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X Encontro Nacional de Educao MatemticaEducao Matemtica, Cultura e Diversidade

Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

Anais do X Encontro Nacional de Educao MatemticaComunicao Cientfica

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APLICAES DE CLCULO DIFERENCIAL S CINCIAS NATURAIS EHUMANAS: EXERCCIOS DE REFLEXO E CURIOSIDADES

Pedro Carlos Elias Ribeiro JuniorFaculdades de Cincias Integradas do Pontal - UFU

[email protected]

Tnia Maria Machado de CarvalhoFaculdades de Cincias Integradas do Pontal - UFU

[email protected]

Daniel Cariello

Faculdades de Cincias Integradas do Pontal - [email protected]

Resumo: Existe um consenso de que se o assunto matemtica, constata-se que h umgrande fracasso no desempenho dos alunos, tanto do ensino fundamental quanto do ensinomdio. Este fracasso pode estar intimamente ligado maneira como os conceitosmatemticos so desenvolvidos em sala de aula. Desta forma, os alunos chegam suniversidades com enormes deficincias nos conhecimentos prvios em raciocnio lgico,no traado e anlise de grficos e nos contedos algbricos em geral. Estas deficinciastm grande reflexo no ensino de Clculo Diferencial, disciplina que d sustentao

maioria dos cursos da rea de Cincias Exatas. Na tentativa de oferecer ao alunoingressante na universidade um melhor entendimento desta disciplina, preparou-se umprojeto com o intuito de elaborar listas diferenciadas, que contenham exerccios quedespertem o interesse, e tragam problemas que propiciem, no apenas o entendimento e afixao dos conceitos de limite, continuidade e derivada, mas tambm, estimulem odesenvolvimento do raciocnio e criem condies ao discente de interpretargeometricamente os resultados obtidos e de relacionar conceitos interdisciplinares,envolvendo questes originadas nos cursos de Administrao, Biologia, CinciasContbeis, Fsica, Matemtica e Qumica.Palavras-chave: Ensino da matemtica; Clculo Diferencial; Aprimoramento do ensino deClculo.

INTRODUO

A sociedade atual, que prima pela tecnologia, por um ambiente de grande

produtividade e pela qualidade na execuo de tarefas, exige do profissional uma formao

e um perfil que inclui flexibilidade funcional, criatividade, capacidade de trabalhar em

equipe, autonomia intelectual, habilidade de articular conceitos tericos e prticos, etc.
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Desse modo, necessrio que a formao inicial do profissional esteja de acordo com o

cenrio contemporneo e seja a mola propulsora para uma crescente e ininterrupta busca

por novos conhecimentos.

Neste mbito, est inserida a universidade como instituio que garante a formao

inicial e da qual se espera que, respaldada por uma tecnologia luz da cincia, forme

profissionais aptos a atender as necessidades do mercado de trabalho. Ento, em todos os

aspectos, a universidade precisa estar preparada para proporcionar formao tcnica de

qualidade.

Cabe, neste momento, fazer uma breve anlise acerca dos atributos acadmicos dos

alunos que ingressam na universidade, antes do que interessante fazer algumas

observaes em relao ao ensino da matemtica nos ciclos fundamental e mdio.

Tem-se observado um nmero crescente de alunos que demonstram total falta de

interesse pelas aulas e pelos assuntos desenvolvidos em sala. Tal apatia mediante o estudo

das cincias e dos contedos abordados na escola evidencia um comportamento que gera

incmodo na comunidade de educadores e ao qual se deve dar especial ateno, pois asrazes que conduzem ao fracasso no desempenho das atividades escolares so muitas e

oriundas dos mais diversos setores da vida do aluno. Uma das causas desse desinteresse

est ligada falta de perspectiva profissional e tambm maneira como os conceitos

acadmicos esto sendo desenvolvidos na sala de aula: geralmente de forma totalmente

dissociada da prtica cotidiana do aluno, e tambm no estabelece uma conexo entre o

que ensinado e a realidade das profisses. Em um de seus trabalhos, a pesquisadora Gatti

conduziu entrevistas com professores, questionando-os acerca dos altos ndices de

reprovao. Gatti (1996) descreve:

