
Prof. Paulo Goldfelde-mail: [email protected]: C-112/B
quintas-feiras: aulas teóricas (slides)listas de exercícios
terças-feiras: aulas de exercícios (discussão)
http://www.dma.im.ufrj.br/˜goldfeld
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 56
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Motivação:uniformizar o cursoabrir espaço para exercíciosunificar horários e provas
Meta:
X aulas em slides
X listas de exercícios
? exercícios resolvidos
? monitoria× livro-texto
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Livros
Anton & Rorres, Álgebra Linear com AplicaçõesLay, Álgebra Linear e suas AplicaçõesLeon, Álgebra Linear com AplicaçõesStrang, Linear Algebra and its ApplicationsHefferon, Linear Algebra (disponível na internet)qualquer livro de Álgebra Linear
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Avaliação
duas provas, pesos iguais: MP =P1 + P2
2MP ≥ 7.0 ⇒ aprovado, MF = MPMP < 3.0 ⇒ reprovado3.0 ≤ MP < 7.0 ⇒ prova final
MF =MP + PF
2faltando P1 ou P2, MF = 0.3(P1 + P2) + 0.7(PF)
segunda-chamada:substitui PFrequer justificativa escritaé mais difícil
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Datas
16/08 – Auditório do CT
23/08 – Auditório do CT
06/09 – Auditório do CT
25/09 – 1a prova
27/11 – 2a prova
04/12 – prova final
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Página do Curso
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ementacalendáriosumário das aulasavisoslistas de exercíciosslidesnotas de aula
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Motivação - 1o Exemplo
Problema: há dois tipos de moeda, indistinguíveis excetopelo peso. As de material X pesam 10 g cada e as dematerial Y, 20 g cada. Se um conjunto de 100 moedaspesa 1.25 Kg, quantas são do material X?{
x + y = 10010x + 20y = 1250
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Motivação - 1o Exemplo
Problema: há dois tipos de moeda, indistinguíveis excetopelo peso. As de material X pesam 10 g cada e as dematerial Y, 20 g cada. Se um conjunto de 100 moedaspesa 1.25 Kg, quantas são do material X?{
x + y = 10010x + 20y = 1250
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Motivação - 2o Exemplo
Problema: a combustão do propano produz dióxido decarbono e água. Encontre a, b, c e d de forma a balanceara equação da reação: a C3H8 + b O2 −→ c CO2 + d H2O.
balanço de C: 3a = cbalanço de H: 8a = 2dbalanço de O: 2b = 2c + d
3a +0b −1c +0d = 08a +0b +0c −2d = 00a +2b −2c −1d = 0
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Problema: a combustão do propano produz dióxido decarbono e água. Encontre a, b, c e d de forma a balanceara equação da reação: a C3H8 + b O2 −→ c CO2 + d H2O.
balanço de C: 3a = cbalanço de H: 8a = 2dbalanço de O: 2b = 2c + d
3a +0b −1c +0d = 08a +0b +0c −2d = 00a +2b −2c −1d = 0
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Problema: a combustão do propano produz dióxido decarbono e água. Encontre a, b, c e d de forma a balanceara equação da reação: a C3H8 + b O2 −→ c CO2 + d H2O.
balanço de C: 3a = cbalanço de H: 8a = 2dbalanço de O: 2b = 2c + d
3a +0b −1c +0d = 08a +0b +0c −2d = 00a +2b −2c −1d = 0
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balanço de C: 3a = cbalanço de H: 8a = 2dbalanço de O: 2b = 2c + d
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Problema: a combustão do propano produz dióxido decarbono e água. Encontre a, b, c e d de forma a balanceara equação da reação: a C3H8 + b O2 −→ c CO2 + d H2O.
balanço de C: 3a = cbalanço de H: 8a = 2dbalanço de O: 2b = 2c + d
3a +0b −1c +0d = 08a +0b +0c −2d = 00a +2b −2c −1d = 0
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Motivação - 3o Exemplo
Problema: existe uma parábola γ da forma y = ax2 + bx + cpassando pelos pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)?
(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c
0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9
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Problema: existe uma parábola γ da forma y = ax2 + bx + cpassando pelos pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)?
(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c
0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9
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Problema: existe uma parábola γ da forma y = ax2 + bx + cpassando pelos pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)?
(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c
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Problema: existe uma parábola γ da forma y = ax2 + bx + cpassando pelos pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)?
(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c
0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9
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Problema: existe uma parábola γ da forma y = ax2 + bx + cpassando pelos pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)?
(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c
0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9
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Motivação - 3o Exemplo
Problema: existe uma parábola γ da forma y = ax2 + bx + cpassando pelos pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)?
(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c
0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9
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Plano de Ação
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Algoritmo
Exemplo Detalhado
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Mesma Matriz
Motivação
Quase todos os problemas da Álgebra Linear recaemna resolução de sistemas lineares. As técnicas pararesolvê-los nos acompanharão por todo o curso.
A resolução de sistemas lineares está no coração dequase todos os softwares de computação científica.Neste caso, os sistemas podem ter centenas demilhões de incógnitas.
