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SISTEMAS NAO-LINEARES DO TIPO PREDADOR–PRESA: PROJETO DECONTROLES VIA FUNCOES DE LIAPUNOV

Magno Enrique Mendoza Meza

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENACAO DOS

PROGRAMAS DE POS-GRADUACAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE DOUTOR EM CIENCIAS EM

ENGENHARIA ELETRICA

Aprovada por:

Prof. Amit Bhaya, Ph.D.

Prof. Liu Hsu, Docteur d’Etat.

Prof. Pedro Luis Dias Peres, Dr.

Profa. Coraci Pereira Malta, D.Phil.

Profa. Claudia Torres Codeco, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

ABRIL DE 2004


MENDOZA MEZA, MAGNO ENRIQUE

Sistemas Nao-Lineares do Tipo Predador–

Presa: Projeto de Controles via Funcoes de

Liapunov [Rio de Janeiro] 2004

XXIII, 181 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ,

D.Sc., Engenharia Eletrica, 2004)

Tese - Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE

1. Polıtica de limiar, Funcoes de Liapunov,

Backstepping

I. COPPE/UFRJ II. Tıtulo (serie)

iii

iv

O homem nao e o unico animal que

pensa, mas e o unico a pensar que

nao e animal.

Pascal Picq

v

vi

Agradecimentos

Mi agradecimiento en primer lugar al Prof. Amit Bhaya por su paciencia, ayuda y

amistad a lo largo del desarrollo de esta Tesis de Doctorado.

A mis padres Magno Mendoza Pomalaza, Flora Silvia Meza Lopez y a mi hermana

Beatriz Mendoza Meza por el apoyo, carino y confianza que me brindan.

A mis amigos Carlos Alfaro, Jorge Palomino, Christian Schaerer que de alguna u

otra forma me incentivaron a concluir el doctorado, a Leonardo Valente y Miguel Pari

por su ayuda con las computadoras. A Ruben Auccaise, Hugo Fernandez, Juan Vila,

Jose Davalos amigos de la “republica”.

A los Profs. Michel Iskin da Silveira Costa, Eugenius Kaszkurewicz y Liu Hsu pues

gracias a ellos esta tesis tuvo un apoyo inicial en el trabajo desarrollado por ellos.

A mi enamorada Eliane Cristina de Carvalho por la ayuda con el idioma, por su

paciencia, apoyo desinteresado y por el gran carino.

A mis amigas Joseane Moura, Katia Domingues, Valeriana Roncero, Myrian Costa,

Paula Sesini por su ayuda y apoyo.

Al Brasil, paıs maravilloso que me acogio con los brazos abiertos.

Y finalmente querıa agradecer a las instituciones del CNPq y FAPERJ por la ayuda

economica brindada en los cuatro anos que duro esta investigacion. Sin esa ayuda no

hubiera sido posible el desarrollo de la misma.

vii

viii

Resumo da Tese apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessarios

para a obtencao do grau de Doutor em Ciencias (D.Sc.)

SISTEMAS NAO-LINEARES DO TIPO PREDADOR–PRESA: PROJETO DE

CONTROLES VIA FUNCOES DE LIAPUNOV


Abril/2004

Orientadores: Amit Bhaya

Eugenius Kaszkurewicz

Programa: Engenharia Eletrica

Uma ampla classe de modelos do tipo predador-presa pode ser escrita como um

sistema dinamico nao linear em uma ou duas variaveis (especies). Em diversos contextos

e necessario introduzir um controle nessas dinamicas. Sem perda de generalidade,

assume-se que o controle corresponde a remocao de uma proporcao da populacao das

presas, nos modelos de uma especie. No contexto de duas especies de peixes, que vem

a ser a origem classica de modelos predador-presa, esta acao de controle corresponderia

a pesca da especie do predador.

Este trabalho desenvolve um metodo sistematico de projeto de controles simples,

do tipo “on-off”, tambem referido como polıtica de limiar, para que o sistema contro-

lado tenha um equilıbrio globalmente estavel. O metodo e baseado na aplicacao de

funcoes de Liapunov com controle (control Liapunov functions ou CLFs), explorando a

estrutura dos sistemas predador-presa pelo uso da ideia de “backstepping”, e passando

pelo conceito de equilıbrios reais e virtuais oriundos de controle a estrutura variavel.

Esta combinacao de elementos – CLFs, backstepping com estrutura variavel e conse-

quente introducao de um unico equilıbrio globalmente assintoticamente estavel atraves

de um controle simples (on-off) – para o projeto sistematico de controles para sistemas

predador-presa constitui a principal contribuicao da tese.

ix

x

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

NONLINEAR SYSTEMS OF THE PREDATOR–PREY TYPE: DESIGN OF

CONTROL USING LIAPUNOV FUNCTIONS


April/2004

Advisors: Amit Bhaya

Eugenius Kaszkurewicz

Department: Electrical Engineering

A large class of predator-prey models can be written as a nonlinear dynamical

system in one or two species. In many contexts, it is necessary to introduce a control

into these dynamics. Without loss of generality, we assume that the control corresponds

to a proportional removal of the prey population, in one species models. In the context

of two species of fish, which gave rise to the classical predator-prey models, this control

action corresponds to harvesting of the predator.

This thesis develops a systematic design method of a simple on-off control, also

referred to as a threshold policy, so that the controlled system has a globally stable

equilibrium. The method is based on the application of control Liapunov functions,

exploiting the structure of the predator-prey system, applying the idea of backstepping,

and using the concepts of real and virtual equilibria that arises in variable structure

control.

This combination of elements – CLFs, backstepping with variable structure and

consequent introduction of a unique globally asymptotically stable equilibrium through

a simple on-off control – for the systematic design of control for predator-prey systems

constitutes the main contribution of this thesis.

xi

xii

Sumario

Lista de Figuras xvii

Lista de Tabelas xxiii

1 Introducao 11.1 Modelos de dinamica populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Modelos de dinamica populacional com controle exogeno . . . . . . . . 31.3 Caracterısticas Desejaveis de Controle no Contexto Ecologico . . . . . . 51.4 Objetivo desta tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Revisao bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Terminologia e Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Resumo das contribuicoes desta tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8 Organizacao da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Controle chaveado para sistemas dinamicos populacionais 192.1 Modelo Lotka–Volterra sujeito a Polıtica de Limiar do Tipo WEP . . . 20

2.1.1 Analise dos Pontos de Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Procedimento implıcito em Costa et al. 2000 . . . . . . . . . . . 222.1.3 Simulacoes da Polıtica de Limiar do Tipo WEP . . . . . . . . . 23

2.2 Controle de Realimentacao Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1 Realimentacao Interna Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 Resumo do procedimento de projeto do controle Emel’yanov . . 292.2.3 Procedimento Implıcito em Emel’yanov et al. 1998 Aplicado ao

Modelo Lotka–Volterra com controle no predador . . . . . . . . 302.2.4 Comportamento do Modelo Lotka–Volterra sujeito ao controle

segundo Emel’yanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Controle chaveado para sistemas populacionais unidimensionais 353.1 Teorema de Estabilidade Global para um Modelo Geral de Uma Especie 373.2 Prova do Teorema de Estabilidade Global para um Modelo Generico de

Uma Especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Exemplo Aplicativo: Modelo Collie–Spencer . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Analise dos Pontos de Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.2 Projeto da Polıtica de Limiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.3 Comportamento do Modelo Collie–Spencer sujeito a Polıtica de

Limiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

xiii

3.3.4 Projeto da Polıtica Contınua de Limiar . . . . . . . . . . . . . . 483.3.5 Comportamento do Modelo Colllie–Spencer sujeito a Polıtica

Contınua de Limiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4 Modelo Noy–Meir sujeito a Polıtica de Limiar . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4.1 Analise dos Pontos de Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.2 Projeto da Polıtica de Limiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4.3 Comportamento do Modelo Noy–Meir sujeito a Polıtica de Limiar 533.4.4 Projeto da Polıtica Contınua de Limiar . . . . . . . . . . . . . . 543.4.5 Comportamento do Modelo Noy–Meir sujeito a Polıtica Contınua

de Limiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5 Produtividade Sustentavel para Modelos de Uma Especie . . . . . . . . 57

3.5.1 Discussao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.6 Robustez da Polıtica Contınua de Limiar aplicado no Modelo Noy–Meir 603.7 Dinamica dos Herbıvoros em Sistemas de Pastagem em Solo Semi-arido 61

3.7.1 Dinamica dos Herbıvoros em Sistemas de Pastagem em Solo semi-arido sujeito a Polıtica de Limiar . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.7.2 Diferentes Tipos de Limiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Projeto de controle chaveado para sistemas bidimensionais dependen-tes da densidade 714.1 Nova proposta CLF + Backstepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Comportamento de diferentes modelos bidimensionais . . . . . . . . . . 774.3 Robustez da Polıtica Contınua de Limiar com Incertezas nos Parametros

e Retardo no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4 Produtividade Sustentavel para o Modelo Rosenzweig – MacArthur . . 83

4.4.1 Discussao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Projeto de Controle Chaveado para Sistemas Bidimensionais Depen-dentes da Razao entres as Populacoes 875.1 Modelos Dependentes da Razao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2 Modelo Adimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2.1 Modelo Adimensional sujeito a Polıtica de Limiar . . . . . . . . 905.2.2 Analise dos Pontos de Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3 Teorema de Estabilidade Global para o Modelo Adimensional . . . . . 965.3.1 Comportamento do Modelo Adimensional sujeito a Polıtica de

Limiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4 Modelo predador–presa do Tipo Gause . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4.1 Comportamento do Modelo do Tipo Gause sob uma Polıtica deLimiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5 Modelo Predador-Presa do Tipo Dependente da Razao Transformado . 1015.5.1 Comportamento do Modelo do Tipo Gause Transformado sujeito

a Polıtica de Limiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.6 Comentarios finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6 Comparacao com outras Tecnicas de Projeto de Controladores paraSistemas Nao Lineares 1056.1 Controle de Sistemas de Comportamento Oscilatorio . . . . . . . . . . 1056.2 Controle de Sistemas na presenca de Entradas Incertas . . . . . . . . . 108

xiv

6.3 Controle de Modo Deslizante Estatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.4 Imersao e Invariancia para Estabilizacao de Sistemas Nao Lineares . . . 1206.5 Discussao das Diferentes Tecnicas de Controle . . . . . . . . . . . . . . 127

7 Conclusoes e Trabalhos Futuros 131

Apendices 136

A Conceitos basicos: Sistemas Dinamicos Nao Lineares 137A.1 Sistemas Nao Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137A.2 Plano de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138A.3 Pontos de Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138A.4 Estabilidade e Instabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139A.5 Isoclinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140A.6 Ciclo Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140A.7 Funcoes de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

B Modelos Unidimensionais sujeitos a Polıtica de Limiar 143B.1 Termos do Modelo Collie–Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

B.1.1 Termos do Sistema Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143B.1.2 Termos do Sistema Controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144B.1.3 Termos do Sistema com Polıtica Contınua . . . . . . . . . . . . 144

B.2 Polıtica de Limiar com Taxa de Consumo do Tipo Holling II e III . . . 144

C Prova do Teorema de Estabilidade Global para o Modelo Rosenzweig–MacArthur 147C.1 Analise do Plano de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149C.2 Atratividade da Regiao que contem zeqsl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153C.3 Analise Parametrica do Controle Backstepping . . . . . . . . . . . . . . 154

D Estabilidade para Modelos Dependentes da Razao 157D.1 Prova do Teorema de Estabilidade Global para o Modelo Adimensional 157D.2 Modelo predador–presa do Tipo Gause . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163D.3 Modelo Predador-Presa do Tipo Dependente da Razao Transformado . 167

Referencias Bibliograficas 170

xv

xvi

Lista de Figuras

1.1 Mostrando a classificacao de modelos de sistemas predador-presa estudados nesta

tese. Os chamados modelos unidimensionais resultam dos modelos predador-presa

quando uma densidade, usualmente a do predador e considerada constante. . . . . 4

1.2 Modos deslizantes ocorrem na fronteira entre G1 e G2. O equilıbrio de deslizamento

zeqsl e mostrado por um “bullet”. Cırculos solidos cinzas representam equilıbrios vir-

tuais estaveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 (a) Polıtica de Limiar. (b) Polıtica Contınua de Limiar com Regiao Linear de Largura

2σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito a polıtica de limiar do tipo

WEP. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador,

x(t) e y(t). Valores de parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1, ε1 = 0.5 e ε2 = 0.5.

(c) O controle, na implementacao numerica, fica oscilando em alta frequencia quando

os estados do sistema ‘estabilizam’ no equilıbrio de deslizamento, devido ao metodo

de integracao utilizado (Euler) que introduz erros de aproximacao. . . . . . . . . 23

2.2 Dinamica do sistema na forma de um par de sistemas interligados A e B. . . . . . 25

2.3 Operador da realimentacao interna induzida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito ao controle Emel’yanov. (b)

Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador x(t) e y(t).

Valores de parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1, F = 1.625, δ = 0.2 e σ = 0.2.

(c) A acao de controle u como funcao do tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1 Dinamica do modelo Collie–Spencer sem termo de colheita G(x)− C(x). . . . . . 45

3.2 (a) Equilıbrio com uma curva de taxa de colheita linear com inclinacao media ε, xm

e um ponto de equilıbrio real estavel da dinamica sem controle. (b) Equilıbrio com

uma curva de taxa de colheita linear com inclinacao grande ε, a origem e um ponto

de equilıbrio real estavel da dinamica com controle. . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 (a) Resposta do modelo Collie–Spencer sujeito a polıtica de limiar para duas condi-

coes iniciais x0 = 12 e x0 = 20. Valor do limiar xth = 16.8 e ε = 0.4. (b) Resposta do

modelo Collie–Spencer sujeito a polıtica de limiar para duas condicoes iniciais x0 = 4

e x0 = 8. Valor do limiar xth = 6.8 e ε = 0.6. Valores dos parametros: g = 0.6,

xmax = 90, c = 4, d = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4 Resposta do sistema sujeito a polıtica contınua de limiar para duas condicoes iniciais

x0 = 4 e x0 = 8. Valores dos parametros: g = 0.6, xmax = 90, c = 4, d = 15, ε = 0.6,

xth = 6.8, ε = 0.9088, σ = 0.08. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

xvii

3.5 (a) Equilıbrio com uma curva de taxa de consumo C(x) linear com inclinacao media

(cmax1< g). Pontos de equilıbrio do sistema livre – xsc2 , xsc1 = 0. Pontos de equilıbrio

do sistema com pastagem – xcc2 , xcc1 = 0. Valores dos parametros: g = 1, cmax1= 0.3,

xth = 0.85, xmax = 1. (b) Equilıbrio com uma curva de taxa de consumo C(x) linear

com inclinacao grande (cmax2> g). Ponto de equilıbrio do sistema livre xsc2 = xmax.

Ponto de equilıbrio do sistema com pastagem xcc2 = 0. Valores dos parametros:

g = 1, cmax2= 1.2, xth = 0.5, xmax = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6 Quando cmax < g. (a) Densidade da vegetacao x como uma funcao do tempo, sob

a polıtica de limiar com ε = 1, cmax = 0.3, xcc2 = 0.7, g = 1 e xth = 0.85. Quando

cmax > g. Densidade da vegetacao x como uma funcao do tempo, sob a polıtica de

limiar com ε = 1, cmax = 1.2, g = 1, xsc2 = xmax, xcc2 = 0 e xth = 0.5. . . . . . . . 53

3.7 O controle, na implementacao, fica oscilando em alta frequencia quando a densi-

dade da vegetacao ‘estabiliza’ em volta do valor de limiar xth, isto porque o metodo

de integracao utilizado, Euler, apresenta erros de aproximacao, motivo pelo qual a

presenca da oscilacao em alta frequencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.8 Quando cmax < g. (a) Densidade da vegetacao x como uma funcao do tempo, sob

a polıtica contınua de limiar com ε = 1, cmax = 0.3, g = 1, σ = 0.05, xcc2 = 0.7,

xsc2 = xmax e xth = 0.85. Quando cmax > g. (b) Densidade da vegetacao x como

uma funcao do tempo, sob a polıtica contınua de limiar com ε = 0.833, cmax = 1.2,

g = 1, σ = 0.05, xcc2 = 0, xsc2 = xmax e xth = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.9 (a) Equilıbrio com uma curva de taxa de consumo C(x) linear com inclinacao media

(cmax1< g). Pontos de equilıbrio do sistema livre – xsc2 , xsc1 = 0. Pontos de equilıbrio

do sistema com pastagem – xcc2 , xcc1 = 0. Valores dos parametros: g = 1, cmax1= 0.3,

xth = 0.85, xmax = 1. (b) Equilıbrio com uma curva de taxa de consumo C(x) linear

com inclinacao grande (cmax2> g). Valores dos parametros: g = 1, cmax2

= 1.2,

xth = 0.5, xmax = 1. Ponto de equilıbrio estavel do sistema livre xsc2 = xmax. Ponto

de equilıbrio estavel do sistema com pastagem xcc2 = 0. . . . . . . . . . . . . . . 58

3.10 Densidade da vegetacao x, como uma funcao do tempo, sujeito ao controle de polıtica

contınua de limiar com incertezas e retardo, onde g = 1, cmax = 0.3, ε1 = 0.3,

xth = 0.85, xcc2 = 0.7, xmax = 1, ∆t = 0.65 unidades de tempo, ∆x = 0.09. . . . . 61

3.11 (a) Representacao grafica dos pontos de equilıbrio e a polıtica de limiar dos herbı-

voros no plano x × y vegetacao-herbıvoro. (b) Representacao grafica dos pontos de

equilıbrio e a polıtica de limiar da vegetacao no plano x × y vegetacao-herbıvoro.

Os cırculos solidos cinzas representam equilıbrios estaveis virtuais, enquanto que os

cırculos brancos representam equilıbrios instaveis. . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.12 Simulacao da polıtica de limiar dos herbıvoros. (a) A evolucao no tempo de x(t),

y(t) sujeito a polıtica de limiar (horizontal). (b) Plano de fase x× y sujeito a mesma

polıtica de limiar. Notar que a estabilizacao e por meio de um modo deslizante em

torno do nıvel do valor de limiar yth = 8. Os valores dos parametros utilizados sao:

p = 10, W0 = 0.1, k = 5, µ = 0.02, rW = 0.1, h = 0.01, l = 0.1, b = 0.01, e = 0.2,

d = 0.03, k1 = 0.0275. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.13 Simulacao da polıtica de limiar da vegetacao. (a) A evolucao no tempo da vegetacao

x(t) e do herbıvoro y(t) sujeitos a polıtica de limiar na vegetacao (vertical). (b)

Plano de fase x × y sujeito a mesma polıtica de limiar. Notar que a estabilizacao e

por meio de um modo deslizante em torno do valor do nıvel de limiar na vegetacao

xth = 30. Os valores dos parametros sao como na Figura 3.12. . . . . . . . . . . 68

xviii

3.14 Simulacao da polıtica de limiar inclinada. (a) A evolucao no tempo da vegetacao

x(t) e do herbıvoro y(t) sujeitos a polıtica de limiar inclinada. (b) Plano de fase

x× y sujeito a mesma polıtica de limiar. Notar que a estabilizacao e por meio de um

modo deslizante em torno do limiar inclinado. Os valores dos parametros sao como

na Figura 3.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1 A regiao invariante globalmente atrativa no plano de fase e a regiao retangular 0 −yA − A − xA − 0. A regiao G1 := (x, y) : τ > 0 e G2 := (x, y) : τ < 0. As

linhas grossas marcadas com uma seta (←) sao trajetorias. As setas cinzas pequenas

mostram o campo vetorial. A curva etiquetada “ltrG1” e a trajetoria que entra na

regiao de modo deslizante no ponto C e permanece nela daı por diante, e a curva

etiquetada “ltrG2” e a trajetoria que entra na regiao de modo deslizante no ponto B e

permanece nela daı por diante. O equilıbrio de deslizamento zeqsl e mostrado por um

bullet (•). Os valores dos parametros utilizados nesta figura sao os seguintes: r = 2,

K = 60, A = 10, s = 1, J = 20, ε2 = 1/3, ε = 2/5. A regiao de modo deslizante

e o segmento CB entre as curvas V c2φ=0

e V c2φ=1

. A isoclina das presas e a curva x = 0. 76

4.2 (a) Diagrama de fase do modelo Rosenzweig–MacArthur sujeito a polıtica de limiar.

(b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador, x(t)

e y(t). Valores de parametros r = 2, K = 60, s = 1, A = 10, J = 20, ε = 0.4 e

ε2 = 1/3. O equilıbrio de deslizamento, zeqsl = (50, 20). . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3 (a) Diagrama de fase do modelo Rosenzweig–MacArthur sujeito a polıtica de limiar.

(b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador, x(t) e

y(t). Valores de parametros r = 2, K = 60, s = 1, A = 10, J = 20 e ε2 = 1/3. O

equilıbrio de deslizamento, zeqsl = (44, 28.75). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.4 (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito a polıtica contınua de limiar.


y(t). Valores de parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1, ε1 = 0.5 e ε2 = 0.5 . . . . 79

4.5 (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito a polıtica de limiar. (b)

Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador, x(t) e y(t).

Valores de parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1 e ε2 = 0.5 . . . . . . . . . . . 79

4.6 (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito a polıtica de limiar. (b)

Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador, x(t) e y(t).

(c) A acao de controle como uma funcao do tempo. . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.7 (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito a polıtica contınua de limiar

com perturbacoes. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e

do predador, x(t) e y(t), com perturbacoes. Valores de parametros r1 = 1, r2 = 1,

a = 1, b = 1, ∆S = 0.09, ∆ t = 0.6 unidades de tempo, ε1 = 0.5, e ε2 = 0.5. . . . . 82

4.8 (a) Diagrama de fase do modelo Rosenzweig–MacArthur sujeito a polıtica contınua

de limiar com perturbacoes. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais

da presa e do predador, x(t) e y(t), com perturbacoes. Valores de parametros r = 2,

K = 60, s = 1, A = 10, J = 20, ∆ t = 0.65 unidades de tempo, ε = 0.4 e ε2 = 1/3. . 83

5.1 Sistema adimensional sem controle. (a) Valores dos parametros sao: r = 1/2, δ =

1/2, s = 1.52. (b) Valores dos parametros sao: r = 5/2, δ = 1/2, s = 1.52. Plano de

fase com o campo vetorial para algumas condicoes iniciais. A isoclina das presas e

representada pela curva cinza fina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

xix

5.2 A regiao invariante globalmente atrativa no plano de fase e a regiao retangular 0 −yA − A − xA − 0. A regiao G1 := (x, y) : τ > 0 e a regiao G2 := (x, y) : τ < 0.Linhas grossas marcadas com uma seta (←) sao trajetorias. As pequenas setas cinza

mostram o campo vetorial. A curva denotada como “ltrG1” e a trajetoria que entra

no domınio de deslizamento no ponto C e permanece nele daı por diante, e a curva

denotada como“ltrG2” e a trajetoria que entra no domınio de deslizamento no ponto B

e permanece nele daı por diante. O equilıbrio de deslizamento zeqsl e mostrado por um

bullet (•). O valor dos parametros utilizados nesta Figura sao os seguintes: s = 1.52,

δ = 1/2, r = 1/2, ε2 = 1, ε = 5/6. A regiao de deslizamento e o segmento CB

entre as curvas V cφ=0 e V c

φ=1. A isoclina das presas (x = 0) e a curva que une os

pontos 0 e 1. O ponto E e (1, 0) e D e ( bε, 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3 (a) Diagrama de fase do modelo adimensional sujeito a polıtica de limiar horizontal.

(b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador x(t) e

y(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, yth = 0.24, ε2 = 1. . . . . 98

5.4 (a) Diagrama de fase do modelo adimensional sujeito a polıtica de limiar vertical.


y(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, xth = 0.5, ε2 = 1. . . . . 98

5.5 (a) Diagrama de fase do modelo adimensional sujeito a polıtica de limiar inclinado.


y(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, ε2 = 1 e ε = 5/6. . . . . . 99

5.6 (a) Diagrama de fase do modelo do tipo Gause sujeito a polıtica de limiar horizontal.

(b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador u(t) e

y(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, yth = 0.24, ε2 = 1. . . . . 100

5.7 (a) Diagrama de fase do modelo do tipo Gause sujeito a polıtica de limiar vertical.


y(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, uth = 1.2, ε2 = 1. . . . . 100

5.8 (a) Diagrama de fase do modelo do tipo Gause sujeito a polıtica de limiar inclinado.

(b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador, u(t) e

y(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, ε = 0.24, ε2 = 1. . . . . . 101

5.9 (a) Diagrama de fase do modelo do tipo Gause transformado sujeito a polıtica de

limiar horizontal. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do

predador, u(t) e y(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, yth = 0.24,

ε2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


limiar vertical. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do

predador, x(t) e y(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, uth = 1.2,

ε2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


limiar inclinado. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do

predador, u(t) e y(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, ε = 0.24,

ε2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.1 (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito a um algoritmo de controle

SG. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador

x(t) e y(t). Valores de parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1, γ = 2 e W∗ = −0.1.(c) A acao de controle u como uma funcao do tempo. . . . . . . . . . . . . . . 108

xx

6.2 (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito a um algoritmo de controle

SG. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador

x(t) e y(t). Valores de parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1, γ = 2 e W∗ = 0.5.

(c) A acao de controle u como uma funcao do tempo. . . . . . . . . . . . . . . 109

6.3 (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito ao controle segundo Vincent.

(b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador x(t) e

y(t). (c) As acoes de controle u1, u2 como uma funcao do tempo. . . . . . . . . . 113

6.4 Diagrama de bloco de um sistema em modo deslizante. . . . . . . . . . . . . . . 114

6.5 Diagrama de bloco do sistema com subsistema dinamico de realimentacao em modo

deslizante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.6 Diagrama de bloco do sistema com subsistema feed-forward. . . . . . . . . . . . 115

6.7 Diagrama de bloco com superfıcie de deslizamento descontınua. . . . . . . . . . . 116

6.8 (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito ao controle contınuo de modo

deslizante estatico. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa

e do predador x(t) e y(t). Valores dos parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1,

k = 1.25, xth = 1.25 e yth = 0.75. (c) A acao de controle como uma funcao do tempo. 121

6.9 (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito ao controle I & I. (b) Evolucao

no tempo das densidades populacionais da presa e do predador x(t) e y(t). Valores

dos parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1, k = 1 e xth = 2. (c) A acao de controle

como uma funcao do tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

B.1 (a) Curva de consumo Holling tipo II, cmax1. Dois pontos de interseccao com a curva

logıstica. (b) Curva de consumo Holling tipo II. Tres pontos de interseccao com a

curva logıstica, cmax2. (c) Curva de consumo Holling tipo II, cmax3

. Somente um

ponto de interseccao com a curva logıstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

B.2 (a) Curva de consumo Holling tipo III, cmax1. Dois pontos de interseccao com a

curva logıstica. (b) Curva de consumo Holling tipo III, cmax2. Quatro pontos de

interseccao com a curva logıstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

C.1 Representacao grafica de q(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

C.2 A regiao invariante globalmente atrativa no plano de fase e a regiao retangular 0 −yA − A − xA − 0. A regiao G1 := (x, y) : τ > 0 e G2 := (x, y) : τ < 0. As

linhas grossas marcadas com uma seta (←) sao trajetorias. As setas cinzas pequenas

mostram o campo vetorial. A curva etiquetada “ltrG1” e a trajetoria que entra na

regiao de modo deslizante no ponto C e permanece nela daı por diante, e a curva

etiquetada “ltrG2” e a trajetoria que entra na regiao de modo deslizante no ponto B e

permanece nela daı por diante. O equilıbrio de deslizamento zeqsl e mostrado por um

bullet (•). Os valores dos parametros utilizados nesta figura sao os seguintes: r = 2,

K = 60, A = 10, s = 1, J = 20, ε2 = 1/3, ε = 2/5. A regiao de modo deslizante

e o segmento CB entre as curvas V c2φ=0

e V c2φ=1

. A isoclina das presas e a curva x = 0.151

xxi

D.1 A regiao invariante globalmente atrativa no plano de fase e a regiao retangular 0 −yA − A − xA − 0. A regiao G1 := (x, y) : τ > 0 e a regiao G2 := (x, y) : τ < 0.Linhas grossas marcadas com uma seta (←) sao trajetorias. As pequenas setas cinzas

mostram o campo vetorial. A curva denotada como “ltrG1” e a trajetoria que entra

no domınio de deslizamento no ponto C e permanece nele daı por diante, e a curva

denotada como“ltrG2” e a trajetoria que entra no domınio de deslizamento no ponto B

e permanece nele daı por diante. O equilıbrio de deslizamento zeqsl e mostrado por um

bullet (•). O valor dos parametros utilizados nesta Figura sao os seguintes: s = 1.52,

δ = 1/2, r = 1/2, ε2 = 1, ε = 5/6. A regiao de deslizamento e o segmento CB

entre as curvas V cφ=0 e V c

φ=1. A isoclina das presas (x = 0) e a curva que une os

pontos 0 e 1. O ponto E e (1, 0) e D e ( bε, 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

D.2 Sistema predador–presa do tipo Gause sem controle. O diagrama de fase e o campo

vetorial com algumas condicoes iniciais. A isoclina do predador e representado pela

linha vertical. Valores dos parametros: r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52. . . . . . . . . 164

xxii

Lista de Tabelas

1.1 Organizacao da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Lotka–Volterra semcontrole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Lotka–Volterra comcontrole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1 Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Collie–Spencer semcontrole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Collie–Spencer comcontrole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Collie–Spencer sobuma Polıtica Contınua de Limiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Noy-Meir sem controle 513.5 Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Moldeo Noy-Meir com controle 513.6 Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Noy-Meir sob uma

Polıtica Contınua na Regiao sem controle . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7 Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Noy-Meir sob uma

Polıtica Contınua na Regiao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.8 Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Moldeo Noy-Meir sob uma

Polıtica Contınua na Regiao com controle . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1 Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Adimensional sem con-trole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2 Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Adimensional com con-trole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.1 Tabela Resumo do Estudo Comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

A.1 Classificacao convencional dos Pontos de Equilıbrio para Sistemas deSegunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

D.1 Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Tipo Gause sem controle165D.2 Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Tipo Gause com controle165

xxiii

Capıtulo 1

Introducao

Este capıtulo fara uma descricao geral dos objetivos da tese contextualizando-os dentro

dos resultados existentes na literatura, bem como introduzira os conceitos e modelos

basicos utilizados ao longo da tese.

1.1 Modelos de dinamica populacional

Uma ampla classe de modelos que descrevem a dinamica de populacoes (por exem-

plo, do tipo predador-presa) pode ser descrita como um sistema dinamico nao linear.

Especificamente existem:

• Modelos de uma especie. Neste caso a densidade de uma populacao (geralmente,

o predador) e considerada constante. Estes modelos tambem sao denominados

de modelos unidimensionais ou de uma dimensao (1–D)

x = x f(x), (1.1)

sendo que a variavel de estado x denota a densidade populacional da especie, e

x f(x) descreve a funcao de crescimento da especie. Esta geralmente e contınua,

nao negativa e limitada, como, por exemplo, uma funcao logıstica.

• Modelos de duas especies. Tambem denominados de modelos bidimensionais

1

ou de duas dimensoes (2–D)

x = f1(x) + f2(x)y (1.2)

y = f3(x)y (1.3)

no qual a variavel de estado x denota a densidade populacional das presas, a

variavel de estado y denota a densidade populacional dos predadores, as funcoes f1

e f3 descrevem as funcoes de crescimento da presa e do predador respectivamente

e f2 e a funcao de consumo do predador.

Para descrever uma relacao predador-presa e necessario especificar a taxa de con-

sumo da presa por um predador f2, tambem denominada resposta funcional, que de-

termina a estabilidade dinamica, respostas a influencias do meio ambiente e pode ser

classificada como: (1) dependente da presa, chamado tambem dependente da densi-

dade, quando so a densidade da presa determina a resposta, i.e., a funcao f2 depende

da densidade da presa x; (2) dependente do predador, quando ambas populacoes do

predador e da presa afetam a resposta, i.e. a funcao f2 depende das densidades da

presa e do predador; e (3) dependente de multiplas especies, quando o predador focal e

suas presas influem a resposta funcional. A dependencia da razao e um tipo particular

de dependencia do predador na qual a resposta so depende da razao entre os tamanhos

das populacoes.

A taxa de crescimento de uma populacao de predadores nao depende apenas do con-

sumo dos indivıduos, mas tambem depende da maneira em que eles convertem presas

consumidas em predadores novos, outrossim denominada resposta numerica, funcao f3,

que descreve a taxa de crescimento populacional per capita como uma funcao de todas

as variaveis que a influenciam. Juntas, as respostas funcional e numerica, proporcio-

nam uma descricao completa da dinamica populacional do predador. O conhecimento

de ambas e necessario para entender completamente como predadores e presas intera-

gem. A suposicao mais comum e que a resposta numerica e uma funcao linearmente

crescente da resposta funcional.

As propriedades de estabilidade de sistemas predador-presa vem sendo estudadas ha

muito tempo por tecnicas graficas (Rosenzweig 1971, Vandermeer 1973, Tanner 1975,

Noy-Meir 1975, Armstrong 1976, May 1977b, Van de Koppel & Rietkerk 2000, Van de

2

Koppel, Huisman, Van der Wal & Olff 1996), i.e., analise de estabilidade das isoclinas

do predador e da presa no plano de fase, e complementadas pela analise matematica

do comportamento do sistema (Smith & Slatkin 1973, Brauer 1976, Fisher, Goh &

Vincent 1979, Walker, Ludwig, Holling & Peterman 1981, Conway & Smoller 1986,

Huang 1990, Kooij & Zegeling 1997, Ho & Huang 2001). Ha tambem uma serie de

trabalhos tratando do sistema predador-presa sujeito a uma colheita (Brauer, Soudack

& Jarosch 1976, Hogarth, Norbury, Cunning & Sommers 1992, Azar, Holmberg &

Lindgren 1995, Dai & Tang 1998, Costa, Kaszkurewicz, Bhaya & Hsu 2000).

Sistemas de pastagem utilizados e controlados pelo homem poderiam ser consi-

derados como um caso especial de sistemas predador-presa. Muitas das teorias de

sistemas predador-presa foram desenvolvidas com uma referencia explıcita ou implı-

cita de duas populacoes de animais. Mas a interacao herbıvoro-planta (predador-

presa) e suficientemente similar em suas caracterısticas gerais para tornar esta te-

oria util tambem neste caso (Wade 1974, Noy-Meir 1975, May 1977b, Rietkerk &

Van de Koppel 1997, Van de Koppel, Rietkerk & Weissing 1997, Rietkerk, Van den

Bosch & Van de Koppel 1997, Augustine, Frelich & Jordan 1998, Van de Koppel &

Rietkerk 2000).