Solicitou-se, ento, s professoras que assinalassem trs razes quejulgassem mais importantes para explicar esta repetncia. As maisassinaladas foram a falta de interesse dos alunos (61%)...(Gatti,1996, p.87)

Os rgos governamentais, tendo como instrumento deliberativo o Ministrio da

Educao e Cultura, acenam na direo de que o aluno do ensino fundamental e mdio

adquira habilidade de desenvolver, de maneira lgica, um raciocnio cientfico, utilizandoargumentos, recursos e conceitos apreendidos ao longo de sua formao acadmica. Com

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este mesmo direcionamento, os Parmetros Curriculares Nacionais so periodicamente,

submetidos a reformas visando atender as exigncias contemporneas na formao dos

estudantes. As questes do Exame Nacional do Ensino Mdio destacam uma linha de

pensamento, na qual, para a obteno da resposta j no considera mais somente a

aplicao de frmulas, regras, leis e normas como um procedimento eficaz para a obteno

da resposta.

JUSTIFICATIVA

As deficincias dos alunos que atingem o estgio universitrio, provenientes da m

qualidade do ensino fundamental e mdio, so percebidas pela falta de conhecimentos

prvios em raciocnio lgico, no traado e anlise de grficos e no contedo algbrico que

eles trazem consigo. Estes estudantes acostumaram-se a um cotidiano escolar em que as

tarefas eram executadas utilizando estratgias equivocadas de estudo, o que promoveu um

dficit significativo na relao entre o ensino e a aprendizagem. De fato, no ensino mdio,

estes alunos, em geral, foram condicionados a resolver mecanicamente os exerccios, sem

refletir sobre o significado de cada tpico apresentado. Alm disso, em diversos casos, os

contedos so apresentados sem as devidas demonstraes, muitas vezes porque o prprioprofessor no a entendeu. De acordo com Veloso (1998):

A prtica freqente pelos alunos da argumentao, da justificao dasprprias afirmaes e da procura de uma explicao em defesa dasconjecturas que formulam, no decorrer das atividades de investigao,constitui modos vlidos para melhorar o seu discurso matemtico e asformas de exprimir os seus raciocnios. (Veloso,1998, p. 360)

Os contedos de Clculo contm a maior parte dos conceitos matemticos que

devem ser assimilados no ciclo inicial dos cursos na rea de Cincias Exatas, como, por

exemplo, os conceitos relacionados a limite, continuidade e derivada de uma funo de

uma varivel real que introduzem o aluno no universo do formalismo e do rigor

matemtico. na disciplina de Clculo Diferencial que o estudante tem os primeiros

contatos com a linguagem da matemtica de nvel superior, a generalizao de idias, a

abstrao, a utilizao de noes de lgica no desenvolvimento dos raciocnios e o

conhecimento dos processos de argumentao e justificao. Portanto, esta disciplina

assume a funo de propiciar uma alfabetizao matemtica de nvel superior. Logo,

parece ser importante a ateno ao desempenho dos estudantes nesta disciplina.

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Na maioria das instituies brasileiras de ensino superior, os ndices de reprovao

nas disciplinas de Clculo so muito altos, prejudicando o rendimento dos estudantes e

causando atraso no curso universitrio. H uma preocupao mundial com o fracasso em

Clculo tanto que, na dcada de 80, iniciou-se um movimento conhecido como Calculus

Reform. Segundo Rezende(2003):

Outro exemplo internacional desta inquietao foi o movimento em prolda reforma do ensino de Clculo, iniciado na dcada de 80, e que ficouconhecido por Calculus Reform (ou Clculo Reformado) [...]. [...]Segundo seus precursores, o Calculus Reform tem como caractersticasbsicas: o uso de tecnologia, isto , software computacional e

calculadoras grficas, tanto para o aprendizado de conceitos e teoremascomo para a resoluo de problemas. (Rezende, 2003, p. 4)

Como tambm aponta Igliori (2002), os obstculos de origem didtica influem na

qualidade da aprendizagem dos contedos de Clculo:

- as concepes que ocasionam obstculos no ensino da matemtica soraramente espontneas, mas advindas do ensino e das aprendizagensanteriores;

