INTRODUÇÃO 2 - Matemáticavidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/wp-content/uploads/sites/12/2015/05/... · No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares

MATEMÁTICA III 1 SISTEMAS LINEARES

INTRODUÇÃO ..................................................................................... 2

EQUAÇÕES LINEARES ...................................................................... 2

SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO LINEAR .......................................... 3

MATRIZES DE UM SISTEMA .............................................................. 6

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ................................................. 7

SISTEMAS ESCALONADOS ............................................................. 10

RESOLUÇÃO DE SISTEMA ESCALONADO .................................... 10

SISTEMAS EQUIVALENTES ............................................................. 12

ESCALONAMENTO DE SISTEMAS .................................................. 13

TEOREMA DE CRAMER ................................................................... 20

DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR ........................................... 25

SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS ........................................... 33

RESPOSTAS ..................................................................................... 38

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................................ 40

No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2.

CASSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

INTRODUÇÃO

Tio Ítalo quer dividir $100 entre seus dois sobrinhos de modo que o mais velho receba $8 a mais que o mais novo. Vamos calcular quanto receberá cada um dos sobrinhos? Chamando de x e y a parte que cabe ao mais velho e ao mais novo, respectivamente, podemos montar um sistema de equações com as duas incógnitas desta forma:

8

100

yx

yx

Resolvendo este sistema por

qualquer uma das formas que você já conhece, encontramos, como única solução, x = 54 e y = 46. Esta solução pode ser apresentada também pelo par ordenado (54, 46).

_______________________

Problemas como este, que envolvem duas equações e duas incógnitas, você aprendeu a resolver quando ainda cursava o ensino fundamental mas, a partir de agora, estudaremos sistemas lineares com várias equações e várias incógnitas.

EQUAÇÕES LINEARES

Chamamos de equação linear nas incógnitas x1, x2, x3, ..., xn, toda equação do tipo:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b

Os números a11, a12, a13, ..., a1n são reais e chamados de COEFICIENTES.

O número b, também real, é

chamado de TERMO INDEPENDENTE.

Ex.1: 3x + 2y = 7 é uma equação linear nas incógnitas x e y. 3 e 2 são os coeficientes e 7 é o termo independente.

Ex.2: 633

2

2

5 zyx é um equação

linear nas incógnitas x, y e z. 2

5,

3

2 e

3 são coeficientes e 6 é o termo independente.

Ex.3: 432

1

4

352 54321 xxxxx é

uma equação linear nas incógnitas x1,

x2, x3, x4 e x5. 2, -5, 4

3,

2

1 e 3 são os

coeficientes lineares e 4 é o termo independente.


Por definição, não são equações lineares algumas expressões como as apresentadas abaixo:

3xy = 10 x2 + y = 3

x2 + 2xy – 3y = 5

43 xy

Tente explicar, com os próximos conceitos que veremos, o motivo de expressões como estas, serem definidas como não lineares.

SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO LINEAR

Um sequência ou n-upla ordenada de números reais

n ...,,,, 321 é solução da equação

linear:

b xa ... xa xa xa n1n313212111

se a sentença

b a ... a a a n1n313212111

for verdadeira.

Ex.1: Considere a equação 3x + 2y = 7.

O par ordenado (1, 2) é solução da equação pois 7221 3 .

O par ordenado (3, -1) é solução

da equação pois 7123 3

O par (5, -3) não é solução da

equação pois 7325 3

Ex.2: Considere a equação 3x + y – 2z = 8

O terno ordenado (2, 4, 1) é solução da equação pois

812423 .

O terno ordenado (0, 6, -1) é solução da equação pois

812603 .

O terno ordenado (5, -2, 3) não é solução da equação pois

832253

________________________ Geometricamente, dizemos cada par ordenado (x, y) representa um ponto do plano e cada terno ordenado (x, y, z) representa um ponto do espaço tridimensional. Assim, podemos dizer que o par

ordenado

2

37,

kk onde k é qualquer

número real é solução geral da equação do exemplo 1 (na coluna da esquerda) e que o terno ordenado

2

83,,

mkmk com k e m reais, é

solução geral do exemplo 2 (acima). Observações:

1. É fácil perceber que a equação linear 0000 zyx admite,

como solução qualquer terno ordenado.

