Superfícies Mínimas Obtidas Superfícies Mínimas Obtidas Através da Transformada de Através da Transformada de

RibaucourRibaucour

Disney Douglas de Lima OliveiraDisney Douglas de Lima Oliveira

Junho - 2003Junho - 2003

ConteúdoConteúdo

Um pouco de geometria diferencialUm pouco de geometria diferencialSuperfícies Mínimas Superfícies Mínimas HistóricoHistóricoTransformada de RibaucourTransformada de RibaucourSuperfícies associadas a Superfície de Superfícies associadas a Superfície de

EnneperEnneperSuperfícies Mínimas associadas ao Superfícies Mínimas associadas ao

CatenóideCatenóide

CurvasCurvas

Uma Uma curva regularcurva regular é um conjunto uni- é um conjunto uni-dimensional dimensional C C que é suave em todos os que é suave em todos os seus pontos.seus pontos.

Uma conseqüência da suavidade é que Uma conseqüência da suavidade é que a reta (secante) que passa por dois a reta (secante) que passa por dois pontos pontos pp11 , , pp22 C C se aproxima de uma se aproxima de uma posição limite quandoposição limite quando p p11 e e pp22 tendem tendem para um pontopara um ponto pp22 C.C.

Tal posição limite é chamadaTal posição limite é chamada a (reta) a (reta) tangente a tangente a CC no ponto no ponto p.p.

Figura 1Figura 1

Aplicação tangenteAplicação tangente

Seja Seja CC uma curva em um plano uma curva em um plano P. P. Escolhamos Escolhamos um sentido de percurso paraum sentido de percurso para C e C e um sentido de um sentido de rotação emrotação em P P; diremos então que ; diremos então que CC e e PP estão estão orientadosorientados..

Associemos a cada Associemos a cada p p C C um vetor tangente um vetor tangente unitário unitário ee11(p)(p) na orientação de na orientação de C.C.

Seja Seja SS11 um círculo de raio um e centro 0 em um círculo de raio um e centro 0 em P.P. A A aplicação tangenteaplicação tangente T:CT:CSS11 é definida é definida associando a cada associando a cada p p C C a extremidade de a extremidade de ee11(p), (p), quando a sua origem é transladada para 0 quando a sua origem é transladada para 0

Figura 2Figura 2

CurvaturaCurvatura

Sejam Sejam pp e e qq dois pontos próximos de dois pontos próximos de CC e seja e seja ss o o

comprimento de arco em comprimento de arco em CC de de pp a a q, onde q, onde ss é positivo se é positivo se

pp se desloca para se desloca para qq na orientação da curva. na orientação da curva. Indiquemos por Indiquemos por o ângulo de o ângulo de T(p)T(p) a a T(q)T(q), na orientação , na orientação

do plano do plano P.P. Como conseqüência da suavidade de Como conseqüência da suavidade de CC, existe o limite, existe o limite

e seu valor é a e seu valor é a curvatura curvatura de de CC em em p.p.

Figura 3Figura 3

Sinal da curvaturaSinal da curvatura

SuperfícieSuperfície

Uma Uma superfície (regular)superfície (regular) é um conjunto bi- é um conjunto bi-dimensional que é suave em todos os seus dimensional que é suave em todos os seus pontos. Em particular dados três pontos pontos. Em particular dados três pontos pp11,p,p22,p,p33 S S, o plano determinado por estes , o plano determinado por estes pontos tem uma posição limite quando pontos tem uma posição limite quando pp11, p, p22 e e pp3 3 tendem para um ponto tendem para um ponto p p S. S.

Este plano é chamado oEste plano é chamado o plano tangenteplano tangente T TppS S a a SS em em p.p.

Pela própria construção,Pela própria construção, T TppS S contém ascontém as tangentes às curvas emtangentes às curvas em S S passando porpassando por p. p.

Figura 5Figura 5

Superfície fechadaSuperfície fechada

Uma superfície que é limitada (isto é, está Uma superfície que é limitada (isto é, está contida no interior de uma bola de raio contida no interior de uma bola de raio suficientemente grande) e não tem fronteira é suficientemente grande) e não tem fronteira é chamada uma chamada uma superfície fechadasuperfície fechada..

