INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – UNIVERSIDADE DE SÃO

PAULO

MAP5726 - INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAL:

ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS

Prof. Dr. Luis Carlos de Castro Santos

LISTA DE EXERCÍCIOS 1 - SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EDP DE BURGER POR

MÉTODOS DAS DIFERENÇAS FINITAS: FTCS EXPLÍCITO, MACCORMACK

EXPLÍCITO E BTCS IMPLÍCITO

Daniel Roberto Ferreira

São Paulo, outubro de 2015.

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SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 3

2. SOLUÇÃO ANALÍTICA ........................................................................................ 3

3. SOLUÇÕES NUMÉRICAS ................................................................................... 4

3.1 MÉTODO EXPLÍCITO FORWARD TIME AND CENTRAL SPACE (FTCS) ... 4

3.2 MÉTODO EXPLÍCITO MACCORMACK ......................................................... 6

3.3 MÉTODO IMPLICITO BACKWARD TIME AND CENTRAL SPACE (BTCS) . 7

4. ANALISE DE ESTABILIDADE ........................................................................... 10

5. RESULTADOS ................................................................................................... 12

6. CONCLUSÃO ..................................................................................................... 13

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS .................................................................. 14

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1. INTRODUÇÃO

O exercício proposto tem o objetivo de resolver numericamente a equação

viscosa de Burger e comparar com a solução analítica.

��

��+ � ∙

��

��= � ∙

���

��� (1.1)

Onde � é a velocidade do som e � a viscosidade cinemática, são constantes.

A equação não linear de Burger está representada abaixo.

��

��+ � ∙

��

��= � ∙

���

��� (1.2)

Escrita em termos adimensionais:

��∗

��∗+ �∗ ∙

��∗

��∗=���∗

��∗� (1.3)

2. SOLUÇÃO ANALÍTICA

A solução analítica é dada por:

� = −2 ∙ sinh �

(cosh �) − ��� (2.1)

A distribuição inicial é dado por:

� = −2 ∙ sinh �

(cosh �) − ���,� (2.2)

Intervalos para definição da malha:

−9 ≤ � ≤ 9

∆� = 0,2

∆� = 0,01

Condições de contorno:

� = −9 � = 2

� = 9 � = −2

Tempo inicial: � = 0,1

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A equação foi implementada num algoritmo em linguagem C++. A solução

analítica foi obtida e plotada no gráfico da figura 1, para os tempos especificados.

Figura 1 – Gráfico da solução analítica.

3. SOLUÇÕES NUMÉRICAS

3.1 MÉTODO EXPLÍCITO FORWARD TIME AND CENTRAL SPACE (FTCS)

Equação das Diferenças Finitas para a Equação Diferencial Parcial de Burger

para o método explícito FTCS é dada por:

����� − ��

�

∆�+ � ∙

����� − ����

�

2 ∙ ∆�= � ∙

����� − 2 ∙ ��

� + �����

(∆�)� (3.1)

Isolando o termo ����� e considerando:

� =∆� ∙ �

∆� Número de Courant (3.2)

� =∆� ∙ �

(∆�)� Número de Difusão (3.3)

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����� = ��

� −�

2∙ (����

� − ����� ) + � ∙ (����

� − 2 ∙ ��� + ����

� ) (3.4)

Na solução deste problema, foram considerados � = 1 e � = ���. A EDF foi

implementada num algoritmo em linguagem C++. A solução numérica foi obtida e

plotada no gráfico da figura 2 para os tempos especificados.

Figura 2 – Gráfico da solução por método explícito FTCS.

O erro absoluto foi obtido, comparando a solução analítica com a solução pelo

método explícito FTCS. Os valores estão representados no gráfico da figura 3.

Figura 3 – Erro absoluto do método explícito FTCS.

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3.2 MÉTODO EXPLÍCITO MACCORMACK

Equação das Diferenças Finitas para a Equação Diferencial Parcial de Burger

para o método explícito MacCormack é dada por:

∆��� = −

∆�

∆�∙ (����

� − ���) +

∆�

(∆�)�∙ (����

� − 2 ∙ ��� + ����

� ) (3.5)

��∗ = ��

� + ∆��� (3.6)

∆��∗ = −

∆�

∆�∙ (��

∗ − ����∗ ) +

∆�

(∆�)�∙ (����

∗ − 2 ∙ ��∗ + ����

∗ ) (3.7)

����� =

1

2∙ (��

� + ��∗ + ∆��

∗) (3.8)

� =1

2∙ �� (3.9)

A EDF foi implementada num algoritmo em linguagem C++. A solução

numérica foi obtida e plotada no gráfico da figura 4 para os tempos especificados.

Figura 4 - Gráfico da solução por método explícito MacCormak.

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O erro absoluto foi obtido, comparando a solução analítica com a solução pelo

método explícito MacCormack. Os valores estão representados no gráfico da figura 5.

Figura 5 – Erro absoluto do método explícito MacCormak.

