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slide 1slide 1
Sumário
• 3.1 Uma perspectiva histórica
• 3.2 Resposta dos SLIT às Exponenciais Complexas
• 3.3 Representação de SPTC em Série de Fourier
• 3.4 Convergência da Série de Fourier
• 3.5 Propriedades da Série de Fourier de Tempo Contínuo
• 3.6 Representação de Sinais Periódicos de Tempo discreto em Série de Fourier
• 3.7 Propriedades da SFTD
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slide 2slide 2
3.1 Uma perspectiva histórica
• Babilônicos
• 1748: Euler – Movimento de uma corda vibrante. Séries trigonométricas
• 1753: Bernoulli – classe de sinais representados
• 1759: Lagrange – convicto que era impossível representar sinais com descontinuidades. Portanto, as ST tinham uso limitado
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slide 3slide 3
3.1 Uma perspectiva histórica15/05/2014 13:49
slide 4slide 4
3.1 Uma perspectiva histórica
• 1807: Fourier– Estudos sobre a propagação do calor;
– Usou ST para representar a distribuição de temperatura de um corpo;
– Afirmou que qualquer sinal periódico poderia ser representado por tais séries.
• 1829: Dirichelet– Determinou as condições precisas sob as quais um
sinal periódico pode ser representado por uma ST.
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slide 5slide 5
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slide 6slide 6
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slide 7slide 7
3.2 Resposta dos SLIT às Exponenciais Complexas
Representar sinais como combinação linear de sinais
básicos que possuam as seguintes propriedades:
1. Possam ser usados para construir uma classe ampla
e útil de sinais.
2. As respostas de um SLIT aos sinal básicos deve ser
simples, na sua estrutura, para fornecer a resposta a
qualquer sinal construído como um combinação linear
dos sinais básicos.
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slide 8slide 8
3.2 Resposta de um SLIT à Exponenciais Complexas (Reescrever este texto apenas
com s=jw)A importância das exponenciais complexas no estudo dos SLIT decorre do fato de que a resposta de um SLIT a uma exponencial complexa é a própria exponencial complexa com, apenas, uma mudança de amplitude.
( )st ste H s e®
( )n nz H z z®
sz e=
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3.2 Resposta de um SLIT à Exponenciais Complexas
• Autofunções e Autovalores
• Mostrar que se aplico e^(jwt) sai H(jw)e^(jwt).
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slide 10slide 10
H(s)
( ) ( ) ( )y t h x t dt t t+¥
-¥
= -ò
( )( ) ( ) s ty t h de tt t-+¥
-¥
= ò
( ) ( )st sy t e h e dtt t+¥
-
-¥
= ò
( ) ( ) sty t H s e=
( ) ( ) sH s h e dtt t+¥
-
-¥
= ò
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slide 11slide 11
H(z)
( ) ( ) k
k
H z h k z+¥
-
=-¥
= å
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slide 12slide 12
Aplicação a um sinal x(t)
31 2
1 2 3 x
Seja:
( ) s ts t s tt a e a e a e= + +
31 2
1 1 2 2 3 3 y( ) (
Então:
) ( ) ( ) s ts t s tt a H s e a H s e a H s e= + +
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slide 13slide 13
Resumindo
x( ) y( ) ( )k ks t s tk k k
k k
t a e t a H s e= ® =å å
x[n] y[n] [ ]n nk k k k k
k k
a z a H z z= ® =å å
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slide 14slide 14
Análise de Fourier
Embora s e z possam ser números complexos quaisquer, a Análise de Fourier restringe nossa atenção à formas particulares dessas variáveis:
j ts j e ww= ®
jz e w=
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slide 15slide 15
Exemplo 3.1 (a)
Seja um SLIT tal que:
( ) ( 3)y t x t= -
Se a entrada desse sistema for o sinal:
2( ) j tx t e=
Obter a saída do sistema para esse sinal.
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slide 16slide 16
Solução 1
2( 3 26)( ) ( 3) j t j tjy t x e eet --= - = =
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slide 17slide 17
Solução 2
( ) ( ) sH s h e dtt t+¥
-
-¥
= ò
3(( ) 3) s sH s e d etd t t+¥
- -
-¥
= =-ò
6( 2) jH j e-=
2 6 2)( ) ( 2 j t j j ty H j et e e-== =
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slide 18slide 18
Exemplo 3.1 (b)
Seja um SLIT tal que:
( ) ( 3)y t x t= -
Se a entrada desse sistema for o sinal:
( ) cos(4 ) cos(7 )x t t t= +
Obter a saída do sistema para esse sinal.
