Tanise Carnieri Pierin T - teses.usp.br€¦ · que m 1. Para estas últimas, pode-se obter uma trissecção de suas categorias de módulos determi-nada pelas subcategorias Lm = fX

Álgebras m-quase inclinadas em-quase hereditárias

Tanise Carnieri Pierin

TESE APRESENTADAAO

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICADA

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOPARA

OBTENÇÃO DO TÍTULODE

DOUTOR EM CIÊNCIAS

Programa: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Edson Ribeiro Alvares

Co-orientador: Prof. Dr. Patrick Le Meur

Durante o desenvolvimento deste trabalho a autora recebeu auxílio financeiro da CAPES/CNPq

São Paulo, junho de 2015

Álgebras m-quase inclinadas em-quase hereditárias

Esta versão da tese contém as correções e alterações sugeridas

pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,

realizada em 06/07/2015. Uma cópia da versão original está disponível no

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. Edson Ribeiro Alvares (orientador) - UFPR

• Prof. Dr. Flávio Ulhoa Coelho - IME-USP

• Profa. Dra. Diane Castonguay - UFG

• Prof. Dr. Viktor Bekkert - UFMG

• Prof. Dr. Clezio Aparecido Braga - UNIOESTE

Un passo dopo l’altro impareraiNelle gocce di tempo, tra ora e mai

Chiara Civello

ii

RESUMO

PIERIN, T. C. Álgebras m-quase inclinadas e m-quase hereditárias. Tese (Doutorado) - Instituto de

Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2015.

Com base em [HRS96b], apresentamos uma generalização para as classes das álgebras quase incli-

nadas e quase hereditárias, que chamamos de álgebras m-quase inclinadas e m-quase hereditárias, em

que m ≥ 1. Para estas últimas, pode-se obter uma trissecção de suas categorias de módulos determi-

nada pelas subcategorias Lm = X indecomponível; dp Y ≤ m, para cada antecessor Y de X e R= Xindecomponível; di Y ≤ 1, para cada sucessor Y de X, além de ser possível mostrar que se existe

um módulo Em de forma a obtermos a igualdade de conjuntos X módulo; Hom(Em,τX) = 0 = Xmódulo; dp X ≤ m, então Em ∈ addR e todo caminho de indecomponíveis com início em E ∈ add Em

e final em um módulo projetivo pode ser refinado a um caminho de morfismos irredutíveis, que é ainda

seccional. Como consequência desse resultado obtém-se que as álgebras m-quase hereditárias são ca-

racterizadas pelo fato de que todos seus módulos projetivos pertencem a Lm. É possível verificar que

toda álgebra m-quase inclinada de dimensão global m+ 1 é m-quase hereditária e, consequentemente,

que toda álgebra hereditária por partes de tipo mod H, para alguma álgebra hereditária H, com dimensão

global m+1 é m-quase hereditária. Apresentamos ainda um exemplo de uma álgebra 2-quase hereditá-

ria que não é 2-quase inclinada, não sendo válida, portanto, a recíproca do resultado acima. Buscamos,

dessa forma, estabelecer condições que quando assumidas sobre uma álgebra 2-quase hereditária possam

garantir que esta é 2-quase inclinada e, em particular, hereditária por partes. Recorremos, para isso, à

aplicação Φ−1, obtida por meio de uma adaptação de resultados de Happel, Reiten e Smalφ , que sob

certas hipóteses permite concluir que uma álgebra é álgebra de endomorfismos de um objeto inclinante.

Como resultado, mostra-se que uma álgebra 2-quase hereditária com certas outras propriedades e que

satisfaz (H1), (H2) e (H3) é 2-quase inclinada.

Palavras-chave: álgebras hereditárias por partes, m-quase inclinadas, m-quase hereditárias, categorias

trianguladas, t-estruturas.

iii

iv

ABSTRACT

PIERIN, T. C. m-Quasitilted and m-almost hereditary algebras. Tese (Doutorado) - Instituto de Ma-

temática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2015.

Based on [HRS96b] we present a generalization of the classes of quasitilted and almost heredi-

tary algebras, which we call m-quasitilted and m-almost hereditary algebras, where m ≥ 1. For the

latter one, we can obtain a trisection of their module categories determined by the following subca-

tegories Lm = X indecomposable; dp Y ≤ m, for each predecessor Y of X and R = X indecom-

posable; di Y ≤ 1 for each successor Y of X. Moreover, if there exists a module Em such that

X ; Hom(Em,τX) = 0 = X ; dp X ≤ m then Em ∈ add R and any path of indecomposable modu-

les starting in a module E ∈ add Em and ending in a projective module can be refined to a path of

irreducible morphisms, which is also sectional. This result on paths allow us to obtain a characterization

for m-almost hereditary algebras in terms of their projective modules. It is also possible to prove that any

m-quasitilted algebra with global dimension m+1 is a m-almost hereditary algebra and as a consequence

we can obtain that any piecewise hereditary algebra of type mod H, for some hereditary algebra H, and

with global dimension m+ 1 is m-almost hereditary. We present an example of a 2-almost hereditary

which is not 2-quasitilted, which entails that the converse of the above mentioned result does not hold

true. Thus we seek for conditions which can ensure that a given 2-almost hereditary is 2-quasitilted and,

in particular, a piecewise hereditary algebra. For this, we use the Φ−1 correspondence, obtained as an

adaptation of results of Happel, Reiten and Smalφ , which under certain assumptions shows that an alge-

bra is an endomorphism algebra of a tilting object. It is shown that a 2-almost hereditary algebra with

some other properties and satisfying (H1), (H2), (H3) is 2-quasitilted.

Keywords: piecewise hereditary algebras, m-quasitilted algebras, m-almost hereditary algebras, trian-

gulated categories, t-structures.

v

vi

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 1

1 PRELIMINARES 71.1 Teoria Inclinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Categorias Trianguladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 A Categoria dos Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 A Categoria de Homotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3 A Categoria Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Álgebras Hereditárias por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 t-Estruturas em Categorias Trianguladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 A APLICAÇÃO Φ−1 172.1 A t-Estrutura induzida por um Par de Torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Objetos Inclinantes e o Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 ÁLGEBRAS m-QUASE HEREDITÁRIAS E m-QUASE INCLINADAS 293.1 Álgebras m-Quase Hereditárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Alguns problemas a serem investigados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Álgebras m-Quase Inclinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1 Propriedades homológicas de álgebras 2-quase inclinadas . . . . . . . . . . . . 41

3.2.2 Compatibilidade entre t-estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.3 Sobre a funtorialidade das subcategorias A1, (A2∪A3)[−1] e A4[−2] . . . . . . 51

4 ÁLGEBRAS 2-QUASE HEREDITÁRIAS E 2-QUASE INCLINADAS 534.1 Propriedades Homológicas de Categorias obtidas a partir de Álgebras por Partes . . . . . 55

4.2 A Escolha do Par de Torção Cindido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3 Propriedades Homológicas do Par de Torção (X ,Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

REFERÊNCIAS 73

INTRODUÇÃO

Nos últimos quarenta anos, muitas ferramentas foram desenvolvidas para descrever a categoria de

módulos de uma álgebra de dimensão finita sobre um corpo k algebricamente fechado, principal objeto

de estudo da teoria de representações de álgebras de artin. Destaca-se a teoria inclinante, essencialmente

baseada na ideia de estabelecer uma descrição para uma determinada classe de álgebras a partir de outra já

conhecida. Essa teoria pode ser vista como uma generalização da teoria de Morita, que nos dá condições

para que as categorias de módulos de duas álgebras A e B sejam equivalentes. Quando isso acontece

dizemos que as álgebras são Morita-equivalentes e, neste caso, B é a álgebra de endomorfismos de um A-

módulo P projetivo e gerador de mod A e a equivalência é dada pelo funtor HomA(P,_) : mod A→mod B.

A teoria inclinante compara as categorias de módulos de uma álgebra A e da álgebra B obtida através de

um processo de inclinação, ou seja, B é a álgebra de endomorfismos de um A-módulo T que satisfaz boas

propriedades homológicas, chamado inclinante (ver seção 1.1). Essa comparação é possível graças ao

teorema de Brenner-Butler [BB80], que garante a existência de equivalências entre certas subcategorias

T (T ) e Y(T ), e F(T ) e X (T ), de mod A e mod B, respectivamente. Dessa forma, embora possa não

haver uma equivalência entre mod A e mod B, ainda é possível obter, a partir do conhecimento de uma

dessas categorias, a descrição completa de duas subcategorias plenas da outra, que, mais ainda, formam

um par de torção (ver seção 1.1). Em particular, cada um de seus módulos pode ser obtido como termo

do meio de uma sequência exata cujos extremos pertencem às subcategorias mencionadas.

Uma outra ferramenta para o estudo dos módulos sobre uma álgebra de dimensão finita sobre k = k,

utilizada por Happel em [Hap87] e [Hap88], é o conceito de categoria derivada de uma categoria abe-

liana (ver seção 1.2.3). Essas duas ferramentas se relacionam, por exemplo, através do trabalho de

Rickard, [Ric89], que mostra que as categorias derivadas de mod A e mod B são equivalentes se, e

somente se, existe um objeto inclinante T em Db(A) tal que B = End T . Recordamos que para um

A-módulo inclinante T e B = EndA T , o funtor HomA(T,_) : mod A→ mod B induz uma equivalên-

cia triangular RHomA(T,_) :Db(A)→Db(B), cujas restrições às subcategorias T (T ) e F(T ), definem,

respectivamente, equivalências (1) T (T )→Y(T ) e (2) F(T )[1]→X (T ). Motivados por esta conexão

entre a teoria inclinante e categorias derivadas, Happel, Reiten e Smalø propuseram em [HRS96b] uma

generalização para o processo de inclinação clássico, agora baseado em pares de torção definidos em

categorias abelianas. Em resumo, para uma categoria abeliana A munida de um par de torção (T ,F),os autores buscaram determinar uma categoria abeliana B e um par de torção (X ,Y) de forma que Te Y bem como F e X fossem equivalentes. Tendo as equivalências (1) e (2) em vista, limitaram o

problema a encontrar uma subcategoria abeliana B de Db(A) que admitisse (F [1],T ) como par de tor-

ção. Para essa construção, destaca-se a importância do conceito de t-estruturas (seção 1.4), definido por

[BBD82], sendo possível verificar que o coração da t-estrutura determinada a partir do par de torção

(T ,F) cumpre as condições procuradas para B. Dessa forma, fica definida uma aplicação Φ, a saber,

Φ(A;(T ,F)) = (B;(X ,Y)), para a qual se pode obter uma série de resultados. Destacamos que ao as-

1

INTRODUÇÃO 2

sumir que (T ,F) é dado por um objeto inclinante, a categoria abeliana B mostra-se simplesmente uma

categoria de módulos, e reciprocamente, se (T ,F) for inclinante e B for uma categoria de módulos,

então (T ,F) será dado por um objeto inclinante (Teorema 4.3 [HRS96b], pg. 22). Nos interessa, neste

trabalho, a construção inversa da aplicação Φ, uma vez que desejamos conhecer informações sobre uma

categoria abelianaA e um par de torção (T ,F) obtidos por meio de uma categoria abeliana B munida de

um par de torção dado por um objeto coinclinante. As demonstrações dadas para os resultados referentes

a Φ, em [HRS96b], podem ser adaptadas a fim de obtê-las para Φ−1, conforme feito no Capítulo 2. É

também possível generalizar alguns desses resultados para categorias trianguladas quaisquer. Merecem

ênfase os seguintes teoremas, dada a importância para as etapas seguintes. Nesses resultados, denotare-

mos por H i(X ·) a i-ésima cohomologia usual de um complexo X · (ver também seção 1.2.1).

Teorema A [Teorema 2.6, pg. 23]. Sejam B uma categoria abeliana, (X ,Y) um par de torção em B e

Φ−1(B;(X ,Y)) = (A;(T ,F)), em que A= X · ∈ Db(B);H1(X ·) ∈ X , H0(X ·) ∈ Y e H i(X ·) = 0, para

todo i 6= 0, 1, T = Y e F = X [−1]. Assuma que B contém suficientes injetivos e que Y é uma classe

livre de torção coinclinante.

(i) SeA contiver suficientes injetivos, então existirá uma equivalência triangular G :Db(A)→Db(B)cuja restrição a A corresponde ao funtor identidade de A.

(ii) SeB contiver suficientes projetivos, então existirá uma equivalência triangular F :Db(B)→Db(A)cuja restrição a A corresponde ao funtor identidade de A.

Teorema B [Teorema 2.10, pg. 25]. Sejam B uma categoria abeliana com suficientes injetivos, (X ,Y)um par de torção coinclinante em B e

Φ−1(B,(X ,Y)) = (A,(T ,F)),

em que A = X · ∈ Db(B);H1(X ·) ∈ X , H0(X ·) ∈ Y e H i(X ·) = 0, para todo i 6= 0, 1, T = Y e F =

X [−1]. Então:

(a) (i) Se T for dada por um objeto inclinante T , então B ' mod End T .

(ii) Se B ' mod Λ, para alguma k-álgebra Λ, então T será dada por um objeto inclinante T e,

mais ainda, Λ e End T serão Morita-equivalentes.

(b) (i) Se Y for dada por um objeto coinclinante T , então A' mod End T .

(ii) Se A' mod Λ, para alguma k-álgebra Λ, então Y será dada por um objeto coinclinante T e,


Por meio desse processo de inclinação mais geral, foram definidas em [HRS96b] as álgebras quase

inclinadas, obtidas como álgebras de endomorfismos de objetos inclinantes sobre categorias abelianas

hereditárias, visando novamente transferir as informações já bem conhecidas sobre estas últimas catego-

rias. Essa classe de álgebras desempenha um papel importante na teoria de representações e em geome-

tria. As álgebras canônicas, por exemplo, têm sido úteis para a compreensão de variedades modulares e

singularidades. Recorrendo à aplicação Φ, Happel, Reiten e Smalø mostraram que a classe das álgebras

quase inclinadas coincide com a classe das álgebras, chamadas quase hereditárias, que satisfazem as se-

guintes propriedades homológicas: (i) dimensão global no máximo 2 e (ii) cada módulo indecomponível

tem dimensão projetiva ou injetiva no máximo 1. Neste trabalho, propomos uma generalização para os

INTRODUÇÃO 3

conceitos de álgebras quase inclinadas e quase hereditárias, que chamamos álgebras m-quase inclinadas

e m-quase hereditárias. Uma álgebra será dita m-quase inclinada se puder ser obtida por m sucessivas

aplicações do processo de inclinação a partir de um objeto inclinante sobre uma categoria hereditária. Já

as álgebras m-quase hereditárias serão aquelas com as propriedades: (i) dimensão global igual a m+1,

se m > 1, e dimensão global menor ou igual a m+ 1, se m = 1, e (ii) cada módulo indecomponível

tem dimensão projetiva menor ou igual a m ou dimensão injetiva menor ou igual a 1. Para estas últimas,

é possível obter uma trissecção de suas categorias de módulos (conforme [AAC+10]), determinada por

LmA e RA, em que, para uma álgebra A fixada, Lm

A e RA são as subcategorias plenas de ind A definidas

respectivamente por X ∈ ind A; dpA Y ≤m, para cada antecessor Y de X e X ∈ ind A; diA Y ≤ 1, para

cada sucessor Y de X, como enunciado a seguir.