2. Já a equação linear 3000 zyx não admite

nenhuma solução.


3. Por fim, na equação linear 032 zyx , podemos notar

uma solução de fácil percepção que é o terno (0, 0, 0). Esta solução é chamada de TRIVIAL.

01) Identifique as equações lineares abaixo como Linear ou Não Linear. a) ( ) 5x + 2y = 6 b) ( ) x + 4y – z = 0 c) ( ) x + y – z – 1 = 0 d) ( ) x2 + y = 10 e) ( ) x + y = z – 2 f) ( ) 4xy = 10 g) ( ) 2x – x + xy = 8 h) ( ) 92x + 3y + 5z = 12 345 i) ( ) x2 + y2 = j) ( ) 3x1 + 4x2 – x3 = 0 02) Verifique se o par ordenado (6, 2) é solução da equação linear 4x – 3y = 18. 03) Verifique se o terno ordenado (1, 3, 2) é solução da equação linear 2x + y + 5z = 15

04) Verifique se o terno ordenado (0, 0, 0) é solução da equação linear

019

2

5

3

7

2 zyx .

05) Verifique se o terno ordenado (1, 5, -2) é solução da equação linear

23

2

5

2 zyx .

06) Calcule k para que o par ordenado (3, k) seja solução da equação linear 3x – 2y = 5.


07) O terno ordenado (k, 2, k + 1) é uma das soluções da equação linear 4x + 5y -3z = 10. :Determine k. 08) Escreva a solução geral da equação linear 2x – y = -1 fazendo x = k com k real. 09) Encontre uma solução para a equação linear 2x + 3y – z = 0 diferente da solução trivial.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Um sistema de equações lineares

é um conjunto de m (m 1) equações lineares nas incógnitas x1, x2, x3, ... xn . Assim o sistema

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

S

...

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111

é linear. Um sistema como este é chamado de m x n (lemos m por n) pois possui m equações e n incógnitas.

13

723

yx

yx

é um sistema linear 2 x 2 nas incógnitas x e y.

12

743

23

zyx

zyx

zyx

é um sistema linear 3 x 3 nas incógnitas x, y e z. O sistema apresentado no início desta secção (página anterior) pode ser transformado em um produto de matrizes. Desta forma temos que:

mnmnmmm

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

3

2

1

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211


Ex.1: O sistema

13

723

yx

yx pode ser

escrito como

1

7

31

23

y

x

Ex.2:

12

743

223

zyx

zyx

zyx

pode ser escrito

como

1

7

2

112

431

213

z

y

x

Ex.3:

332

175

422

31

321

321

xx

xxx

xxx

pode ser

escrito como

3

1

4

302

751

212

3

2

1

x

x

x

Ex.4: O sistema

02

13

4

yx

yx

yx

pode ser

escrito como

0

1

4

12

13

11

y

x.

MATRIZES DE UM SISTEMA

Como já foi visto, o sistema linear

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

S

...

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111

pode ser escrito sob a forma de um produto de matrizes. Cada uma destas matrizes recebe um nome específico: Observe:

C

m

B

n

A

mnmmm

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

3

2

1

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

A matriz A é chamada de matriz

dos coeficientes. A matriz B é chamada de matriz das incógnitas e a matriz C é a matriz dos termos independentes. Também há um conceito de matriz completa e incompleta do sistema. Veja:


A matriz dos coeficientes é

também chamada de matriz incompleta de S e a matriz

mmnmmm

n

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

baaaa

321

33333231

22232221

11131211

é chamada de matriz completa de S.

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Dizemos que ,,,,, 321 n

é solução do sistema

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

S

...

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111

quando a n-upla ordenada

,,,,, 321 n for solução de

TODAS as equações do sistema.

Ex.1: Vamos considerar o sistema

43

12

6

zyx

zyx

zyx

e os ternos ordenados

(1, 2, 3) e ( -5, 11, 0).