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
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Exemplo Detalhado
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Mesma Matriz
Motivação
Quase todos os problemas da Álgebra Linear recaemna resolução de sistemas lineares. As técnicas pararesolvê-los nos acompanharão por todo o curso.
A resolução de sistemas lineares está no coração dequase todos os softwares de computação científica.Neste caso, os sistemas podem ter centenas demilhões de incógnitas.
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Geometria
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Sistema m × n (m equações em n incógnitas)
a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = b1
a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = b2...
.... . .
......
am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = bm
matriz aumentada︷ ︸︸ ︷a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn︸ ︷︷ ︸
matriz de coeficientes
b1
b2...
bm
︸ ︷︷ ︸lado direito
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IntroduçãoMotivação
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Sistema m × n (m equações em n incógnitas)
a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = b1
a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = b2...
.... . .
......
am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = bm
matriz aumentada︷ ︸︸ ︷a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn︸ ︷︷ ︸
matriz de coeficientes
b1
b2...
bm
︸ ︷︷ ︸lado direito
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IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Matriz m × n (m linhas, n colunas)
Am×n =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
m linhas
=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
n colunas
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SistemasLineares
Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Geometria
Exemplo:{
1x +1y = 21x −1y = 0
[1 1 21 −1 0
]
(2, 0)
(0, 2)
(1, 1)
Solução única. Conjunto-solução: {(1, 1)}
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 56
SistemasLineares
Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Geometria
Exemplo:{
1x +1y = 22x +2y = 2
[1 1 22 2 2
]
(2, 0)
(0, 2)
(0, 1)
(1, 0)
Sem solução. Conjunto-solução: { }
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 56
SistemasLineares
Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Geometria
Exemplo:{
1x +1y = 22x +2y = 4
[1 1 22 2 4
]
(2, 0)
(0, 2)
Infinitas soluções.Conjunto-solução: {(x , y) | x + y = 2} = {(t , 2− t) | t ∈ R}
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 56
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Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
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Conjunto-Solução
Um sistema linear de equações tem sempre:ou uma única solução;ou nenhuma solução;ou infinitas soluções.
Compare com o caso não-linear:
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Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Conjunto-Solução
Um sistema linear de equações tem sempre:ou uma única solução;ou nenhuma solução;ou infinitas soluções.
Compare com o caso não-linear:
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SistemasLineares
Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes diagonal 3 0 0 50 −2 0 40 0 1 −2
3x1 = 5−2x2 = 4
x3 = −2
Conjunto-solução:{(
53,−2,−2
)}
Definição (matriz diagonal)
A é diagonal se aij = 0 ∀ i 6= j .
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Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes diagonal 3 0 0 50 −2 0 40 0 1 −2
3x1 = 5−2x2 = 4
x3 = −2
Conjunto-solução:{(
53,−2,−2
)}
Definição (matriz diagonal)
A é diagonal se aij = 0 ∀ i 6= j .
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes triangular 3 1 3 20 −2 1 −50 0 2 −2
3x1 +x2 +3x3 = 2
−2x2 +x3 = −52x3 = −2
Substituição para trás:
2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2
3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1
Definição (matriz triangular superior)
A é triangular superior se aij = 0 ∀ i > j .
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Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
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Mesma Matriz
Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes triangular 3 1 3 20 −2 1 −50 0 2 −2
3x1 +x2 +3x3 = 2
−2x2 +x3 = −52x3 = −2
Substituição para trás:
2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2
3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1
Definição (matriz triangular superior)
A é triangular superior se aij = 0 ∀ i > j .
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Equivalência
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Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
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Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes triangular 3 1 3 20 −2 1 −50 0 2 −2
3x1 +x2 +3x3 = 2
−2x2 +x3 = −52x3 = −2
Substituição para trás:
2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2
3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1
Definição (matriz triangular superior)
A é triangular superior se aij = 0 ∀ i > j .
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Forma Escalonada
Algoritmo
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Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes triangular 3 1 3 20 −2 1 −50 0 2 −2
3x1 +x2 +3x3 = 2
−2x2 +x3 = −52x3 = −2
Substituição para trás:
2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2
3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1
Definição (matriz triangular superior)
A é triangular superior se aij = 0 ∀ i > j .
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Forma Escalonada
Algoritmo
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Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes triangular 3 1 3 20 −2 1 −50 0 2 −2
3x1 +x2 +3x3 = 2
−2x2 +x3 = −52x3 = −2
Substituição para trás:
2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2
3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1
Definição (matriz triangular superior)
A é triangular superior se aij = 0 ∀ i > j .
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Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
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Após Escalonamento
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Mesma Matriz
Sistemas Equivalentes
Definição (sistemas equivalentes)
Dois sistemas (nas mesmas variáveis) são equivalentes setêm o mesmo conjunto-solução.[
1 1 21 −1 0
] 1 2 31 −1 03 1 4
(2, 0)
(0, 2)
(1, 1)
(3, 0)
(0,
32
)(1, 1)
(43, 0
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
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Mesma Matriz
Estratégia para Solução de Sistemas Lineares
Buscar sistema equivalente “fácil”:na forma escalonada (“tipo” triangular) ouna forma totalmente escalonada (“tipo” diagonal).
