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TANGRAM: DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO
PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Edna Hideko Arita Okada1
Nelma Sgarbosa Roman de Araújo2
RESUMO
Este artigo visa socializar um relato de experiência, as reflexões e os resultados obtidos pelo Projeto de Intervenção Pedagógica do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) da Secretaria de Estado da Educação do Paraná, implementado no Colégio Estadual Reynaldo Massi, com alunos de determinado 7º ano do Ensino Fundamental, em período oposto ao de estudo, no ano de 2011. O objetivo geral do projeto foi possibilitar o desenvolvimento do pensamento geométrico e a construção do conhecimento matemático, relevantes na resolução de problemas por meio de material manipulável. A experiência em sala de aula revela a defasagem de muitos alunos em relação ao conteúdo geometrias. Haja vista a importância que tem a manipulação, a visualização e a composição e decomposição das formas na construção do pensamento geométrico, o Projeto envolveu o trabalho com o quebra- cabeças Tangram, por meio do qual foram abordados os conceitos de área e de polígonos. Também foram propostas situações-problema com o intuito de possibilitar o desenvolvimento do pensamento geométrico, proporcionando maior significado às atividades trabalhadas com o Tangram. Os resultados obtidos foram positivos, de maneira que é possível afirmar que esse quebra-cabeças é um material de apoio eficaz, haja vista a atração que exerce sobre os alunos, a diversidade de atividades que puderam desenvolver, utilizando-o, e a constatada aprendizagem pela maioria dos alunos. Dessa forma, considera-se que, quando um material é utilizado de forma consciente, com conhecimento e planejamento, ele possibilita a construção do conhecimento pelo aluno.
Palavras-chave: geometria plana; tangram; resolução de problemas.
1 INTRODUÇÃO
A geometria é um conteúdo essencial para promover o desenvolvimento do
pensamento lógico, da percepção espacial e da capacidade de abstração e de
generalização, entre outras importantes habilidades. No entanto, ao desenvolver o
1 Graduada em Ciências do 1º Grau, com Habilitação em Matemática, e Especialista em Administração e
Supervisão em Educação pela Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí. Professora de
Matemática do Colégio Estadual Reynaldo Massi, em Diamante do Norte-Pr.
2 Doutoranda em Educação para a Ciência e a Matemática pela Universidade Estadual de Maringá. Professora
do Colegiado de Matemática da Universidade Estadual do Paraná – Unespar, Campus de Paranavaí/Fafipa.
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conteúdo geometria espacial no Ensino Médio, etapa em que se deveria aprofundar
o conhecimento que os alunos trazem sobre as geometrias, desde o Ensino
Fundamental, verifica-se que os alunos, na sua maioria, não têm o conhecimento
das noções básicas desse conteúdo matemático. Por esse motivo, justifica-se a
relevância do projeto, implementado com alguns alunos de determinado 7º ano do
Ensino Fundamental do Colégio Estadual Reynaldo Massi - EFMP- do Município de
Diamante do Norte-PR, que teve como tema de estudo o desenvolvimento do
pensamento geométrico com a utilização do Tangram e de uma das tendências em
Educação Matemática, proposta pelas Diretrizes Curriculares de Matemática do
Estado do Paraná (DCE), a Resolução de Problemas.
Algumas das questões que impulsionaram este estudo foram: O ensino da
geometria, que faz parte dos conteúdos do currículo de matemática na escola, deve
ficar restrito a cálculos, fórmulas e teoremas? Como possibilitamos o
desenvolvimento do pensamento geométrico pelos nossos alunos? A geometria é
relegada a segundo plano na escola, em detrimento do ensino da álgebra e da
aritmética?
As pesquisas bibliográficas realizadas (LORENZATO, 2009; KALEFF, 2005;
FAINGUELERNT, 1999; MURARI, 2005) e a experiência de magistério da primeira
autora apontavam a necessidade da utilização de um material manipulável no
desenvolvimento do conteúdo Geometrias. O Tangram, um quebra-cabeça chinês
cujas peças têm a forma de polígonos, é famoso no mundo todo, mas na escola
onde o projeto foi implementado não havia sido utilizado como material didático por
nenhum professor. Como passatempo, ele exerce uma verdadeira atração sobre
jovens e crianças. Na semana cultural, o Tangram faz o maior sucesso nessa
escola.
Pensando na possibilidade de amenizar algumas das problemáticas
existentes no ensino e aprendizagem de geometria plana dos alunos participantes,
este estudo foi realizado com a intenção de possibilitar o desenvolvimento do
pensamento geométrico e a construção do conhecimento matemático, relevantes na
resolução de problemas, por meio do material manipulável Tangram. Mais
especificamente, pretendeu-se atingir os seguintes objetivos: possibilitar o
desenvolvimento do pensamento geométrico, para que este seja utilizado na
resolução de situações-problema, na escola e no cotidiano do aluno; tornar possível
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a motivação do aluno para a aprendizagem, utilizando-se o lado lúdico do recurso
didático-pedagógico adotado, o Tangram; oportunizar ao aluno a aprendizagem dos
conceitos geométricos por meio da visualização, da manipulação, da construção e
da reflexão sobre o material manipulável; trabalhar, junto com o aluno, atividades
significativas que, para sua resolução, necessitem do pensamento geométrico;
revisar alguns conteúdos trabalhados em séries anteriores, como: área, perímetro e
figuras geométricas planas.
Outro intuito deste trabalho foi o de confeccionar e apresentar um material
didático que pudesse ser utilizado de imediato pelos professores da educação
básica. Após muitas pesquisas das autoras, foi produzida a unidade didática,
utilizada como material de apoio na implementação do projeto. Nesse material estão
contidos textos de fundamentação teórico-metodológica e, de forma detalhada,
todos os procedimentos utilizados, as tarefas propostas aos alunos e algumas
recomendações ao professor.
A utilização da tendência metodológica da Resolução de Problemas
proporcionou significado para essas atividades. As situações-problema selecionadas
para a implementação desse projeto exigiram o conhecimento geométrico e o
raciocínio lógico.
O trabalho com o Tangram mostrou que este é um ótimo material de apoio
didático-pedagógico. Os alunos apreciaram a realização das tarefas com esse
material e a maioria conseguiu aprender os conteúdos trabalhados. Ficou
comprovado que a resolução de problemas é uma metodologia expressiva para
ensinar e aprender matemática e, consequentemente, a construção do
conhecimento se dá de forma mais significativa.
Considera-se importante destacar também que, durante o segundo ano do
PDE, a primeira autora teve a oportunidade de apresentar o Projeto e a Produção
Didático-Pedagógica a um grupo de professores de Matemática da Rede Estadual
de Ensino, durante o Grupo de Trabalho em Rede (GTR) on line, realizado no 2º
semestre de 2011. O Grupo de Trabalho em Rede – GTR – constitui uma atividade
do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE –, que tem como objetivo a
interação virtual entre os professores da Rede Pública Estadual, possibilitando
novas alternativas de formação continuada para estes.
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O GTR é formado por Fóruns e Diários. Nos Fóruns, os participantes
contribuem com respostas às perguntas propostas pelo professor PDE e se
interagem com outros cursistas. Nos Diários, eles respondem à questão sugerida
pelo professor PDE.
Com essas ações e ainda outras que foram oportunas no decorrer do
Programa, acreditou-se otimizar os processos de ensinar e aprender matemática,
colaborando com o sucesso pessoal de alguns alunos de determinado 7º Ano do
Ensino Fundamental assim como de outros professores, por meio das reflexões e da
diversidade de situações didáticas apresentadas.