Sistemas hospedeiro-parasita tambem podem ser considerados como um caso par-

ticular da interacao predador-presa (Hassell & Varley 1969, Hassell & May 1973, May

1977b, Anderson & May 1978, Odum 1988, Krivan 1997b, Sirot & Krivan 1997, Krivan

& Sirot 1997).

1.2 Modelos de dinamica populacional com controle

exogeno

Este trabalho esta focalizado na introducao de um controle exogeno em modelos de

sistemas dinamicos populacionais de uma ou duas especies, como se mostra a seguir:

• Modelos de uma especie.

x = x f(x)− xu, (1.4)

3

• Modelos de duas especies.

x = f1(x) + f2(x) y, (1.5)

y = f3(x) y − y u2. (1.6)

Neste trabalho, supoe-se que o controle corresponde a remocao de uma proporcao da

populacao das presas, nos modelos de uma especie, motivando a introducao do termo

de controle xu no modelo (1.4). No contexto de duas especies de peixes, que vem a ser a

origem classica de modelos predador-presa, a acao de controle de remocao proporcional

corresponderia a pesca da especie do predador, i.e., motiva a introducao do termo de

controle y u2 na dinamica do predador (1.6).

Segue uma figura que mostra a classificacao dos modelos predador-presa mais co-

nhecidos em ecologia matematica e que serao estudados ao longo desta tese.

PSfrag replacements

Sistemas Nao Lineares

do Tipo Predador-Presa

Modelo Dependente da Modelo Dependente da

Densidade da Presa Razao das Densidades

Modelo Bidimensional Modelo Bidimensional

1 presa - 1 predador 1 presa - 1 predador

Modelo Unidimensional

1 presa

predadordensidade constante=

+ Lotka–Volterra

+ Rosenzweig–MacArthur

+ Noy-Meir 1975

+ Collie–Spencer 1993

+ Adimensional

+ Do Tipo Gause

Colheita

Polıtica deLimiar

Figura 1.1: Mostrando a classificacao de modelos de sistemas predador-presa estudados nestatese. Os chamados modelos unidimensionais resultam dos modelos predador-presaquando uma densidade, usualmente a do predador e considerada constante.

4

1.3 Caracterısticas Desejaveis de Controle no Con-

texto Ecologico

Ao longo desta tese, o termo de controle deve ser entendido como a remocao de um

determinada especie de maneira a nao provocar extincao de ambas as especies. No

contexto de um modelo ecologico, pode-se pensar em colheita (=remocao) que nao

provoca extincao.

Portanto, o controle deve ter as seguintes caracterısticas:

• Simplicidade de implementacao. Isto e (i) a expressao matematica do con-

trole deve ser o mais simples possıvel, (ii) o controle nao deve depender dos

parametros do sistema para que estes nao precisem ser estimados.

• Nao negatividade do controle. Interpretado neste trabalho como a remocao de

uma proporcao da populacao de um determinada especie. Considera-se, portanto,

que o controle deve ter um unico sentido (sinal), correspondente a remocao.

• Monitoracao mınima. Se refere ao numero de densidades que precisam ser

medidas para implementar determinado controle. Quando se trata de sistemas

de duas especies, e o vetor de estado do sistema possui dois componentes, ha

duas possibilidades para a monitoracao destes, visando realimentacao. Mede-

se apenas uma das especies – neste caso o termo correspondente utilizado na

teoria de controle e realimentacao de saıda. A outra opcao, medicao de ambas as

especies, e denominada realimentacao de estado.

• Promover coexistencia. Isto e, apesar da remocao realizada, as especies devem

equilibrar-se em nıveis sustentaveis, nos quais o valor das populacoes, em unidades

apropriadas, sao positivas.

Unidades da Densidade: A densidade populacional e o tamanho da populacao em

relacao a alguma unidade de espaco. Geralmente e avaliada e expressa como o

numero de indivıduos ou a biomassa da populacao, por unidade de area ou de

volume.

Unidades de Tempo: Tempo nos sistemas ecologicos e medido usualmente em dias,

semanas ou anos.

5

1.4 Objetivo desta tese

Este trabalho desenvolve um metodo sistematico de projeto de controles simples, do

tipo “on-off”, tambem referido como polıtica de limiar, para que o sistema controlado

tenha um equilıbrio globalmente estavel. Adicionalmente, o controle projetado possui

as propriedades especificadas no paragrafo acima. O metodo e baseado na aplicacao

de funcoes de Liapunov com controle (control Liapunov functions ou CLFs em Sontag

(1989)), explorando a estrutura dos sistemas predador-presa pelo uso da ideia de“backs-

tepping” (Sepulchre, Jankovic & Kokotovic 1997), passando pelo conceito de equilıbrios

reais e virtuais oriundos de controle a estrutura variavel. Esta combinacao de elemen-

tos – CLFs, backstepping com estrutura variavel e consequente introducao de um unico

equilıbrio global e assintoticamente estavel atraves de um controle simples (on-off) –

no projeto sistematico de controles para sistemas predador-presa, constitui a principal

contribuicao da tese. Cabe enfatizar que o sistema original (sem controle) pode pos-

suir uma dinamica mais complicada – por exemplo, um ciclo limite – de modo que o

objetivo principal do controle e estabilizar as populacoes em um equilıbrio globalmente

estavel, atraves de um controle simples e implementavel.

1.5 Revisao bibliografica

Nesta secao apresenta-se uma breve revisao bibliografica enfatizando primeiramente os

trabalhos correlatos que serviram de base para esta tese. Depois, faz-se mencao das

outras tecnicas gerais de projeto de controladores de sistemas nao lineares que podem

ser utilizadas para o caso especıfico de dinamica populacional.

Por fim, mencionam-se algumas outras linhas de pesquisa nas quais sistemas com

chaveamento sao estudados com aplicacao em sistemas biologicos, enfatizando, porem,

que nesses sistemas o chaveamento e um fenomeno endogeno, ao passo que o interesse

desta tese reside em sistemas com chaveamento exogeno.

Controle de dinamica populacional por meio de chaveamento

Citamos como exemplo de polıtica de limiar, formalmente definida na secao 1.6 deste

capıtulo conhecida como weighted escapement policy (WEP), um limiar construıdo de

6

uma combinacao dos pesos das densidades da presa e do predador, que foi proposta

em Costa et al. (2000). Esta polıtica foi utilizada para estabilizar um modelo Lotka–

Volterra sob colheita simultanea do predador e da presa. Contudo, nao foi apresentado

um metodo sistematico de projeto no referido trabalho.

Outra tecnica de projeto, que e a inspiracao para a tecnica proposta nesta tese, e

oferecida em Emel’yanov, Burovoi & Levada (1998), no qual uma metodologia geral,

denominada realimentacao interna induzida, para o controle de sistemas dinamicos nao

lineares incertos e desenvolvida, baseando-se no controle on-off, bem como em versoes

contınuas. Os autores apresentam uma aplicacao ao modelo Lotka–Volterra, sem, no

entanto, propor um metodo sistematico de projeto.

No contexto de controle de sistemas sob perturbacoes, ha os trabalhos de Vincent,

Lee, Pulliam & Everett (1975), Corless & Leitmann (1981), Lee & Leitmann (1983),

Vincent, Lee & Goh (1985), Vincent (1987), nos quais uma forma de fazer contınuo

o controle on-off (chamado tambem de bang-bang) e aliviar o inconveniente do cha-

veamento de frequencia infinita (denominada chattering), introduzindo uma camada

limite, 2σ (boundary layer) (referido mais adiante como a polıtica φ(τ, σ) na secao 1.6

deste capıtulo), em torno do limiar, de maneira que um controle contınuo substitui o

controle descontınuo quando o sistema esta dentro da camada limite (Utkin 1978, Lee

& Leitmann 1983, Vincent et al. 1985, Slotine & Coetsee 1986, DeCarlo, Zak &

Matthews 1988, Xu, Hashimoto, Slotine, Arai & Harashima 1989, Utkin 1992). A suavi-

zacao do controle descontınuo dentro da camada limite essencialmente designa a estru-

tura de um filtro passa-baixa a dinamica local do limiar (Slotine & Coetsee 1986, Wong,

Leung & Tam 1998), eliminando assim o chattering, porem no contexto de siste-

mas ecologicos, a implementacao poderia ser inviavel (Lee & Leitmann 1983, Vincent

et al. 1985, Slotine & Coetsee 1986).

Enfoques gerais para controle de sistemas dinamicos nao line-

ares

O conjunto de metodos gerais de projeto de controladores para sistemas nao lineares

pode ser dividido em dois subconjuntos no contexto desta tese, a saber:

7

Tecnicas ja aplicadas a dinamica populacional

• O controle de sistemas sob perturbacoes tem se voltado ao estudo da vulne-

rabilidade e nao vulnerabilidade dos ecossistemas sujeitos a perturbacoes con-

tınuas e imprevisıveis, mas limitadas devido a mudancas nas condicoes clima-

ticas, doencas, migracao das especies, etc. (Beddington & May 1977, Lee &

Leitmann 1983, Steele & Henderson 1984, Vincent et al. 1985).

• Fradkov & Pogromsky (1998) aplicaram alguns metodos de controle adaptativo de

oscilacoes para o controle de populacoes de duas especies competitivas. Utiliza-

se o modelo de Lotka–Volterra na dinamica de populacoes, o qual representa

dinamica nao linear mais simples que aproxima a interacao entre especies, como

exemplo aplicativo.

Tecnicas nao aplicadas a dinamica populacional

• Junger & Steil (2003) apresentaram um novo tipo de movimento de deslizamento

o qual resulta de uma escolha original das superfıcies de deslizamento. Essas sao

definidas de maneira que elas chegam a ser explicitamente dependentes das saıdas

do bloco descontınuo. Sob esse controle, um modo deslizante especial caracteriza

os sistemas dinamicos, chamado modo deslizante estatico, porque este ocorre ao

longo de um contorno estatico do sistema de malha fechada. Mais detalhes serao

fornecidos no capıtulo 6, na secao 6.3.

• A tecnica de Imersao e Invariancia para estabilizar sistemas nao lineares foi de-

senvolvida por Astolfi & Ortega (2003), que propoe um novo metodo de projeto

de leis de controle de estabilizacao assintotica e adaptativo para sistemas nao

lineares. A tecnica depende das ideias de imersao de sistemas e da invariancia

de variedades. A tecnica nova e denominada de I & I e o leitor encontrara um

exemplo ilustrativo do uso desta tecnica no capıtulo 6, na secao 6.4.

Chaveamento endogeno em sistemas biologicos

Sistemas dinamicos com variaveis de estado que tem um comportamento de limiar

(i.e., mudancas descontınuas de um valor a outro quando um limiar e cruzado) tem

8

sido estudados em diferentes contextos. Em seguida os tres grupos principais de artigos

e suas diferencas sao brevemente descritos:

1. Glass e colaboradores iniciaram um programa ambicioso para desenvolver mode-

los matematicos de redes de controle genetico. Nessas redes, a concentracao de

produto de um gene em particular e acionado para cima ou para baixo depen-

dendo da combinacao particular da atividade dos estados, i.e., produto genetico

acima ou abaixo do limiar de um conjunto relevante de genes de entrada. O prin-

cipal objetivo de Bagley & Glass (1996), Mestl, Lemay & Glass (1996), Mestl,

Bagley & Glass (1997), Edwards (2000), Gouze & Sari (2002), Kappler, Edwards

& Glass (2003) e o estudo de dinamicas complexas induzidas pela existencia de

limiares de comutacao interna (endogenos), geralmente com a existencia de li-

miares multiplos. Nesta tese, ao contrario, a principal enfase esta no projeto de

uma entrada de controle externa (exogena) bem como um unico limiar adequa-

damente escolhido de forma a evitar dinamicas complexas e introduzir um unico

equilıbrio, globalmente estavel.

2. Em Murdoch (1969), Murdoch, Avery & Smyth (1975), May (1977a), Matsuda,

Kawasaki, Shigesada, Teramoto & Ricciardi (1986), Pelletier (2000), El-Owaidy

& Moniem (2003) o termo switching significa que um predador pode dar maior

atencao desproporcionalmente a presa que e mais abundante em alguma epoca,

i.e., o predador prefere chavear entre “habitats” ou ambientes. Mais uma vez, a

enfase esta em estudar dinamicas complexas surgidas de limiares de comutacao

internas.

3. De forma similar, estudos de comutacao do comportamento do predador no con-

texto de forragem otima foram feitas em, Colombo & Krivan (1993), Krivan

(1995), Krivan (1996), Krivan (1997a), Krivan & Sirot (1997), Krivan (1998),

Krivan & Sikder (1999), Boukal & Krivan (1999), Krivan & Vrkoc (2000), Van

Baalen, Krivan, Van Rijn & Sabelis (2001), Krivan & Eisner (2003), Krivan

(2003) e a enfase esta no estudo das dinamicas surgidas do comportamento otimo

dos predadores (internas), ao inves do estudo do efeito da introducao de um

controle exogeno.

9

1.6 Terminologia e Preliminares

No Apendice A sao mostrados alguns conceitos que serao utilizados ao longo da tese, a

saber: sistemas nao lineares, plano de fase, pontos de equilıbrio, isoclina, ciclo limite,

funcoes de Liapunov (sugere-se a leitura do Apendice A).

Polıtica de Limiar

Entre as estrategias de colheita que tem sido amplamente aplicadas no gerenciamento de

populacoes de peixes estao: (i) polıtica de quota constante (constant escapement),

que busca manter o estoque em um nıvel alvo, permitindo colheita de todos os peixes

acima do alvo e nao permitindo colheita se o tamanho do estoque fica abaixo do alvo;

(ii) polıtica de taxa de colheita constante (constant harvest rate), remove uma

fracao desejada do estoque de cada ano; e (iii) polıtica de limiar (threshold policy),

intermediaria entre as duas anteriores e definida no paragrafo seguinte. Aplicacoes da

polıtica de limiar podem ser observadas em Funk & Rowell (1995) que estudaram a

polıtica aplicada na costa do Pacifico da Baıa Bristol. Em Hjerne & Hansson (2001)

modelaram a pescaria de bacalhau na costa oriental no Mar Baltico. Milner-Gulland,

Shea, Possingham, Coulson & Wilcox (2001) apresentaram um caso de estudo do uso

de modelos de simulacao para desenvolver e testar estrategias para a gerencia de po-

pulacoes sob incertezas; entre essas estrategias se encontra a polıtica de limiar.

Collie & Spencer (1993) introduziram a chamada polıtica de limiar que e definida

assim: se a abundancia de peixe esta abaixo do nıvel de limiar, entao nao e permitido

colher; e se esta acima do limiar, entao uma taxa de colheita constante e aplicada.

Deve-se enfatizar que nenhum dos trabalhos citados acima propoe uma metodologia

sistematica para o projeto da polıtica de limiar – apenas investigam os efeitos de apli-

cacao de tal polıtica. A polıtica de limiar tambem e referenciada como um controle

on-off e pode ser vista como um caso simples de controle a estrutura variavel utili-

zado na literatura de controle (Utkin 1978, Filippov 1988, Utkin 1992, Edwards &

Spurgeon 1998).

Polıticas de limiar para sistemas dinamicos com entradas de controle sao estrategias

que comutam os controles de entrada de um nıvel para outro assim que uma certa va-

riavel de medida cruza um valor predeterminado chamado limiar. Em outras palavras,

10

o espaco de estados do sistema dinamico e dividido em regioes e, em cada regiao, as

dinamicas sao determinadas pelo vetor de estados e a respectiva entrada de controle.

Em termos de controle, tais sistemas dinamicos tambem sao referenciados como siste-

mas de estrutura variavel e uma polıtica de limiar conduz a um sistema de estrutura

variavel com duas estruturas diferentes. Em termos matematicos, isto pode-se escrever

como:

z = fj (z, t, uj) , z ∈ Gj, z(0) = z0 ∈ R2+, (1.7)

na qual z = [x y]T e o vetor de estados do sistema e x, y poderiam representar as

densidades populacionais das especies, R2+ = z ∈ R2 | x > 0, y > 0 e uma variedade

aberta M e definida como

M =

z ∈ R2 | τ(z) = 0

(1.8)

sendo τ(z) : R2 → R e a variavel que define o limiar dependente do vetor de estados.

A variedade M divide o espaco de estados R2+ em regioes abertas Gj, j ∈ 1, 2, nasquais os campos vetoriais contınuos correspondentes fj : Gj → R2 sao especificados

(f1 6= f2). O controle uτ ,

uτ (z, t) =

u1 (z, t) com τ(z) > 0, z ∈ G1

u2 (z, t) com τ(z) < 0, z ∈ G2,(1.9)

usualmente especificado como uma funcao de z, comuta de uma valor para outro con-

forme z ∈ G1 ou z ∈ G2, i.e., quando o estado z cruza o limiar, τ(z). A funcao

de controle uτ (u1 6= u2) e indefinida quando o vetor de estados pertence ao con-

junto M , i.e., uτ e uma funcao de controle descontınua, embora u1 e u2 sejam fun-

coes contınuas. Consideracoes matematicas cuidadosas tem que ser feitas a respeito

do sentido no qual solucoes de (1.7) sao definidas, dado que o lado direito pode ser

descontınuo. Segundo Filippov (1988), em cada ponto da superfıcie de descontinui-

dade, o vetor de velocidade pertence a um conjunto fechado convexo mınimo contendo

todos os valores de f(z, t, uτ ), quando z varia sobre toda a δ-vizinhanca do ponto

sob consideracao (com δ tendendo a zero), com excecao possivelmente para um con-

junto de medida nula. A possibilidade de desprezar um conjunto de medida nula

11

permite tambem a determinacao do vetor velocidade para modos deslizantes (Edwards

& Spurgeon 1998, Filippov 1988, Utkin 1992). Agora define-se o conceito de equilıbrio

real e virtual, para o sistema (1.7) sujeito ao controle (1.9).

Definicao do Equilıbrio Virtual

Definicao 1 Seja zeqGi

tal que fi(

zeqGi, ui)

= 0 para algum ui em (1.7). Entao zeqGi

e

chamado um equilıbrio real se pertence a Gi e um equilıbrio virtual se pertence a

Gj, j 6= i.

A partir da definicao, fica claro que um equilıbrio virtual estavel nunca e atingido

na realidade. Pois uma trajetoria iniciando, digamos em G1 “procura” um equilıbrio

virtual estavel zeqG1 localizado em G2, porem nunca atingira zeqG1 porque a dinamica muda

assim que a trajetoria cruza o limiar τ(z).

Disto se poderia tambem concluir que um fenomeno interessante ocorrera na fron-

teira entre G1 e G2. De fato, ocorre o chamado“modo deslizante”em cima da variedade

M conforme descrito a seguir.PSfrag replacements

x

y

Limiar

f1

f2

Regiao de

Modo Deslizante

τ (z) < 0

τ (z) > 0

τ (z) = 0

zeqsl

zeq

G1

zeq

G2

G1

G2

u1

u2

V (τ ) = 1

2τ 2

V = τ ττ τ < 0

Figura 1.2: Modos deslizantes ocorrem na fronteira entre G1 e G2. O equilıbrio de deslizamentozeqsl e mostrado por um “bullet”. Cırculos solidos cinzas representam equilıbrios vir-tuais estaveis.

12

Modo Deslizante e Equilıbrio de Deslizamento

Para definir o modo deslizante, considere se o sistema de estrutura variavel de dinamica

nao linear sujeito a uma polıtica de limiar uτ (z, t) como segue:

z = f(z, t, uτ ), z ∈ R2+, uτ ∈ R, z0 ∈ R2+, (1.10)

na qual uτ e definido como em (1.9).

Um modo deslizante ocorre se existem regioes na vizinhanca da variedade M nas

quais os vetores f1(z, t, u1) e f2(z, t, u2) estao direcionados um para o outro (Figura

1.2). Matematicamente, a condicao para que um modo deslizante surja no limiar e de

que a distancia a este limiar, τ , e sua velocidade de mudanca, τ , devem ser de sinais

opostos, i.e.

limτ→−0

τ > 0 e limτ→+0

τ < 0, (1.11)

ou, equivalentemente,

τ τ < 0. (1.12)

A introducao de uma polıtica de limiar on-off e responsavel pelo novo comportamento

dinamico, i.e., convergencia para o limiar seguido pelo movimento ao longo do limiar

(isto e referenciado como um movimento de deslizamento ou modo deslizante) a um

ponto chamado o equilıbrio de deslizamento (zeqsl na Figura 1.2) ou, alternativa-

mente, um equilıbrio atingido atraves de um modo deslizante (Filippov 1988, Utkin

1992).

Notacao padrao utilizada para equilıbrios e limiares

Ao longo da tese se utilizara a polıtica de limiar que e definida como a funcao φ(τ)

φ (τ) =

1 se τ > 0

0 se τ ≤ 0,(1.13)

13

sendo que τ e a variavel que define o limiar, que e dependente dos estados do sistema

(veja Figura 1.3.a). A polıtica contınua de limiar e definida como uma funcao φ(τ, σ),

φ (τ, σ) =

1 se τ > στ + σ

2σse −σ ≤ τ ≤ σ

0 se τ < −σ.

(1.14)

na qual τ e a variavel que define o limiar, que e dependente dos estados do sistema,

2σ e a largura da regiao linear da polıtica e σ e uma constante positiva (veja Figura

1.3.b).

PSfrag replacements

φ(τ )

τ

1

0

PSfrag replacements

φ(τ, σ)

τ

1

0−σ σ

1

2

(a) (b)

Figura 1.3: (a) Polıtica de Limiar. (b) Polıtica Contınua de Limiar com Regiao Linear de Largura2σ.

Esta forma de tornar contınua a polıtica de limiar tem por objetivo aliviar o in-

conveniente do chaveamento em frequencia infinita pela introducao de uma camada

limite (2σ no caso da polıtica φ(τ, σ)) em volta do limiar, de maneira que um con-

trole contınuo substitui o controle descontınuo quando o sistema esta dentro da ca-

mada limite (Utkin 1977, Utkin 1978, Lee & Leitmann 1983, Vincent et al. 1985, Slo-

tine & Coetsee 1986, DeCarlo et al. 1988, Xu et al. 1989, Utkin 1992, Guldner &

Utkin 2000). A suavizacao do controle descontınuo dentro da camada limite designa

principalmente uma estrutura de um filtro passa-baixa a dinamica local do limiar

(Slotine & Coetsee 1986, Wong et al. 1998), eliminando assim o chaveamento.

Denomina-se um sistema livre quando nao e aplicado controle nele, i.e., φ(τ) =

0, e um sistema controlado quando e aplicado controle, i.e., φ(τ) = 1. A notacao

14

padrao para os diferentes tipos de equilıbrios do sistemas que ocorrem ao longo da

tese: (i) zcci denota um ponto de equilıbrio do sistema com controle; (ii) zsci denota um

ponto de equilıbrio do sistema sem controle; (iii) zeqsl denota um ponto de equilıbrio de

deslizamento do sistema atingido atraves de um modo deslizante; (iv) zeqi denota um

ponto de equilıbrio real do sistema.

Controle Equivalente

Uma tecnica formal denominada metodo de controle equivalente (Utkin 1977, Utkin

1978, Utkin 1992) e utilizada para calcular as equacoes do modo deslizante ideal do

sistema a seguir

z = f(z) + g(z)uτ . (1.15)

Nessa tecnica a deriva temporal do vetor τ (o limiar) ao longo das trajetorias do sistema

(1.17) e igualada a zero e o sistema algebrico resultante e resolvido para o vetor de

controle. Esse “controle equivalente” (se existe) e substituido no sistema original. As

equacoes resultantes sao as equacoes do modo deslizante ideal. De um ponto de vista

geometrico, o metodo acima significa calcular um controle contınuo o qual guia o vetor

velocidade ao longo da intersecao das superfıcies de descontinuidade.

Essa tecnica formal e estabelecido para sistemas lineares em relacao ao controle

(1.17) no qual uτ e determinado por (1.9). Supoe-se que um modo deslizante existe

sobre a variedade M . Calcula-se um controle contınuo de maneira que sob a posicao

inicial do vetor de estados sobre essa variedade, a derivada temporal do vetor τ ao

longo das trajetorias do sistema (1.17) e:

τ = S (f(z) + g(z)ueq) = 0, (1.16)

no qual as linhas da matriz S = ∂ τ/∂ z e o gradiente da funcao τ . Supondo que a

matriz S g e nao singular para todo z e t, o controle equivalente e como segue

ueq = −[S(z) g(z)]−1 S(z) f(z, t). (1.17)

15

Substituindo esse controle em (1.17) resultando na equacao

z = f(z)− g(z) (S g)−1 g f, (1.18)

o qual descreve a movimentacao do modo deslizante sobre a variedade τ = 0.

1.7 Resumo das contribuicoes desta tese

1. Formulacoes explıcitas das metodologias de controle apresentadas em Costa et al.

(2000), e Emel’yanov et al. (1998).

2. Controle de sistemas unidimensionais. Os modelos de dinamica populacional

abordados nesta tese incluem os de Noy-Meir (1975) e Collie & Spencer (1993).

3. Controle de sistemas herbıvoro-vegetacao-agua. O modelo dinamico abordado

nesta tese e o de Van de Koppel & Rietkerk (2000) bidimensional (herbıvoro-

vegetacao).

4. Controle de sistemas bidimensionais do tipo dependentes da densidade. Os mo-

delos abordados nesta tese incluem os modelos classicos de Lotka–Volterra e

Rosenzweig–MacArthur.

5. Controle de sistemas bidimensionais do tipo dependentes da razao. Os modelos

abordados nesta tese incluem o adimensional e do tipo Gause.

6. Estudo comparativo de diversas abordagens de controle nao linear. Os controle

considerados para o estudo comparativo sao o de Fradkov & Pogromsky (1998),

Vincent et al. (1985), Junger & Steil (2003) e Astolfi & Ortega (2003).

1.8 Organizacao da Tese

A tese esta organizada segundo a Tabela 1.1.

16

Tabela 1.1: Organizacao da tese

PSfrag replacements

Capıtulo

Contribuicao

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

X

X

X

X

X

X

O X na tabela significa que a contribuicao e desenvolvida no respectivo capıtulo.

17

18

Capıtulo 2

Controle chaveado para sistemas

dinamicos populacionais

A polıtica de limiar do tipo Weighted Escapement Policy (WEP) proposta em Costa

et al. (2000), consiste em fixar um valor (=limiar) para a soma ponderada das popula-

coes exploradas acima do qual a colheita e permitida. Neste caso a polıtica e aplicada

em ambas as especies. A analise qualitativa da estabilidade e feita em termos dos

pontos de equilıbrio reais e virtuais. Costa et al. (2000) deram exemplos da utilizacao

da WEP, contudo, nao propuseram um procedimento geral de projeto da polıtica de

limiar do tipo WEP.

A tıtulo de motivacao, este capıtulo formaliza o procedimento implıcito em Costa

et al. (2000), bem como em Emel’yanov et al. (1998). Uma combinacao desses proce-

dimentos serve de base para o procedimento novo proposto nesta tese.

Com o intuito de mostrar a analise feita em Costa et al. (2000) e em Emel’yanov

et al. (1998), utiliza-se como exemplo explicativo o modelo Lotka–Volterra, uma vez

que este e o mais simples e serve como um paradigma para modelos mais realistas.

19

2.1 Modelo Lotka–Volterra sujeito a Polıtica de Li-

miar do Tipo WEP

Considera-se o modelo classico Lotka–Volterra com entradas de controle nas dinamicas

de ambas especies:

x = r1 x− a x y − xu1,

y = −r2 y + b x y − y u2.(2.1)

Os controles sao definidos como segue:

u1 = ε1 φ(τ)

u2 = ε2 φ(τ),

sendo φ(τ) a polıtica de limiar definida em (1.13); τ a variavel que define o limiar,

dependente dos estados do sistema e definido como:

τ := α1 x+ α2 y − S, (2.2)

na qual α1 e α2 sao os pesos das populacoes, S e a soma ponderada das densidades das

especies considerada constante, os numeros positivos ε1 e ε2 sao os esforcos de colheita

(chamados tambem de esforco de controle ou de mortandade de pesca) da presa e do

predador, respectivamente.

2.1.1 Analise dos Pontos de Equilıbrio

Embora a variavel τ , que define o limiar, possa variar de forma, a analise dos pontos de

equilıbrio e sempre a mesma. Para poder classificar os pontos de equilıbrio do sistema

para cada situacao (τ > 0, τ < 0) e preciso lineariza-los.

1. Quando τ < 0: A dinamica e como segue:

x = r1 x− a x y

y = −r2 y + b x y.

20

A matriz Jacobiana do lado direito fica

Aτ<0 =

r1 − a y −a xb y −r2 + b x

,

2. Quando τ > 0: A dinamica e como segue

x = r1 x− a x y − ε1 x

y = −r2 y + b x y − ε2 y.

A matriz Jacobiana do lado direito fica

Aτ>0 =

r1 − a y − ε1 −a xb y −r2 − ε2 + b x

.

Os pontos de equilıbrio do sistema livre sao (0, 0) e (r2/b, r1/a) ao passo que os pontos

de equilıbrio do sistema controlado sao (0, 0) e ((r2+ε2)/b, (r1−ε1)/a). A substituicao

destes valores (x, y) nas respectivas Jacobianas e o calculo dos autovalores resultantes,

permite a classificacao dos pontos de equilıbrio abaixo.

1. Sistema livre. O sistema sem controle denomina-se sistema livre.

Quando φ(τ) = 0, os pontos de equilıbrio sao mostrados na Tabela 2.1.

Tabela 2.1: Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Lotka–Volterra semcontrole

Ponto de Equilıbrio Autovalores Classificacaozsc1 = (0, 0) r1, −r2 Selazsc2 =

(

r2b, r1a

)

± j√r1 r2 Centro

2. Sistema controlado. O sistema esta com controle denomina-se sistema contro-

lado.

Quando φ(τ) = 1, os pontos de equilıbrio sao mostrados na Tabela 2.2.

Observacao 2.1 As trajetorias do modelo Lotka–Volterra sao curvas fechadas. De

fato, se uma das trajetorias e perturbada, o sistema se acomoda em outra trajetoria

fechada de acordo com a magnitude da perturbacao. Porem, nao sao ciclos limites.

21

Tabela 2.2: Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Lotka–Volterra comcontrole

Ponto de Equilıbrio Autovalores Classificacaozcc1 = (0, 0) r1, −r2 Sela

zcc2 =(

r2+ε2b, r1−ε1

a

)

± j√r1 r2 Centro

2.1.2 Procedimento implıcito em Costa et al. 2000

Aqui formaliza-se o procedimento que se encontra implıcito em Costa et al. (2000),

como segue:

10 passo: Escolha dos pesos αi e dos esforcos εi para garantir:

ε1 b

ε2 a− α1α2

> 0. (2.3)

Esta e a condicao de inclinacao que assegura que a inclinacao da linha que une os

pontos de equilıbrio zcc2 e zsc2 tenha uma maior inclinacao negativa do que a incli-

nacao do limiar, de modo que os pontos zcc2 e zsc2 sejam virtuais. Adicionalmente,

os αis devem satisfazer a desigualdade

b

a− α1α2

> 0 (2.4)

pois esta e a condicao que garante que as trajetorias convergirao a regiao de

deslizamento.

20 passo: Escolher S, a soma de pesos, e, a partir desta escolha, calcular o ponto de

equilıbrio de deslizamento, xeqsl ,

xeqsl =ε2 aS − r1 ε2 α2 − r1 ε1 α2

ε2 α1 a− ε1 α2 b, (2.5)

yeqsl =S − α1 x

eqsl

α2. (2.6)

30 passo: Se o ponto (xeqsl , yeqsl ), que representa o ponto de equilıbrio novo projetado,

estiver muito proximo a origem, deve-se ajustar os parametros de projeto, εis,

αis e S para outro novo ponto (xeqsl , yeqsl ) mais distante da origem.

22

Observacao 2.2 E facil formular o problema de ajuste parametrico como um problema

de otimizacao do tipo

max |xeqsl |2 + |yeqsl |

2

sujeito as restricoes (2.3), (2.4), (2.5) e (2.6); e numeradores de (2.5), (2.6) positivos.

Observacao 2.3 Notar que (2.3) garante denominador de (2.5) positivo.

2.1.3 Simulacoes da Polıtica de Limiar do Tipo WEP

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x

y

Diagrama de Fase

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo

u 1,u

2

Controles

Controle da Presa u1Controle do Predador u

2

(c)

Figura 2.1: (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito a polıtica de limiar do tipoWEP. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador,x(t) e y(t). Valores de parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1, ε1 = 0.5 e ε2 = 0.5.(c) O controle, na implementacao numerica, fica oscilando em alta frequencia quandoos estados do sistema ‘estabilizam’ no equilıbrio de deslizamento, devido ao metodode integracao utilizado (Euler) que introduz erros de aproximacao.

Observacao 2.4 O modelo Lotka–Volterra sujeito a uma polıtica de limiar do tipo

WEP aplicada em ambas especies estabiliza no limiar, (veja Figura 2.1.a).

23

Na aplicacao pratica desta polıtica, incertezas podem resultar em uma rapida alter-

nacao entre colheita e nao colheita (veja Figura 2.1.c, na qual a“incerteza” e numerica),

e motiva o desenvolvimento de uma polıtica contınua de caracterısticas similares.

2.2 Controle de Realimentacao Induzida

Nesta secao faz-se um resumo da metodologia do controle de realimentacao induzida.

Supondo que exista um sistema dado por

z = ϕ(z, u, t) (2.7)

no qual z ∈ Rn, u ∈ Rp e p < n, ϕ ∈ Rn×Rp×R → Rn. Decompondo arbitrariamente

o vetor z em uma soma de duas projecoes, x e y, e representando o modelo como antes

por um sistema de equacoes

x = ϕ1(z, t)

y = ϕ2(z, t) +B(t)u,(2.8)

no qual x ∈ Rn−p, y ∈ Rp, z = [x y]T , u ∈ Rp, B(t) = diag[b1(t), · · · , bp(t)] e uma

matriz diagonal cujos elementos da diagonal sao contınuos e variam no intervalo bi(·) ∈[1/L, L], L > 1. Essa nova representacao pode ser interpretado como: (i) a primeira

equacao de (2.8) corresponde a dinamica do sistema (A) (veja Figura 2.2), i.e., o

subsistema do sistema original; (ii) a segunda equacao de (2.8) corresponde ao sistema

(B), i.e., a malha de realimentacao interna em torno do sistema (A). Sejam ϕ1 e ϕ2

funcoes contınuas e localmente Lipschitz em z. Os valores dos componentes ϕ1, ϕ2 e

B podem ser desconhecidos, porem possuindo limitantes em norma conhecidos. Esta

formulacao permite que as equacoes (2.8) modelem um sistema dinamico nao linear

incerto, i.e., a grosso modo sujeito a perturbacoes incertas.