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
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Mesma Matriz
Gerando Sistemas Equivalentes
Fatos a serem lembrados:{A = BC = D
⇔{
C = DA = B
A = AB = CB = C
⇔{
B = C
A = BC = DE = F
A = B
f (A, C, E) = f (B, D, F )E = F
contra-exemplo: (−1)2 = (1)2 6⇒ − 1 = 1
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Equivalência
Primeiro Exemplo
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Algoritmo
Exemplo Detalhado
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Gerando Sistemas Equivalentes
Fatos a serem lembrados:{A = BC = D
⇔{
C = DA = B
A = AB = CB = C
⇔{
B = C
A = BC = DE = F
A = B
f (A, C, E) = f (B, D, F )E = F
contra-exemplo: (−1)2 = (1)2 6⇒ − 1 = 1
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Primeiro Exemplo
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Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
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Gerando Sistemas Equivalentes
Fatos a serem lembrados:{A = BC = D
⇔{
C = DA = B
A = AB = CB = C
⇔{
B = C
A = BC = DE = F
⇒
A = B
f (A, C, E) = f (B, D, F )E = F
contra-exemplo: (−1)2 = (1)2 6⇒ − 1 = 1
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Primeiro Exemplo
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Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
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Gerando Sistemas Equivalentes
Fatos a serem lembrados:{A = BC = D
⇔{
C = DA = B
A = AB = CB = C
⇔{
B = C
A = BC = DE = F
⇒6⇐
A = B
f (A, C, E) = f (B, D, F )E = F
contra-exemplo: (−1)2 = (1)2 6⇒ − 1 = 1
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Geometria
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Gerando Sistemas Equivalentes
Fatos a serem lembrados:{A = BC = D
⇔{
C = DA = B
A = AB = CB = C
⇔{
B = C
A = BC = DE = F
⇒6⇐
A = B
f (A, C, E) = f (B, D, F )E = F
contra-exemplo: (−1)2 = (1)2 6⇒ − 1 = 1
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Equivalência
Primeiro Exemplo
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Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
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CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Operações Fundamentais
1 Trocar a ordem das linhas[l1 b1l2 b2
]∼
[l2 b2l1 b1
]2 Multiplicar uma linha por um escalar não-nulo[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1αl2 αb2
]3 Substituir linha por sua soma com múltiplo de outra[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1
l2 + αl1 b2 + αb1
]4 Descartar linhas só de zeros[
l1 b10 0 · · · 0 0
]∼
[l1 b1
]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 56
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Operações Fundamentais
1 Trocar a ordem das linhas[l1 b1l2 b2
]∼
[l2 b2l1 b1
]2 Multiplicar uma linha por um escalar não-nulo[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1αl2 αb2
]3 Substituir linha por sua soma com múltiplo de outra[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1
l2 + αl1 b2 + αb1
]4 Descartar linhas só de zeros[
l1 b10 0 · · · 0 0
]∼
[l1 b1
]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 56
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Operações Fundamentais
1 Trocar a ordem das linhas[l1 b1l2 b2
]∼
[l2 b2l1 b1
]2 Multiplicar uma linha por um escalar não-nulo[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1αl2 αb2
]3 Substituir linha por sua soma com múltiplo de outra[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1
l2 + αl1 b2 + αb1
]4 Descartar linhas só de zeros[
l1 b10 0 · · · 0 0
]∼
[l1 b1
]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 56
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ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Operações Fundamentais
1 Trocar a ordem das linhas[l1 b1l2 b2
]∼
[l2 b2l1 b1
]2 Multiplicar uma linha por um escalar não-nulo[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1αl2 αb2
]3 Substituir linha por sua soma com múltiplo de outra[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1
l2 + αl1 b2 + αb1
]4 Descartar linhas só de zeros[
l1 b10 0 · · · 0 0
]∼
[l1 b1
]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 56
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
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Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
l3 ← l3 + 3l1
3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )
3 13 4 16+ −3 −6 −12 6
0 7 −8 22
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
l3 ← l3 + 3l1
3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )
3 13 4 16+ −3 −6 −12 6
0 7 −8 22
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 56
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
l3 ← l3 + 3l1
3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )
3 13 4 16+ −3 −6 −12 6
0 7 −8 22
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ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
l3 ← l3 + 3l1
3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )
3 13 4 16+ −3 −6 −12 6
0 7 −8 22
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Primeiro Exemplo
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Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
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Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
l3 ← l3 + 3l1
3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )
3 13 4 16+ −3 −6 −12 6
0 7 −8 22
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Geometria
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3
l3 ← l3 + l2
0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22
0 0 3 −3
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IntroduçãoMotivação
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3
l3 ← l3 + l2
0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22
0 0 3 −3
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3
l3 ← l3 + l2
0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22
0 0 3 −3
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 56
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3
l3 ← l3 + l2
0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22
0 0 3 −3
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 56
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ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1
l3 ←
13
l3
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1
l3 ←
13
l3
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Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1
l3 ←
13
l3
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 56
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Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1
∼
−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1
l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3
−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4
−1 −2 0 −2
0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11
0 −7 0 −14
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1
∼
−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1
l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3
−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4
−1 −2 0 −2
0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11
0 −7 0 −14
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 56
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1
∼
−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1
l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3
−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4
−1 −2 0 −2
0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11
0 −7 0 −14
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Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1
∼
−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1
l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3