2 REFERENCIAL
2.1 Educação Matemática
Segundo as Diretrizes Curriculares Estaduais de Matemática, discussões
sobre a Educação Matemática tiveram origem no final do século XIX e início do
século XX. No Brasil, porém, as produções nessa área começaram a partir da
década de 1970 (PARANÁ, 2008, p.47).
Fiorentini e Lorenzato (2001), mencionados nas DCE de Matemática,
afirmam que o objeto de estudo da Educação Matemática ainda está em construção,
mas está centralizado na prática pedagógica e envolve as relações entre o ensino, a
aprendizagem e o conhecimento matemático (PARANÁ, 2008, p.47).
Pesquisando e analisando sobre a realidade da educação no ensino da
Matemática, Fainguelernt (1999, p.82) constata:
Resultados de pesquisas nacionais e internacionais em Educação Matemática revelam que, de um modo geral, a maneira pela qual a Matemática vem sendo ensinada é automatizada e descontextualizada. A criança executa atividades rotineiras, onde é quase que totalmente desvalorizado o desenvolvimento do seu raciocínio e da sua intuição matemática, bem como o desenvolvimento do seu pensamento espacial.
Para se compreender melhor como se chegou a essa realidade, destacar-
se-ão apenas alguns fatos citados nos Parâmetros Curriculares Nacionais de
Matemática.
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Os movimentos de reorientação curricular ocorridos no Brasil desde a
década de 1920, não tiveram força suficiente para melhorar a qualidade da prática
docente, marcada pela excessiva “preocupação com o treino de habilidades e
mecanização de processos sem compreensão” (BRASIL, 1998, p.19).
Em 1980, o National Council of Teachers of Mathematics – NCTM –, dos
Estados Unidos, apresentou recomendações para o ensino de Matemática no
documento “Agenda para Ação” (1983), no qual a Resolução de Problemas seria o
foco do ensino da Matemática nos anos 1980. A percepção da relevância dos
aspectos sociais, antropológicos, linguísticos, além dos cognitivos, na aprendizagem
da Matemática, também influenciou o rumo das discussões curriculares (BRASIL,
1998, p. 20).
Essas ideias influenciaram as reformas que aconteceram em todo o mundo.
As propostas curriculares dos diversos países no período de 1980/1995 tinham
pontos em comum, como:
– direcionamento do ensino fundamental para a aquisição de
competências básicas necessárias ao cidadão e não apenas
voltadas para estudos posteriores;
– importância do desempenho de um papel ativo do aluno na
construção do seu conhecimento;
– ênfase na resolução de problemas, na exploração da Matemática a
partir dos problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias
disciplinas;
– importância de trabalhar com amplo espectro de conteúdos,
incluindo já no ensino fundamental, por exemplo, elementos de
estatística, probabilidade e combinatória para atender à demanda
social que indica a necessidade de abordar esses assuntos;
– necessidade de levar os alunos a compreender a importância do
uso da tecnologia e a acompanhar sua permanente renovação
(BRASIL, 1998, p.20).
Pode-se observar que a necessidade de mudanças no ensino da
Matemática já foi constatada nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática,
desde 1998:
Discussões no âmbito da Educação Matemática que acontecem no Brasil e em outros países apontam a necessidade de adequar o trabalho escolar a uma nova realidade, marcada pela crescente
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presença da matemática em diversos campos da atividade humana (BRASIL, 1998, p.19).
“A falta de formação profissional qualificada, as restrições ligadas às
condições de trabalho, a ausência de políticas educacionais efetivas e as
interpretações equivocadas de concepções pedagógicas” são alguns fatores que
influenciam a ensino da Matemática no Brasil (BRASIL, 1998, p.21).
Nesse sentido, nas Diretrizes Curriculares Estaduais de Matemática
(PARANÁ, 2008, p.47), o pensamento de Fiorentini e Lorenzato (2001) é de que “a
Educação Matemática é uma área que engloba inúmeros saberes, em que apenas o
conhecimento da matemática e a experiência de magistério não são considerados
suficientes para atuação profissional”. Ainda nas DCES (2008, p.47), Carvalho
(1991) complementa esse pensamento, mostrando que a Educação Matemática
“envolve o estudo dos fatores que influem, direta ou indiretamente, sobre os
processos de ensino e aprendizagem em Matemática”.
A proposta das DCE de Matemática é que:
Pela Educação Matemática, almeja-se um ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de ideias. Aprende-se Matemática não somente por sua beleza ou pela consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da sociedade (PARANÁ, 2008, p.48).
Nesse contexto, Onuchic (1999, p.215) ressalta que “a atividade matemática
escolar não se resume a olhar para coisas prontas e definitivas, mas para a
construção e apropriação, pelo aluno, de um conhecimento do qual se servirá para
compreender e transformar a realidade”.
No entanto, o que se almeja do professor é que ele seja um importante
mediador entre o aluno e o objeto do conhecimento e que proporcione ao aluno um
ensino que favoreça o uso do raciocínio lógico, da criatividade, da dedução, e que
faça relação com o cotidiano e vise ativar a parte cognitiva para que haja
compreensão e não, simplesmente, uma repetição mecânica e sem significado.
Será que a realidade descrita na década de 1990 é diferente da atual?
Apesar das mudanças curriculares, a realidade, antes descrita da sala de aula, ainda
persiste. A solução para isso é muito complicada e envolve muitos aspectos além da
formação do professor.
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Focalizando-se o ensino da geometria, observa-se na vivência escolar e lê-
se na pesquisa de Pavanello (1989) que essa modalidade da Matemática vem sendo
relegada a segundo plano nas escolas. Quando ensinada, é desvinculada da
realidade do aluno e baseada na repetição e memorização de fórmulas, conceitos e
definições.
Segundo Lorenzato (1995) apud Fainguelernt (1999, p.14), “no Brasil a
Geometria está praticamente ausente de sala de aula”. Dentre as principais causas,
relacionadas com as práticas pedagógicas, o autor destaca que “durante muito
tempo, o ensino da Geometria não se renovou e com isso perdeu o vigor”. Os alunos
são simples “copiadores”, agindo de forma passiva. Outra causa citada por ele é que
“a maioria dos professores não teve acesso aos conhecimentos de Geometria
necessários para a realização de sua prática pedagógica”. O autor ainda cita como
terceira causa, a estafante jornada de trabalho do professor e a falha na formação
deste que fazem com que ele dê “uma importância excessiva ao livro didático como
determinador dos conteúdos que devem ser desenvolvidos em sala de aula”. Livros
que, geralmente, não possibilitam a exploração, a construção dos conceitos e a
dedução.
É primordial que se reverta essa realidade. Estudos são realizados pelos
pesquisadores da Educação Matemática, entre eles, alunos e professores dos
programas de Pós-graduação em Educação Matemática das faculdades e
universidades que buscam elaborar materiais e projetos que ajudem a melhorar
esse quadro.
2.2 Pensamento geométrico
A importância do ensino de Geometria está no fato de esta proporcionar, ao
aluno, o desenvolvimento do pensamento geométrico. Esse pensamento envolve as
habilidades de percepção espacial e de pensamento lógico, a capacidade de
abstração e de generalização, tão importantes para a construção do conhecimento
do aluno e para resolver situações-problema do cotidiano deste e os propostos na
escola.
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Pela importância atribuída ao ensino de Geometria, alguns educadores
matemáticos, como Murari e Fainguelernt, estudam e se preocupam com a prática
pedagógica dos professores em sala de aula.
