PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÕES

João Célio Brandão, Abraham Alcaim e Raimundo Sampaio Neto

SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

Centro de Estudos em Telecomunicações da PUC-Rio

Rio de Janeiro – Março de 2010

CAPÍTULO 2 2.1 Analise cada uma das funções da Fig. E2.1e verifique se podem ser transformadas

de Fourier de uma função real.

Fig. E2.1

Solução

Apenas a função da Fig. E2.1 (c) pode ser transformada de Fourier de uma

função real pois não viola a condição G(f) = G*(-f)

2.2 Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções:

(a)5 | | 4

( )0

tg t

fora

≤=

; (b)5 0 4

( )0

tg t

fora

≤ ≤=

(c) 2

1( )

1g t

t=

+ (d)

2

22

1( )

2

t

g t e σ

πσ

−

=

Utilize a tabela e as seguintes propriedades da transformada de Fourier

(a) linearidade e mudança de escala

(b) linearidade, mudança de escala e deslocamento no tempo (c) dualidade e mudança de escala

(d) linearidade e mudança de escala (e) diferenciação e dualidade

(f) linearidade e deslocamento (g) linearidade

1

0 1 t

(e)

2

3

0 2 4 t

(f)

-1

-1

2

-2 0 2 t

(g)

0 f -f0 0 f0 f

-f0 0 f0 f

(a) (b)

(c)

Solução (a) ( )8

( ) 5 rect 40 sinc(8 )tg t f= × ↔ ×

(b) ( )24

( ) 5 rect 20 sinc(4 )exp( 4 )tg t f j fπ−= × ↔ × −

(c) 2 2

22

1 1 2 1( ) 2

1 2 21 2

2

f fg t e e

t t

π ππ π

ππ

− −= = ↔ =

+ +

(d) ( ) ( )

2

2 2221

22 22 221 1

( )2 2

tt

f fg t e e e eσ

π π πσ σ ππσ

πσ πσ

− − − − = = ↔ =

(e) ( )t2

( )rect 2 sinc(2 ) 2 ( )

dg tf fG f

dtπ= ↔ × =

sinc(2 )

( )f

G ffπ

=

(f) ( ) ( ) 4 2 42 t-24 2

( ) 2 rect tri 8 sinc(4 ) 2sinc (2 )j f j ftg t f e f eπ π− −−= × + ↔ × +

(g) ( ) ( ) 2t

4 2( ) 2 rect 2 tri 8 sinc(4 ) 4 sinc (2 )tg t f f= × − × ↔ × − ×

2.3 Considere do sinal da Fig. E2.3 cuja transformada de Fourier foi calculada no

Exemplo 2.6. Obtenha essa mesma transformada usando (a) a propriedade 9 (diferenciação) e (b) a propriedade 10 (integração)

Fig. E2.3 Solução

[ ]2 2( )( ) 2 ( ) ( ) 2 2 cos(2 ) 1j fT j fTdg t

A t T A t A t T Ae A Ae A Tfdt

π πδ δ δ π−= + − + − ↔ − + = −

[ ] [ ]2 cos(2 ) 1 1 cos(2 )( )

2

A Tf jA TfG f

j f f

π π

π π

− −= =

( ) 2 2 ( )( ) tri sinc ( )

2

t

tT

G fg d AT AT Tf

j fτ τ

π−∞

= × ↔ × =∫ ; note que ( ) 0g dτ τ∞

−∞

=∫

A

-T 0 T t

-A

2 2 2

2

2

sen ( ) sen ( )( ) 2 sinc ( ) 2 2

( )

AT Tf TfG f j f AT Tf j f j A

Tf f

π ππ π

π π

×= × × = =

Notando que

[ ]2 1sen 1 cos(2 )

2θ θ= −

verificamos que as duas soluções são iguais. Verificamos também que

( )2sen ( )

2 2 sinc sen( )Tf

j A j AT Tf Tff

ππ

π=

confirmando o resultado em (2.46)

2.4 Utilize a propriedade 8 para calcular a integral do item (a) e o teorema de Parseval

dado por (2.69) para calcular a integral do item (b).