Esferas e elipsóides são superfícies fechadas. Esferas e elipsóides são superfícies fechadas. Cilindros e parabolóides infinitos não são Cilindros e parabolóides infinitos não são fechadas por não serem limitadas. Por outro fechadas por não serem limitadas. Por outro lado, uma parte do cilindro e uma parte do lado, uma parte do cilindro e uma parte do parabolóide não são fechadas por possuírem parabolóide não são fechadas por possuírem pontos na fronteira.pontos na fronteira.

Figura 6Figura 6

ParametrizaçãoParametrização Para uma curva Para uma curva CC, digamos, em , digamos, em RR33, , uma uma

parametrização significa escolher coordenadas parametrização significa escolher coordenadas cartesianas cartesianas x,y,zx,y,z em em RR33, e que as coordenadas , e que as coordenadas x(t), y(t), x(t), y(t), z(t)z(t) de um ponto da curva são dadas como funções do de um ponto da curva são dadas como funções do parâmetro parâmetro tt que percorrem um intervalo que percorrem um intervalo I I da reta.da reta.

Para uma superfície Para uma superfície S S R R33, isto significa que as , isto significa que as coordenadas coordenadas x(u,v), y(u,v), z(u,v) x(u,v), y(u,v), z(u,v) de um ponto da de um ponto da superfície são funções de dois parâmetros superfície são funções de dois parâmetros u,v; u,v; neste neste caso, o parcaso, o par (u,v)(u,v) percorre o domínio abertopercorre o domínio aberto U U de um de um plano no qual introduzimos plano no qual introduzimos u u ee v v como coordenadas como coordenadas

Assim uma curva pode ser representada por uma Assim uma curva pode ser representada por uma aplicação aplicação : I : I R R33 , , e uma superfície como uma e uma superfície como uma aplicação aplicação X : UX : U R R33

Condição de regularidadeCondição de regularidade

A condição de regularidade de uma curva se exprime A condição de regularidade de uma curva se exprime dizendo que o vetor tangente dizendo que o vetor tangente ’(t) = (x’(t), y’(t), z’(t)) ’(t) = (x’(t), y’(t), z’(t)) ≠ 0 ≠ 0 t t I. I.

Para superfície pode ser expressa fixando Para superfície pode ser expressa fixando (u(u00 , v , v0 0 ) ) U U e e

requerendo que os vetores tangentes às curvas requerendo que os vetores tangentes às curvas uu X(u, vX(u, v0 0 ), v), v X(u X(u00, v, v ), ), isto é, que os vetores isto é, que os vetores

sejam L.I.sejam L.I. (u (u00 , v , v0 0 ) ) U U

Curvatura normalCurvatura normal Sejam Sejam pp S S, onde , onde SS R R33 é uma superfície é uma superfície

orientada, e orientada, e N(p) N(p) o vetor normal a o vetor normal a SS em em p, p, na na orientação de orientação de SS e seja e seja vv uma vetor unitário do uma vetor unitário do plano tangente plano tangente TTppS.S.

O Plano O Plano PPvv que contém que contém vv e e NN, corta a superfície , corta a superfície SS segundo uma curva plana segundo uma curva plana CCvv , chamada , chamada secção secção normal normal de de S S em em p p segundo segundo v.v.

A A curvatura normal curvatura normal kkvv de de SS em em pp é definida é definida como o valor absoluto da curvatura de como o valor absoluto da curvatura de CCvv com um com um sinal positivo, se sinal positivo, se NN está voltado para a está voltado para a concavidade de concavidade de CCvv

,, e negativa caso contrário.e negativa caso contrário. Temos que Temos que kkvv = k = k-v-v

Curvatura (fig)Curvatura (fig)

Curvaturas principaisCurvaturas principais

Quando Quando PPvv gira em torno de gira em torno de N, vN, v descreve um descreve um círculo de raio um em círculo de raio um em TTppS.S.

É possível mostrar que É possível mostrar que kkvv depende depende continuamente decontinuamente de v v S S11 e, portanto, atinge um e, portanto, atinge um máximo kmáximo k1 1 e um mínimo e um mínimo kk22 em em SS11

As curvaturasAs curvaturas k k11 e e kk22 são chamadas são chamadas curvaturas curvaturas principais principais

As direções correspondentes ( os vetores As direções correspondentes ( os vetores unitários correspondentes) são chamadas unitários correspondentes) são chamadas direções principais.direções principais.