A preocupação com a prática pedagógica no ensino de Geometria na escola
não é recente e tem por fundamento a importância dessa parte da Matemática para
o desenvolvimento do pensamento matemático. Murari (2005, p.198) afirma que a
Geometria “é um ramo da Matemática que possui um campo muito fecundo e a
maneira como for estudada irá refletir no desenvolvimento intelectual, no raciocínio
lógico e na capacidade de abstração e generalização do aluno”.
Fainguelernt (1999, p.15) ressalta que a “Geometria é considerada como
uma ferramenta para compreender, descrever e interagir com o espaço em que
vivemos; é, talvez, a parte da Matemática mais intuitiva, concreta e real”.
Na interpretação de Lorenzato (2009, p.3), a Geometria:
[...] é um grande facilitador dos processos mentais, porque prestigia o processo de construção do conhecimento, valoriza o descobrir, o analisar e o experimentar; além do que elucida situações abstratas e comunica a idéia matemática com maior simplicidade [...].
Hoje, sabe-se que, para resolver problemas geométricos, é necessário mais
do que cálculos aritméticos e algébricos; o pensamento geométrico é imprescindível
nesse caso. Nesse contexto, Fainguelernt (1999, p.49), citando Vergnaud (1993),
Hershkwitz (1994) e Fischibein (1994), salienta que
[...] o renascimento e a reformulação do ensino de Geometria não é apenas uma questão didático-pedagógica, é também epistemológica e social. A Geometria exige do aprendiz uma maneira específica de raciocinar, uma maneira de explorar e descobrir. Não é suficiente conhecer bem Aritmética, Álgebra ou Análise para conseguir resolver situações-problema em Geometria.
O desenvolvimento da aprendizagem na Geometria e a construção do
conhecimento envolvem processos cognitivos complexos. Para Duval (1995) apud
Fainguelernt (1999, p.54), são três os tipos de processos cognitivos que estão
intimamente conectados:
processo de visualização com respeito à representação espacial;
processo de construção através de ferramentas (régua, compasso, esquadro e transferidor);
processo de raciocínio, o que é básico para ser demonstrado e comprovado (teoremas, axiomas e definições).
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Para que ensino da Geometria não se reduza a aplicações de fórmulas e
resultados de alguns teoremas, ressalta-se a importância de possibilitar ao aluno o
trabalho com experimentos e dedução dessas fórmulas e teoremas. O
desenvolvimento do pensamento geométrico se dá por meio da manipulação,
visualização, das construções geométricas e do uso da intuição (FAINGUELERNT,
1999, adaptado).
Nesse contexto, Fainguelernt (1985) apud Fainguelernt (1999, p.59) conclui
que:
é fundamental, na construção de um conceito, partir da percepção e da intuição de dados concretos e experimentais, explorar as representações e as aplicações e desenvolver o raciocínio lógico, para só então, chegar aos processos de abstração e de generalização.
No processo de aprendizagem do aluno, o papel do professor é decisivo.
Quanto a essa relevância e influência do professor no processo de ensino e
aprendizagem da Geometria, Lorenzato (2009, p.4) lembra que “não é suficiente um
material didático adequado, é preciso ter o domínio dos conteúdos geométricos que
pretende ensinar e assumir a postura de orientador nesse processo”.
Diante do exposto, a mudança que se espera no ensino da Geometria
depende muito da formação, da atuação e da sensibilização do professor. Este
precisa conhecer bem a Geometria para ter segurança e domínio desta, ter práticas
pedagógicas adequadas e se conscientizar da importância dessa área da
Matemática para a formação do aluno.
2.3 Histórico da Geometria
Apresentar-se-á um breve histórico sobre a Geometria, resumido da obra
“História da Geometria”, de Howard Eves (1992).
A Geometria, como ciência, tem sua origem no Egito antigo, no vale do rio
Nilo, ligado à agrimensura prática. De fato, a palavra “geometria” significa “medida
da terra”. Acredita-se que a Geometria surgiu das necessidades práticas das
atividades ligadas à agricultura e à engenharia. Há indícios históricos de que as
bacias de outros grandes rios, como o Tigre e o Eufrates na Mesopotâmia, o Indo e
o Ganges, na região centro-sul da Ásia, e o Hwang Ho e Yangtzé, na Ásia Oriental
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foram berços de formas avançadas de sociedade, onde a habilidade em engenharia
na drenagem de pântanos, irrigação, obras de defesa contra inundação e construção
de edifícios e estruturas, exigiam muita geometria prática. Os mais antigos registros
encontrados sobre Geometria datam do tempo dos sumérios, por volta do ano 3.000
a.C. e tábulas, provindas de períodos posteriores, mostram que os babilônios do
período 2.000 – 1.600 a.C. conheciam as regras gerais para o cálculo de área. O
teorema de Pitágoras já era conhecido, desde cerca de 2.000 a.C. Os papiros de
Moscou (1.850 a.C.) e Rhind (1.650 a.C.) são as principais fontes de informações a
respeito da geometria egípcia antiga. Esses papiros contêm textos matemáticos com
25 e 85 problemas, respectivamente. Desses, 26 são de Geometria. O mais antigo
instrumento de astronomia e agrimensura conhecido é procedente do Egito,
aproximadamente do ano 1.850 a.C. O mais antigo relógio de Sol é egípcio e data
de cerca de 1.500 a.C. A grande pirâmide de Giseh, foi construída em cerca de
2.900 a.C. e, essa construção envolveu geometria prática. As mudanças
econômicas e políticas diminuíram o poder do Egito e da Babilônia e os
desenvolvimentos posteriores da Geometria se devem aos gregos. Os gregos
transformaram a geometria empírica em demonstrativa. Até então as descobertas
eram feitas por indução, ensaio e erro. A Geometria era um conjunto de receitas
práticas e resultados de laboratórios. Informações a respeito da geometria primitiva
dos gregos datam de vários séculos depois de os originais terem sido escritos. A
geometria grega parece ter origem com o trabalho de Tales de Mileto na primeira
metade do século VI a.C. Ele é considerado o fundador da geometria demonstrativa
por ser o primeiro indivíduo conhecido a utilizar métodos dedutivos em Geometria.
Outro geômetra foi Pitágoras que deu continuidade à sistematização da geometria
iniciada por Tales, cerca de 50 anos antes. Possivelmente tenham estudado juntos.
Pitágoras fundou, ao Sul da Itália, a escola pitagórica, onde se estudavam Filosofia,
Matemática e Ciências Naturais. Durante cerca de 200 anos, os membros dessa
sociedade produziram grande quantidade de sólida Matemática. Na Geometria,
desenvolveram as propriedades das retas paralelas, contribuindo para a álgebra
geométrica grega e expandiram uma teoria das proporções que usaram para deduzir
propriedades de figuras semelhantes. Conheciam a existência de pelo menos três
dos poliedros regulares e descobriram a incomensurabilidade do lado e da diagonal
de um quadrado. Imagina-se que tenham aprimorado os conhecimentos dos
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babilônios. Por volta do ano 300 a.C., Euclides produziu sua obra memorável, os
Elementos, uma cadeia dedutiva única de 465 proposições, que compreende a
geometria plana e a espacial, teoria dos números e álgebra geométrica grega.
Euclides conseguiu organizar, em sua obra, o material desenvolvido por Pitágoras e
outros. Os Elementos de Euclides são o mais antigo exemplo do uso do modelo de
axiomática material. Além de os Elementos, Euclides escreveu vários outros tratados
em Geometria. Quase tudo o que se fez de significativo em Geometria tem sua
origem em algum trabalho dos três geômetras gregos mais importantes da
Antiguidade: Euclides (c.300 a.C.), Arquimedes (287–212 a.C.) e Apolônio (c.225
a.C.). Arquimedes escreveu tratados sobre a geometria plana e a geometria sólida.