(a) sinc( )Tf df∞

−∞∫ ; (b) 2sinc ( )Tf df∞

−∞∫

Solução (a) Lembrando que

1sinc( ) rect

tTf

T T

↔

pela propriedade (8)

1 1sinc( ) rect(0)Tf df

T T

∞

−∞

= =∫

(b) Pelo Teorema de Parseval,

2 2

2 21 1 1sinc ( ) rect

tTf df dt T

T T T T

∞ ∞

−∞ −∞

= = =

∫ ∫

2.5 Usando as propriedades da função impulso calcule:

(a) ( )2 3( 3) 2 tt e eδ − −− ∗ ; (b) ∫

∞

∞−

− −+

+dtte

t

t t )1(1

12 )1(3 δ

Solução (a) ( )2 3 2( 3) 3 2 3( 3) 2 2 2t t t

t e e e e eδ − − − − − − −− ∗ = =

(b) 3( 1) 3(1 1)2 1 2 1 1 3( 1)

1 1 1 2

tte t dt e

tδ

∞− −

−∞

+ × +− = =

+ +∫

2.6 Usando as propriedades da convolução e do deslocamento na frequência, calcule

(a) ( ) 8sinc(3 ) sinc 4 j tt t e π ∗ ; (b) ( ) 4sinc(4 ) sinc 4 j tt t e π ∗

Solução

(a) ( ) 8 1 1 - 4sinc(3 ) sinc 4 rect rect

3 3 4 4

j t f ft t e π ∗ ↔ ×

Podemos verificar que o produto das duas funções rect ( ) é nulo pois o primeiro

se anula para f/3 > 0,5, isto é, f>1,5 e o segundo se anula para (f-4)/4<0,5, isto é, f<2. Como a transformada é nula, a convolução será nula.

(b) ( ) 4 1 1 - 2sinc(4 ) sinc 4 rect rect

4 4 4 4

j t f ft t e π ∗ ↔ ×

Verificamos como o auxílio da figura que o produto das funções rect ( ) neste caso será

1 1 - 2 1 -1rect rect rect

4 4 4 4 16 2

f f f × =

Fazendo a transformada inversa obtemos

( ) 2 4 21sinc(4 ) sinc 4 sinc(2 )

8

j t j tt t e t e

π π ∗ =

2.7 Usando a propriedade da modulação calcule a transformada de Fourier das funções

abaixo e esboce o seu espectro de amplitude para f0 >> 1

(a) 0( ) cos(2 ) ( )t

g t e f t u tπ−=

-2 0 2 f

0 4 f

0 2 f

1/4

1/4

1/16

(b) 0( ) cos(2 )

tg t e f tπ

−=

(c) 0( ) sen(2 )

tg t e f tπ

−=

Solução (a)

0( ) cos(2 ) ( )tg t e f t u tπ−=

Como

1( )

1 2

te u tj fπ

− ↔+

pela propriedade da modulação,

0 0

1 1 1( )

2 1 2 ( ) 1 2 ( )G f

j f f j f fπ π

= +

+ − + +

Tomando o módulo da expressão chegamos a

2 2 2 2

0 0

1 1 1( )

2 1 4 ( ) 1 4 ( )G f

f f f fπ π

= + + − + +

(b) 0( ) cos(2 )

tg t e f tπ

−=

Como

| |

2

2

1 (2 )

te

fπ− ↔

+

pela propriedade da modulação,

2 2

0 0

1 2 2( )

2 1 [2 ( )] 1 [2 ( )]G f

f f f fπ π

= +

+ − + +

Tomando o módulo chegamos a

2 2

0 0

1 1( )

1 [2 ( )] 1 [2 ( )]G f

f f f fπ π= +

+ − + +

(c) 0( ) sen(2 )

tg t e f tπ

−=

Neste caso,

2 2

0 0

1 2 2( )

2 1 [2 ( )] 1 [2 ( )]G f

j f f f fπ π

= −

+ − + +

e

2 2

0 0

1 1( )

1 [2 ( )] 1 [2 ( )]G f

f f f fπ π= −

+ − + +

Nos 3 casos, considerando f0 >> 1, o espectro de amplitude terá forma semelhante à da

figura

2.8 Utilize o resultado do exemplo 2.8 e as propriedades da integral de convolução para

calcular a convolução entre as funções da Fig. E2.8.