O terno (1, 2, 3) é solução do sistema pois:

verdadeira Sentença



43213

13212

6321

Já o terno (-5, 11, 0) não é solução do sistema pois:

FALSA Sentença



401153

101152

60115

Ex.2: O sistema

6000

14

532

zyx

zyx

zyx

nõ

admite nenhum terno ordenado como solução pois a última equação não tem solução. Observação: Quando um sistema linear S admitir pelo menos uma solução, ele é chamado de POSSÍVEL ou COMPATÍVEL. Como foi o caso do exemplo 1 acima. Por outro lado, caso um sistema não admita nenhum terno ordenado como solução, o sistema é chamado de IMPOSSÍVEL ou IMCOMPATÍVEL.


10) Transforme cada sistema a seguir num produto de matrizes equivalente.

a)

27

352

yx

yx

b)

143

04

532

zyx

zx

zyx

11) Faça a matriz completa de cada um dos itens a) e b) do exercício anterior. a) b)

12) Verifique se as n-uplas ordenadas são soluções dos sistemas lineares apresentados em cada item.

a) (3, -1) e

363

1152

yx

yx

b) (4, 1, 3) e

1323

62

zyx

zyx

c) (0, 0, 0) e

034

0532

0

zyx

zyx

zyx


d) (1, 2, 3) e

1552

2

zyx

zyx

e) (0, -1) e

23

1

1

yx

yx

yx

13) Verificar se o quádruplo ordenado (1, 0, -2, 1) é solução do sistema:

12352

95342

54235

tzyx

tzyx

tzyx


SISTEMAS ESCALONADOS

Consideremos um sistema linear S onde, em cada equação existe pelo menos um coeficiente não nulo. Dizemos que S está na forma escalonada quando o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação.

Uma outra forma de caracterizar um sistema escalonado é verificar sea matriz dos coeficientes é uma matriz triangular entretanto esta caracterização só funciona quando tal matriz for quadrada. Isto acontece quando o número de equações for igual ao número de incógnitas.

Os exemplos abaixo trazem

matrizes escalonadas.

62

72

y

yx

2

324

752

z

zy

zyx

123

354

zy

zyx

32

02

14

w

wtz

wtzyx

RESOLUÇÃO DE SISTEMA ESCALONADO

Vamos aqui separar os sistemas escalonados em dois tipos de sistemas: aqueles onde o número de incógnitas é igual ao número de equações e aqueles que possuem mais incógnitas que equações. 1º Caso: Mesmo número de equações e incógnitas:

Resolver o sistema

82

2

3573

z

zy

zyx

.

Resolução: Partindo da última

equação, descobrimos o valor de z, substituindo este valor na segunda equação, encontramos o valor de y. Por fim, substituímos y e z na primeira equação encontrando o valor de x, acompanhe: Da 3ª equação: 4

82

z

z

Da 2ª equação:

2

24

2

y

y

zy

Da 1ª equação:

1

363

345273

3573

x

x

x

zyx

Assim, a solução do sistema é o

terno ordenado (1, 2, -4).


Este tipo de sistema apresenta sempre uma única solução. Temos então um SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO. 2º Caso: Número de equações maior que o número de incógnitas:

Resolver o sistema

2

53

zy

zyx.

Resolução: Em sistemas como

este, escolhemos uma variável que está em todas as equações e transpomos esta incógnita para o 2º membro em cada equação e obtemos:

zy

zyx

2

35

Nesta segunda equação, já temos

y em função de z. Agora vamos substituir a segunda equação na primeira com o objetivo de obter x em função de z:

zx

zzx

zyx

47

352

35

Agora que já temos x e y em

função de z, podemos escrever a solução:

(7 – 4z, 2 – z, z)

sendo z qualquer número real. Assim, toda tripla ordenada da forma apresentada é solução do sistema e podemos chegar a qualquer uma destas soluções substituindo números reais no lugar de z, assim:

Para z = 0 temos (7, 2, 0)

Para z = 1 temos (3, 1, 1)

Para z = -1 temos (11, 3, -1)

Para z = 2

1 temos (5,

2

3,

2

1)

De forma geral, fazemz = k onde k é

qualquer número real, podemos dizer que a resposta é:

Para z = k, temos: (7 – 4k, 2 – k, k) Este tipo de sistema que apresenta infinitas soluções é chamado de SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO.