3.3 MÉTODO IMPLICITO BACKWARD TIME AND CENTRAL SPACE (BTCS)

Equação das Diferenças Finitas para a Equação Diferencial Parcial de

Burger para o método implícito BTCS é dada por:

����� − ��

�

∆�+ ��

� ∙������� − ����

���

2 ∙ ∆�= � ∙

������� − 2 ∙ ��

��� + �������

(∆�)� (3.10)

Rearranjando os termos e considerando:

�� = −∆�

(∆�)�− ��

� ∙∆�

2 ∙ ∆� (3.11)

�� = 1 + 2 ∙∆�

(∆�)� (3.12)

�� = −∆�

(∆�)�+ ��

� ∙∆�

2 ∙ ∆� (3.13)

�� = ��� (3.14)

��� = ��

� (3.15)

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�� ∙ ������� + �� ∙ ��

��� + �� ∙ ������� = �� (3.16)

A EDF foi expressa num sistema de matriz tridiagonal. O método utilizado foi

o proposto no Apêndice B da bibliografia. O procedimento consiste em assumir a

solução na forma:

����� = −��

��� ∙ ������� + ��

��� (3.17)

������� = −����

��� ∙ ������� + ����

��� (3.18)

Onde os valores de �� e �� são calculados por:

����� = −

��

�� − �� ∙ ������� (3.19)

����� = −

�� − �� ∙ �������

�� − �� ∙ ������� (3.20)

Das condições de contorno, foram estabelecidos os valores de �� e ��, para

os valores das extremidades, em cada nó do domínio (� = −9�� = 9). Calculando os

valores dos coeficientes ��, ��, �� e ��, aliados aos valores da distribuição inicial (� =

0.1), foram determinados os valores de �� e �� para todo o domínio, utilizando as

equações (3.19 e 3.20) numa rotina de incremento.

Com todos os valores de �� e ��, utilizando a equação (3.18) e a condição de

contorno superior (� = 9), foram determinados os valores de �������, utilizando uma

rotina de decremento.

A solução numérica foi obtida e plotada no gráfico da figura 6 para os tempos

especificados.

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Figura 6 - Gráfico da solução por método implícito BTCS.

O erro absoluto foi obtido, comparando a solução analítica com a solução pelo

método implícito BTCS. Os valores estão representados no gráfico da figura 7.

Figura 7 – Erro absoluto do método implícito BTCS.

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4. ANÁLISE DE ESTABILIDADE

O critério de estabilidade para o método explícito FTCS é dado por:

� ≤1

2 (4.1)

Onde:

� =∆� ∙ �

(∆�)� (4.2)

Para os valores propostos no exercício, foram determinados os valores de �

e comparados com o critério de estabilidade. O valor da viscosidade foi

considerada� = 1. Os resultados estão listados abaixo:

a) ∆� = 0.2 ∆� = 0.02 ∆�

(∆�)�= 0.5

b) ∆� = 0.2 ∆� = 0.05 ∆�

(∆�)�= 1.25

c) ∆� = 0.5 ∆� = 0.01 ∆�

(∆�)�= 0.04

d) ∆� = 0.5 ∆� = 0.05 ∆�

(∆�)�= 0.2

Condição imposta ∆� = 0.2 ∆� = 0.01 ∆�

(∆�)�= 0.25

Para todos os valores de ∆� e ∆� propostos, o critério de estabilidade é

verdadeiro, inclusive para a condição imposta. Com exceção da opção b que produz

um algoritmo instável. O mesmo foi implementado em C++, o resultado foi plotado e

comparado com a condição estável, imposta pelo exercício. Através do algoritmo foi

verificado alta instabilidade para � superiores a 0.4.

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Figura 8 – Instabilidade do método explicito FTCS comparado com a solução na condição imposta.

O critério de estabilidade para o método explícito MacCormack é dado por:

∆� ≤1

�∆� +

2 ∙ �(∆�)�

(4.3)

Rearranjando os termos, considerando� = 1 e � = 0, o critério de

estabilidade se torna igual ao anterior (equação 4.1).

Foi realizado o mesmo procedimento anterior, implementado em C++ o

método explícito instável MacCormack proposto pelo item b. Através do algoritmo foi

verificado alta instabilidade para � igual a 0.4.

A solução implícita BTCS é sempre estável, também foi implementado o

algoritmo em C++ para a condição proposta pelo item b.

Os resultados foram plotados no gráfico abaixo e comparados com a solução

analítica.

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Figura 9 – Comparação de instabilidades dos métodos explicitos FTCS e MacCormack com método

implícito BTCS e solução analítica, para t=0.4.

5. RESULTADOS

Os erros absolutos das soluções obtidas pelos 3 métodos foram comparados,

para cada tempo especificado, e plotados nos gráficos abaixo.

Figura 10 - Comparação dos erros absolutos para os 3 métodos no t=0.4.

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Figura 11 - Comparação dos erros absolutos para os 3 métodos no t=0.7.

Figura 12 - Comparação dos erros absolutos para os 3 métodos no t=1.0.

6. CONCLUSÃO

A solução pelo método explícito FTCS apresenta erros menores se

comparada ao método implícito BTCS, além de ser facilmente implementada em

algoritmo computacional. Porém requer um estudo cuidadoso na definição da malha

devido a instabilidade.

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O método explícito MacCormack apresentou os menores erros, é facilmente

implementado em algoritmo computacional, porém apresentou uma instabilidade

maior se comparada ao método explícito FTCS.

O método implícito BTCS possui uma dificuldade maior na implementação do

algoritmo computacional e erros maiores, porém é estável.

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

HOFFMANN, Klaus A.; CHIANG, Steve T. Computational Fluid Dynamics Volume

I. 4th ed. Kansas: EES books, 2000. 485p.