Fig. E2.8

Solução Sabemos de (2.65) que

( ) ( ) ( )Tt

Tt

Tt triTrectrect ⋅=∗

No caso, temos

( ) ( )1 22 2

5 5t trect rect− −× ∗ ×

Aplicando (2.63) duas vezes, considerando um atraso igual a 1 na primeira função e

igual a 2 na segunda, podemos escrever

( ) ( )1 22 2

35 5 25 2 tri

2

t tt

rect rect− − − × ∗ × = × ×

cujo gráfico está representado na figura.

2.9 Calcule g1(t)*g2(t), representadas na Fig. E2.9, para t = 6.

0 1 2 t

5

0 1 2 3 t

5

1 3 5 t

50

|G(f)|

-f0 0 f0 f

Fig. E2.9

Solução Para t = 6, mostra-se na figura que segue a posição relativa das 2 funções do

integrando de

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t g t g dα α α∞

−∞

∗ = −∫

Por inspeção, podemos calcular a área do triângulo e a área do impulso, levando em

conta os valores de g1( ) que multiplicam estas funções, e obtemos o valor 8. 2.10 Utilizando a tabela de transformadas, a propriedade 13 – expressão (2.69), e outras

propriedades, determine o valor das integrais

(a) 2

1cos(2 )

1cf t dt

tπ

∞

−∞ +∫ ; (b) 1

sinc( ) j BtBt e dt

t

π

π

∞

−∞∫

Solução (a) Usando a tabela de transformadas e aplicando as propriedades da dualidade e da

mudança de escala, temos

|2 |

2

1

1

fe

t

ππ −↔+

Aplicando (2.69) temos

[ ] |2 ||2 |

2

1 1cos(2 ) ( ) ( )

1 2cff

c c cf t dt e f f f f dt et

πππ π δ δ π∞ ∞

−−

−∞ −∞

= − + + =+∫ ∫

(b) Usando a tabela de transformadas e aplicando as propriedades da dualidade temos

g1(t)

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 t

g2(t) 3

0 1 2 3 4 5 t

(2)

g1(6-α)

2

0 1 2 3 4 5 6 7 α

3

(2)

g2(α)

12 sgn(- )j f

tπ↔ × .

21sinc( ) rect

Bj Bt f

Bt eB B

π − ↔

Aplicando (2.69) temos

21 1sinc( )e [2j sgn( )] rect

Bj fB f

Bt dt f dtt B B

π

π

∞ ∞∗

−∞ −∞

− = × −

∫ ∫

As duas funções do integrando e seu produto estão representadas na figura abaixo.

Podemos então concluir que a integral será igual a 2j.

2.11 Para cada um dos três pulsos definidos na Fig. E2.11, (a) determine sua amplitude

para que eles tenham energia unitária; (b) determine a expressão da densidade espectral

de energia definida em (2.125).

Fig. E2.11

Solução

2 2 2

1 2 321TA T A A T= = =

Logo,

1 3

1A A

T= =

2

2A

T=

-T/2 0 T/2 t

A1

-T/4 T/4 t

- T/2 0 T/2 t

g1(t) g2(t)

g3(t)

A3

A2

0 B f

1/B

2j

2j/B

0 B f

1 11

( ) ( ) sinc( )t

g t rect G f T TfTT

= ⇔ =

2 22 2

( ) ( ) sinc2 2

t T Tg t rect G f f

T T

= ⇔ =

4 43

2 2

1 1( )

T T

T T

t tg t rect rect

T T

+ −= −

/ 2 / 2

3

1( ) ( / 2)

2 2 2

j Tf j TfT TG f T sinc f e e T sinc f jsen Tf

π π π− = − = ⋅

Lembrando que o espectro de energia de g(t) é o módulo ao quadrado de G(f), temos, 2 2

1| ( ) | sinc ( )G f T Tf=

2 22( ) sinc

2 2

T TG f f

=

2 2 2

3| ( ) | ( / 2)2

TG f Tsinc f sen Tfπ

= ⋅

2.12) Determine a função de transferência, a largura de faixa de 3 dB e a resposta ao

impulso e do filtro RC cujo circuito está representado na Fig. E2.12.