14) Classifique como determinado ou indeterminado e resolva cada um dos sistemas a seguir:

a)

2

13

0224

z

zy

zyx


b)

0

32

zy

zyx

c)

2

3

02

1

t

tz

tzy

tzyx

d)

12

3

cb

cba

SISTEMAS EQUIVALENTES

Dizemos que dois sistemas S1 e S2 são equivalentes se TODA solução de S1 for solução de S2 e toda solução de S2 for solução de S1

Os sistemas

12

321

yx

yxS e

53

322

y

yxS são equivalentes pois

ambos são determinados e admitem como única solução o par ordenado

3

5;

3

1.


Dois teoremas importantes devem ser destacados aqui. Apesar de a demonstração de ambos ser simples não o faremos pois não cabe neste curso. De qualquer forma, se o leitor se interessar, pode encontrar no 4º volume da coleção “Fundamentos da Matemática Elementar”. Teorema 1:

“Multiplicando-se os membros de

uma equação qualquer de um sistema linear S, por um número

real K 0, o novo sistema S’ obtido, será equivalente a S.”

Teorema 2:

“Se substituirmos uma equação

de um sistema linear S pela soma, membro a membro dela

com outra do mesmo sistema, o novo sistema obtido S’ será

equivalente a S.”

ESCALONAMENTO DE SISTEMAS

Aplicando os dois teoremas vistos anteriormente, podemos transformar qualquer sistema em um sistema escalonado. Este processo é chamado de ESCALONAMENTO e, a partir do novo sistema escalonado, equivalente ao sistema original, podemos determinar sua solução.

Para escalonar um sistema qualquer devemos seguir quatro passos Passo 1: Colocamos como 1ª equação aquela em que o coeficiente da primeira incógnita seja diferente de zero. Passo 2: Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita de todas as equações (com exceção da primeira) subistituindo a i-ésima equação (i > 1) pela soma da mesma com a 1ª, multiplicada por um número conveniente. Passo 3: Deixamos de lado a primeira equação e aplicamos, nas restantes, os passos 1 e 2. Passo 4: Deixamos de lado a 1ª e 2ª equações e aplicamos os passos 1 e 2 nas equações restantes até o sistema ficar escalonado. Vamos seguir os exemplos abaixo a fim de entendermos como aplica os passos acima.

Ex.1: Vamos resolver o sistema linear

122

62

32

zyx

zyx

zyx

.

Resolução: A fim de evitar ficar escrevendo as incógnitas a todo instante, vamos escrever a matriz completa do sistema acima.

1122

6112

3211


Para tornar o primeiro coeficiente da 2ª linha igual a zero, vamos multiplicar por 2 os termos 1ª linha e somar à segunda: Em seguida, para transformar o primeiro coeficiente da 3ª linha igual a zero, vamos multiplicar a primeira por -2 e somar à 3ª. Note que vamos repetir a primeira linha.

Agora, para tornar o coeficiente de y na 3ª linha igual a zero, devemos multiplicar a segunda linha por 4/3 e somar o resultado à terceira. Note que devemos repetir, neste momento, a primeira e segunda linhas

Agora, vamos transformar esta matriz em um sistema linear escalonado e descobrir a solução como já fizemos .

113

11

1253

32

z

zy

zyx

Obtemos, assim, um sistema equivalente ao primeiro e, na forma escalonada, vamos encontrar a solução. Da 3ª equação:

3

113

11

z

z

Da 2ª equação:

1

33

12353

1253

y

y

y

zy

Da 1ª equação:

2

35

3321

32

x

x

x

zyx

Desta forma, a solução procurada é o terno ordenado (2, -1, 3)

___________________________ Ex.2: Vamos resolver o sistema

5453

1532

52

zyx

zyx

zyx

Resolução: Vamos, primeiro, escrever a matriz completa do sistema dado:


5453

15132

5211

Vamos multiplicar a primeira linha por -2 e somar à segunda e em seguida multiplicaremos a primeira linha por -3 para somarmos à terceira. Com este procedimento, tornaremos nulo os coeficientes da primeira incógnita das linhas 2 e 3.

