Sistemas por Unidade - cricte2004.eletrica.ufpr.br · Vantagens de utilizar pu •Permite ignorar os transformadores ideais, que ficam com relação 1:1 em pu; •Comparações de

TE 061 - Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica

Sistemas por Unidade

Introdução

• A formulação em por unidade (pu) pode ser usadaem qualquer ramo da ciência. Na Engenharia Elétricao uso da representação do Sistema de Energia em pusimplifica a modelagem e resolução de problemas;

• A ideia é efetuar uma mudança de unidade dasgrandezas fundamentais tensão, corrente, potências,impedância e admitância que passam a serexpressas em pu.

1


Introdução

• Antes de se expressar uma determinada grandezaem pu é necessário definir o valor de base dessagrandeza.

• 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟_𝑝𝑢 =𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟_𝑛𝑎_𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒_𝑑𝑎_𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟_𝑑𝑎_𝑏𝑎𝑠𝑒

• 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟_% = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟_𝑝𝑢 . 100

2


Vantagens de utilizar pu

• Permite ignorar os transformadores ideais, queficam com relação 1:1 em pu;

• Comparações de tensões, correntes, e outrasgrandezas ficam facilitadas;

• Em computadores, os valores são da mesma ordemde grandeza, resultando em maior precisão;

• As impedâncias dos equipamentos já são dadas empu pelo fabricante;

• Estudos de planejamento ficam mais fáceis, pois asimpedâncias típicas em pu são conhecidas paralinhas, transformadores, etc.

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Seleção de bases

• Geralmente são escolhidas duas basesindependentes: Potência Trifásica e Tensão de Linha(fase-fase);

• Para sistemas de transmissão, geralmente a base depotência é de 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 100𝑀𝑉𝐴;

• Em cada área ainda sem base definida, que estejaligada a uma área com base 𝑉𝐵𝑥 por meio de umtransformador de relação 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑚/𝑉𝑠𝑒𝑐, a próxima baseserá:

𝑉𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑎_𝑏𝑎𝑠𝑒 =𝑉𝑠𝑒𝑐𝑉𝑝𝑟𝑖𝑚

. 𝑉𝐵𝑥

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Seleção de bases

• Um sistema complexo com vários níveis detensão pode ser dividido em tantas áreasdiferentes quanto transformadores existirem;

• A base de tensão é definida para uma destasáreas, sendo as outras calculadas de acordo coma relação de transformação de cadatransformador;

• Para cada área haverá bases de corrente,impedância e admitância diferentes.

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Seleção de bases

• A partir das duas bases, é possível calcular todas asoutras bases do sistema:

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CORRENTE MONOFÁSICA CORRENTE TRIFÁSICA

𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒

𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒[A] 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 =

𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒

3 . 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒[A]

IMPEDÂNCIA

𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 =(𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒)

2

𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒[Ω]


Exercício 1

• Um gerador de 100 MVA, 13,8kV, alimenta umacarga com tensão nominal através de umtransformador trifásico de 100 MVA, 13,8/138kV.Encontre as bases de tensão, impedância e corrente.

7


Exercício 1

8


Área 1 Área 2

𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴 𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴

𝑉𝐵1 = 13,8 𝑘𝑉 𝑉𝐵2 = 138 𝑘𝑉

𝑍𝐵1 = ? 𝑍𝐵2 = ?

𝐼𝐵1 = ? 𝐼𝐵2 = ?

Exercício 1

• Área 1:

– 𝑍𝐵1 =(𝑉𝐵1)

2

𝑆𝐵=

(13,8𝑘)²

100𝑀= 1,9044 Ω

– 𝐼𝐵1 =𝑆𝐵

3 . 𝑉𝐵1=

100𝑀

3. 13,8𝑘= 4188 𝐴

• Área 2:

– 𝑍𝐵2 =(𝑉𝐵2)

2

𝑆𝐵=

(138𝑘)²

100𝑀= 190,44 Ω


3 . 𝑉𝐵2=

100𝑀

3. 138𝑘= 418,8 𝐴

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Exercício 2

• Encontre as bases de tensão, impedância e corrente dosistema abaixo e passe as impedâncias das linhas,transformadores e carga para pu. Dados:

– 𝑆𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 15 + 𝑗5 𝑀𝑉𝐴;

– 𝑍𝐿𝑇1 = 0,3 + 𝑗0,8 Ω; 𝑍𝐿𝑇2 = 4 + 𝑗10 Ω;

– Transformador: 𝑍𝑡𝑟𝑎𝑓𝑜 = 𝑗15 Ω;

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Exercício 2

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Área 1 Área 2

𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴 𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴

𝑉𝐵1 = 13,8 𝑘𝑉 𝑉𝐵2 = 138 𝑘𝑉

𝑍𝐵1 = ? 𝑍𝐵2 = ?