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slide 19slide 19
Solução 1
( ) ( 3) cos(4( 3)) cos(7( 3))y t x t t t= - = - + -
15/05/2014 13:49
slide 20slide 20
Solução 2
4 4 7 71 1 1 1( )
2 2 2 2j t j t j t j tx t e e e e- -= + + +
3(( ) 3) s sH s e d etd t t+¥
- -
-¥
= =-ò
12( 4) jH j e-= 12( 4) jH j e- =
21( 7) jH j e-= 21( 7) jH j e- =
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slide 21slide 21
Solução 2 (cont)
4 4
7 7
1 1( )
2 2
1 1
( 4) ( 4)
( 7) ( 7)2 2
j t j t
j t j t
y t e e
e
H j H j
H j H ej
-
-
-
-
= + +
+
4 412 12 21 27 1 71 1 1 1( )
2 2 2 2j t j t j tj jj j tjy e e e et e e e e- -- -= + + +
4( 3) 4( 3) 7( 3) 7( 3)1 1 1 1( )
2 2 2 2j t j t j t j ty t e e e e- - - - - -= + + +
( ) cos(4( 3)) cos(7( 3))y t t t= - + -
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slide 22slide 22
3.3 Representação de sinais periódicos de tempo contínuo em Série de Fourier
(Sinal Periódico: para todo t( ) .)x t x t T= +
Menor valor positivo de T,
Periód
difer
o Fundament
ente de z
al:
ero.
0Frequência Funda : men l 2ta = Tw p
0
2
Conjunto de Exponenciais Complexas Harmonicamente
Relaciona
( ) , k
da
=0, 1, 2,
s
:
jk tjk t T
k t e ep
wfæ öç ÷è ø= = ± ± L
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slide 23slide 23
3.3.1 Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas
0
2
( )jk t
jk t Tk k
k k
x t a e a ep
wæ ö+¥ +¥ç ÷è ø
=-¥ =-¥
= =å å
n-ésima harmônica
( ) é periódico de período fundamental Tx t
(3.25)
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slide 24slide 24
3.3.1 Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas
• Será que o contrário também vale?
• Isto é, dado um sinal x(t) periódico, ele pode ser escrito como uma combinação linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas?
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slide 25slide 25
Exemplo 3.2
Considere o seguinte sinal periódico:
32
3
( ) jk tk
k
x t a e p+
=-
= åcom
0
1 1 2 2 3 3
1,
1 1 1
4 2 3
a
a a a a a a- - -
=
= = = = = =
Reescreva-o na forma de somatório de senos e cossenos.
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slide 26slide 26
Exemplo 3.2 (cont.)
Então, usando a relação de Euler:
1 2( ) 1 cos(2 ) cos(4 ) cos(6 )
2 3x t t t tp p p= + + +
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slide 27slide 27
Exemplo 3.2 (cont.)
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slide 28slide 28
Exemplo 3.2 (cont.)
15/05/2014 13:49
slide 29slide 29
Exemplo 3.2 (cont.)
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slide 30slide 30
Exemplo 3.2 (cont.)
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slide 31slide 31
Exemplo 3.2 (cont.)
1 2( ) 1 cos(2 ) cos(4 ) cos(6 )
2 3x t t t tp p p= + + +
Exemplo de uma forma alternativa para a Série de Fourier de sinais periódicos reais.
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slide 32slide 32
Formas Alternativas da SF para Sinais Reais
Supondo x(t) um sinal real que pode ser representado na forma da Eq. 3.25:
0 0* **( ) ( ) ( ) k t k tk
j jk
k k
x t x t x t a e a ew w-+¥ +¥
=-¥ =-¥-= ® = =å å
Portanto
* * kk kka a a a- -= ® =
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slide 33slide 33
Formas Alternativas da SF para Sinais Reais
E, então{ } { }k ke a e a-Â = Â
=k ka a--R R
{ } { }k km a m a-Á = -Á
=k ka a-
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slide 34slide 34
Formas Alternativas da SF para Sinais Reais
0 0 0
01
( ) ( )jk t jk t jk tk k k
k k
x t a e x t a a e a ew w w+¥ +¥
--
=-¥ =
é ù= ® = + +ë ûå å
0 0*0
1
( ) kjk t jk t
kk
x t a a e a ew w+¥
-
=
é ù= + +ë ûå
{ }0
01
( ) 2 jk tk
k
x t a e a e w+¥
=
= + Âå
15/05/2014 13:49
slide 35slide 35
Representação de Sinais Reais na forma Amplitude - Fase
e k
kk kj
k Aa A e q q Î= Â
{ }0( )0
1
( ) 2 kj k tk
k
x t a e A e w q+¥
+
=
= + Âå
Expressando ak na forma polar:
0 01
( ) 2 cos( )k kk
x t a A k tw q+¥
=
= + +å
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slide 36slide 36
Representação de Sinais Reais na forma Seno - Cosseno
e k kk k k B Ca B jC= + Î Â
{ }0( )0
1
( ) 2 kj k tk
k
x t a e A e w q+¥
+
=
= + Âå
Expressando ak na forma retangular:
[ ]0 0 01
( ) 2 cos( ) ( )k kk
x t a B k t C sen k tw w+¥
=
= + -å
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slide 37slide 37
3.3.2 Determinação da Representação de um Sinal Periódico em Série de Fourier
• Supondo que um determinado sinal periódico possa ser representado com a série da Equação 3.25, precisamos de um procedimento para determinar os coeficientes a
k.
