CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS 3

CÁLCULO – Vol. 1 – 5ª Edição – James Stewart

1. Exercício 2 – pag. 223 Resposta:

€

dydx

=3

2 4 + 3x.

2. Exercício 4 – pag. 223 Resposta:

€

dydx

= sec2(sen(x))cos(x).

3. Exercício 5 – pag. 223 Resposta:

€

dydx

=e x

2 x.

4. Exercício 6 – pag. 223 Resposta:

€

dydx

= ex cos(ex ).

5. Exercício 8 – pag. 223 Resposta:

€

′ F (x) = 3(2x −1) x 2 − x +1( )2

6. Exercício 9 – pag. 223 Resposta:

€

′ F (x) =2 + 3x 2

4 1+ 2x + x 3( )34

.

7. Exercício 12 – pag. 223 Resposta:

€

′ f (t) =sec2(t)

3 1+ tg(t)( )23

.

8. Exercício 15 – pag. 224 Resposta:

€

′ y = −me−mx .

9. Exercício 16 – pag. 224 Resposta:

€

′ y = 20sec(5x)tg(5x) .

10. Exercício 18 – pag. 224 Resposta:

€

′ h (t) =12t 3 t 3 +1( )4

t 4 −1( )2

+12t 2 t 3 +1( )3

t 4 −1( )3.

11. Exercício 20 – pag. 224 Resposta:

€

′ y =2x(x 2 +1)

3 x 2 + 2( )23

+ 2x x 2 + 2( )13 .

12. Exercício 22 – pag. 224 Resposta:

€

′ y = −5e−5x cos(3x) − 3e−5xsen(3x).

13. Exercício 23 – pag. 224 Resposta:

€

′ y = ex cos(x ) cos(x) − xsen(x)( ) .

14. Exercício 26 – pag. 224 Resposta:

€

′ G (y) =4(y −1)3(y 2 + 2y) − 5(y −1)4 (2y + 2)

(y 2 + 2y)6.

15. Exercício 27 – pag. 224 Resposta:

€

′ y =1

r2 +1−

r2

(r2 +1)32

.

16. Exercício 36 – pag. 224 Resposta:

€

′ y = ektg(x )k sec2(x).

17. Exercício 37 – pag. 224 Resposta:

€

′ y = −2cos(θ)cot g(sen(θ))cossec2(sen(θ)) .

18. Exercício 39 – pag. 224 Resposta:

€

′ y =1+

12 x

2 x + x.

19. Exercício 41 – pag. 224 Resposta:

€

′ y =cos(x) cos(tg( sen(x))) sec2( sen(x))

2 sen(x).

20. Exercício 42 – pag. 224 Resposta:

€

′ y = 21+3x2

3x 2 x ln(2)ln(3) .

21. Exercício 44 – pag. 224 Resposta:

€

y = x .

22. Exercício 45 – pag. 224 Resposta:

€

y = −x + π .

€

23. Exercício 51 – pag. 224 Resposta:

€

2kπ +π2,3

e 2kπ − π

2,−1

, onde k

é um inteiro qualquer.

24. Exercício 52 – pag. 224 Resposta:

€

x = 2kπ e

€

x = 2kπ ±2π3

, onde k é um

inteiro qualquer.

25. Exercício 53 – pag. 224 Resposta:

€

′ F (3) = 28.

26. Exercício 63 – pag. 225 Resposta: a)

€

′ f (x) =4x

; b)

€

′ g (x) =1x

;

c)

€

′ F (x) =4 L(x)( )3

x; d)

€

′ G (x) = −1x

.

27. Exercício 65 – pag. 225 Resposta:

€

v(t) = ′ s (t) =5π2cos(10πt) .

28. Exercício 66 – pag. 225 Resposta:

€

v(t) = ′ s (t) = −Aωsen(ωt + δ) ;

a velocidade é zero quando

€

t =kπ −δω

, onde k é um

número inteiro qualquer.

29. Exercício 79 – pag. 226 Resposta: Observar que a medida x em radianos de

um ângulo de

€

θ graus é

€

x =π180

θ e usar a regra da

cadeia.

30. Exercício 80 – pag. 226 Resposta: b) f não é diferenciável para

€

x = kπ , onde

k é um número inteiro qualquer;

c) g diferenciável para

€

x = 0 .