32

5453

15132

5211

Assim, obtemos:

10220

5550

5211

O nosso próximo passo é multiplicar a segunda linha por um valor conveniente a fim de, ao somarmos na terceira linha, conseguimos tornar nulo o coeficiente de y. Este número conveniente será 2/5. Note que não vamos alterar em nada a primeira linha.

5/2

10220

5550

5211

e obtemos:

8400

5550

5211

Com esta matriz, remontamos um novo sistema, equivalente Àquele proposto. Desta forma, temos:

84

555

52

z

zy

zyx

Agora resolvemos o sistema

escalonado: Da 3ª equação: 2

84

z

z

Da 2ª equação:

3

12

1

5555

y

y

zy

zy

Da 1ª equação:

4

5223

52

x

x

zyx

Desta forma, a solução procurada é o terno ordenado (4, 3, -2)

____________________


Ex.3: Vamos resolver o sistema

6242

13

32

zyx

zyx

zyx

Resolução: Escrevendo a matriz completa:

6242

1113

3121

Multiplicaremos a primeira linha

por -3 e somaremos à segunda, em seguida, vamos multiplicar a primeira linha por -2 e somamos à terceira. Isso faz tornar os coeficientes de x, nas duas últimas linhas, nulos.

23

6242

1113

3121

Obtemos, então, esta matriz:

0000

8470

3121

Note que aconteceu algo “extraordinário” na última linha, todos os termos se anularam, assim, ao montarmos o sistema a partir desta matriz, obtemos:

00

847

32

zy

zyx

Observe que chegamos numa igualdade verdadeira mas que não nos permite continuar resolver. Neste caso, dizemos que o SISTEMA é POSSÍVEL INDETERMINADO, ou seja, tem solução mas são infinitas.

Este sistema acima pode ser

reescrito como .

847

32

zy

zyx

e neste caso, podemos escrever a solução deste sistema em função de z. Da segunda equação temos que

7

48 zy

Substituindo na primeira equação e isolando x, temos:

7

5

37

482

zx

zz

x

Por fim, fazendo z = k, podemos escrever o terno ordenado em função de k:

k

kk,

7

48,

7

5


Ex.4: Vamos resolver o sistema

7242

13

32

zyx

zyx

zyx

Resolução: Escrevendo a matriz completa:

7242

1113

3121

Multiplicaremos a primeira linha

por -3 e somaremos à segunda, em seguida, vamos multiplicar a primeira linha por -2 e somamos à terceira. Isso faz tornar os coeficientes de x, nas duas últimas linhas, nulos.

23

7242

1113

3121

Obtemos, então, esta matriz:

1000

8470

3121

Note que, mais uma vez, aconteceu algo inusitado na última linha, todos os coeficientes se anularam, assim, ao montarmos o sistema a partir desta matriz, obtemos:

10

847

32

zy

zyx

Observe que chegamos numa igualdade sabidamente falsa na terceira equação e, com isso, dizemos que o SISTEMA é IMPOSSÍVEL e assim, a solução é vazia, ou seja:

S ou S


15) Resolva os sistemas a seguir:

a)

4532

723

2442

zyx

zyx

zyx

b)

14433

7241

1432

zyx

zyx

zyx


c)

4413

5534

122

zyx

zyx

zyx

d)

5432

632

3

zyx

zyx

zyx


16) Resolva o sistema

42

32

22

12

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

TEOREMA DE CRAMER

Consideremos um sistema onde o número de equações é igual ao número de incógnitas. Nestas condições, A é uma matriz quadrada.e seja D = det A. Pelo Teorema de Cramer, se

0D , então o sistema em questão é

possível e determinado, ou seja, tem

uma única solução n ,,,, 321 tal

que D

Dii , ni ...,,3,2,1 e iD é o

determinante obtido de A substituindo a i-ésima coluna pela dos termos independentes das equações do sistema. A demonstração de tal teorema não cabe aqui mas pode ser encontrada em diversos livros de ensino médio como, por exemplo, o volume 4 dos Fundamentos da Matemática Elementar (Gelson Iezze e Samuel Hazzan),

Ex.1: Vamos resolver, aplicando o Teorema de Cramer, o sistema

12

4

6

zyx

zyx

zyx

.