- o obstculo est relacionado a um n de resistncia mais ou menos forte

segundo os alunos, de acordo com o ensino recebido, pois o obstculoepistemolgico se desmembra freqentemente em obstculos de outrasorigens, notadamente o didtico. (Igliori, 2002, p. 110)

Os livros didticos editados mais recentemente determinam uma direo

diferenciada no estudo de Clculo Diferencial e Integral. Como indica Barufi (1999), ao

analisar os livros didticos de Clculo Diferencial e Integral, podem ser encontrados livros

de matemtica, nos quais os conceitos esto munidos de significado e contextualizados.

Ainda mais, este tipo de literatura utiliza como recurso didtico a articulao entre

problemas motivadores e os conceitos tericos, dados histricos que fundamentaram odesenvolvimento do conhecimento matemtico, figuras e grficos, para os quais so

solicitados o uso desoftwaresgrficos.

Falando sobre tecnologia, DAmbrsio (1999) comenta que A gerao do

conhecimento matemtico no pode, portanto ser dissociada da tecnologia disponvel, e

completa afirmando que Ao longo da evoluo da humanidade, matemtica e tecnologia

se desenvolveram em ntima associao, numa relao que poderamos dizer simbitica.

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Dentro da nova cultura informatizada, a tecnologia pode ser um recurso didtico

bastante eficaz no processo de aprendizagem, proporcionando um melhor preparo para o

estudante. Os recursos tecnolgicos, constantes nas atividades dirias cotidianas dos

alunos, podem cumprir plenamente a misso de transcender o conhecimento matemtico

elementar e atender as necessidades dos acadmicos de uma formao segura, de qualidade

e integrada ao contexto social. Desse modo, a utilizao de softwares pode se tornar

ferramenta importante em todas as etapas do processo de aprendizagem, proporcionando

uma anlise dos aspectos geomtricos envolvidos nos conceitos relacionados ao estudo de

Clculo.

Nas disciplinas do ciclo inicial do curso superior, ao se lecionar contedos de

Clculo, comum deparar-se com estudantes que questionam sobre a necessidade de

aprender os conceitos explorados em sala de aula e a aplicao dos mesmos nos estudos

futuros.

Para que o processo de aprendizagem matemtica ocorra de maneira eficaz, o

professor deve atingir os nveis de conhecimento do aluno e, partindo da, edificar um novo

conceito. Dessa forma, a funo do professor, que deve ser um mediador neste processo

transitrio, proporcionar meios e condies para que o aluno transponha o conhecimento

matemtico anterior, j considerado primrio, e atinja um estgio mais amadurecido.

Segundo a pesquisadora Teixeira (2004):

...o professor precisa ter uma metodologia que possibilite mediaesprogressivas entre os significados matemticos e aqueles que o alunodomina. Em sntese podemos dizer que ensinar negociar significados.(Teixeira, 2004, p. 12)

Exercitar, alm de ser uma prtica necessria, um dos recursos que o professor

pode utilizar para fixar os conceitos e tambm propiciar aos alunos caminhos que os

conduzam a uma anlise mais profunda do contedo. Esta anlise requer que o estudante

examine as vrias facetas de um conceito e como utiliz-lo para estabelecer uma estratgia

de deduo lgico-formal ao solucionar um dado problema. Desta forma, os exerccios

propostos aos alunos devem, em primeira instncia, estar adequados ao grau de

entendimento dos estudantes. Posteriormente, devem ser introduzidas, de maneira

progressiva, tarefas que exijam um grau superior de compreenso.

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Conclui-se ento que a construo do conhecimento matemtico dentro da sala de

aula no deve permanecer simplesmente como uma construo abstrata e formal, mas sim

buscando sempre articular a teoria e a prtica.

Para haver interao entre os conhecimentos cientficos e profissionalizantes, o

ensino deve ser direcionado a situaes reais, por meio de formulaes e discusses de

problemas originados na interao entre os dois saberes. Portanto, necessria a

valorizao de uma postura reflexiva e criativa, tanto do aluno quanto do professor. Essa

postura pode ser estimulada apresentando ao estudante um conjunto de problemas

interessantes inseridos na realidade de seu futuro trabalho ou problemas que tragamalguma espcie de desafio intelectual.