0 00( ) jn t jk tk
k
jn tx t a ee eww w+¥
=
-
-¥
- = å
0( ) jk tk
k
x t a e w+¥
=-¥
= å
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slide 38slide 38
3.3.2 Determinação da Representação de um Sinal Periódico em Série de Fourier
00 0
0 0
( ) jk tk
k
T Tjn t jn tx e dt et da e tww w
+¥
=-¥
- -=ò åò
0 0 0
0 0
( )T T
jn jk tt jnk
k
tx t a ee dt e dtww w-+¥
=-
-
¥
=ò òå
( ) 00
0 0
( )T T
njn t j k t
kk
x t a ee dt dtw w-+¥
-
=-¥
=ò òå
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slide 39slide 39
3.3.2 Determinação da Representação de um Sinal Periódico em Série de Fourier
( ) 00
0 0
( )T T
njn t j k t
kk
x t a ee dt dtw w-+¥
-
=-¥
=ò òå
( ) ( )( ) ( )( )0
0
0
0
0
0
cos sinT
j k tT T
ne k t kdt n dt j n dt t
w w w-= +- -ò ò ò
( ) 0
0
, para
0, para
Tj k n t T k n
e dtk n
w- =ì= í
¹îò
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slide 40slide 40
3.3.2 Determinação da Representação de um Sinal Periódico em Série de Fourier
• Portanto, dado um sinal periódico qualquer que possa se representado na forma da série da Equação 3.25, os coeficientes a
k podem ser
calculados pela expressão:
01
( ) jk tk T
a x t e dtT
w-= ò
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slide 41slide 41
Exemplo 3.3
• Determinar os coeficientes da Série de Fourier Complexa do seguinte sinal:
0( )x t sen tw=
1 1
1 1
2 2
0 para k 1k
a aj j
a
-= = -
= ¹ ±
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slide 42slide 42
Exemplo 3.4
• Determinar os coeficientes da Série de Fourier Complexa do seguinte sinal:
0 0 0( ) 1 2cos cos 24
x t sen t t tp
w w wæ ö
= + + + +ç ÷è ø
( ) ( )
0
1 1
2 1
1
1 11 1
2 2
2 21 1
4 4
0 para k 2k
a
a aj j
a j a j
a
-
-
=
= - = +
= + = -
= >
15/05/2014 13:49
slide 43slide 43
Exemplo 3.4
15/05/2014 13:49
slide 44slide 44
• Determinar os coeficientes da série de Fourier da forma de onda abaixo:
Exemplo 3.5
15/05/2014 13:49
slide 45slide 45
Exemplo 3.5 (cont.)
1
1
1( )
0 / 2T
t Tx t
T t T
ì <= í
< <î
Solução:
1 1
1 1
10
1 21( )
T T
T T
Ta x t dt dtTT T
T+ +
- -
= = =ò ò
15/05/2014 13:49
slide 46slide 46
Exemplo 3.5 (cont.)
1
0 0
0 1 0 1
0
1
1 1
1
10 0
0 1
1 1( )
1 2
2
( ) para k 0
T T
T T
T
T
jk t jk tk T
jk T jk Tjk t
a x t e dt e dtT T
e ee
jk T k T j
sen k T
k
w w
w ww
w w
w
p
-
+ +
- -
+
-
-
= =
é ù-= - = ê ú
ë û
= ¹
ò ò
0 1( ) para k 0k
sen k Ta
k
w
p= ¹
15/05/2014 13:49
slide 47slide 47
14T T=
15/05/2014 13:49
slide 48slide 48
18T T=
15/05/2014 13:49
slide 49slide 49
116T T=
15/05/2014 13:49
slide 50slide 50
15/05/2014 13:49
slide 51slide 51
3.4 Convergência da Série de Fourier
• P. L. Dirichlet (1829)
• Condição 1: Em qualquer período, o sinal deve ser absolutamente integrável; ou seja:
( )T
x t dt < ¥ò
15/05/2014 13:49
slide 52slide 52
(continua)Figura 3.8
Exemplo de Função que Não Satisfaz a 1ª Condição
15/05/2014 13:49
slide 53slide 53
3.4 Convergência da Série de Fourier
• Condição 2: Em qualquer intervalo finito de tempo, o sinal deve apresentar um número finito de máximos e mínimos.