Resolução:

Vamos isolar a matriz A e calcular D = det A:

4

112

111

111

D


Como 0D , podemos garantir que o sistema é possível e tem solução única, então podemos continuar. Vamos,

agora, calcular xD , yD e zD .

Dx Para encontrar Dx, vamos tomar a mesma matriz A substituindo os termos da primeira coluna (coeficientes de x) pela coluna dos termos independentes, assim:

4

111

114

116

xD

Dy Para encontrar Dy, vamos tomar a mesma matriz A substituindo os termos da segunda coluna (coeficientes de y) pela coluna dos termos independentes, assim:

12

112

141

161

yD

Dz Para encontrar Dz, vamos tomar a mesma matriz A substituindo os termos da terceira coluna (coeficientes de z) pela coluna dos termos independentes, assim:

8

112

411

611

zD

Desta forma, temos que:

14

4

D

Dx x

34

12

D

Dy

y

24

8

D

Dz z

E, temos assim a única solução do sistema: (1, 3, 2). Ex.2: Resolver, por Cramer, o seguinte

sistema:

12

1

23

2

1

yx

z

z

yx

zyx

Resolução: Devemos, em princípio, assumir que 023 z e 02 yx . A partir daí,

temos que:

232

232123

2

zyx

zyxz

yx

12

2112

1

zyx

yxzyx

z

E, a partir daí, temos o seguinte sistema:

12

232

1

zyx

zyx

zyx

Vamos calcular o determinantes

D , xD , yD e zD se 0D .


4

112

312

111

D

6

111

312

111

xD

5

112

322

111

yD

3

112

212

111

zD

Com estas informações, determinamos, agora, a solução do sistema:

2

3

4

6

D

Dx x

4

5

4

5

D

Dy

y

4

3

D

Dz z

Agora devemos avaliar as condições que foram levantadas no início da resolução quais sejam: 023 z e

02 yx . Isso pode ser feito

mentalmente e notamos que ambas as condições são respeitadas com as soluções encontradas. Assim,

4

3,

4

5,

2

3S

Obs.: Se, ao resolver um sistema aplicando o Teorema de Cramer, encontrarmos D = 0, podemos afirmar que o sistema não é determinado, porém nada podemos dizer sobre se é indeterminado ou se é impossível. No

próximo tópico desta apostila é que vamos aprender a discutir sistemas lineares.

17)Resolver, pela regra de Cramer, os seguintes sistemas:

a)

523

04

yx

yx

b)

33

22

yx

yx


c)

724

132

13

zyx

zx

zyx

d)

323

442

5

zyx

zyx

zyx


e)

122

0

22

1

tzx

tzyx

zyx

tzyx

f)

023

12

22

1

4321

4321

321

4321

xxxx

xxxx

xxx

xxxx


DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Discutir um sistema linear consiste em classificá-lo quanto à quantidade de soluções. Um sistema que possui uma única solução é chamado de SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO (SPD). Um sistema que admite infinitas soluções é classificado como SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO (SPI). Por fim, um sistema que não admite nenhuma solução, é chamado de SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI). Observe o diagrama abaixo:

Um sistema com n equações e n incógnitas é SPD quando o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. Caso tal determinante seja nulo, devemos escalonar o sistema para discuti-lo. Se, em algum momento encontrarmos uma equação indeterminada, do tipo 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0, dizemos que o sistema é SPI e se, por outro lado, encontrarmos uma equação do tipo

0x1 + 0x2 + ... + 0xn 0, dizemos que o sistema é SI.

Ex.1: Discuta o sistema abaixo:

42

03

ayx

ayax.

Resolução: 1. Sabemos, pelo Teorema de Cramer,

que se 02

3

a

aaD o sistema tem

solução única. Assim, os valores de a para os quais D = 0, são os que tornam o sistema indeterminado ou impossível. Vamos examinar este caso:

60

066

62

3

2

2

aoua

aaaa

aaa

aaD

2. Para a = 0, o sistema fica:

qualqueréyexyx

yx2

402

000

Logo, para a = 0, o sistema dado é indeterminado. 3. Para a = 6, o sistema fica:

23

03~

462

0186

yx

yx

yx

yx

Note que as equações são

incompatíveis, logo p sistema é impossível.