OBJETIVOS E DESENVOLVIMENTO DO PROJETO

Diante do exposto, tomou-se a iniciativa de desenvolver um projeto de ensino, de

carter institucional, com o intuito de elaborar listas de exerccios de Clculo Diferencial

que propiciem no apenas o entendimento e fixao dos conceitos de limite, continuidade e

derivada, mas tambm, estimulem o desenvolvimento do raciocnio, dando condies aodiscente de interpretar geometricamente os resultados obtidos e relacionar conceitos

interdisciplinares.

Um dos objetivos da elaborao das listas foi aprofundar o entendimento dos

conceitos estudados em Clculo Diferencial, referentes prtica de regras e tcnicas, tais

como: mtodos para o clculo de limite, tcnicas de derivao, dentre outras.

Alm de solues puramente algbricas, importante analisar os aspectos

geomtricos envolvidos em cada situao, para isso, estabeleceu-se como um dos objetivos

a interpretao geomtrica, no s dos conceitos de limite, continuidade e derivada, mas

tambm de todas as noes e resultados correlatos.

Tendo em vista que o desenvolvimento da matemtica tambm deve oferecer

metodologias para soluo de problemas oriundos de outras cincias, o projeto tambm

teve como meta estimular nos alunos a aplicao dos conceitos de limite, continuidade e

derivada na soluo de questes originadas nos cursos de Administrao, Biologia,Cincias Contbeis, Fsica, Matemtica e Qumica.

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A modelagem de um problema envolvendo a variao de uma certa quantidade, na

maioria dos casos resulta em uma funo. Relacionar a taxa de variao dessa quantidade

com a derivada da funo um exemplo clssico de contextualizao dos contedos de

clculo. Portanto, ressaltar a relao entre a taxa de variao de uma funo e a derivada

foi outra caracterstica almejada pelo projeto.

Levando-se em conta que a curiosidade uma caracterstica do ser humano,

buscou-se apresentar na elaborao das listas, curiosidades e fatos histricos, com a

inteno de instigar nos estudantes a percepo de que certas idias do Clculo j foram

exploradas na antiguidade, de forma a salientar que tais idias podem ser utilizadas parasolucionar problemas contemporneos.

Com a finalidade de incentivar a reflexo e o trabalho em grupo, foram propostos

mini-projetos e atividades denominadas discusso em grupo, em forma de exerccios que

envolvessem Modelagem Matemtica e que fossem aplicados aos contedos desenvolvidos

em diversos cursos. Para tanto, alm dos professores responsveis, o projeto foi realizado

com o auxlio de dois discentes, um do curso de Qumica e o outro de Fsica. Um dos

objetivos ao se introduzir discentes no projeto foi o de verificar quais processos e mtodos

lgico-dedutivos seriam adotados pelos estudantes na soluo dos problemas propostos e

comparar o ponto de vista do docente em relao ao grau de complexidade e generalidade

de cada exerccio com a viso do discente sobre o mesmo.

Para cada um dos tpicos (limite, continuidade e derivada), as tarefas executadas

pelos docentes responsveis iniciaram-se com a investigao de livros de Clculo a fim de

selecionar possveis exerccios, mini-projetos e curiosidades, analisando sua pertinncia

aos objetivos do projeto. Durante esta pesquisa, observou-se que alguns textos didticos

apresentavam exerccios que empregavam elementos do dia-a-dia, proporcionando certa

leveza aos conceitos e tarefa. Assim, optou-se por incluir este tipo de exerccio nas listas

e denomin-los de diverso.

Os conceitos de limite, continuidade e derivada exigem a prtica de algumas

metodologias tcnicas. Este foi um dos pontos de referncia empregado na escolha dos

exerccios. Alem disso, priorizou-se tarefas que evocassem a investigao dascaractersticas geomtricas associadas ao problema, ou relacionassem algum dos conceitos

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(limite, continuidade, derivada) s questes originadas nos estudos desenvolvidos em

outros cursos. Em linhas gerais os critrios utilizados para selecionar os exerccios

fundamentaram-se basicamente na verificao da relevncia das atividades mediante os

objetivos traados.