KHKH

Euler provou que, conhecidas as curvaturas Euler provou que, conhecidas as curvaturas kk11 e e

kk22 e o ângulo que faz e o ângulo que faz v,v, digamos, com a direção digamos, com a direção

correspondente a correspondente a kk11 , , kkvv é dada poré dada por

kkvv = k = k11 cos cos22 + k + k22 sen sen22

Portanto Portanto kk11 e e kk22 determinam todas as curvaturas determinam todas as curvaturas

normais em normais em pp.. Chamamos Chamamos curvatura gaussianacurvatura gaussiana de de SS em em p p o o

produto produto K = kK = k11kk22 Chamamos Chamamos curvatura médiacurvatura média a média aritmética a média aritmética

Aplicação normal de GaussAplicação normal de Gauss

Seja Seja SS uma superfície orientada e uma superfície orientada e SS22(1)(1) uma esfera de raio um e centro 0. A uma esfera de raio um e centro 0. A aplicação normal aplicação normal (ou (ou aplicação esféricaaplicação esférica ou ou aplicação de Gaussaplicação de Gauss) ) N : S N : S S S22(1)(1) é é definida fazendo corresponder a cada definida fazendo corresponder a cada p p S S a extremidade do vetor unitário normal a extremidade do vetor unitário normal N(p) N(p) da orientação de da orientação de S, S, quando a origem quando a origem de de N(p) N(p) é transferida para o centro 0 deé transferida para o centro 0 de SS22(1)(1)

Figura 8Figura 8

Figura 9Figura 9

Fig 10Fig 10

ÁreaÁrea

Quando nas vizinhanças de um ponto Quando nas vizinhanças de um ponto p p S, S, a a aplicação normal é biunívoca, podemos tomar aplicação normal é biunívoca, podemos tomar um domínio limitado um domínio limitado DD S S em torno de em torno de pp, e , e medir a área de sua imagem medir a área de sua imagem N(D).N(D).

Dizemos que a área de Dizemos que a área de N(D) N(D) é é positivapositiva se a se a fronteira de fronteira de N(D)N(D) é percorrido no mesmo sentido é percorrido no mesmo sentido que a fronteira de que a fronteira de DD

Indiquemos por Indiquemos por AA a área de a área de D e porD e por à à a área de a área de N(D)N(D)

K(p)K(p)

Seja Seja p p S S. Se não existe uma região . Se não existe uma região DD em torno de em torno de pp na na qual qual NN é biunívoca, fazemos é biunívoca, fazemos K(P) = 0.K(P) = 0. Caso contrário, Caso contrário, define-se define-se K(P)K(P) como o limite como o limite

Obsevamos que esta definição é o análogo para Obsevamos que esta definição é o análogo para superfícies da definição de curvatura para curvas planas superfícies da definição de curvatura para curvas planas (no caso de curvas planas, poderíamos ter tomado a (no caso de curvas planas, poderíamos ter tomado a aplicação normal sem alterar o resultado) e áreas no aplicação normal sem alterar o resultado) e áreas no lugar de comprimentos.lugar de comprimentos.

Figura 10Figura 10

Superfície MínimaSuperfície Mínima

Definimos superfície mínima como as superfícies Definimos superfície mínima como as superfícies com curvatura média nula.com curvatura média nula.

Fisicamente isto significa que para um Fisicamente isto significa que para um determinado limite uma superfície mínima não determinado limite uma superfície mínima não pode ser modificada sem aumentam a área da pode ser modificada sem aumentam a área da superfíciesuperfície

As superfícies mínimas satisfazem à equação As superfícies mínimas satisfazem à equação

)0(0f)f1(fff2f)f1( vv2

uuvvuuu2

v

(cont.)(cont.) Encontrar uma superfície de área mínima com Encontrar uma superfície de área mínima com

borda específica e constante é um problema de borda específica e constante é um problema de cálculo das variações, conhecido como cálculo das variações, conhecido como Problema de PlateauProblema de Plateau

As superfícies mínimas também podem ser As superfícies mínimas também podem ser caracterizadas como superfícies de área mínima caracterizadas como superfícies de área mínima para uma dada borda fixa.para uma dada borda fixa.