Entre outros trabalhos, destaca-se que ele chegou ao método dos perímetros para
calcular e também antecipou alguns métodos do cálculo integral, fórmulas corretas
para as áreas da superfície esférica e volume da esfera. Apolônio, um astrônomo, é
famoso por sua obra Secções Cônicas. Foi ele que criou os termos “elipse”,
“parábola” e “hipérbole”. São conhecidos ainda outros seis trabalhos sobre
Geometria, de Apolônio. Houve outras contribuições na área da Geometria que não
se detalharão aqui. Com a elaboração da geometria analítica na primeira metade do
século XVII, o espaço passou a ser considerado uma coleção de pontos; e com a
invenção das geometrias não euclidianas clássicas, cerca de dois séculos depois, os
matemáticos aceitaram a situação de que há mais do que um espaço concebível e,
portanto, mais do que uma Geometria. No fim do século XIX, considerando um ramo
da Matemática um corpo abstrato de teoremas deduzidos de um conjunto de
postulados, cada Geometria tornou-se um ramo particular da Matemática. Há muitas
áreas da Matemática em que a Geometria simplifica tanto a compreensão quanto a
apresentação de determinado conceito ou desenvolvimento. Por isso muitos
matemáticos do século XX sentem que a melhor maneira de se descrever a
Geometria é como um ponto de vista – uma maneira particular de se observar o
assunto.
3 METODOLOGIA
Considerando que a Geometria é pouco trabalhada com o objetivo de
desenvolver o pensamento geométrico e que a Matemática é considerada, por
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grande parte dos alunos, difícil e abstrata, além de ser trabalhada de forma pronta e
acabada, pretendeu-se abordar o conteúdo geometria plana, de maneira
significativa, empregando-se o material manipulável/jogo Tangram e utilizando-se a
metodologia Resolução de Problemas, proposta pelas Diretrizes Curriculares de
Matemática do Estado do Paraná (DCE).
3.1 Resolução de Problemas
De acordo com as DCE de Matemática (PARANÁ, 2008, p.63), “os
conteúdos propostos devem ser abordados por meio de tendências metodológicas
da Educação Matemática que fundamentam a prática docente [...]”. Assim, para se
desenvolver o conteúdo geometria plana neste trabalho, escolheu-se a tendência da
Resolução de Problemas.
Vila e Callejo (2006, p.172) afirmam que não se aprende Matemática, de
maneira passiva, por transmissão direta. Segundo eles,
se aprende em interação com situações-problema e com outros sujeitos, que obrigam o aluno a ir modificando sua estrutura cognitiva mediante uma série de ações: experimentando, fazendo-se perguntas, particularizando situações, generalizando resultados, encontrando contra-exemplos, etc.[...]
Santaló (1996, p.19) também menciona que
[...] Atualmente, insiste-se muito na metodologia embasada na resolução de problemas. Mas isto não é nenhuma novidade, pois a verdadeira Matemática sempre consistiu na solução de problemas: jamais pode ser um sistema de definições e de descrições de propriedades [...].
Charnay (1996, p.37) confirma que “seria desnecessário dizer que a
atividade de resolução de problemas tem estado no próprio coração da elaboração
da ciência matemática. ‘Fazer matemática é resolver problemas!’, é o que muitos
não temem afirmar”.
Antes de se falar dessa tendência, é preciso definir qual o significado de
problema no ensino da Matemática.
Para o Professor Dante, “Qualquer situação que exija o pensar para chegar
a uma solução é um problema. E qualquer situação que exija a maneira matemática
de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la é um problema
matemático” (DANTE, 1994, p.9-10).
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Vila e Callejo (2006, p.29) definem o termo problema como:
uma situação, proposta com finalidade educativa, que propõe uma questão matemática cujo método de solução não é imediatamente acessível ao aluno/resolvedor ou grupo de alunos que tenta resolvê-la, porque não dispõe de um algoritmo que relaciona os dados e a incógnita ou de um processo que identifique automaticamente os dados com a conclusão e, portanto,deverá buscar, investigar, estabelecer relações e envolver suas emoções para enfrentar uma situação nova.
Os problemas podem ser propostos aos alunos, visando-se objetivos
variados, como “desenvolver estratégias e processos gerais ou específicos do
pensamento matemático ou motivar e tornar significativa a introdução de uma
noção”. A resolução de problemas pode ser objeto de aprendizagem quando o aluno
aprende a resolver problemas ou pode ser instrumento de aprendizagem quando ele
aprende resolvendo problemas (VILA e CALLEJO, 2006, p.149).
Destacadas algumas definições e considerações sobre os problemas,
destaca-se algumas orientações que os pesquisadores fornecem sobre a tendência
da Resolução de Problemas.
A tendência de Ensino-Aprendizagem de Matemática, por meio da
Resolução de Problemas, se constitui “num caminho para se ensinar Matemática
através da Resolução de Problemas e não apenas para se ensinar a resolver
problemas”. O problema é um ponto de partida e, por meio dessa tendência, “deve-
se fazer conexões entre os diferentes ramos da Matemática, gerando novos
conceitos e novos conteúdos” (ONUCHIC e ALLEVATO, 2005, p.220 - adaptado).
Pensando-se dessa forma, deve-se considerar o que escreveu Charnay
(1996, p.38): “o aluno deve ser capaz não só de repetir ou refazer, mas também de
resignificar em situações novas, de adaptar, de transferir seus conhecimentos para
resolver novos problemas”.
Para que a resolução de problemas seja eficaz na aprendizagem dos alunos,
é preciso ser cuidadoso ao selecionar os problemas a serem trabalhados. Dante
(1994, p.46-47) destaca as características que deve ter um bom problema: ser
desafiador, real e interessante para o aluno, ser o elemento desconhecido de um
problema realmente desconhecido, não consistir na aplicação evidente e direta de
uma ou mais operações aritméticas e ter um nível adequado de dificuldade.
Vila e Callejo (2006, p.95) acreditam que “para desenvolver a criatividade
por meio da resolução de problemas, é preciso propor aos alunos problemas
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verdadeiros, que sejam variados e motivadores”, destacando-se a importância de se
esperar o tempo que for necessário para solucioná-los.
A Resolução de Problemas exige uma dinâmica em que os alunos trabalhem
em grupo, discutam e exponham suas ideias para confrontá-las entre si ou com o
professor. Assim estarão ativando processos internos que o levarão ao
desenvolvimento do pensamento matemático (VILA e CALLEJO, 2006).
Dante (1994, p.30) lembra que, ao adotar a tendência da resolução de
problemas para suas aulas, o professor deve estar ciente de que se “envolve uma
variedade de processos de pensamento que precisam ser cuidadosamente
desenvolvidos pelo aluno com o apoio e incentivo do professor”. Para isso, Dante
(1994, p.31) orienta o professor a fazer várias perguntas para que os alunos possam
compreender o problema. O professor deve também encorajar os alunos a fazerem
perguntas a ele e entre si. Assim, compreenderão melhor o que o problema pede e
encontrarão os dados necessários para resolvê-lo.
Para orientar melhor os alunos nesse processo, é importante que o
professor conheça os estágios pelos quais o aluno passa para resolver um
problema. Polya (2006, p.4-15) distingue quatro fases que permeiam a Resolução de
Problemas e afirma que “cada uma destas fases tem a sua importância”. São elas:
1. Compreensão do problema – O enunciado verbal do problema
deve ficar bem entendido para que o aluno tenha condições de
identificar as partes principais, a incógnita, os dados, a
condicionante.