Resumindo, então, temos

SIa

SPIa

SPDaea

6

0

60

:

Ex.2: Discutir o sistema

bayx

yx

2

2.

Resolução:

1. Se 02

11

aD , pelo Teorema de

Cramer, o sistema tem solução única.

202

22

11

aa

aa

D

2. Se a = -2, o sistema fica assim:

400

2~

22

2

byx

yx

byx

yx

Assim, temos que

impossível Sistemab

adoindetermin possível Sistemab

04

04

3. Resumindo, temos:

SIbea

SPIbea

SPDa

42

42

2

18) Discutir os seguintes sistemas nas incógnitas x e y:

a)

62

3

myx

yx


b)

236

32

yx

ayx

c)

yayx

axyx

2

2


d)

421

1

ayxa

yax

19) Discutir o sistema linear:

141214

121412

2

222

ayaxa

ayaxa


20) Discutir o sistema

0

1

myx

mymx


bayx

yx

3

12


22) Se abcd 0, determinar p e q para

que o sistema

dqypx

cbyax seja

indeterminado.

23) Discutir e resolver o sistema

12

2

0

zymx

mzyx

zyx

.



2

0

4

yx

zmyx

zymx


2

32

mymx

mzx

mmzymx



222

32

0

mzyx

mzyx

zmyx

27) a) Determinar os valores de k para que a equação matricial abaixo tenha solução.

kz

y

x

5

1

1156

2104

352

b) Resolver a equação na condição do item a.


SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS

Se, num sistema linear, todos os termos independentes são iguais a zero, então o sistema é denominado SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO.

Ex.1:

02

023

yx

yx é um sistema linear

homogêneo

Ex.2:

02

03

04

zyx

zyx

zyx

é outro exemplo de

sistema linear homogêneo.

____________________________

Um sistema linear homogêneo de

n equações e n incógnitas (n 2) é sempre possível, pois admite, pelo menos, a solução (0, 0, 0, ..., 0) denominada solução trivial. Como estes sistemas são sempre possíveis, são os únicos que podem ser classificados, exclusivamente, pelo determinante da matriz dos coeficientes. Como não existe a possibilidade de o sistema ser SI, temos:

SPDA

SPIA

0det

0det

Observe os exemplos a seguir:

Ex.1: Resolver o sistema

096

064

yx

yx.

Resolução:

0363696

64

D

Como D = 0 e o sistema é

homogêneo, ele só pode ser SPI, ou seja, admite infinitas soluções. Vamos, então, encontrar estas soluções. Para tal, faremos y = k.

2

3

4

6

64064064

kx

kx

kxkxyx

Desta forma, a solução do sistema é:

k

kS ,

2

3

Ex.2: Resolver o sistema

052

02

0

zyx

zyx

zyx

.

Resolução:

19...

521

112

111

D

Como D 0, o sistema admite uma única solução. Se o sistema é homogêneo, podemos então afirmar que a solução é

S = (0, 0, 0)


Ex.3: Determine a para que o sistema

01

0

0

zyax

zayx

azyx

admita soluções

diferentes da trivial: Resolução: Para que o sistema acima admita solução diferente de (0, 0, ..., 0), devemos ter D = 0, ou seja:

1010

11

11

11

aa

aa

a

a

Logo, a = 1.

28) Verifique se o sistema linear

homogêneo

03

0422

0

zyx

zyx

zyx

é

determinado ou indeterminado.

29) Discutir, segundo os valores do parâmetro a, o sistema:

023

032

054

zayx

zyx

zyx


30) Resolver o sistema

0732

04

03

zyx

zyx

zyx

31) Discutir segundo os valores do parâmetro m os seguintes sistemas:

a)

062

0

yx

myx


b)

0259

053

0

2 zyxm

zymx

zyx

32) Estudar o sistema

0

0

0

yzxk

xzyk

zyxk


33) Dado o sistema

0462

0324

0

mzyx

zmyx

zyx

,

determinar m para que o sistema admita soluções diferentes da trivial e determiná-las.