2.2.1 Realimentacao Interna Induzida

Para fixar as ideias, comecamos a descrever o projeto de controle de u. Neste caso, o

controle u deve converter o sistema (B) (a segunda equacao de 2.8) a uma certa malha

24

PSfrag replacements

Operador de Realimentacao Interna

Sistema A

Sistema B

x

y

u(x, t)

Figura 2.2: Dinamica do sistema na forma de um par de sistemas interligados A e B.

de realimentacao interna que comunica as propriedades desejadas ao sistema (A) (a

primeira equacao de 2.8) e da forma ao longo das suas trajetorias x(t) a um vetor y(t)

a qual tambem mostra as propriedades exigidas. Aqui surge a pergunta, que forma e

necessaria dar a conhecer a (A) atraves de sua conversao?

A malha de realimentacao interna desejada (2.8) e uma comum malha de realimen-

tacao “externa”para o sistema (A), o qual envolve a conversao da saıda x deste sistema

a sua entrada y. A malha de realimentacao x → y deve garantir um carater definido

de operacao do sistema (A), para determinar a malha de realimentacao tem-se que

resolver o problema do controle para o sistema (A). Este problema satisfaz a equacao

x = ϕ1(x, y, t),

no qual o vetor y serve como controle. Este problema difere da maioria de problemas

de controle em que inclui um requerimento adicional: a acao do controle y deve variar

de uma certa maneira ao longo das trajetorias do sistema em malha fechada. Como

em outro problemas, aqui procura-se a acao de controle como uma funcao da saıda x

e do tempo.

Supondo que esteja resolvido o problema, acha-se uma funcao v = v(x, t) de forma

que se

y = v(x, t) (2.9)

25

entao x e y variam na forma desejada. Volta-se ao problema de analise de um controle

u(z, t) que causa ao sistema (B) funcionar tal como a igualdade (2.9). Se esta igualdade

e valida, diz-se que o controle u(z, t) induz a realimentacao interna com o operador

v(x, t). E evidente que trata-se de um problema de rastreamento, a saıda: y do sistema

(B) deve reproduzir a funcao especificada v(x, t).

Desta forma, o problema de sıntese de controle para o sistema (2.7) consiste em

dois sub-problemas: o primeiro e especificar o operador de realimentacao de inducao

v(x, t), e o segundo e sintetizar o controle para o sistema (B) por realimentacao interna

induzida com o operador obtido no primeiro.

Introduz-se o chamado vetor de erro induzido definido como s := y − v(x, t). E

desejavel que s va para zero em tempo finito e que daı fique exatamente em s = 0.

Porem esta exigencia e um tanto estrita, de modo que costuma-se permitir um certo

erro de aproximacao, isto e, exigir ‖s‖ ≤ σ.

Interpretacao matematica

A ideia da medotologia de inducao de controle realimentado, e escolher o controle

u = u(z, t) tal que a condicao

‖y − v(x, t)‖ ≤ σ(x, t) (2.10)

seja valida para o sistema em malha fechada, sendo que v e σ sao um vetor e uma

funcao escalar, respectivamente, e

σ(x, t) ≥ 0 ∀x, t, (2.11)

v(x, t) pode ser interpretado como o comportamento desejado do sistema da primeria

equacao de (2.8). No espaco de estado, a equacao y = v(x, t) define uma variedade –

um grafico do operador de realimentacao interna induzıvel. Geralmente esta variedade

esta em movimento por ser dependente do tempo. O objetivo de controle e levar o

sistema a partir de um ponto inicial arbitrario z(t0) ate uma vizinhanca da variedade,

especificada por uma tolerancia σ(z, t) na desigualdade (2.10), denominada a tolerancia

de erro de inducao.

26

Tem-se, portanto, um problema de rastreamento para o sistema dinamico

y = ϕ2(x, y, t) +B(t)u, (2.12)

i.e., a variavel v(x, t) tem que ser rastreada.

Supondo v suave, pode-se definir a nova variavel

s := y − v(x, t)

denominada vetor de erro de inducao. Portanto, examina-se o comportamento do

sistema no espaco de coordenadas do vetor s. Calcula-se a derivada temporal de s,

obtendo-se

s = ϕ2 +B u− ∂v

∂xϕ1 −

∂v

∂t.

Sıntese do Controle Induzido

Defina-se a regiao G como:

G = z : ‖s‖ ≤ σ, (2.13)

e deseja-se que a regiao G seja invariante para o sistema (2.8). Portanto, u deve ser

projetado de maneira que a norma de s, ‖s‖ 1, decresca constantemente para a regiao

G, i.e., que no exterior de G (incluindo a fronteira ∂ G)

d

dt‖s‖ < −

∣

∣

∣

∣

d

dtσ

∣

∣

∣

∣

, para ‖s‖ ≥ σ(x, t) (2.14)

1Define-se ‖s‖2 = 〈s, s〉.

27

considerando-se (2.8) obtem-se

d

dt‖s‖+

∣

∣

∣

∣

d

dtσ

∣

∣

∣

∣

=

⟨

s

‖s‖ , s⟩

+ |σ|

=

⟨

s

‖s‖ , ϕ2 −∂v

∂xϕ1 −

∂v

∂t

⟩

+

∣

∣

∣

∣

⟨

∂σ

∂x, ϕ1

⟩

+∂σ

∂t

∣

∣

∣

∣

+

⟨

s

‖s‖ , B u

⟩

(2.15)

≤ ‖ϕ2‖+∥

∥

∥

∥

∂v

∂x

∥

∥

∥

∥

‖ϕ1‖+∥

∥

∥

∥

∂v

∂t

∥

∥

∥

∥

+

∥

∥

∥

∥

∂σ

∂x

∥

∥

∥

∥

‖ϕ1‖+∥

∥

∥

∥

∂σ

∂t

∥

∥

∥

∥

+

⟨

s

‖s‖ , B u

⟩

Para satisfazer a condicao (2.14), e suficiente que o ultimo somando em (2.15) seja

negativo e grande o suficientemente em magnitude. Escolhe-se u = −s ‖u‖‖s‖

. Entao

⟨

s

‖s‖ , B u

⟩

=

⟨

s

‖s‖ ,−Bs

‖s‖

⟩

‖u‖ ≤ − 1

L‖u‖,

portanto, (2.14) e satisfeita, i.e.,

1

L‖u‖ > ‖f2‖+

(∥

∥

∥

∥

∂v

∂x

∥

∥

∥

∥

+

∥

∥

∥

∥

∂σ

∂x

∥

∥

∥

∥

)

‖f1‖+∥

∥

∥

∥

∂v

∂t

∥

∥

∥

∥

+

∣

∣

∣

∣

∂σ

∂t

∣

∣

∣

∣

. (2.16)

Portanto, se a norma do vetor de controle satisfaz desigualdade (2.16) e a direcao desse

vetor e oposto a do vetor s, entao a condicao (2.14) e valida.

Lei de Controle

Supondo que e conhecido que no lado direito do modelo (2.8), a funcao Φ = Φ(z, t)

majora ‖ϕ1‖ e ‖ϕ2‖ para todo z, t

Φ(z, t) ≥ max‖ϕ1(z, t)‖, ‖ϕ2(z, t)‖ ∀z, t.

A condicao (2.16) e mantida

1

L‖u‖ >

(

1 +

∥

∥

∥

∥

∂v

∂x

∥

∥

∥

∥

+

∥

∥

∥

∥

∂σ

∂x

∥

∥

∥

∥

)

Φ +

∥

∥

∥

∥

∂v

∂t

∥

∥

∥

∥

+

∣

∣

∣

∣

∂σ

∂t

∣

∣

∣

∣

. (2.17)

28

Introduz-se a funcao F (z, t) de maneira que

‖u‖ ≥ F (z, t).

Finalmente,

u = − s

‖s‖Ψ(‖s‖ , σ)F (z, t). (2.18)

As caracterısticas do controle u sao:

1. Para calcular o valor da acao de controle (2.18), deve-se dispor do seguinte:

(a) Informacao dos valores de todas as coordenas de z.

(b) Informacao do limitante inferior dos elementos da matriz B, i.e., L.

(c) A estimativa das derivadas parciais de v e σ.

2. O controle e definido pelo produto de tres fatores:

(a) O fator de direcao s/‖s‖.

(b) O fator de forca F (z, t).

(c) O fator suavizador Ψ (‖s‖ , σ), o qual garante a continuidade do controle u.

Por exemplo, para a funcao Ψ = Ψ(α, β), pode-se utilizar

Ψ =2α

α + β, ou Ψ =

√2α

√

α2 + β2, ou Ψ = min

1,α

β

.

2.2.2 Resumo do procedimento de projeto do controle Emel’yanov

Apresenta-se o seguinte teorema retirado de Emel’yanov et al. (1998)

Teorema 2.1 Seja o sistema

x = ϕ1(x, y)

y = ϕ2(x, y) +B(t)u(2.19)

e z = [x y]T , B = diag(b1, . . . , bn), bi(·) ∈[

1L, L]

, ϕ1, ϕ2 sao contınuos, localmente

Lipschitz e desconhecidos.

29

Existe um controle u contınuo de forma que as trajetorias do sistema (2.19) se

aproximam ao conjunto G e penetram nele em tempo finito, sendo

G := z : ‖s‖ ≤ σ(x, t)

com

s := y − v(x, t),

em malha fechada, v(x, t) e a trajetoria a ser rastreada, σ(x, t) e uma tolerancia de

erro de rastreamento. O controle tem a seguinte forma:

u = − s

‖s‖Ψ(‖s‖ , σ)F (z, t).

2.2.3 Procedimento Implıcito em Emel’yanov et al. 1998 Apli-

cado ao Modelo Lotka–Volterra com controle no preda-

dor

A primeira tarefa a ser realizada e a de levar o sistema a forma de “realimentacao

interna induzida” (2.8). Porem, uma vez que o sistema em estudo, Lotka–Volterra, ja

se encontra em forma adequada,

x = r1 x− a x y,

y = −r2 y + b x y − u.

assim, o seguinte procedimento e valido.

1. Escolhe-se o ponto de equilıbrio, no qual deseja-se estabilizar o sistema, para uma

densidade das presas M . Deve-se satisfazer

M > sup(r2b

)

,

e a densidade dos predadores, pela dinamica do sistema, deve permanecer sobre

yeq =r1a.

30

2. Supoe-se que e necessario manter x perto de M , i.e., |x −M | < δ. Introduz-se

as constantes L1, L2 e σ como a tolerancia de erro de inducao (neste caso uma

constante). As constantes deve satisfazer

L1 + σ <r1a, L2 − σ >

r1a.

3. Escolhe-se o operador v (x) da realimentacao interna adequadamente, por exem-

plo (veja Figura 2.3)

v(x) = L1 + (L2 − L1)max

0,min

1,x−M + δ

2 δ

.

PSfrag replacements

L1

L2

r1

a

r2

b0 x

y

δδ

σ

σ

MDatos

Figura 2.3: Operador da realimentacao interna induzida.

4. Neste passo define-se o “vetor de erro induzido”

s = y − v (x) .

5. Escolhido a tolerancia do erro de inducao σ (x, t). Definiu-se, assim, a desigual-

dade

‖s‖ ≤ σ (x, t) .

6. Verificam-se as condicoes∣

∣

∣

∣

dy

dx

∣

∣

∣

∣

>

∣

∣

∣

∣

dv

dx

∣

∣

∣

∣

,

para garantir a invariancia da regiao G := z : ‖s‖ ≤ σ.

7. Analisa-se o comportamento do sistema, nas coordenadas do vetor de erro indu-

31

zido. A analise e feita nas seguintes regioes:

|x−M | > δ, |x−M | < δ.

Da analise obtem-se o ganho F .

8. A lei de controle e:

u = F x y max

0,min

1,s− σ

2σ

2.2.4 Comportamento do Modelo Lotka–Volterra sujeito ao

controle segundo Emel’yanov

Neste caso deve-se satisfazer algumas restricoes que foram calculadas em Emel’yanov

et al. (1998),

xeq − σ > supr2b.

Substituindo os valores dos parametros nestas restricoes, obtem-se as seguintes relacoes

numericas:

xeq > 1.2, F > b+L2 − L1

2 δa = 1.625.

Sob estas restricoes escolhem-se valores viaveis de ponto de equilıbrio desejado, bem

como do esforco de controle, conforme a seguir:

xeq = 1.25, yeq = 1, L1 = 0.75, L2 = 1.25, F = 1.625, M = 1.25, δ = σ = 0.2.

O valor de xeq escolhido foi o mesmo utilizado em Costa et al. (2000), para fins de

comparacao. O controle e dado por:

u = F x y max

0,min

1,s− σ

2σ

32

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x

y

Diagrama de Fase

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Tempo

u

Controle

Controle do Predator u2

(c)

Figura 2.4: (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito ao controle Emel’yanov. (b)Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador x(t) e y(t).Valores de parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1, F = 1.625, δ = 0.2 e σ = 0.2. (c)A acao de controle u como funcao do tempo.

Comentarios

O objetivo desta tese pode ser expressado no contexto dos resultados de Costa et al.

(2000), Emel’yanov et al. (1998), expostos brevemente acima, da seguinte maneira:

1. Unificar os resultados descritos acima utilizando uma tecnica sistematica de pro-

jeto baseado nos conceitos de funcoes de Liapunov com controle (CLFs), “backs-

tepping” auxiliado pela analise dos pontos de equilıbrio.

2. Procurar atender as restricoes de viabilidade e implementabilidade dos controles

no contexto ecologico.

3. Verificar se a tecnica proposta aplica-se a uma ampla gama de modelos de dina-

mica populacional.

33

Observe que o objetivo desta tese pode ser entendido como o de melhorar a pro-

posta de Costa et al. (2000) em alguns pontos: (i) Propondo uma versao contınua de

Costa et al. (2000), seguindo o trabalho de Emel’yanov et al. (1998); (ii) Aplicando a

polıtica de limiar em somente uma das dinamicas do sistema de modo que estabilize

em um equilıbrio desejado e (iii) Propondo um procedimento sistematico de projeto

de controle. Embora a polıtica de limiar (Costa et al. 2000) tenha sido aplicada a

modelos de duas especies (modelos Lotka–Volterra e Leslie–Gower) nao se propos um

procedimento sistematico de projeto. Pretende-se, nesta tese, estudar e analisar siste-

maticamente modelos de uma especies sujeitos a polıtica de limiar como se mostra no

capıtulo seguinte.

34

Capıtulo 3

Controle chaveado para sistemas

populacionais unidimensionais

Os ecossistemas de pastagem tem algumas vantagens para testar hipoteses ecologicas de

casos relativamente simples na teoria de ecologia geral, como por exemplo: (i) o numero

de especies e limitada (usualmente so um herbıvoro, em alguns casos uma ou poucas

especies de plantas); (ii) a movimentacao dos animais e controlada. Estas hipoteses

sao razoaveis para o gerenciamento de ecossistemas de pastagem nos quais o numero

de herbıvoros e mantido constante pela intervencao do homem. Existe um grande e

crescente numero de observacoes e experiencias em ecossistemas de pastagem em muitas

partes do mundo (Wade 1974, Van de Koppel et al. 1996, Augustine et al. 1998, e refs.

contidas nestas).

Noy-Meir (1975) e May (1977b) explicaram os efeitos irreversıveis da seca e da sobre-

pastagem da vegetacao em areas semi-aridas de ecossistemas de pastagem, postulando

a existencia de estados estaveis alternativos da vegetacao.

Com o objetivo de introduzir um controle exogeno (externo) na dinamica popula-

cional de modelos de uma especie de maneira que o sistema dinamico estabilize em um

equilıbrio globalmente estavel desejado, utiliza-se a tecnica de CLF para escolher um

controle simples do tipo chaveado, sempre que for possıvel.

35

O modelo Noy–Meir

O modelo original apresentado por Noy-Meir (1975), no qual assume-se uma simplifi-

cacao drastica da complexidade inerente do mundo real em sistemas planta-herbıvoro,

ainda pode prover ideias uteis no comportamento dos sistemas. Na forma simples do

modelo de Noy-Meir, mudancas na abundancia da planta sao descritas por

dx

dt= G(x)− C(x), (3.1)

sendo que Noy-Meir assume que na ausencia de pastagem a funcao G(x) pode ser

escrita como x f(x), que descreve o crescimento da planta como uma funcao de sua

densidade x, a funcao C(x) e a taxa de perda devido ao consumo dos herbıvoros ou

simplesmente chamada de taxa de consumo (correspondente a um consumo per capita

a uma taxa c(x) : C(x) pode ser escrita como x c(x) y, sendo que x c(x) e chamada de

resposta funcional e y e a densidade dos herbıvoros).

O modelo Noy–Meir considera G(x) como uma funcao logıstica g x (1 − x/xmax),

sendo que g > 0 e uma constante que denota a taxa de crescimento intrınseca da

vegetacao; xmax e a capacidade maxima de suporte do meio ambiente (Odum 1988) e

a taxa de consumo C(x) e considerada linear em funcao da densidade da vegetacao,

i.e. C(x) = cmax x . Este modelo tambem foi estudado em May (1977b), Clark (1976),

Clark (1985), Kot (2001) e Jensen (2002).

Uma caracterıstica do modelo mencionado acima e que o tamanho da populacao dos

herbıvoros e considerado como permanecendo constante (neste trabalho de tese e nor-

malizado em 1), embora mudancas dramaticas acontecam na densidade da vegetacao.

Estes modelos assumem a densidade do herbıvoro constante, e portanto, aplicam-se

exclusivamente a sistemas nos quais a dinamica da populacao de herbıvoros esta desa-

coplada da disponibilidade de forragem (vegetacao).

Esboco do Procedimento de Projeto para Um Modelo de Forma

Geral

Faz-se um esboco do procedimento para calcular a polıtica de limiar, seguido pelo

teorema geral.

36

Seja o modelo geral de uma especie a ser controlado descrito como:

x = x f(x)− x c(x)u, (3.2)

no qual u e o controle (polıtica de limiar) a ser projetado. Em outras palavras, escolhe-

se

u = ε φ(τ) (3.3)

τ = x− xth (3.4)

sendo que ε e um parametro do esforco de controle a ser escolhido, φ(τ) e definido em

(1.13), τ e a variavel que define o limiar e xth e o valor do nıvel de limiar.

O projeto da funcao de Liapunov com controle procede como segue: Seja a candidata

CLF escolhida como:

V1(x) =1

2(x− xd)

2, (3.5)

sendo xd o equilıbrio desejado.

Derivando V1 ao longo das trajetorias (3.2) resulta

V1 = (x− xd)x (f(x)− c(x)u) . (3.6)

A esta altura, as hipoteses sobre as funcoes de crescimento e consumo sao utilizadas

para escolher ε e xth (i.e., para definir u em (3.3)) de maneira que V1 < 0, provando

estabilidade. Este procedimento e utilizado para provar o Teorema que e enunciado na

proxima secao.

3.1 Teorema de Estabilidade Global para um Mo-

delo Geral de Uma Especie

Enuncia-se um Teorema que estabelece o resultado principal da estabilidade global para

um modelo generico de uma especie sujeito a polıticas de limiar descontınua e contınua.

Teorema 3.1 Considere o sistema unidimensional de dinamica populacional abaixo

37

sujeito a um controle u

x = x f(x)− x c(x)u, (3.7)

sendo que x ∈ R e o estado a ser controlado e representa uma variavel nao negativa

(= densidade populacional). Sob as seguintes hipoteses:

1. A funcao x f(x) e nao negativa, contınua e limitada no intervalo [0, xm]

2. A funcao x c(x) e nao negativa e do tipo linear ou de saturacao

e possıvel estabilizar o sistema:

a. Com um controle chaveado

u = ε φ(τ)

τ = x− xd,

sendo que ε > f(x)/c(x), φ e definido em (1.13) e xd (< xm) e o equilıbrio

desejado, atingido atraves de modo deslizante.

b. Com um controle contınuo

u = ε φ(τ, σ)

sendo que φ e definido em (1.14), τ = x− xd, 2σ e a largura da regiao linear da

polıtica contınua de limiar e xd (< xm) e o equilıbrio globalmente assintoticamente

estavel.

3.2 Prova do Teorema de Estabilidade Global para

um Modelo Generico de Uma Especie

A polıtica de limiar φ(τ), com limiar τ := x − xd divide R em dois segmentos, xd

e o ponto de equilıbrio desejado. Em cada segmento o sistema tem uma estrutura

diferente. Seja G1 o segmento correspondente a τ > 0, com o controle u = ε, e G2 o

segmento correspondente a τ < 0, com o controle u = 0. A dinamica do sistema em

38

cada segmento e como se segue:

G1 :

dx

dt= x f(x)− ε x c(x), (3.8)

G2 :

dx

dt= x f(x). (3.9)

A forma geral da funcao de crescimento G(x) = x f(x) e convexa com um maximo

simples e a forma geral de funcao de consumo C(x) = x c(x) e uma curva linear ou de

saturacao, crescendo em densidades baixas x e atingindo um plato em altas densidades

x. Entao, algumas possıveis formas da funcao de crescimento G(x) sao

Crescimento Logıstico : G(x) = g x(

1− xxmax

)

Crescimento Nao Linear Tipo II : G(x) = g x(

1− xxmax

)

− c xx+d

Crescimento Nao Linear Tipo III : G(x) = g x(

1− xxmax

)

− c x2

x2+d2

e algumas formas possıveis da funcao de consumo C(x) sao

Consumo Linear : C(x) = cmax x

Consumo do Tipo Holling II : C(x) = cmax xx+p

Consumo do Tipo Holling III : C(x) = cmax x2

x2+p2

Para fixar ideias, considera-se a funcao G(x) = g x (1−x/xmax) e C(x) = cmax x2/(x2+

p2), mas note que calculos similares aplicam-se para qualquer par de escolhas de C(x)

e G(x).

a. Seja a Funcao de Liapunov de Controle V1(x) definida como

V1(x) =1

2(x− xd)

2. (3.10)

Derivando (3.10) em relacao ao tempo ao longo das trajetorias de (3.7) obteve-se

V1 = (x− xd)x (f(x)− x c(x)u) , (3.11)

e fazendo a analise por regioes:

1. Regiao τ < 0, u = 0: Nesta regiao V1 tem a seguinte forma,

V1 = (x− xd)x f(x), (3.12)

39

e devido a x e f(x) serem nao negativas, V1 e negativa definida para todas

as formas de f(x).

2. Regiao τ > 0, u = ε: Nesta regiao V1 tem a seguinte forma,

V1 = (x− xd)x (f(x)− ε c(x)) , (3.13)

o factor f(x)− ε c(x) deve ser negativa definida, i.e.,

ε > f(x)/c(x) := Γ(x), (3.14)

portanto ε deve ser suficientemente grande para que V1 seja negativa defi-

nida. Para o calculo de ε, considera-se a funcao Γ(x) diferenciavel e que

alcanca seu maximo no intervalo [0 xm]; para calcular o valor de x no qual

Γ(x) e maximo, deve-se derivar Γ(x) em relacao A x e resolver a equacao

resultante em relacao a x, dito valor de x e denotado como x, i.e., x e o

valor no qual Γ(x) atinge seu maximo, denotado como Γmax, e 0 < x < xm,

ε > Γmax = Γ(x).

Por exemplo, considerando-se uma funcao de crescimento logıstica e uma

funcao de consumo Holling tipo III, entao

ε > f(x)/c(x) = g

(

1− x

xmax

)

x2 + p2

cmaxx:= Γ(x), (3.15)

calcula-se o valor de x,

dΓ

dx=

g

cmaxxmaxx2

−2x3 + xmaxx2 − xmaxp

2

, (3.16)

esta equacao tem tres raızes, duas das quais sao imaginarias conjugadas (as

quais nao serao consideradas) e a raiz real e

x =1

6a+

x2maxa

+xmax6

40

com

a =(

−54p2xmax + x3max + 6√

81p4x2max − 3p2x4max

)1/3

.

Entao, o valor de ε deve de satisfazer a restricao

ε > f(x)/c(x). (3.17)

Isto prova que e possıvel estabilizar o sistema em um ponto de equilıbrio

de deslizamento e como, deseja-se estabilizar o sistema no limiar, deve-se

escolher xd = xth, i.e., o equilıbrio de deslizamento.

b. Um sistema do tipo:

x = x f(x)− ε x c(x)φ(τ, σ) (3.18)

para o qual a polıtica contınua de limiar e

φ (τ, σ) = max

0,min

1,τ + σ

2σ

,

sendo τ := x− xth, 2σ e a largura da regiao linear do controle. De modo similar

que no caso anterior, escolhe-se o limiar xth = xd. Seja V1(x) uma funcao de

Liapunov de controle definida como

V1(x) =1

2(x− xd)

2. (3.19)

Derivando (3.19) em relacao ao tempo obteve-se

V1 = (x− xd)x (f(x)− ε c(x)φ). (3.20)

Para as diferentes formas de f(x) e c(x), a analise de f(x) − ε c(x) e feita para

as diferentes regioes do controle:

1. Regiao τ < σ, φ(τ, σ) = 0: Nesta regiao V1 e da seguinte forma

V1 = (x− xd)x f(x), (3.21)

considera-se xd = xth, como x e f(x) sao nao negativas, portanto V1 < 0.

41

2. Regiao −σ ≤ τ ≤ σ: Nesta regiao V1 e da seguinte forma

V1 = (x− xd)x

(

f(x)− ε c(x)

(

τ + σ

2σ

))

, (3.22)

como se deseja estabilizar o sistema em um ponto que pertenca a esta regiao

e foi escolhido xd = xth, i.e. τ = 0, entao o valor de ε que faz com que o

sistema estabilize em x = xth e

ε = 2 f(xth)/c(xth)

com isto V1 = 0 em x = xth e V1 < 0 para todo xth − σ ≤ x ≤ xth + σ, i.e.

−σ ≤ τ ≤ σ.

3. Regiao τ > σ, φ(τ, σ) = 1: Nesta regiao, V1 e da seguinte forma

V1 = (x− xd)x (f(x)− ε c(x)), (3.23)

como f(xth) − εc(xth)/2 = 0, entao para valores de x > xth + σ o fator

f(x)− ε c(x) < 0, portanto V1 < 0.

Observacao 3.1 Para as diferentes formas de f(x) e c(x) do sistema com polıtica

descontınua ou contınua, e possıvel calcular o valor do esforco ε de forma que o sistema

tenha um equilıbrio de deslizamento ou um equilıbrio global e assintoticamente estavel.

3.3 Exemplo Aplicativo: Modelo Collie–Spencer

O modelo de Collie–Spencer foi estudado na area de gerenciamento da pescaria (Collie

& Spencer 1993, Quinn & Deriso 2000). Este modelo e equivalente ao modelo generico

de Noy–Meir com x f(x) = g x (1 − x/xmax), x c(x) = c x2/(d2 + x2) uma taxa de

consumo denominada Holling III, acrescentando um termo de colheita ε x. O modelo

resultante e:dx

dt= g x

(

1− x

xmax

)

− c x2

d2 + x2− ε x, (3.24)

42

no qual x e a densidade populacional do peixe, g representa a taxa de crescimento

intrınseca, xmax e a capacidade maxima de suporte do meio ambiente, c e a taxa de

consumo (considerada constante), d relaciona a densidade da presa x na qual ocorre

a saciacao do predador e ε e a mortandade da pesca (“fishing mortality”). O estudo

deste modelo e feito para pesquisar os efeitos da colheita na dinamica da

populacao.

O modelo de Collie–Spencer sujeito a polıtica de limiar no termo de colheita e

mostrado a seguir:

dx

dt= g x

(

1− x

xmax

)

− c x2

d2 + x2− xu, (3.25)

u = ε φ(τ),

sendo que x e a densidade populacional do peixe, u e o controle, ε e o esforco de controle

e φ(τ) e a polıtica de limiar definida em (1.13) na qual τ e a variavel que define o limiar,

definido como

τ := x− xth (3.26)

e xth e o valor do nıvel de limiar.


Para poder classificar os pontos de equilıbrio de cada sistema, precisa-se linearizar os

sistemas, obtendo-se

1. Sistema sem controle ou livre, quando τ < 0, i.e. φ(τ) = 0,

Aτ<0 = g − 2 g

xmaxx− 2 c d2 x

(d2 + x2)2,

2. Sistema com controle, quando τ > 0, i.e. φ(τ) = 1,

Aτ>0 = g − 2 g

xmaxx− 2 c d2 x

(d2 + x2)2− ε.

Com a linearizacao feita, analisam-se os pontos de equilıbrio.

1. Sistema Livre

43

Quando φ(τ) = 0, i.e., sistema para o qual nao e permitida a colheita, a dinamica

fica como segue:dx

dt= g x

(

1− x

xmax

)

− c x2

d2 + x2.

Os pontos de equilıbrio do sistema livre sao em total de quatro, dois dos quais sao

imaginarios conjugados que nao serao tomados em conta, pois so se consideram

os pontos de equilıbrios com valor real, como mostrados na Tabela 3.1, sendo que

os termos T free1 e T free

2 sao dados no Apendice B.1.1

Tabela 3.1: Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Collie–Spencer semcontrole

Ponto de Equilıbrio Autovalor Classificacaoxsc1 = 0 Positivo, g Equilıbrio Instavel

xsc2 =1

6

(

T free1

) 13

g− 2

3T free2 +

1

3xmax Negativo Equilıbrio Estavel

2. Sistema com Colheita

Quando φ(τ) = 1, i.e., sistema para o qual e permitida a colheita, a dinamica

fica como segue:

dx

dt= g x

(

1− x

xmax

)

− c x2

d2 + x2− ε x.

Os pontos de equilıbrio do sistema com colheita sao em total de quatro, dois

dos quais sao imaginarios conjugados e nao serao tomados em conta, pois so se

consideraram os pontos de equilıbrios com valor real, como mostrados na Tabela

3.2, sendo que os termos T con1 e T con

2 sao dados no Apendice B.1.2.

Tabela 3.2: Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Collie–Spencer comcontrole.

Ponto de Equilıbrio Autovalor Classificacaoxcc1 = 0 Positivo Equilıbrio Instavel

xcc2 =1

6

(T con1 )

13

g− 2

3T con2 +

1

3

xmax (−ε+ g)

gNegativo Equilıbrio Estavel

44

3.3.2 Projeto da Polıtica de Limiar

O grafico de dx/dt sem controle e uma curva convexa interceptando o eixo x na origem

e no ponto xsc2 . A curva de colheita e uma linha reta que passa pela origem com uma

inclinacao ε.

1. Quando ε > 0.

Neste caso o sistema livre tem o ponto de equilıbrio instavel xsc1 e o ponto de

equilıbrio estavel xsc2 . O sistema com controle tem o ponto de equilıbrio instavel

xcc1 = 0 e o ponto de equilıbrio estavel xcc2 . Com o objetivo de fazer estes pontos

de equilıbrio, xsc2 e xcc2 , virtuais, deve-se fazer a escolha do valor do limiar xth na

seguinte faixa de valores

xcc2 < xth < xsc2 ,

este caso e mostrado nas Figuras 3.2.a e 3.2.b. O calculo do valor de ε deve

satisfazer, do Teorema 3.1, a restricao

ε > f(xth)/c(xth).

Portanto, o valor de ε e escolhido como:

ε = 0.4.

Explicacao Grafica

Pretende-se explicar graficamente o que acontece com a dinamica do modelo Collie–

Spencer quando se acrescenta um termo de colheita.

PSfrag replacements

G(x), C(x)

G(x)− C(x)

G(x)

C(x)

xxmaxxm0

Figura 3.1: Dinamica do modelo Collie–Spencer sem termo de colheita G(x)− C(x).

45

Na Figura 3.1 mostram-se as caracterısticas das nao linearidades do modelo Collie–

Spencer sem o termo de colheita (i.e., sistema livre). Note que o sistema possui dois

pontos de equilıbrio: a origem que e instavel e xm que e globalmente estavel.

PSfrag replacements

G(x), C(x)

G(x)− C(x)

G(x)C(x)

x

xmax

xm

Regiao com

Regiao sem

Controle

Controle

Ponto de EquilıbrioPonto de EquilıbrioVirtual do SistemaVirtual do Sistema

com controle sem controle

ε

xth

τ = 0

0 xcc2

PSfrag replacements

G(x), C(x)

G(x)− C(x)

G(x)C(x)

x

xmax

xm

Regiao comRegiao sem

ControleControle

Ponto de Equilıbrio


Virtual do Sistema

Virtual do Sistema

com controle

sem controle

ε

xth

τ = 0

0

(a) (b)

Figura 3.2: (a) Equilıbrio com uma curva de taxa de colheita linear com inclinacao media ε, xme um ponto de equilıbrio real estavel da dinamica sem controle. (b) Equilıbrio comuma curva de taxa de colheita linear com inclinacao grande ε, a origem e um pontode equilıbrio real estavel da dinamica com controle.

Na Figura 3.2.a mostra-se a dinamica do modelo Collie–Spencer com termo de

colheita (i.e., sistema controlado). Note que agora o sistema possui os seguintes equi-

lıbrios: a origem, que e instavel e xcc2 que e estavel, i.e., o esforco de controle ε tem

um valor medio (o termo de colheita intercepta a curva G(x) − C(x) em dois pontos,

a origem e xcc2 ). Portanto, para que os pontos xcc2 e xmax virem pontos de equilıbrio

virtuais, o valor do nıvel de limiar deve satisfazer

xcc2 < xth < xmax,

e, com essa escolha, o sistema sob a polıtica de limiar (controle chaveado) possui um

equilıbrio globalmente estavel, xth, atingido por meio de um modo deslizante.

Na Figura 3.2.b mostra-se a dinamica do modelo Collie–Spencer controlado com

uma outra escolha de parametros. Note-se que o unico ponto de equilıbrio do sistema

e a origem que e estavel (pois neste caso o esforco de controle ε tem um valor grande).

Portanto, sob a polıtica de limiar, para que os pontos 0 e xm virem pontos de equilıbrio

virtuais, o valor do nıvel de limiar deve satisfazer

0 < xth < xm,

46

e novamente o equilıbrio xth e atingido por meio de um modo deslizante.

Observacao 3.2 Estas duas analises graficas mostram claramente a principal vanta-

gem da polıtica de limiar proposta nesta tese. A polıtica de limiar sempre proporciona

uma densidade de equilıbrio sustentavel maior do que aquela proporcionada pela po-

lıtica de colheita linear com o mesmo esforco ε. Isto e, xth > xcc2 na Figura 3.2.a.

No caso de super-exploracao (Figura 3.2.b), a vantagem da polıtica e mais dramatica:

colheita linear com o valor de ε nao e sustentavel e provoca extincao, ao passo que a

polıtica de limiar evita extincao, estabilizando a populacao em xth e mantendo o mesmo

valor ε do esforco.

