2 6 Sinais de Tempo Discreto e Transformada de Fourier ...· Na referência [Oppenheim, A. V., Schafer,

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2 6 Sinais de Tempo Discreto e Transformada de Fourier Discreta2.6 Sinais de Tempo Discreto e Transformada de Fourier DiscretaEm computao numrica, os nmero de dados devem ser finitos, significando que o nmero de amostras de um sinal x(t) e de seu espectro X(f) devem ser finitos.

Deve-se trabalhar com sinais x(t) limitados no tempo e, em caso contrrio, necessrio trunc-los para que tenham durao finita. O mesmo se aplica a X(f) .

O Processo de amostragemO Processo de amostragem

Embora existam outras possibilidades, o mtodo tpico de obter uma representao de tempo discreto de um sinal contnuo no tempo atravs de amostragem peridica.

Considere-se um sinal x(t), de durao , comeando em t = 0, conforme esboado na figura abaixo, juntamente com seu espectro:

Conforme ser discutido adiante, existem razes para considerar x(t) de durao T, onde T , tal que x(t) = 0 em < t T. ___________________________________________________Lathi, B. P., Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, Oxford university Press, New York,Lathi, B. P., Modern Digital and Analog Communication Systems, 3 edition, Oxford university Press, New York, 401 0., 1998.

Tomam-se amostras de x(t) em intervalos de amostragem uniformes de Ts segundos.Tsk)

O sistema que implementa a operao de amostragem um conversor ideal de tempo contnuo para O total de amostras : N = T / Ts .

k

*

discreto (conversor C/D).

s

)()( skTxkx )(tx

sendo x(t) o sinal de tempo contnuo, x(k) o sinal de tempo discreto e Ts o intervalo de amostragem.

Em um arranjo prtico, a operao de amostragem implementada por um conversor analgico-digitalEm um arranjo prtico, a operao de amostragem implementada por um conversor analgico digital(A/D), o qual pode ser interpretado como uma aproximao de um conversor C/D ideal.

__________________________________________________________* O h i A V S h f R W B k J R Di t Ti Si l P i 2 d diti P ti H ll 897* Oppenheim, A. V., Schafer, R. W., Buck, J. R., Discrete-Time Signal Processing,2nd edition Prentice Hall, 897 p.,

New Jersey, 1999.

s

)(tx )()( skTxkx

Na figura abaixo mostra-se um trem de pulsos retangulares que foi amostrado na taxa fs = 1/T s,sendo t = Ts o intervalo de amostragem (distncia entre amostras consecutivas).

Observe se que a sequncia se repete a cada N 16 amostras sendo N o perodo da sequnciaObserve-se que a sequncia se repete a cada N = 16 amostras, sendo N o perodo da sequncia.

As amostras podem ser expressas por:

Se o amostrador for uma funo impulso peridica:

Por simplicidade costuma se descartar T e escrever simplesmente:

?impulsodiscreto?

Por simplicidade, costuma-se descartar Ts e escrever simplesmente:

A t (k) i l d t di t j i d d d A representao x(k) um sinal de tempo discreto, ou seja, uma sequncia ordenada de nmeros, possivelmente complexos, e consistindo de k = 0, 1, 2, ..., N1, num total de N pontos.___________________________________________________

Exemplo: A sequncia impulso unitrio de tempo discreto definido por:

cujo grfico est desenhado ao lado:

Exemplo: A sequncia degrau unitrio definida por:

e seu grfico est desenhado ao lado:

Exemplo: O degrau tambm pode ser descrito por:Exemplo: O degrau tambm pode ser descrito por:

Exemplo: A exponencial real definida simplesmente por:

ficando implcito que n = 0, 1, 2, ...

No caso em que A e so nmeros reais, A > 0 e 0< < 1 tem se o grfico ao lado:A > 0 e 0< < 1, tem-se o grfico ao lado:

Exemplo: Seja a sequncia representada na figura a seguir:

A sequncia pode ser especificada por:

Exemplo: Generalizando, toda sequncia pode ser representada por:

k

nkkxkx )()()( k

Modelo Matemtico da Amostragem

conveniente representar matematicamente o processo de amostragem em dois estgios: um modulador por trem de impulsos e um conversor de trem de impulsos para sequncia.

)(tx )()( skTxkx

*

Na figura abaixo mostra-se um sinal contnuo no tempo x(t) e o resultado da amostragem por trem de

)(tx

g p ( ) g pimpulsos, xs(t).

s s s s

Ao lado de x (t) mostrada a sequncia de sada correspondente x(k):

)(kx)(tx

Ao lado de xs(t), mostrada a sequncia de sada correspondente, x(k):

ks s s s

A diferena bsica entre xs (t) e x(k) que xs (t) um sinal do tipo contnuo (um trem de impulsos, que nulo exceto em mltiplos inteiros de Ts ), enquanto a sequncia x(k) de tempo discreto e estque nulo exceto em mltiplos inteiros de Ts ), enquanto a sequncia x(k) de tempo discreto e est indexada na varivel k (a qual estabelece uma normalizao de tempo).

