Solução da prova da EsSA - 2008/2009

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Prova da EsSA - 2008

01. A medida do perímetro do triângulo cujos vértices são os

pontos (1, 1), (1, 3) e (2, 3) é:

(A) 533 (D) 53

(B) 523 (E) 553

(C) 543

Solução:

Considerando o triângulo abaixo, vamos calcular os

comprimentos dos lados x, y e z.

Distância entre os vértice (1, 1) e (2, 3) x

x = 2 – 1 = 1

y = 3 – 1 = 2

x2 = 1

2 + 2

2

x2 = 1

+ 4

x2 = 5

x = 5

Distância entre os vértice (1, 1) e (1, 3) z

x = 1 – 1 = 0

y = 3 – 1 = 2

z2 = 0

2 + 2

2

z2 = 0

+ 4

z2 = 4

z = 2

Distância entre os vértice (1, 3) e (2, 3) y

x = 2 – 1 = 1

y = 3 – 3 = 0

y2 = 1

2 + 0

2

y2 = 1

+ 0

y2 = 1

y = 1

O perímetro do triângulo é dado por x + y + z, logo

5 + 1 + 2 = 3 + 5

Resposta: D

02. As equações (x + 1)2 + (y – 4)

2 = 64 e (x – 4)

2 + (y + 8)

2 =

25 representam duas circunferências cuja posição relativa no

plano permite afirmar que são:

(A) tangentes exteriores.

(B) interiores (sem ponto de interseção)

(C) exteriores (sem ponto de interseção)

(D) tangentes interiores.

(E) secantes.

Solução:

Dadas as equações reduzidas das circunferências vamos

encontrar os centros e os raios e após calcular a distância

entre os centros.

Da equação (x + 1)2 + (y – 4)

2 = 64:

O centro é dado por (–1, 4)

O raio é dado por 864

Da equação (x – 4)2 + (y + 8)

2 = 25:

O centro é dado por (4, –8)

O raio é dado por 525

Distância entre os centros d

x = –1 – 4 = –5

y = 4 – (–8) = 12

d2 = (–5)

2 + 12

2

d2 = 25

+ 144

d 2 = 169

d = 169

d = 13

Posições relativas de duas circunferências

Exteriores Tangentes

exteriores Secantes

d > R + r d = R + r R + r < d < R – r

Tangentes

interiores Interiores Concêntricas

d = R – r d < R – r d = 0

Como a distância entre os centros das duas circunferências é

d = 13 e os raios são R = 8 e r = 5, então d = R + r, logo, as

circuferências são tangentes exteriores.

Resposta: A


03. Um quadrado e um retângulo têm a mesma área. Os lados

do retângulo são expressos por números naturais

consecutivos, enquanto que o quadrado tem 52 centímetros

de lado. Assim, o perímetro, em centímetros, do retângulo é:

(A) 18

(B) 16

(C) 12

(D) 20

(E) 24

Solução:

Aquadrado = lado2 = 252 = 4.5 = 20

Aretângulo = (x + 1).x

Se a Aquadrado = Aretângulo

Então, (x + 1).x = 20

Como x é um número natural e (x + 1) o consecutivo de x,

então (x + 1) também é um número natural. O único produto

de dois números naturais igual a 20 nas condições dadas é

4.5, logo, x = 4. Evitamos, desta forma, utilizar a equação do

2º grau.

Perímetro do retângulo: 2x + 2(x + 1) = 2x + 2x + 2 = 4x + 2

Como x = 4, então, 4.4 + 2 = 18 cm

Resposta: A

04. A media aritmética das notas de Matemática em uma

turma de 25 alunos em um dos doze Colégios Militares

existentes no Brasil diminui em 0,1, se alterarmos uma das

notas para 6,8. A referida nota sem ser alterada é:

(A) 8,8 (D) 4,3

(B) 9,3 (E) 9,8

(C) 4,8

Solução:

É uma propriedade da média, entre outras: Se somarmos (ou subtrairmos) um valor constante K a cada um

dos elementos de um conjunto de valores, a média aritmética

fica somada (ou subtraída) dessa constante.

Logo, se a média diminuiu de 0,1, significa que cada um dos

25 alunos foi subtraido de 0,1, então, devolvendo 0,1 para

cada um dos 25 alunos teremos 25 . 0,1 que é igual a 2,5.

Adicionado 2,5 a nota alterada, temos: 6,8 + 2,5 = 9,3

Resposta: B

05. As diagonais de um losango medem 48 cm e 33 cm. Se a

medida da diagonal maior diminuir 4cm, então, para que a

área permaneça a mesma, deve-se aumentar a medida da

diagonal menor de:

(A) 9cm (D) 8cm

(B) 6cm (E) 5cm

(C) 3cm

Solução:

Losango original = A Losango alterado = B

Área do losango A

A = 2

33.48 = 24.33

Área do losango B

B = 2

x)44.(33 = 22.(33 + x)

Área A = Área B

24 . 33 = 22 . (33 + x) ÷ (11)

24 . 3 = 2 . (33 + x) ÷ (2)

12 . 3 = 33 + x

36 – 33 = x

3 = x

Resposta: C

06. A proporção entre as medalhas de ouro, prata e bronze

conquistadas por um atleta é 1:2:4, respectivamente.

Se ele disputar 77 competições e ganhar medalhas em todas

elas, quantas medalhas de bronze ele ganhará?

(A) 11 (B) 22 (C) 55 (D) 44 (E) 33

Solução:

“A proporção entre as medalhas de ouro, prata e bronze

conquistadas por um atleta é 1:2:4”.