3.3.3 Comportamento do Modelo Collie–Spencer sujeito a Po-

lıtica de Limiar

Na Figura 3.3 mostram-se simulacoes da evolucao da densidade da vegetacao no tempo

que resulta da aplicacao da polıtica de limiar para diferentes valores do nıvel de limiar

xth.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Tempo

x

Densidade do Peixe

Densidade do Peixe

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

Tempo

x

Densidade do Peixe

Densidade do Peixe

(a) (b)

Figura 3.3: (a) Resposta do modelo Collie–Spencer sujeito a polıtica de limiar para duas condicoesiniciais x0 = 12 e x0 = 20. Valor do limiar xth = 16.8 e ε = 0.4. (b) Resposta domodelo Collie–Spencer sujeito a polıtica de limiar para duas condicoes iniciais x0 = 4e x0 = 8. Valor do limiar xth = 6.8 e ε = 0.6. Valores dos parametros: g = 0.6,xmax = 90, c = 4, d = 15.

47

3.3.4 Projeto da Polıtica Contınua de Limiar

Considera-se o seguinte modelo sujeito a polıtica contınua de limiar φ(τ, σ)

dx

dt= g x

(

1− x

xmax

)

− c x2

d2 + x2− xu, (3.27)

u = ε φ(τ, σ)

(3.28)

sendo que φ(τ, σ) e a polıtica contınua de limiar definida como em (1.14) e τ e o limiar

definido como:

τ := x− xth,

e xth e o valor do nıvel de limiar.

Note que para analisar esta polıtica sera necessario considerar tres regioes. A ideia

e escolher ε de forma que o sistema tenha seu ponto de equilıbrio real (e desejado)

dentro da regiao linear do controle, i.e., −σ ≤ τ ≤ σ e o equilıbrio nas duas regioes

restantes (τ > σ e τ < −σ) sejam virtuais. A analise na regiao linear do controle segue:

1. Regiao −σ ≤ τ ≤ σ: A dinamica nesta regiao e descrita a seguir

dx

dt= g x

(

1− x

xmax

)

− c x2

d2 + x2− ε x φ(τ, σ).

Os pontos de equilıbrio sao mostrados na Tabela 3.3, sendo que os termos T cc1 e

T cc2 sao dados no Apendice B.1.3.

Tabela 3.3: Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Collie–Spencer sobuma Polıtica Contınua de Limiar

Ponto de Equilıbrio Classificacaoxeq1 = 0 Equilıbrio Instavel

xeq2 =1

6

(T cc1 )

13

g− 1

6T cc2 +

1

6

xmax (−ε+ 2g)

gEquilıbrio Estavel

Deseja-se que o equilıbrio xeq2 seja igual ao valor do limiar xth, desta forma pode-

se calcular o valor de ε da equacao do sistema (3.27) no qual substitui-se x = xth,

48

i.e., τ = 0, obtendo-se

ε = 2 g

(

1− xthxmax

)

− 2 c xthd2 + x2th

.

3.3.5 Comportamento do Modelo Colllie–Spencer sujeito a

Polıtica Contınua de Limiar

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

Tempo

x

Densidade do Peixe

Densidade do Peixe

Figura 3.4: Resposta do sistema sujeito a polıtica contınua de limiar para duas condicoes iniciaisx0 = 4 e x0 = 8. Valores dos parametros: g = 0.6, xmax = 90, c = 4, d = 15, ε = 0.6,xth = 6.8, ε = 0.9088, σ = 0.08.

Na Figura 3.4 mostra-se simulacoes da evolucao da densidade da vegetacao no tempo

que resulta da aplicacao da polıtica contınua de limiar.

3.4 Modelo Noy–Meir sujeito a Polıtica de Limiar

Neste modelo a polıtica de limiar e introduzida no termo da taxa de consumo, i.e., se

a abundancia da vegetacao esta abaixo do nıvel de limiar, a pastagem e proibida; se

a abundancia da vegetacao esta acima do nıvel de limiar, a pastagem e permitida. O

modelo de Noy–Meir sujeito a polıtica de limiar tem a seguinte forma:

dx

dt= g x

(

1− x

xmax

)

− xu (3.29)

u = cmax φ(τ)

49

sendo que φ(τ) e a polıtica de limiar definida como em (1.13) e τ e o limiar definido

como:

τ := x− xth, (3.30)

e xth e valor do nıvel de limiar. Pode-se observar que uma polıtica de limiar (1.13)

aplicada ao sistema (3.29) gera duas estruturas e os pontos de equilıbrio da dinamica

de cada estrutura serao analisados na seguinte subsecao.


Para poder classificar os pontos de equilıbrio de cada subsistema, e preciso linearizar

cada subsistema, obtendo:

1. Sistema sem controle ou livre, quando τ < 0, i.e. φ(τ) = 0,

Aτ<0 =∂G(x)

∂x= g − 2 g

xmaxx,

2. Sistema com controle, quando τ > 0, i.e. φ(τ) = 1,

Aτ>0 =∂

∂x(G(x)− C(x)) = g − 2 g

xmaxx− cmax.

Com a linearizacao feita, analisam-se os pontos de equilıbrio.

1. Sistema Livre

Quando φ(τ) = 0, i.e., sistema para o qual nao e permitido a pastagem (chamado

tambem sistema sem controle). A dinamica fica como segue,

dx

dt= g x

(

1− x

xmax

)

.

Os pontos de equilıbrio do sistema livre sao mostrados na Tabela 3.4.

2. Sistema com Pastagem

Quando φ(τ) = 1, i.e., sistema no qual e permitido a pastagem (chamado tambem

sistema controlado). A dinamica fica como segue,

50

Tabela 3.4: Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Noy-Meir sem controle


xsc2 = xmax Negativo, −g Equilıbrio Estavel

dx

dt= g x

(

1− x

xmax

)

− cmax x.

Os pontos de equilıbrio do sistema com pastagem sao mostrados na Tabela 3.5.

Tabela 3.5: Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Moldeo Noy-Meir com controle

Ponto de Equilıbrio Autovalor Classificacaoxcc1 = 0 Positivo, se g − cmax > 0 Equilıbrio Instavel

xcc2 = xmax (1− cmax/g) Negativo, se −g + cmax < 0 Equilıbrio Estavel

3.4.2 Projeto da Polıtica de Limiar

O grafico da curva logıstica G(x) e uma parabola convexa interceptando o eixo x na

origem, a qual tem uma inclinacao g, e no ponto xmax. A curva da taxa de consumo

e uma linha reta que passa pela origem com uma inclinacao cmax. Consideram-se dois

casos para valores de cmax em relacao a g,

1. Quando cmax < g.

Neste caso o sistema livre tem o ponto de equilıbrio instavel xsc1 = 0 e o ponto

de equilıbrio estavel xsc2 = xmax. O sistema controlado tem o ponto de equilıbrio

instavel xcc1 = 0 devido a ser g − cmax > 0 e o ponto de equilıbrio estavel xcc2

devido a ser −g + cmax < 0. Com o objetivo de fazer estes pontos de equilıbrio,

xsc2 e xcc2 , virtuais, deve-se fazer a escolha do valor de limiar xth, na seguinte faixa

de valores

xcc2 < xth < xsc2 = xmax,

este caso e mostrado na Figura 3.5.a. O calculo do valor de ε deve satisfazer a

51

restricao (3.14). Portanto, o valor de ε e:

ε = 1.

2. Quando cmax > g.

Neste caso o sistema livre tem o ponto de equilıbrio instavel xsc1 = 0 e o ponto

de equilıbrio estavel xsc2 = xmax. O sistema controlado tem o ponto de equilıbrio

estavel xcc1 = 0 e o ponto de equilıbrio xcc2 nao tem sentido ecologico pois e um

valor negativo. Com o objetivo de fazer estes pontos de equilıbrio, xcc1 = 0 e

xsc2 = xmax, virtuais, deve-se fazer a escolha do valor do limiar xth, na seguinte

faixa de valores

0 < xth < xmax,

este caso e mostrado na Figura 3.5.b.

PSfrag replacements

Regiao com

Regiao sem

Controle

Controle



Virtual do Sistema

Virtual do Sistema

com controle

sem controle

cmax1

C(x), G(x)

xxth0 xcc2

xsc2

τ = 0 PSfrag replacements


Controle Controle



Virtual do Sistema

Virtual do Sistema

com controle

sem controle

cmax2

C(x), G(x)

xxthxcc2

xsc2

τ = 0

(a) (b)

Figura 3.5: (a) Equilıbrio com uma curva de taxa de consumo C(x) linear com inclinacao media(cmax1

< g). Pontos de equilıbrio do sistema livre – xsc2 , xsc1 = 0. Pontos de equilıbriodo sistema com pastagem – xcc2 , xcc1 = 0. Valores dos parametros: g = 1, cmax1

= 0.3,xth = 0.85, xmax = 1. (b) Equilıbrio com uma curva de taxa de consumo C(x) linearcom inclinacao grande (cmax2

> g). Ponto de equilıbrio do sistema livre xsc2 = xmax.Ponto de equilıbrio do sistema com pastagem xcc2 = 0. Valores dos parametros: g = 1,cmax2

= 1.2, xth = 0.5, xmax = 1.

Observacao 3.3 Como pode se observar a localizacao do limiar desempenha um papel

importante no projeto do controle, pois o objetivo e fazer que os pontos de equilıbrio

estaveis de cada estrutura na escolha da posicao do limiar virem pontos de equilıbrio

virtuais.

52

3.4.3 Comportamento do Modelo Noy–Meir sujeito a Polıtica

de Limiar

Na Figura 3.6 mostram-se simulacoes da evolucao da densidade da vegetacao no tempo

que resulta da aplicacao da polıtica de limiar em cada caso descrita nas Figuras 3.5.a

e 3.5.b.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tempo

x

Densidade da Vegetação


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tempo

x



(a) (b)

Figura 3.6: Quando cmax < g. (a) Densidade da vegetacao x como uma funcao do tempo, soba polıtica de limiar com ε = 1, cmax = 0.3, xcc2 = 0.7, g = 1 e xth = 0.85. Quandocmax > g. Densidade da vegetacao x como uma funcao do tempo, sob a polıtica delimiar com ε = 1, cmax = 1.2, g = 1, xsc2 = xmax, x

cc2 = 0 e xth = 0.5.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tempo

u

Controle

Controle u

Figura 3.7: O controle, na implementacao, fica oscilando em alta frequencia quando a densidadeda vegetacao ‘estabiliza’ em volta do valor de limiar xth, isto porque o metodo de inte-gracao utilizado, Euler, apresenta erros de aproximacao, motivo pelo qual a presencada oscilacao em alta frequencia.

Observacao 3.4 Na implementacao, a polıtica descontınua de limiar (on-off) estabi-

53

liza o sistema em volta do nıvel do limiar x = xth, com uma rapida alternacao entre

pastagem e nao pastagem. A densidade da vegetacao ‘estabiliza’ em uma oscilacao de

alta frequencia em torno do valor de limiar xth.

Isto faz com que a aplicacao desta polıtica seja impraticavel e motiva o desenvolvi-

mento seguinte, o qual e o projeto de uma polıtica contınua de similares caracterısticas.

3.4.4 Projeto da Polıtica Contınua de Limiar

Considere-se o seguinte modelo sujeito a polıtica contınua de limiar φ(τ, σ)

dx

dt= g x

(

1− x

xmax

)

− xu, (3.31)

u = ε φ (τ, σ)

sendo que φ(τ, σ) e a polıtica contınua de limiar definida como em (1.14), e τ e o limiar

definido como

τ := x− xth (3.32)

e xth e valor do nıvel de limiar.

Note que, para analisar esta polıtica, sera necessario considerar tres regioes. A ideia

e escolher ε de forma que o sistema tenha seu ponto de equilıbrio real (e desejado)

dentro da regiao linear do controle, i.e., −σ ≤ τ ≤ σ e que o equilıbrio nas duas regioes

restantes (τ > σ e τ < −σ) sejam virtuais. A analise nas regioes se segue:

1. Regiao τ < −σ: A dinamica e

x = g x

(

1− x

xmax

)

.

Os ponto de equilıbrio sao mostrados na Tabela 3.6.

Tabela 3.6: Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Noy-Meir sob umaPolıtica Contınua na Regiao sem controle


xsc2 = xmax Negativo, −g Equilıbrio Estavel

54

2. Regiao −σ ≤ τ ≤ σ: A dinamica nesta regiao e descrita a seguir

x = g x

(

1− x

xmax

)

− ε φ (τ, σ) cmax x.

Os pontos de equilıbrio do sistema nesta regiao sao mostrados na Tabela 3.7.

Tabela 3.7: Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Noy-Meir sob umaPolıtica Contınua na Regiao Linear

Ponto de Equilıbrio Classificacaoxeq1 = 0 Equilıbrio Instavel

xeq2 =g + (xth − σ) ε cmax

2σg

xmax+ ε cmax

2σ

Equilıbrio Estavel

Deseja-se que o equilıbrio xeq2 seja igual ao valor do limiar xth, desta forma pode-se

calcular o valor de ε

ε =2g

cmax

(

1− xthxmax

)

.

3. Regiao τ > σ: A dinamica e

x = g x

(

1− x

xmax

)

− ε cmax x.

Os ponto de equilıbrio sao mostrados na Tabela 3.8.

Tabela 3.8: Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Moldeo Noy-Meir sob umaPolıtica Contınua na Regiao com controle

Ponto de Equilıbrio Autovalor Classificacaoxcc1 = 0 Positivo Equilıbrio Instavel

xcc2 = xmax (1− cmax/g) Negativo Equilıbrio Estavel

3.4.5 Comportamento do Modelo Noy–Meir sujeito a Polıtica

Contınua de Limiar

Simulacoes sao dadas para diferentes valores dos parametros, como sao indicadas na

legenda da Figura 3.8.

55

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Tempo

x



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tempo

x



(a) (b)

Figura 3.8: Quando cmax < g. (a) Densidade da vegetacao x como uma funcao do tempo, soba polıtica contınua de limiar com ε = 1, cmax = 0.3, g = 1, σ = 0.05, xcc2 = 0.7,xsc2 = xmax e xth = 0.85. Quando cmax > g. (b) Densidade da vegetacao x como umafuncao do tempo, sob a polıtica contınua de limiar com ε = 0.833, cmax = 1.2, g = 1,σ = 0.05, xcc2 = 0, xsc2 = xmax e xth = 0.5.

Observacao 3.5 Notar que com uma polıtica contınua resolveu-se o problema de os-

cilacao de alta frequencia. A vegetacao ainda estabiliza no nıvel de limiar desejado xth.

Figura 3.4 mostra a resposta do sistema a uma polıtica contınua de limiar.

Observacao 3.6 Notar que a polıtica de limiar pode ser incluıda no termo de taxa de

colheita como e feito no modelo Collie–Spencer, bem como no termo de consumo como

foi feito no modelo Noy–Meir.

Observacao 3.7 Notar que a escolha de xth foi feita da seguinte maneira:

xth =xsc2 + xcc2

2,

e a escolha de σ e arbitraria sempre que cumpra a seguinte condicao: se xth e escolhido

como o valor medio de xsc2 e xcc2 o valor de σ deve satisfazer

σ <xsc2 − xcc2

2.

caso contrario,

σ = min xsc2 − xth , xth − xcc2 .

56

3.5 Produtividade Sustentavel para Modelos de Uma

Especie

Modelo sob uma Polıtica de Colheita Constante

Considere-se um modelo unidimensional com uma funcao logıstica de crescimento,

G(x) = x g (1−x/xmax), que esta sendo colhido e supoe-se, por exemplo, que a captura

do peixe por unidade de esforco e proporcional ao nıvel existente de peixe x, aqui nao

e incluido a polıtica de limiar. Entao, o modelo fica como segue

dx

dt= g x

(

1− x

xmax

)

− q ε x. (3.33)

Este modelo foi tambem estudado em Clark (1976), Clark (1985), Kot (2001) e Wang &

Wang (2003), no contexto de gerenciamento da pescaria, visando obter Produtividade

Sustentavel. A taxa de colheita e o produto de tres termos: ε e o esforco de colheita,

q e a constante proporcional que mede a captura e x e o nıvel existente de peixe. O

produto da constante proporcional que mede a captura e o esforco de colheita, q ε, e

denominado mortandade de pesca, tem a mesma dimensao que g e desempenha um

papel importante. Para simplificar as contas, de agora em diante normaliza-se q = 1

e a mortandade de pesca sera denotada como cmax = ε, expressado, em termos ja

conhecidos, com uma funcao c(x) = 1. Quando a taxa de crescimento da populacao de

peixe e igual a taxa de colheita, os pontos de equilıbrio do sistema (3.33) sao:

xcc1 = 0, xcc2 =xmaxg

(g − cmax) .

O primeiro ponto de equilıbrio, xcc1 , e instavel e em termos ecologicos este equilıbrio

representaria a extincao do nıvel existente de peixes. O segundo ponto de equilıbrio,

xcc2 , e estavel. Na literatura utiliza-se o conceito de Produtividade Sustentavel dado

em Clark (1976), Clark (1985) e Kot (2001). Tomando como referencia o ponto de

equilıbrio estavel xcc2 , a produtividade sustentavel do sistema (3.33) e definido como

Y = cmax xcc2 =

xmaxg

(g − cmax) cmax. (3.34)

57

O grafico da funcao logıstica x f(x) e uma parabola convexa intersectando o eixo x na

origem, onde sua inclinacao e g, e no ponto xmax. A curva de consumo e uma linha reta

que passa pela origem com inclinacao cmax. Observa-se claramente, que se cmax > g,

i.e., conhecido como excesso de colheita (super-exploracao biologica), entao a curva de

taxa de colheita e a curva logıstica se interceptam somente na origem, correspondendo

a extincao (veja Figura 3.9.b). Assim, na acao do controle de colheita, e necessario que

cmax seja menor que g para que o sistema possua um equilıbrio nao nulo, que no grafico

fica entre 0 e xmax, mais precisamente em (1− cmax

g)xmax (veja Figura 3.9.a).

PSfrag replacements

Regiao com

Regiao sem

Controle

Controle



Virtual do Sistema

Virtual do Sistema

com controle

sem controle

cmax1

C(x), G(x)

xxth0 xcc2

xsc2

τ = 0 PSfrag replacements


Controle Controle



Virtual do Sistema

Virtual do Sistema

com controle

sem controle

cmax2

C(x), G(x)

xxthxcc2

xsc2

τ = 0

(a) (b)

Figura 3.9: (a) Equilıbrio com uma curva de taxa de consumo C(x) linear com inclinacao media(cmax1

< g). Pontos de equilıbrio do sistema livre – xsc2 , xsc1 = 0. Pontos de equilıbriodo sistema com pastagem – xcc2 , xcc1 = 0. Valores dos parametros: g = 1, cmax1

= 0.3,xth = 0.85, xmax = 1. (b) Equilıbrio com uma curva de taxa de consumo C(x) linearcom inclinacao grande (cmax2

> g). Valores dos parametros: g = 1, cmax2= 1.2,

xth = 0.5, xmax = 1. Ponto de equilıbrio estavel do sistema livre xsc2 = xmax. Pontode equilıbrio estavel do sistema com pastagem xcc2 = 0.

Modelo sob uma Polıtica de Limiar

Agora, considera-se uma populacao de peixes com crescimento logıstico e que esta sendo

colhida a uma unidade de esforco que e proporcional ao nıvel existente da densidade x

e com uma polıtica de limiar φ(τ),

dx

dt= gx

(

1− x

xmax

)

− x u, (3.35)

u = cmax φ(τ)

58

sendo que cmax e a mortandade de pesca quando uma polıtica de limiar (1.13) e aplicada,

τ e a variavel que define o limiar, definido como

τ := x− xth,

na qual xth e o valor de nıvel de limiar da especie, escolhido como o equilıbrio desejado,

descrito acima.

Como a polıtica de limiar e descontınua, para calcular a produtividade sustentavel

do sistema (3.35) e comparar com a produtividade sustentavel (3.34), torna-se neces-

sario calcular o valor medio de u. O valor medio considerado e calculado utilizando o

conceito de controle equivalente (veja Capıtulo 1, secao 1.6)

ueq = g

(

1− xthxmax

)

(3.36)

de modo que a produtividade media sustentavel no equilıbrio xth e:

Y = g

(

1− xthxmax

)

xth. (3.37)

3.5.1 Discussao

Quando o sistema (3.33) e submetido a uma colheita com uma mortandade de pesca

cmax > g, ocorre o chamado excesso de colheita, o qual chega a ser uma catastrofe pois

o nıvel existente de peixes vai para zero e a produtividade sustentavel do sistema (3.33)

chega a

Y = 0.

Agora, quando o mesmo sistema (3.35) e sujeito a polıtica de limiar com cmax > g,

i.e., o que corresponderia a excesso de colheita se aplicado continuamente, foi demons-

trado na secao 3.2 que o sistema (3.35) estabiliza em xth > 0. Portanto, pela equacao

(3.36) a produtividade media sustentavel do sistema (3.35) e

Y = g

(

1− xthxmax

)

xth.

Observacao 3.8 Isto mostra claramente uma vantagem de uma polıtica de limiar em

59

uma situacao de super-exploracao, ou excesso de colheita, pois e possıvel estabilizar

sem provocar extincao e manter o nıvel de produtividade media.

Observacao 3.9 A produtividade media sustentavel, Y do sistema (3.35), no equilı-

brio de deslizamento xth, expressada pela equacao (3.37), pode ser maximizada quando

xth = xmax/2, i.e., Ymax = g xmax/4. Portanto, obteve-se o mesmo valor de produ-

tividade sustentavel maxima, i.e., Ymax = g xmax/4, que no caso da polıtica de taxa

de colheita constante estudada em Clark (1976), Clark (1985), Kot (2001) e Wang &

Wang (2003).

3.6 Robustez da Polıtica Contınua de Limiar apli-

cado no Modelo Noy–Meir

Nesta secao mostra-se, mediante simulacoes, que a polıtica contınua de limiar e robusta

a incertezas nos parametros. No modelo vegetacao herbıvoro tais incertezas podem

acontecer na medicao da vegetacao, denotada ∆x, ou como um pequeno retardo ∆t na

comutacao de um valor a outro do controle. Para modelar estas incertezas, a polıtica

contınua de limiar e modificada da seguinte maneira:

φ (τ∆, σ) =

1 se τ∆ > στ∆ + σ

2σse −σ ≤ τ∆ ≤ σ

0 se τ∆ < −σ.

(3.38)

onde

x∆ = xth ∓∆x t∆ = t−∆t

∆x <xsc2 − xcc2

2xth =

xsc2 + xcc22

ε1 =2g

cmax

(

1− xthxmax

)

τ∆ = x(t∆)− x∆.

Na Figura 3.10 mostra-se o comportamento do sistema a estas incertezas, e pode-se

dizer que o controle de polıtica contınua de limiar apresenta caracterısticas de robustez

a erros ∆x. Alem disso, estes erros sao da ordem de (' 10.5%) ja que isto garante

que os pontos de equilıbrio virtual e real nao mudem sua natureza. A incerteza ∆x

introduz um erro correspondente (offset) no valor do ponto de equilıbrio x, o qual vai

60

de 0.85 (= xth), no caso sem, perturbacao, para 0.76 (= xth − ∆x), no caso, onde o

erro de medicao (∆x) e retardo (∆t) estao presentes. Alem disso, pequenos retardos

na aplicacao da comutacao sao toleraveis tambem. Como e de se esperar, pequenas

oscilacoes sao introduzidas, porem o sistema estabiliza em uma vizinhanca do ponto de

equilıbrio desejado. O esforco utilizado e o mesmo do que quando nao se consideram

as perturbacoes.

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Tempo

x



Figura 3.10: Densidade da vegetacao x, como uma funcao do tempo, sujeito ao controle depolıtica contınua de limiar com incertezas e retardo, onde g = 1, cmax = 0.3, ε1 =0.3, xth = 0.85, xcc2 = 0.7, xmax = 1, ∆t = 0.65 unidades de tempo, ∆x = 0.09.

Os modelos de colheita e pastagem estudados ate aqui sao de dimensao um e per-

cebendo que foi possıvel controlar satisfatoriamente este tipo de modelos, propoe-se

considerar modelos de pastagem de dimensao dois, onde a dinamica dos herbıvoros e

levada em consideracao.

3.7 Dinamica dos Herbıvoros em Sistemas de Pas-

tagem em Solo Semi-arido

Um modelo mais realista de sistemas vegetacao-herbıvoro foi proposta em Van de

Koppel & Rietkerk (2000). Esses autores pesquisaram as implicacoes da dinamica da

populacao dos herbıvoros com vegetacao regulada em sistema sensıveis a degradacao

do solo. Primeiro, investigaram as condicoes para as quais surgem os estados estaveis

multiplos como uma consequencia da degradacao do solo (Rosenzweig 1971, Gilpin

61

1972, Holling 1973, Wade 1974, Noy-Meir 1975, May 1977b, Rahmstorf 1995, Van de

Koppel et al. 1996, Rietkerk & Van de Koppel 1997, Van de Koppel et al. 1997, Rietkerk

et al. 1997, Van de Koppel & Rietkerk 2000, Augustine et al. 1998, Scheffer 2001,

Scheffer, Carpenter, Foley, Folke & Walker 2001). Segundo, compararam com modelos

mais explıcitos com dinamica de solos semi-aridos, nos quais as condicoes para que

surjam os estados estaveis multiplos estao relacionadas aos parametros do ecossistema.

Faz-se uma revisao do modelo considerado em Van de Koppel & Rietkerk (2000)

de um sistema de pastagem em solo semi-arido. A dinamica da planta e

dx

dt= x f(x)− c(x) y, (3.39)

sendo que x e a densidade da planta, f(x) representa o crescimento per capita da planta

como uma funcao de x, c(x) e a taxa de pastagem por herbıvoro e y e a densidade dos

herbıvoros. Este modelo considera o fenomeno referido como a degradacao do solo,

desde que f(x) tenha as seguintes caracterısticas: e pequeno em densidades baixas da

planta, e maximo em densidades intermediarias da planta e pequeno novamente em

densidades altas da planta (ou seja convexa).

Para comparar o potencial dos estados estaveis multiplos em relacao as condicoes

do solo e do clima, o crescimento da planta f(x) e explicitamente relacionado as pro-

priedades de sistemas de pastagem em solo semi-arido. Um fator importante para o

crescimento da planta e a disponibilidade de agua, assim o crescimento per capita da

planta f pode ser expressado como uma funcao da disponibilidade de agua:

f(z) = h z − l, (3.40)

h e o coeficiente de relacionamento especıfico do crescimento da planta com a dispo-

nibilidade de agua; z e agua disponıvel no solo e l e a taxa de perda de absorcao da

planta devido a velhice. A disponibilidade de agua e determinada pela infiltracao do

aguaceiro, absorvida pelas plantas, evaporacao e drenagem:

dz

dt= zin(x)− µ z x− rW z, (3.41)

zin(x) e a taxa de infiltracao da agua como uma funcao da densidade da planta, µ e um

62

coeficiente relacionado a taxa de absorcao especıfica da agua disponıvel pelas plantas

e rW e a taxa de perda da agua devido a evaporacao e drenagem.

A relacao entre a infiltracao de agua e a densidade da planta pode ser descrita

usando a seguinte equacao:

zin(x) = px+ kz0x+ k

, (3.42)

p e a taxa do aguaceiro e e determinada pelo clima, z0 e a mınima infiltracao da agua

na ausencia de planta e k e a constante de saturacao media.

Desde que a dinamica da agua no solo atue em uma escala de tempo mais rapida

que o crescimento da planta, assume-se que a disponibilidade da agua esta perto do

equilıbrio quando se considera o crescimento das plantas: dz/dt = 0. Esta suposicao

permite expressar a disponibilidade da agua como uma funcao da densidade da planta:

z?(x) = px+ k z0x+ k

1

µx+ rW. (3.43)

Entao a equacao diferencial do crescimento da planta para este sistema e:

dx

dt= (h z?(x)− l − b y) x, (3.44)

b e um coeficiente relacionando o consumo per capita com a densidade dos herbıvoros.

Assume-se que o consumo dos herbıvoros c(x) geralmente aumenta com a densidade

da planta. Algumas funcoes sao utilizadas e a funcao mais simples e uma de relacao

linear entre o consumo dos herbıvoros e a densidade da planta.

Nos modelos de sistemas com dinamica populacional dos herbıvoros em natura, a

taxa de mudanca da populacao dos herbıvoros tem que ser considerada explicitamente.

Em muitos modelos planta–herbıvoro, a taxa de mudanca e representada como

dy

dt= (g(x)− d) y, (3.45)

sendo que g(x) representa o crescimento per capita da populacao dos herbıvoros como

uma funcao da densidade da planta e d representa a taxa de mortandade. Frequente-

mente, mas nao necessariamente, g(x) e relacionada linearmente a c(x) : g(x) = ec(x),

sendo e a eficiencia de crescimento dos herbıvoros.

63

Para estimar o potencial dos estados estaveis multiplos em sistemas com dinamica

da populacao dos herbıvoros, e necessario incluir a dinamica dos herbıvoros no modelo.

Na sua forma mais simples, o crescimento dos herbıvoros e modelado por uma resposta

numerica linear:dy

dt= (e b x− d) y, (3.46)

sendo e o coeficiente de conversao do crescimento de consumo e d a taxa de mortandade

natural do herbıvoro.

Considera-se o seguinte modelo

dx/dt = (h z?(x)− l − b y) x

dy/dt = (e b x− d) y(3.47)

sendo que x e a densidade da vegetacao, y e a densidade do herbıvoro, h e um coeficiente

de relacionamento especıfico do crescimento da planta e a disponibilidade da agua, l e

a taxa de perda de absorcao da planta devido a velhice, b e um coeficiente relacionando

o consumo per capita a densidade do herbıvoro, e e o coeficiente de conversao do

crescimento devido ao consumo e d e a taxa de mortandade natural do herbıvoro.

Na secao seguinte propoe-se uma modificacao apropriada do modelo (3.47), no qual e

aplicado uma polıtica de limiar.

3.7.1 Dinamica dos Herbıvoros em Sistemas de Pastagem em

Solo semi-arido sujeito a Polıtica de Limiar

Aqui propoe-se uma modificacao do modelo (3.47) que descreve o efeito da aplicacao

de uma polıtica de limiar. Em seguida analisa-se este modelo.

O modelo da dinamica da vegetacao–herbıvoro sujeito a polıtica de limiar proposta

e como segue:

dx/dt = (h z?(x)− l − φ1(τ)) x,

dy/dt = (φ2(τ)− d) y,(3.48)

com

φ1(τ) =

0 se τ(x, y) > 0,

by se τ(x, y) < 0,(3.49)

64

φ2(τ) =

k1 se τ(x, y) > 0, k1 ≤ d

ebx se τ(x, y) < 0,(3.50)

τ(x, y) e variavel que define o limiar que cria duas estruturas no sistema (3.48): (i)

pastagem quando τ < 0 e (ii) ausencia de pastagem quando τ > 0. Desde que cada

estrutura possua seus proprios pontos de equilıbrio nao triviais, a localizacao de τ

determinara se esses pontos permanecem em sua respectiva regiao ou nao (i.e., tornam-

se equilıbrio reais ou equilıbrio virtuais, respectivamente).

A justificativa para a modificacao proposta (equacoes (3.48–3.50) e a seguinte: (i)

quando τ < 0, a dinamica do modelo proposto e a mesma que o sistema (3.47); (ii)

quando τ > 0, a pastagem nao e permitida, i.e., o consumo dos herbıvoros e zero, o que

significa que a densidade da planta pode se recuperar. Por outro lado, a densidade do

herbıvoro comeca a decrescer, porque eles nao podem pastar, mas podem comer outro

alimento menos saboroso e menos nutritivo, o que leva a hipotese de que a taxa de

crescimento dos herbıvoros e zero ou ligeiramente negativa (k1 ≤ d, k1 ' d).

Pontos de Equilıbrio do Sistema sujeitos a Polıtica de Limiar

O sistema (3.48) sujeito as polıticas de limiar (3.49) e (3.50), tem os seguintes pontos

de equilıbrio:

1. Para τ < 0, os quatro pontos de equilıbrio do sistema com pastagem sao:

Zcc1 = (0, 0) Zcc

2 = (xcc2 , 0)

Zcc3 = (xcc3 , 0) Zcc

4 = (xcc4 , ycc4 )

com xcc4 = de b, ycc4 =

h z∗(xcc4 )−lb

.

2. Para τ > 0, os tres pontos de equilıbrio do sistema sem pastagem sao:

Zsc1 = (0, 0) Zsc

2 = (xsc2 , 0)

Zsc3 = (xsc3 , 0)

sendo que xcc2 , xcc3 e xsc2 , xsc3 sao as raızes de

−l µ x2 + (h p− l rW − l k µ)x+ h p kW0 − l k rW = 0.

65

3.7.2 Diferentes Tipos de Limiar

A seguir, apresentam-se tres escolhas especıficas de τ , facilmente implementaveis, bem

como os efeitos destas na dinamica do modelo (3.48):

Limiar Horizontal ou do Herbıvoro: τ = y − yth se 0 < yth < ycc4

Limiar Vertical ou da Vegetacao: τ = x− xth se xcc4 < xth < xsc3

Limiar Inclinado: τ = y −mx+ b.

Limiar do Herbıvoro

Este limiar e definido por um valor crıtico do herbıvoro (yth) de maneira que a polıtica e

descrita geometricamente como uma linha horizontal no plano de fase x×y (vegetacao-

herbıvoro). A representacao grafica da polıtica de limiar junto com os pontos de equi-

lıbrio de cada estrutura e desenhada na Figura 3.11.a. Simulacoes da dinamica sujeita

a polıtica de limiar do herbıvoro sao mostradas na Figura 3.12.

PSfrag replacements

Com Pastagem

Sem Pastagem

Regiao

Regiao



Virtual Com Pastagem

Virtual Sem Pastagem

x

y

ycc

4

0 xcc

4x

sc

3

τ = 0

PSfrag replacements

Com Pastagem

Sem PastagemRegiao

Regiao



Virtual Com Pastagem

Virtual Sem Pastagem

x

y

ycc

4

0 xcc

4x

sc

3

τ = 0

(a) (b)

Figura 3.11: (a) Representacao grafica dos pontos de equilıbrio e a polıtica de limiar dos herbı-voros no plano x× y vegetacao-herbıvoro. (b) Representacao grafica dos pontos deequilıbrio e a polıtica de limiar da vegetacao no plano x × y vegetacao-herbıvoro.Os cırculos solidos cinzas representam equilıbrios estaveis virtuais, enquanto que oscırculos brancos representam equilıbrios instaveis.

Observacao 3.10 O projeto da polıtica de limiar (i.e., a escolha do valor do nıvel

de limiar do herbıvoro yth) e determinado pela localizacao dos pontos de equilıbrio

estaveis como pontos de equilıbrio virtuais em relacao a linha horizontal τ = y− yth =

0. Observar que os pontos de equilıbrio estaveis sao virtuais. Este projeto garante a

estabilizacao do sistema (3.48–3.50) em um valor pre-determinado dos herbıvoros (yth).