Fig. E2.12

Solução Analisando o circuito podemos escrever

1

2( ) ( )

1

2

j fCY f X f

Rj fC

π

π

=

+

A função de transferência, será

( ) 1( )

( ) 1 2

Y fH f

X f j fRCπ= =

+

Para determinar a largura de faixa de 3 dB fazemos

( )

2

2

1 1( )

21 2H f

fRCπ= =

+

C

R

X(f) Y(f)

e obtemos

3

1

2dBf B

RCπ= =

Aplicando a transformada de Fourier obtemos

( ) ( )ath t ae u t−=

onde

1a

RC=

2.13 Um filtro RC tem resposta ao impulso dada por 100( ) 100 ( )t

h t e u t−= .Determine a

saída deste filtro no domínio do tempo quando a entrada é ( ) 2cos(2 50 )x t tπ= ×

Solução Usando a tabela de transformadas temos

100( )

100 2H f

j fπ=

+

. Para fc = 50, temos

100 1( )

100 2 50 1cH f

j jπ π= =

+ × +,

2

1( )

1cH f

π=

+

-1( ) tg ( )cfβ π=

Aplicando (2.117) chegamos a

1

2

2( ) cos[2 50 ( )]

1y t t tgπ π

π

−= × ++

2.14 Um pulso retangular de amplitude unitária e duração 0,01 ms passa pelo filtro

passa-baixa H(f) representado na Fig. E2.14. Esboce a transformada de Fourier do sinal na saída deste filtro.

Fig. E2.14 Solução O espectro de amplitude do sinal na saida do filtro é dado por

( ) ( ) ( )Y f X f H f=

onde

( ) sinc( )X f T Tf=

sendo T = 10-5 s. Esta função está representada na figura que segue.

H(f)

- 50 0 50 f (kHz)

1

Assim, chegamos na seguinte expressão e respectivo gráfico

sinc( ) | | 200kHz( )

0 fora

T Tf fY f

≤=

2.15 A relação entre a entrada x(t) e a saída y(t) de um sistema linear é dada por

y(t) = 2x(t) + x(t-τ) + x(t+τ)

Determine a função de transferência deste sistema.

Solução A resposta ao impulso é dada por

h(t) = 2δ(t) + δ(t-τ) + δ(t+τ)

e a função de transferência por

2 2( ) 2 2 2cos(2 )j f j fH f e e fπτ πτ πτ−= + + = +

2.16 A função

2( ) sinct

g tT

=

é amostrada por impulsos de área unitária em t = kT0, onde T0 = T/2, obtendo-se o sinal

x(t). (a) Faça um gráfico de x(t) e de sua transformada de Fourier X(f). (b) Suponha que

-200 -100 0 100 200 f(kHz)

Y(f)

-200 -100 0 100 200 300 f(kHz)

X(f)

o sinal x(t) passa pelo filtro H(f) mostrado na Fig. E2.16. Determine a expressão do

sinal y(t) na saída do filtro.

Fig. E2.16

Solução O sinal x(t) está mostrado na figura abaixo.

Sabemos que

( )2g( ) sinc ( ) trit

t G f T TfT

= ↔ = ×

Como o espectro do sinal amostrado é a repetição do espectro G(f) multiplicado por 1/T

0, este espectro é dado por

( )0 0 0

1( ) tri 2 tri

n n

n nX f f T Tf T f

T T Tδ

∞ ∞

=−∞ =−∞

= − ∗ × = × −

∑ ∑

e seu gráfico está mostrado abaixo, seguido do gráfico do sinal na saída do filtro.

-1/T0 0 1/T0 f

2/T 2/T

H(f)

1

-4T0 -2T0 0 T0 2T0 4T0 f

x(t)

-1T0 -1/T 0 1/T 1/T0 3/T 2/T0 f

-1T0 -1/T 0 1/T 1/T0 3/T 2/T0 f

2

2 X(f)

Y(f)

Fazendo a transformada inversa obtemos

2

0

4( ) sinc cos 2

t ty t

T T Tπ

=