2. Estabelecimento de um plano – É necessária a concepção da idéia
de um plano para se resolver um problema. “As boas idéias são
baseadas na experiência passada e em conhecimentos previamente
adquiridos”. Neste caso, conhecimento matemático já adquirido,
pode advir de problemas anteriormente resolvidos e/ou teoremas
anteriormente demonstrados. Para conseguir isso é preciso, além de
conhecimentos anteriores, de bons hábitos mentais e de
concentração no objetivo.
3. Execução do plano – Executar um plano é muito mais fácil do que
concebê-lo; nesta fase, paciência é o mais importante. É preciso
verificar cada passo ao colocar o plano em prática.
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4. Retrospecto da resolução completa – É preciso verificar todos os
passos para ter certeza de que o problema foi resolvido
corretamente.
Nessa tendência, o mais importante é analisar os procedimentos utilizados
para a resolução de um problema e os progressos que o aluno possa ter, pois não
basta que o aluno encontre a resposta. É durante esse processo que o aluno reflete,
busca conteúdos adquiridos, relaciona, faz conjecturas e questiona para criar
estratégias de solução. É aí que ele tem a possibilidade de desenvolver e construir
seu conhecimento matemático.
Na tendência da Resolução de Problemas, de acordo com Brito (2006, p.48),
“ao final, os estudantes devem ser solicitados a justificar oralmente ou por escrito,
individualmente ou em grupo, os diferentes procedimentos empregados, as idéias
utilizadas e as descartadas e o que aprenderam na atividade”.
Considerando-se o aluno nesse processo, vê-se que o interesse e a
predisposição daquele podem interferir no processo de aprendizagem.
Nessa linha de pensamento, Vila e Callejo (2006, p.172) salientam que
aprender matemática requer “um certo nível de intencionalidade e de predisposição
por parte do sujeito que aprende”. Interesse e desejo de aprender podem ser
despertados, mas não é uma tarefa fácil, pois para isso os conteúdos precisam ser
significativos ou, ao menos, atrativos para o aluno.
Para Vila e Callejo (2006), a interação do professor com os seus alunos tem
importância vital na abordagem da Resolução de Problemas. Em função disso, eles
comentam:
[...] pensamos que os professores devem ser um modelo de conduta metacognitiva. Seu papel deve ser: - orientar mais que “guiar por um caminho”; - perguntar, incitar e questionar para fazer refletir mais que proporcionar respostas; - duvidar, refletir, explorar, experimentar e conjecturar mais que informar (p.150).
No texto “Ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de
Problemas”, Onuchic (1999, p.216-217) esquematizou uma aula e contou com a
participação dos professores. Embasada nas suas leituras, chegou a uma proposta
básica:
Formar grupos – entregar uma atividade
16
Os alunos trabalharão em grupos para terem a oportunidade de aprender
uns com os outros.
O papel do professor
O papel do professor muda de comunicador de conhecimento para o de
observador, organizador, consultor, mediador, interventor, controlador e incentivador
da aprendizagem.
Resultados na lousa
Com o trabalho dos alunos terminado, o professor anota na lousa os
resultados obtidos pelos diferentes grupos.
Plenária
Como todos trabalharam sobre o problema dado, estão ansiosos quanto a
seus resultados. Em assembleia, procuram defender seus pontos de vista e
participam.
Análise dos resultados
Nesta fase, os pontos de dificuldade, encontrados pelos alunos, são
novamente trabalhados.
Consenso
A partir da análise feita, com a devida retirada das dúvidas, busca-se um
consenso sobre o resultado pretendido.
Formalização
É realizada uma síntese do que se objetivava aprender a partir do problema
dado. São colocadas as devidas definições, identificadas as propriedades e feitas as
demonstrações.
Onuchic (1999, p.211) menciona que
Nenhuma intervenção no processo de aprendizagem pode fazer mais diferença do que um professor bem informado, inteligente e hábil. Investir na qualidade de ensino é o que mais importa. A preparação do professor tem um efeito direto na realização dos alunos, pois ninguém despende tanto tempo ou tem tanta influência sobre os alunos quanto os próprios professores.
Dessa forma, pode-se afirmar que o professor é um dos agentes mais
importantes no processo de ensino e aprendizagem.
17
3.2 Uso de materiais didáticos manipuláveis e/ou jogos pedagógicos
Pesquisando-se sobre a importância do ensino de Geometria para a
construção do conhecimento matemático e para o desenvolvimento de habilidades
cognitivas, vê-se que a visualização e a manipulação são essenciais na
aprendizagem da geometria plana. Percebe-se, então, a importância de se recorrer
a um material didático manipulável/jogo nesse processo de aprendizagem.
A respeito da utilização do material didático nas aulas de Matemática, Murari
(2005, p.199) ressalta que as atividades de Geometria “em que os estudantes são
estimulados a explorar idéias geométricas utilizando material que se pode manipular,
proporcionam condições para a descoberta e o estabelecimento das relações
geométricas existentes no universo”.
Coaduna com essas reflexões, Lorenzato (2009, p.4) quando este afirma
que
É necessária a utilização de vários tipos de material didático, pois eles despertam a curiosidade, principalmente aqueles que podem ser manipulados pelos alunos. Despertar a curiosidade com o auxílio de material didático interessante favorece o aprendizado.
Deneca (2008, p.6-7), discorrendo sobre a importância dos materiais
didáticos manipuláveis, escreveu que
A partir do momento que o estudante já conseguiu abstrair os conceitos matemáticos já não sente mais a necessidade de métodos e técnicas que o auxiliem na abstração, mas quando essa capacidade ainda não foi desenvolvida, independentemente da faixa etária do estudante os materiais manipuláveis podem facilitar-lhe o trabalho e auxiliá–lo de tal maneira que o estudante compreenda os conteúdos matemáticos e construa conhecimentos.
Borin (2007) trabalha com jogos em suas aulas de Matemática e afirma que
os jogos pedagógicos desenvolvem habilidades inerentes à resolução de problemas.
Ela escreveu que
[...] a atividade de jogar, se bem orientada, tem papel importante no desenvolvimento de habilidades de raciocínio como organização, atenção e concentração, tão necessárias para o aprendizado, em especial da Matemática, e para a resolução de problemas em geral.[...] De fato,quando analisamos o comportamento e a atividade mental de um jogador disposto a ganhar, verificamos que a postura é a mesma de um cientista em busca de solução para um problema.[...] (BORIN, 2007, p.8)
Moratori (2003), no texto de Deneca (2008, p.5) sobre os materiais
manipuláveis, afirma que “o processo de criação está diretamente relacionado à
18
imaginação e a estrutura da atividade com jogos permite o surgimento de situações
imaginárias”.
Fiorentini e Miorim (1990, P.4) salientam a importância do jogo na formação
educativa do aluno, citando Albuquerque (1954) : "... através do jogo ele deve treinar
honestidade, companheirismo, atitude de simpatia ao vencedor ou ao vencido,
respeito às regras estabelecidas, disciplina consciente, acato às decisões do juiz..."
Souza et al (2008, p.4) ressaltam a importância da reflexão do aluno sobre o
material e afirmam que:
A aprendizagem não decorre do material e das atividades propostas ao aluno, mas sim, das relações que ele estabelece em nível de pensamento entre significados e conceitos. Assim, o material representa apenas uma estratégia para promover a reflexão do aluno sobre alguns aspectos de um determinado conceito que se quer desenvolver.