66

0 100 200 300 400 500 600 7000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Tempo

x,y

Densidade da Vegetaçao

Densidade da VegetaçaoDendidade do Herbivoro

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

2

4

6

8

10

12

14

16

x

y

Plano de Fase

(a) (b)

Figura 3.12: Simulacao da polıtica de limiar dos herbıvoros. (a) A evolucao no tempo de x(t),y(t) sujeito a polıtica de limiar (horizontal). (b) Plano de fase x×y sujeito a mesmapolıtica de limiar. Notar que a estabilizacao e por meio de um modo deslizante emtorno do nıvel do valor de limiar yth = 8. Os valores dos parametros utilizados sao:p = 10, W0 = 0.1, k = 5, µ = 0.02, rW = 0.1, h = 0.01, l = 0.1, b = 0.01, e = 0.2,d = 0.03, k1 = 0.0275.

Observacao 3.11 Note que, para qualquer escolha do limiar entre 0 e ycc4 , o equilıbrio

estavel permanece virtual. Isto significa que ainda que exista um erro razoavel na

implementacao ou na medida da densidade do herbıvoro y, a estabilizacao ocorrera.

Em outras palavras, a polıtica de limiar proposta e robusta a esse tipos de incertezas.

Limiar da Vegetacao

O limiar e definido por um valor crıtico da vegetacao (xth) de maneira que a polıtica

e descrita geometricamente com uma linha vertical no plano de fase x× y (vegetacao-

herbıvoro). A representacao grafica da polıtica de limiar junto com os pontos de equi-

lıbrio de cada estrutura e desenhada na Figura 3.11.b.

Mais uma vez, o projeto da polıtica de limiar (i.e., a escolha do nıvel crıtico da

vegetacao xth) e determinada pela localizacao dos pontos de equilıbrio estaveis como

pontos de equilıbrio virtuais em relacao a linha vertical τ = x−xth = 0. Observar que os

pontos de equilıbrio estaveis sao virtuais e como consequencia da dinamica resultante

e um modo deslizante sobre o nıvel crıtico da vegetacao xth = x, como e mostrado

na Figura 3.13. Este projeto garante a estabilizacao do sistema (3.48–3.50) em volta

de um valor pre-determinado da vegetacao (Vth). Novamente, desde que os pontos de

67

equilıbrio estaveis sejam virtuais, o valor assignado a Vth deve ficar entre os valores de

xcc4 e xsc3 .

Observacao 3.12 Note que esta faixa de possıveis valores pela escolha do valor de

limiar xth no intervalo entre xcc4 e xsc3 (i.e. xth ∈ [xcc4 , xsc3 ]) pode ser interpretada

como uma margem de erro permissıvel no posicionamento do limiar ou na medida

da vegetacao. Isto confere a propriedade desejavel de robustez (a estas incertezas) a

polıtica de limiar.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

5

10

15

20

25

30

35

40

Tempo

x,y


Densidade da VegetaçaoDendidade do Herbivoro

5 10 15 20 25 30 35 40 450

5

10

15

20

25

30

35

40

45

x

y

Plano de Fase

(a) (b)

Figura 3.13: Simulacao da polıtica de limiar da vegetacao. (a) A evolucao no tempo da vegetacaox(t) e do herbıvoro y(t) sujeitos a polıtica de limiar na vegetacao (vertical). (b)Plano de fase x× y sujeito a mesma polıtica de limiar. Notar que a estabilizacao epor meio de um modo deslizante em torno do valor do nıvel de limiar na vegetacaoxth = 30. Os valores dos parametros sao como na Figura 3.12.

Polıtica de Limiar Inclinada

Neste caso o limiar e definido por uma soma ponderada dos nıveis da vegetacao e dos

herbıvoros. Matematicamente tem se:

τ = y −mx+ b

o qual e uma linha reta com inclinacao positiva (m > 0) no plano de fase x × y

(vegetacao-herbıvoro). O procedimento para determinar a inclinacao da linha e baseada

68

na criacao de pontos de equilıbrio virtuais, sucessivamente. Deve-se salientar que neste

exemplo a aplicacao da polıtica depende do monitoramento de ambas as densidades,

herbıvoro e vegetacao. Se um limiar do herbıvoro ou da vegetacao forem utilizados,

entao somente uma das especies necessita ser monitorada. Simulacoes da polıtica de

limiar sao mostradas na Figura 3.14.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

5

10

15

20

25

30

35

40

Tempo

x,y


Densidade da VegetaçaoDensidade do Herbivoro

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

5

10

15

20

25

30

35

40

x

y

Plano de Fase

(a) (b)

Figura 3.14: Simulacao da polıtica de limiar inclinada. (a) A evolucao no tempo da vegetacaox(t) e do herbıvoro y(t) sujeitos a polıtica de limiar inclinada. (b) Plano de fasex × y sujeito a mesma polıtica de limiar. Notar que a estabilizacao e por meio deum modo deslizante em torno do limiar inclinado. Os valores dos parametros saocomo na Figura 3.12.

69

70

Capıtulo 4

Projeto de controle chaveado para

sistemas bidimensionais

dependentes da densidade

A relacao dinamica entre predadores e suas presas tem sido, e continua sendo, uma

das materias dominantes na ecologia, bem como na ecologia matematica devido a sua

importancia e existencia universal (Berryman 1992). Um entendimento quantitativo e

qualitativo da interacao de especies diferentes e importante para o gerenciamento de

recursos renovaveis. O modelo predador–presa descreve a interacao entre duas especies

em um ecossistema (Azar et al. 1995).

Uma classe ampla de modelos predador-presa pode ser descritas com o seguinte

sistema de equacoes diferenciais:

x = f1(x) + f2(x)y (4.1)

y = f3(x)y (4.2)

na qual a variavel de estado x denota a densidade populacional das presas e a variavel

de estado y denota a densidade populacional dos predadores.

Ate recentemente, a teoria de predacao foi dominada pelos modelos dependentes

da densidade da presa. Arditi & Ginzburg (1989) estimularam o interesse em uma

forma alternativa para a resposta funcional com a sugestao que uma resposta funci-

71

onal do tipo dependente da razao das densidades era um ponto de partida melhor

para os modelos de predacao. Em decorrencia, gerou-se uma discussao entre aque-

les que defendem a validade biologica dos modelos dependentes da razao (Ginzburg

& Akcakaya 1992, Gutierrez 1992, Matson & Berryman 1992, Berryman 1992, Akca-

kaya, Arditi & Ginzburg 1995, Berryman, Gutierrez & Arditi 1995, McCarthy, Ginz-

burg & Akcakaya 1995, Reeve 1997) e aqueles que estao contra (Oksanen, Moen &

Lundberg 1992, Gleeson 1994, Sarnelle 1994, Abrams 1994).

Cabe mencionar que Hassell & Varley (1969) apresentaram um modelo cuja resposta

funcional flexıvel, dependente do predador, contem as respostas dependentes da presa

e as respostas dependentes da razao como casos especiais, bem como em DeAngelis,

Goldstein & O’Neill (1975) que foi proposto o modelo razao dependente. Abrams

& Ginzburg (2000) adotam uma posicao neutra citando vantagens e desvantagens de

ambos os tipos de modelos.

Segundo os defensores dos modelos tipo razao dependentes, os modelos dependentes

da densidade da presa apresentam os seguintes paradoxos:

1. O paradoxo de enriquecimento. Estes modelos sao desestabilizados se a ca-

pacidade de carga dos recursos (o local onde a populacao das presas intercepta

seu proprio eixo) e aumentado, i.e., o incremento do nıvel de entrada de nutri-

entes ao sistema tendera a desestabilizar a interacao entre a presa e o predador

(Rosenzweig 1971, Gilpin 1972), o que e contra-intuitivo.

2. O paradoxo do controle biologico. O controle biologico e a regulacao da

populacao de uma praga em nıveis baixos, estaveis da densidade do predador

e/ou parasitas, (Vincent 1975, Beddington, Free & Lawton 1978, Milss & Getz

1996, Hsu, Hwang & Kuang 2003, Lu, Chi & Chen 2003). O paradoxo significa

que nao e possıvel ter nıveis baixos e estaveis da densidade de equilıbrio da presa.

Os modelos dependentes da razao tem as seguintes caracterısticas:

1. Modelos predador-presa do tipo razao dependentes sao confiaveis para a interacao

entre predador-presa quando a predacao envolve um processo de busca, i.e., tem

que compartilhar ou competir pelo alimento.

72

2. A analise da estabilidade local mostra que modelos deste tipo sao capazes de

produzir dinamicas mais ricas e mais razoaveis ou aceitaveis do ponto de vista

biologico. O paradoxo de enriquecimento nao ocorre nestes modelos. O paradoxo

de controle biologico pode ocorrer para estes modelos, i.e., e possıvel obter pontos

de equilıbrio estaveis a nıveis baixos da densidade da presa (Kuang 1999, Hsu,

Hwang & Kuang 2001a, Hsu, Hwang & Kuang 2001b).

3. Note que para sistemas dependentes da razao, em geral, a estabilidade assintotica

local do estado estacionario nem sempre garante a persistencia do sistema e,

portanto, nao implica a estabilidade assintotica global (Kuang & Beretta 1998,

Jost, Arino & Arditi 1999).

Diante desta cisma entre os biologos, decidiu-se tratar os modelos dependentes da

densidade neste capıtulo e os modelos dependentes da razao no capıtulo seguinte.

4.1 Nova proposta CLF + Backstepping

A ideia de backstepping sera explicada de forma simples com relacao as equacoes (4.3),

(4.4). A variavel de estado y e encarada como uma entrada fictıcia (controle fictı-

cio), denotada como u1, para o subsistema das presas (4.3). Uma funcao de Liapunov

de controle (CLF) e utilizada para projetar o controle u1 de maneira que o subsistema

das presas estabilize no equilıbrio desejado (para as presas). O passo seguinte e proje-

tar o controle real u2, envolvendo remocao dos predadores, de maneira que o estado

do subsistema de predadores y rastreie a entrada projetada u1. Novamente, o projeto

e feito utilizando uma outra CLF. De acordo com a observacao que o controle tem

que ser mantido o mais simples possıvel, o controle u1 e escolhido, por exemplo, como

proporcional a x, e o controle u2 e escolhido como um on-off e proporcional a y e ambas

as CLFs sao escolhidas como funcoes quadraticas.

O sistema de controle resultante e descrito por:

x = f1(x) + f2(x) y (4.3)

y = f3(x) y − y u2 (4.4)

73

no qual u2 e o controle (=polıtica de limiar) a ser projetado. Em outras palavras,

escolhe-se:

u2 = ε2 φ(τ), (4.5)

com ε2 um parametro do esforco de controle a ser projetado e φ(τ) definido como em

(1.13).

O projeto da funcao de Liapunov de controle procede como segue. No primeiro

subsistema (4.3), seja y = u1 (controle fictıcio). Escolha-se a CLF como

V1(x) =1

2(x− xd)

2 (4.6)

sendo que xd e o equilıbrio desejado para o primeiro subsistema.

Derivando V1 ao longo das trajetorias de (4.3) leva a

V1 = (x− xd) (f1(x) + f2(x)u1). (4.7)

Agora assume-se que u1 e proporcional a densidade das presas x, i.e.,

u1 = ε x. (4.8)

Logo o parametro ε deve ser escolhido de maneira que V1 < 0.

Agora, u2 deve ser escolhido tal que u1 satisfaca (4.8). Portanto, escolhe-se o limiar

τ como

τ = y − u1 = y − ε x, (4.9)

e uma CLF V2 como

V2 =1

2τ 2, (4.10)

com o objetivo de manter τ = 0 e assim satisfazer (4.8).

Derivando V2 ao longo das trajetorias de (4.3), (4.4) leva a

V2 = τ [−ε 1]

f1(x) + f2(x) y

f3(x) y − y u2

. (4.11)

Agora as propriedades especıficas das funcoes f1, f2 e f3 sao utilizadas para escolher ε e

74

ε2 de maneira que ambas as funcoes satisfacam V1 < 0 e V2 < 0, provando estabilidade.

Mostra-se que o metodo proposto e satisfatorio no controle do modelo predador-

presa classico, Rosenzweig–MacArthur, que corresponde a escolher f1 = r x (1− x/K),

f2 = x/(x+A), f3 = sA (x− J)/(J +A)(x+A) (Gurney & Nisbet 1998). Escolhe-se

este modelo por ele ser considerado pelos biologos como um paradigma nao trivial que

mantem a simplicidade do modelo classico Lotka–Volterra, embora seja mais realista do

que este. Por outro lado, ressalta-se que a proposta acima tambem pode ser utilizada

para controlar diversos outros modelos predador-presa, os quais podem ser descritos na

forma (4.1), (4.2) acima e isso foi feito nas seguintes publicacoes que resultaram desta

tese (Meza, Costa, Bhaya & Kaszkurewicz 2002, Meza, Bhaya & Kaszkurewicz 2002).

Enuncia-se o teorema principal a seguir.

Teorema 4.1 Considera-se o modelo de Rosenzweig–MacArhur

x(t) = rx(

1− xK

)

− xyx+A

,

y(t) = sA(x−J)(J+A)(x+A)

y − y u2,

u2 = ε2 φ(τ)

x(0) = x0 > 0, y(0) = y0 > 0,

(4.12)

sujeito a polıtica de limiar, φ(τ), na qual τ e o limiar que tem a seguinte forma

τ := y − εx,

com o parametro ε > 0 escolhido de forma que a isoclina das presas (parabola convexa

na Figura 4.1) intercepta o limiar τ = 0 (linha reta que passa pela origem na Figura

4.1) em um ponto zeqsl , o qual esta contido na regiao de modo deslizante (segmento

CB na Figura 4.1). Sob estas condicoes, para o sistema (4.12) existe um equilıbrio de

deslizamento, zeqsl , global e assintoticamente estavel com coordenadas positivas.

Prova: Detalhes da prova sao fornecidos no Apendice C.

75

PSfrag replacements

yA

•

A

xAxB

yB

xC

yC

φ(·) = 1

φ(·) = 0

A

B

C

ltrG1

ltrG2

x = 0

V2 < 0

0 K

V c2φ=0

V c2φ=1G1

G2

τ < 0

τ > 0

τ = 0

zeq

sl

Figura 4.1: A regiao invariante globalmente atrativa no plano de fase e a regiao retangular 0−yA−A−xA−0. A regiao G1 := (x, y) : τ > 0 e G2 := (x, y) : τ < 0. As linhas grossasmarcadas com uma seta (←) sao trajetorias. As setas cinzas pequenas mostram ocampo vetorial. A curva etiquetada “ltrG1” e a trajetoria que entra na regiao de mododeslizante no ponto C e permanece nela daı por diante, e a curva etiquetada “ltrG2” ea trajetoria que entra na regiao de modo deslizante no ponto B e permanece nela daıpor diante. O equilıbrio de deslizamento zeqsl e mostrado por um bullet (•). Os valoresdos parametros utilizados nesta figura sao os seguintes: r = 2, K = 60, A = 10,s = 1, J = 20, ε2 = 1/3, ε = 2/5. A regiao de modo deslizante e o segmento CBentre as curvas V c

2φ=0e V c

2φ=1. A isoclina das presas e a curva x = 0.

76

4.2 Comportamento de diferentes modelos bidimen-

sionais

Comportamento do Modelo Rosenzweig–MacArthur sujeito a

Polıtica de Limiar Inclinada aplicada somente no predador

O modelo Rosenzweig–MacArthur sujeito a polıtica de limiar inclinada aplicada so-

mente no predador, estabiliza em volta do limiar como se mostra no diagrama de fase

na Figura 4.2.a. A evolucao no tempo das densidades populacionais e mostrada na

Figura 4.2.b.

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60

70

x

y

Diagrama de Fase

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

60

70

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

Figura 4.2: (a) Diagrama de fase do modelo Rosenzweig–MacArthur sujeito a polıtica de limiar.(b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador, x(t)e y(t). Valores de parametros r = 2, K = 60, s = 1, A = 10, J = 20, ε = 0.4 eε2 = 1/3. O equilıbrio de deslizamento, zeqsl = (50, 20).

Comportamento do Modelo Rosenzweig–MacArthur sujeito a

Polıtica de Limiar Horizontal aplicada somente no predador

O modelo Rosenzweig–MacArthur sujeito a polıtica de limiar, com limiar horizontal,

aplicada somente no predador, estabiliza em torno do limiar como se mostra no dia-

grama de fase na Figura 4.3.a. A evolucao no tempo das densidades populacionais e

mostrada na Figura 4.3.b.

77

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60

70

x

y

Diagrama de Fase

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

60

70

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

Figura 4.3: (a) Diagrama de fase do modelo Rosenzweig–MacArthur sujeito a polıtica de limiar.(b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador, x(t) ey(t). Valores de parametros r = 2, K = 60, s = 1, A = 10, J = 20 e ε2 = 1/3. Oequilıbrio de deslizamento, zeqsl = (44, 28.75).

Comportamento do Modelo Lotka–Volterra sujeito a Polıtica

Contınua de Limiar do Tipo WEP aplicada em ambas as espe-

cies

Omodelo Lotka–Volterra sujeito a polıtica contınua de limiar do tipo WEP aplicada em

ambas especies estabiliza no limiar como se mostra no diagrama de fase na Figura 4.4.a.

A evolucao no tempo das densidades populacionais e mostrada na Figura 4.4.b, na qual

pode-se observar que atingem o equilıbrio desejado do sistema (xeq, yeq) = (1.25, 0.75).

78

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x

y

Diagrama de Fase

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

Figura 4.4: (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito a polıtica contınua de limiar.(b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador, x(t) ey(t). Valores de parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1, ε1 = 0.5 e ε2 = 0.5


de Limiar Horizontal aplicada somente no predador

O modelo Lotka–Volterra sujeito a polıtica de limiar aplicada somente no predador

estabiliza em torno do limiar como se mostra no diagrama de fase na Figura 4.5.a.

A evolucao no tempo das densidades populacionais e mostrada na Figura 4.5.b. O

equilıbrio de deslizamento e (xeqsl , yeqsl ) = (1.25, 1).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x

y

Diagrama de Fase

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

Figura 4.5: (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito a polıtica de limiar. (b)Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador, x(t) e y(t).Valores de parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1 e ε2 = 0.5

79


Polıtica Contınua de Limiar aplicada somente no predador

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x

y

Diagrama de Fase

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo

u2

Controle

Controle do Predador u2

(c)

Figura 4.6: (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito a polıtica de limiar. (b)Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador, x(t) e y(t).(c) A acao de controle como uma funcao do tempo.

O modelo Lotka–Volterra sujeito a polıtica contınua de limiar aplicada somente no

predador estabiliza no limiar como se mostra no diagrama de fase na Figura 4.6.a.

A evolucao no tempo das densidades populacionais e mostrada na Figura 4.6.b. O

equilıbrio de sistema e (xeq, yeq) = (1.25, 1).

80

4.3 Robustez da Polıtica Contınua de Limiar com

Incertezas nos Parametros e Retardo no Tempo

Modelo Lotka–Volterra sob perturbacoes

Esta secao mostra, mediante simulacoes, que a polıtica contınua de limiar do tipo

WEP e robusta a incertezas nos parametros e no retardo do tempo da aplicacao do

controle. No modelo Lotka–Volterra, tais incertezas podem acontecer na medida da

soma ponderada das especies S, denotada como ∆S, ou como um pequeno retardo ∆t

na comutacao no valor de φ. Para modelar estas incertezas, a polıtica e modificada

como se mostra a seguir:

u1 = ε1 φ(τ∆, σ)

u2 = ε2 φ(τ∆, σ),

com

φ(τ∆, σ) =

1 se τ∆ > στ∆ + σ

2σse −σ ≤ τ∆ ≤ σ

0 se τ∆ < −σ,

(4.13)

τ∆ = α1 x(t∆) + α2 y(t∆)− S∆ t∆ = t−∆t

∆S = 0.09 S∆ = S ∓∆S

ε1 = 2 (r1 − a yeq) ε2 = 2 (b xeq − r2) .

Na Figura 4.7.a mostra-se o comportamento do sistema sujeito ao controle com in-

certezas e retardo na polıtica contınua de limiar. Na Figura 4.7.b mostra-se a evolucao

no tempo das densidades populacionais da presa e do predador x(t) e y(t), respecti-

vamente. Observa-se desse comportamento que o controle apresenta caracterısticas de

robustez a medidas da soma ponderada S. Alem disso, estes erros sao da ordem de

(' 9.0%) ja que isto faz com que o limiar permaneca na regiao que garante a locali-

zacao apropriada dos pontos de equilıbrio virtuais e reais. O efeito da incerteza ∆S

introduz um erro correspondente (offset) no valor do ponto de equilıbrio V o qual vai

de (xeq, yeq) = (1.25, 0.75) no caso sem perturbacao, para (xeq∆ , yeq∆ ) = (1.3063, 0.6938)

no caso em que o erro de medicao (∆S) e retardo (∆t) estao ambos presentes.

81

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x

y

Diagrama de Fase

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

Figura 4.7: (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito a polıtica contınua de limiarcom perturbacoes. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa edo predador, x(t) e y(t), com perturbacoes. Valores de parametros r1 = 1, r2 = 1,a = 1, b = 1, ∆S = 0.09, ∆ t = 0.6 unidades de tempo, ε1 = 0.5, e ε2 = 0.5.

Alem disso, pequenos retardos na aplicacao da comutacao sao toleraveis tambem.

Como e de se esperar, pequenas oscilacoes sao introduzidas, mas o sistema estabiliza

em uma vizinhanca do ponto de equilıbrio desejado.

Modelo Rosenzweig–MacArthur sob perturbacoes

Na Figura 4.8.a mostra-se o comportamento do sistema sujeito ao controle com incer-

tezas e retardo na polıtica contınua de limiar. Na Figura 4.7.b mostra-se a evolucao

no tempo das densidades populacionais da presa e do predador x(t) e y(t), respectiva-

mente.

Como e de se esperar, pequenas oscilacoes sao introduzidas, mas o sistema estabiliza

em uma vizinhanca do ponto de equilıbrio desejado.

82

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60

70

x

y

Diagrama de Fase

0 5 10 15 20 25 30 35 400

10

20

30

40

50

60

70

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

Figura 4.8: (a) Diagrama de fase do modelo Rosenzweig–MacArthur sujeito a polıtica contınuade limiar com perturbacoes. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais dapresa e do predador, x(t) e y(t), com perturbacoes. Valores de parametros r = 2,K = 60, s = 1, A = 10, J = 20, ∆ t = 0.65 unidades de tempo, ε = 0.4 e ε2 = 1/3.

4.4 Produtividade Sustentavel para o Modelo Ro-

senzweig – MacArthur

Modelo sob uma Polıtica de Taxa de Colheita Constante

Estuda-se o modelo Rosenzweig–MacArthur no contexto de gerenciamento de recursos,

utilizando-se o termo Produtividade Sustentavel. Considere-se o modelo submetido a

um esforco constante de colheita no predador, ε2 y, como segue

x = x(

r(

1− xK

)

− yx+A

)

,

y = y(

sA (x−J)(J+A)(x+A)

− ε2

)

,(4.14)

no qual ε2 e o esforco de controle.

O ponto de equilıbrio estavel do sistema (4.14) e

xcc =A (ε2 (J + A) + s J)

sA− ε2 (J + A),

ycc = r

(

A (ε2 (J + A) + s J)

sA− ε2 (J + A)+ A

)(

1− A (ε2 (J + A) + s J)

K (sA− ε2 (J + A))

)

.

A produtividade sustentavel para modelos de duas especies com colheita seletiva, neste

83

caso, no ponto de equilıbrio estavel e definido em Beddington & May (1980), Strobele

& Wacker (1991), Hogarth et al. (1992) da seguinte maneira

Y = ε2 ycc (4.15)

= ε2 r

(

A (ε2 (J + A) + s J)

sA− ε2 (J + A)+ A

)(

1− A (ε2 (J + A) + s J)

K (sA− ε2 (J + A))

)

. (4.16)

Modelo sob uma Polıtica de Limiar

Agora, considere-se o mesmo modelo com uma colheita somente no predador e sob uma

polıtica de limiar, φ(τ), como segue

x = x(

r(

1− xK

)

− yx+A

)

,

y = y(

sA(x−J)(J+A)(x+A)

− u2

)

,

u2 = ε2 φ(τ)

(4.17)

sendo que ε2 e o esforco de controle quando uma polıtica de limiar e aplicada a (4.17).

A polıtica de limiar, φ(τ), e definida como em (1.13) e τ e o limiar que pode ser definido,

por exemplo, como

τ = y − ε x,

Demonstrou-se que o sistema (4.17) estabiliza no equilıbrio de deslizamento zeqsl =

(xeqsl , yeqsl ).

Como a polıtica de limiar e descontınua, i.e., comuta entre 0 e 1, o valor medio da

produtividade e calculada utilizando o conceito de controle equivalente (veja Capıtulo

1, secao 1.6) e a produtividade media sustentavel no equilıbrio zeqsl e como segue,

Y = −ε(

r xeqsl

(

1− xeqslK

)

− xeqsl yeqsl

xeqsl + A

)

+ yeqsl

(

sA (xeqsl − J)

(J + A) (xeqsl + A)

)

. (4.18)

4.4.1 Discussao

Para interpretar (4.18), considere-se um exemplo numerico no qual o sistema (4.14) e

submetido a uma colheita com esforco ε2 > 0.19. Neste caso, ocorre excesso de colheita,

o qual leva a extincao do predador de maneira que a produtividade sustentavel de (4.14)

84

e

Y = 0.

Por outro lado, para o sistema (4.17) sujeito a polıtica de limiar com esforco

ε2 > 0.19, foi demonstrado que o sistema (4.17) estabiliza em zeqsl . Desta maneira,

a produtividade media sustentavel do sistema (4.17) e como segue

Y = −ε(

r xeqsl

(

1− xeqslK

)

− xeqsl yeqsl

xeqsl + A

)

+ yeqsl

(

sA (xeqsl − J)

(J + A) (xeqsl + A)

)

.

Observacao 4.1 Conclui-se que, em geral, um sistema predador-presa sujeito a polı-

tica de limiar pode tolerar esforcos de colheita que poderiam levar a extincao por super

exploracao, a nao ser que seja aplicada a polıtica de limiar (i.e. com esforco constante).

85

86

Capıtulo 5

Projeto de Controle Chaveado para

Sistemas Bidimensionais

Dependentes da Razao entres as

Populacoes

Modelos predador-presa do tipo dependentes da razao entre as populacoes sao confia-

veis para a interacao entre predador-presa nos quais a predacao envolve um processo de

busca, i.e., tem que compartilhar ou competir pelo alimento. A analise da estabilidade

local mostra que modelos deste tipo sao capazes de produzir dinamicas mais ricas e

mais razoaveis ou aceitaveis do ponto de vista biologico, bem como que o paradoxo de

enriquecimento nao e produzido por estes modelos e que o paradoxo de controle biolo-

gico pode ocorrer para estes modelos (Kuang 1999, Hsu et al. 2001a, Hsu et al. 2001b).

Note que para sistemas dependentes da razao, em geral, a estabilidade assintotica local

do estado estacionario nem sempre garante a persistencia do sistema e, portanto, nao

implica a estabilidade assintotica global (Kuang & Beretta 1998, Jost et al. 1999).

Em Kuang & Beretta (1998), Kuang (1999), Jost et al. (1999), Hsu et al. (2001b),

Hsu et al. (2001a), Ho & Lin (2001), Kuang (2002) analisa-se o comportamento global

dos modelos predador-presa do tipo razao dependentes sem considerar um termo de

controle (colheita ou forragem). Neste Capıtulo inclui-se um termo de controle nos

modelos do tipo razao dependentes, i.e., modelo adimensional e modelo do tipo Gause

87

(Kuang & Freedman 1988, Hwang 1999, Hsu et al. 2001a).

A densidade populacional e o numero de indivıduos que se encontra em alguma

unidade de espaco. Ela e medida, portanto, como o numero de indivıduos ou a biomassa

da populacao, por unidade de area ou de volume. Tempo em sistemas ecologicos e

usualmente medido em dias, semanas ou anos (Odum 1988, Banks 1991).

5.1 Modelos Dependentes da Razao

A representacao geral de um modelo predador–presa dependente da razao tem a se-

guinte forma:

x = x f(x)− y p(x/y)

y = (c q(x/y)− d) y(5.1)

no qual p(x/y) e a conhecida resposta funcional do predador. Frequentemente q(x/y)

e substituida por p(x/y), neste caso c e a taxa de conversao. As funcoes p(x/y), q(x/y)

satisfazem as propriedades usuais, tais como serem nao negativas e crescentes e iguais

a zero, em zero.

Uma outra caracterıstica dos modelos dependentes da razao e que permitem a

extincao mutua como um possıvel resultado de uma interacao (Kuang & Beretta 1998,

Jost et al. 1999, Kuang 1999, Hsu et al. 2001a, Ho & Lin 2001, Kuang 2002), segundo

observacao experimental feita por Gause (1934). Portanto, estes modelos tem uma

dinamica mais complicada que os modelos dependentes da densidade da presa.

Para efeitos de comparacao, neste capıtulo estuda-se o seguinte modelo dependente

da razao, analogo ao modelo classico Rosenzweig–MacArthur

x(t) = a x (1− x/K)− c x y/(my + x) ≡ F (x, y),

y(t) = y (−d+ f x/(my + x)) ≡ G(x, y),

x(0) = x0 > 0, y(0) = y0 > 0

(5.2)

sendo que a, K, c, m, f , d sao constantes positivas e x(t), y(t) representam a densidade

populacional da presa e do predador no tempo t, respectivamente. A presa cresce com

uma taxa de crescimento intrınseca a e uma capacidade de carga do meio ambiente K.

O predador consome as presas com uma resposta funcional do tipo Michaelis-Menten

88

c u y /(m+ u), u = x/y e contribui para seu crescimento com uma taxa f u y/(m+ u).

A constante d e a taxa de morte do predador. Observe que lim(x,y)→(0,0) F (x, y) =

G(x, y) = 0. Assim, define-se F (0, 0), G(0, 0) como zero em zero. Claramente, com

esta suposicao, ambas F e G sao contınuas em R2+ onde R2+ = (u, y) : u ≥ 0, y ≥ 0.

Com o seguinte escalamento o sistema (5.2) pode ser transformado em um sistema

adimensional

t→ at, x→ x/K, y → my/K.

O modelo predador–presa razao dependente adimensional e como segue:

x = x (1− x)− s x yx+y

y = δ y(

−r + xx+y

)

.(5.3)

sendo

s =c

ma, δ =

f

a, r =

d

f.

As propriedades deste modelo foram estudadas em Kuang & Beretta (1998) e Hsu et al.

(2001a). Este modelo e denominado de modelo adimensional, pois K e a carga do meio

ambiente e tem as mesmas unidades que x; o mesmo acontece com o escalemnto de y,

eis o motivo da denominacao de modelo adimensional.

Seguindo de Kuang & Beretta (1998), Hsu et al. (2001a), faz-se a mudanca de

variaveis (x, y) → (u, y), com u = x/y no sistema (5.3). Isto transforma o sistema

adimensional em um sistema predador–presa do tipo Gause

u = g(u)− ϕ(u) y

y = ψ(u) y

u(0) = u0 > 0, y(0) = y0 > 0

(5.4)

no qual

g(u) = u (1 + δ r − s+ (1 + δ r − δ)u)/(1 + u)

ϕ(u) = u2

ψ(u) = δ(u/(u+ 1)− r),

89

sendo que os valores de δ, r e s sao os mesmo que do modelo adimensional.

As propriedades de estabilidade deste modelo foram estudadas em Kuang & Freed-

man (1988) e Hsu et al. (2001a). O modelo e denominado de modelo do tipo Gause.

5.2 Modelo Adimensional

Kuang & Beretta (1998) e Hsu et al. (2001a) deram uma completa classificacao do

comportamento assintotico das solucoes de (5.3). Para se apreciar a dependencia pa-

rametrica do comportamento do sistema adimensional (5.3) mostra-se na Figura 5.1 o

comportamento para dois valores diferentes do parametro r.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x

(a) (b)

Figura 5.1: Sistema adimensional sem controle. (a) Valores dos parametros sao: r = 1/2, δ = 1/2,s = 1.52. (b) Valores dos parametros sao: r = 5/2, δ = 1/2, s = 1.52. Plano defase com o campo vetorial para algumas condicoes iniciais. A isoclina das presas erepresentada pela curva cinza fina.

5.2.1 Modelo Adimensional sujeito a Polıtica de Limiar

Costa et al. (2000) propuseram um modelo no qual o controle e aplicado as duas especies

predador e presa. Nesta subsecao, o controle (= polıtica de limiar) e aplicado somente

no predador e este controle e referenciado como do tipo proporcional na literatura de

controle ou do tipo esforco constante na literatura de polıticas de pesca.

Portanto, o sistema (5.3) sujeito a polıtica de esforco constante ou controle propor-

90

cional no predador tem a seguinte forma

x(t) = x (1− x)− s x yx+y

,

y(t) = δy(

−r + xx+y

)

− y u2,

u2 = ε2 φ(τ)

x(0) = x0 > 0, y(0) = y0 > 0,

(5.5)

no qual φ(τ) e a polıtica de limiar escolhida como em (1.13), ε2 e o esforco de controle

(mortandade de pesca) e τ e um limiar que sera uma das tres expressoes seguintes

Limiar Horizontal ou Limiar do Predador : τ := y − yth,

Limiar Vertical ou Limiar da Presa : τ := x− xth,

Limiar Inclinado : τ := y − ε x.

A polıtica (1.13) gera duas estruturas no sistema (5.5): (i) sem controle φ(·) = 0 e

(ii) eliminacao de esforco constante do predador com φ(·) = 1. Este e o motivo pelo

qual utiliza-se a terminologia de estrutura variavel, utilizada tambem em Costa et al.

(2000). Note que o sistema (5.5) e um vetor de equacao diferencial com o lado direito

descontınuo de maneira que e necessario utilizar o conceito de uma solucao no sentido

de Filippov (1988).

Estas estruturas correspondem a dois modelos diferentes, os quais estao separados

no plano x, y pela linha de comutacao, o limiar τ . Em Costa et al. (2000) a linha de

comutacao e denominada weighted escapement policy, i.e., uma linha com inclinacao

negativa. Nesta secao o limiar pode ser uma linha de comutacao horizontal, vertical ou

inclinada (inclinacao positiva). Por conseguinte, o plano de fase x, y e dividido em duas

regioes – uma regiao com controle (acima ou a direita da linha) e outra sem controle

(abaixo de ou a esquerda da linha). Desde que cada estrutura possua seus proprios

pontos de equilıbrio nao triviais, a localizacao da linha de comutacao determinara

se estes pontos permanecerao na sua respectiva regiao ou nao, i.e., serao pontos de

equilıbrio reais ou virtuais, respectivamente.