Teorema C [Corolário 3.11, pg. 34]. Seja A uma álgebra m-quase hereditária. Então a tripla

(LmA \RA,Lm

A ∩RA,RA \LmA ) é uma trissecção de ind A.

É também possível verificar que se LmA contém todos os A-módulos projetivos, então A satisfaz (i)

dim.gl A≤ m+1 e (ii) dpA X ≤ m ou diA X ≤ 1, para cada A-módulo indecomponível X . Em particular,

se A tiver dimensão global igual a m+1, A é m-quase hereditária. Outros resultados poderão ser garan-

tidos para álgebras m-quase hereditárias ao assumirmos hipóteses adicionais, e que são generalizações

das propriedades obtidas em [HRS96b] para álgebras quase hereditárias, como enunciado no seguinte

teorema.

Teorema D [pg. 35-37]. Seja A uma álgebra m-quase hereditária. Se existe um A-módulo Em tal que

X ∈ mod A; HomA(Em,τX) = 0= X ∈ mod A; dpA X ≤ m,

então Em ∈ addRA, AA ∈ add LmA e todo caminho em ind A da forma E

f0−→ X1f1−→ ·· · → Xr

fr−→ P, em que

E ∈ add Em e P é projetivo, admite um refinamento a um caminho de morfismos irredutíveis, e todo tal

refinamento é seccional.

Em acordo com o resultado obtido em [HRS96b] que garante que toda álgebra quase inclinada é

quase hereditária, confirma-se que também toda álgebra m-quase inclinada de dimensão global m+ 1

seja m-quase hereditária (Teorema 3.19). No entanto, a recíproca pode não ser verdadeira se m > 1.

Um contraexemplo é dado pela álgebra de caminhos associada ao quiver A12 orientado linearmente,

com uma relação a cada sete flechas, que define uma álgebra 2-quase hereditária que não é 2-quase

inclinada (pg. 39-40). Tendo esse exemplo em vista, torna-se natural perguntar-nos sob quais hipóteses

o resultado é então obtido. Um problema de mesma natureza foi discutido por Happel e Zacharia, em

[HZ10], ao buscarem uma caracterização para as álgebras hereditárias por partes. Lembramos que uma

álgebra A de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado é dita hereditária por partes se

existirem uma categoria abeliana e hereditária H e uma equivalência triangular F : Db(A)→ Db(H).Destacamos novamente a naturalidade da busca de informações referentes a essas álgebras, baseada no

amplo conhecimento já obtido para categorias hereditárias. Através da equivalência F , definem-se em

mod A certas subcategorias, que quando reunidas resultam novamente em mod A, as chamadas pieces de

mod A. Ainda em [HZ10], os autores apresentaram uma lista de resultados obtidos para as pieces (vide

Teorema 2.1 [HZ10]) e também mostraram por meio de um contraexemplo que esses resultados quando

INTRODUÇÃO 4

assumidos sobre uma álgebra A arbitrária (de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado)

não são suficientes para garantir que A é hereditária por partes. Esse problema em aberto vem de encontro

com a pergunta que propusemos, uma vez que toda álgebra 2-quase inclinada é hereditária por partes.

Buscamos, portanto, hipóteses que devam ser acrescentadas a uma álgebra 2-quase hereditária para que

esta seja 2-quase inclinada e, em particular, hereditária por partes.

Embora tenhamos obtido alguns avanços para um caso mais geral, uma resposta completa para esta

pergunta somente foi possível graças ao conceito de compatibilidade entre t-estruturas, definido por Kel-

ler e Vossieck, em [KV88a]. Essa hipótese assumida para t-estruturas convenientes permitiu estabelecer

condições sobre uma álgebra 2-quase hereditária essenciais para a demonstração desejada. Como pri-

meiro passo desta demonstração (ainda independente das condições mencionadas provenientes de com-

patibilidade), construímos, através dos Teoremas A e B aplicados a uma álgebra B 2-quase hereditária

com certas propriedades, uma álgebra A e um A-módulo inclinante T tais que B = EndA T (Proposição

4.7). O passo seguinte foi garantir que a álgebra A é quase inclinada, bastando para isso verificar que (i)

dim.gl A≤ 2 e (ii) dpA X ≤ 1 ou diA X ≤ 1, para cada A-módulo indecomponível X . O item (i) mostra-se

consequência das boas propriedades homológicas assumidas para B. Já para o item (ii), buscamos de-

terminar um par de torção cindido (X ,Y) em mod A satisfazendo diA X ≤ 1 e dpA Y ≤ 1. A escolha

de (X ,Y) torna-se clara a partir de uma das condições estabelecidas via compatibilidade (hipótese (H1),

apresentada na pg. 61), e a verificação de que de fato este é um par de torção fica por conta das hipóteses

(H2) e (H3) (pg. 62), que dizem respeito à compatibilidade e à propriedade de certas subcategorias de

Db(B) serem funtorialmente finitas em relação umas as outras. Dessa forma, para uma álgebra B como

descrita acima, ou seja, que é 2-quase hereditária e satisfaz certas propriedades homológicas, chamada

de álgebra por partes (Definição 4.2), mostramos o seguinte teorema.

Teorema E [Teorema 4.23, pg. 72]. Sejam B uma álgebra por partes de tipo (A1,A2,A3,A4) e

Φ−1(mod B;(add(A3∪A4),add(A1∪A2))) = (A;(T ′,F ′)),

em que T ′ = add(A1∪A2) e F ′ = add(A3[−1]∪A4[−1]). Então:

(i) A é uma categoria de módulos sobre uma álgebra A e (T ′,F ′) é um par de torção dado por um

A-módulo inclinante.

(ii) Existem equivalências triangulares Db(B)→Db(A) e Db(A)→Db(B) cujas restrições a A cor-

respondem ao funtor identidade.

(iii) Se, mais ainda, B satisfizer as hipóteses (H1), (H2) e (H3)(i), então será possível determinar um

par de torção (X ,Y) cindido em mod A.

(iv) Se B satisfizer as hipóteses (H1), (H2) e (H3), então será possível determinar um par de torção

(X ,Y) cindido em mod A tal que diA X ≤ 1 e dpA Y ≤ 1.

É consequência imediata desse teorema que toda álgebra por partes que satisfaz as hipóteses (H1),

(H2) e (H3) é uma álgebra 2-quase inclinada, estando estabelecidas, dessa forma, condições suficientes

para que uma álgebra 2-quase hereditária seja 2-quase inclinada.

Corolário F [Corolário 4.24, pg. 72]. Seja B uma álgebra por partes de tipo (A1,A2,A3,A4) satisfa-

zendo as hipóteses (H1), (H2) e (H3). Então B é 2-quase inclinada e, em particular, B é hereditária por

INTRODUÇÃO 5

partes.

Organização do Trabalho

Os temas deste trabalho estão dispostos da seguinte maneira: no primeiro capítulo são brevemente

apresentadas a teoria inclinante, as categorias trianguladas, uma construção da categoria derivada de uma

categoria abeliana e sua estrutura de categoria triangulada, além do conceito de t-estruturas. Aprovei-

tamos a definição das categorias derivadas para também introduzir as chamadas álgebras hereditárias

por partes e enunciar alguns de seus resultados, em acordo com nosso principal objetivo de determinar

condições suficientes para que uma álgebra seja hereditária por partes.

O segundo capítulo é dedicado à aplicação Φ−1. São apresentadas as construções da importante t-

estrutura determinada por um par de torção e, portanto, de uma nova categoria abeliana - obtida como

o coração dessa t-estrutura - munida de um par de torção, o que nos permite definir Φ−1. São também

discutidas as propriedades obtidas ao assumirmos sobre o par de torção inicial a hipótese inclinante ou

coinclinante, e demonstrados os Teoremas A e B enunciados anteriormente.

No terceiro capítulo, são definidas as álgebras m-quase hereditárias e discutidos, entre outros resulta-

dos, os Teoremas C, D e E. É também introduzido o conceito de álgebras m-quase inclinadas e verificado

que toda álgebra m-quase inclinada de dimensão global m+ 1 é m-quase hereditária (Teorema 3.19).

Segue imediatamente que uma álgebra hereditária por partes A de tipo mod H e dimensão global m+1,

com H uma álgebra hereditária, é m-quase hereditária, e que, em particular, vale o Teorema C (Corolário

3.21). Ainda neste capítulo, é ilustrado com um exemplo que a recíproca do Teorema 3.19 não se verifica

para m > 1. A partir da seção 3.2.1, com o intuito de determinar condições para que esta recíproca seja

obtida para m = 2, são estabelecidas algumas propriedades homológicas das álgebras 2-quase inclinadas.

Por meio da Proposição 3.22, verifica-se que, para uma álgebra B 2-quase inclinada, é possível encontrar

4 subcategorias plenas de ind B, a saber A1, A2, A3 e A4, cuja união é ind B, tais que as possíveis

restrições de ExtnB(_,_) se anulam, para determinados índices n. Além disso, assumindo a hipótese de

compatibilidade entre certas t-estruturas, mostra-se no Corolário 3.30 que HomDb(B)(A4[−1],A1[1]) = 0

ou HomDb(B)(A4[−1],A2[1]) = 0, em que cada Ai ∈ add Ai e A4[−1] é indecomponível. Este resultado

corresponde à hipótese (H1) assumida sobre uma álgebra 2-quase hereditária para a recíproca. Nova-

mente através da condição de compatibilidade, verifica-se a Proposição 3.31, que nos garante que para

um morfismo g : N → N′ em mod B e a t-estrutura natural W de Db(H) - em que a categoria abeliana

e hereditária H é determinada pela definição de B -, se N ∈ W≤n e N′ ∈ W≤n−1, então o mesmo deve

ocorrer para Ker g e Coker g, isto é, Ker g ∈ W≤n e Coker g ∈ W≤n−1. A partir desse resultado é

estabelecida a hipótese (H2). Finalmente, na seção 3.2.3, são trabalhadas questões de funtorialidade

das subcategorias A1, (A2 ∪A3)[−1] e A4[−2] de H, permitindo estabelecer a última hipótese a ser

assumida sobre uma álgebra 2-quase hereditária, (H3).

O quarto e último capítulo é destinado à demonstração de que toda álgebra 2-quase hereditária com

algumas hipóteses, entre elas (H1), (H2) e (H3), é 2-quase inclinada e, em particular, hereditária por

partes. Como mencionado anteriormente, a partir de uma álgebra B 2-quase hereditária com outras

certas propriedades obtêm-se, via a aplicação Φ−1, uma álgebra A e um A-módulo inclinante T tais que

B = EndA T , de forma a reduzir nosso problema a mostrar que A é quase inclinada, ou ainda, determinar

um par de torção (X ,Y) cindido e tal que diA X ≤ 1 e dpA Y ≤ 1. A escolha de (X ,Y) é discutida

na seção 4.2, e permitida graças à hipótese (H1). A seção seguinte é dedicada à verificação de que

INTRODUÇÃO 6

(X ,Y) é um par de torção, essencialmente apresentada na Proposição 4.18, que por sua vez depende dos

lemas 4.15, 4.16 e 4.17. Por fim, a seção 4.4 apresenta as demonstrações das propriedades homológicas

esperadas para X e Y , o Teorema E e o Corolário F.

Capítulo 1

PRELIMINARES

Neste capítulo, apresentaremos de forma bastante concisa conceitos básicos e resultados que serão

necessários para compreensão dos capítulos seguintes. Em resumo, serão discutidas a teoria inclinante, a

construção da categoria derivada de uma categoria abeliana e sua estrutura de categoria triangulada, fer-

ramenta essencial para solução dos problemas propostos, além da definição e alguns resultados referentes

às chamadas álgebras hereditárias por partes e às pieces de suas categorias de módulos. Finalmente, in-

troduziremos o conceito de t-estrutura de uma categoria triangulada. Para mais detalhes sobre os temas

abordados, sugerimos [ASS06], [Hap88], [Kra15], [RS07], [Mil], [HZ10], [BBD82].

Ao longo do texto, embora alguns resultados possam ser enunciados de forma mais geral, considera-

remos somente álgebras de dimensão finita definidas sobre um corpo k algebricamente fechado, a menos

de menção contrária. Como usualmente, fixada uma álgebra A, denotaremos por mod A a categoria dos

módulos à direita finitamente gerados sobre A e por ind A a subcategoria de mod A que consiste de um

representante para cada classe de isomorfismo de A-módulos indecomponíveis. Para uma subcategoria Cde mod A, denotaremos por add C a subcategoria plena de mod A cujos objetos são obtidos como soma

de somandos de módulos em C.

1.1 Teoria Inclinante

A ideia principal da teoria inclinante é comparar as categorias de módulos de álgebras A e B, em que B

é a álgebra de endomorfismos de um A-módulo T inclinante, ou seja, que satisfaz as seguintes condições:

(i) dpA T ≤ 1, (ii) Ext1A(T,T ) = 0 e (iii) existe uma sequência exata curta de A-módulos 0→ A→ T ′→T ′′ → 0, com T ′,T ′′ ∈ add T . Tais categorias são razoavelmente próximas, sendo possível obter, a

partir do conhecimento de uma delas, informações sobre duas subcategorias plenas da outra que formam

um par de torção e, portanto, que determinam toda a categoria a menos de extensões. Neste processo,

merece especial atenção o par de torção determinado pelo A-módulo inclinante T , que corresponde a

(T (T ),F(T )), em que T (T ) = M ∈ mod A; Ext1A(T,M) = 0 e F(T ) = M ∈ mod A; HomA(T,M) =

0. É possível mostrar que T (T ) é fechada para extensões, imagens e somas diretas e F(T ) é fechada

para extensões, submódulos e produtos diretos. Pode-se também verificar que T induz um par de torção

(X (T ),Y(T )) em mod B, com X (T ) = X ∈mod B; X⊗B T = 0 e Y(T ) = Y ∈mod B; TorB1 (Y,T ) =

0.A relação entre as categorias mod A e mod B citada acima é então estabelecida através do teorema

de Brenner-Butler, que garante a existência de equivalências entre as subcategorias T (T ) e Y(T ), dada

7

1. PRELIMINARES 8

pela restrição do funtor HomA(T,_) : mod A→ mod B, e F(T ) e X (T ), dada pela restrição do funtor

Ext1A(T,_) : mod A→ mod B.

Reuniremos, a seguir, alguns resultados que podem ser obtidos como consequências do teorema de

Brenner-Butler e que serão essenciais para os capítulos seguintes.

Proposição 1.1 ([ASS06] pg. 215). Sejam A uma álgebra, T um A-módulo inclinante e B = EndA T .