−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4
−1 −2 0 −2
0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11
0 −7 0 −14
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CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1
∼
−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l2 ← −
17
l2
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Primeiro Exemplo
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CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1
∼
−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l2 ← −
17
l2
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Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1
∼
−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l2 ← −
17
l2
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Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1
∼
−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← l1 + 2l2
−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4
−1 0 0 2
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Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1
∼
−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← l1 + 2l2
−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4
−1 0 0 2
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Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1
∼
−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← l1 + 2l2
−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4
−1 0 0 2
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Mesma Matriz
Primeiro Exemplo
−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1
∼
−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← l1 + 2l2
−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4
−1 0 0 2
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Primeiro Exemplo
−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
∼
1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← −l1
x1 = −2x2 = 2x3 = −1
Conjunto-solução: {(−2, 2,−1)}
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Primeiro Exemplo
−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
∼
1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← −l1
x1 = −2x2 = 2x3 = −1
Conjunto-solução: {(−2, 2,−1)}
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−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
∼
1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← −l1
x1 = −2x2 = 2x3 = −1
Conjunto-solução: {(−2, 2,−1)}
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−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
∼
1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← −l1
x1 = −2x2 = 2x3 = −1
Conjunto-solução: {(−2, 2,−1)}
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Forma Escalonada
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−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
∼
1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← −l1
x1 = −2x2 = 2x3 = −1
Conjunto-solução: {(−2, 2,−1)}
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Plano de Ação paraa Solução de Sistemas Lineares
Para onde vamos?Forma escalonada e forma totalmente escalonadaComo vamos?Algoritmo de eliminação de GaussO que fazer quando chegarmos lá?Solução de sistemas na forma totalmente escalonada
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Para onde vamos?Forma escalonada e forma totalmente escalonadaComo vamos?Algoritmo de eliminação de GaussO que fazer quando chegarmos lá?Solução de sistemas na forma totalmente escalonada
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Para onde vamos?Forma escalonada e forma totalmente escalonadaComo vamos?Algoritmo de eliminação de GaussO que fazer quando chegarmos lá?Solução de sistemas na forma totalmente escalonada
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Plano de Ação paraa Solução de Sistemas Lineares
Para onde vamos?Forma escalonada e forma totalmente escalonadaComo vamos?Algoritmo de eliminação de GaussO que fazer quando chegarmos lá?Solução de sistemas na forma totalmente escalonada
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Forma Escalonada
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Mesma Matriz
Forma Escalonada
Definição (forma escalonada)
Diz-se que uma matriz está (na forma) escalonada seo número de zeros no início de cada linha aumentaestritamente de uma linha para outra enão há linhas só de zeros.
4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6
X
4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6
×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 56
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Forma Escalonada
Definição (forma escalonada)
Diz-se que uma matriz está (na forma) escalonada seo número de zeros no início de cada linha aumentaestritamente de uma linha para outra enão há linhas só de zeros.
4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6
X
4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6
×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 56
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Forma Escalonada
Definição (forma escalonada)
Diz-se que uma matriz está (na forma) escalonada seo número de zeros no início de cada linha aumentaestritamente de uma linha para outra enão há linhas só de zeros.
4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6
X
4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6
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Forma Escalonada
Algoritmo
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Forma Escalonada
Definição (forma escalonada)
Diz-se que uma matriz está (na forma) escalonada seo número de zeros no início de cada linha aumentaestritamente de uma linha para outra enão há linhas só de zeros.
4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6
X
4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6
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Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
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Mesma Matriz
Forma Escalonada
Definição (forma escalonada)
Diz-se que uma matriz está (na forma) escalonada seo número de zeros no início de cada linha aumentaestritamente de uma linha para outra enão há linhas só de zeros.
4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6
X
4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6
×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 56
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Forma Escalonada
Algoritmo
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Após Escalonamento
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Mesma Matriz
Pivot
Definição (pivot)
São denominados pivots os primeiros elementos não nulosde cada linha de uma matriz escalonada.
4 −7 0 −14 40 0 5 0 −10 0 0 −13 6
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Pivot
Definição (pivot)
São denominados pivots os primeiros elementos não nulosde cada linha de uma matriz escalonada.
4 −7 0 −14 40 0 5 0 −10 0 0 −13 6
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Forma Escalonada
Algoritmo
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Mesma Matriz
Forma Totalmente Escalonada
Definição (forma totalmente escalonada)
Uma matriz está totalmente escalonada seestá escalonada,os pivots são todos 1’s eos pivots são os únicos não-nulos de suas colunas.
1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6
X
1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6
×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 56
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Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Forma Totalmente Escalonada
Definição (forma totalmente escalonada)
Uma matriz está totalmente escalonada seestá escalonada,os pivots são todos 1’s eos pivots são os únicos não-nulos de suas colunas.