Finalizada a seleo, os docentes reuniram-se para a confeco das listas e, em

seguida, disponibilizaram uma cpia deste arquivo para os discentes envolvidos no projeto

que tiveram um prazo de at quinze dias para solucionar os exerccios.

Durante o processo de resoluo dos exerccios, os discentes puderam solicitar a

assistncia de um dos docentes, visando sanar suas dificuldades e tambm apresentar o

trabalho desenvolvido at o momento. Este acompanhamento foi efetivado por meio de

reunies entre ambas as partes, nas quais coube aos docentes no s a misso de auxiliar os

discentes em relao suas deficincias, mas tambm de proceder correo dos

exerccios j solucionados. Concluda essa etapa, as respostas obtidas foram agregadas ao

corpo do documento contendo os enunciados dos exerccios.

Como atividade final, foi realizada uma reunio entre os docentes envolvidos a fimde fazer uma retrospectiva, e analisar todas as aes desenvolvidas, observando as

atividades que geraram benefcios e crescimento acadmico e re-examinando aquelas cujo

resultado no foi o esperado.

O desenvolvimento deste projeto resultou em trs listas, cuja disponibilizao

eletrnica est em andamento, as quais, alm de uma seo dedicada a estudos menos

pretensiosos (diverso) e curiosidades, contm exerccios de prtica e fixao dos

conceitos, tarefas que exigem interpretao geomtrica e o uso de softwares grficos,atividades que visam estabelecer uma relao entre o resultado obtido algebricamente e o

problema inicial.

A execuo das atividades descritas seguiu um cronograma que reservou um ms

para a confeco da lista versando sobre limite, um ms para a lista sobre continuidade e

dois meses para elaborao da lista acerca da derivada.

CONCLUSO

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De acordo com a proposta do projeto, a relevncia deste trabalho decorre da

necessidade de haver uma interao entre os conhecimentos cientficos e

profissionalizantes e do entendimento de que o ensino deve ser direcionado a situaes

reais. As formulaes e discusses de problemas originados nesta interao do significado

aos conceitos de limite, continuidade e derivada. Propondo exerccios oriundos de

problemas equacionados nos estudos desenvolvidos em Biologia, Administrao, Fsica,

Qumica, Contabilidade, Economia, entre outros, promove-se uma relao entre o conceito

matemtico e a realidade acadmica do aluno.

Estabelecer um novo contato com os contedos da disciplina Clculo Diferencial erever os contedos inseridos em diferentes contextos foram alguns dos benefcios obtidos

pelos alunos bolsistas, alm da oportunidade de ampliar seus conhecimentos em

matemtica. Observou-se, tambm, que os alunos apresentaram falhas em sua formao,

como a tendncia em relegar ao segundo plano as definies e os conceitos, priorizando

procedimentos tcnicos, denotando que no foi a postura reflexiva a linha mestra adotada

no desenvolvimento das solues dos exerccios. Desta forma, mesmo no nvel

universitrio, a abordagem dos contedos pode no estar de acordo com um ambiente emque se desenvolve cincia e cujo objetivo proporcionar um crescimento cultural que

conduz refletir com outra viso o que j foi analisado.

A contribuio dos bolsistas foi valiosa no sentido de servir como parmetro na

avaliao do grau de dificuldade dos exerccios, auxiliando a detectar um descompasso

existentena relao entre o grau de dificuldade previsto pelos professores na elaborao

das listas de exerccios e o grau de dificuldade encontrado pelos alunos na resoluo das

mesmas. Notou-se que o professor tem uma preferncia por exerccios mais gerais, amplose profundos enquanto que os alunos encontram grandes dificuldades na resoluo de

exerccios desta natureza, priorizando exerccios mais bsicos. Assim, ficou evidenciada a

necessidade de se desenvolver exerccios que, embora mais complexos, sejam interessantes

a ponto de estimular o aluno a resolv-los.

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REFERNCIAS

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4. IGLIORI, S. A noo de obstculo epistemolgico e a Educao Matemtica. In:

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