Então |dim.gl A−dim.gl B| ≤ 1.

Recordamos que um par de torção (T ,F) em mod A é dito cindido se para cada A-módulo indecom-

ponível X tivermos X ∈ T ou X ∈ F . Também, se para algum A-módulo inclinante T o par de torção

(X (T ),Y(T )), induzido por T em mod EndA T , for cindido, então T é chamado de módulo inclinante

cindido.

Proposição 1.2 ([ASS06] pg. 188). Seja (T ,F) um par de torção em mod A. Então (T ,F) cinde se, e

somente se, Ext1A(F ,T ) = 0.

Proposição 1.3 ([ASS06] pg. 230). Sejam A uma álgebra, T um A-módulo inclinante e B = EndA T .

Então;

(i) (X (T ),Y(T )) cinde se, e somente se, diA F(T )≤ 1.

(ii) (T (T ),F(T )) cinde se, e somente se, dpB X (T )≤ 1.

Dualmente à definição de módulo inclinante, pode-se definir módulo coinclinante. Dada uma álgebra

A, um A-módulo U é coinclinante se satisfaz (i) diA U ≤ 1, (ii) Ext1A(U,U)= 0 e (iii) existe uma sequência

exata curta de A-módulos 0→U ′→U ′′→ D(AA)→ 0, em que U ′, U ′′ ∈ add U . Além disso, é também

possível definir o par de torção dado por um A-módulo coinclinante U da seguinte forma: T (U) = X ∈mod A; HomA(X ,U) = 0 e F(U) = X ∈ mod A; Ext1A(X ,U) = 0.

Proposição 1.4 ([ASS06] pg. 235). Sejam A uma álgebra e (T ,F) um par de torção em mod A. Então

(T ,F) é dado por um A-módulo coinclinante U se, e somente se, F = Cogen V , para algum A-módulo

V , e F contém todos os A-módulos projetivos.

1.2 Categorias Trianguladas

Sejam C uma categoria aditiva e _[1] : C → C um automorfismo, chamado de funtor suspensão.

Diremos que (X ,Y,Z,u,v,w) ou X u−→ Y v−→ Z w−→ X [1] é uma sêxtupla em C se X , Y e Z forem objetos

de C e u : X → Y , v : Y → Z e w : Z→ X [1] forem morfismos de C. Um morfismo entre duas sêxtuplas

(X ,Y,Z,u,v,w) e (X ′,Y ′,Z′,u′,v′,w′) é uma tripla ( f ,g,h) de morfismos em C tal que o diagrama abaixo

X Y Z X [1]

X ′ Y ′ Z′ X ′[1]

u

f

v

g

w

h f [1]

u′ v′ w′

1. PRELIMINARES 9

é comutativo.

Uma coleção F de sêxtuplas de C será chamada de triangulação de C se as seguintes condições forem

satisfeitas para os elementos de F , chamados triângulos:

(TR1) Toda sêxtupla que for isomorfa a um triângulo será um triângulo. Todo morfismo u : X → Y

em C pode ser completado a um triângulo (X ,Y,Z,u,v,w). Para cada objeto X de C, a sêxtupla

(X ,X ,0,1X ,0,0) é um triângulo.

(TR2) Se (X ,Y,Z,u,v,w) for um triângulo, então (Y,Z,X [1],v,w,−u[1]) será um triângulo.

(TR3) Dados dois triângulos (X ,Y,Z,u,v,w) e (X ′,Y ′,Z′,u′,v′,w′) e morfismos f : X → X ′ e g : Y → Y ′

tais que u′ f = gu, existe um morfismo ( f ,g,h) do primeiro triângulo para o segundo.

(TR4) (Axioma do octaedro) Considere triângulos (X ,Y,Z′,u, i, i′), (Y,Z,X ′,v, j, j′) e (X ,Z,Y ′,vu,k,k′).

Então existem morfismos f : Z′→Y ′ e g : Y ′→ X ′ tais que o seguinte diagrama comuta e a terceira

linha é um triângulo.

Y ′[−1] X X

X ′[−1] Y Z X ′ Y [1]

Z′ Y ′ X ′ Z′[1]

X [1] X [1]

k′[−1]

g[−1]

1X

u vu

j′[−1] v

i

j

k

j′

1X ′ i[1]

f

i′

g

k′

i[1] j′

1X [1]

A categoria aditiva C junto ao funtor translação _[1] e à triangulação F é uma categoria triangulada.

Sejam (C,T,F) e (C′,T ′,F ′) categorias trianguladas. Um funtor aditivo F : C → C′ será dito exato

se existir uma transformação natural invertível α : FT → T ′F tal que FX Fu−→ FY Fv−→ FZ αX Fw−−−→ T ′FX

pertence a F ′ sempre que X u−→ Y v−→ Z w−→ T X pertencer a F . Se, além disso, F for uma equivalência de

categorias, então F será chamado de equivalência triangular.

Recordamos que uma categoria A é dita abeliana se é aditiva, admite núcleos e conúcleos, cada

monomorfismo é o núcleo de algum morfismo em A, cada epimorfismo é conúcleo de um morfismo em

A e todo morfismo α : A→ B em A pode ser escrito como uma composta Af−→ Z

g−→ B, em que f é um

epimorfismo e g é um monomorfismo.

Fixemos C e A categorias triangulada e abeliana, respectivamente. Um funtor covariante aditivo

H : C →A é chamado funtor cohomológico covariante se para cada triângulo X u−→Y v−→ Z w−→ X [1] em C,

a sequência

· · · → H(X [i])H(u[i])−−−−→ H(Y [i])

H(v[i])−−−→ H(Z[i])H(w[i])−−−−→ H(X [i+1])→ ···

for exata em A. De forma análoga, define-se funtor cohomológico contravariante.

Lema 1.5 ([Hap88] pg. 4). Seja X u−→ Y v−→ Z w−→ X [1] um triângulo em C. Então:

(i) as compostas vu, wv e u[1]w são nulas.

1. PRELIMINARES 10

(ii) para um objeto U em C, os funtores HomC(U,_) e HomC(_,U) são cohomológicos covariante e

contravariante, respectivamente.

Corolário 1.6 ([Hap88] pg. 4). Sejam X u−→ Y v−→ Z w−→ X [1] um triângulo e f : U → Z um morfismo em

C. Então w f = 0 se, e somente se, existe um morfismo f ′ : U → Y tal que v f ′ = f .

Corolário 1.7 ([Hap88] pg. 4). Sejam X u−→ Y v−→ Z w−→ X [1] e X ′ u′−→ Y ′ v′−→ Z′ w′−→ X ′[1] dois triângulos

em C e ( f ,g,h) um morfismo do primeiro para o segundo. Se dois entre os morfismos f , g e h forem

isomorfismos, então o terceiro também será.

Como consequência do corolário acima, dado um morfismo u : X→Y em C, se X u−→Y v−→ Z w−→ X [1] e

X u−→Y v′−→ Z′ w′−→ X [1] são completamentos de u a triângulos, garantidos pelo axioma (TR1), então Z ' Z′.

O objeto Z é chamado cone de u e denotado por cone(u).

Corolário 1.8 ([Hap88] pg. 9). Seja u : X → Y um morfismo em C. Então u é um isomorfismo se, e

somente se, cone(u) = 0.

Lema 1.9 ([Hap88] pg. 7). Seja X u−→ Y v−→ Z w−→ X [1] um triângulo em C. São equivalentes:

(a) u é um monomorfismo que cinde.

(b) v é um epimorfismo que cinde.

(c) w = 0.

Lema 1.10. Seja X(u1

u2 )−−−→ Y1⊕Y2(v1 v2 )−−−−→ Z→ X [1] um triângulo em C. Então:

(i) Se u1 = 0 (resp., u2 = 0), então v1 será um monomorfismo que cinde (resp., v2 será um monomor-

fismo que cinde).

(ii) Se v1 = 0 (resp., v2 = 0), então u1 será um epimorfismo que cinde (resp., u2 será um epimorfismo

que cinde).

Lema 1.11 ([Hap88] pg. 8). Sejam X u−→Y v−→ Z w−→ X [1], X ′ u′−→Y ′ v′−→ Z′ w′−→ X ′[1] triângulos e g : Y →Y ′

um morfismo em C. São equivalentes:

(a) a composta v′gu se anula.

(b) existe um morfismo ( f ,g,h) do primeiro triângulo para o segundo.

Se, mais ainda, HomC(X ,Z′[−1]) = 0, então f e h serão unicamente determinados.

Lema 1.12 ([Mil] pg. 63). Se X u−→ Y v−→ Z w−→ X [1] e X ′ u′−→ Y ′ v′−→ Z′ w′−→ X ′[1] forem triângulos em C,

então X⊕X ′(

u 00 u′

)−−−−→ Y ⊕Y ′

(v 00 v′

)−−−−→ Z⊕Z′

(w 00 w′

)−−−−→ X [1]⊕X ′[1] será um triângulo em C.

1. PRELIMINARES 11

1.2.1 A Categoria dos Complexos

Seja A uma categoria aditiva. Um complexo X · em A é uma família (Xn,dn)n∈Z, em que cada Xn é

um objeto em A e dnX : Xn→ Xn+1 é um morfismo em A satisfazendo dn+1

X dnX = 0. Podemos representar

X · através do seguinte diagrama X · : · · · → Xn−1 dn−1X−−→ Xn dn

X−→ Xn+1→ ··· . Dados X · = (Xn,dnX) e Y · =

(Y n,dnY ) complexos emA, um morfismo f · : X ·→Y · é uma família ( f n)n∈Z, em que cada f n : Xn→ Xn+1

é um morfismo em A satisfazendo f ndn−1X = dn−1

Y f n−1. Está definida, dessa forma, a categoria dos

complexos em A, denotada por C(A), cujos objetos são os complexos em A e os morfismos são os

morfismos de complexos.

Denotaremos por Cb(A) a subcategoria plena de C(A) cujos objetos são os complexos em A limita-

dos, isto é, objetos X · em C(A) para os quais existem inteiros positivos n = n(X ·) tais que X i = 0, para

|i|> n.

Para o caso em queA é uma categoria abeliana e n∈Z, define-se o funtor cohomologia Hn : Cb(A)→A por: Hn(X ·) = Ker dn

X/ Im dn−1X , se X · = (Xn,dn

X) for um objeto de Cb(A), e Hn( f ·) = f n, se f · =

( f n)n∈Z for um morfismo em Cb(A).Chamaremos de funtor translação o funtor _[1] : Cb(A)→ Cb(A) que associa cada complexo X · =

(Xn,dnX) em A ao complexo X ·[1] definido por X ·[1]n = Xn+1 e dn

X ·[1] = −dn+1X , e cada morfismo f · =

( f n)n∈Z ao morfismo ( f n+1)n∈Z. É possível mostrar que _[1] assim definido é um funtor fiel, pleno e

denso.

Definição 1.13 (Quase isomorfismo). Seja f · : X ·→ Y · um morfismo em Cb(A). Diremos que f · é um

quase isomorfismo se, para cada n ∈ Z, o morfismo induzido Hn( f ·) : Hn(X ·)→ Hn(Y ·) for um isomor-

fismo.

Definição 1.14 (Relação de homotopia). Dados morfismos f ·, g· ∈ HomCb(A)(X·,Y ·), diremos que f · é

homotópico a g· ( f · ∼ g·) se existir um morfismo de complexos s· = (sn)n∈Z, com sn : Xn → Y n−1, tal

que f n−gn = dn−1Y sn + sn+1dn

X .

Definição 1.15 (Cone de um morfismo). Seja f · : X · → Y · um morfismo em Cb(A). Chamaremos de

cone de f · o objeto C·f · definido por: (C·f ·)n = Y n⊕X [1]n = Y n⊕Xn+1 e dn

C·f ·=(

dnY f n+1

0 −dn+1X

).

Seja f · : X ·→Y · um morfismo em Cb(A). Podemos então construir a sêxtupla X ·f ·−→Y ·

q·Y−→C·f ·p·X ·[1]−−−→

X ·[1], em que q·Y e p·X ·[1] são a inclusão e projeção canônicas.

1.2.2 A Categoria de Homotopia

Seja A uma categoria aditiva. A categoria limitada de homotopia de A, denotada por Kb(A), tem

como objetos os objetos de Cb(A) e, para complexos limitados X · e Y · em A, HomKb(A)(X·,Y ·) =

HomCb(A)(X·,Y ·)/Ht(X ·,Y ·), em que Ht(X ·,Y ·) corresponde ao conjunto dos morfismos de Cb(A) que

são homotópicos a zero.

Chamaremos de funtor translação o funtor _[1] : Kb(A)→Kb(A) definido por: dado X · ∈ Kb(A),X ·[1] = X ·[1], em que este último é o funtor translação definido em Cb(A), e f ·[1] = f ·[1], se f · for

1. PRELIMINARES 12

um morfismo em Kb(A). De forma natural, podemos também definir o funtor h : Cb(A)→Kb(A) por:

h(X ·) = X ·, se X · for um objeto em Cb(A), e h( f ·) = f ·, se f · for um morfismo em Cb(A). É fácil

verificar que h_[1] = _[1]h.

Como citado no final da seção anterior, dado um morfismo f · ∈HomCb(A)(X·,Y ·), podemos construir

uma sêxtupla (?) X ·f ·−→Y ·

q·Y−→C·f ·p·X ·[1]−−−→ X ·[1], em que q·Y e p·X ·[1] são a inclusão e projeção canônicas. Ao

aplicarmos o funtor h a (?), obtemos a sêxtupla X ·f ·−→Y ·

q·Y−→C·f ·p·X ·[1]−−−→ X ·[1], que será chamada triângulo

estândar associado ao morfismo f ·.

Teorema 1.16 ([Kra15] pg. 11). A categoria de homotopia admite uma estrutura triangulada dada por

(Kb(A),_[1],F), em que F é a coleção das sêxtuplas que são isomorfas a algum triângulo estândar.

Se A for uma categoria abeliana e n um inteiro, definimos o funtor cohomologia Hn : Kb(A)→Apor: dado X · ∈ Kb(A), Hn(X ·) = Hn(X ·), em que este último é o funtor cohomologia definido anteri-

ormente para Cb(A), e Hn( f ·) = Hn( f ·), para um morfismo f · em Kb(A). Novamente, Hn é um funtor

cohomológico covariante.

Observamos que um morfismo f · ∈ HomKb(A)(X·,Y ·) será um quase isomorfismo se, e somente se,

algum representante de f · for um quase isomorfismo em Cb(A).