15/05/2014 13:49
slide 54slide 54
(continua)Figura 3.8
Exemplo de Função que Não Satisfaz a 2ª Condição
2( ) 0<t 1x t sen
t
pæ ö= £ç ÷
è ø
15/05/2014 13:49
slide 55slide 55
3.4 Convergência da Série de Fourier
• Condição 3: Em qualquer intervalo de duração finita, deve existir apenas um número finito de descontinuidades. Além disso, cada uma delas deve ser finita.
15/05/2014 13:49
slide 56slide 56
Exemplo de Função que Não Satisfaz a 3ª Condição
15/05/2014 13:49
slide 57slide 57
(continua)Figura 3.9
Exemplo de Convergência na Descontinuidade
15/05/2014 13:49
slide 58slide 58
(continuação)
15/05/2014 13:49
slide 59slide 59
3.5 Propriedades da Série de Fourier de Tempo Contínuo
( ) SFkx t a¬¾®
• Notação:
15/05/2014 13:49
slide 60slide 60
3.5.1 Linearidade
( ) SFkx t a¬¾®
( ) SFky t b¬¾®
( ) ( ) ( ) SFk k kz t Ax t By t c Aa Bb= + ¬¾® = +
Se
Então
15/05/2014 13:49
slide 61slide 61
3.5.2 Deslocamento no Tempo
( ) SFkx t a¬¾®
0 0
0( ) ( ) jk tSFk ky t x t t b e aw-= - ¬¾® =
Se
Então
15/05/2014 13:49
slide 62slide 62
3.5.3 Reflexão no Tempo
( ) SFkx t a¬¾®
( ) ( ) SFk ky t x t b a-= - ¬¾® =
Se
Então
: se x(t) é , a é par
se x(t) é
par
ímpar,
Cons
a
equê
é
nci
a
a
ímp r
k
k
15/05/2014 13:49
slide 63slide 63
3.5.4 Mudança de Escala no Tempo
( ) SFkx t a¬¾®
( ) ( ) SFk ky t x t b aa= ¬¾® =
Se
Então
( ) ( )0 0( )jk t jk t
k kk k
y t b e a eaw aw
+¥ +¥
=-¥ =-¥
= =å å
Mas
15/05/2014 13:49
slide 64slide 64
3.5.5 Multiplicação
( ) SFkx t a¬¾®
( ) SFky t b¬¾®
( ) ( ) ( ) SFk l k l
l
z t x t y t c a b+¥
-=-¥
= ¬¾® = å
Se
Então
15/05/2014 13:49
slide 65slide 65
3.5.6 Conjugação
( ) SFkx t a¬¾®
* *( ) ( ) SFk ky t x t b a-= ¬¾® =
Se
Então
*
*
: se x(t) é a =a
se x(t) é a = a
Conse
real
re
(Da P.3.5.
quênci
3
al e par
a
)
k k
k k
-®
®
15/05/2014 13:49
slide 67slide 67
Diferenciação
( ) SFkx t a¬¾®
0
( )( ) SF
k k
dx ty t b jk a
dtw= ¬¾® =
Se
Então
15/05/2014 13:49
slide 68slide 68
Integração
( ) SFkx t a¬¾®
0
1( ) ( )
tSF
k ky t x t dt b ajkw
-¥
= ¬¾® =ò
Se
Então
15/05/2014 13:49
slide 69slide 69
3.5.7 Relação Parseval
221( )
T
kk
x t dt aT
¥
=-¥
= åò
02 2 21 1
T
jk tk k k
T
a e dt a dt aT T
w = =ò ò
A potência média no período de x(t) é igual a soma das potências médias de todos os seus componentes harmônicos.