Coaduna com essa afirmação Onuchic ao mencionar o que afirmaram
Putnan et al (1991):
[...] ensinar matemática com compreensão não pode se reduzir a
usar o livro-texto adequado, a fazer os alunos trabalharem em grupos
e a usar manipulativos ou trabalhar atividades ligadas a situações do
mundo real. Todas essas atividades servem como recursos para um
bom ensino de matemática. Todas são importantes. É a forma como
os professores usam esses recursos que molda o ambiente de
aprendizagem dos alunos[...] (ONUCHIC, 1999, p.213).
Concorda-se com a ideia dos autores acima citados de que o material
manipulável ou os jogos pedagógicos são apenas instrumentos de apoio para o
processo de ensino e aprendizagem. Nesse processo, o professor é um agente
fundamental, pois será o mediador entre o aluno e o objeto de aprendizagem.
Referindo-se à relação do material didático com o processo ensino-
aprendizagem, destaca-se o pensamento de Fiorentini e Miorim (1990, p.5):
[...] Ao aluno deve ser dado o direito de aprender. Não um ‘aprender’ mecânico, repetitivo, de fazer sem saber o que faz e por que faz. Muito menos um aprender que se esvazia em brincadeiras. Mas, um ‘aprender’ significativo do qual o aluno participe raciocinando, compreendendo, reelaborando o saber historicamente produzido e superando, assim, sua visão ingênua, fragmentada e parcial da realidade. O material pode ser fundamental para que isto ocorra. Neste sentido, o material mais adequado, nem sempre, será o visualmente mais bonito e nem o já construído. Muitas vezes, durante a construção de um material o aluno tem a oportunidade de aprender matemática de forma mais efetiva. Em outros momentos, o mais importante não será o material, mas sim, a discussão e a
19
resolução de uma situação problema ligada ao contexto do aluno, ou ainda, a discussão e utilização de um raciocínio mais abstrato.
Na perspectiva de despertar o interesse do aluno para a aprendizagem de
geometria plana, além da tendência da Resolução de Problemas, escolheu-se o
Tangram como material de apoio/jogo pedagógico. A expectativa é de que este
venha possibilitar o desenvolvimento do pensamento geométrico ao mesmo tempo
em que exerça um poder de atração sobre o aluno e desperte interesse deste para o
trabalho a ser realizado.
3.2.1 Tangram
O material de apoio/jogo pedagógico que se escolheu para desenvolver o
conteúdo de geometria plana neste trabalho é um quebra-cabeça chinês,
denominado Tangram. Ele é formado por sete peças que possuem a forma de
figuras geométricas: triângulos em três tamanhos, quadrado e paralelogramo. Esse
material é usado para recreação e passatempo e é conhecido pela maioria dos
alunos. Aqui se propõe um enfoque diferente para esse material, o uso pedagógico
para se trabalhar conteúdos.
Figura 01: Tangram (Disponível em: <http://ensinarevt.com/jogos/tangram/index.html>).
Esse quebra-cabeça de origem milenar é formado por apenas sete peças
com as quais é possível montar cerca de 1.700 figuras diferentes, entre plantas,
animais, pessoas, objetos, números, letras, figuras geométricas e outras. A regra
básica é usar todas as peças, sem sobrepô-las, para montar as figuras.
Segundo Souza et al (2008, p.2), “Esse jogo foi trazido da China para o
Ocidente por volta da metade do século XIX e em 1818 já era conhecido na
20
América, Alemanha, França, Itália e Áustria”. Existem várias versões para o
significado e origem da palavra tangram. Uma delas diz que
[...] a parte final da palavra – gram – significa algo desenhado ou escrito como diagrama. Já a origem da primeira parte – Tan – é muito duvidosa e especulativa, existindo várias tentativas de explicação. A mais aceita está relacionada à dinastia T’ang (618 – 906) que foi uma das mais poderosas e longas dinastias da história chinesa, a tal ponto que em certos dialetos do sul da China a palavra T’ang é sinônimo de chinês. Assim, segundo essa versão, Tangram significa literalmente, quebra-cabeça chinês. Os chineses conhecem o Tangram por “Tchi Tchao Pan”, cuja tradução seria “Sete Peças da Sabedoria”. O que nos faz crer que seu criador tivesse algum propósito religioso ou místico ao empregar as sete peças para descrever o mundo. Não existem registros históricos sobre o assunto. O que se sabe é que o Tangram vem demonstrando seu caráter sedutor que tem envolvido várias gerações, quer seja como passatempo ou como manifestação artística (SOUZA et al, 2008, p.2).
Na sala de aula, segundo Souza (2008), esse quebra-cabeça é utilizado
como material didático nas aulas de Artes e objetiva o desenvolvimento da
criatividade e da imaginação por meio da criação de figuras. Atualmente, o Tangram
é muito utilizado nas aulas de Matemática. Os professores veem nesse material “a
possibilidade de inúmeras explorações, quer seja como apoio ao trabalho de alguns
conteúdos específicos do currículo de matemática, ou como forma de propiciar o
desenvolvimento de habilidades de pensamento” (p.3).
Os quebra-cabeças geométricos:
têm sido utilizados na sala de aula como motivadores para o estabelecimento de situações que levam a criança a identificar, diferenciar, reconhecer e comparar formas; comparar distâncias; visualizar figuras; analisar características das figuras; conjecturar sobre relações entre figuras; observar movimentos realizados no plano, etc. Portanto essas situações possibilitam que a criança vivencie precocemente atividades dinâmicas que valorizem a visualização, as características e as regularidades das formas (KALEFF et al, 2005, p.16).
Kaleff et al constatam que os quebra-cabeças geométricos auxiliam na
organização das imagens visuais, que se transformam em imagens mentais, e que
estas ”são fundamentais para a formação e para a organização do pensamento
lógico-abstrato necessário ao desenvolvimento das idéias matemáticas e científicas”.
Os autores ainda destacam que
segundo o casal de professores e pesquisadores holandeses Dinah e Pierre Van Hiele (1986), que estudaram como a criança desenvolve o pensamento geométrico, a criança inicia a formação das idéias
21
geométricas através da visualização e do reconhecimento das formas (KALEFF et al, 2005, p.16-17).
Diante do exposto, na escolha do material, levou-se em conta as
possibilidades de se oportunizar a manipulação de materiais para auxiliar na
construção do pensamento geométrico.
3.3 Desenvolvimento do projeto
O Projeto de Intervenção Pedagógica produzido no PDE (Programa de
desenvolvimento Educacional) foi implementado no Colégio Estadual Reynaldo
Massi – EFMP, com alunos de determinado 7º ano, em horário oposto ao de aula.
Para se desenvolver o Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola, no
segundo semestre de 2011, foi produzido um material didático pedagógico em forma
de Unidade Didática, buscando-se alternativas para se ensinar o conteúdo de
geometria plana e proporcionar ao aluno uma aprendizagem significativa, bem como
fornecer um material de apoio ao professor que atua em sala de aula. Essa Unidade
Didática foi organizada em cinco etapas, cada uma dividida em tarefas, as quais
serão descritas no decorrer desta seção.
Ressalta-se que, antes de se dar início à implementação do Projeto de
Intervenção, houve a exposição deste projeto para os funcionários, professores,
pedagogos e direção do colégio, para que tomassem conhecimento do evento que
se sucederia.