1.2.3 A Categoria Derivada

Seja A uma categoria abeliana. A categoria derivada da categoria dos complexos limitados sobre

A, Db(A), é a categoria obtida de Kb(A) via localização com respeito ao conjunto de seus quase iso-

morfismos. Em particular, os objetos de Db(A) coincidem com os objetos de Kb(A) e um morfismo de

um complexo X · para um complexo Y · em Db(A) é da forma X · Z· Y ·,s·

f ·em que s· é um

quase isomorfismo e f · ∈ HomKb(A)(Z·,Y ·). Além disso, existe um funtor exato Q : Kb(A)→Db(A)

tal que Q( f ·) é um isomorfismo, sempre que f · for um quase isomorfismo em Kb(A), e com a seguinte

propriedade universal: se G : Kb(A)→ C for um funtor exato tal que G( f ·) é isomorfismo para cada

quase isomorfismo f ·, então G se fatora através de Q. Uma vez que Hn : Kb(A)→ A associa quase

isomorfismos a isomorfismos, deve existir um funtor F : Db(A)→A satisfazendo FQ = Hn, para cada

n ∈ Z, chamado de funtor cohomologia de Db(A), que também será denotado por Hn e novamente é um

funtor cohomológico covariante. Da mesma forma, desde que a composta Q _[1] : Kb(A)→Db(A)associa quase isomorfismos a isomorfismos, existe um funtor (que novamente denotaremos por _[1])

_[1] :Db(A)→Db(A) tal que _[1]Q = Q_[1].

Teorema 1.17 ([Kra15] pg. 13). (Db(A),_[1],F) é uma categoria triangulada, em que F é o conjunto

das sêxtuplas isomorfas à imagem via Q de um triângulo estândar em Kb(A). Em outras palavras, uma

sêxtupla A· u−→ B· v−→C· w−→ A·[1] será um triângulo em Db(A) se existirem um triângulo estândar, ou seja,

da forma X ·f ·−→ Y ·

q·Y−→C·f ·p·X ·[1]−−−→ X ·[1] em Kb(A) e um isomorfismo de sêxtuplas em Db(A)

A· B· C· A·[1]

X · Y · C·f · X ·[1].

u v w

Q( f ·) Q(q·Y ) Q(p·X ·[1])

1. PRELIMINARES 13

Observação 1.18. O funtor A→Db(A) que associa cada objeto X em A ao complexo

X · : · · · → 0→ X → 0→ ·· · ,

concentrado na posição zero, e cada morfismo f : X → Y em A a X · X · Y ·,f ·

1em que

f · :· · · 0 X 0 · · ·

· · · 0 Y 0 · · ·

0

0

f

0

0

0 0

é fiel e pleno.

Lema 1.19 ([Kra15] pg. 13). Seja 0→ Xf−→ Y

g−→ Z→ 0 uma sequência exata em A. Então Xf−→ Y

g−→Z h−→ X [1] é um triângulo em Db(A), para algum h ∈ HomDb(A)(Z,X [1]).

Lema 1.20 ([RS07] pg. 14). Sejam A uma categoria abeliana e n ∈ Z. Se X e Y forem objetos de A,

então ExtnA(X ,Y )' HomDb(A)(X ,Y [n]). Além disso, se n < 0, então HomDb(A)(X ,Y [n]) = 0.

Observação 1.21. Para o caso em que n = 1, o isomorfismo ψ : Ext1A(X ,Y )→HomDb(A)(X ,Y [1]) men-

cionado no lema anterior é da forma: para uma sequência exata α : 0→ Xf−→ Z

g−→ Y → 0, considere o

triângulo Xf−→ Z

g−→ Y h−→ X [1] em Db(A), cuja existência é garantida pelo lema 1.19. Definimos, por-

tanto, ψ([α]) = h.

1.3 Álgebras Hereditárias por Partes

Seja k um corpo algebricamente fechado e considere H uma k-categoria abeliana, hereditária e Ext-

finita, isto é, tal que Ext2H(_,_) = 0 e os k-espaços HomH(X ,Y ) e Ext1H(X ,Y ) têm dimensão finita, para

todos objetos X e Y em H. Neste caso, a categoria derivada Db(H) é bastante conhecida, podendo

ser descrita em termos de H, uma vez que Db(H) é o fecho aditivo da união⋃i∈ZH[i], em que H[i]

denota a subcategoria plena de Db(H) cujos objetos são da forma X [i], para X ∈ H, e os morfismos são

determinados por HomDb(H)(X [m],Y [n]) = Extm−nH (X ,Y ). Dessa forma, torna-se natural estudar álgebras

cujas categorias derivadas estejam próximas a categorias derivadas de categorias hereditárias, a fim de

transferir as informações já obtidas para estas últimas. Definem-se então as álgebras hereditárias por

partes:

Definição 1.22. Uma k-álgebra A de dimensão finita é dita hereditária por partes se existem uma ca-

tegoria abeliana hereditária H e uma equivalência triangular F : Db(A)→Db(H). Equivalentemente,

segundo [Ric89], A é hereditária por partes se existem uma k-categoria abeliana hereditária e Ext-finita

H e um complexo inclinante T · emH tais que A' EndH T ·.

De acordo com [Hap01], uma k-categoria H abeliana, hereditária, Ext-finita e com objeto inclinante

é, a menos de equivalência derivada, mod H, em que H é uma k-álgebra hereditária de dimensão finita, ou

coh X, com X uma reta projetiva com peso. Neste caso, as álgebras hereditárias por partes são somente

1. PRELIMINARES 14

de dois tipos: mod H, se existir uma equivalência triangular Db(A)→Db(H), ou coh X, se existir uma

equivalência triangular Db(A)→Db(coh X).

Teorema 1.23. [HRS88] Seja A uma álgebra hereditária por partes. Então:

(i) se A for de tipo mod H para alguma k-álgebra hereditária H de dimensão finita, então deverá existir

uma sequência de triplas (Ai,Ti,Ai+1 = EndAi Ti)0≤i≤m tal que H = A0, cada Ti é um Ai-módulo

inclinante cindido e A = Am.

(ii) se A for de tipo coh X para alguma reta projetiva com peso X, então deverá existir uma sequência

de triplas (Ai,Ti,Ai+1 = EndAi Ti)0≤i≤m tal que A0 é uma álgebra quase inclinada (definida em

3.18), cada Ti é um Ai-módulo inclinante ou coinclinante cindido e A = Am.

Podemos assumir que a equivalência triangular F da definição 1.22 é normalizada, ou seja, que

existe um inteiro positivo r tal que F(X) ∈r⋃

t=0

H[t], para cada A-módulo indecomponível X , e existem

A-módulos indecomponíveis X e Y tais que F(X) ∈H[0] e F(Y ) ∈H[r]. Para cada índice t que cumprir

0≤ t ≤ r, denotamos por Ut a subcategoria plena de mod A que consiste dos A-módulos indecomponíveis

X tais que F(X) ∈ H[t], e por Ut o fecho aditivo de Ut em mod A. As subcategorias Ut são chamadas

F-pieces de mod A. Destacamos que a quantidade de pieces depende das escolhas da equivalência nor-

malizada F e da categoria hereditária H, que não são únicas, mas por abuso de linguagem, diremos que

A admite r+1 pieces. Várias propriedades já foram obtidas para estas subcategorias, conforme [HZ10].

Ainda nas condições da definição 1.22, considere T · = F(AA) =r−1⊕t=0

Tt [t], que é um complexo in-

clinante em Db(H). Para um objeto X em H, recordamos que T (X) = Y ∈ H; Ext1H(X ,Y ) = 0,F(X) = Y ∈H; HomH(X ,Y ) = 0 e X⊥ = T (X)∩F(X). Dado 0≤ t ≤ r, definimos Vt a subcategoria

deH dada pela interseção⋂

i 6=t,t−1T⊥i ∩T (Tt)∩F(Tt−1).

Lema 1.24 ([HZ10]). Sejam A uma álgebra hereditária por partes, T · o complexo inclinante e F a equi-

valência normalizada dados acima. Então a restrição de F a cada Ut induz uma equivalência entre Ut e

Vt [t].

Teorema 1.25 ([HZ10]). Seja H uma categoria abeliana hereditária tal que HomH(X ,Y ) e Ext1H(X ,Y )

são k-espaços vetoriais de dimensão finita, para todos X , Y objetos deH. Seja T ·=r−1⊕t=0

Tt [t] um complexo

inclinante, em que r ≥ 1. Então, para cada 0≤ t ≤ r, a subcategoria Vt é funtorialmente finita emH.

1.4 t-Estruturas em Categorias Trianguladas

Dada uma categoria triangulada C, uma t-estrutura em C é um par (D≤0,D≥0) de subcategorias

plenas de C tal que, denotando D≤n = D≤0[−n] e D≥n = D≥0[−n] (n ∈ Z), as seguintes condições são

satisfeitas:

(t1) D≤0 ⊆D≤1 e D≥1 ⊆D≥0.

(t2) HomC(X ,Y ) = 0, se X ∈ D≤0 e Y ∈ D≥1.

1. PRELIMINARES 15

(t3) Para cada X ∈ C, existe um triângulo A→ X → B→ A[1] em C, com A ∈ D≤0 e B ∈ D≥1.

Esse conceito foi introduzido por Beilinson, Bernstein e Deligne, em [BBD82], e para uma categoria

abeliana A e sua categoria derivada (limitada), permite determinar subcategorias plenas abelianas de

Db(A) não necessariamente equivalentes aA, mas tais que suas categorias derivadas sejam equivalentes

a Db(A) como categorias trianguladas.

Exemplo 1.26. SejamA uma categoria abeliana e Db(A) a categoria derivada limitada deA. Considere

D≤0 = X · ∈Db(A); H i(X ·) = 0, para cada i > 0 eD≥0 = X · ∈Db(A); H i(X ·) = 0, para cada i < 0.Então D = (D≤0,D≥0) define uma t-estrutura em Db(A), usualmente chamada de t-estrutura natural

de Db(A). A fim de verificarmos a condição (t3), consideremos, para cada objeto X · = (X i,diX) em

Db(A), o complexo τ≤0X · = (Y i,diY ) dado por Y i = X i, se i ≤ −1, Y 0 = Ker d0

X e Y i = 0, para i > 0,

e de diferencial diY = di

X , se i ≤ −1, e diY = 0, caso contrário. Consideremos ainda τ≥1X · = X ·/τ≤0X ·.

Claramente, τ≤0X · ∈ D≤0 e τ≥1X · ∈ D≥1 e, portanto, a sequência exata 0→ τ≤0X ·→ X ·→ τ≥1X ·→ 0

nos garante a existência de um triângulo τ≤0X ·→ X ·→ τ≥1X ·→ (τ≤0X ·)[1] em Db(A) como desejado.

Fixada uma t-estrutura D= (D≤0,D≥0) em uma categoria triangulada C, chamaremos de coração de

D a subcategoria plenaD≤0∩D≥0 de C, que será denotada por ht(D). Por exemplo, seD for a t-estrutura

natural de Db(A), em que A é uma categoria abeliana, então ht(D) =A. Segundo [BBD82], o coração

de qualquer t-estrutura é uma categoria abeliana.

Na proposição a seguir, estão reunidas algumas propriedades das subcategorias D≤n e D≥n que

compõem uma t-estrutura.

Proposição 1.27 ([BBD82], [TLS03]). Sejam D = (D≤0,D≥0) uma t-estrutura em C e n ∈ Z. Então:

(i) As subcategorias D≤n e D≥n são fechadas para extensões.

(ii) D≤n[t]⊆D≤n, para t ≥ 0, e D≥n[t]⊆D≥n, para t ≤ 0.

(iii) A inclusão canônica D≤n→ C admite um funtor adjunto à direita, denotado por τ≤nD (ou por τ≤n

quando não houver dúvidas quanto à t-estrutura em questão), eD≥n→C admite um funtor adjunto

à esquerda, denotado por τ≥nD (ou por τ≥n).

(iv) Para cada C em C, existe um triângulo τ≤0D C→C→ τ

≥1D C→ τ

≤0D C[1].

Para o caso em que D é a t-estrutura natural de Db(A), os funtores τ≤0D e τ

≥0D são como definidos no

exemplo 1.26. Basta, para isso, verificarmos que, dados X · ∈ D≤0 e Y · ∈ Db(A), existe um isomorfismo

ψ : HomDb(A)(X·,Y ·)→ HomD≤0(X ·,τ≤0Y ·). Em Db(A), considere um morfismo f : X ·→ Y · e o triân-

gulo τ≤0Y · α−→ Y ·β−→ τ≥1Y ·→ (τ≤0Y ·)[1]. De acordo com (t2), a composta β f se anula e, portanto, deve

existir um morfismo f : X ·→ τ≤0Y · fazendo o diagrama

X · X · 0 X ·[1]

τ≤0Y · Y · τ≥1Y · (τ≤0Y ·)[1]

1

f f

α β

comutar. Definimos então ψ( f ) = f . Segundo o lema 1.11, ψ está bem definida, uma vez que

HomDb(A)(X·,(τ≥1Y ·)[−1]) = 0. Além disso, ψ é um isomorfismo.

1. PRELIMINARES 16

Definição 1.28. Dada uma t-estrutura D em C, definimos o funtor H0D : C → ht(D) por H0

D = τ≤0D τ

≥0D e,

se n ∈ Z, HnD = H0

D _[n].

É possível mostrar que, para cada n ∈ Z, HnD é um funtor cohomológico. Além disso, se D for a

t-estrutura apresentada no exemplo 1.26, então HnD é o funtor cohomologia de Db(A). De fato, seja

X · : · · · → X−1 d−1

−−→ X0 d0

−→ X1→ ··· um complexo em Db(A). Então τ≥0X · : · · · → 0→ X0/ Im d−1 d0−→

X1 d1

−→ X2 → 0→ ··· , em que d0 é o morfismo induzido por d0. Neste caso, τ≤0τ≥0X · é o complexo

· · · → 0→ Ker d0/ Im d−1→ 0→ ··· , concentrado na posição 0, que corresponde a H0(X ·).

Para este trabalho, interessam especialmente as t-estruturas (D≤0,D≥0) tais que⋂n∈ZD≤n = 0 e⋂

n∈ZD≥n = 0 ou, equivalentemente, tais que a condição H i

D(X) = 0, para X ∈ C e todo i ∈ Z, implica

em X = 0, chamadas de não-degeneradas. Como exemplo, citamos novamente a t-estrutura do exemplo

1.26.

As subcategorias que compõem uma t-estruturaD não-degenerada têm a propriedade de poderem ser

descritas completamente através dos funtores de cohomologia relativos a D, como mostra a proposição

a seguir.

Proposição 1.29 ([BBD82]). Seja D = (D≤0,D≥0) uma t-estrutura não-degenerada em uma categoria

triangulada C. Então:

(i) D≤n = X ∈ C; H iD(X) = 0, para todo i > n, para cada n ∈ Z.

(ii) D≥n = X ∈ C; H iD(X) = 0, para todo i < n, para cada n ∈ Z.

(iii) se X ∈ C for tal que H iD(X) = 0, para todo i ∈ Z, então X = 0.