As amostras esto representadas por nmeros finitos x(k) em vez de reas de impulsos xs (t) .

___________________________________________________Observao:

Na referncia [Oppenheim, A. V., Schafer, R. W., Buck, J. R., Discrete-Time Signal Processing,2nd edition Prentice ll 89 1999] d d i i i i b d i d f d d i dHall, 897 p., New Jersey, 1999], o estudo deste tpico inicia-se sob o ponto de vista da transformada de Fourier de

uma sequncia (DTFT), segue para a discusso da srie de Fourier discreta (DFS) de sequncias peridicas, e evoluipara o conceito de transformada de Fourier discreta (DFT) aplicada a sequncias de comprimento finito.

Neste curso ser apresentado apenas uma breve introduo sobre o assunto deixando a anlise mais aprofundadaNeste curso, ser apresentado apenas uma breve introduo sobre o assunto, deixando a anlise mais aprofundadapara o curso de Processamento Digital de Sinais.

)(tx )()( skTxkx

A converso de x(t) para x (t) inicia se empregando se um trem de impulsos peridico:A converso de x(t) para xs (t) inicia-se empregando-se um trem de impulsos peridico:

o qual modulado por x(t) resultando em:

k

skTtts )()(

o qual modulado por x(t) resultando em:

At d i d d d lti li d f i l (2 5 9 ) t d b i

k

ss kTttxtstxtx )()()()()(

Atravs da propriedade de multiplicao da funo impulso (2.5.9a) mostrada abaixo:

xs (t) pode ser expressa por:

Aps o conversor C/D, obtm-se

k

sss kTtkTxtx )()()(

Impulso discreto

ou , k = 0, 1, 2, ...)()()( nknxkxn

)()( skTxkx

Recorre-se a relao (2.2-4), da transformada de Fourier:Recorre se a relao (2.2 4), da transformada de Fourier:

de (k) (kT ) d e t e 0 e T bte :para o caso de x(k) = x(kTs), com durao entre 0 e T, para obter:

dtekTxfX skTfjsT

2

0

)()(

Como as amostras so espaadas entre si de Ts , aproxima-se dt t=Ts na integral acima.

Alm disso, como o nmero de amostra discreto e limitado entre 0 e (N1), a integral convertida em somatrio: N 1

Conforme ser verificado a seguir, X(f) tambm discreto, com amostras uniformemente espaadas.

s

N

k

kTfjsT

TekTxfX ss

1

0

2

0)(lim)(

g , (f) , p

Considera-se que o espaamento entre amostras seja igual a f Hz, tal que f = nf.

Se X(n) a n sima amostra de X(f) isto X(n) = X(nf) entoSe X(n) a n-sima amostra de X(f), isto , X(n) = X(nf), ento

1

0

)(21

0

)(2 )()()()(N

k

kTfnjN

k

kTfnjss

ss ekxekTxTfnXnX

sendo x(k) = Ts x(k Ts) por definio, o qual idntico ao x(k) anterior, exceto por um fator de escala.

11

2 )()()(N

kjnN

kTfjn ekxekxnX sPortanto, , sendo = 2 f Ts por definio. 00

)()()(kk

ekxekxnXPortanto, , sendo 2 f Ts por definio.

As amostras X(n) so peridicas, com perodo 2/ = 2/(f Ts) amostras.s a ost as (n) so pe d cas, co pe odo / /( f s) a ost as.

Na deduo, assumiu-se que Ts0, porm, na prtica, isto no possvel porque aumentaria imensamente o nmero de dados a serem processados.

Isto resulta em algum erro computacional (conforme ser visto adiante), e assim, deve-se esforar para tornar Ts to pequeno quanto for praticvel.

Prosseguindo, apenas um nmero de 2/ amostras de X(n) podem ser independentes, e tambm,X(n) determinado por apenas N valores independentes de x(k).

P t t i d j i d h N l d tPortanto, para que as inversas dessas equaes sejam nicas, s pode haver N valores de amostras independentes de X(n) , ou seja:

ffNN 1e22222 T

fT

fTfTf

Ns

e222

ff 1e22

11

2 )()()(N

kjnN

kTfjn ekxekxnX sT

fT

f e2

Ento, dado que N = T /Ts ocorre: nkNj

NT

TnkjkfTjn s

2122

00

)()()(kk

ekxekxnX____________________________________

e da:

NNT

A expresso X(n) constitui a forma tradicional da transformada de Fourier discreta (DFT), denotada por DFT [x(k)].

X(n) consiste de N amostras, onde cada amostra est espaada da outra pela frequncia f :

h tsfffNfff 1 hertz.

sendo fs o nmero de amostras de x(t) por segundo, ou seja, a frequncia de amostragem de x(t).s

ss TNN

fffNffnf

Isto significa que X(n) N-peridica, repetindo-se a cada fs Hz.

Observe-se que, calculando X(n) para n substitudo por (n+N), obtm-se:

221)(21 kkNkN

____________________________________

)()()()(221

0

)(21

0nXeekxekxNnX

NkN

jnkN

jN

k

kNnN

jN

k

2

kkNkj

pois . 1)( 22

kjkjN

jeee