A intenção era trabalhar com um grupo de 15 alunos. Inicialmente, o convite
foi feito aos alunos com maior defasagem na disciplina de Matemática. Depois foi
estendido aos demais alunos de uma turma do 7º ano do Ensino Fundamental. O
segundo passo foi pedir a autorização dos pais ou responsáveis e esclarecer sobre
o projeto. Quinze alunos se inscreveram. Uma nunca compareceu. Um desistiu por
compromisso com o treino de futebol. Três faltaram muito e desistiram (uma por
desinteresse, dois por terem afazeres domésticos impostos pela família). Nove
alunos persistiram e chegaram até o fim. A implementação foi realizada em 32
h/aula: 2 a 3 h/aulas por semana.
No primeiro dia de trabalho com os alunos, foi proposta uma atividade
escrita para diagnóstico de alguns conhecimentos básicos sobre Geometria:
nomenclatura, construção de um segmento de reta, medição de um segmento de
22
reta, cálculo de área e perímetro, medidas de comprimento, identificação de
triângulos, entre diversas figuras. A constatação foi de que a maioria conhecia o
nome de figuras - retângulo, quadrado, triângulo e círculo - assim como as figuras na
posição comumente apresentada, e não quando mudada a posição destas. Apenas
um dos alunos conseguiu realizar o cálculo de perímetro e de área e tinha noção da
definição destes.
Na sequência, o histórico do Tangram foi apresentado e a construção do
Tangram Quadrado foi uma estratégia para se trabalhar a decomposição desse
quadrilátero. Esse momento foi importante para se corrigir alguns alunos que
estavam medindo os segmentos a partir da ponta da régua, ao invés de iniciar pelo
zero. A maioria conseguiu recortar a figura, embora sem muita agilidade e precisão.
As diversas tarefas realizadas com o Tangram (desenho e recorte do
quebra-cabeça, contorno das peças, escrevendo-se o nome dos polígonos
desenhados, montagem dos polígonos solicitados a partir da quantidade de peças
estabelecidas, construção livre de figuras, construção de figuras a partir da
visualização de silhuetas, construção de figuras geométricas sobrepondo-se as
peças na silhueta desenhada) proporcionaram aos alunos o contato direto com as
formas, fazendo-os perceber, por exemplo, que dois triângulos pequenos formam
um médio, dois triângulos formam um quadrado, etc. O curioso foi que alguns alunos
colocaram o quadrado na posição inclinada e disseram que aquilo era um triângulo
( ). Alguns também disseram que o paralelogramo era um triângulo, o que
comprovou que não conheciam a definição dessas duas figuras geométricas. Esse
momento foi o ideal para a intervenção da professora, que mostrou a definição de
triângulo, instigando uma comparação deste com o quadrado e com o
paralelogramo.
Para se trabalhar a definição de polígonos, foram utilizadas algumas
atividades escritas e outras com mosaicos e malhas geométricas, de forma que os
alunos tiveram que identificar as figuras das composições geométricas.
O próximo conceito abordado foi o de área, usando-se o Tangram
construído. Em grupo de dois ou três, os alunos mediram a área de um quadrado
com as mesmas dimensões do quadrado que recortaram na construção do quebra-
cabeça. Entremearam, em papel dobradura, triângulos pequenos colando-os no
quadrado desenhado, verificando qual era a medida dele, utilizando os triângulos
23
pequenos, como unidade de medida não convencional. Mediram a superfície da
figura, fazendo o mesmo com os triângulos médios e grandes e também com os
quadrados. Alguns alunos fizeram questão de escolher as cores e formaram
composições geométricas. Todas as equipes fizeram a previsão de quantas peças
deveriam recortar.
Em seguida, as medidas de superfícies convencionais foram apresentadas e
os alunos confeccionaram o metro e o centímetro quadrado em papel, utilizados
para se medir superfícies próximas. Logo após esse momento, calcularam a medida
da área de figuras retangulares e quadradas em papel quadriculado. Essa atividade
foi empregada para introduzir o cálculo da área dessas figuras. Depois desse
procedimento, propuseram algumas atividades para que os alunos percebessem
que todo triângulo corresponde à metade de um quadrado ou de um retângulo,
levando aqueles à conclusão de que a área do triângulo é a metade da área do
quadrado ou da do retângulo. Nesse projeto, pretendeu-se estudar apenas as áreas
do quadrado, do retângulo e do triângulo.
Na etapa seguinte da implementação do Projeto de Intervenção, em duplas
ou trios, os participantes receberam situações-problema escritas. Como
recomendado na unidade didática, seguiram-se os passos sugeridos por Onuchic
(1999, p.216-217). Eles fizeram a leitura da situação e perguntaram à professora os
termos não conhecidos. Depois de aguardado determinado tempo, o representante
da equipe escreveu na lousa a resolução, explicando como chegaram ao resultado.
Depois de analisados os resultados dos grupos, os alunos chegaram ao consenso
de quais eram os corretos. Foi necessária uma constante intervenção do professor
na resolução dos problemas, principalmente quanto à leitura e à verificação do
resultado. Dois desses participantes conseguiram resolver as situações com poucas
intervenções, os outros tiveram muita dificuldade, pois não persistiam e desistiam
muito rápido. Além de não estarem habituados com o trabalho em grupo, não
gostavam de resolver problemas, achavam essa tarefa difícil e se autolimitavam,
situação essa comum em sala de aula.
Os alunos que se dedicavam, ouviam e viam com atenção as explanações,
que levavam a sério as aulas aprenderam algo e evoluíram do estágio inicial. No
entanto, aqueles que não deram a devida importância ao trabalho realizado, que
24
precisavam ser chamados o tempo todo para olharem, ouvirem, participarem, não
evoluíram ou evoluíram o mínimo.
Dos nove participantes que concluíram as atividades propostas na Unidade
Didática, dois não apresentaram evolução significativa de seu conhecimento. Mesmo
se propondo um trabalho diferenciado, não foi possível atingir a todos os alunos.
Dessa forma, pode-se afirmar que a aprendizagem e a construção do conhecimento
dependem também do aluno. Não se deve esquecer de que cada um tem o seu
tempo para aprender; no entanto, considera-se que é preciso vontade, acima de
tudo.
O papel do professor como agente intermediário entre o aluno e o
conhecimento é primordial, mas o do aluno também. A vontade, o interesse e o
esforço deste são fatores que contribuirão diretamente para a construção do seu
conhecimento.
Para se conhecer a avaliação dos alunos a respeito das aulas do Projeto de
Intervenção, realizou-se um seminário, oportunidade em que cada um se
manifestou, dando sua opinião. Todos disseram que gostaram muito, por terem
aprendido de forma diferenciada, por apreciarem o Tangram e as atividades
realizadas. Complementaram, dizendo que gostariam de participar de outros eventos
como esse. Fizeram também uma avaliação por escrito, de forma bem resumida,
mas voluntária, sem reclamar, escrevendo o que expressaram oralmente.
A professora de Artes da escola colaborou com a implementação do Projeto
de intervenção, trabalhando, no horário normal das aulas, com todas as turmas de 7º
ano, mosaicos com as formas das peças do Tangram. Os alunos realizaram lindos
trabalhos, utilizando a técnica de pintura de Romero Britto3 (pintura pop - chapada
com contorno preto). Os trabalhos selecionados pela professora como os melhores
foram expostos em uma das salas do Colégio ao final da implementação do projeto,
para visitação de todos os alunos da escola. Nessa mesma sala foram colocados
vários jogos do Tangram à disposição de todos os alunos, para montagem das
figuras nas silhuetas confeccionadas pelos participantes e para mostrar esse
quebra-cabeça aos que ainda não o conheciam. Com essa exposição, a
implementação do Projeto foi finalizada.
3 Romero Brito ficou conhecido pelo seu estilo alegre e colorido, por apresentar uma arte despojada da estética
clássica e tradicional (Disponível em: <http://www.e-biografias.net/romero_britto/>. Acesso em 25 mai. 2012).