91


Seja G1 a regiao definida quando τ > 0 e G2 a regiao definida quando τ < 0. Entao, a

dinamica em cada regiao e mostrada a seguir:

1. Quando τ < 0: A dinamica e como segue

G2 :

x = x (1− x)− s x yx+y

,

y = δ y(

xx+y

− r)

.

2. Quando τ > 0: A dinamica e como segue

G1 :

x = x (1− x)− s x yx+y

,

y = δ y(

xx+y

− r)

− ε2 y,

Analisam-se os pontos de equilıbrio, segundo Kuang & Beretta (1998) e Hsu et al.

(2001a).

1. Sistema livre

Quando φ(τ) = 0, i.e., sistema sem controle. Os pontos de equilıbrio sao mostra-

dos na Tabela 5.1.

Tabela 5.1: Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Adimensional sem con-trole

Ponto de Equilıbriozsc1 = (0, 0)zsc2 = (1, 0)

zsc3 =(

1− s (1− r), (1−s (1−r))(1−r)r

)

O ponto zsc1 e um foco estavel (localmente assintoticamente estavel), o ponto zsc2

e uma sela com o eixo x como sua variedade estavel e y = −0.822x como a sua

variedade instavel e o ponto zsc3 e um foco instavel e e provavel que o sistema

tenha um ciclo limite, segundo Hsu et al. (2001a). Existe uma faixa de valores

de δ, r e s para as quais se conserva a natureza dos pontos de equilıbrio.

2. Sistema com controle

92

Quando φ(τ) = 1, i.e., sistema com controle. Os pontos de equilıbrio sao mos-

trados na Tabela 5.2.

Tabela 5.2: Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Adimensional com con-trole

Ponto de Equilıbriozcc1 = (0, 0)zcc2 = (1, 0)

zcc3 =(

1− s(1− r − ε2δ),(1−s(1−r−

ε2δ))(1−r−

ε2δ)

r+ε2δ

)

O ponto zcc1 e uma sela, o ponto zcc2 e um ponto de equilıbrio global e assintotica-

mente estavel (no estavel) com o eixo x e y = −0.164x como variedades estaveis

e sendo o ponto zcc3 uma sela, segundo Hsu et al. (2001a). zcc3 nao pertence a G1

nem a G2. Existe uma faixa de valores para, i.e., r > 1 e s ∈ (0, 1 + δ r], a qual

a natureza dos pontos de equilıbrio se conserva.

Os pontos de equilıbrio estaveis de cada regiao, i.e. zsc1 e zcc2 , podem ser tornados

virtuais com uma escolha adequada do limiar e calcula-se o equilıbrio deslizante como

e indicado a seguir, para cada tipo de limiar

1. Limiar Horizontal, τ := y − yth.

Tem-se a seguinte equacao da isoclina das presas

x(t) = x (1− x)− sx y

x+ y= 0, (5.6)

resolvendo (5.6) em relacao a y obtendo-se a seguinte expressao denotada como

p(x)

p(x) =x (1− x)

x+ s− 1.

Agora, maximiza-se p(x), obtendo-se os seguintes valores para x

x1,2 = 1− s±√s2 − s

e como se deseja o maximo positivo de p(x), entao, seja x o valor para o qual

93

p(x) alcanca seu maximo:

x = x2 = 1− s+√s2 − s.

O intervalo de valores para o qual existe pelo menos um ponto de interseccao

entre a curva da isoclina das presas e o limiar e

0 < yth < p(x),

e este ponto de interseccao e o equilıbrio de deslizamento que pode ser calculado

em termos de y

xeq =1

2

(

1− y ±√

1 + 2 y + y2 − 4 s y)

. (5.7)

A partir da teoria de estrutura variavel sabe-se que o equilıbrio de deslizamento

existe e acontece no limite que separa as duas estruturas, i.e. τ = 0, y = yth.

Portanto, o ponto de equilıbrio de deslizamento e

zeqsl = (xeq, yth) . (5.8)

O valor de ε2 deve satisfazer a equacao (D.13). Portanto, o valor escolhido para

ε2 e

ε2 = 1.

Observacao 5.1 Para este tipo de limiar, a origem e um ponto de equilıbrio

localmente estavel e real. Portanto, existem algumas trajetorias que poderiam

convergir para a origem.

2. Limiar Vertical, τ := x− xth.

Para que os pontos de equilıbrio estaveis de cada sistema sejam virtuais o valor

do nıvel de limiar, xth, deve ficar no intervalo [0 , 1]. Pois neste intervalo existe

um ponto de intersecao entre a curva da isoclina das presas e o limiar, que e o

equilıbrio de deslizamento. Para calcular o equilıbrio de deslizamento, a equacao

94

das isoclinas das presas, a primeira equacao de (5.5) e utilizada

x(t) = x (1− x)− s x y

x+ y= 0, (5.9)

de modo que a coordenada y do ponto de equilıbrio pode ser calculada em termos

de x

yeq =

(

x (1− x)

x− 1 + s

)

. (5.10)

Como deseja-se estabilizar o sistema no limiar τ = 0, i.e. x = xth, entao o ponto

de equilıbrio de deslizamento e

zeqsl = (xth, yeq) . (5.11)

O valor de ε2 deve satisfazer

ε2 > 0.

3. Limiar inclinado, τ := y − εx.

Na equacao x de (5.5), y e substituido por ε x, obtendo-se

x(t) = x (1− x)− sε x2

x (1 + ε)= 0,

e os pontos de equilıbrio sao:

xeq1 = 0, xeq2 =1 + ε(1− s)

1 + ε,

de xeq2 pode ser calculado o valor de ε pela seguinte equacao

ε =1− xeq

xeq + s− 1.

Portanto, o ponto de equilıbrio de deslizamento e

zeqsl = (xeq2 , εxeq2 ) . (5.12)

Os valores de ε e ε2 devem satisfazer as equacoes (D.12) e (D.13). Os valores

95

escolhidos sao

ε = 5/6, ε2 = 1.

5.3 Teorema de Estabilidade Global para o Modelo

Adimensional

Com o objetivo de formalizar os resultados obtidos ate aqui, propoe-se um Teorema

que contem o resultado principal de estabilidade global do sistema adimensional (5.13)

sujeito a polıtica de limiar (1.13).

PSfrag replacements

•

xA

yA

xB

yB

xC

yC

φ(·) = 1

φ(·) = 0

A

B

C

F

I

II

IIIa

IIIb

IV

V a

V b

D

ltrG1

ltrG2

x = 0

V < 0

0 E

V cφ=0

V cφ=1

G1

G2

τ > 0

τ < 0

τ = 0

zeq

sl

sample

trajectory

Figura 5.2: A regiao invariante globalmente atrativa no plano de fase e a regiao retangular 0 −yA − A − xA − 0. A regiao G1 := (x, y) : τ > 0 e a regiao G2 := (x, y) : τ < 0.Linhas grossas marcadas com uma seta (←) sao trajetorias. As pequenas setas cinzamostram o campo vetorial. A curva denotada como “ltrG1” e a trajetoria que entrano domınio de deslizamento no ponto C e permanece nele daı por diante, e a curvadenotada como “ltrG2” e a trajetoria que entra no domınio de deslizamento no ponto Be permanece nele daı por diante. O equilıbrio de deslizamento zeqsl e mostrado por umbullet (•). O valor dos parametros utilizados nesta Figura sao os seguintes: s = 1.52,δ = 1/2, r = 1/2, ε2 = 1, ε = 5/6. A regiao de deslizamento e o segmento CBentre as curvas V c

φ=0 e V cφ=1. A isoclina das presas (x = 0) e a curva que une os

pontos 0 e 1. O ponto E e (1, 0) e D e ( bε, 0).

96

Teorema 5.1 Considere-se o seguinte sistema adimensional

x(t) = x (1− x)− s x yx+y

,

y(t) = δ y(

−r + xx+y

)

− ε2 y φ(τ),

x(0) = x0 > 0, y(0) = y0 > 0,

(5.13)

sujeito a polıtica de limiar definida como em (1.13), sendo que τ e um limiar que tem

a seguinte forma:

τ := y − ε x+ b.

Sejam os valores de s, δ, r, ε2, ε tais que o limiar τ = 0 intercepta a isoclina das presas

(curva convexa na Figura 5.2) em um ponto zeqsl contido na regiao de deslizamento

(segmento CB na Figura 5.2). Sob estas condicoes existe um equilıbrio deslizante de

(5.13) que e global e assintoticamente estavel.

Prova: Detalhes da prova sao dados no Apendice D.

Para apreciar este teorema, note que o sistema livre (i.e. sem controle) tem a

seguinte dinamica: a origem e local e assintoticamente estavel, mas o sistema possui

tambem um ciclo limite (veja Figura 5.1.a, bem como Hsu et al. (2001a)). Se um

controle constante, ε2y, e aplicado, a dinamica e mostrada na Figura 5.1.b e o ponto

(1, 0) e um equilıbrio global e assintoticamente estavel, o qual corresponde a extincao

do predador. Assim, a introducao de uma polıtica de limiar e responsavel pelo novo

comportamento dinamico permitindo a coexistencia entre as especies.

97

5.3.1 Comportamento do Modelo Adimensional sujeito a Po-

lıtica de Limiar

Limiar Horizontal

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x

y

Plano de Fase

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

Figura 5.3: (a) Diagrama de fase do modelo adimensional sujeito a polıtica de limiar horizontal.(b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador x(t) ey(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, yth = 0.24, ε2 = 1.

Limiar Vertical

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

x

y

Plano de Fase

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

Figura 5.4: (a) Diagrama de fase do modelo adimensional sujeito a polıtica de limiar vertical. (b)Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador, x(t) e y(t).Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, xth = 0.5, ε2 = 1.

98

Limiar Inclinado

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x

y

Plano de Fase

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

Figura 5.5: (a) Diagrama de fase do modelo adimensional sujeito a polıtica de limiar inclinado.(b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador, x(t) ey(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, ε2 = 1 e ε = 5/6.

Observacao 5.2 No final do capıtulo se faz o respectivo comentario em relacao aos

diferentes modelos sujeitos aos tres diferentes tipos de limiar.

5.4 Modelo predador–presa do Tipo Gause

O modelo do tipo Gause sujeito a polıtica de limiar aplicada somente no predador e

como segue

u(t) = g(u)− p(u) y,

y(t) = q(u) y − y u2,

u2 = ε2 φ(τ)

u(0) = u0 > 0, y(0) = y0 > 0

(5.14)

sendo que φ(τ) e definida como em (1.13), e τ e um limiar que pode ter uma das tres

formas seguintes

Limiar Horizontal : τ := y − yth,

Limiar Vertical : τ := uth − u,

Limiar Inclinado : τ := y − ε u.

A analise do modelo Gause e feita no Apendice D.2.

99

5.4.1 Comportamento do Modelo do Tipo Gause sob uma Po-

lıtica de Limiar

Limiar Horizontal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

u

y

Plano de Fase

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tempo

u,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

Figura 5.6: (a) Diagrama de fase do modelo do tipo Gause sujeito a polıtica de limiar horizontal.(b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador u(t) ey(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, yth = 0.24, ε2 = 1.

Limiar Vertical

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

u

y

Plano de Fase

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

2

4

6

8

10

12

Tempo

u,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

Figura 5.7: (a) Diagrama de fase do modelo do tipo Gause sujeito a polıtica de limiar vertical.(b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador, x(t) ey(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, uth = 1.2, ε2 = 1.

100

Limiar Inclinado

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

u

y

Plano de Fase

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tempo

u,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

Figura 5.8: (a) Diagrama de fase do modelo do tipo Gause sujeito a polıtica de limiar inclinado.(b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador, u(t) ey(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, ε = 0.24, ε2 = 1.

5.5 Modelo Predador-Presa do Tipo Dependente

da Razao Transformado

O modelo do tipo dependente da razao transformado surge do modelo original (5.2)

quando se considera um controle do tipo ε2 y aplicado somente no predador e fazendo

as respectivas trocas de variaveis para obter o modelo adimensional, logo, o modelo do

tipo Gause Transformado. A deducao destes modelos e realizada no Apendice D.3.

Considere-se o modelo do tipo Gause transformado sujeito a polıtica de limiar apli-

cada somente no predador como segue

u(t) = g(u)− p(u) y,

y(t) = q(u) y − y u2,

u2 = ε2 φ(τ)

u(0) = u0 > 0, y(0) = y0 > 0

(5.15)

101

com

g(u) = u1 + δ r − s+ (1 + δ r − δ)u/(1 + u) + ε2 φ(τ)u,

p(u) = u2,

q(u) = δ (u/(u+ 1)− r).

e φ(·) e uma polıtica de limiar definida como em (1.13), e τ e um limiar que pode ter

uma das tres seguintes expressoes




5.5.1 Comportamento do Modelo do Tipo Gause Transfor-

mado sujeito a Polıtica de Limiar

Limiar Horizontal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

u

y

Plano de Fase

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tempo

u,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

Figura 5.9: (a) Diagrama de fase do modelo do tipo Gause transformado sujeito a polıtica delimiar horizontal. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e dopredador, u(t) e y(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, yth = 0.24,ε2 = 1.

102

Limiar Vertical

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

u

y

Plano de Fase

0 5 10 15 20 25 30 350

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tempo

u,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

Figura 5.10: (a) Diagrama de fase do modelo do tipo Gause transformado sujeito a polıtica delimiar vertical. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e dopredador, x(t) e y(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, uth = 1.2,ε2 = 1.

Limiar Inclinado

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

u

y

Plano de Fase

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tempo

u,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

Figura 5.11: (a) Diagrama de fase do modelo do tipo Gause transformado sujeito a polıtica delimiar inclinado. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e dopredador, u(t) e y(t). Valores dos parametros r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52, ε = 0.24,ε2 = 1.

103

5.6 Comentarios finais

1. No comportamento do modelo adimensional sujeito a polıtica de limiar do tipo

horizontal existem condicoes iniciais a partir das quais as trajetorias convergem

a para origem, como se observa na Figura 5.3.a.

2. No mesmo modelo adimensional sujeito a polıtica de limiar do tipo vertical e incli-

nada existe um ponto de equilıbrio de deslizamento globalmente assintoticamente

estavel, como pode ser observado nas Figuras 5.4.a e 5.5.a.

3. No modelo Gause sujeito a qualquer tipo de limiar sempre existem condicoes

iniciais que convergem para a origem, como se mostra nas Figuras 5.6, 5.7 e 5.8.

4. Quando o modelo Gause transformado esta sujeito a polıtica de limiar do tipo

horizontal existem condicoes iniciais a partir das quais as trajetorias convergem

para a origem, como se mostra na Figura 5.9.a.

Resumindo, a dinamica de modelos dependentes da razao e mais complexa, de modo

que a proposta simples de controle chaveado nao consegue proporcionar um equilıbrio

globalmente estavel para todas as versoes destes modelos. No entanto, existe uma

versao, a adimensional, para o qual a tecnica proposta nesta tese e bem sucedida,

produzindo um equilıbrio global e assintoticamente estavel.

104

Capıtulo 6

Comparacao com outras Tecnicas

de Projeto de Controladores para

Sistemas Nao Lineares

Neste capıtulo consideram-se outras tecnicas de projeto de controladores para sistemas

nao lineares gerais com o proposito de observar vantagens e/ou desvantagens do controle

proposto em comparacao com as demais tecnicas. Em cada secao deste capıtulo, faz-

se uma breve introducao do contexto no qual as outras tecnicas foram desenvolvidas.

Para tanto, utiliza-se o modelo de Lotka–Volterra como padrao ou “benchmark”.

6.1 Controle de Sistemas de Comportamento Osci-

latorio

Em Fradkov & Pogromsky (1998) sao aplicados alguns metodos de controle adaptativo

de oscilacao para o controle de populacoes de duas especies competitivas. Utiliza-se o

modelo de Lotka–Volterra da dinamica de populacoes como exemplo.

105

Projeto do Controle segundo Fradkov & Pogromsky (1998)

Considera-se o modelo Lotka–Volterra, a seguir

x = r1 x− a x y

y = −r2 y + b x y.(6.1)

Considerando que a taxa de natalidade do predador pode ser controlada, Fradkov

& Pogromsky (1998) projetaram o controle da taxa de natalidade da presa, chegando

a seguinte modificacao do modelo (6.1)

x = r1 x− a x y

y = −r2 y + b x y + y u(6.2)

no qual u e a acao de controle. A existencia da seguinte primeira integral:

W (x, y) =

(

b x− r2 − r2 log

(

b x

r2

))

+

(

a y − r1 − r1 log

(

a y

r1

))

, (6.3)

implica que o sistema sem controle (u(t) ≡ 0) tem um numero infinito de solucoes

periodicas (trajetorias fechadas, nao ciclos limites), desde que x(0) > 0, y(0) > 0. De

fato,

W (x, y) = 0

ao longo de qualquer solucao de (6.1) (x(0) > 0, y(0) > 0), significando que a quantia

W conserva seu valor (e invariante). A primeira integral (6.3) pode ser entendida como

uma “energia total” do sistema presa-predador e o objetivo do controle e exatamente

alcancar um nıvel desejado W∗, i.e.,

W (x(t), y(t))→ W∗ como t→∞. (6.4)

O objetivo do controle deste tipo pode ser alcancado pelo metodo de gradiente de

velocidade (speed gradient, SG) mostrado em Fradkov & Pogromsky (1998, Cap. 2).

Introduz-se a seguinte funcao objetivo Q : R× R → R+:

Q(x, y) =1

2(W (x, y)−W∗)

2 .

106

A derivada temporal de Q(x, y) em relacao ao sistema (6.2) e:

Q(x, y) = (W (x, y)−W∗) (a y u− r2 u).

Calculando o gradiente em relacao a u, obteve-se:

∂Q

∂u(x, y) = (W (x, y)−W∗) (a y − r2).

Conforme o Teorema 2.21 em Fradkov & Pogromsky (1998, pag. 101) o seguinte algo-

ritmo SG

u(t) = −γ (W (x(t), y(t))−W∗) (a y(t)− r2) (6.5)

proporciona o objetivo (6.4) para um γ > 0 arbitrario e para quase todas as condicoes

iniciais satisfazendo x(t) > 0, y(t) > 0.

Para confirmar os resultados teoricos, fez-se a simulacao do modelo (6.2). O al-

goritmo de controle (6.5) para o sistema (6.2) com os seguinte valores de parametros

r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1 e como segue

W (x, y) = (x− 1− log(x)) + (y − 1− log(y))

e u(t) e

u(t) = −γ (W (x(t), y(t))−W∗) (y(t)− 1).

Comportamento do Modelo Lotka–Volterra sujeito ao Controle

segundo Fradkov

Pode observar-se que para diferentes valores do nıvel de energia desejada W∗, pode-

se atingir comportamentos do sistema controlado significativamente diferentes, como

mostrado nas Figuras 6.1 e 6.2. No caso, quando W∗ = −0.1, o sistema tende assinto-

ticamente ao ponto de equilıbrio (r1/a , r2/b) como pode ser observado na Figura 6.1 e

no caso quando W∗ = 0.5 o sistema apresenta um ciclo limite como pode ser observado

na Figura 6.2.

107

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

Plano de Fase

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

0 5 10 15 20 25 30−10

0

10

20

30

40

50

Tempo

u 2

Controle

Controle Predador u2

(c)

Figura 6.1: (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito a um algoritmo de controleSG. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador x(t)e y(t). Valores de parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1, γ = 2 e W∗ = −0.1. (c)A acao de controle u como uma funcao do tempo.

6.2 Controle de Sistemas na presenca de Entradas

Incertas

Um grande esforco tem sido dedicado ao estudo da vulnerabilidade e nao vulnerabili-

dade dos ecossistemas sujeitos a perturbacoes contınuas e imprevisıveis, porem limita-

das, devido a mudancas nas condicoes climaticas, doencas, migracao das especies, etc.

(Beddington & May 1977, Lee & Leitmann 1983, Steele & Henderson 1984, Vincent

et al. 1985).

No contexto de controle de sistemas sob perturbacoes, ha os trabalhos de Vincent

et al. (1975), Vincent et al. (1985), Vincent (1987), Lee & Leitmann (1983). Faz-se aqui

uma revisao do trabalho de Vincent et al. (1985), no qual assume-se que um regulador

108

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

Plano de Fase

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

0 5 10 15 20 25 30−5

0

5

10

15

20

25

30

35

Tempo

u 2

Controle

Controle Predador u2

(c)

Figura 6.2: (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito a um algoritmo de controleSG. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador x(t)e y(t). Valores de parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1, γ = 2 e W∗ = 0.5. (c) Aacao de controle u como uma funcao do tempo.

para o sistema foi projetado, de maneira que, sob este controle, o sistema pode ser

expressado como

z = G(z)− C(z) = f(z). (6.6)

Supoe-se tambem que existe um unico estado de equilıbrio desejado z∗ em alguma

regiao compacta especificada X ⊂ Rn e que o ponto de equilıbrio e assintoticamente

estavel em todo X. Supoe-se, tambem, que uma funcao de Liapunov V (z) e conhecida

tal que V (z∗) = 0, V (z) > 0∀ z ∈ X, z∗ e que

V =∂V

∂zf(z) < 0 ∀z ∈ X, z 6= z∗. (6.7)

Considera-se uma entrada de perturbacao s = [s1 · · · sp]T . Assume-se que o efeito

109

desta entrada pode simplesmente ser somado em (6.6) obtendo-se

z = f(z) + g(z, s) (6.8)

sendo que g(·) : Rn × Rp → Rn e uma funcao C1 de z e que s(t) e uma funcao

contınua por partes no tempo, tal que s(t) ∈ S ⊂ Rp para todo tempo. Ademais,

assume-se que S contem o vetor nulo, que g(z, 0) = 0 para todo z ∈ X e que f(z) +

g(z, s) = 0 para qualquer constante s ∈ S que define um unico ponto de equilıbrio

assintoticamente estavel em X. Note que o sistema original (6.6) e obtido sempre que

o vetor de perturbacoes persistentes e nulo.

O segundo metodo de Liapunov e utilizado para prover uma proposta de projeto

e analise do controle de tais sistemas. A ideia basica e utilizar o conhecimento de

alcancabilidade do conjunto R para calcular os efeitos extremos das incertezas sobre

este conjunto e logo utilizar esta informacao no projeto do controle de realimentacao.

Assume-se que um controle adicional p pode ser somado a (6.8), de modo que o

sistema controlado e:

z = f(z) + g(z, s) + p (6.9)

com p = [p1 · · · pn]T . Ademais, assume-se que R ⊂ X seja conhecido e que (6.8) esteja

confinado principalmente em R. Define-se

ρ = supz∈Rs∈S

|gi(z, s)| , i = 1, · · · , n (6.10)

e escolhe-se para o controle

pi = −ρi sgn(

∂V

∂zi

)

(6.11)

sendo que V e a funcao de Liapunov conhecida para o sistema original (6.6).

Agora considera-se

V =n∑

i=1

[

∂V

∂zifi +

∂V

∂zigi +

∂V

∂zipi

]

. (6.12)

O primeiro termo e negativo pela desigualdade (6.7) e os dois ultimos termos devem

110

ser nao positivos sob o controle (6.11). Segue que, sob (6.11):

n∑

i=1

∂V

∂zipi = −

n∑

i=1

ρi

∣

∣

∣

∣

∂V

∂zi

∣

∣

∣

∣

(6.13)

e pela equacao (6.10), o ultimo termo sera menor ou igual ao segundo termo. Assim,

V < 0, o qual implica que a estabilidade assintotica de z∗ e mantida em X sob a acao

de controle (6.11).

Um controle do tipo “bang-bang” como (6.11) pode ser evitado utilizando uma lei

de controle da seguinte forma

pi =

−ρisgn(

∂V

∂zi

)

se

∣

∣

∣

∣

∂V

∂zi

∣

∣

∣

∣

> ζ

−ρiζ

∂V

∂zise

∣

∣

∣

∣

∂V

∂zi

∣

∣

∣

∣

≤ ζ,(6.14)

para o qual, quando ζ → 0, a estabilidade assintotica uniforme e novamente obtida.

Para ζ > 0, as solucoes de (6.9) estao uniformemente limitadas em X em uma vizi-

nhanca de z∗ que chega ser arbitrariamente pequena quando ζ → 0.

Adicionalmente, note que desde que trajetorias de (6.8) estejam confinadas no con-

junto R contido em X, nao e necessario aplicar o controle (6.14) em X −R. Uma taxa

de convergencia lenta para R poderia causar problemas. Desde que (6.14) ainda prove

estabilidade a (6.6) em X −R, modifica-se (6.14) para incluir

pi = −ρi exp [−li (‖z − z∗‖ − d)] sgn

(

∂V

∂zi

)

se ‖z − z∗‖ > d (6.15)

sendo que li sao constantes ajustaveis para prover a convergencia desejada e

d = maxz∈R

‖z − z∗‖ . (6.16)

Exemplo Aplicativo: Modelo Lotka–Volterra

Considera-se o modelo Lotka–Volterra sob o efeito de uma estrategia de colheita de

esforco constante nas duas especies, h1 x e h2 y, e adicionam-se perturbacoes denotadas

111

como s1(t) e s2(t), bem como incluem-se controles do tipo p1 e p2, a seguir:

x = r1 x− a x y − x s1 + p1,

y = −r2 y + b x y − y s2 + p2.(6.17)

As incertezas no sistema sao tais que |s1| ≤ sm1 e |s2| ≤ sm2. O ponto de equilı-

brio correspondente e (x∗, y∗). O problema e manter esta solucao de equilıbrio sob as

incertezas s1 e s2, utilizando os controles p1 e p2.

Utilizando o metodo sugerido acima, procura-se determinar X e R. Uma funcao de

Liapunov para (6.17) com s1 = s2 = p1 = p2 = 0 e dada como segue

V (x, y) = x− x∗ − x∗ ln( x

x∗

)

+ y − y∗ − y∗ ln

(

y

y∗

)

(6.18)

a qual e valida para todo X definido por

X =

x ∈ R2 |x > 0, y > 0

. (6.19)

A regiao R e obtida examinando os pontos de equilıbrio de (6.17) com p1 = p2 = 0,

s1 = ±sm1, s2 = ±sm2. Seja sm1 = 0.2, sm2 = 0.15, h1 = 0.25, h2 = 0.25. Portanto,

x∗ = 1.25, y∗ = 0.75, ρ1 = 1.45× 0.2, ρ1 = 0.95× 0.15 e d = 0.25, obtendo-se

∂V

∂x= 1− x∗

x, e1

∂V

∂y= 1− y∗

y, e2

(6.20)

Seja ω =√

(x− x∗)2 + (y − y∗)2, entao a lei de controle obtida e:

p1 =

−ρ1 (e1) se |e1| > ζ

−ρ1 e1/ζ se |e1| ≤ ζ

−ρ1 exp[−l1(ω − d)] (e1) se ω > d

(6.21)

p2 =

−ρ2 (e2) se |e2| > ζ

−ρ2 e2/ζ se |e2| ≤ ζ

−ρ2 exp[−l2(ω − d)] (e2) se ω > d

(6.22)

112


segundo Vincent

Consideram-se os seguintes valores dos parametros: r1 = r2 = a = b = 1, x∗ = 1.25,

y∗ = 0.755, ζ = 0.01, l1 = 1, l2 = 1, s1(t) = 0.2 cos(t), s2(t) = 0.15 cos(t).

Na Figura 6.3.a mostra-se a simulacao do modelo (6.17) sob uma perturbacao do

tipo s1(t) = −0.20 cos(t), s2(t) = −0.15 cos(t) e sujeito ao controle do tipo (6.21),

(6.22). Na Figura 6.3.b mostra-se a evolucao no tempo das densidades populacionais.

Na Figura 6.3.c mostra-se a acao de controle como uma funcao do tempo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x

y

Diagrama de Fase

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

0 5 10 15 20 25 30−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo

u 1,u

2

Controles

Controle do presa u1Controle do predador u

2

(c)

Figura 6.3: (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito ao controle segundo Vincent.(b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presa e do predador x(t) ey(t). (c) As acoes de controle u1, u2 como uma funcao do tempo.

113

6.3 Controle de Modo Deslizante Estatico

Junger & Steil (2003) apresentaram um novo tipo de movimento de deslizamento que

resulta de uma escolha original das superfıcies de deslizamento. Sugere-se definir estas

de maneira que elas cheguem a ser dependentes explicitamente das saıdas do bloco

descontınuo. Provaram que, sob este projeto, um modo deslizante especial caracteriza

os sistemas dinamicos, chamado de modo deslizante estatico, porque este ocorre ao

longo de um contorno estatico do sistema de malha fechada. Apresenta-se abaixo um

resumo desse trabalho. Este controle e denominado de Controle segundo Junger.

Esquema de Deslizamento Convencional

PSfrag replacements

0

z(t)s(z, t)

Planta

ξ(t)

chattering

Figura 6.4: Diagrama de bloco de um sistema em modo deslizante.

Modos deslizantes estao associados com sistemas que incluem uma funcao vetorial

descontınua

x = a(z, t) +B(z, t) ξ, x(0) 6= 0 (6.23)

ξ = M(z, t) sign(s) (6.24)

no qual x e um vetor de estados da planta n-dimensional, sign(·) e uma funcao vetorial

descontınua r-dimensional, M(z, t) e uma matriz de controle r × r e s = si(z, t)ri e

uma funcao vetorial r-dimensional que define uma superfıcie de comutacao no espaco

de estados. Um diagrama de blocos do sistema de modo deslizante e mostrado na

Figura 6.4.

Alguns esquemas foram desenvolvidos para melhorar o desempenho do sistema sob

o modo deslizante. A mais simples e efetiva solucao do problema de chattering e a

introducao da camada limite (boundary layer) em volta da superfıcie de comutacao.

114

Para resolver o problema de chattering, estrategias de controle baseadas no aumento

dos sistemas descontınuos com subsistemas dinamicos adicionais foram introduzidos.

Estes subsistemas sao livres das dinamicas nao modeladas e proveem um desvio (by-

pass) para o movimento rapido de deslizamento.

Existem duas tecnicas basicas. Na primeira, um subsistema v = g(v, z, ξ) e uti-

lizado como realimentacao (Figura 6.5), e v e um vetor de estados do subsistema

n-dimensional, a superfıcie de deslizamento s(v, t) e entao construıda utilizando estas

coordenadas adicionais v.

PSfrag replacements

0

z(t)v(t)

v = g(v, z, ξ)s(v, t)

Planta

ξ(t)

desvio do modo deslizante

Figura 6.5: Diagrama de bloco do sistema com subsistema dinamico de realimentacao em mododeslizante.

Na segunda proposta, o subsistema adicional ν = θ(ν, ξ), onde ξ = q(ν), e lo-

calizado entre a saıda do bloco descontınuo e a entrada da planta, veja Figura 6.6.

Este subsistema transforma as acoes de controle descontınuas ξ em um controle con-

tınuo filtrado, u. As coordenadas ν sao utilizadas para o projeto das superfıcies de

deslizamento s(ν, z, t).

PSfrag replacements0

z(t)

ν(t)

u(t)ν = θ(ν, ξ)

s(ν, z, t)

Planta

ξ(t)

desvio do modo deslizante

Figura 6.6: Diagrama de bloco do sistema com subsistema feed-forward.

115

Sistemas com Superfıcies de Deslizamento Descontınuas

Consideram-se sistemas dinamicos de malha fechada com superfıcies de deslizamento

descontınuas da forma mostrada na Figura 6.7. Eles consistem em tres blocos, os quais

formam um bypass estatico para o modo deslizante. Assume-se que o bloco dinamico e

governado pelo sistema nao linear (6.23). Aqui, a entrada ξ = ξiri=1 e formada com

a ajuda do primeiro bloco estatico, o qual e descrito pela funcao vetorial

ξ = M(z, t)sign(σ) (6.25)

sendo que M(z, t) e uma matriz r × r que pode ser escolhida apropriadamente e

sign(·) = sign(·) e uma funcao vetorial descontınua r-dimensional.

PSfrag replacements

0

z(t)r(z, t)−D(z, t) ξ

Planta

ξ(t)

Contorno estatico

Figura 6.7: Diagrama de bloco com superfıcie de deslizamento descontınua.

A entrada σ = σiri=1 para (6.25) e a saıda do segundo bloco estatico descrito por

σ = r(z, t)−D(z, t) ξ (6.26)

com r(z, t) = ri(z, t)ri=1 e D(z, t) e uma matriz r × r que tem que ser calculada a

aprtir das propriedades do sistema.

Esse projeto nao convencional da superfıcie de deslizamento σ chega a ser significa-

tivo se define a funcao vetorial descontınua sign(·) para ser um conjunto avaliada no

ponto σ = 0

sign(0) ∈ = ν : νi[1, −1]. (6.27)

Assume-se que a funcao vetorial sign(·) e semi-contınua na origem, i.e., existe um

δ(ε,0) para qualquer ε > 0, de maneira que sign(b) pertenca a uma ε-vizinhanca de

quando b fica na δ-vizinhaca do ponto 0. Para qualquer ponto σ 6= 0, sign(σ) e

116

definida como

sign(σi) =

1, se σi > 0

−1, se σi < 0(6.28)

Essas definicoes implicam que a funcao vetorial sign(·) pode transformar o ponto σ = 0

em pontos diferentes ν ∈ . Apesar de serem mostrado que no sistema de malha fechada

nao existe incertezas na escolha de ν. Baseado na existencia de uma unica solucao z(t)

para (6.23)–(6.26) esses valores sao de fato escolhidos automaticamente pelo sistema.

Modo Deslizante Estatico

Apresentam-se as condicoes suficientes sob as quais existe e ocorre um movimento

de deslizamento no sistema de malha fechada (6.23)-(6.25). Define-se o termo modo

deslizante:

Definicao 2 (Modo deslizante. Definicao V.1 em Junger & Steil (2003)): O sistema

(6.23)-(6.25) e levado a um modo deslizante para algum instante de tempo [t1, t2],

0 ≤ t1 < t2 ≤ ∞, se o conjunto de pontos de descontinuidade do lado direito das

equacoes diferenciais (6.23) tem medida nao nula para t ∈ [t1, t2]. Alem disso, assume-

se que uma solucao z(t) para o sistema (6.23)-(6.25) existe no intervalo [t1, t2].

Teorema 6.1 (Teorema V.1 em Junger & Steil (2003)) Se existem qi > 0 tais que

|ri(z(t), t)| ≤ qi, ∀t ∈ [t1, t2] (6.29)

e M(z(t), t) pode ser escolhido como

M(z(t), t) = D(z(t), t)−1 qiri=1 ∀t ∈ [t1, t2] (6.30)

entao (6.23)-(6.25) esta em um modo deslizante para [t1, t2].