31. Exercício 2 – pag. 232 Resposta: a)

€

′ y = −4x9y

; b)

€

′ y = ±(−4x)

3 36 − 4x 2.

32. Exercício 4 – pag. 232 Resposta: a)

€

′ y = −yx

; b)

€

′ y =x − 4

x.

33. Exercício 7 – pag. 232 Resposta:

€

′ y = −3x 2 + 2xy

x 2 + 8y.

34. Exercício 8 – pag. 232 Resposta:

€

′ y =2y − 2x3y 2 − 2x

.

35. Exercício 10 – pag. 232 Resposta:

€

′ y =2ex 2 xy − 2xy 3

5y 4 + 3x 2y 2 − ex 2.

36. Exercício 24 – pag. 232 Resposta:

€

dxdy

=ax 2 − 4 x 2 + y 2( )y4 x 2 + y 2( )x − 2axy

.

37. Exercício 25 – pag. 233 Resposta:

€

y = −x + 2.

38. Exercício 27 – pag. 233 Resposta:

€

y = x +12

.

39. Exercício 28 – pag. 233 Resposta:

€

y =33x + 4 .

40. Exercício 29 – pag.233 Resposta:

€

y = −113x +1613

.

41. Exercício 30 – pag. 233 Resposta:

€

y = −2 .

42. Exercício 35 – pag. 233 Resposta:

€

5 34, 54

,

5 34,− 54

, −

5 34, 54

, −

5 34,− 54

.

43. Exercício 38 – pag. 233 Resposta: A equação da reta tangente à curva no

€

x0,y0( ) é

€

y − y0 = −y0x0

x − x0( ) . Fazendo nessa

x = 0, obtemos

€

y = y0 + x0 y0 ; fazendo y = 0,

obtemos

€

x = x0 + x0 y0 . A soma x + y desses

valores é c.

44. Exercício 41 – pag. 233 Resposta:

€

′ y =1

2(1+ x) x.

45. Exercício 44 – pag. 233 Resposta:

€

′ h (x) =1− x1− x 2

arcsen(x).

46. Exercício 45 – pag. 233 Resposta:

€

′ H (x) =1+ 2x arctg(x)

47. Exercício 46 – pag. 233 Resposta:

€

′ y =1

2 + 2x 2.

48. Exercício 49 – pag. 233 Resposta:

€

′ y = −2e2x

1− e4x.

49. Exercício 50 – pag. 233 Resposta:

€

′ y = −sen(θ)

1+ cos2(θ).

50. Exercício 55 – pag. 234 Resposta: No ponto de interseção (1,-1) a inclinação

da tengente à primeira curva é 2 e a inclinação da

tangente à segunda curva é -0,5; no ponto de

interseção (1,1) a inclinação da tangente à primeira

curva é -2 e a inclinação da tangente à segunda curva

é 0,5. Logo as curvas são ortogonais.

51. Exercício 56 – pag. 234 Sugestão: Os pontos de interseção das duas curvas

são (3,2); (3,-2); (-3,2) e (-3,-2). A inclinação da

tangente à primeira em (x,y) é

€

xy

; a inclinação da

tangente à segunda em (x,y) é

€

−4x9y

.

52. Exercício 59 – pag. 234 Sugestão:

€

ax + by = 0 é a equação de uma reta pela

origem, cuja inclinação no ponto (x,y) é

€

yx

.

53. Exercício 60 – pag. 234 Sugestão: As inclinações da retas tangents às duas

familias de círculos num ponto de interseção são

€

′ y =a − 2x2y

e

€

′ y =−2x2y − b

. Mostre que o produto

dessas inclinações é -1.

54. Exercício 62 – pag. 234 Sugestão: As inclinações da retas tangents às duas

familias num ponto de interseção são

€

′ y = 3ax 2 e

€

′ y =−x3y

. Mostre que o produto dessas inclinações

é -1.

55. Exercício 63 – pag. 234 Resposta: A elipse cruza o eixo x nos pontos

€

3,0( ) e

€

− 3,0( ) . A inclinação das retas tangentes

à eleipse nesses pontos é a mesma: 2. Logo elas são

paralelas.

56. Exercício 64 – pag. 234 Resposta: No ponto (1,-1).