15/05/2014 13:49
slide 70slide 70
15/05/2014 13:49
slide 71slide 71
15/05/2014 13:49
slide 72slide 72
Exemplo 3.6
Resolver usando os resultados do Exemplo 3.5
15/05/2014 13:49
slide 73slide 73
Exemplo 3.6
Já sabemos que (Exemplo 3.5)
1
0 1
2 para k=0
( ) para k 0
k
T
Ta
sen k T
k
w
p
ìïï
= íï ¹ïî
15/05/2014 13:49
slide 74slide 74
Exemplo 3.6
Comparando os dois sinais, percebemos que:
1( ) ( 1) 1/ 2 com 4 e 1Tg t t Tx= - - = =
/2( ) ( 1) ( .2)jkk ky t e Pt x b a p-= - « =
1/ 2 para 0( ) 1/ 2
0 para 0k
kz t c
k
- =ì= - « = í
¹î
15/05/2014 13:49
slide 75slide 75
Exemplo 3.6
0 /21
0 para 0
( ) para 0
( )k jk
k
g t de
sen k T
kkpw
p-
=ìï
=« = í¹ïî
0 0
/2
( ) ( ) ( )
1 / 2 1/ 2 para 0(
(P.1)
)0 para 0
k k k
k jkk k
g t y t z t d b c
b a kg t d
b a e kp-
= + « = +
- = - =ì« = í
+ = ¹î
15/05/2014 13:49
slide 76slide 76
Exemplo 3.7
Resolver usando os resultados do Exemplo 3.6
15/05/2014 13:49
slide 77slide 77
Exemplo 3.7
• Observando que o sinal mostrado na Figura 3.10 é a derivada do sinal mostrado na Figura 3.11, podemos usar a propriedade da diferenciação. Portanto
0
( )( ) SF
k k
dx tg t d jk e
dtw= ¬¾® =
0
kk
de
jkw=
15/05/2014 13:49
slide 78slide 78
Exemplo 3.7
Agora,
2 para 0k
k
de k
jkp= ¹
02
pw =
Assim,
0 /21
para 1
( )
0
2 p
/
a
2
ar 0jkk sen k T
k
k
ee k
jkpw
p p-
=ìï
= í¹ï
î
15/05/2014 13:49
slide 79slide 79
Exemplo 3.8
• Análise das propriedade da representação em Série de Fourier de um Trem Periódico de Impulsos.
( ) ( )k
x t t kTd¥
=-¥
= -å
15/05/2014 13:49
slide 80slide 80
Exemplo 3.8 (a)
• Aplicando a Equação (3.39):
01
( ) jk tk T
a x t e dtT
w-= ò
0
/2
/2
1( ) jk t
T
T
ka x t e dtT
w
-
-= ò
0
/2
/2
)1
(T
t
T
jkka e dt
Tt wd
-
-= ò1
kaT
=
15/05/2014 13:49
slide 81slide 81
Exemplo 3.8 (b)
• Relação do Trem de Impulsos com a onda quadrada da Figura 3.6
15/05/2014 13:49
slide 82slide 82
Exemplo 3.8 (b)
15/05/2014 13:49
slide 83slide 83
Exemplo 3.8 (b)
Notando que
1 1( ) ( ) ( )q t x t T x t T= + - -
E assumindo
( )
( )
( )
k
k
k
x t a
q t b
g t c
«
«
«
15/05/2014 13:49
slide 84slide 84
Exemplo 3.8 (b)
Então
0 1 0 1jk T jk Tk k kb e a e aw w-= -
( )0 1 0 1jk T jk Tk kb e e aw w-= -
0 12 sin( )k kb j k T aw=
0 1
12 sin( )kb j k T
Tw=
15/05/2014 13:49
slide 85slide 85
Exemplo 3.8 (b)
Como
0
( )( ) k k
dg tq t b jk c
dtw= « =
0 1
0 0
2 sin( ) / para 0k
k
b j k T Tc k
jk jk
w
w w= = ¹
Logo
0 1sin( ) para 0k
k Tc k
k
w
p= ¹
15/05/2014 13:49
slide 86slide 86
Exemplo 3.8 (b)
O valor de c0 é apenas o valor médio de g(t),
portanto:
10
2Tc
T=
15/05/2014 13:49
slide 88slide 88
3.6 Representação de Sinais Periódicos de Tempo discreto em Série de Fourier
15/05/2014 13:49
slide 89slide 89
3.6.1 Combinações Lineares de Exponenciais Complexas Harmonicamente Relacionadas
[ ] [ ]x n x n N= +
0 2 Nw p=
0
2
[ ] 0, 1, 2, , N 1jk n
jk n Nk n e e k
pwf
æ öç ÷è ø= = = ± ± -L
0
1
0
[ ]N
jk nk
k
x n a e w-
=
= å
15/05/2014 13:49
slide 90slide 90
3.6.1 Combinações Lineares de Exponenciais Complexas Harmonicamente Relacionadas
0
2
[ ]jk n
jk n Nk k
k N k N
x n a e a ep
wæ öç ÷è ø
=< > =< >
= =å å
0[ ] [ ]Nn nf f= 1 1[ ] [ ]Nn nf f +=
[ ] [ ]k k rNn nf f += 0, 1, 2,...r = ± ±
15/05/2014 13:49
slide 91slide 91
3.6.2 Determinação da Representação de um Sinal Periódico em Série de Fourier
• Par da Série de Fourier de Tempo Discreto
0
2
[ ]jk n
jk n Nk k
k N k N
x n a e a ep
wæ öç ÷è ø
= =
= =å å
0
21 1
[ ] [ ]jk n
jk n Nk
n N n N
a x n e x n eN N
p
wæ ö
- ç ÷- è ø
= =
= =å å
15/05/2014 13:49
slide 92slide 92
3.6.2 Determinação da Representação de um Sinal Periódico em Série de Fourier
• Notar que os coeficientes espectrais também serão periódicos de período N:
0 0 1 1 1 1[ ] [[ ] [ ]] N Nx n a n an na f ff - -= + + +L
1 1 2 2[ ] [ ] ][ ] [N Nx n a a n a nnf f f= + + +L
0 0[ ] [ ] N Nn n a af f= Þ =
k k Na a +=
15/05/2014 13:49
slide 93slide 93
Exemplo 3.10
• Para o sinal abaixo, determine os coeficientes espectrais da Série de Fourier de Tempo Discreto.