4

bronze

2

prata

1

ouro

4

4.k

2

2.k

1

1.k

“Se ele disputar 77 competições e ganhar medalhas em todas

elas”, temos:

k + 2k + 3k = 77 7k = 77 k = 11

Como o número de medalhas de bronze corresponde a 4k,

temos:

Medalhas de bronze = 4.k = 4.11 = 44

Resposta: D


07. Se o resto da divisão do polinômio P(x) = 2xn + 5x – 30

por Q(x) = x – 2 e igual a 44, então n e igual a:

(A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 4 (E) 5

Solução:

O resto da divisão do polinômio P(x) pelo binômio x – 2 é o

valor numérico de P(x) em x = 2, isto é, o resto é P(2).

Então,

P(2) = 2.2n + 5.2 – 30

P(2) = 2n + 1

+ 10 – 30

P(2) = 2n + 1

– 20

Como o resto encontrado é igual a 44 e P(2) é o resto, temos:

P(2) = 44

2n + 1

– 20 = 44

2n + 1

= 44 + 20

2n + 1

= 64

2n + 1

= 26

n + 1 = 6

n = 5

Resposta: E

08. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 sem repeti-Ios,

podemos escrever "x" números de 4 algarismos, maiores que

3200. 0 valor de "x" é:

(A) 228 (B) 320 (C) 300 (D) 210 (E) 240

Solução:

Quantidade de números de quatro algarismos distintos:

Iniciando com o algarismo 6:

6 _ _ _ 5 . 4 . 3 = 60


5 _ _ _ 5 . 4 . 3 = 60


4 _ _ _ 5 . 4 . 3 = 60

Iniciando com 36:

36_ _ 4 . 3 = 12

Iniciando com 35:

35_ _ 4 . 3 = 12

Iniciando com 34:

34_ _ 4 . 3 = 12

Iniciando com 326:

326_ 3

Iniciando com 325:

325_ 3

Iniciando com 324:

324_ 3

Iniciando com 321:

321_ 3

Total de números: 3 x 60 + 3 x 12 + 4 x 3 = 228

Outra forma de resolver:

3.A5, 3 + 4. A4, 2

2)!-(4

! 44

3)!-(5

! 53 →

2!

! 44

2!

! 53 →

2!

! 2344

2!

! 23453

→ 3443453 →

180 + 48 = 228

Resposta: A

09. Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000?

(A) 100 (B) 180 (C) 120 (D) 140 (E) 160

Solução:

Quantidade de múltiplos de 9 entre 100 e 1000

100 ÷ 9 = 11 (parte inteira)


111 – 11 = 100 múltiplos de 9

Quantidade de múltiplos de 15 entre 100 e 1000



66 – 6 = 60 múltiplos de 15

Quantidade de múltiplos de 45 entre 100 e 1000 (mútliplos

comuns entre 9 e 15)



22 – 2 = 20 múltiplos de 45

Atenção!

Esse bizu, para descobrir a quantidade de divisores, só deve ser

usado quando os números extremos, no caso 100 e 1000, não

forem múltiplos dos números analisados, no caso 9, 15 e 45.

Caso contrário, um dos números extremos ser múltiplo, ou

ambos, é necessária uma outra análise.

Total de múltiplos de 9 ou 15:

100 + 60 – 20 = 140

Observação!

Retiramos os múltiplos comuns de 9 e 15, pois haviam sido somados

duas vezes.

Resposta: D


10. Uma loja de eletrodomésticos paga, pela aquisição de

certo produto, o correspondente ao preço x (em reais) de

fabricação, mais 5% de imposto e 3% de frete, ambos os

percentuais calculados sobre o preço x. Vende esse produto

ao consumidor por R$ 54,00, com lucro de 25%. Então, o

valor de x é:

(A) R$ 38,00

(B) R$ 41,80

(C) R$ 40,00

(D) R$ 36,00

(E) R$ 42,40

Solução:

Preço do produto x

Imposto 5% de x

Frete 3% de x

Preço final do produto x + 0,05.x + 0,03.x = 1,08.x

Preço de venda: 54,00 com 25% de lucro

Preço de venda: 1,08.x + 0,25.1,08.x = 54,00

Preço do produto:

1,35.x = 54

x = 54 ÷ 1,35

x = 40,00

Resposta: C

11. A pirâmide de Quéops, em Gize, no Egito, tem

aproximadamente 290 metros de altura, possui uma base

quadrada e suas faces laterais são triângulos eqüiláteros.

Nessas condições, pode-se afirmar que, em metros, cada uma

de suas arestas mede:

(A) 90

(B) 200

(C) 160

(D) 120

(E) 180

Solução:

Aplicando Pitágoras, temos:

x2 =

22

2

2x290

x2 = 90

2.2 +

4

.2x2

x2 = 90

2.2 +

2

.1x2

2x2 = 90

2.2.2 + x

2

2x2 – x

2 = 90

2.2

2

x2 = 90

2 . 2

2

x = 90 . 2

x = 180 m

Resposta: E

12. 0 valor de x tal que 34 . 3

5 . 3

6 ... 3

x = 3

30 é:

(A) 12 (D) 6

(B) 13 (E) 7

(C) 8

Solução:

34 . 3

5 . 3

6 ... 3

x = 3

30

34 + 5 + 6 + ... + x

= 330

4 + 5 + 6 + ... + x = 30

Possuímos uma soma de números naturais, iniciando no

número 4, cujo resultado é igual a 30, então:

4 + 5 = 9 + 6 = 15 + 7 = 22 + 8 = 30

O último número utilizado foi 8, logo x = 8.

Resposta: C

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