Observe que uma esfera é uma “superfície Observe que uma esfera é uma “superfície mínima” no sentido de reduzir a área da mínima” no sentido de reduzir a área da superfície em relação ao volume, o que não a superfície em relação ao volume, o que não a qualifica como uma superfície mínima no qualifica como uma superfície mínima no sentido de nossa definição.sentido de nossa definição.

HistóricoHistórico A história das superfícies mínimas inicia com LagrangeA história das superfícies mínimas inicia com Lagrange Em sua famosa autobiografia publicada em 1762, Em sua famosa autobiografia publicada em 1762,

Lagrange desenvolveu um algoritmo para o cálculo das Lagrange desenvolveu um algoritmo para o cálculo das variações.variações.

Euler (1740) por meio da rotação da catenária em Euler (1740) por meio da rotação da catenária em relação ao eixo central obteve uma superfície de relação ao eixo central obteve uma superfície de revolução que ele chamou de “allyside”, posteriormente revolução que ele chamou de “allyside”, posteriormente renomeada de catenóide por Plateau.renomeada de catenóide por Plateau.

Costuma-se dizer que o catenóide é a única superfície Costuma-se dizer que o catenóide é a única superfície mínima de revolução.mínima de revolução.

CatenóideCatenóide

MeusnierMeusnier

Meusnier (1776) obteve uma outra Meusnier (1776) obteve uma outra solução da eq. solução da eq. (0)(0), introduzindo a , introduzindo a condição adicional que as “curvas de condição adicional que as “curvas de nível” nível” f(x, y) = cosnt. f(x, y) = cosnt. fossem retas.fossem retas.

A solução neste caso, é um helicóideA solução neste caso, é um helicóideO helicóide pode ser descrito da seguinte O helicóide pode ser descrito da seguinte

forma:forma:

DescriçãoDescrição

Considere uma hélice que se enrola em Considere uma hélice que se enrola em um cilindro circular reto.um cilindro circular reto.

Por cada ponto da hélice, passe uma reta Por cada ponto da hélice, passe uma reta que encontra perpendicularmente o eixo que encontra perpendicularmente o eixo do cilindrodo cilindro

Quando o ponto descreve a hélice, esta Quando o ponto descreve a hélice, esta reta descreve uma superfície chamada reta descreve uma superfície chamada helicóide.helicóide.

CilindroCilindro

HelicóideHelicóide

• O helicóide possui a propriedade provada por Cartan em 1842, que ela é (exceto o plano) a única superfície mínima regrada (isto é, por cada ponto da superfície passa uma reta contida na superfície).

SherkSherk

Sherk (1835) obteve novas superfícies, o que lhe Sherk (1835) obteve novas superfícies, o que lhe valeu um prêmio da Academia de Ciências de valeu um prêmio da Academia de Ciências de Paris.Paris.

Ele introduziu na eq. Ele introduziu na eq. (0)(0) a condição que as a condição que as variáveis podiam ser “separadas”.variáveis podiam ser “separadas”.

Mais precisamente ele supôs que Mais precisamente ele supôs que f(x,y) = g(x) + h(y). f(x,y) = g(x) + h(y).

Superfície de SherkSuperfície de Sherk

EnneperEnneper Enneper em 1864 descreveu uma superfície Enneper em 1864 descreveu uma superfície

como imagem de uma aplicação como imagem de uma aplicação X : RX : R22 R R33 do do plano plano RR22, , com coordenadascom coordenadas (u,v), (u,v), no espaço Rno espaço R33 , , com coordenadas com coordenadas x,y,zx,y,z dadas por : dadas por :

Observamos que a superfície de Enneper só envolve Observamos que a superfície de Enneper só envolve somas e produtos. Neste sentido, ela é mais simples somas e produtos. Neste sentido, ela é mais simples que as superfícies mínimas apresentadas até agora, que as superfícies mínimas apresentadas até agora, cujas representações são dadas por funções cujas representações são dadas por funções transcendentes (isto é, que envolvem de maneira transcendentes (isto é, que envolvem de maneira essencial a função exponencial).essencial a função exponencial).