0[ ]x n sen nw=0
2é periódico para
m
N
pw =
15/05/2014 13:49
slide 94slide 94
Exemplo 3.10 (cont.)
• Resolver para m genérico.
15/05/2014 13:49
slide 95slide 95
Exemplo 3.10 (cont.)
1 1
1 1
2 2a a
j j- = - =Avaliando para e5 1: N m= =
15/05/2014 13:49
slide 96slide 96
Exemplo 3.10 (cont.)
3 3
1 1
2 2a a
j j- = - =Avaliando para e5 3: N m= =
15/05/2014 13:49
slide 97slide 97
Exemplo 3.11
• Obter a representação em SF do sinal
2 2 4[ ] 1 sin 3cos cos
2x n n n n
N N N
p p p pæ ö æ ö æ ö= + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
15/05/2014 13:49
slide 98slide 98
Exemplo 3.11
( ) ( )2 22 1sin
2
j N n j N nn e e
N j
p pp -æ ö é ù= -ç ÷ ë ûè ø
( ) ( )2 22 1cos
2
j N n j N nn e e
N
p pp -æ ö é ù= +ç ÷ ë ûè ø
4 42 24 1
cos2 2
j n N j n N
n e eN
p pp pp p
æ ö æ ö+ - +ç ÷ ç ÷
è ø è øé ùæ ö
+ = +ê úç ÷è ø ê úë û
15/05/2014 13:49
slide 99slide 99
Exemplo 3.11
0
1 1
2 2
1
3 1 3 1
2 2 2 2
1 1
2 2
a
a j a j
a j a j
-
-
=
= - = +
= = -
15/05/2014 13:49
slide 100slide 100
Exemplo 3.11
15/05/2014 13:49
slide 101slide 101
Exemplo 3.11 (cont.)
15/05/2014 13:49
slide 102slide 102
Exemplo 3.12
• Obter a representação em SF da forma de onda abaixo.
15/05/2014 13:49
slide 103slide 103
Exemplo 3.12
1
1
2
[1
]N jk n
Nk
n N
a eN
x npæ ö
- ç ÷è ø
=-
= å
112 22
0
1 Njk N jk mN N
km
a e eN
p pæ ö æ ö-ç ÷ ç ÷
è ø è ø
=
= å
2jk
Nq epæ ö
- ç ÷è ø=
( )11
2 2 11 1
1
Njk NN
k
qa e
N q
pæ ö +ç ÷è ø
æ ö-= ç ÷
-è ø
15/05/2014 13:49
slide 104slide 104
Exemplo 3.12
[ ]1
1
sin 2 ( 1/ 2) /10, ,
sin( / )
2 10, ,
k
k N Nk N
N k Na
Nk N
N
p
p
ì +¹ ±ïï
= í-ï = ±
ïî
K
K
15/05/2014 13:49
slide 105slide 105
Exemplo 3.12
19 2N N= =
120 2N N= =
140 2N N= =
15/05/2014 13:49
slide 106slide 106
Exemplo 3.12
0
2
ˆ[ ]M M jk n
jk n Nk k
k M k M
x n a e a ep
wæ ö+ +ç ÷è ø
=- =-
= =å å
15/05/2014 13:49
slide 107slide 107
3.7 Propriedades da SFTD
15/05/2014 13:49
slide 108slide 108
3.7 Propriedades da SFTD
15/05/2014 13:49
slide 109slide 109
Exemplo 3.13
• Encontrar a representação do sinal abaixo em Série de Fourier
15/05/2014 13:49
slide 110slide 110
Exemplo 3.13
1 e 5 1:N N= =
15/05/2014 13:49
slide 111slide 111
Exemplo 3.13
k k ka b c= +
( )1
1 sin(3 / 5)0, 5, 10,
5 s
Pelo Exemp
in( / 5)
30, 5
lo 3.12 1,
, 105
5 :
,k
kk
kb
k
N N
p
p
ì¹ ± ±ïï
= íï = ± ±ï
= =
î
K
K
15/05/2014 13:49
slide 112slide 112
Exemplo 3.13
2Observando [ ]
0 0
1 0
:
k
kc
k
x n
¹ì= í
=î
1 sin(3 / 5)0, 5, 10,
5 sin( / 5)
80,
Portanto
5
:
, 10,5
k
kk
ka
k
p
p
ì¹ ± ±ïï
= íï = ± ±ïî
K
K
15/05/2014 13:49
slide 113slide 113
Exemplo 3.14
• Suponha que tenhamos os seguintes fatos sobre uma sequência x[n]:
5
0
7
2
1. [ ] é periódica com período 6;
2. [ ] 2
3. ( 1) [ ] 1
4. [ ] tem a potência no período mínima dentre
todos os sinais que satisfazem as condições anteriores.