34) Qual o valor de k para que o sistema

022

02

0

zyx

zkyx

zyx

admita solução própria?

(Nota: a solução trivial é também chamada de solução imprópria)


RESPOSTAS 01) a) L b) L c) L d) NL e) L f) NL g) NL h) L i) NL j) L 02) Sim 03) Sim 04) Sim 05) Não 06) k = 2 07) k = 3 08) (k, 2k + 1) 09) A resposta é aberta mas como

exemplo, temos (1, 1, 5).

10) a)

2

3

71

52

y

x

b)

1

0

5

143

401

312

z

y

x

11) a)

271

352

b)

1143

0401

5312

12) a) Sim b) Sim c) Sim d) Não e) Não 13) É solução

14) a) SPD,

2,1,

4

5S

b) SPI,

kk

kS ,,

2

23 k

14) c) SPD, 2,1,4,8S (Cont)

d) SPI,

k

kkS ,

2

1,

2

35

15) a) S={(-2, 5, -3) } b) S={ (3, 3, 1) }

c) SPI; S=

k

kk,

5

1,

5

77

d) SI

16) S= { ( -1, 0, 1, 2) }

17) a)

2

1,2

b)

5

4,

5

3

c) 1,1,1

d) 0,3,2

e)

2,

2

11,

2

1,4

f) 1,2,0,0

18) a)

SPIm

SPDm

2

2

b)

SIa

SPDa

1

1

c)

SPIaoua

SPDaea

31

31

d)

SIaoua

SPDaea

12

1

12

1

19)

SIa

SPIaoua

SPDea

2

1

2

10

2

1

2

1,0


20)

SIm

SPIm

SPDmem

1

1

11

21)

SIbea

SPIbea

SPDa

36

36

6

22) c

adp e

c

bdq

23) Resolução:

1. Se 0

12

11

111

m

mD , pela

regra de Cramer, o sistema tem solução única. Assim, os valores de m que anulam o determinante são os que tornam o sistema indeterminado ou impossível.

Vamos, então, resolver o sistema para 0D .

01

12

11

111

mm

m

mD

daí, temos que

1

0

m

e

m

mmDx

1

121

12

110

m

m

mDy

1

11

21

101

12

12

211

011

m

m

Dz

Assim, temos que:

mmm

m

D

Dx x 1

1

1

mmm

m

D

Dy

y 1

1

1

mmm

m

D

Dz z 2

1

12

e a solução do sistema é:

mmmS

2,

1,

1

2. Se m = 0 temos:

120

20

0

zyx

zyx

zyx

Escalonando o sistema, encontramos:

1000

220

0

~

120

220

0

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

e vemos, na última equação, que o sistema é impossível.

3. se m = 1, temos:

100

2020

0

~

12

2

0

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

note que pelas duas últimas equações, podemos afirmar que y = -1 e x = 1 – z. Tomando z = k,

temos a solução kkS ,1,1

Resumindo,

SIm

SPIm

SPDmem

0

1

10


24)

SPIm

SPDm

1

1

25)

SIm

kkk

S

SPIm

m

m

m

m

m

mS

SPDmem

0

,2

1,

2

3

1

4,

4,

2

10

2

26)

kkSSPIm

mSSPDm

,1,22

2,1,22

27) a) k = 6

b)

8

3,,

16

4017k

kS

28) Indeterminado.

29)

SPIa

SPDa

13

3

13

3

30)

k

kkS ,

5

13,

5

2

31) a)

SPIm

SPDm

3

3

b)

SPImoum

SPDmem

53

53

32)

SPIkouk

SPDkek

2

11

2

11

33)

k

kkm ,

2,

21

kkm ,,02

3

34) k = 1

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

DANTE, Luiz Roberto;

Matemática, Volume dois. São Paulo,

Atica, 2005.

IEZZI, Gelson e outros;

Fundamentos da Matemática Elementar,

Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição,

1977.

PAIVA, Manoel Rodrigues;

Matemática, Volume 2, São Paulo,

Editora Moderna, 1ª edição, 1995.

Links dos vídeos sugeridos nesta apostila: Pág. 06 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/sistemas-lineares-introducao/ Pág. 17 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/escalonamento/

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