1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6
X
1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6
×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 56
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Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
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Mesma Matriz
Forma Totalmente Escalonada
Definição (forma totalmente escalonada)
Uma matriz está totalmente escalonada seestá escalonada,os pivots são todos 1’s eos pivots são os únicos não-nulos de suas colunas.
1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6
X
1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6
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Mesma Matriz
Forma Totalmente Escalonada
Definição (forma totalmente escalonada)
Uma matriz está totalmente escalonada seestá escalonada,os pivots são todos 1’s eos pivots são os únicos não-nulos de suas colunas.
1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6
X
1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6
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Forma Escalonada
Algoritmo
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CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Forma Totalmente Escalonada
Definição (forma totalmente escalonada)
Uma matriz está totalmente escalonada seestá escalonada,os pivots são todos 1’s eos pivots são os únicos não-nulos de suas colunas.
1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6
X
1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6
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Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
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Mesma Matriz
Eliminação de GaussParte I – Forma Escalonada
Descarte linhas só de zeros.p ← (no de linhas).k ← 1.Enquanto k < p, repita:
Considere apenas as linhas lk , lk+1, . . . , lp.Identifique a coluna não nula mais à esquerda.Troque linhas para obter pivot não nulo.Anule as entradas abaixo do pivot,subtraindo de lk+1, lk+2, . . . , lp múltiplos de lk .Descarte linhas só de zeros.p ← (no de linhas).k ← k + 1.
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IntroduçãoMotivação
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Eliminação de GaussParte II – Forma Totalmente Escalonada
Execute a Parte I do algoritmo.Repita, para k = p, p − 1, . . . , 1:
Divida lk pelo seu pivot, tornando-o 1.Anule as entradas acima do pivot,subtraindo de l1, l2, . . . , lk−1 múltiplos de lk .
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IntroduçãoMotivação
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10
6 18 11 0 14
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10
6 18 11 0 14
Início da Parte I: escalonamento da matrizDescarte linhas só de zeros.p ← 4.k ← 1.
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Geometria
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10
6 18 11 0 14
Início do primeiro laço.Considere apenas as linhas l1, l2, l3 e l4
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IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10
6 18 11 0 14
Identifique a coluna não nula mais à esquerda.Troque linhas para obter pivot não nulo.
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IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10
6 18 11 0 14
Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l2, l3, l4 múltiplos de l1.
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IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2
Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l2, l3, l4 múltiplos de l1.
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Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2
Descarte linhas só de zeros.p ← 4k ← 2
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Mesma Matriz
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2
Considere apenas as linhas 2, 3 e 4
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2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2
Identifique a coluna não nula mais à esquerda.Troque linhas para obter pivot não nulo.
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2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 2 −3 2
Identifique a coluna não nula mais à esquerda.Troque linhas para obter pivot não nulo.
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2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 2 −3 2
Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l3 e de l4 múltiplos de l2.
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2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2
Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l3 e de l4 múltiplos de l2.
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2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2
Descarte linhas só de zeros.p ← 4k ← 3
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2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2
Considere apenas as linhas 3 e 4
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2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2
Identifique a coluna não nula mais à esquerda.Troque linhas para obter pivot não nulo.
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2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2
Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l4 um múltiplo de l3.
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2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 0 0
Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l4 um múltiplo de l3.
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2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 0 0
Descarte linhas só de zeros.p ← (no de linhas)
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2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 6
Descarte linhas só de zeros.p ← 3
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2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 6
Descarte linhas só de zeros.p ← 3k ← 4
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2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 6
Fim da Parte I: matriz já está escalonada.Início da Parte II: escalonamento totalk ← 3Divida l3 pelo seu pivot .
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2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 1 −2
Fim da Parte I: matriz já está escalonada.Início da Parte II: escalonamento totalk ← 3Divida l3 pelo seu pivot .
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Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 1 −2
Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1, l2 múltiplos de l3.
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Mesma Matriz
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 0 60 0 −1 0 20 0 0 1 −2
Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1, l2 múltiplos de l3.
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Mesma Matriz
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2 6 3 0 60 0 −1 0 20 0 0 1 −2
k ← 2Divida l2 pelo seu pivot .
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Mesma Matriz
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2
k ← 2Divida l2 pelo seu pivot .
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Mesma Matriz
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2
Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1 múltiplos de l2.
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Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 0 0 120 0 1 0 −20 0 0 1 −2
Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1 múltiplos de l2.
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Algoritmo
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Mesma Matriz
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 0 0 120 0 1 0 −20 0 0 1 −2
k ← 1Divida l1 pelo seu pivot .
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Exemplo de Eliminação de Gauss
1 3 0 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2
k ← 1Divida l1 pelo seu pivot .
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
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Mesma Matriz
Exemplo de Eliminação de Gauss
1 3 0 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2
Anule as entradas acima do pivot .Fim da Parte II: a matriz está totalmente escalonada.