Sob o modo deslizante, obteve-se a definicao da saıda ξ do bloco descontınuo em

(6.25), onde ξ e descrito pela funcao vetorial absolutamente contınua

ξ = D(z(t), t)−1 r(z(t), t). (6.31)

117

Esta equacao mostra como a saıda do bloco descontınuo e escolhida unicamente do

conjunto M(z(t), t) pelo sistema em si enquanto movimenta-se no modo deslizante. A

dinamica resultante do sistema (6.23)-(6.25) no modo deslizante e, portanto, governada

pelo sistema de equacoes diferenciais

x = a(z, t) +B(z, t)D(z(t), t)−1 r(z(t), t). (6.32)

Controle de Modo Deslizante Estatico

Em Junger & Steil (2003) mostrou-se como a proposta de modo deslizante estatico

pode ser efetivamente aplicada para o controle de plantas nao lineares, mostrando

que as funcoes r(z) e D(z) podem ser construıdas efetivamente para uma grande e

interessante classe de sistemas nao lineares. Define-se o controle de modo deslizante da

seguinte maneira:

Definicao 3 (Controle de modo deslizante. Definicao VI.1 em Junger & Steil (2003)):

Se ξ(t) garante σ(t) ≡ 0, ∀t ∈ [t1, t2], entao e denominado controle de modo deslizante.

Considera-se uma planta instavel nao linear

z = a(z) +B(z) ξ, z(0) 6= 0. (6.33)

O objetivo e definir um controle ξ tal que z(t) → 0 para t → ∞. Isto e logrado

mediante uma definicao de uma superfıcie de comutacao conveniente

σ = r(z)−D(z)M(z) sign(σ) (6.34)

sendo que r(z), D(z) devem ser definidas. O teorema seguinte produz condicoes sufici-

entes para a existencia de um tal controle de modo deslizante estatico de estabilizacao

Teorema 6.2 (Teorema VI.1 em Junger & Steil (2003)) Seja v(z) uma funcao vetorial

contınua r-dimensional de forma que z(t)→ 0, sempre que v(z)→ 0. Assuma-se que

det [Jv(z)B(z)] 6= 0 para todo z 6= 0, sendo que Jv(z) e a matriz Jacobiana de v(z),

entao existe um controle estabilizante de modo deslizante estatico.

118

Prova: Prova-se a existencia por construcao. Em relacao a planta (6.33) a

derivada de v(z) e

v = Jv(z) [a(z) +B(z) ξ] . (6.35)

Defina-se o sistema de equacoes diferenciais

v = −Kv (6.36)

sendo que K = diagki > 0 e uma matriz diagonal constante positiva de dimensao

r × r.

Substituindo (6.36) em (6.35) resultando:

Jv(z) (a(z) +B(z) ξ) = −Kv(z). (6.37)

A superfıcie de deslizamento e definida pela relacao seguinte:

σ = Jv(z) (a(z) +B(z) ξ) +Kv(z). (6.38)

Entao, r(z, t) = Jv(z) a(z) + Kv(z), D(z, t) = −Jv(z)B(z) e σ ≡ 0 por construcao.

Agora, o sistema esta em modo deslizante sempre que o controle de modo deslizante

estatico

ξ = − (Jv(z)B(z))−1 (Jv(z) a(z) +Kv(z)) (6.39)

e aplicado. Sob (6.39), a igualdade (6.36) e mantida. Portanto, v(z) → 0 e, daqui,

z(t)→ 0.


Considere-se um sistema nao linear do tipo Lotka–Volterra que deseja se estabilizar

com a ajuda da proposta do modo deslizante estatico. Assume-se que a planta (6.33)

tem os parametros seguintes:

a(z) =

r1 x− a x y

−r2 y + b x y

,B(z) =

−x−y

. (6.40)

119

Observacao 6.1 Note que o controle de modo deslizante estatico e aplicado as duas

especies.

Escolhe-se a funcao v(z) como [x− xth y− yth]. O Jacobiano Jv(z)B(z) = [−x − y]e nao nulo para todo z 6= 0.

O correspondente controle estabilizador contınuo de modo deslizante estatico (6.39)

tem a forma

ξ =r1 x− a x y − r2 y + b x y + k (x− xth) + k (y − yth)

x+ y. (6.41)

O sistema Lotka–Volterra sob o controle de modo deslizante estatico fica como segue

x = r1 x− a x y − x ξ,

y = −r2 y + b x y − y ξ.(6.42)


segundo Junger

Na Figura 6.8 mostra-se a dinamica do sistema Lotka–Volterra sujeito ao controle de

modo deslizante estatico.

6.4 Imersao e Invariancia para Estabilizacao de Sis-

temas Nao Lineares

A tecnica de Imersao e Invarianca para estabilizar sistemas nao lineares foi desenvolvida

em Astolfi & Ortega (2003). Faz-se aqui um resumo do dito trabalho, no qual um novo

metodo de projeto de leis de controle de estabilizacao assintotica e adaptativo para

sistemas nao lineares e analisado, fazendo uso de duas ferramentas classicas da teoria

de reguladores nao lineares; O controle nao linear geometrico da imersao de sistemas e

a invarianca de variedades. Este controle e denominado de Controle I & I.

Considere-se o sistema

z = f(z, u)

e o problema de estabilizacao basico de achar (sempre que seja possıvel) uma lei de

120

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

Diagrama de Fase

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

0 5 10 15 20 25 30−2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tempo

u1,u2

Controles

Controle do presa u1Controle do predador u

2

(c)

Figura 6.8: (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito ao controle contınuo de mododeslizante estatico. (b) Evolucao no tempo das densidades populacionais da presae do predador x(t) e y(t). Valores dos parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1,k = 1.25, xth = 1.25 e yth = 0.75. (c) A acao de controle como uma funcao do tempo.

controle de realimentacao de estados

u = u(z)

de maneira que o sistema em malha fechada e local e (globalmente) assintoticamente

estavel. O procedimento proposto em Astolfi & Ortega (2003) consiste de dois passos:

1. Achar um sistema dinamico alvo

ξ = α(ξ)

o qual e local e (globalmente) assintoticamente estavel e de dimensao estritamente

121

menor que a dimensao de z, um mapeamento

z = π(ξ),

e a funcao c(z), tal que

f(π(ξ), c(π(ξ))) =∂π(ξ)

∂ξα(ξ)

i.e., qualquer trajetoria do sistema z = f(z, c(z)) e a imagem atraves do mapea-

mento π(·) de uma trajetoria do sistema alvo. Note que o mapeamento

π : ξ → z

e uma imersao, i.e., o posto de π e igual a dimensao de ξ.

2. Aplicar um controle que torna a variedade

z = π(ξ)

atrativa e conserva as trajetorias limitadas da malha fechada. Desta maneira

observa-se que o sistema de malha fechada tera um comportamento assintotico

como o sistema alvo e a estabilidade sera garantida. Esta reformulacao do pro-

blema de estabilizacao e implıcita em controle de modo deslizante, pois as dina-

micas alvo sao as dinamicas do sistema na variedade deslizante, o qual e feito

atrativo com um controle descontınuo, enquanto c(z) e chamado controle equiva-

lente.

Resultado Principal em Astolfi & Ortega (2003)

O resultado principal e apresentado como o Teorema 1 em Astolfi & Ortega (2003,

Secao II.A) e este Teorema e reescrito a seguir.

Teorema 6.3 Considere-se o sistema

z = f(z) + g(z)u (6.43)

122

com estado z ∈ Rn e controle u ∈ Rm, com um ponto de equilıbrio x∗ ∈ Rn para ser

estabilizado. Seja p < n e assume-se que se pode achar mapeamentos

α(·) : Rp → RP π(·) : Rp → Rn c(·) : Rp → Rm

φ(·) : Rn → Rn−p ψ(·, ·) : Rn×(n−p) → Rm

tal que o seguinte e mantido

H1) (Sistema alvo) O sistema

ξ = α(ξ) (6.44)

com estado ξ ∈ Rp, tem um equilıbrio global e assintoticamente estavel em ξ∗ ∈ Rp

e x∗ = π(ξ∗).

H2) (Condicao de Imersao) Para todo ξ ∈ Rp

f(π(ξ)) + g(π(ξ)) c(π(ξ)) =∂π

∂ξα(ξ). (6.45)

H3) (Variedade Implıcita) O seguinte conjunto de identidade se mantem

z ∈ Rn | φ(z) = 0 = z ∈ Rn | z = φ(ξ) para algum ξ ∈ Rp. (6.46)

H4) (Atratividade da variedade e trajetoria limitada) Todas as trajetorias do sistema

v =∂φ

∂z[f(z) + g(z)ψ(z, v)] (6.47)

z = f(z) + g(z)ψ(z, v) (6.48)

sao limitadas e satisfazem

limt→∞

z = 0. (6.49)

Entao x∗ e um equilıbrio global e assintoticamente estavel do sistema em malha

fechada

z = f(z) + g(z)ψ(z, φ(z)). (6.50)

123


Na linha do exemplo de Astolfi & Ortega (2003, Secao V , Ex. A) considera-se o sistema

de tipo Lotka–Volterra com um controle do tipo I & I aplicado somente no predador

como se mostra a seguir

x = r1 x− a x y

y = −r2 y + b x y + u2(6.51)

com z = [x y]T , u2 ∈ R, n = 2, p = m = 1 e os mapeamentos sao

α(·) : R → R π(·) : R → R2 c(·) : R → R

φ(·) : R2 → R ψ(·, ·) : R2×1 → R

H1) Escolhe-se o sistema

ξ = −ξ + xth (6.52)

com ξ ∈ R e tem um equilıbrio global e assintoticamente estavel em ξ∗ = xth e o

mapeamento deve satisfazer

x∗ = π1(ξ∗) = xth

y∗ = π2(ξ∗)

entao

x = π1(ξ) = 2 ξ − xth

da primeira equacao de (6.51) tem-se

2(−ξ + xth) = r1 (2 ξ − xth)− a (2 ξ − xth)π2

entao

π2 =r1 (2 ξ − xth) + 2 ξ − 2xth

a (2 ξ − xth).

124

H2) c e definido de

−r2 π2 + b (2 ξ − xth)π2 + c(ξ) =∂π2∂ξ

(2 ξ − xth).

H3) A variedade z = π(ξ) pode ser descrita por

φ(x, y) = y − r1 x+ x− xtha x

H4) A dinamica da variedade (6.47) e calculada de

v =∂φ

∂z[f(z) + g(z)ψ(z, v)]

entao

v =(

− xtha x2

1)

r1 x− a x y

−r2 y + b x y + ψ(z, v)

v = − xtha x2

(r1 x− a x y)− r2 y + b x y + ψ(z, v).

O projeto I & I fica completo escolhendo

ψ(z, v) =xtha x2

(r1 x− a x y) + r2 y − b x y − v,

o qual gera a dinamica de malha fechada

x = r1 x− a x y

y = − xtha x2

(r1 x− a x y)− v

v = −v.

(6.53)

Da ultima equacao e claro que (6.49) se mantem, daqui, so falta demonstrar que

todas as trajetorias de (6.53) sao limitadas. Considera-se a transformacao de

coordenadas

η = y − r1 x+ x− xtha x

125

resultando

x = −(a η + 1)x+ xth

η = −vv = −v.

(6.54)

Note que x(t), η(t) e v(t) sao limitadas e o controle tem a seguinte forma

u2 = ψ(z, v)− η =xtha x2

(r1 x− a x y) + r2 y − b x y − y +r1 x+ x− xth

a x.

Comportamento do Moldeo Lotka–Volterra sujeito ao Controle

segundo Astolfi

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

Diagrama de Fase

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tempo

x,y

Presa e Predador

PresaPredador

(a) (b)

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Tempo

u 2

Controle

Controle do predador u2

(c)

Figura 6.9: (a) Diagrama de fase do modelo Lotka–Volterra sujeito ao controle I & I. (b) Evolucaono tempo das densidades populacionais da presa e do predador x(t) e y(t). Valoresdos parametros r1 = 1, r2 = 1, a = 1, b = 1, k = 1 e xth = 2. (c) A acao de controlecomo uma funcao do tempo.

Na Figura 6.9 mostra-se a dinamica do sistema Lotka–Volterra sob o efeito de um

126

controle do tipo I & I.

6.5 Discussao das Diferentes Tecnicas de Controle

Utiliza-se a terminologia estabelecida na secao 1.3. Para efeitos comparativos, apresenta-

se e descreve-se as caracterısticas de cada uma das tecnicas a seguir:

Controle segundo Emel’yanov et al. (1998)

Expressao matematica do controle:

u = − s

‖s‖ Ψ(‖s‖ , σ) F (z, t).

1. Difıcil de implementar, o calculo do fator de esforco Ψ (‖s‖ , σ) depende das esti-

mativas das derivadas parciais (ver secao 2.2.1).

2. Nao negatividade, i.e., o controle e realizado pela remocao de uma proporcao da

densidade de uma determinada especie (predador).

3. Utiliza monitoracao de duas especies (realimentacao de estados).

4. Acarreta coexistencia de especies, i.e., o equilıbrio e um ponto dentro de uma

regiao no primeiro quadrante.

Controle segundo Astolfi & Ortega (2003) (I & I)


u2 =xtha x2

(r1 x− a x y) + r2 y − b x y − y +r1 x+ x− xth

a x.

1. Difıcil de implementar, pois o calculo do controle depende do conhecimento exato

dos parametros do sistema.


densidade de uma determinada especie.


127

4. Acarreta coexistencia de especies.

Controle segundo Junger & Steil (2003)


ξ =r1 x− a x y − r2 y + b x y + k (x− xth) + k (y − yth)

x+ y.


dos parametros do sistema.

2. Negatividade, i.e., o controle e realizado pela remocao e injecao de uma proporcao

da densidade de uma determinada especie.



Controle segundo Fradkov & Pogromsky (1998)


u = −γ (x− 1− log(x) + y − 1− log(y)−W∗) (y − 1).


dos parametros do sistema e, adicionalmente, depende da existencia de uma pri-

meira integral.




4. Acarreta coexistencia de especies, i.e., o equilıbrio pode ser um ponto de equilıbrio

ou um ciclo limite.

128

Controle segundo Vincent et al. (1985)


∂V

∂x= 1− x∗

x, e1

p1 =

−ρ1 (e1) se |e1| > ζ

−ρ1 e1/ζ se |e1| ≤ ζ

−ρ1 exp[−l1(ω − d)] (e1) se ω > d

1. Difıcil de implementar, o calculo do controle depende da derivada parcial da

funcao de Liapunov.





Controle Proposto


Controle proposto = ε2 y φ(τ)

1. Facil de implementar, nao depende do conhecimento dos parametros do sistema.


densidade de uma determinada especie.

3. Exige monitoracao de uma unica especie (realimentacao de saıda).


129

Tabela Resumo do Estudo Comparativo

Tabela 6.1: Tabela Resumo do Estudo Comparativo

PSfrag replacementsCaracterısticas

ControleImplementabilidade Nao

negatividadeMonitoracao

Emel’yanov

Fradkov

Vincent

Junger

I & I

Proposto

Difıcil

Difıcil

Difıcil

Difıcil

Difıcil

Facil

Sim

Sim

Sim

Nao

Nao

Nao

2 especies

2 especies

2 especies

2 especies

2 especies

1 especie

130

Capıtulo 7

Conclusoes e Trabalhos Futuros

Conclusoes

Uma ampla classe de modelos do tipo predador-presa pode ser descrita como um sistema

dinamico nao linear, no qual e aplicado um controle na dinamica de uma das especies:

x = x f1(x)− xu. (7.1)

x(t) = x f1(x)− f2(x) y,

y(t) = f3(x) y − y u2.(7.2)

sendo que a variavel de estado x e a densidade das presas e y e a densidade dos

predadores.

1. Especificamente, demonstra-se nesta tese que, para praticamente todos os mo-

delos comumente utilizados em ecologia matematica, um controle on-off adequa-

damente escolhido permite colheita (=remocao de uma especie), sem provocar

extincao. Mostra-se ainda que este tipo de controle possui vantagens em situa-

coes para os quais ha super-exploracao das populacoes. Finalmente, observa-se

que o controle chaveado projetado herda as boas caracterısticas de robustez ja

conhecidas do controle a estrutura variavel em geral.

2. A combinacao de conceitos de equilıbrio virtual, funcoes de Liapunov de controle,

controles on-off e a ideia de backstepping serve para introduzir um equilıbrio

globalmente estavel em modelos nao lineares comumente utilizados em ecologia

131

matematica.

3. O controle proposto satisfaz as seguintes restricoes: (i) simplicidade de imple-

mentacao nao dependendo do conhecimento dos parametros do modelo; (ii) vi-

abilidade biologica, i.e., o controle e realizado pela remocao de uma proporcao

da populacao de uma determinada especie (predador); (iii) minimizacao de mo-

nitoracao: se aplicado a uma especie, so e preciso monitorar essa especie; (iv)

obtencao de sustentabilidade ou coexistencia de especies: evita a extincao da

especie no caso unidimensional ou permite a coexistencia das especies no caso

bidimensional.

Resumo das contribuicoes desta tese

1. Formulacoes explıcitas das metodologias de controle apresentadas em Costa et al.

(2000), e Emel’yanov et al. (1998).

2. Controle de sistemas unidimensionais. Os modelos de dinamica populacional

abordados nesta tese incluem os de Noy-Meir (1975) e Collie & Spencer (1993).

3. Controle de sistemas herbıvoro-vegetacao-agua. O modelo dinamico abordado

nesta tese e o de Van de Koppel & Rietkerk (2000).

4. Controle de sistemas bidimensionais do tipo dependentes da densidade. Os mo-

delos abordados nesta tese incluem os modelos classicos de Lotka–Volterra e

Rosenzweig–MacArthur.

5. Controle de sistemas bidimensionais do tipo dependentes da razao. Os modelos

abordados nesta tese incluem o adimensional e do tipo Gause.

6. Estudo comparativo de diversas abordagens de controle nao linear no contexto de

modelos predador-presa. Os controles considerados para o estudo comparativo

sao o de Emel’yanov et al. (1998), Fradkov & Pogromsky (1998), Vincent et al.

(1985), Junger & Steil (2003) e Astolfi & Ortega (2003).

132

Trabalhos Futuros

1. Um crescente interesse em achar protocolos (i.e. controles) de uma forma siste-

matica, para aplicacoes na biologia, como por exemplo estabilizar as populacoes

de vırus em nıveis baixos, vem sendo observado nos ultimos anos. Entretanto,

existem poucos resultados que indicam como achar esses protocolos. Um futuro

trabalho seria estender o controle proposto para modelos semelhantes de dina-

mica de vırus (Nowak & May 2000), conforme em Wein, Zenios & Nowak (1997),

que utilizaram um controle do tipo on-off com comutacao no tempo, i.e. a estra-

tegia de tratamento, ou controle, consiste na aplicacao de drogas potentes para

controlar a duplicacao do vırus. Menciona-se tambem trabalhos em problemas

de quimioterapia, uma area correlata, no qual faz-se o tratamento das celulas tu-

morais mediante injecao de drogas, com os seguintes trabalhos Costa, Boldrini &

Bassanezi (1994), Costa, Boldrini & Bassanezi (1995), Costa & Boldrini (1997b),

Costa & Boldrini (1997a) e Boldrini & Costa (2000).

2. Modelos de dimensao maior. Entre este tipo de modelos estao aqueles que consi-

deram um predador e duas presas, para os quais poder-se-ia estender a aplicacao

do controle proposto. Um outro modelo de dimensao maior e do quimeostato

simples do tipo dois nutrientes e uma fonte de alimento sujeito a uma polıtica

de limiar que permite a coexistencia dos microorganismos. Um futuro trabalho

seria analisar com maiores detalhes este tipo de sistemas, seguindo a literatura

em relacao a este topico por exemplo, Smith & Waltman (1995), Bohannan &

Lenski (1997), Meza, Costa, Bhaya & Kaszkurewicz (2002).

3. No contexto de controle biologico deseja-se que a populacao da peste seja levada

a extincao. Os modelos dependentes da razao apresentam esta caracterıstica para

determinada faixa de valores dos parametros do sistema. Um futuro trabalho seria

analisar a possibilidade de que o controle proposto nesta tese possa satisfazer a

caracterıstica desejada no contexto de controle biologico (Hsu et al. 2003).

4. Desejar que um sistema de populacoes de especies estabilize em um ponto de

equilıbrio desejado e um exigencia bastante rigorosa. Portanto um futuro trabalho

e estudar a possibilidade de que uma variacao do controle proposto com histerese

133

que e mais realista e que tambem permitiria que o sistema de populacoes estabilize

em uma orbita limitada. Oscilacoes em sistemas biologicos vem sendo observado

ha muito tempo (May 1972, Beddington, Free & Lawton 1975, Mackey & Glass

1977, Steele & Henderson 1984) e uma possıvel variacao do controle poderia ser

feita segundo o trabalho de Takahashi, Peres & Barbosa (1999).

5. No mundo real, a taxa de crescimento da populacao de uma especie frequente-

mente nao responde de forma imediata a mudancas na sua propria populacao ou

interacao entre especies, porem responde depois de um atraso de tempo. Assim os

efeitos de uma super pastagem ao inves de depender da populacao atual dos her-

bıvoros, passam a depender da populacao em um instante anterior, sendo que o

atraso e igual ao tempo caracterıstico de regeneracao da vegetacao. A inclusao de

tais atrasos de tempo nas equacoes dos modelos tende a ter uma influencia deses-

tabilizadora. Esta caracterıstica destabilizadora de atraso no tempo, no contexto

ecologico (em sistemas de uma especie), foi notada ha trinta anos (May 1973b),

levando, em parte, ao estudo de caos. Precisa-se fazer um estudo rigoroso em

relacao aos efeitos de atraso do controle proposto. Existe uma vasta literatura

em relacao a este topico por exemplo, Tarbouriech, Peres, Garcia & Queinnec

(2000), Mazenc & Niculescu (2000), Mazenc & Niculescu (2001), Richard, Gou-

aisbaut & Perruquetti (2001), Gouaisbaut, Dambrine & Richard (2002), Richard

(2003), porem estes trabalhos consideram principalmente modelos lineares e/ou

atrasos no vetor de estados, de modo que seria necessario propor extensoes para

o caso de atrasos nas entradas (=controles).

6. A analise de bifurcacao vem sendo aplicada as dinamicas populacionais. Uma

analise de bifurcacao dos sistemas considerados sujeitos ao controle proposto e

relevante. Existe uma ampla literatura em relacao a analise de bifurcacao em

sistemas controlados: por exemplo, Lewis, Ucar & Bishop (1998), Moreno, Peres

& Bonatti (1999), Kuznetsov, Rinaldi & Gragnani (2002), Dercole, Gragnani

& Rinaldi (2002), Dercole, Gragnani, Kuznetsov & Rinaldi (2003), Kuznetsov,

Rinaldi & Gragnani (2003), Barreiro, Aracil & Pagano (2003), Cunha, Pagano &

Moreno (2003).

7. Controle de sistema caoticos por meio de modos deslizantes vem sendo estudados

134

(Yu 1996, Vincent 1997, Konishi, Hirai & Kokame 1998), e, desde os trabalhos

pioneiros de May (1973a), sabe-se do surgimento de caos em modelos uni– e

bi–dimensionais do tipo considerado nesta tese.

135

136

Apendice A

Conceitos basicos: Sistemas

Dinamicos Nao Lineares

Neste Apendice sao mostrados alguns conceitos que serao utilizados ao longo da tese,

a saber: sistemas nao lineares, plano de fase, pontos de equilıbrio, isoclina, ciclo limite,

funcoes de Liapunov.

A.1 Sistemas Nao Lineares

Um sistema dinamico nao linear e descrito pela seguinte equacao

z = f(z, t) (A.1)

na qual z ∈ Rn e o vetor de estados do sistema, t e o tempo, e f(z, t) e em geral uma

funcao nao linear localmente Lipschitz. Para os efeitos desta tese, considera-se um

sistema de dimensao dois, z ∈ R2, portanto nosso sistema pode ser descrito por

z =

x = fa(x, y)

y = fb(x, y)(A.2)

no qual x e y sao os estados do sistema, z ∈ R2, f = [fa fb]T , fa e fb sao em forma

geral nao lineares em relacao a x e y 1. Maiores detalhes em relacao a sistemas nao

1O superındice T denota que deve-se de tomar o transposto.

137

lineares, podem ser encontrados em Cook (1986), Slotine & Li (1991) e Khalil (1992).

Um sistema de segunda ordem pode ser estudado graficamente no plano de fase.

A.2 Plano de Fase

O plano de fase esta relacionado com o estudo grafico de sistemas de segunda ordem

descritos por

x = fa(x, y)

y = fb(x, y)(A.3)

nos quais x e y sao os estados do sistema, fa e fb sao funcoes nao lineares dos estados

do sistema. Geometricamente, o espaco de estados deste sistema e um plano que tem

como coordenadas x e y. Este plano e denominado plano de fase. Dado um conjunto de

condicoes iniciais z0, a equacao (A.3) define uma solucao z(t). Em funcao do tempo,

a solucao z(t) pode ser representada geometricamente como uma curva no plano de

fase. Tal curva no plano de fase e chamada de trajetoria. Uma famılia de trajetorias

no plano de fase correspondentes a varias condicoes iniciais e chamada de retrato de

fase de um sistema. Os pontos que indicam como a dinamica do sistema se comporta

no plano de fase, sao os pontos singulares ou pontos de equilıbrio.

A.3 Pontos de Equilıbrio

Um ponto singular e um ponto de equilıbrio, zeq = [xeq yeq]T , no plano de fase. Um

ponto de equilıbrio e um ponto no qual os estados do sistema podem permanecer para

sempre, Slotine & Li (1991), sua localizacao pode ser obtida resolvendo-se x = 0 e

y = 0 para os estados x e y, i.e.,

f(z, t) = 0, ou fa(x, y) = 0 e fb(x, y) = 0. (A.4)

Assumindo que f(z, t) e suave o suficiente para que as equacoes sejam linearizadas

em volta do ponto singular zeq, a aproximacao linear e dada por

z = Az (A.5)

138

com

A = ∇zf(zeq)

e, contanto que A seja nao singular, ∇zf e o Jacobiano de f , esta aproximacao sera

suficiente para determinar o comportamento das trajetorias na vizinhanca dos pontos

de equilıbrio. A natureza do equilıbrio e determinada essencialmente pelos autovalores

de A. Para sistemas de segunda ordem existe uma detalhada classificacao convencional,

com se mostra na Tabela A.1.

Tabela A.1: Classificacao convencional dos Pontos de Equilıbrio para Sistemas deSegunda Ordem

no estavel : autovalores reais e negativosfoco estavel : autovalores complexos conjugados, com parte real negativano instavel : autovalores reais e positivosfoco instavel : autovalores complexos conjugados, com parte real positivasela : autovalores reais e de sinal opostocentro : autovalores imaginarios conjugados puros.

Estes tipos de pontos tambem sao classificados como pontos de equilıbrio estaveis

ou instaveis.

A.4 Estabilidade e Instabilidade

Considera-se um sistema

z = f(z, t)

o qual tem seu equilıbrio na origem, z = 0.

Definicao 4 O estado de equilıbrio z = 0 e dito ser estavel se, para qualquer R > 0,

existe r > 0, tal que se ‖z(0)‖ < r, entao ||z(t)|| < R para todo t ≥ 0. De outro modo,

o ponto de equilıbrio e instavel.

Essencialmente, estabilidade (tambem denominada de estabilidade no sentido de

Liapunov, ou estabilidade de Liapunov) significa que as trajetorias do sistema iniciadas

suficientemente perto da origem podem ser mantidas arbitrariamente perto dela.

Os ecologistas descrevem a estabilidade de duas formas:

139

• Estabilidade de persistencia: variacao na abundancia da especie em volta de al-

gum equilıbrio ou estado medio; especies com baixa variabilidade sao consideradas

mais estaveis do que aquelas com alta variabilidade.

• Estabilidade de resiliencia: capacidade do sistema de retornar a seu estado previo

seguido de uma perturbacao; um retorno rapido significa uma estabilidade maior

do sistema.

Estas definicoes podem ser observadas em Holling (1973), Beddington, Free & Lawton

(1976), Walker et al. (1981), Holling (1996), Holyoak (2000), Nystrom, Folke & Moberg

(2000), Gunderson, Holling, Pritchard & Peterson (2002).

A.5 Isoclinas

Uma isoclina e definida como o lugar geometrico dos pontos com uma dada inclinacao

tangencial. Uma isoclina com inclinacao α e definida como (x, y) tal que

dx

dy=fb(x, y)

fa(x, y)= α.

No metodo das isoclinas, o retrato de fase de um sistema e gerado em dois passos.

No primeiro passo, um campo de direcoes das tangentes as trajetorias e obtido. No

segundo passo, as trajetorias no plano de fase sao formadas do campo de direcoes.

A.6 Ciclo Limite

No plano de fase, um ciclo limite e definido como uma curva fechada isolada. A tra-

jetoria tem que ser fechada, indicando a natureza periodica do movimento, e isolada,

indicando a natureza limitada do ciclo (com trajetorias proximas convergindo ou di-

vergindo do ciclo limite). Podemos diferenciar tres tipos de ciclo limite: (i) todas as

trajetorias na vizinhanca do ciclo limite convergem a ele; neste caso o ciclo limite e de-

nominado estavel; (ii) todas as trajetorias na vizinhanca do ciclo limite divergem dele:

o ciclo limite e instavel; (iii) algumas trajetorias convergem a ele, enquanto outras

divergem dele: o ciclo limite e semi-estavel.

140

A.7 Funcoes de Liapunov

Supondo que o sistema em malha fechada z = f(z, t) tenha uma solucao de estado

estacionaria em z = 0, a funcao de Liapunov sera conhecida como um funcional V1(z)

para o qual V1(z) ≥ 0, V1(z) = 0⇐⇒ z = 0 e dV1(z)/dt ≤ 0 considerando o sistema. A

seguinte afirmacao e valida: se uma funcao de Liapunov existe, entao a solucao z = 0

e estavel no sentido de Liapunov. Este resultado e usado para projetar um controle da

seguinte maneira: se for necessario dar a solucao z = 0, a propriedade de estabilidade

no sentido de Liapunov fixa-se em um certo funcional e assume-se uma forma de acao de

controle a fim de prover este funcional com as propriedades de uma funcao de Liapunov

(Emel’yanov et al. 1998).

Em outras palavras, uma maneira de estabilizar um sistema nao linear e selecionar

uma funcao de Liapunov V1(z) e entao tentar achar um controle de realimentacao de

estados uτ que torna V1(z, uτ ) negativa definida. Com uma escolha arbitraria de V1(z)

esta tentativa pode falhar, mas se V1(z) e uma Funcao de Controle de Liapunov, (CLF

do ingles), se pode achar uma lei de controle de estabilizacao uτ . Para o sistema nao

linear

z = f(z) + g(z)uτ (A.6)

V1(z) e uma CLF se, para todo z 6= 0,

LgV1(z) = 0 =⇒ LfV1(z) < 0. (A.7)

Por teoremas opostos, se (A.6) e estabilizavel, uma CLF existe. De (A.7), observa-se

que o conjunto no qual LgV1(z) = 0 e significante, porque neste conjunto o sistema

nao controlavel tem a propriedade LfV1(z) < 0. Se acontecer de LfV1(z) > 0 quando

LgV1(z) = 0, entao V1(z) nao e uma CLF e nao pode ser utilizada para o projeto de

estabilizacao de realimentacao (uma observacao que ajuda eliminar candidatas CLF

inadequadas, Kokotovic & Arcak (2001)).

141

142

Apendice B

Modelos Unidimensionais sujeitos a

Polıtica de Limiar

B.1 Termos do Modelo Collie–Spencer

B.1.1 Termos do Sistema Livre

T free1 =

(

72gxmaxd2 − 36cx2max + 8x3maxg + 12 2

√

3T3

)

g2,

T free2 =

3gd2 + 3cxmax − x2maxg

(T1)13

,

T free3 =

(4g3d2 − c2g)x4max + (4c3 − 20g2d2c)x3max + (8g3d4 + 12gd2c2)x2maxg

+12g2d4cxmax + 4g3d6

g.

143

B.1.2 Termos do Sistema Controlado

T con1 = −72xmaxεg2d2 + 36εgcx2max − 8x3maxε

3 + 24x3maxε2g − 24εx3maxg

2 + 72xmaxg3d2

−36g2cx2max + 8x3maxg3 + 12 2

√

3T3,

T con2 =

3g2d2 + 3gcxmax − x2maxε2 + 2x2maxεg − x2maxg

2

g (T1)13

,

T con3 = (−20gd2cx3maxε2 + 40g2d2cx3maxε+ 8g4d4x2max + 4gc3x3max − g2c2x4max

+4g4d2x4max − 16g3d2x4maxε− 16gd2x4maxε3 + 24g2d2x4maxε

2 − 16g3d4x2maxε

+12g2d2c2x2max − 20g3d2cx3max + 4d2x4maxε4 + 12g3d4cxmax + 8g2d4x2maxε

2

−c2x4maxε2 + 2gc2x4maxε+ 4g4d6)g.

B.1.3 Termos do Sistema com Polıtica Contınua

T cc1 = −36xmaxεg2d2 + 18εgcx2max − x3maxε

3 + 6x3maxε2g − 12εx3maxg

2 + 72xmaxg3d2

−36g2cx2max + 8x3maxg3 + 6 2

√

3T3,

T cc2 =

12g2d2 + 12gcxmax − x2maxε2 + 4x2maxεg − 4x2maxg

2

g (T1)13

,

T cc3 = (−20gd2cx3maxε2 + 80g2d2cx3maxε+ 32g4d4x2max + 16gc3x3max − 4g2c2x4max

+16g4d2x4max − 32g3d2x4maxε− 8gd2x4maxε3 + 24g2d2x4maxε

2 − 32g3d4x2maxε

+48g2d2c2x2max − 80g3d2cx3max + d2x4maxε4 + 48g3d4cxmax + 8g2d4x2maxε

2

−c2x4maxε2 + 4gc2x4maxε+ 16g4d6)g.

B.2 Polıtica de Limiar com Taxa de Consumo do

Tipo Holling II e III

Para mostrar a generalidade do conceito de polıtica de limiar e equilıbrio virtual, esta

secao mostrara o comportamento de um modelo de vegetacao-herbıvoro similar ao

estudado no capıtulo 3, com excecao de que agora as curvas de taxa de consumo sao

escolhidas do tipo Holling II e III (veja Collie & Spencer (1993), Gurney & Nisbet (1998)

e Quinn & Deriso (2000) para uma discussao das curvas tipo Holling). Neste caso, so

se fara uma analise grafica. Os cırculos abertos (cor branca) representam pontos de

144

equilıbrio instaveis, os cırculos solidos (cor negra) representam o ponto equilıbrio de

deslizamento e os cırculos cinzas representam pontos de equilıbrio virtuais estaveis.