Superfície de EnneperSuperfície de Enneper

PlateauPlateau

Plateau (1873) realizou experiências com Plateau (1873) realizou experiências com membranas e bolhas de sabão, convencendo os membranas e bolhas de sabão, convencendo os matemáticos da existência de uma solução para o matemáticos da existência de uma solução para o problema de determinar a superfície de área problema de determinar a superfície de área mínima sujeita a determinado bordo fixo.mínima sujeita a determinado bordo fixo.

Película de sabãoPelícula de sabão

É possível mostrar que essa superfície de É possível mostrar que essa superfície de equilíbrio tem curvatura média equilíbrio tem curvatura média H =0H =0. Isso . Isso decorre de uma fórmula, devida a Laplace, que decorre de uma fórmula, devida a Laplace, que diz que diz que aa pressão em cada ponto exercida pressão em cada ponto exercida pela superfície sobre o meio ambiente é pela superfície sobre o meio ambiente é dirigida na direção da normal à superfície e dirigida na direção da normal à superfície e proporcional a Hproporcional a H

Como a superfície está em equilíbrio, tal Como a superfície está em equilíbrio, tal pressão, donde H, se anula em todos os pontospressão, donde H, se anula em todos os pontos

Película de sabão (fig)Película de sabão (fig)

Resolução do problemaResolução do problema Weierstrass (1861) criou uma representação Weierstrass (1861) criou uma representação

(parametrização de Weierstrass) que permite (parametrização de Weierstrass) que permite construir uma superfície em termo de duas construir uma superfície em termo de duas funçõesfunções

Douglas (1931) e Radó (1930) , solucionaram o Douglas (1931) e Radó (1930) , solucionaram o problema de Plateau tendo a brilhante idéia de, problema de Plateau tendo a brilhante idéia de, ao invés de minimizar a área, minimizar a ao invés de minimizar a área, minimizar a função de energia de Dirichlet.função de energia de Dirichlet.

Courant (1950) Reformulou a teoria de Douglas Courant (1950) Reformulou a teoria de Douglas e Radó.e Radó.

Wilson (1970) e Gulliver (1973) mostraram que Wilson (1970) e Gulliver (1973) mostraram que a solução mínima não possuía singularidades.a solução mínima não possuía singularidades.

Superfície de CostaSuperfície de Costa Em 1982, em sua Tese de Doutorado no IMPA, Celso Em 1982, em sua Tese de Doutorado no IMPA, Celso

José da Costa obteve as equações do terceiro José da Costa obteve as equações do terceiro exemplo longamente procurado.exemplo longamente procurado.

Trabalhando com a representação de Weierstrass Trabalhando com a representação de Weierstrass para funções definidas em um toro, Costa obteve uma para funções definidas em um toro, Costa obteve uma superfície mínima completa conformemente superfície mínima completa conformemente equivalente ao toro menos três pontos. Dois dos fins equivalente ao toro menos três pontos. Dois dos fins da superfície são do tipo catenóide ( no sentido em da superfície são do tipo catenóide ( no sentido em que se afastam para o infinito) e o terceiro fim se que se afastam para o infinito) e o terceiro fim se aproxima assimtoticamente de um plano que está a aproxima assimtoticamente de um plano que está a uma distância finita (tais fins são chamados planares)uma distância finita (tais fins são chamados planares)

Transformada de RibaucourTransformada de Ribaucour

Seja Seja MM uma superfície orientavel do uma superfície orientavel do RR33, sem , sem pontos umbílicos, cuja função de Gauss pontos umbílicos, cuja função de Gauss denotamos por denotamos por NN. Dizemos que é associado a . Dizemos que é associado a M M pela transformada de Ribaucour, se e somente pela transformada de Ribaucour, se e somente se, existe uma função diferenciável se, existe uma função diferenciável hh definida em definida em M M e um difeomorfismo tal quee um difeomorfismo tal que

a) a) onde é a função de Gauss deonde é a função de Gauss de

b) O subconjunto b) O subconjunto p + h(p)N(p), p p + h(p)N(p), p M , M , é uma é uma subvariedade de dimensão 2subvariedade de dimensão 2c) c) preserva linhas de curvatura preserva linhas de curvatura