Capítulo 2

A APLICAÇÃO Φ−1

Baseados em [HRS96b], apresentaremos neste capítulo uma técnica para construção de uma catego-

ria abeliana a partir do coração de uma t-estrutura em uma categoria triangulada C, munido de um par

de torção. Dessa forma, ficará definida uma aplicação, chamada Φ−1, que a cada par (B;(X ,Y)), com

(X ,Y) um par de torção na categoria abeliana B, associa o par (A;(T ,F)), em que A é o coração da

t-estrutura em C induzida por (X ,Y), T = Y e F = X [−1]. Os resultados obtidos por Happel, Rei-

ten e Smalø para a aplicação Φ ganharão uma adaptação para Φ−1 e uma eventual generalização para

t-estruturas quaisquer em categorias trianguladas, que não necessariamente a categoria derivada de uma

categoria abeliana, como em [HRS96b]. Entre esses resultados, destaca-se o teorema 2.10, que nos for-

nece condições necessárias e suficientes para que a imagem via Φ−1 de uma categoria abeliana munida

de um par de torção seja uma categoria de módulos.

2.1 A t-Estrutura induzida por um Par de Torção

A partir de uma t-estrutura não-degenerada D em C e de um par de torção em ht(D), é possível

definir uma nova t-estrutura em C, que será ferramenta essencial para o capítulo seguinte. Sua definição

apresentaremos no lema a seguir.

Proposição 2.1. Seja (X ,Y) um par de torção em ht(D), em que D = (D≤0,D≥0) é uma t-estrutura

não-degenerada em C. Considere D≤0(X ,Y) = C ∈ C; H1

D(C) ∈ X e H iD(C) = 0, para todo i > 1 e

D≥0(X ,Y) = C ∈ C; H0

D(C) ∈ Y e H iD(C) = 0, para todo i < 0. Então D(X ,Y) =

(D≤0

(X ,Y),D≥0(X ,Y)

)é uma

t-estrutura em C. Mais ainda, D(X ,Y) é não-degenerada.

Demonstração. Para (t1), considere C ∈ D≤0(X ,Y) e escreva C = C[1][−1]. Desde que D≤1

(X ,Y) =

D≤0(X ,Y)[−1], basta verificarmos que C[1] ∈ D≤0

(X ,Y). Observe que H iD(C[1]) = H i+1

D (C) = 0, para cada

i≥ 1 e, portanto, C[1] ∈ D≤0(X ,Y).

Quanto à condição (t2), sejam Z ∈D≤0(X ,Y), U ∈D≥1

(X ,Y) e f : Z→U um morfismo não nulo. Uma vez

que D é uma t-estrutura em C, para Z e U podemos construir em C os triângulos τ≤1Zµ−→ Z→ τ≥2Z→

(τ≤1Z)[1] e τ≤1U →U ν−→ τ≥2U → (τ≤1U)[1], em que τ = τD. Além disso, a composta ν f µ é nula, o

que nos permite construir o seguinte diagrama comutativo

τ≤1Z Z τ≥2Z (τ≤1Z)[1]

τ≤1U U τ≥2U (τ≤1U)[1],

µ

τ≤1 f f

ν

17

2. A APLICAÇÃO Φ−1 18

segundo o lema 1.11. Observe que H iD(τ

≥2Z) = 0, se i≤ 1, e H iD(τ

≥2Z) = H iD(Z) = 0, para i≥ 2, já que

Z ∈D≤0(X ,Y). Devido à proposição 1.29, τ≥2Z = 0 e, portanto, µ é um isomorfismo. A comutatividade do

primeiro quadrado do diagrama acima então nos assegura que τ≤1 f é um morfismo não nulo.

Como anteriormente, é possível obter o diagrama comutativo em que as linhas são triângulos em C

τ≤0τ≤1Z τ≤1Z H1D(Z)[−1] (τ≤0Z)[1]

τ≤0τ≤1U τ≤1U H1D(U)[−1] (τ≤0U)[1].

τ≤1 f h[−1]

ρ

Novamente, observe que H iD(τ

≤0U) = 0, para cada i ≥ 1, e H iD(τ

≤0U) = H iD(U) = 0, para cada i ≤ 0,

pois U ∈D≥1(X ,Y). Logo, τ≤0U = 0 e, portanto, ρ é um isomorfismo. Além disso, h= 0, já que H1

D(Z)∈Xe H1

D(U) ∈ Y . Dessa forma, segue da comutatividade do segundo quadrado acima que τ≤1 f = 0, o que

é uma contradição.

Para (t3), considere C ∈ C. Desde que D é uma t-estrutura em C, é possível construir o seguinte

diagrama comutativo em que as linhas são triângulos em C

(τ≥1C)[−1] τ≤0C C τ≥1C

(τ≥1C)[−1] H0D(C) τ≥0C τ≥1C.

1 u 1

γ

Considere 0→ X α−→ H0D(C)

β−→ Y → 0, com X ∈ X e Y ∈ Y , a sequência exata canônica para H0D(C).

Seja f = βγ , então deve existir um morfismo τ≥0C→ cone( f ) tal que o diagrama

(τ≥1C)[−1] H0D(C) τ≥0C τ≥1C

(τ≥1C)[−1] Y cone( f ) τ≥1C

γ

1 β 1

f

comuta em C. Compondo os dois diagramas construídos acima e através do axioma do octaedro, obte-

mos:

cone(g)[−1] cone(g)[−1]

(τ≥1C)[−1] τ≤0C C τ≥1C

(τ≥1C)[−1] Y cone( f ) τ≥1C

cone(g) cone(g).

1

1 βu g 1

1

Agora, note que cone( f ) ∈ D≥0(X ,Y), pois se i < 0, então a sequência exata H i

D(Y )→ H iD(cone( f ))→

H iD(τ

≥1C), obtida por meio do triângulo Y → cone( f )→ τ≥1C→Y [1], nos garante que H iD(cone( f )) =

0, já que H iD(Y ) = 0, para todo i 6= 0, e H i

D(τ≥1C) = 0, para todo i≤ 0, e, de forma análoga, a sequência

exata H−1D (τ≥1C)→ H0

D(Y )→ H0D(cone( f ))→ H0

D(τ≥1C) nos permite concluir que H0

D(cone( f )) 'Y ∈ Y , uma vez que H−1

D (τ≥1C) = 0 = H0D(τ

≥1C) e H0D(Y ) = Y .


Em seguida, vamos mostrar que cone(g)[−1]∈D≤−1(X ,Y). Através do triângulo cone(g)[−1]→ τ≤0C→

Y → cone(g), construímos a sequência exata H iD(Y )→ H i+1

D (cone(g)[−1])→ H i+1D (τ≤0C) e, portanto,

H i+1D (cone(g)[−1]) = 0, para i > 0, já que neste caso H i

D(Y ) = 0 e H i+1D (τ≤0C) = 0. Observe que

H0D(u) é um isomorfismo e, além disso, H0

D(βu)H0D(u)

−1 = β . Dessa forma, deve existir um morfismo

δ : X → H0D(cone(g)[−1]) tal que o diagrama

0 X H0D(C) Y 0

0 H0D(cone(g)[−1]) H0

D(τ≤0C) Y H1

D(cone(g)[−1]) 0

δ

β

H0D(u)−1 1

H0D(βu)

é comutativo em ht(D). De acordo com o Lema da Serpente, δ é um isomorfismo e, consequen-

temente, H0D(cone(g)[−1]) ' X ∈ X . Também, H0

D(βu) é um epimorfismo, o que nos garante que

H1D(cone(g)[−1]) = 0, como desejado.

Resta mostrarmos que D(X ,Y) é não-degenerada. Para isso, consideremos X ∈⋂n∈ZD≤n

(X ,Y). Neste

caso, H iD(X) = 0, para cada i ∈ Z, uma vez que X ∈ D≤i−1

(X ,Y). Desde que D é uma t-estrutura em C,

podemos construir o triângulo τ≤−1X → τ≤0X → H0D(X)→ (τ≤−1X)[1] e, portanto, τ≤0X ' τ≤−1X ,

conforme o corolário 1.8. Em particular, τ≤0X ∈ D≤−1. Prosseguindo com esse argumento, é possível

concluir que τ≤0X ∈D≤n, para todo n ∈ Z, e, sendo D não-degenerada, obtemos τ≤0X = 0. De maneira

similar, pode-se concluir que τ≥1X = 0, o que nos garante que X = 0, finalizando a demonstração.

Nas condições da proposição acima, definamos T = Y e F = X [−1], que são subcategorias plenas

de ht(D(X ,Y)), já que cada T ∈ T satisfaz H iD(T ) = 0, para i 6= 0, e H0

D(T ) = T ∈Y e, de maneira similar,

cada F ∈ F pode ser escrito como X [−1], com X ∈ X , e, portanto, satisfaz H iD(F) = 0, para i 6= 1, e

H1D(F) = X ∈ X . Além disso:

(PT 1) Homht(D(X ,Y))(T ,F) = HomC(T ,F) = 0, pois T = Y ⊆D≤0 e F = X [−1]⊆D≥0[−1] =D≥1;

(PT 2) dado Z ∈ ht(D(X ,Y)), para cada i tal que i > 1 ou i < 0, obtém-se que H iD(Z) = 0 e, portanto,

Z ∈ D≤1 ∩D≥0. Neste caso, τ≤0(Z[1]) = Z[1] e τ≥0Z = Z, donde H0D(Z) = τ≤0τ≥0Z = τ≤0Z e

H1D(Z)[−1] = H0

D(Z[1])[−1] = (τ≥0τ≤0(Z[1]))[−1] = (τ≥0(Z[1]))[−1] = τ≥1(Z[1][−1]) = τ≥1Z.

Agora, sendo D uma t-estrutura em C, para Z deve existir o triângulo

τ≤0Z→ Z→ τ

≥1Z→ (τ≤0Z)[1],

que, devido às considerações feitas acima, é da forma

(∗) H0D(Z)→ Z→ H1

D(Z)[−1]→ H0D(Z)[1],

com T = H0D(Z) ∈ Y = T e F = H1

D(Z)[−1] ∈ X [−1] =F . Além disso, o triângulo (∗) induz em

ht(D(X ,Y)) a sequência exata longa

H−1D(X ,Y)

(F)→ H0D(X ,Y)

(T )→ H0D(X ,Y)

(Z)→ H0D(X ,Y)

(F)→ H1D(X ,Y)

(T ),

em que cada HnD(X ,Y)

corresponde ao funtor cohomologia referente à t-estrutura D(X ,Y). Desde

que T e F são objetos de ht(D(X ,Y)), segue que H−1D(X ,Y)

(F) = 0 = H1D(X ,Y)

(T ), H0D(X ,Y)

(T ) =


T , H0D(X ,Y)

(Z) = Z e H0D(X ,Y)

(F) = F . Logo, 0→ T → Z → F → 0 é uma sequência exata em

ht(D(X ,Y)).

Como consequência das afirmações (PT 1) e (PT 2), obtemos o seguinte corolário.

Corolário 2.2. Sejam D uma t-estrutura não-degenerada em uma categoria triangulada C, (X ,Y) um

par de torção em ht(D) e D(X ,Y) a t-estrutura induzida por (X ,Y). Então (T ,F), em que T = Y e

F = X [−1], define um par de torção em ht(D(X ,Y)).

Em resumo, a partir do coração ht(D) de uma t-estrutura D em uma categoria triangulada e de

um par de torção (X ,Y) em ht(D), foi possível construir uma nova t-estrutura, denotada por D(X ,Y),

e o par de torção (T = Y,F = X [−1]) no coração ht(D(X ,Y)) de D(X ,Y). Nessas condições, define-

se Φ−1(C,D)(ht(D),(X ,Y)) = (ht(D(X ,Y)),(T ,F)). Para o caso em que a categoria triangulada C con-

siderada é a categoria derivada Db(B) de uma categoria abeliana B e D é a t-estrutura natural, Φ−1

corresponde ao processo inverso daquele definido por Happel, Reiten e Smalø, em [HRS96b], cuja apli-

cação Φ associa uma categoria abeliana A, munida de um par de torção (T ,F), à categoria abeliana

B = X · ∈ Db(A);H−1(X ·) ∈ F ,H0(X ·) ∈ T , e H i(X ·) = 0, para cada i 6= 0,−1, munida do par de

torção (X = F [1],Y = T ).Em busca de informações sobre a categoria ht(D(X ,Y)) e o par de torção (Y,X [−1]), obtidos por

meio da aplicação Φ−1, restringiremos o estudo a pares de torção (X ,Y) inclinantes ou coinclinantes,

como definidos a seguir.

Definição 2.3. Sejam B uma categoria abeliana e (X ,Y) um par de torção em B.

(i) X será dita uma classe de torção inclinante se B for cogerada por X , isto é, se para cada objeto

Z ∈ B existirem XZ ∈ X e um monomorfismo Z→ XZ em B.

(ii) Y será dita uma classe livre de torção coinclinante se B for gerada por Y , isto é, se para cada objeto

Z ∈ B existirem YZ ∈ Y e um epimorfismo YZ → Z em B.

Em particular, se a categoria abeliana B for uma categoria de módulos finitamente gerados definidos

sobre uma álgebra (de artin) B, as definições acima poderão ser substituídas simplesmente por:

(i) X será uma classe de torção inclinante se contiver todos os B-módulos injetivos;

(ii) Y será uma classe livre de torção coinclinante se contiver todos os B-módulos projetivos.

De fato, se a classe de torção X for inclinante, para cada B-módulo injetivo I deverão existir um

B-módulo XI ∈ X e um monomorfismo I→ XI em mod B e, portanto, I ∈ X , uma vez que todo mono-

morfismo partindo de módulo injetivo cinde e que X é fechada para somandos diretos.

A recíproca é assegurada pelo fato de que todo B-módulo admite envolvente injetiva.

Exemplo 2.4. (a) Seja A a álgebra associada ao quiver3

1 2 4,

cujo quiver de Auslander-

Reiten é


P(3) =321

M = 42 I(3) = 3

P(1) = 1 P(2) = 21 S(2)

3 42 21

I(1) =3 421

I(2) = 3 42

P(4) =421

N = 32 I(4) = 4

Observe que T = addP(4),M, I(1), I(2), I(3), I(4) e F = addP(1),P(2),P(3),S(2),N defi-

nem um par de torção em mod A, dado pelo A-módulo inclinante T = P(4)⊕ I(1)⊕M⊕ I(4).

Uma vez que T contém todos os A-módulos injetivos, T é uma classe de torção inclinante.

Mais geralmente, dados uma álgebra A e um A-módulo inclinante T , a classe de torção T (T ) é

inclinante, uma vez que T (T ) = Z ∈ mod A;Ext1A(T,Z) = 0 e, portanto, contém todos os A-

módulos injetivos.

(b) Nas condições do item anterior, considere a álgebra B = EndA T , cujo quiver de Auslander-Reiten

é P(3′) = 3′1′

S(2′) I(3′) = 4′3′

P(1′) = 1′ N′ =3′2′1′

P(4′) = I(1′) =4′

3′ 2′1′

M′ =4′3′2′

I(4′) = 4′

P(2′) = 2′1′ S(3′) I(2′) = 4′

2′

O A-módulo T induz em mod B o par de torção (X (T ),Y(T )), em que X (T ) = S(3′),M′, I(2′),I(3′), I(4′) e Y(T ) = P(1′),P(2′),P(3′),P(4′),S(2′),N′. Claramente, Y(T ) é uma classe livre

de torção coinclinante.