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Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
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Mesma Matriz
Existência de Solução
Notação:{
0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade
1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }
sistema inconsistente
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Existência de Solução
Notação:{
0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade
1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }
sistema inconsistente
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Existência de Solução
Notação:{
0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade
1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }
sistema inconsistente
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Existência de Solução
Notação:{
0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade
1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }
sistema inconsistente
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ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Exemplos
Exemplo (sistema inconsistente)
1 0 00 1 00 0 1
Exemplo (sistema inconsistente)
1 −3 0 5 00 0 1 2 00 0 0 0 1
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Exemplos
Exemplo (sistema inconsistente)
1 0 00 1 00 0 1
Exemplo (sistema inconsistente)
1 −3 0 5 00 0 1 2 00 0 0 0 1
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 38 / 56
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Solução Única
2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
x1 = ?x2 = ?...
...xn = ?
⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}
solução única
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Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
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Mesma Matriz
Solução Única
2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
x1 = ?x2 = ?...
...xn = ?
⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}
solução única
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Primeiro Exemplo
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Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Solução Única
2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
x1 = ?x2 = ?...
...xn = ?
⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}
solução única
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Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Solução Única
2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
x1 = ?x2 = ?...
...xn = ?
⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}
solução única
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Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Exemplos
Exemplo (sistema com solução única)
1 0 0 −20 1 0 00 0 1 11
Exemplo (sistema com solução única)
1 0 0 0 70 1 0 0 −40 0 1 0 −30 0 0 1 13
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Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Exemplos
Exemplo (sistema com solução única)
1 0 0 −20 1 0 00 0 1 11
Exemplo (sistema com solução única)
1 0 0 0 70 1 0 0 −40 0 1 0 −30 0 0 1 13
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Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Infinitas Soluções
3o caso: sistema totalmente escalonadonão se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 4
0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2
Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:
{x2 = rx4 = s
O sistema pode ser reescrito:1x1 = 4 +3r −5s
1x3 = −2s1x5 = −2
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Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Infinitas Soluções
3o caso: sistema totalmente escalonadonão se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 4
0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2
Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:
{x2 = rx4 = s
O sistema pode ser reescrito:1x1 = 4 +3r −5s
1x3 = −2s1x5 = −2
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Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Infinitas Soluções
3o caso: sistema totalmente escalonadonão se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 4
0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2
Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:
{x2 = rx4 = s
O sistema pode ser reescrito:1x1 = 4 +3r −5s
1x3 = −2s1x5 = −2
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Infinitas Soluções – cont.
1x1 = 4 + 3r − 5s
1x3 = −2s1x5 = −2
r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x2 e x3: 1 0 0 4 + 3r − 5s0 1 0 −2s0 0 1 −2
Solução única: (4 + 3r − 5s, −2s, −2)
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Infinitas Soluções – cont.
1x1 = 4 + 3r − 5s
1x3 = −2s1x5 = −2
r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x2 e x3: 1 0 0 4 + 3r − 5s0 1 0 −2s0 0 1 −2
Solução única: (4 + 3r − 5s, −2s, −2)
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Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Infinitas Soluções – cont.
1x1 = 4 + 3r − 5s
1x3 = −2s1x5 = −2
r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x2 e x3: 1 0 0 4 + 3r − 5s0 1 0 −2s0 0 1 −2
Solução única: (4 + 3r − 5s, −2s, −2)
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Infinitas Soluções – cont.
Sistema em x1, x3 e x5:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = rx3 = −2 s
x4 = sx5 = −2
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Infinitas Soluções – cont.
Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = rx3 = −2 s
x4 = sx5 = −2
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Infinitas Soluções – cont.
Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = rx3 = −2 s
x4 = sx5 = −2
Conjunto-solução:
{(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}
ou ainda:
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Infinitas Soluções – cont.
Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = 0 +1 r +0 sx3 = 0 +0 r −2 s
x4 = 0 +0 r +1 sx5 = −2 +0 r +0 s
Conjunto-solução:
{(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}
ou ainda:
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Infinitas Soluções – cont.
Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = 0 +1 r +0 sx3 = 0 +0 r −2 s
x4 = 0 +0 r +1 sx5 = −2 +0 r +0 s
Conjunto-solução:
{(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}
ou ainda:
{(4, 0, 0, 0,−2)+ r(3, 1, 0, 0, 0)+s(−5, 0,−2, 1, 0) | r , s ∈ R}
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Infinitas Soluções – cont.
Nomenclatura:
x2, x4 − variáveis livresr , s − parâmetrosx1, x3, x5 − variáveis dependentes
Variáveis Livres
Tomam-se como variáveis livres aquelas associadas acolunas sem pivots.Número de variáveis livres = n − p, onden = (no de incógnitas) = (no de colunas)p = (no de pivots) = (no de linhas após escalonamento)
p{ [
0 1 0 ?0 0 1 ?︸ ︷︷ ︸
n
??
]variáveis livres: x1 e x4
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Infinitas Soluções – cont.
Nomenclatura:
x2, x4 − variáveis livresr , s − parâmetrosx1, x3, x5 − variáveis dependentes
Variáveis Livres
Tomam-se como variáveis livres aquelas associadas acolunas sem pivots.Número de variáveis livres = n − p, onden = (no de incógnitas) = (no de colunas)p = (no de pivots) = (no de linhas após escalonamento)
p{ [
0 1 0 ?0 0 1 ?︸ ︷︷ ︸
n
??