Teorema 1Teorema 1 Seja Seja MM uma superfície do uma superfície do RR33,, sem pontos umbílicos, sem pontos umbílicos,

cujo Gauss é cujo Gauss é N. N. Sejam Sejam eeii, , as direções as direções principais ortonormais,principais ortonormais, ii as correspondentes as correspondentes curvaturas principais. A superfície é associada a curvaturas principais. A superfície é associada a M M através da transformada de Riboucour, se e somente seatravés da transformada de Riboucour, se e somente se M M e são associadas a esfera congruente, cuja e são associadas a esfera congruente, cuja função raio função raio h :Mh :M R R satisfazsatisfaz 1 + h 1 + hii ≠ 0 e≠ 0 e

onde onde

e e ijij são as formas de conexão de e são as formas de conexão de eii ..

Proposição 1Proposição 1 Suponha que Suponha que hh é uma função não nula que satisfaz a equação é uma função não nula que satisfaz a equação (1)(1), então, então

é uma 1-forma fechada e existe uma função não nula é uma 1-forma fechada e existe uma função não nula , , definida em um definida em um domínio simplesmente conexo, tal que domínio simplesmente conexo, tal que

Para cada função não nula Para cada função não nula hh, a qual é uma solução de , a qual é uma solução de (1)(1), consideramos , consideramos como acima e definimoscomo acima e definimos

Com esta notaçãoCom esta notação

Além disso, a equação (1) é equivalente ao sistema linear dado pelo seguinte Além disso, a equação (1) é equivalente ao sistema linear dado pelo seguinte resultadoresultado

Proposição 2Proposição 2 A função A função hh é uma solução de é uma solução de (1) (1) definida sobre um definida sobre um

domínio simplesmente conexo, se e somente se, domínio simplesmente conexo, se e somente se, h = h = / W / W onde onde e W e W são funções que satisfazem são funções que satisfazem

Teorema 2Teorema 2 Seja Seja M M e superfícies orientáveis do e superfícies orientáveis do RR33, sem , sem

pontos parabólicos. Assumindo que é associado pontos parabólicos. Assumindo que é associado a a MM pela transformada de Ribaucour, tal que as pela transformada de Ribaucour, tal que as linhas normais intersectam a uma função distância linhas normais intersectam a uma função distância h. Se h = h. Se h = / W / W não é constante ao longo das não é constante ao longo das linhas de curvatura e as funções linhas de curvatura e as funções ii , , e e WW satisfazem a relação satisfazem a relação

112 2 + + 22

2 2 +W+W22 = 2c = 2cW,W, ondeonde c c é uma constante real, então é uma é uma constante real, então é uma

superfície mínima, se e somente se superfície mínima, se e somente se M é mínima.M é mínima.

Proposição 3Proposição 3 Considere a superfície de Enneper parametrizada porConsidere a superfície de Enneper parametrizada por

A superfície parametrizada é uma superfície mínima A superfície parametrizada é uma superfície mínima localmente associada a localmente associada a XX pela transformada de Ribaucour como no pela transformada de Ribaucour como no Teorema 2 se, e somente se, por um movimento rígido de Teorema 2 se, e somente se, por um movimento rígido de RR33 , ,

Superfície mínima associada a superfície de Enneper com c = 1

Superfícies associadas ao Superfícies associadas ao catenóidecatenóide

ReferênciasReferências

Carmo, M. do, Differential Geometry of Curves and Carmo, M. do, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall 1976Surfaces, Prentice-Hall 1976

Tenenblat, K., Introdução à Geometria Diferencial, Tenenblat, K., Introdução à Geometria Diferencial,

Unb 1990Unb 1990 Gray, A., Modern Differential Geometry of Curves and Gray, A., Modern Differential Geometry of Curves and

Surfaces, CRC Press 2000Surfaces, CRC Press 2000 Nitsche, J., Lectures on minimal Surfaces, Nitsche, J., Lectures on minimal Surfaces, Cabridge Cabridge

University Press 1989University Press 1989 Corro, A, Tenenblat, K., Minimal Surfaces Obtained by Corro, A, Tenenblat, K., Minimal Surfaces Obtained by

Ribaucour Trasnformations, Geometric Ribaucour Trasnformations, Geometric Dedicata, 2003Dedicata, 2003