Mais geralmente, dados uma álgebra A e um A-módulo inclinante T , a classe livre de torção Y(T )obtida em mod B = EndA T através do processo de inclinação de A por T é coinclinante, já que é

da forma Z ∈ mod B;TorB1 (Z,T ) = 0.

(c) Nem toda classe de torção inclinante forma um par de torção dado por um módulo inclinante.

Considere, por exemplo, a álgebra A associada ao quiver 2 1. O quiver de Auslander-

Reiten de A é:

• • · · ·

• • • · · ·· · ·

· · · • •

· · · • • •

SejamF a componente pós-projetiva e T a subcategoria plena de mod A determinada pelos demais

módulos. Neste caso, T é uma classe de torção inclinante, pois contém todos os A-módulos

injetivos. No entanto, T não é dada por um módulo inclinante, já que não é possível construir um

A-módulo inclinante com somandos nos tubos e não se pode obter um epimorfismo dos demais

módulos em T para um módulo tubular.

Para o caso em que a categoria triangulada considerada é a categoria derivada Db(B) de uma catego-

ria abeliana B e a t-estrutura inicial é a natural em Db(B), é possível estabelecer um comportamento das

classes de torção inclinantes e livres de torção coinclinantes quando submetidas à aplicação Φ−1, como

nos mostra o lema a seguir.


Proposição 2.5. Seja Φ−1(Db(B),D)

(B,(X ,Y)) = (A,(T ,F)), em que D é a t-estrutura natural em Db(B),A= ht(D(X ,Y)), T = Y e F = X [−1]. Então:

(a) se X for uma classe de torção inclinante, então F será uma classe livre de torção coinclinante.

(b) Y for uma classe livre de torção coinclinante, então T será uma classe de torção inclinante.

Demonstração. Uma vez que a demonstração do item (b) pode ser obtida de maneira dual, provare-

mos apenas o item (a). Suponhamos que X é uma classe de torção inclinante e consideremos em A o

complexo X · = (X i,di). Mostraremos, inicialmente, que X · é isomorfo a um complexo X ·, com X i = 0,

para i 6= 0, 1. Em Kb(B), podemos construir o seguinte diagrama comutativo

X · : · · · X−1 X0 X1 X2 · · ·

τ≤1X · : · · · X−1 X0 Ker d1 0 · · ·

X · : · · · 0 X0/ Im d−1 Ker d1 0 · · · ,

d−1 d0 d1

s·

t ·

d−1

1

0

d0

1

π

i

1

d0

em que d0 corresponde ao morfismo induzido por d0 e π é a projeção canônica. Note que os morfismos

s· e t · são quase isomorfismos, o que nos garante que X · é isomorfo a X · em Db(B). Assumiremos,

portanto, que X i = 0, para cada i 6= 0, 1.

Desde que X é cogerador de B, para X0 ∈ B existe um monomorfismo X0→ T0, com T0 ∈ X . Neste

caso, construímos em B a sequência exata curta

(∗) 0→ X0 w−→ T0→ T1→ 0,

em que T0, T1 ∈X , já que X é fechada para quocientes. A sequência em (∗) induz emDb(B) o triângulo

X0 w−→ T0→ T1f−→ X0[1].

Observe que d0[1] f ∈ HomDb(B)(T1,X1[1])' Ext1B(T1,X1) e, portanto, ao morfismo d0[1] f está associ-

ada (via o isomorfismo mencionado) uma sequência exata curta

0→ X1 µ−→ E π−→ T1→ 0

em B, obtida como resultado do pushout de X1 X0 T0.d0

w Em Db(B), obtemos o diagrama

comutativo

(?) T1[−2] X1[−1] E[−1] T1[−1]

X0[−1] X1[−1] X · X0,

d0[−1] f [−2]

f [−2]

µ[−1]

1

π[−1]

g f [−1]

d0[−1] u v

em que a existência do morfismo g : E[−1]→ X · é assegurada pelo terceiro axioma de categorias trian-

guladas, tendo em vista a comutatividade do primeiro quadrado. Uma vez determinado o morfismo g,

basta-nos mostrar que:

(1) E[−1] ∈ F e que


(2) g é um epimorfismo em A.

A fim de verificar (1), recordemos que para E é possível construir o seguinte diagrama comutativo:

0 X0 T0 T1 0

0 X1 E T1 0.

w

d0 e 1T1

µ π

Como T0 ∈ X e X é fechada para quocientes, podemos concluir que Im e ∈ X . Agora, de acordo com

o Lema da Serpente, Coker e' Coker d0 e este último corresponde a H1(X ·), que pertence a X . Logo,

E ∈ X , donde E[−1] ∈ F , como desejado.

Quanto à afirmação (2), seja h : X ·→ Z· um morfismo emA tal que hg = 0. Devido ao diagrama (?),

hu = hgµ[−1] = 0. Neste caso, h deve se fatorar através de v, ou seja, existe um morfismo h′ : X0→ Z·

em Db(B) tal que h′v = h. Dessa forma, 0 = hg = (h′v)g = h′(vg) = h′( f [−1]π[−1]), segundo (?).

Agora, desde que π é um epimorfismo em B, o morfismo π[−1] é um epimorfismo em A e, portanto,

h′ f [−1] = 0. Consideremos em A a sequência exata curta canônica

0→ t(Z·) α−→ Z·β−→ Z·/t(Z·)→ 0,

em que t(Z·)∈T e Z·/t(Z·)∈F . Observe que βh′ ∈HomDb(B)(X0,Z·/t(Z·))'Ext−1

B (X0,Z·/t(Z·)[1])=

0, donde h′ se fatora através de α , isto é, existe emDb(B) um morfismo h′′ : X0→ t(Z·) tal que αh′′ = h′.

Assim, (αh′′) f [−1] = h′ f [−1] = 0 e, portanto, h′′ f [−1] = 0, já que α é um monomorfismo em A.

Neste caso, sendo T0[−1] → T1[−1]− f [−1]−−−−→ X0 w−→ T0 um triângulo em Db(B), existe um morfismo

h′′′ : T0 → t(Z·) tal que h′′′w = h′′. Agora, h′′′ = 0, uma vez que T0 ∈ X e t(Z·) ∈ Y . Logo, h = 0,

o que nos mostra que g é um epimorfismo em A. Consequentemente, F gera A.

As recíprocas dos itens (a) e (b) da proposição acima podem ser obtidas ao assumirmos que B e Aadmitem suficientes injetivos, uma vez que, nessas condições, tendo em vista o teorema 2.6 enunciado a

seguir, pode-se verificar que Φ (como definida em [HRS96b]) e Φ−1 são, de fato, aplicações inversas e,

portanto, a demonstração segue como consequência da Proposição 3.2 (ii) de [HRS96b].

Teorema 2.6. Sejam B uma categoria abeliana, (X ,Y) um par de torção em B e Φ−1(Db(B),D)

(B;(X ,Y))= (A;(T ,F)), em que D é a t-estrutura natural em Db(B) e A = ht(D(X ,Y)). Assuma que B contém

suficientes injetivos e que Y é uma classe livre de torção coinclinante.

(i) Se A contiver suficientes injetivos, então deverá existir uma equivalência triangular G :Db(A)→Db(B) cuja restrição a A corresponde ao funtor identidade de A.

(ii) Se B contiver suficientes projetivos, então deverá existir uma equivalência triangular F :Db(B)→Db(A) cuja restrição a A corresponde ao funtor identidade de A.

Demonstração. É consequência do Teorema 3.3 de [HRS96b] e dos resultados obtidos em [BBD82]

(pg. 79-84).


2.2 Objetos Inclinantes e o Teorema Principal

Apresentaremos a seguir a definição de objeto inclinante, que, segundo [HRS96b], generaliza o con-

ceito de módulo inclinante. Para que a definição seja possível, deveremos considerar uma categoria

abeliana que seja adicionalmente Krull-Schmidt. Ficará claro que cada objeto inclinante determina um

par de torção, no qual estamos principalmente interessados.

Definição 2.7. Seja B uma categoria abeliana Krull-Schmidt. Um objeto T em B será dito inclinante se

existir um par de torção (X ,Y) em B satisfazendo as seguintes condições:

(OI 1) X é uma classe de torção inclinante;

(OI 2) X = Gen T ;

(OI 3) ExtiB(T,X) = 0, para cada X ∈ X e cada i > 0;

(OI 4) Se Z ∈ X for tal que ExtiB(Z,X) = 0, para cada X ∈ X e cada i > 0, então Z ∈ add T ;

(OI 5) Se ExtiB(T,Z) = 0, para cada i≥ 0 e Z ∈ B, então Z = 0.

Nessas condições, diremos que a classe de torção X é dada pelo objeto inclinante T . Torna-se claro,

portanto, que se X for uma classe de torção dada por um objeto inclinante, então X será inclinante.

Dualmente, define-se objeto coinclinante e classe livre de torção dada por um objeto coinclinante.

Algumas propriedades satisfeitas pelos módulos inclinantes podem também ser obtidas para objetos

inclinantes. É o que nos garantem os lemas a seguir.

Lema 2.8. Sejam B uma R-categoria abeliana (R um anel comutativo) e (X ,Y) um par de torção em B.

(a) Se X for dada por um objeto inclinante T , então dpB T ≤ 1.

(b) Se Y for dada por um objeto coinclinante T , então diB T ≤ 1.

Lema 2.9. Sejam B uma R-categoria abeliana (em que R é um anel comutativo) e (X ,Y) um par de

torção em B.

(a) Se X for dada por um objeto inclinante T e Z ∈ B satisfizer ExtiB(T,Z) = 0, para cada i > 0, então

Z ∈ X .

(b) Se Y for dada por um objeto coinclinante T e Z ∈ B satisfizer ExtiB(Z,T ) = 0, para cada i > 0,

então Z ∈ Y .

Em outras palavras, os lemas 2.8 e 2.9 nos garantem que uma classe de torção X em B dada por um

objeto inclinante T é da forma Z ∈ B;Ext1B(T,Z) = 0, como tínhamos para uma classe de torção dada

por um módulo inclinante.

A seguir, apresentaremos o principal resultado deste capítulo. A partir dele, sendo Φ−1(Db(B),D)

(B;(X ,Y))= (ht(D(X ,Y));(T ,F)), em que D é a t-estrutura natural em Db(B), será possível obter condições (ne-

cessárias e suficientes) para que as categorias abelianas B e ht(D(X ,Y)) sejam categorias de módulos

sobre uma álgebra de artin e, também, para que os pares de torção (X ,Y) e (T ,F) sejam dados por um

objeto inclinante ou coinclinante.


Teorema 2.10. Sejam B uma categoria abeliana com suficientes injetivos, (X ,Y) um par de torção

coinclinante em B e

Φ−1(Db(B),D)

(B,(X ,Y)) = (A,(T ,F)),

em que D corresponde à t-estrutura natural em Db(B) e A= ht(D(X ,Y)). Então:

(a) (i) Se T for dada por um objeto inclinante T , então B ' mod End T .

(ii) Se B ' mod Λ, para alguma k-álgebra Λ, então T será dada por um objeto inclinante T e,


(b) (i) Se Y for dada por um objeto coinclinante T , então A' mod End T .

(ii) Se A' mod Λ, para alguma k-álgebra Λ, então Y será dada por um objeto coinclinante T e,


A fim de demonstrar o teorema 2.10, enunciaremos (e provaremos) a seguir um resultado necessário,

que nos garante que, sobre algumas hipóteses adicionais, Φ−1 associa sequências exatas à sequências

exatas.

Lema 2.11. Sejam Φ−1(C,D)(ht(D),(X ,Y)) = (ht(D(X ,Y)),(T ,F)) e (∗) 0→ A α−→ B

β−→C→ 0 em ht(D).Então:

(a) A sequência em (∗) será exata em ht(D), com termos em Y , se, e somente se, (∗) for exata em

ht(D(X ,Y)), com termos em T .

(b) A sequência em (∗) será exata em ht(D), com termos em X , se, e somente se, a sequência

0→ A[−1]α[−1]−−−→ B[−1]

β [−1]−−−→C[−1]→ 0 for exata em ht(D(X ,Y)), com termos em F .

Demonstração: Mostraremos apenas o item (a), já que a demonstração de (b) pode ser obtida de

forma análoga. Suponhamos que a sequência em (∗) é exata em ht(D), com todos os termos em Y . A

fim de provarmos que β é um epimorfismo em ht(D(X ,Y)), consideremos g : C→ X um morfismo em

ht(D(X ,Y)) satisfazendo gβ = 0. Como (T ,F) é um par de torção em ht(D(X ,Y)), existe uma sequência

exata curta

0→ t(X)u−→ X v−→ X/t(X)→ 0,

com t(X) ∈ T e X/t(X) ∈ F . Observe que não há morfismo não nulo de C para X/t(X) e, portanto, g

deve se fatorar através de u, isto é, deve existir em ht(D(X ,Y)) um morfismo h : C→ t(X) tal que uh = g.

Neste caso, uhβ = gβ = 0, donde hβ = 0, já que u é um monomorfismo em ht(D(X ,Y)). Uma vez que

h é um morfismo em ht(D) e que β é, por hipótese, um epimorfismo em ht(D), podemos concluir que

h = 0 e, consequentemente, g = 0, como desejado.

Em seguida, verificaremos que (C,β ) corresponde ao conúcleo do morfismo α em ht(D(X ,Y)). Para

isso, considere em ht(D(X ,Y)) um morfismo h : B→ X tal que hα = 0. Como anteriormente, seja

0→ t(X)u−→ X v−→ X/t(X)→ 0

a sequência exata canônica em ht(D(X ,Y)) para X relativa ao par de torção (T ,F). Observe que não

há morfismo não nulo de B para X/t(X) e, portanto, existe em ht(D(X ,Y)) um morfismo h′ : B→ t(X)

satisfazendo uh′ = h. Assim, uh′α = hα = 0 e, sendo u um monomorfismo em ht(D(X ,Y)), segue que


h′α = 0. Uma vez que (C,β ) é o conúcleo de α em ht(D) e que h′ é um morfismo em ht(D) (tal que a

composição h′α se anula), existe h′′ : C→ t(X) tal que h′′β = h′, donde uh′′β = h, ou seja, h se fatora

através de β , o que finaliza a demonstração da afirmação feita.