1. Taxa de Consumo do Tipo Holling II c(x)

Neste caso a taxa de consumo de vegetacao e da seguinte forma:

c(x) =cmax x

p+ x.

Para diferentes valores de cmax, as seguintes possibilidades acontecem: cmax1 <

cmax2 < cmax3 (veja Figuras B.1.a, B.1.b e B.1.c).

PSfrag replacements

xth x0

C(x)

C(x), G(x)Limiar

cmax1

xmaxxcc2

Equilıbrio deDeslizamento

PSfrag replacements

xth x0

C(x)

C(x), G(x)Limiar

cmax2

xmaxxcc3xcc

2

Equilıbrio de

Deslizamento

(a) (b)

PSfrag replacements

xth = xmax2 x0

C(x)C(x), G(x)

Limiar

cmax3

xmax

(c)

Figura B.1: (a) Curva de consumo Holling tipo II, cmax1. Dois pontos de interseccao com a curva

logıstica. (b) Curva de consumo Holling tipo II. Tres pontos de interseccao com acurva logıstica, cmax2

. (c) Curva de consumo Holling tipo II, cmax3. Somente um

ponto de interseccao com a curva logıstica.

2. Taxa de Consumo do Tipo Holling III c(x)

Neste caso a taxa de consumo de vegetacao e da seguinte forma:

c(x) =cmax x

2

p2 + x2.

145

Dependendo do valor de cmax, os seguintes casos acontecem: cmax1 < cmax2 (veja

Figuras B.2.a e B.2.b).

PSfrag replacements

xth = xmax2 x0

C(x)C(x), G(x) Limiar

cmax1

xmax

PSfrag replacements

xth x0

C(x)

C(x), G(x)

Limiar

cmax2

xmax

(a) (b)

Figura B.2: (a) Curva de consumo Holling tipo III, cmax1. Dois pontos de interseccao com a

curva logıstica. (b) Curva de consumo Holling tipo III, cmax2. Quatro pontos de

interseccao com a curva logıstica.

Observacao B.1 Uma caracterıstica interessante que surge e que, no pior caso, quando

o unico ponto de equilıbrio para o sistema com pastagem e a origem xcc2 , (Figura B.1.c)

o valor do limiar xth do equilıbrio, sob a polıtica de limiar ou a polıtica de limiar con-

tınua, pode ser escolhido livremente em qualquer ponto no intervalo [0 xmax] porque

cmax > g. Em particular, para uma curva de crescimento logıstica, este poderia ser

substituido por xmax/2 maximizando o consumo de vegetacao pelos herbıvoros.

146

Apendice C

Prova do Teorema de Estabilidade

Global para o Modelo

Rosenzweig–MacArthur

O modelo Rosenzweig-MacArthur sujeito a uma colheita no predador com uma polıtica

de limiar e como segue

x = rx(

1− x

K

)

− yx

x+ A(C.1)

y =sA(x− J)

(J + A)(x+ A)y − y u2 (C.2)

u2 = ε2 φ(τ)

no qual ε2 e o esforco de controle e φ(τ) e uma polıtica de limiar definida como em

(1.13).

Daqui em diante, a equacao (C.1) sera denominada como o primeiro subsistema e

a equacao (C.2) sera denominada como o segundo subsistema.

No primeiro subsistema, considera-se y = u1 como um controle fictıcio. Escolha-se

uma CLF de maneira que o equilıbrio desejado do primeiro subsistema seja xd,

V1 =1

2(x− xd)

2

147

entao, calculando a derivada de V1 em relacao ao tempo obteve-se:

V1 = (x− xd)x =(x− xd)x

K(x+ A)r (K − x) (x+ A)−K u1 =

(x− xd)x

K(x+ A)q(x)

sendo que:

q(x) = r (K − x) (x+ A)−K u1

e, para que V1 < 0, deve-se ter:

q(x) > 0, para x < xd (C.3)

e

q(x) < 0, para x > xd. (C.4)

Como deseja-se utilizar um controle simples, a escolha de u1 e da seguinte maneira:

u1 = εx. (C.5)

Se u2 puder ser escolhido de maneira que u1 seja mantido neste valor, entao o ponto

de equilıbrio no primeiro subsistema e calculado de

p(x) = rx(

1− x

K

)

− εx2

x+ A= 0,

o qual implica que

xeq1 = 0, ou xeq2,3 =r(K − A)− εK ±

√

(εK − r(K − A))2 + 4r2AK

2r.

O equilıbrio desejado deve ser um valor positivo, entao

xd = xeq2 =r(K − A)− εK +

√

(εK − r(K − A))2 + 4r2AK

2r.

Para demonstrar a estabilidade de xd pode-se reescrever p(x) e q(x) considerando

(C.5) como

p(x) =x

K(x+ A)

[

rAK + (r(K − A)− εK)x− rx2]

=x

K(x+ A)q(x)

148

sendo que

q(x) = r AK + (r (K − A)− εK) x− r x2

e como xd e um equilıbrio de q(x), i.e. na esquerda de xd a funcao q(x) e positiva, e na

direita de xd a funcao q(x) e negativa, como pode ser observado na Figura C.1

x =r(K − A)− εK

2r< xd.

PSfrag replacements

xx

q(x)

0 xd

+

−

Figura C.1: Representacao grafica de q(x).

Portanto, u1 e definida como εx porque satisfaz (C.3) e (C.4). Ate aqui, demons-

tramos a estabilidade local do sistema em volta do ponto de equilıbrio xd.

C.1 Analise do Plano de Fase

Para o segundo subsistema

τ = y − u1 = y − εx. (C.6)

O limiar τ := y− εx divide R2 em duas regioes. Em cada regiao o sistema tem uma

estrutura diferente. Seja G1 a regiao correspondente a τ > 0, onde o controle e ε2 y e

G2 a regiao correspondente a τ < 0, onde o controle e 0. A dinamica do sistema em

cada regiao e:

G1 :

x = rx(

1− xK

)

− xyx+A

,

y = sA(x−J)(J+A)(x+A)

y − ε2y,(C.7)

G2 :

x = rx(

1− xK

)

− xyx+A

,

y = sA(x−J)(J+A)(x+A)

y.(C.8)

149

Analise dos Pontos de Equilıbrio

Considerando-se o sistema (C.1-C.2) com um controle do tipo limiar, dada a dinamica,

calcula-se o Jacobiano da mesma para este tipo de controle,

J(x,y) =

r − 2rKx− Ay

(x+A)2− x

x+A

sA(J+A)(J+A)(x+A)2

y sA(x−J)(J+A)(x+A)

− ε2 φ(τ)

. (C.9)

Os pontos de equilıbrio do sistema na regiao G1 sao: zcc1 , zcc2 , z

cc3 e seus correspondentes

Jacobianos sao

Jzcc1 =

r 0

0 − sJJ+A

− ε2

(C.10)

Jzcc3 =

−r − KK+A

0 sA(K−J)(J+A)(K+A)

− ε2

. (C.11)

O ponto zcc1 = (0, 0) e uma sela (como o eixo y como sua variedade estavel e o eixo x

como sua variedade instavel), enquanto o ponto zcc2 e um ponto de equilıbrio global-

mente estavel, o qual nao pertence ao primeiro quadrante positivo, i.e., nem a G1 nem

a G2 e o ponto zcc3 = (K, 0) e uma sela que pertence a G2.

Os pontos de equilıbrio do sistema G2 sao zsc1 , zsc2 , z

sc3 e as correspondentes matrizes

Jacobianas sao:

Jzsc1 =

r 0

0 − sJJ+A

(C.12)

Jzsc2 =

− (A−K+2J)rJK(J+A)

− JJ+A

srA(K−J)(J+A)(J+A)2K

0

(C.13)

Jzsc3 =

−r − KK+A

0 sA(K−J)(J+A)(K+A)

. (C.14)

O ponto zsc1 = (0, 0) e uma sela (como o eixo y como sua variedade estavel e o eixo

x como sua variedade instavel), zsc2 =(

J, rK(J + A)(K − J)

)

e um no instavel que

pertence a regiao G1 e zsc3 = (K, 0) e uma sela.

Portanto, a regiao RI e invariante e atrativa.

150

Invariancia da Regiao Retangular

PSfrag replacements

yA

•

A

xAxB

yB

xC

yC

φ(·) = 1

φ(·) = 0

A

B

C

ltrG1

ltrG2

x = 0

V2 < 0

0 K

V c2φ=0

V c2φ=1G1

G2

τ < 0

τ > 0

τ = 0

zeq

sl

Figura C.2: A regiao invariante globalmente atrativa no plano de fase e a regiao retangular 0 −yA − A − xA − 0. A regiao G1 := (x, y) : τ > 0 e G2 := (x, y) : τ < 0. Aslinhas grossas marcadas com uma seta (←) sao trajetorias. As setas cinzas pequenasmostram o campo vetorial. A curva etiquetada “ltrG1” e a trajetoria que entra naregiao de modo deslizante no ponto C e permanece nela daı por diante, e a curvaetiquetada “ltrG2” e a trajetoria que entra na regiao de modo deslizante no ponto Be permanece nela daı por diante. O equilıbrio de deslizamento zeqsl e mostrado porum bullet (•). Os valores dos parametros utilizados nesta figura sao os seguintes:r = 2, K = 60, A = 10, s = 1, J = 20, ε2 = 1/3, ε = 2/5. A regiao de modo

deslizante e o segmento CB entre as curvas V c2φ=0

e V c2φ=1

. A isoclina das presas ea curva x = 0.

Demonstra-se que a regiao retangular 0 − xA − A − yA na Figura C.2, denotada

daqui por diante como RI, e invariante. Esta regiao pode ser escolhida de maneira que

a regiao de modo deslizante esteja contida totalmente na regiao RI.

As seguintes aproximacoes

x = limh→0x(t+h)−x(t)

h

y = limh→0y(t+h)−y(t)

h

(C.15)

151

sao utilizadas para demonstrar a invarianca de RI. A linha reta xAA pertence a regiao

G2, com dinamica (C.8). Esta linha satisfaz

x = xA = constante,

y ∈[

0, yA]

.(C.16)

Utilizando a aproximacao

x(t+ h) ' x(t) + hx,

seja x(t0) = x qualquer ponto que pertenca a linha xAA. Este ponto pode ter qualquer

valor de componente y no intervalo[

0, yA]

. Calculando

x(t0 + h) ' x+ hx

r(

1− x

K

)

− y

x+ A

.

Desde que x > K e A > 0 segue que o segundo termo da expressao acima e negativo.

Portanto x(t0+h) fica na esquerda de x(t0). Um procedimento similar e aplicado para

a linha reta yAA. Esta linha pertence a regiao G1 com dinamica dada por (C.7) e esta

linha satisfaz

y = yA = constante,

x ∈[

0, xA]

.(C.17)

Para qualquer ponto que pertenca a esta linha, obtem-se

y(t+ h) ' y(t) + hy.

Seja y(t0) = y qualquer ponto que pertenca a linha yAA. Este ponto pode ter qualquer

valor de componente x no intervalo(

0, xA]

. Calculando

y(t0 + h) ' y + hy

sA(x− J)

(J + A)(x+ A)− ε2

.

Desde que ε2 ≥ 2 sAJ+A

, segue que o segundo termo da expressao acima e negativo.

Portanto, y(t0 + h) esta embaixo de y(t0). O ponto A que pertence a intersecao das

linhas xAA e yAA satisfaz tambem a condicao destas linhas.

152

C.2 Atratividade da Regiao que contem zeqsl

Seja τ(z) : R2+ → R um limiar, descrito como uma funcao do vetor de estados z =

[x y]T . A polıtica de limiar φ(τ) e indefinida quando o vetor de estados pertence ao

conjunto

M =

z ∈ R2+ | τ(z) = 0

(C.18)

M e uma superfıcie de descontinuidade separando as duas estruturas diferentes do

sistema.

Um modo deslizante poderia ocorrer na superfıcie de descontinuidade se uma funcao

V2(z) e definida em funcao de τ de maneira que:

V2(z) =τ 2(z)

2> 0 e V2(z) = τ

∂τ

∂z

dz

dt< 0. (C.19)

E Ψ define o subconjunto do espaco de estados para o qual (C.19) e satisfeita

Ψ =

z ∈ R2∣

∣

∣

∣

τ∂τ

∂z

dz

dt< 0

, (C.20)

i.e. o domınio para o qual V2(z) e uma funcao de Liapunov. O domınio de deslizamento

e dado por

Ω =M ∩Ψ. (C.21)

Uma definicao precisa do domınio de deslizamento e dado em DeCarlo et al. (1988),

Utkin (1977), Utkin (1978), Utkin (1992).

Calculando V2

V2 = τ τ = τ∂τ

∂z

dz

dt:= τV c

2φ,

= (y − εx)[

−ε 1]

rx(

1− xK

)

− xyx+A

sA(x−J)(J+A)(x+A)

y − ε2yφ(·)

:= τV c2φ.

Quando φ = 1 entao τ := y − εx > 0, portanto V c2φ=1

deve ser negativa para que

V2 < 0, no qual

V c2φ=1

:=sA(x− J)

(J + A)(x+ A)y − ε2y − ε

rx(

1− x

K

)

− xy

x+ A

. (C.22)

153

Pontos que satisfazem V2 < 0 ficam na esquerda da curva V c2φ=1

. Para calcular o ponto

B = (xB, yB), no qual a curva V c2φ=1

intercepta o limiar, basta substituir y = εx na

expressao para V c2φ=1

e resolver a expressao resultante em relacao a x.

Quando φ = 0 entao τ := y − εx < 0, portanto V c2φ=0

deve ser positivo para que

V < 0, no qual

V c2φ=0

:=sA(x− J)

(J + A)(x+ A)y − ε

rx(

1− x

K

)

− xy

x+ A

. (C.23)

Pontos que satisfazem V2 < 0 ficam a direita da curva V c2φ=0

. Para calcular o ponto

C = (xC , yC), no qual a curva V c2φ=0

intercepta o limiar, deve-se substituir y = εx na

expressao para V c2φ=0

e resolver a expressao resultante em relacao a x.

Portanto, o domınio de deslizamento e C < x < B, ver Figura C.2.

O ponto de equilıbrio de deslizamento ocorre na intersecao do limiar e a isoclina

das presas. Na primeira equacao de (C.7) assumindo τ = 0 e substituindo y por εx

obtendo-se

rx(

1− x

K

)

− xεx

x+ A= 0,

de maneira que os pontos de equilıbrio sao

xeq1 = 0, xeq2,3 =r(K − A)− εK ±

√

(εK − r(K − A))2 + 4r2AK

2r.

Note que C < xeqsl < B enquanto xeq3 < C, portanto xeq2 = xeqsl e o ponto de equilıbrio

de deslizamento.

C.3 Analise Parametrica do Controle Backstepping

Para calcular o valor maximo de ε, deve-se de satisfazer o seguinte: (i) calcular o

ponto de intersecao da curva V c2φ=0

e o limiar; (ii) calcular o ponto de interseccao da

isoclina das presas e o limiar. Estes dois pontos sao igualados e substituindo y = εx e

resolvendo a expressao resultante em relacao ao ε e obtido o valor maximo de ε,

εmax =r(J + A)(K − J)

KJ,

154

portanto

ε < εmax.

Para calcular o valor maximo de ε, deve-se de satisfazer o seguinte: (i) calcular o

ponto de interseccao da curva V c2φ=1

e o limiar; (ii) calcular o ponto de interseccao da

isoclina das presas e o limiar. Estes dois pontos sao igualados e substituindo y = εx e

resolvendo a expressao resultante em relacao a ε2 e obtido a valor mınimo de ε2,

ε2min =(r(K − A− J)− εK +

√P )sA

rA(K + J + 1) +√P (J + A)−K(ε(J + A)− rJ)

,

com

P = (εK − r(K − A))2 + 4r2KA,

e portanto

ε2 > ε2min.

155

156

Apendice D

Estabilidade para Modelos

Dependentes da Razao

D.1 Prova do Teorema de Estabilidade Global para

o Modelo Adimensional

O limiar τ := y−εx+b divide R2+ em duas regioes. Em cada regiao o sistema tem uma

estrutura diferente. Seja G1 a regiao correspondente a τ > 0, para o qual o controle

e ε2 y e G2 a regiao correspondente a τ < 0, na qual o controle e 0. A dinamica do

sistema em cada regiao e:

G1 :

x = x (1− x)− s x yx+y

,

y = δ y(

xx+y

− r)

− ε2 y,(D.1)

G2 :

x = x (1− x)− s x yx+y

,

y = δ y(

xx+y

− r)

.(D.2)

Invariancia da Regiao Retangular

Demonstra-se que a regiao retangular 0− xA −A− yA na Figura D.1, denotada daqui

por diante como RI e invariante. Esta regiao pode ser escolhida tal que o “domınio de

deslizante” todo fique dentro da regiao IR.

157

PSfrag replacements

•

xA

yA

xB

yB

xC

yC

φ(·) = 1

φ(·) = 0

A

B

C

F

I

II

IIIa

IIIb

IV

V a

V b

D

ltrG1

ltrG2

x = 0

V < 0

0 E

V cφ=0

V cφ=1

G1

G2

τ > 0

τ < 0

τ = 0

zeq

sl

sample

trajectory

Figura D.1: A regiao invariante globalmente atrativa no plano de fase e a regiao retangular 0 −yA − A− xA − 0. A regiao G1 := (x, y) : τ > 0 e a regiao G2 := (x, y) : τ < 0.Linhas grossas marcadas com uma seta (←) sao trajetorias. As pequenas setas cinzasmostram o campo vetorial. A curva denotada como “ltrG1” e a trajetoria que entrano domınio de deslizamento no ponto C e permanece nele daı por diante, e a curvadenotada como “ltrG2” e a trajetoria que entra no domınio de deslizamento no pontoB e permanece nele daı por diante. O equilıbrio de deslizamento zeqsl e mostradopor um bullet (•). O valor dos parametros utilizados nesta Figura sao os seguintes:s = 1.52, δ = 1/2, r = 1/2, ε2 = 1, ε = 5/6. A regiao de deslizamento e osegmento CB entre as curvas V c

φ=0 e V cφ=1. A isoclina das presas (x = 0) e a curva

que une os pontos 0 e 1. O ponto E e (1, 0) e D e ( bε, 0).

As seguintes aproximacoes

x = limh→0x(t+h)−x(t)

h

y = limh→0y(t+h)−y(t)

h

(D.3)

sao utilizadas para demonstrar a invarianca de IR. A linha reta xAA pertence a regiao

158

G2 com dinamica (D.2). Esta linha satisfaz

x = xA = constante,

y ∈(

0, yA)

.(D.4)

Utilizando a aproximacao

x(t+ h) = x(t) + h x,

seja x(t0) = x qualquer ponto que pertenca a linha xAA. Este ponto pode ter qualquer

valor no componente y no intervalo(

0, yA]

. Calculando

x(t0 + h) = x+ h x

(

1− x− sy

x+ y

)

.

Desde que x > 1, e s > 0 segue que o segundo termo da expressao acima e negativa.

Portanto x(t0 + h) esta a esquerda de x(t0). Um procedimento similar e aplicado a

linha reta yAA. Esta linha pertence a regiao G1 com a dinamica dada por (D.1) e esta

linha satisfaz

y = yA = constante,

x ∈(

0, xA)

.(D.5)

Para qualquer ponto que pertence a esta linha, temos

y(t+ h) = y(t) + h y.

Seja y(t0) = y qualquer ponto que pertence a linha yAA. Este ponto pode ter qualquer

valor na componente x in(

0, xA]

. Calculando

y(t0 + h) = y + h δ y

(

x

x+ y− r − ε2

δ

)

.

Desde que r + ε2δ> 1, segue que o segundo termo da expressao acima e negativa.

Portanto, y(t0 + h) fica embaixo de y(t0). O ponto A que pertence a intersecao das

linhas xAA e yAA tambem satisfaz a condicao destas linhas. Portanto, a regiao RI e

invariante.

159

Analise do Domınio de Deslizamento

Seja τ(z) : R2 → R um limiar, descrito como uma funcao do vetor de estados z =

[x y]T . A funcao de controle φ(τ) e indefinido quando o vetor de estados pertence ao

conjunto

M = z ∈ Rn | τ(z) = 0 (D.6)

M e uma superfıcie de descontinuidade separando as duas estruturas do sistema.

Um modo deslizante pode acontecer na superfıcie de descontinuidade se a funcao τ

e tal que se define uma funcao de Liapunov V (z) como segue

V (z) =τ 2(z)

2> 0 e V (z) = τ

∂τ

∂z

dz

dt< 0. (D.7)

Define-se o conjunto do espaco de estados para o qual (D.7) e satisfeita como:

Ψ =

z ∈ R2∣

∣

∣

∣

τ∂τ

∂z

dz

dt< 0

, (D.8)

i.e. o domınio para o qual V (z) e uma funcao de Liapunov. O domınio de deslizamento

e dado por

Ω =M ∩Ψ (D.9)

Calculando V

V = τ τ = τ∂τ

∂z

dz

dt:= τ V c

φ ,

= (y − ε x+ b)[

−ε 1]

x (1− x)− s x yx+y

δ y(

−r + xx+y

)

− ε2 y φ(·)

:= τ V cφ .

Quando φ = 1 entao τ := y− ε x+ b > 0, portanto V cφ=1 deve ser negativo para que

V < 0, sendo que

V cφ=1 := −ε

(

x (1− x) +s x y

x+ y

)

+ δ y

(

−r + x

x+ y

)

− ε2 y. (D.10)

Pontos que satisfazem V < 0 ficam a direita da curva V cφ=1. Para calcular o ponto

C = (xC , yC), no qual a curva V cφ=1 intercepta o limiar, substituindo y = εx − b na

expressao para V cφ=1 e resolvendo a expressao em relacao a x.

160

Quando φ = 0 entao τ := y − εx+ b < 0, portanto V cφ=0 deve ser positivo para que

V < 0, sendo que

V cφ=0 := −ε

(

x (1− x) +s x y

x+ y

)

+ δ y

(

−r + x

x+ y

)

. (D.11)

Pontos que satisfazem V < 0 ficam a esquerda da curva V cφ=0. Para calcular o ponto

B = (xB, yB), no qual a curva V cφ=0 intercepta o limiar, substituindo y = εx − b na

expressao para V cφ=0 e resolvendo-a em relacao a x.

O ponto de equilıbrio de deslizamento acontece na intersecao entre o limiar e a

isoclina das presas. Isto implica que trajetorias que batem no segmento DC entram

na regiao branca D − C − E. Na primeira equacao de (5.13), assumindo τ = 0, y e

substituido por ε x− b levando a:

x

(

1− x− s(ε x− b)

x+ ε x− b

)

= 0,

de maneira que os pontos de equilıbrio sao

xeq1 = 0, xeq2,3 =(1 + b− ε (s− 1))2 ±

√

−1− ε+ ε (s− 1)− 4 b(1 + ε)(1− s)

2 (1 + ε).

Notar que xeq2 > 0 enquanto xeq3 < 0, de maneira que xeq2 e o equilıbrio desejado.

Portanto, fica claro que xeq2 e uma funcao do parametro de controle ε e e possıvel

calcular o valor de ε para o qual permite atingir o equilıbrio desejado xeq2 de formula

ε = −xeq2 − xeq2 (b+ 1)− b (s− 1)

xeq2 (xeq2 + s− 1)

.

Analise Parametrica do Controle Backstepping

Para calcular o valor maximo de ε, deve-se fazer o seguinte: (i) calcular o ponto de

intersecao da curva V cφ=0 e o limiar; (ii) calcular o ponto de intersecao da isoclina das

presas e do limiar. Estes dois pontos sao igualados e substituindo y = εx e resolvendo

a expressao resultante em relacao ao ε e obtido o valor maximo de ε,

εmax =1− r

r, (D.12)

161

portanto

ε < εmax.

Para calcular o mınimo valor de ε2, deve-se fazer o seguinte: (i) calcular o ponto de

intersecao da curva V cφ=1 e o limiar; (ii) calcular o ponto de intersecao da isoclina das

presas e o limiar. Estes dois pontos sao igualados e substituindo y = εx e resolvendo-a

em relacao ao ε e obtido o valor mınimo de ε2,

ε2min =(1− r (ε+ 1)) δ

1 + ε, (D.13)

portanto,

ε2 > ε2min.

Analise das Trajetorias nas Regioes Sombreadas

Primeiro observe que as trajetorias ltrG1 e ltrG2 bem como a curva V cφ=1 demarcam as

regioes nas quais V < 0 — estas sao a regiao V a e IIIa as quais, portanto, tem a

propriedade que todas as trajetorias com condicao inicial nelas sao atraidas ao limiar

τ = 0 e dali convergem a zeqsl atraves de um modo deslizante.

O restante da prova mostra que trajetorias com condicao inicial em todas as outras

regioes com o retangulo invariante eventualmente entram nas regioes V a ou IIIa, de

onde convergem a zeqsl .

Regiao I: Desde que os eixos e a curva ltrG1 (limites da regiao I) sao todas as

trajetorias do sistema dinamico, todas outras trajetorias do mesmo sistema com origem

nesta regiao devem sair dela (desde que esta nao seja invariante) atraves do segmento

DC do limiar.

Regiao II: Aqui x e y estao ambas crescendo e pode-se raciocinar de uma maneira

similar de que todas as trajetorias com origem nesta regiao devem sair desta cruzando

o segmento CE da curva V cφ=0 dentro da regiao IIIa (lembrar que o ponto (1, 0) = E

e uma sela).

Regiao IIIb: Aqui o vetor de campo obedece x < 0 e y > 0 de maneira que pode-se

concluir que todas as trajetorias com origem nesta regiao cruzam o segmento BE da

curva V cφ=1 na regiao IIIa.

162

Regiao IV : Aqui o vetor de campo obedece x < 0 e y > 0, de maneira que pode-se

concluir que todas as trajetorias com origem nesta regiao cruzam o segmento AB do

limiar τ = 0 na regiao V b.

Regiao V b: Aqui o vetor de campo obedece x < 0 e y < 0, de maneira que pode-se

concluir que todas as trajetorias com origem nesta regiao cruzam o segmento FB da

curva V cφ=1 na regiao V a.

D.2 Modelo predador–presa do Tipo Gause

O sistema predador–presa do tipo Gause e como segue:

u(t) = g(u)− p(u) y,

y(t) = q(u) y,

u(0) = u0 > 0, y(0) = y0 > 0,

(D.14)

com

g(u) = u (1 + δ r − s+ (1 + δ r − δ)u)/(1 + u),

p(u) = u2,

q(u) = δ (u/(u+ 1)− r).

(D.15)

o sistema (D.14) pode ser reescrito como:

u(t) = p(u) (h(u)− y),

y(t) = q(u) y.(D.16)

Pode-se observar que a isoclina das presas do sistema (D.14) e dada por

y =g(u)

p(u)= h(u) = (1 + δ r − s+ (1 + δ r − δ)u)/u(1 + u). (D.17)

163

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y

1 2 3 4 5u

Figura D.2: Sistema predador–presa do tipo Gause sem controle. O diagrama de fase e o campovetorial com algumas condicoes iniciais. A isoclina do predador e representado pelalinha vertical. Valores dos parametros: r = 1/2, δ = 1/2, s = 1.52.

Sistema do Tipo Gause sujeito a Polıtica de Limiar

Uma polıtica de limiar e aplicada no predador como segue

u(t) = g(u)− p(u) y,

y(t) = q(u) y − ε2 y φ(τ),

u(0) = u0 > 0, y(0) = y0 > 0

(D.18)

sendo que φ(τ) e definida como em (1.13) e τ e um limiar que pode ter uma das tres

formas seguintes:




164

Analise dos Equilıbrios do Modelo Tipo Gause

1. Sistema livre

Quando φ(τ) = 0, i.e., sistema sem controle. Os pontos de equilıbrio sao mostra-

dos na Tabela D.1.

Tabela D.1: Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Tipo Gause sem con-trole

Ponto de Equilıbriozsc1 = (0, 0)

zsc2 =(

− 1+δ r−s1+δ r−δ

, 0)

zsc3 =(

r1−r

, (1−r)(1−s+s r)r

)

O ponto zsc1 e um no estavel, o ponto zsc2 e uma sela e o ponto zsc3 e um foco

instavel.

2. Sistema com controle

Quando φ(τ) = 1, i.e., sistema com controle. Os pontos de equilıbrio sao mos-

trados na Tabela D.2.

Tabela D.2: Classificacao dos Pontos de Equilıbrio do Modelo Tipo Gause com con-trole

Ponto de Equilıbriozcc1 = (0, 0)

zcc2 =(

− 1+δ r−s1+δ r−δ

, 0)

zcc3 =(

r+ε2δ

1−r−ε2δ

,(1−r−

ε2δ)(1−s+s (r+

ε2δ)−ε2)

r+ε2δ

)

O ponto zcc1 e um no estavel, o ponto zcc2 e uma sela e o ponto zcc3 e uma sela

tambem.

1. Limiar Horizontal, τ := y − yth.

Para que exista intersecao do limiar com a isoclina das presas h(u), deve-se cal-

cular a faixa de valores de yth.

165

Dada a isoclina das presas h(u) deriva-se em relacao a variavel u, obtendo-se:

∂h(u)

∂u= −(1 + δ r − δ)u2 + 2(1− s+ δ r)u+ 1 + δ r − s

u2(1 + u)2

resolve-se esta expressao em relacao a u, obtendo-se:

u =−1 + s− δ r +

√

(−1− δ r + s)(s− δ)

1 + δ r − δ.

O maximo valor de yth e

h(u).

O valor de limiar yth deve ficar no intervalo [0, h(u)]. Para calcular o equilıbrio

de deslizamento, a primeira equacao de (D.18) e utilizada como se segue:

u(t) = g(u)− p(u) y, (D.19)

e o ponto de equilıbrio tem a seguinte forma:

ueqsl =1

2

1

y

(

1 + δ r − δ − y ±√

1 + 2 δ r − 2 δ + 2 y + δ2 r2 − 2 δ2 r . . .

. . . +2 y δr δ2 + 2 δ y + y2 − 4 y s)

. (D.20)

Portanto, o ponto de equilıbrio de deslizamento e:

zeqsl = (ueqsl , yth) . (D.21)

2. Limiar Vertical, τ := uth − u.

Neste caso o valor de limiar deve ficar no intervalo[

− 1+δ r−s1+δ r−δ

,∞]

. Para calcular

o ponto de equilıbrio, a primeira equacao de (D.18) e utilizada como segue:

u(t) = g(u)− p(u) y = 0, (D.22)

166

e o ponto de equilıbrio tem a forma:

yeqsl = h(uth) =1 + δ r − s+ (1 + δ r − δ)uth

uth(1 + uth). (D.23)

Portanto, o ponto de equilıbrio de deslizamento e:

zeqsl = (uth, yeqsl ) . (D.24)

3. Limiar Inclinado, τ := y − εx.

Na primeira equacao de (D.18) y e substituido por εu obtendo-se

u(t) = g(u)− p(u) ε u = 0,

os pontos de equilıbrio sao raızes da equacao acima.

Observacao D.1 Note que a origem e local e assintoticamente estavel nas duas es-

truturas. Portanto existem condicoes inicias as quais convergirao a origem embora um

controle com uma polıtica de limiar esteja sendo aplicado.

Observacao D.2 O inconveniente do modelo do tipo Gause de que a origem e local-

mente estavel pode ser superado fazendo uma transformacao do modelo original do tipo

razao dependente como se mostra na secao seguinte.

D.3 Modelo Predador-Presa do Tipo Dependente

da Razao Transformado

O modelo predador–presa do tipo dependente da razao com um controle proporcional

aplicado no predador e uma resposta funcional do tipo Michaelis–Menten tem a seguinte

forma:

˙x(t) = a x (1− x/K)− c xy/(m y + x) ≡ F (x, y),

˙y(t) = y (−d+ f x/(m y + x))− ε2 y ≡ G(x, y),

x(0) = x0 > 0, y(0) = y0 > 0

(D.25)

167

sendo que F (0, 0) e G(0, 0) sao assumidos igual a zero em zero, F (x, y), G(x, y) sao

contınuos no quadrante positivo R2+ e x, y representam a densidade da presa e do

predador, respectivamente.

Sistema Adimensional Transformado

O sistema adimensional transformado com a nova mudanca de variaveis t = at, x =

x/K e y = my/K, obtem-se a seguinte forma:

x(t) = x (1− x)− s x yx+y

,

y(t) = δ y(

−r + xx+y

)

− ε2 y,

x(0) = x0 > 0, y(0) = y0 > 0,

(D.26)

com

s =c

ma, δ =

f

a, r =

d

f, ε2 =

ε2a

e todas as constantes sao positivas.

Modelo Predador-Presa do Tipo Gause Transformado

Mais uma mudanca de variaveis (u = x/y, y = y) leva o seguinte sistema predador–

presa (D.26) ao tipo Gause transformado:

u(t) = g(u)− p(u) y,

y(t) = q(u) y − ε2 y,

u(0) = u0 > 0, y(0) = y0 > 0

(D.27)

com

g(u) = u1 + δ r − s+ (1 + δ r − δ)u/(1 + u) + ε2 u,

p(u) = u2,

q(u) = δ (u/(u+ 1)− r).

(D.28)

Desde que (D.27) pode ser reescrito como:

u(t) = p(u) (h(u)− y),

y(t) = q(u) y − ε2 y,(D.29)

168

pode ser observado que a isoclina das presa do sistema (D.27) e dada por:

y =g(u)

p(u)= h(u) = 1 + δ r − s+ ε2 + (1 + δ r − δ + ε2)u/u(1 + u). (D.30)

Suponha-se que uma polıtica de limiar e aplicada no sistema (D.27) como segue

u(t) = g(u)− p(u) y,

y(t) = q(u) y − ε2 y φ(·),u(0) = u0 > 0, y(0) = y0 > 0

(D.31)

sendo que φ(·) e uma polıtica de limiar definida como em (1.13) e τ e um limiar que

pode ser uma das tres seguintes expressoes:




Analise dos Equilıbrios do Modelo Tipo Gause transformado

Neste caso, lembrar que z = [u y]T .

1. Sistema sem controle, i.e., φ(u) = 0. Os pontos de equilıbrio sao:

zsc1 = (0, 0), zsc2 =

(

−1 + δ r − s

1 + δ r − δ, 0

)

, zsc3 =

(

r

1− r,(1− r)(1− s+ s r)

r

)

neste caso o ponto de equilıbrio de interesse (com coexistencia das especies) e zsc2 .

2. Sistema com controle, i.e., φ(u) = 1. Os pontos de equilıbrio sao:

zcc1 = (0, 0), zcc2 =

(

−1 + δ r − s+ ε21 + δ r − δ + ε2

, 0

)

,

zcc3 =

(

r + ε2/δ

1− r − ε2/δ,(1− r − ε2/δ)(1− s(1− r − ε2/δ))

r + ε2/δ

)

neste caso o ponto de equilıbrio de interesse e zcc2 .

169

170

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