]variáveis livres: x1 e x4
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Infinitas Soluções – cont.
Nomenclatura:
x2, x4 − variáveis livresr , s − parâmetrosx1, x3, x5 − variáveis dependentes
Variáveis Livres
Tomam-se como variáveis livres aquelas associadas acolunas sem pivots.Número de variáveis livres = n − p, onden = (no de incógnitas) = (no de colunas)p = (no de pivots) = (no de linhas após escalonamento)
p{ [
0 1 0 ?0 0 1 ?︸ ︷︷ ︸
n
??
]variáveis livres: x1 e x4
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ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Outro Exemplo com Infinitas Soluções
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
]variáveis livres: x1 e x3
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Outro Exemplo com Infinitas Soluções
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
]variáveis livres: x1 e x3
Sistema original:x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Outro Exemplo com Infinitas Soluções
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
]variáveis livres: x1 e x3
Com eqs. p/ variáveis livres:x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Outro Exemplo com Infinitas Soluções
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
]variáveis livres: x1 e x3
Com eqs. p/ variáveis livres:x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
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Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Gerando Soluções
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
Fazendo r = 0 e s = 0, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 0(1, 0, 0, 0) + 0(0,−3, 1, 0) = (0,−7, 0, 4).
Fazendo r = 3 e s = −2, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 3(1, 0, 0, 0)− 2(0,−3, 1, 0) = (3,−1,−2, 4).
Infinitas Soluções
Para cada escolha dos parâmetros r e s, uma soluçãodistinta é gerada.
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Gerando Soluções
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
Fazendo r = 0 e s = 0, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 0(1, 0, 0, 0) + 0(0,−3, 1, 0) = (0,−7, 0, 4).
Fazendo r = 3 e s = −2, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 3(1, 0, 0, 0)− 2(0,−3, 1, 0) = (3,−1,−2, 4).
Infinitas Soluções
Para cada escolha dos parâmetros r e s, uma soluçãodistinta é gerada.
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Sobre o Curso
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Gerando Soluções
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
Fazendo r = 0 e s = 0, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 0(1, 0, 0, 0) + 0(0,−3, 1, 0) = (0,−7, 0, 4).
Fazendo r = 3 e s = −2, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 3(1, 0, 0, 0)− 2(0,−3, 1, 0) = (3,−1,−2, 4).
Infinitas Soluções
Para cada escolha dos parâmetros r e s, uma soluçãodistinta é gerada.
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Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Gerando Soluções
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
Fazendo r = 0 e s = 0, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 0(1, 0, 0, 0) + 0(0,−3, 1, 0) = (0,−7, 0, 4).
Fazendo r = 3 e s = −2, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 3(1, 0, 0, 0)− 2(0,−3, 1, 0) = (3,−1,−2, 4).
Infinitas Soluções
Para cada escolha dos parâmetros r e s, uma soluçãodistinta é gerada.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 46 / 56
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
− inconsistente
1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 47 / 56
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Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
− inconsistente
1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 47 / 56
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Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
− inconsistente
1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 47 / 56
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Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
− inconsistente
1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 47 / 56
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Sobre o Curso
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Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
− inconsistente
1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 47 / 56
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
− inconsistente
1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 47 / 56
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Sobre o Curso
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Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
− inconsistente
1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 47 / 56
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada
0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0
−→
0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
? ? ? ?
0 ? ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗
? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗
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Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada
0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0
−→
0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
? ? ? ?
0 ? ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗
? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 48 / 56
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Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada
0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0
−→
0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
? ? ? ?
0 ? ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗
? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada
0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0
−→
0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
? ? ? ?
0 ? ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗
? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada
0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0
−→
0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
? ? ? ?
0 ? ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗
? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗
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ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada
0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0
−→
0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
? ? ? ?
0 ? ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗
? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗
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ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0
− inconsistente
? · · · ? ?
0 · · · ? ?...
.... . .
......
0 0 · · · ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 49 / 56
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Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0
− inconsistente
? · · · ? ?
0 · · · ? ?...
.... . .
......
0 0 · · · ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 49 / 56
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Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0
− inconsistente
? · · · ? ?
0 · · · ? ?...
.... . .
......
0 0 · · · ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
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Primeiro Exemplo
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Forma Escalonada
Algoritmo
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Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0
− inconsistente
? · · · ? ?
0 · · · ? ?...
.... . .
......
0 0 · · · ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
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Sobre o Curso
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Geometria
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0
− inconsistente
? · · · ? ?
0 · · · ? ?...
.... . .
......
0 0 · · · ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
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Geometria
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0
− inconsistente
? · · · ? ?
0 · · · ? ?...
.... . .
......
0 0 · · · ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
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Geometria
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0
− inconsistente
? · · · ? ?
0 · · · ? ?...
.... . .
......