As considerações acima nos permitem construir em ht(D(X ,Y)) o seguinte diagrama

A B C 0

0 Ker β B C 0,

α

γ

β

1 1

i β

em que i : Ker β → B é a inclusão canônica e a existência do morfismo γ é garantida pela comutatividade

do segundo quadrado. De acordo com o Lema da Serpente, γ é um epimorfismo e, portanto, Ker β ∈ T ,

já que T é fechada para quocientes. Em particular, Ker β ∈ ht(D). Provaremos a seguir que a sequência

0→ Ker βi−→ B

β−→C→ 0 é também exata em ht(D). Por hipótese, β é um epimorfismo em ht(D). A

fim de concluir que (Ker β , i) é o núcleo de β em ht(D), consideremos um morfismo g : Z→ B em ht(D)satisfazendo βg = 0. Seja

0→ t(Z) u−→ Z v−→ Z/t(Z)→ 0

a sequência exata canônica para Z relativa ao par de torção (X ,Y) de ht(D). Observe que não há

morfismo não nulo de t(Z) para B e, portanto, deve existir em ht(D) um morfismo h : Z/t(Z)→ B tal

que hv = g. Dessa forma, βhv = 0, desde que βg = 0. Além disso, sendo v um epimorfismo em ht(D),podemos concluir que βh = 0. Agora, como h é um morfismo em ht(D(X ,Y)) e (Ker β , i) é o núcleo de

β , existe um morfismo h′ : Z/t(Z)→ Ker β tal que ih′ = h, donde g = ih′v, como desejado.

Nos resta mostrar que i é um monomorfismo em ht(D). Para isso, consideremos um morfismo

g : Y → Ker β em ht(D) tal que ig = 0. Para Y , seja 0→ t(Y ) u′−→ Y v′−→ Y/t(Y )→ 0 a sequência exata

canônica em ht(D) relativa ao par de torção (X ,Y). Uma vez que a composição gu′ se anula, existe

em B um morfismo h : Y/t(Y )→ Ker β satisfazendo hv′ = g. Neste caso, i(hv′) = ig = 0 e, portanto,

ih = 0, pois v′ é um epimorfismo em ht(D). Logo, h = 0, já que i é um monomorfismo em ht(D(X ,Y)) e,

consequentemente, g = 0.

Podemos então construir em ht(D) o seguinte diagrama comutativo

0 A B C 0

0 Ker β B C 0,

α

γ

β

1 1

i β

donde segue que γ é um isomorfismo. Logo, α = iγ é um monomorfismo em ht(D(X ,Y)).

A recíproca tem demonstração bastante similar e pode ser obtida seguindo as seguintes etapas:

• Verificar que α é um monomorfismo em ht(D), considerando para isso um morfismo h : Z→ A em

ht(D) satisfazendo αh = 0 e a sequência exata canônica para Z relativa ao par de torção (X ,Y);

• Mostrar que o par (A,α) é o núcleo do morfismo β em ht(D), novamente levando em conta a

existência da sequência exata canônica relativa ao par de torção (X ,Y) para um objeto Z tal que

há um morfismo δ : Z→ B satisfazendo βδ = 0;

• Garantir a existência de um morfismo γ : Coker α → C em B tal que γπ = β , em que π : B→Coker α é a projeção canônica em ht(D);


• Verificar que a sequência 0→ A α−→ B π−→ Coker α→ 0 é também exata em ht(D(X ,Y)) e, portanto,

concluir que γ é um isomorfismo em ht(D), assegurando que β é um epimorfismo em ht(D).

Tendo os lemas anteriores em vista, podemos demonstrar o teorema 2.10.

Demonstração do teorema 2.10: (a)(i) Suponha que T é dada por um objeto inclinante T . Para

concluirmos que B e mod EndT são categorias equivalentes, basta mostrarmos que T é projetivo e

gerador para B, devido ao Teorema de Morita. Por hipótese, Y é uma classe livre de torção coinclinante

e, portanto, Y gera B. Neste caso, é suficiente verificarmos que T gera Y . Consideremos para isso

Y ∈ Y = T . Uma vez que T = Gen T , existe um epimorfismo g : T m → Y em A, para algum inteiro

positivo m. Seja π : T n→ Y uma add T -aproximação à direita de Y . Observe que π é um epimorfismo

em A, pois g deve se fatorar através de π e g é um epimorfismo, donde podemos construir a sequência

exata

0→ Ker π → T n π−→ Y → 0 (∗)

em A. Agora, dado i > 1, ExtiA(T,Ker π) = 0, já que

Exti−1A (T,Y )→ ExtiA(T,Ker π)→ ExtiA(T,T

n)

é uma sequência exata com termos das pontas nulos, por T ser um objeto inclinante em A. Mais ainda,

Ext1A(T,Ker π) = 0, pois a sequência

HomA(T,T n)HomA(T,π)−−−−−−→ HomA(T,Y )→ Ext1A(T,Ker π)→ Ext1A(T,T

n) = 0

é exata e o morfismo HomA(T,π) é um epimorfismo. Com isso, Ker π ∈ T , o que nos garante que a

sequência exata (∗) tem todos os termos em T . Segue do lema 2.11(a) que (∗) é também uma sequência

exata em B, com termos em Y . Em particular, T gera Y , ou ainda, T gera Y .

Por fim, vejamos que T é projetivo em B. Sejam Z ∈ B e

0→ t(Z)→ Z→ Z/t(Z)→ 0 (?)

a sequência exata canônica para Z relativa ao par de torção (X ,Y). Para i > 0, observe que:

(1) ExtiB(T, t(Z))'HomDb(B)(T, t(Z)[i])'HomDb(A)(T, t(Z)[−1][i+1])' Exti+1A (T, t(Z)[−1]) = 0,

já que dpAT ≤ 1, segundo o lema 2.8;

(2) ExtiB(T,Z/t(Z))'HomDb(B)(T,Z/t(Z)[i])'HomDb(A)(T,Z/t(Z)[i])'ExtiA(T,Z/t(Z))= 0, pois

T é inclinante e Z/t(Z) ∈ T .

A existência da sequência exata em (?) e as afirmações (1) e (2) nos asseguram que ExtiB(T,Z) = 0,

para cada i > 0 e, portanto, T é projetivo. Consequentemente, B e mod EndT são equivalentes.

(ii) Assuma que B ' mod Λ, para alguma k-álgebra Λ. Sendo Y uma classe livre de torção coin-

clinante, dado um Λ-módulo indecomponível projetivo P, existem Y ∈ Y e um epimorfismo Y → P em

mod Λ, o que nos permite concluir que P ∈ Y e, portanto, ΛΛ ∈ Y . Seja T = ΛΛ e vejamos que T é um

objeto inclinante em A. A condição (OI 1) estabelecida na definição de objeto inclinante é satisfeita por

T , pois T é uma classe de torção inclinante, conforme garante a proposição 2.5(b). A fim de mostrarmos


(OI 2), ou seja, que T = Gen T , consideremos Z ∈ T = Y . Em particular, Z pode ser visto como um

Λ-módulo e, portanto, podemos construir uma sequência exata

0→ Ker π → (ΛΛ)n π−→ Z→ 0

em mod Λ, para algum inteiro positivo n, com todos os termos emY , já queY é fechada para submódulos.

De acordo com o lema 2.11(a), essa é também uma sequência exata em A, com termos em T . Logo,

Z ∈ Gen T , ou ainda, T = Gen T .

Consideremos, agora, Z ∈ T e um inteiro positivo i. Observe que ExtiA(T,Z)'HomDb(A)(T,Z[i])'HomDb(Λ)(T,Z[i])' Exti

Λ(T,Z) = 0, já que T = ΛΛ. Com isso, T é Ext-projetivo em T e está verificada

a condição (OI 3).

Em seguida, seja Z ∈ T satisfazendo ExtiA(Z,M) = 0, para cada M ∈ T e cada índice i > 0. A fim

de mostrarmos que Z ∈ add T , verificaremos que Z, visto como Λ-módulo, é projetivo. Seja B ∈ B. Uma

vez que Y é uma classe livre de torção coinclinante, existe uma sequência exata

0→ Y1→ Y0→ B→ 0,

em mod Λ, com Y0, Y1 ∈ Y . Neste caso, a sequência

ExtiΛ(Z,Y0)→ ExtiΛ(Z,B)→ Exti+1Λ

(Z,Y1)

é exata, para cada inteiro i. Além disso, se i > 0,

(1) ExtiΛ(Z,Y0)' HomDb(Λ)(Z,Y0[i])' HomDb(A)(Z,Y0[i])' ExtiA(Z,Y0) = 0, por hipótese, e

(2) Exti+1Λ

(Z,Y1)' HomDb(Λ)(Z,Y1[i+1])' HomDb(A)(Z,Y1[i+1])' Exti+1A (Z,Y1) = 0, novamente

por hipótese.

Logo, ExtiΛ(Z,B) = 0, sempre que tivermos i > 0 e, portanto, Z é projetivo em mod Λ. Como

consequência, segue que Z ∈ add T .

Finalmente, consideremos Z ∈ A tal que ExtiA(T,Z) = 0, para todo i≥ 0. Em particular, para i = 0,

HomA(T,Z)= 0 e então Z ∈F . Nesse caso, 0=Ext1A(T,Z)'HomDb(A)(T,Z[1])'HomDb(Λ)(T,Z[1])'HomΛ(T,Z[1]), o que nos permite concluir que Z[1] = 0, já que todo Λ-módulo não nulo deve admitir

cobertura projetiva. Consequentemente, Z = 0.

As considerações acima nos garantem que T é de fato um objeto inclinante emA e que T é dada por

T , como desejado.

Capítulo 3

ÁLGEBRAS m-QUASE HEREDITÁRIAS E m-QUASE INCLINADAS

Em [HRS96b], Happel, Reiten e Smalø apresentaram uma generalização para as classes das álgebras

inclinadas e canônicas, as chamadas álgebras quase inclinadas, que correspondem às álgebras da forma

End T , em que T é um objeto inclinante em uma categoria hereditária. Ainda em [HRS96b], verificaram

que estas são precisamente aquelas álgebras A que satisfazem as condições (i) dim.gl A ≤ 2 e (ii) para

cada A-módulo indecomponível X , dpA X ≤ 1 ou diA X ≤ 1, chamadas de quase hereditárias. Neste

capítulo, proporemos generalizações para os conceitos de álgebras quase inclinadas e quase hereditárias,

as álgebras m-quase inclinadas e m-quase hereditárias (m≥ 1), e mostraremos que toda álgebra m-quase

inclinada de dimensão global m+ 1 é m-quase hereditária. Em busca de condições para que também

seja obtida a recíproca, que ilustraremos não ser necessariamente verdadeira, serão discutidas algumas

propriedades homológicas das álgebras m-quase inclinadas.

3.1 Álgebras m-Quase Hereditárias

Esta seção será destinada ao estudo das álgebras m-quase hereditárias, cuja definição apresentaremos

a seguir.

Definição 3.1. Uma álgebra A será dita (m,n)-quase hereditária (m≥ 0, n≥ 0) se satisfizer as seguintes

condições:

(i) dim.gl A = m+n e

(ii) para cada A-módulo indecomponível X , dpA X ≤ m ou diA X ≤ n.

Concentraremos nosso estudo ao caso em que n = 1, ou seja, às álgebras (m,1)-quase hereditárias,

que, por simplicidade, chamaremos de m-quase hereditárias. Destacamos que cada uma das condições

acima não pode ser obtida a partir da outra e que, portanto, não pode ser omitida da definição. Considere,

por exemplo, A a k-álgebra de caminhos associada ao quiver

1 2 · · · m+2 m+3,α1 α2 αm+1 αm+2

com a relação αiαi+1 = 0, para cada 1≤ i≤ m+2, em que m > 1. O quiver de Auslander-Reiten de A é

da forma

Pm+1 = Im+2

Pm+3 Sm+2 Sm+1 Sm S2 I1

Pm+2 = Im+3 Pm = Im+1 P1 = I2

29

3. ÁLGEBRAS m-QUASE HEREDITÁRIAS E m-QUASE INCLINADAS 30

e, portanto, dim.gl A = m+ 2, diA S2 ≤ 1 e dpA Si ≤ m+ 3− i, para cada 3 ≤ i ≤ m+ 2. Logo, está

verificada a condição (ii), mas (i) não é obtida, embora A seja (m+ 1)-quase hereditária. Na verdade,

é sempre possível mostrar que uma álgebra que satisfaz somente a condição (ii), com dimensão global

maior que m, é (m+1)-quase hereditária, afirmação garantida pelo lema a seguir.

Lema 3.2. Sejam m um inteiro positivo e A uma álgebra tal que dpA X ≤ m ou diA X ≤ 1, para cada A-

módulo indecomponível X . Então dim.gl A≤ m+2. Em particular, se dim.gl A > m, então A é m-quase

hereditária ou (m+1)-quase hereditária.

Demonstração. Sejam X ∈ ind A e 0→ Ω2(X)→ P1 → P0 → X → 0 o início de uma resolução

projetiva minimal de X . Observe que, para cada somando indecomponível K de Ω2(X), devemos ter

Ext2A(X ,K) 6= 0 e, portanto, diA K ≥ 2. Neste caso, por hipótese, todo somando indecomponível K de

Ω2(X) satisfaz dpA K ≤ m, ou ainda, dpA Ω2(X) ≤ m. Como consequência, dpA X ≤ m+ 2, o que nos

permite concluir que dim.gl A≤ m+2.

Claramente, se dim.gl A = m+ 1, então A é m-quase hereditária e se dim.gl A = m+ 2, então A é

(m+1)-quase hereditária.

Reuniremos, em seguida, alguns lemas básicos que serão úteis para a demonstração de resultados

referentes às álgebras m-quase hereditárias.

Lema 3.3. Seja A uma álgebra tal que dim.gl A≤ m+1. Então:

(i) A subcategoria de mod A que consiste dos A-módulos com dimensão projetiva no máximo m é

fechada para submódulos e extensões.

(ii) A subcategoria de mod A que consiste dos A-módulos com dimensão injetiva no máximo m é

fechada para quocientes e extensões.

Demonstração. Vamos mostrar somente o item (i). Considere a sequência exata (?) 0→ X →Y → Z → 0 em mod A, em que X e Z têm dimensões projetiva no máximo m. Ao aplicarmos o

funtor HomA(_,−) à (?), obtemos a também sequência exata 0 = Extm+1A (Z,−)→ Extm+1

A (Y,−)→Extm+1

A (X ,−) = 0 e, portanto, Extm+1A (Y,−) = 0. Como consequência, dpA Y ≤ m.

Agora, sejam X e Y A-módulos tais que dpA Y ≤ m e existe um monomorfismo f : X → Y . Neste

caso, construímos uma sequência exata 0→ Xf−→ Y → Coker f → 0 em mod A e, portanto, dpA X ≤

maxdpA Y,dpA Coker f −1. Uma vez que dim.gl A≤m+1, devemos ter dpA Coker f −1≤m, o que

nos garante que dpA X ≤ m, como desejado.

Lema 3.4. Sejam A uma k-álgebra e 0→ Xf−→ Y

g−→ Z → 0 uma sequência exata em mod A que não

cinde.

(a) Se X for indecomponível, então para cada somando indecomponível Y ′ de Y , a componente Y ′→ Z

de g será não nula.