𝐼𝐵1 = ? 𝐼𝐵2 = ?

Exercício 2

• Área 1:

– 𝑍𝐵1 =(𝑉𝐵1)

2

𝑆𝐵=

(13,8𝑘)²

100𝑀= 1,9044 Ω


3 . 𝑉𝐵1=

100𝑀

3. 13,8𝑘= 4188 𝐴

• Área 2:

– 𝑍𝐵2 =(𝑉𝐵2)

2

𝑆𝐵=

(138𝑘)²

100𝑀= 190,44 Ω


3 . 𝑉𝐵2=

100𝑀

3. 138𝑘= 418,8 𝐴

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Exercício 2

• Passando os valores para pu:

– 𝑍𝐿𝑇1_𝑝𝑢 =𝑍𝐿𝑇1_Ω

𝑍𝐵1=

0,3+𝑗0,8

1,9044= 0,1575 + 𝑗0,4201 𝑝𝑢

– 𝑍𝐿𝑇2_𝑝𝑢 =𝑍𝐿𝑇2_Ω

𝑍𝐵2=

4+𝑗10

190,44= 0,0210 + 𝑗0,0525 𝑝𝑢

– 𝑍𝑡𝑟𝑎𝑓𝑜_𝑝𝑢 =𝑍𝑡𝑟𝑎𝑓𝑜_Ω

𝑍𝐵2=

𝑗15

190,44= 𝑗0,0788 𝑝𝑢

– 𝑆𝐿_𝑝𝑢 =𝑆𝐿_𝑀𝑉𝐴

𝑆𝐵=

(15+𝑗5) 𝑀

100 𝑀= 0,15 + 𝑗0,05 𝑝𝑢

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Representação de elementos

• Linhas curtas x médias/longas

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𝑌𝑝𝑢 =𝑌[𝑆]

𝑌𝑏𝑎𝑠𝑒𝑌𝑏𝑎𝑠𝑒 =

1

𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒[s]



• Transformadores

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• Transformadores

• 𝑅1 = 𝑟1 + 𝑎²𝑟2• 𝑋1 = 𝑥1 + 𝑎²𝑥2

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• Transformadores

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• Dedução da impedância do transformador em pu

𝑍1_𝑝𝑢 =𝑍1_Ω𝑍𝐵1

= 𝑍1_Ω.𝑆𝐵𝑉𝐵1 ²

• Referindo a impedância do primário para o secundário:

𝑍2_Ω = 𝑍1_Ω.𝑉𝐵2 ²

𝑉𝐵1 ²

• Dividindo pela base:

𝑍2_𝑝𝑢 =𝑍2_Ω𝑍𝐵2

= 𝑍2_Ω.𝑆𝐵𝑉𝐵2 ²

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• Substituindo 𝑍2_Ω na equação anterior:

𝑍2_𝑝𝑢 = 𝑍1_Ω.𝑉𝐵2 ²

𝑉𝐵1 ².

𝑆𝐵

𝑉𝐵2 ²

𝑍2_𝑝𝑢 = 𝑍1_Ω. 𝑆𝐵

𝑉𝐵1 ²

• Dessa forma chegamos que a impedância em pu do transformadorreferido ao primário é igual quando referido ao secundário:

