UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS Aluno: Carlos Alberto de Sousa Parente Rodrigues

Splines Uniformes e Periódicas

Uma Spline é uniforme se o vetor de nós é definido em intervalos iguais para todos os intervalos. Muitas vezes cada segmento da B-Spline é localmente normalizado, como o caso do próximo desenvolvimento. Vetores de nós uniformes são também periódicos, ou seja, a função B-Spline se translada para cada segmento. A influência de cada função base é limitada a k intervalos. Por exemplo, se uma função cúbica for usada ela se expandirá em quatro intervalos na geração de uma B-Spline cúbica uniforme.

B-Splines uniformes de diversos graus com Bis iguais.

Splines Não-Periódicas

Uma Spline não é periódica se o vetor de nós não é definido em intervalos iguais para todos os intervalos, ou seja, vetor de nós não-periódico. Um vetor de nós é não-periódico se tem nós de valores repetidos nos extremos com multiplicidade igual à ordem k, e nós internos igualmente espaçados.

B-Splines não periódicos de diversos graus.

Nesse caso, as curvas não diminuem seus limites como ocorria no caso anterior de vetores de nós periódicos, eles sempre iniciam no primeiro ponto e terminam no último.

Splines não-uniformes

Os vetores de nós são ditos não-uniformes se forem não-periódicos e não tiverem nós múltiplos nas extremidades ou nós internos com mesmo espaçamento (ambas condições necessárias para a classificação de Splines periódicas). Embora nós com espaçamento uniforme sejam mais simples, há vantagens no uso de espaçamento não-uniforme para controle mais preciso de formas.

B-Spline cúbica não-uniforme.

Catmull-Rom Splines

É uma interpolação local das curvas Spline desenvolvida para ser apliada em computação gráfica. Uma característica importante da Catmull-Rom Spline é que a curva gerada passa através de todos os

pontos de controle, o que não é comum para uma Spline. Para calcular um ponto na curva, são necessários dois pontos, um antes e outro depois do ponto desejado, como os pontos P1 e P2 na figura abaixo.

A posição do ponto a ser interpolado é especificada pelo parâmetro t, que indica a posição do novo ponto em relação a sua distância dos outros dois. Quanto mais próximo de zero, mais próximo estará o novo ponto de P1. Quanto mais próximo de um, mais próximo o novo ponto estará de P2. A Spline de Catmull-Rom tem as seguintes características: A curva gerada passa por todos os pontos de controle; a curva gerada é contínua de classe 1, C1, ou seja, não existe descontinuidade nas tangentes (Figura 3.18). Além disso, o vetor tangente em um ponto Pi é paralelo a linha que une os pontos Pi – 1 e Pi + 1; a curva gerada não é contínua de classe 2, C2, isto é, a curvatura do segmento gerado não é constante. A segunda derivativa, em vez de ser contínua, apresenta uma curvatura que varia linearmente; os pontos no segmento quando podem estar fora da figura convexa definida pelos pontos de controle (convexhull).

A Spline continua sem descontinuidade na direção da tangente.