n
n
n
x n N
x n
x n
x n
=
=
=
=
- =
å
å
15/05/2014 13:49
slide 114slide 114
Exemplo 3.14
( )21
Lembrando qu :
[ ]
e
jk N
k
n
n N
a x n eN
p-
=
= å
( )2
0
5
0
0
0
U
1[ ]
1 1 1[ ] 2
sando o Fato 2:
6 6 3
n
n N
n
j Na x n e
N
a x n
p-
=
=
=
= = =
å
å
15/05/2014 13:49
slide 115slide 115
Exemplo 3.14
( ) ( )
( )
7
2
7 7
2 2
3 3
3
2 2 6
3
3
1 1[ ] [ ]
6
1 1[ ] [ ]( 1)
Usando o Fato 3
6 6
1 11
:
6 6
n n
n N n
n n
j N j
j
n n
a x n e x n eN
a x n e x n
a
p p
p
= =
= =
- -
-
= =
= = -
= =
å å
å å
15/05/2014 13:49
slide 116slide 116
Exemplo 3.14
2
2 2
0 3
22 2 2
1 2 4 5
U
mín
sando o Fato 4 e a Relação d
imo
mínimo
e Parseval:
kn N
P a
P a a a aa a
=
= =
= + + + + + =
å
15/05/2014 13:49
slide 117slide 117
Exemplo 3.14
1 1[ ] ( 1)
3 6nx n = + -
15/05/2014 13:49
slide 118slide 118
(continua)Figura 3.21
Exemplo 3.15
• Dada uma expressão algébrica para os coeficientes da Série de Fourier de um sinal, determinar e esboçar o sinal.
2
2
Seja [ ] um sinal periódico, com per
sin (
ío
3 / 7)
7sin ( /
do
7
7 e
)
:
k
kc
k
w n N
p
p=
=
15/05/2014 13:49
slide 119slide 119
(continua)Figura 3.21
Exemplo 3.15
• Do Exemplo 3.12, os coeficientes da SF de uma onda quadrada são:
[ ]1
1
sin 2 ( 1/ 2) /10, ,
sin( / )
2 10, ,
k
k N Nk N
N k Na
Nk N
N
p
p
ì +¹ ±ïï
= í-ï = ±
ïî
K
K
15/05/2014 13:49
slide 120slide 120
(continua)Figura 3.21
Exemplo 3.15
• Fazendo N=7 e N1=1:
[ ]sin 3 / 710, 7,
7 sin( / 7)
10, 7,
7
k
kk
ka
k
p
p
ì¹ ±ïï
= íï = ±ïî
K
K
15/05/2014 13:49
slide 121slide 121
(continua)Figura 3.21
Exemplo 3.15
• Portanto:
27k kc a=
• Usando a propriedade da convolução periódica:
[ ] [ ] [ ] k k kr N
w n x r y n r c Na b=
= - « =å
3
3
[ ] [ ] [ ] 7k k kr
w n x r x n r c a a=-
= - « =å
15/05/2014 13:49
slide 122slide 122
(continua)Figura 3.21
Exemplo 3.15
15/05/2014 13:49
slide 123slide 123
(continuação)
Exemplo 3.15
15/05/2014 13:49
slide 124slide 124
3.8 Série de Fourier e Sistemas LIT
( ) y(t)= ( )j t j tx t e H j ew ww= ®
( ) ( ) jH j h e dwtw t t+¥
-
-¥
= ò
Resposta em Frequência do sistema
15/05/2014 13:49
slide 125slide 125
3.8 Série de Fourier e Sistemas LIT (cont.)
y(t) também é periódico com a mesma frequência fundamental de x(t).