𝑍2_𝑝𝑢 = 𝑍1_𝑝𝑢

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Exercício 3

• Um transformador de distribuição de 50 kVA, 2400:240 V,60 Hz, tem uma impedância de dispersão de 0,72 + j0,92Ω no enrolamento de alta tensão e uma impedância de0,007 + j0,009 Ω no enrolamento de baixa tensão.Calcule:a) A impedância equivalente do transformador referida ao lado de

alta tensãob) A impedância equivalente do transformador referida ao lado de

baixa tensãoc) A impedância equivalente do transformador em pu usando por

base os valores da potência e tensão do lado de alta tensão d) A impedância equivalente do transformador em pu usando por

base os valores da potência e tensão do lado de baixa tensão

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Exercício 3

a) A impedância equivalente do transformador referida ao lado de alta tensão

• 𝑍𝑒𝑞_𝐴𝑇 = 𝑍𝐴𝑇 + 𝑎2𝑍𝐵𝑇 𝑎 =2400

240= 10

• 𝑍𝑒𝑞_𝐴𝑇 = 0,72 + 𝑗0,92 + 102(0,007 + 𝑗0,009)

• 𝑍𝑒𝑞_𝐴𝑇 = 1,42 + 𝑗1,82 Ω

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Exercício 3

b) A impedância equivalente do transformador referida ao lado de baixa tensão

• 𝑍𝑒𝑞_𝐵𝑇 = 𝑍𝐵𝑇 +𝑍𝐴𝑇

𝑎²𝑎 =

2400

240= 10

• 𝑍𝑒𝑞_𝐵𝑇 = 0,007 + 𝑗0,009 +0,72+𝑗0,92

10²

• 𝑍𝑒𝑞_𝐵𝑇 = 0,0142 + 𝑗0,0182 Ω

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Exercício 3

c) A impedância equivalente do transformador em puusando por base os valores da potência e tensão do lado de alta tensão

• 𝑍𝐵_𝐴𝑇 =(𝑉𝐵_𝐴𝑇)²

𝑆𝐵=

2400²

50𝑘= 115,2 Ω

• 𝑍𝑒𝑞_𝐴𝑇_𝑝𝑢 =𝑍𝑒𝑞_𝐴𝑇

𝑍𝐵_𝐴𝑇=

1,42+𝑗1,82

115,2= 0,0123 + 𝑗0,0158 𝑝𝑢

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Exercício 3

d) A impedância equivalente do transformador em pu usando por base os valores da potência e tensão do lado de baixa tensão

• 𝑍𝐵_𝐵𝑇 =(𝑉𝐵_𝐵𝑇)²

𝑆𝐵=

240²

50𝑘= 1,152 Ω

• 𝑍𝑒𝑞_𝐵𝑇_𝑝𝑢 =𝑍𝑒𝑞_𝐵𝑇

𝑍𝐵_𝐵𝑇=

0,0142+𝑗0,0182

1,152= 0,0123 + 𝑗0,0158 𝑝𝑢

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• Máquinas síncronas

Onde:

• 𝐸𝑔: tensão gerada em vazio, força eletromotriz fem;• 𝐼𝑎 : corrente do enrolamento da armadura;• 𝑅𝑎: resistência do enrolamento da armadura (por fase);• 𝑋𝑠: reatância síncrona (por fase).

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𝑉𝑡 = 𝐸𝑔 − 𝐼𝑎(𝑅𝑎 + 𝑗𝑋𝑠)


Exercício 4

• Um gerador síncrono de 100 MVA e 13,8kV temreatância sub-transitória de 25%. Determine o valorda reatância em ohms.

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Exercício 4

• Um gerador síncrono de 100 MVA e 13,8kV temreatância sub-transitória de 25%. Determine o valorda reatância em ohms.

𝑆𝐵 = 𝑆𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 100 𝑀𝑉𝐴𝑉𝐵 = 𝑉𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 13,8 𝑘𝑉

𝑍𝐵 =(𝑉𝐵)²

𝑆𝐵=(13,8𝑘)²

100 𝑀= 1,9044 Ω

𝑋𝐺 = 𝑋%. 𝑍𝐵 = 0,25 . 1,9044 = 0,4761 Ω

27


Exercício 5

• Um gerador síncrono de 40 MVA e 6,6 kV temreatância sub-transitória de 12%. Determine o valorda reatância em pu com 𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴 e 𝑉𝐵 =6,9 𝑘𝑉.

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Exercício 5

• Um gerador síncrono de 40 MVA e 6,6 kV temreatância sub-transitória de 12%. Determine o valorda reatância em pu com 𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴 e 𝑉𝐵 =6,9 𝑘𝑉.

