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SplinesA Perfect Fit for Signal and Image Processing
Michael Unser, IEEE Signal Processing Mag. 1999
Grupo de Discussões InCor - São Paulo, 29 de agosto de 2008
Mônica Matsumoto
Domínio discreto: l2(Zp)
f(x), x Zp
Objetivos Splines
• Amostragem e aquisição de sinais– interpolação
• Algorítimos contínuos e discretos– Detecção de contornos, registration..
• Abordagens Multi-escalas– Espaço de escalas (fator m de dilatação)– Pirâmides, wavelets– Multi-resolução
Domínio contínuo: L2(Rp)
f(x), x Rp
Splines: Definição• Def: uma função s(x) é um polinômio spline de ordem n com nós xk, se
satisfizer as seguintes propriedades:– s(x) é um polinômio contínuo por partes de grau n dentro de cada intervalo
[xk, xk+1[.– Derivadas até ordem n-1 contínuas nos pontos xk.
• Graus de liberdade por segmento: 1
n+1 – n = 1(coeficientes) (restrições de cont até ordem n-1) (grau de liberdade)
• Ex. Polinômio de terceira ordem. f(x) = ax3+bx2+cx+d– Ordem: 3 n, – Coeficientes (a,b,c,d): 4 n+1, – Restrição de suavidade (derivada no ponto):3 n {s(xk), s’(xk), s’’(xk)}
B-Splines
0(x)=
..,021,
21
21,1
cc
x
x
B-Spline de ordem n Convolução (n+1) vezes da B-Spline de ordem Zero
Representação B-Spline
• Schoenberg, 1946 • Representação única por expansão na base de B-splines (combinação linear de coeficientes c(k) única, ver definições de produto interno e base deste espaço de funções)
Zk
n kxkcxs )()()(
Representação B-Spline: Ordem 0
• Exemplo 0. Decomposição em combinação linear em B-Splines de ordem Zero.
...)3().3()2().2()1().1()().0(...)( 0000 xcxcxcxcxs
Zk
n kxkcxs )()()(
Analógico Digital
Representação B-Spline: Ordem 1
• Exemplo 1. Decomposição em combinação linear em B-Splines de ordem Um.
...)3().3()2().2()1().1()().0(...)( 1111 xcxcxcxcxs
Zk
n kxkcxs )()()(
Analógico Digital
Representação B-Spline: Ordem n
• Para ordem 0 e 1: c(k) = s(xk)• E demais ordens??? Situação mais
complexa. – Técnicas numéricas com matrizes. – Técnicas de processamento de sinais
Filtragem digital.
Interpolação B-Spline via Filtro Digital
• Kernel bnm das B-Splines discretas, amostragem da B-
Spline de ordem n, expandida por um fator m
contínuo discreto
Interpolação B-Spline via Filtro Digital
• Interpolação: Solução inversa do filtro
• Implementação recursiva eficiente (Z)
)1)(1()1(
46][)( 1
2
11
1
zzzz
kb zn
Causal Não-Causal
Interpolação Splines Cardinais
• ninfinito, converge para filtro ideal
Aplicações• Transformação geométrica da imagem
– Zoom, rotação, redimensionamento, warping...• Interpolação e amostragem
– Processo rápido e de alta performance– Filtro multi-escala rápido (Algoritmo Árvore)
• Extração de atributos (features)– Contornos, geometria diferencial, pirâmides, forma,
contornos ativos, formas• Análise de movimento
– Optical flow
Conclusões
• Características splines– Fácil de manipular– Suave e bem-comportada– Excelentes propriedades de aproximação– Propriedades de multiresolução
• Splines e processamento de imagens– Histórico de estranhamento, mais recentemente,
aproximação– Melhores resultados custo-performance– Muitas aplicações!