0 0
0x( ) y( ( ))jk t jkk k
t
k k
a a Ht e jkt ew ww= ® =å å
15/05/2014 13:49
slide 126slide 126
3.8 Série de Fourier e Sistemas LIT(Tempo Discreto)
[ ] y[t]= ( )j j nj nx n H e ee w ww= ®
Resposta em Frequência do sistema
( ) [ ]j j n
k
H e h k ew w+¥
-
=-¥
= å
15/05/2014 13:49
slide 127slide 127
3.8 Série de Fourier e Sistemas LIT (cont.)
y[n] também é periódico com a mesma frequência fundamental de x[n].
0 00x[n] y[ (n] )jk n jk n
k
j
N k N
kk ka ea H ee w ww
= =
= ® =å å
15/05/2014 13:49
slide 128slide 128
Exemplo 3.16
• Suponha que o sinal periódico discutido no Exemplo 3.2 seja o sinal de entrada para um SLIT com resposta ao impulso mostrada abaixo. Determine os coeficientes da SF da saída.
( ) ( )th t e u t-=
15/05/2014 13:49
slide 129slide 129
Exemplo 3.2
Considere o seguinte sinal periódico:
32
3
( ) jk tk
k
x t a e p+
=-
= å
com
0
1 1 2 2 3 3
1,
1 1 1
4 2 3
a
a a a a a a- - -
=
= = = = = =
15/05/2014 13:49
slide 130slide 130
Exemplo 3.16
• Calculo da Resposta em Frequência
( ) ( ) sH s h e dtt t+¥
-
-¥
= ò
0
( ) jH j e e dt wtw t+¥
- -= ò
1( )
1H j
jw
w=
+
15/05/2014 13:49
slide 131slide 131
Exemplo 3.16
• Calculo dos Coeficientes da SF de y(t)
0 0
0x( ) y( ) ( )k kjk t jk t
k k
a a H jkt e t ew ww+¥
=-¥
= ® =å å
( 2 )k kb a H jk p=
15/05/2014 13:49
slide 132slide 132
Exemplo 3.16
• Portanto,
0
1 1
2 2
3 3
1,
1 1 1 1
4 1 2 4 1 2
1 1 1 1
2 1 4 2 1 4
1 1 1 1
6 1 6 6 1 6
b
b bj j
b bj j
b bj j
p p
p p
p p
-
-
-
=
æ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷+ -è ø è ø
æ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷+ -è ø è ø
æ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷+ -è ø è ø
15/05/2014 13:49
slide 133slide 133
Exemplo 3.17
• Considere um SLIT com a resposta ao impulso e sinal de entrada dados abaixo. Obter sua resposta.
[ ] [ ] 1 1nh n u na a= - < <
2[ ] cos
nx n
N
pæ ö= ç ÷
è ø
15/05/2014 13:49
slide 134slide 134
Exemplo 3.17
• Solução:
( )0 0
[ ]nj n j n j
n n
H e e ew w wa a¥ ¥
- -
= =
= =å å
{ {1 1
2 21 1
[ ]2 2
j n
a
N N
a
j n
x n e ep p
-
æ ö æ ö-ç ÷ ç ÷
è ø è ø= +
1[ ]
1j
jH e
ew
wa -=
-
15/05/2014 13:49
slide 135slide 135
Exemplo 3.17
( )2 /1
kk j k N
ab
epa -
=-
( ) ( )2 2x[n] y[n ( 2 / )]
k k
k
j N n j N
k N kk
n
N
a a H je k N ep pp
= =
= ® =å å
( 2 / )k kb a H j k Np=
( ) ( )1 1
1 12 / 2 /1 1
j N j N
a ab b
e ep pa a
--
= =- -
15/05/2014 13:49
slide 136slide 136
Exemplo 3.17
2 2
2 2
1 1[ ]
2 21 1
j n j nN N
j jN N
e ey n
e e
p p
p p
a a
æ ö æ ö-ç ÷ ç ÷
è ø è ø
æ ö æ ö- ç ÷ ç ÷
è ø è ø
= +
- -
2[ ] cosy n r n
N
pq
æ ö= +ç ÷
è ø
2
1
1
j
jN
re
e
q
p
aæ ö
- ç ÷è ø-
@
15/05/2014 13:50