𝑆𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 40𝑀𝑉𝐴𝑉𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 6,6 𝑘𝑉

𝑍𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 =(𝑉𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙)²

𝑆𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙=(6,6𝑘)²

40 𝑀= 1,089 Ω

𝑋𝐺_Ω = 𝑋%. 𝑍𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 0,12 . 1,089 = 0,1307 Ω

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Exercício 5

• Um gerador síncrono de 40 MVA e 6,6 kV tem reatânciasub-transitória de 12%. Determine o valor da reatânciaem pu com 𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴 e 𝑉𝐵 = 6,9 𝑘𝑉.

𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴𝑉𝐵 = 6,9 𝑘𝑉

𝑍𝐵 =(𝑉𝐵)²

𝑆𝐵=(6,9𝑘)²

100 𝑀= 0,4761 Ω

𝑋𝐺_𝑝𝑢 =𝑋𝐺_Ω𝑍𝐵

=0,1307

0,4761= 0,2745 𝑝𝑢

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Mudança de base

• Para simplificar cálculos, a mudança de uma basepara outra de forma direta:

𝑍𝑝𝑢_𝑛𝑜𝑣𝑎 = 𝑍𝑝𝑢_𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎.𝑉𝐵_𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎

2

𝑉𝐵_𝑛𝑜𝑣𝑎2 .

𝑆𝐵_𝑛𝑜𝑣𝑎𝑆𝐵_𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎

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Exercício 5

• Um gerador síncrono de 40 MVA e 6,6 kV tem reatância sub-transitória de 12%. Determine o valor da reatância em pu com𝑆𝐵 = 100 𝑀𝑉𝐴 e 𝑉𝐵 = 6,9 𝑘𝑉.

𝑍𝑝𝑢_𝑛𝑜𝑣𝑎 = 𝑍𝑝𝑢_𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 .𝑉𝐵_𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎

2

𝑉𝐵_𝑛𝑜𝑣𝑎2 .

𝑆𝐵_𝑛𝑜𝑣𝑎𝑆𝐵_𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎

𝑋𝐺_𝑝𝑢 = 𝑋%.𝑉𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙

2

𝑉𝐵2

.𝑆𝐵

𝑆𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙

𝑋𝐺_𝑝𝑢 = 0,12.6,6 𝑘 2

6,9 𝑘 2.100 𝑀

40 𝑀= 0,2745 𝑝𝑢

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Exercício 6

• Considerando o sistema mostrado a seguir e os dados dosequipamentos, converta os valores para pu, usando comobase 50 MVA e 6,9 kV no circuito do gerador.– Gerador: 40 MVA; 6,6 kV; X” = 12%;

– Transformadores 1 e 2: 50 MVA; 6,9/138 kV; Xeq = 15%;

– Motores 1 e 2: 15 MVA; 6,9 kV; X = 10%;

– Linha de transmissão: X = 21,5 Ω.

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Exercício 6

• Área 1: Gerador;

• Área 2: Trafo 1, Trafo 2 e LT;

• Área 3: Motor 1 e Motor 2.

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Exercício 6

• Área 1:

– 𝑆𝐵 = 50 𝑀𝑉𝐴

– 𝑉𝐵1 = 6,9 𝑘𝑉

– 𝑋𝐺 = 𝑋%.𝑉𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙

2

𝑉𝐵12 .

𝑆𝐵


– 𝑋𝐺 = 0,12.6,6 𝑘 2

6,9 𝑘 2 .50 𝑀

40 𝑀= 0,1372 𝑝𝑢

35


Exercício 6

• Área 2:

– 𝑆𝐵 = 50 𝑀𝑉𝐴

– 𝑉𝐵2 =138 𝑘

6,9 𝑘. 6,9 𝑘 = 138 𝑘𝑉

– 𝑋𝑇1 = 𝑋𝑇2 = 𝑗0,15 𝑝𝑢 (os valores nominais dos transformadorescoincidem com os valores de base da área 2, logo utilizamos o valor fornecidoem porcentagem diretamente em pu)

– 𝑍𝐵2 =(𝑉𝐵2)²

𝑆𝐵=

(138 𝑘)²

50 𝑀= 380,88 Ω

– 𝑋𝐿𝑇_𝑝𝑢 =𝑋𝐿𝑇_Ω

𝑍𝐵2=

21,5

380,88= 0,0565 𝑝𝑢

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Exercício 6

• Área 3:

– 𝑆𝐵 = 50 𝑀𝑉𝐴

– 𝑉𝐵3 =6,9 𝑘

138 𝑘. 138 𝑘 = 6,9 𝑘𝑉

– 𝑋𝑀1 = 𝑋𝑀2 = 𝑋%.𝑉𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙

2

𝑉𝐵32 .