0 0 · · · ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0
√π 9
0 0 0 0 311
−→ inconsistente
13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0
−→ infinitas soluções1 variável livre
2 2 −8 12 00 e3 11 1 1
20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3
−→ solução única
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Plano de Ação
Forma Escalonada
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Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0
√π 9
0 0 0 0 311
−→ inconsistente
13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0
−→ infinitas soluções1 variável livre
2 2 −8 12 00 e3 11 1 1
20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3
−→ solução única
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0
√π 9
0 0 0 0 311
−→ inconsistente
13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0
−→ infinitas soluções1 variável livre
2 2 −8 12 00 e3 11 1 1
20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3
−→ solução única
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Primeiro Exemplo
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Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
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Discussão de Existência e Unicidade
Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0
√π 9
0 0 0 0 311
−→ inconsistente
13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0
−→ infinitas soluções1 variável livre
2 2 −8 12 00 e3 11 1 1
20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3
−→ solução única
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0
√π 9
0 0 0 0 311
−→ inconsistente
13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0
−→ infinitas soluções1 variável livre
2 2 −8 12 00 e3 11 1 1
20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3
−→ solução única
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Discussão de Existência e Unicidade
Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0
√π 9
0 0 0 0 311
−→ inconsistente
13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0
−→ infinitas soluções1 variável livre
2 2 −8 12 00 e3 11 1 1
20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3
−→ solução única
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Geometria
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Sistemas Homogêneos
Definição
sistema homogêneoa11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = 0a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = 0
......
. . ....
...am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = 0
Definição (solução trivial)
O vetor nulo (0, 0, . . . , 0) é sempre solução do sistemahomogêneo. Esta solução é chamada solução trivial.
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
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ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4
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Equivalência
Primeiro Exemplo
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Forma Escalonada
Algoritmo
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CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
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Primeiro Exemplo
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Forma Escalonada
Algoritmo
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Mesma Matriz
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
[0 1 3 0 00 0 0 1 0
] x1 = 1 rx2 = −3 sx3 = 1 sx4 = 0
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Forma Escalonada
Algoritmo
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CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
[0 1 3 0 00 0 0 1 0
] x1 = 1 rx2 = −3 sx3 = 1 sx4 = 0
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Primeiro Exemplo
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Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
[0 1 3 0 00 0 0 1 0
] x1 = 1 r 0 sx2 = 0 r −3 sx3 = 0 r 1 sx4 = 0 r 0 s
Conjunto-solução:{r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
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Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
· · · ∗ 0...
. . ....
...0 · · · 0
Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...
. . ....
...? · · · ? ?
∼
· · · ∗ ∗...
. . ....
...0 · · · ∗
ou
· · · ∗ ∗
.... . .
......
0 · · · ∗0 · · · 0
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Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
· · · ∗ 0...
. . ....
...0 · · · 0
Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...
. . ....
...? · · · ? ?
∼
· · · ∗ ∗...
. . ....
...0 · · · ∗
ou
· · · ∗ ∗
.... . .
......
0 · · · ∗0 · · · 0
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Geometria
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Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
· · · ∗ 0...
. . ....
...0 · · · 0
Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...
. . ....
...? · · · ? ?
∼
· · · ∗ ∗...
. . ....
...0 · · · ∗
ou
· · · ∗ ∗
.... . .
......
0 · · · ∗0 · · · 0
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 54 / 56
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ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
· · · ∗ 0...
. . ....
...0 · · · 0
Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...
. . ....
...? · · · ? ?
∼
· · · ∗ ∗...
. . ....
...0 · · · ∗
ou
· · · ∗ ∗
.... . .
......
0 · · · ∗0 · · · 0
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Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
sistema homogêneo tem solução única⇓
sistema não-homogêneo{
ou tem solução únicaou não tem solução
sistema homogêneo tem k variáveis livres⇓
sistema não-homogêneo{
ou tem k variáveis livresou não tem solução
Voltaremos a estas questões ao falarmos de núcleo.
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Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
sistema homogêneo tem solução única⇓
sistema não-homogêneo{
ou tem solução únicaou não tem solução
sistema homogêneo tem k variáveis livres⇓
sistema não-homogêneo{
ou tem k variáveis livresou não tem solução
Voltaremos a estas questões ao falarmos de núcleo.
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Primeiro Exemplo
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Algoritmo
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Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
sistema homogêneo tem solução única⇓
sistema não-homogêneo{
ou tem solução únicaou não tem solução
sistema homogêneo tem k variáveis livres⇓
sistema não-homogêneo{
ou tem k variáveis livresou não tem solução
Voltaremos a estas questões ao falarmos de núcleo.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 55 / 56
SistemasLineares
Sobre o Curso
IntroduçãoMotivação
Definições
Geometria
ResoluçãoCasos Fáceis
Equivalência
Primeiro Exemplo
Plano de Ação
Forma Escalonada
Algoritmo
Exemplo Detalhado
Após Escalonamento
CasosEspeciaisSist. Homogêneos
Mesma Matriz
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]∼
[1 2 40 1 1
]∼
[1 0 20 1 1
]
[1 2 −12 5 −3
]∼
[1 2 −10 1 −1
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[1 0 10 1 −1
]
[1 2 4 −12 5 9 −3
]∼
[1 2 4 −10 1 1 −1
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[1 0 2 10 1 1 −1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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Mesma Matriz
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[1 2 42 5 9
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Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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[1 2 42 5 9
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Mesma Matriz
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[1 2 42 5 9
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[1 2 40 1 1
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[1 2 42 5 9
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