25
Como já foi mencionado na introdução deste artigo, a professora que
implementou o projeto interagiu, em tempo paralelo à implementação deste, com 14
professores de Matemática, da Rede Estadual de Ensino que participaram do Grupo
de Trabalho em Rede (GTR). A avaliação do Projeto de Intervenção Pedagógica, da
Unidade Didática e da Implementação do Projeto na Escola foi feita por esses
professores, que discutiram e analisaram a viabilidade dele, além de contribuírem
com sugestões. Essas discussões e análises apontaram apenas aspectos positivos
às produções apresentadas.
Com relação à análise do Projeto de Intervenção Pedagógica realizada pelos
participantes do GTR, houve alguns comentários sobre a importância do estudo da
Geometria para a abstração nas demais áreas da Matemática. Eles ressaltaram que,
com o despertar dos alunos para a Geometria, as dificuldades destes poderiam ser
amenizadas. Comentou-se também sobre a importância de se partir das
experimentações para se chegar ao saber sistematizado no ensino de Geometria.
Os cursistas também comentaram que, em sua prática, percebem a
existência da defasagem dos alunos relativa aos conhecimentos dos conceitos
geométricos. Analisando o ensino da Geometria, os poucos comentários dos
cursistas a respeito, ajudam na constatação de que é real o abandono desse ensino
nas escolas. Foram citadas, como prováveis causas disso, a prioridade dada ao
ensino da álgebra e da aritmética; esse conteúdo é deixado para o final do ano letivo
por seu conteúdo ser de difícil assimilação e, muitas vezes, acaba nem sendo
trabalhado; a falta de domínio do conteúdo pelo professor; e a diminuição da carga
horária da disciplina de Matemática nas escolas.
Há um consenso entre esses professores de que é necessário promover
mudanças na sua prática pedagógica no intuito de atrair a atenção, o interesse e o
gosto dos alunos para a Matemática. Por outro lado, aqueles também concordam
que muitos alunos não têm persistência, esforço e perseverança, o que se torna um
obstáculo para a aprendizagem destes.
Quanto à tendência metodológica da Resolução de Problemas, ficou
implícito nos poucos comentários dos professores, apesar de terem sido estimulados
com questionamentos, que ela não é conhecida ou não é utilizada conforme
abordado na fundamentação teórica do Projeto.
26
De acordo com os cursistas do GTR, as situações-problema tornam a
aprendizagem mais significativa e desafiadora; os conteúdos inseridos em um
contexto possibilitam ao aluno construir o seu conhecimento de forma mais
consistente. Porém, paralelamente a essas considerações, o trabalho com as
situações-problema é citado pelos cursistas como um desafio, pela rejeição
apresentada pelos alunos nas aulas de Matemática. Então, a persistência dos
professores é citada várias vezes como aspecto essencial nesse trabalho.
Citou-se também a importância do trabalho em grupo, por este possibilitar o
desenvolvimento da cooperação entre os alunos, da troca de ideias, da
responsabilidade e do trabalho em conjunto. Foi possível perceber, durante a
implementação do projeto, que esse trabalho auxilia no desenvolvimento do aluno
com defasagem a partir da interação e da ajuda dos colegas. No entanto, os alunos
não estão habituados com essa metodologia de trabalho, o que traz alguns
transtornos, talvez porque não seja abordada desde os anos iniciais.
O Tangram é do conhecimento da maioria dos professores cursistas. Já o
utilizaram como recurso didático na abordagem de conteúdos matemáticos, com
sucesso. Segundo os participantes, esse quebra-cabeça exerce atração sobre os
alunos e torna o trabalho com a Geometria mais significativo, dinâmico,
descontraído, interessante, prazeroso, motivador e lúdico. Além disso, possibilita o
desenvolvimento da concentração, da atenção, da paciência, da persistência e da
percepção. É um material confeccionado em madeira, de fácil acesso e baixo custo,
existente na grande maioria das escolas. Alguns dos professores ressaltaram que o
trabalho com material manipulável deve ser adotado desde os anos iniciais na
educação matemática da educação básica, possibilitando a redução da defasagem
dos alunos das séries finais.
Com relação à análise do Material Didático produzido, o parecer dos
professores participantes do GTR também foi favorável. Consideram-no viável para
ser utilizado nas escolas públicas, pois contém várias informações para o aluno; a
linguagem utilizada é adequada à turma; contém atividades diversificadas,
interessantes e desafiadoras e ideal para a idade em que se encontram os alunos do
7º ano do Ensino Fundamental. Segundo esses professores, esse material propõe a
observação, a criatividade e o desenvolvimento do raciocínio lógico dos alunos.
Também mencionaram que as situações-problema são significativas. Enfim,
27
consideraram-nos um material de fácil aplicação, simples e possível de se trabalhar
em sala de aula e que, pela falta de tempo dos professores para criar atividades
diferenciadas, esse material será muito útil.
Na última tarefa proposta no GTR, os professores fizeram relatos de
experiências de suas aulas com o conteúdo Geometria, que foram compartilhados
e, com certeza, serviram de sugestão de atividade e modelo de conduta para cada
participante.
No Projeto de Intervenção apresentado aos professores cursistas,
considerou-se relevante proporcionar uma fundamentação teórica que colocasse em
foco a importância do ensino da Geometria ao lado da álgebra e da aritmética, os
passos adotados na tendência metodológica da Resolução de Problemas, de acordo
com os pesquisadores em Educação Matemática, e a relevância das situações-
problema na aprendizagem da Matemática. O Material Didático foi elaborado com a
intenção de ser algo simples, possível de ser utilizado e em conformidade com a
realidade vivida nas escolas. Pelas análises feitas pelos professores, foi possível
verificar que o objetivo desse GTR foi alcançado. Foram de extrema importância as
sugestões e a avaliação feitas pelos professores, que são experientes e
conhecedores da realidade da sala de aula.
De maneira geral, todas as atividades realizadas durante a implementação
do Projeto de Intervenção Pedagógica foram positivas e trouxeram contribuições
significativas à prática pedagógica da primeira autora deste artigo. Espera-se
também poder contribuir para a reflexão e mudança na prática de outros professores
de Educação Matemática da Educação Básica.
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Analisando-se o objetivo principal do projeto de intervenção pedagógica, que
era o de possibilitar o desenvolvimento do pensamento geométrico por meio de
material manipulável, conclui-se que foi possível atingir esse objetivo, pois houve
aprendizagem dos alunos que participaram da implementação do Projeto de
Intervenção Pedagógica.
Constatou-se que a Resolução de Problemas é uma tendência importante no
processo de ensino e aprendizagem, visto que é o momento em que o aluno é
28
desafiado a pensar e a utilizar os conceitos apreendidos. Constatou-se também a
eficácia do Tangram como material didático manipulável no ensino de conteúdos.
A intenção deste artigo foi a de produzir um material útil aos demais
professores. Conhecendo-se a opinião de colegas professores por meio do GTR e
observando-se os resultados obtidos na implementação do Projeto, constatou-se
que o Material Didático produzido é acessível e que a sua aplicação é viável nas
escolas públicas. Nesse sentido, também pode-se afirmar que o objetivo foi
alcançado.
Os estudos feitos para a elaboração dos trabalhos do PDE contribuíram para
a ampliação do conhecimento das autoras em relação à Educação Matemática. A
experiência vivida com os estudos realizados para a produção dos trabalhos do PDE
e com a implementação do Projeto trouxeram valiosas contribuições para a prática
pedagógica.
5 REFERÊNCIAS
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