𝑆𝐵


– 𝑋𝑀1 = 𝑋𝑀2 = 0,1.6,9 𝑘 2

6,9 𝑘 2 .50 𝑀

15𝑀= 0,3333 𝑝𝑢

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Diagrama de impedâncias

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Exercício 7

• Fazer o diagrama de impedância do sistema abaixo, usandocomo base as características nominais do gerador síncrono G1(30 MVA e 13,8 kV).

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Exercício 7

• Área 1: G1

• Área 2: T1, T2, T3, 𝐿𝑇𝑏𝑐 , 𝐿𝑇𝑐𝑒• Área 3: G2

• Área 4: M

40


Exercício 7

• Área 1:

– 𝑆𝐵 = 50 𝑀𝑉𝐴

– 𝑉𝐵1 = 13,8 𝑘𝑉

– 𝑋𝐺1 = 𝑋% = 0,15 𝑝𝑢

41


Exercício 7

• Área 2:

– 𝑆𝐵 = 50 𝑀𝑉𝐴

– 𝑉𝐵2 =138 𝑘

13,2 𝑘. 13,8 𝑘 = 144,27 𝑘𝑉

– 𝑋𝑇1_𝑝𝑢 = 0,1.138 𝑘 2

144,27 𝑘 2 .30 𝑀

35 𝑀= 0,0784 𝑝𝑢

– 𝑋𝑇2_𝑝𝑢 = 0,1.138 𝑘 2

144,27 𝑘 2 .30 𝑀

20𝑀= 0,1372 𝑝𝑢

– 𝑋𝑇3_𝑝𝑢 = 0,12.138 𝑘 2

144,27 𝑘 2 .30 𝑀

15𝑀= 0,2196 𝑝𝑢

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Exercício 7

• Área 2:

– 𝑆𝐵 = 50 𝑀𝑉𝐴

– 𝑉𝐵2 = 144,27 𝑘𝑉

– 𝑍𝐵2 =(144,27 𝑘)²

30 𝑀= 693,79 Ω

– 𝑋𝐿𝑇𝑏𝑐_𝑝𝑢 =𝑋𝐿𝑇𝑏𝑐_Ω

𝑍𝐵2=

90

693,79= 0,129 𝑝𝑢

– 𝑋𝐿𝑇𝑐𝑒_𝑝𝑢 =40

693,79= 0,057 𝑝𝑢

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Exercício 7

• Área 3:

– 𝑆𝐵 = 50 𝑀𝑉𝐴

– 𝑉𝐵3 =18 𝑘

138 𝑘. 144,27 𝑘 = 18,82 𝑘𝑉

– 𝑋𝐺2 = 0,13.18 𝑘 2

18,82 𝑘 2 .30 𝑀

20 𝑀= 0,1784 𝑝𝑢

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Exercício 7

• Área 4:

– 𝑆𝐵 = 50 𝑀𝑉𝐴

– 𝑉𝐵4 =13,2 𝑘

138 𝑘. 144,27 𝑘 = 13,8 𝑘𝑉

– 𝑋𝑀 = 0,12.13,8 𝑘 2

13,8 𝑘 2 .30 𝑀

10 𝑀= 0,36 𝑝𝑢

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Exercício 7

• Diagrama de impedâncias:

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Exercício em sala

• Desenhe o diagrama de impedância do sistema abaixo. Utilizecomo bases 100 MVA e 20 kV. Dados:– G: 90 MVA; 20 kV; X=18%;

– T1: 100 MVA; 22/220 kV; X=10%;

– T2: 70 MVA; 220/6,9 kV; X=15%;

– LT: Z=(0,1+j0,3) Ω/km; 100km;

– Carga: (10+j15) MVA;

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