(b) Se Z for indecomponível, então para cada somando indecomponível Y ′ de Y , a componente X→Y ′

de f será não nula.


Demonstração. Uma vez que (b) pode ser obtido de forma análoga, mostraremos apenas o item (a).

Suponha que X é indecomponível e que existe um somando indecomponível Y1 de Y tal que Y1 →Yg−→ Z

é o morfismo nulo. Escrevamos (?) 0→ X

( f1f2

)−−−→ Y1⊕Y2

(0 g2 )−−−→ Z→ 0. Neste caso, conforme o lema

1.10, f1 é um epimorfismo que cinde e, portanto, a sequência exata 0→ Ker f1→ Xf1−→ Y1→ 0 cinde.

Dessa forma, X ' Ker f1⊕Y1, o que nos permite concluir que Ker f1 = 0, já que X e Y1 são inde-

componíveis. Consequentemente, f1 é um isomorfismo, com inversa denotada por h1. Observe que

( h1 0)(

f1f2

)= h1 f1 = 1X , donde (?) cinde, o que é uma contradição.

Lema 3.5 ([HRS96b]). Sejam A uma álgebra e f : X → Y um morfismo de A-módulos que não é mono-

morfismo nem epimorfismo. Sejam ainda f : X → Im f a correstrição de f e i : Im f → Y a inclusão.

Então existem um A-módulo Z e morfismos f ′ : X→ Z e g′ : Z→Y tais que 0→ X

(ff ′

)−−−→ Im f ⊕Z

( i g′ )−−−→Y → 0 é uma sequência exata se, e somente se, 0→ Ker f → X

f−→ Y → Coker f → 0 é o elemento nulo

em Ext2A(Coker f ,Ker f ).

Observação 3.6. Como no lema 3.5, sejam f : X → Y um morfismo não nulo de A-módulos que não é

monomorfismo nem epimorfismo, f : X → Im f a correstrição de f e i : Im f → Y a inclusão. Suponha

que X e Y são indecomponíveis e que 0→ Ker f → Xf−→ Y → Coker f → 0 é o elemento nulo em

Ext2A(Coker f ,Ker f ). Podemos então construir em mod A o seguinte diagrama comutativo com linhas

e colunas exatas

0 0

Ker f Ker f

0 X Z Coker f 0

0 Im f Y Coker f 0

0 0,

1

u

f ′

f

v

g′ 1

i w

que é tal que a sequência exata (?) 0→ Xf ′−→ Z v−→ Coker f → 0 não cinde. De fato, se esse não for o

caso, deve existir um morfismo v′ : Coker f → Z satisfazendo vv′ = 1Coker f . Assim, (∗) wg′v′ = vv′ = 1,

o que nos permite concluir que w é um epimorfismo que cinde e, portanto, Im f ⊕ Im (g′v′) = Y . Sendo

Y indecomponível, Im f = 0 ou Im (g′v′) = 0, e, uma vez que f é não nulo, devemos ter Im (g′v′) = 0.

Dessa forma, segue de (∗) que Coker f = 0, ou ainda, f é um epimorfismo, o que é uma contradição.

Nessas condições, de acordo com o lema 3.4, se Coker f for indecomponível, então, para cada somando

indecomponível Z′ de Z, a componente X → Z′ do morfismo f ′ será não nula.

Analogamente, conclui-se que a sequência exata 0→ Ker f u−→ Zg′−→ Y → 0 não cinde e, portanto,

para cada somando indecomponível Z′ de Z, a componente Z′→Y do morfismo g′ será não nula se Ker f

for indecomponível.


Em seguida, apresentaremos o primeiro resultado sobre as álgebras m-quase hereditárias, que garante

que não há morfismo não nulo de um módulo indecomponível de dimensão projetiva m+ 1 para um

indecomponível de dimensão injetiva maior ou igual a 2.

Lema 3.7. Sejam A uma álgebra m-quase hereditária e X e Y A-módulos indecomponíveis tais que

dpA X = m+1 e diA Y ≥ 2. Então HomA(X ,Y ) = 0.

Demonstração. Suponhamos que existe um morfismo não nulo f : X → Y , em que X e Y são A-

módulos indecomponíveis tais que dpA X =m+1 e diA Y ≥ 2. Entre todas as triplas (X ,Y, f : X→Y ) que

cumprem as três condições estabelecidas acima, escolhamos aquela (X ,Y, f : X→Y ) tal que `(X)+`(Y )

é mínimo. Desde que A é m-quase hereditária, dpA Y ≤ m e, portanto, dpA Im f ≤ m, segundo o

lema 3.3. Dessa forma, f não é um monomorfismo, já que, caso contrário, Im f ' X , mas dpA X =

m+ 1. Por absurdo, assumamos que f é um epimorfismo. Neste caso, construímos a sequência exata

(∗) Extm+1A (Y,−)→ Extm+1

A (X ,−)→ Extm+1A (Ker f ,−)→ Extm+2

A (Y,−) = 0, obtida ao aplicarmos o

funtor HomA(_,−) à sequência exata 0→ Ker f → Xf−→ Y → 0. Uma vez que dpA Y ≤ m, o primeiro

termo de (∗) se anula e, portanto, Extm+1A (Ker f ,−) 6= 0, ou ainda, dpA Ker f = m + 1. Sejam K

um somando indecomponível de Ker f , com dpA K = m+ 1, e π : Ker f → K a projeção canônica.

Consideremos o pushout de K Ker f X ,π

i dado pelo seguinte diagrama comutativo

0 Ker f X Y 0

0 K X ′ Y 0.

i

π 1

j g

Observe que Extm+1A (X ′,−) 6= 0, pois Extm+1

A (K,−) 6= 0 e a sequência

0 = Extm+1A (Y,−)

Extm+1A (g,−)

−−−−−−−→ Extm+1A (X ′,−)

Extm+1A ( j,−)

−−−−−−−→ Extm+1A (K,−)→ 0

é exata. Neste caso, deve existir um somando indecomponível X ′′ de X ′ com dpA X ′′ = m+ 1. Além

disso, a sequência exata 0→ Kj−→ X ′

g−→Y → 0 não cinde, pois, caso contrário, existiria um epimorfismo

que cinde X → K e, sendo X indecomponível, X = K, uma contradição. Dessa forma, desde que K

é indecomponível, é consequência do lema 3.4 que para cada somando indecomponível M de X ′, a

componente M → Y do morfismo g : X ′ → Y é não nula e, em particular, há um morfismo não nulo

X ′′ → Y . Devido à escolha de X e Y , `(X) + `(Y ) ≤ `(X ′′) + `(Y ). Agora, `(X ′′) + `(Y ) ≤ `(X ′) +

`(Y ) ≤ `(X) + `(Y ) e, portanto, `(X ′) = `(X), ou ainda, Ker f = K, o que nos mostra que Ker f é

indecomponível. Logo, diA Ker f ≤ 1 e, uma vez que diA Y ≤ maxdiA X ,diA Ker f − 1, devemos

ter diA Y ≤ 1, o que é um absurdo. Isso finaliza a verificação de que f também não é um epimorfismo.

Nessas condições, construímos a sequência exata

0→ Ker f → Xf−→ Y → Coker f → 0

em Ext2A(Coker f ,Ker f ). Como anteriormente, é possível mostrar que Ker f é um A-módulo inde-

componível, com dpA Ker f = m+1, já que os mesmos argumentos podem ser aplicados quando subs-

tituímos Y por Im f (recordamos que dpA Im f ≤ m). Sendo A m-quase hereditária, diA Ker f ≤ 1, ou

ainda, Ext2A(Coker f ,Ker f ) = 0. Em virtude do lema 3.5, devem existir um A-módulo Z e morfismos

f ′ : X → Z e g′ : Z→ Y tais que a sequência 0→ X

(ff ′

)−−−→ Im f ⊕Z

( i g′ )−−−→ Y → 0 é exata em mod A, em


que f corresponde à correstrição de f e i à inclusão. Assim, também são exatas as sequências

Extm+1A (Im f ⊕Z,_)→ Extm+1

A (X ,_)→ Extm+2A (Y,_) = 0

e Ext2A(_, Im f ⊕Z)→ Ext2A(_,Y )→ Ext3A(_,X) = 0

e, portanto, dpA Z = m+ 1, pois dpA Im f ≤ m, e diA(Im f ⊕ Z) ≥ 2. Agora, diA Im f ≤ 1, já que

diA Im f ≤maxdiA X ,diA Ker f −1 ≤ 1, donde diA Z ≥ 2. Dessa forma, existem somandos indecom-

poníveis Z′ e Z′′ de Z tais que dpA Z′ = m+1 e diA Z′′ ≥ 2. Além disso, conforme a observação 3.6, as

componentes Z′→Y de g′ e X→ Z′′ de f ′ são não nulas e, desde que `(Z′)+`(Z′′)< `(X)+`(Y ), deve-

mos ter `(Z)′ < `(X) ou `(Z′′)< `(Y ), isto é, `(Z′)+`(Y )< `(X)+`(Y ) ou `(X)+`(Z′′)< `(X)+`(Y ).

Ambos os casos contradizem a minimalidade da soma dos comprimentos `(X)+ `(Y ), finalizando a de-

monstração.

Para uma álgebra A e m ∈N, definamos LmA = X ∈ ind A; dpA Y ≤m, para cada antecessor Y de X

eRA = X ∈ ind A; diA Y ≤ 1, para cada sucessor Y de X. Quando m = 1, tais subcategorias plenas de

ind A correspondem, respectivamente, às partes esquerda e direita de mod A, definidas por Happel, Reiten

e Smalø, em [HRS96b], ferramentas importantes para classificação de diversas classes de álgebras. Em

seguida, mostraremos que se A for m-quase hereditária, então todo A-módulo indecomponível X com

diA X ≥ 2 deverá pertencer a LmA , o que nos permitirá concluir que ind A = Lm

A ∪RA.

Lema 3.8. Seja A uma álgebra m-quase hereditária. Então:

(i) Se X ∈ ind A for tal que diA X ≥ 2, então X ∈ LmA .

(ii) Se, para Y ∈ ind A, existir X ∈ mod A tal que diA X ≥ 2 e Y X , então deverá existir Z ∈ ind A,

com diA Z ≥ 2 e tal que HomA(Y,Z) 6= 0.

Demonstração. (i) Assumamos por ora que já tenhamos demonstrado o item (ii). Sejam X ∈ ind A,

com diA X ≥ 2, e Y ∈ ind A tal que existe um caminho Y X . Neste caso, em virtude de (ii), deve existir

Z ∈ ind A, com diA Z ≥ 2 e HomA(Y,Z) 6= 0. De acordo com o lema 3.7, dpA Y ≤m e, portanto, X ∈ LmA .

(ii) Mostraremos, inicialmente, que se Yf1−→ X1

f0−→ X for um caminho em ind A, com diA X ≥ 2,

então existirá Z ∈ ind A, com diA Z ≥ 2, tal que HomA(Y,Z) 6= 0. Para isso, suponhamos que existem

Y ∈ ind A e um caminho Yf ′1−→ X ′1

f ′0−→ X ′ em ind A, com diA X ′ ≥ 2 e HomA(Y,Z) = 0, para todo Z ∈ ind A

com diA Z ≥ 2. Entre todos os caminhos em ind A que cumprem as condições acima, escolhamos

aquele Yf1−→ X1

f0−→ X em que `(X1) é mínimo. Observe que, em particular, diA X1 ≤ 1 e f0 f1 = 0 e,

portanto, f0 não é um monomorfismo. Suponhamos, por absurdo, que f0 é um epimorfismo. Neste

caso, construímos a sequência exata 0→ Ker f0i−→ X1

f0−→ X → 0 e, desde que f0 f1 = 0, deve existir um

morfismo θ : Y → Ker f0 satisfazendo iθ = f1, donde θ 6= 0. Sejam K um somando indecomponível de

Ker f0 tal que HomA(Y,K) 6= 0 e π : Ker f0→ K a projeção canônica. Considere

0 Ker f0 X1 X 0

0 K X ′1 X 0

i

π

f0

1

u v

o pushout de K Ker f0 X1.π

i Sendo h ∈ HomA(Y,K) não nulo, a composta uh é não

nula, pois u é um monomorfismo. Dessa forma, existe um somando indecomponível X ′′1 de X ′1 tal que


HomA(Y,X ′′1 ) 6= 0. Além disso, como no lema 3.7, a sequência exata 0→ K u−→ X ′1v−→ X → 0 não cinde

e, portanto, para cada somando indecomponível M de X ′1, a componente M → X de v é não nula, em

particular, X ′′1 → X ′1 → X é não nula. Nessas condições, obtemos o caminho Y → X ′′1 → X em ind A,

o que nos permite concluir que `(X1) ≤ `(X ′′1 ), devido à escolha do caminho Yf1−→ X1

f0−→ X . Agora,

`(X ′′1 ) ≤ `(X ′1) ≤ `(X1) e, portanto, `(X ′1) = `(X1), ou ainda, Ker f0 = K é indecomponível. Logo,

diA Ker f0 ≤ 1 e, consequentemente, diA X ≤ maxdiA X1,diA Ker f0 − 1 ≤ 1. Esta contradição

finaliza a demonstração de que f0 não é um epimorfismo. Consideremos, então, a sequência exata

0→ Ker f0 → X1f0−→ X → Coker f0 → 0 em Ext2A(Coker f0,Ker f0). Como acima, pode-se verifi-

car que HomA(Y,Ker f0) 6= 0 e que Ker f0 é indecomponível, o que nos garante que diA Ker f0 ≤ 1 e,

portanto, Ext2A(Coker f0,Ker f0) = 0. De acordo com o lema 3.5, existem um A-módulo Z e morfismos

f ′ : X1→ Z e g′ : Z→ X tais que 0→ X1

(f0f ′

)−−−→ Im f0⊕Z

( i g′ )−−−→ X → 0 é uma sequência exata, em que

f0 é a correstrição de f0 e i é a inclusão. Uma vez que X é indecomponível, segue da observação 3.6 que,

para cada somando indecomponível Z′ de Z, a componente Ker f0→ Z′ de Ker f0→ Z é não nula, ou

seja, HomA(Ker f0,Z′) 6= 0. Além disso, diA(Im f0⊕Z) ≥ 2, já que a sequência Ext2A(_, Im f0⊕Z)→Ext2A(_,X)→ Ext3(_,X1) = 0 é exata. Agora, diA Im f0 ≤ maxdiAX1,diA Ker f0−1 ≤ 1 e, portanto,

diA Z ≥ 2. Neste caso, existe um somando indecomponível Z′ de Z com diA Z′ ≥ 2. Construímos então

um caminho Y → Ker f0 → Z′ em ind A, que satisfaz diA Z′ ≥ 2. Logo, `(X1) ≤ `(Ker f0), isto é,

Im f0 = 0, o que é uma contradição.

O resultado então segue por indução no comprimento de um caminho com início em Y e final em X ,

com diA X ≥ 2.

Como consequência dos lemas 3.7 e 3.8 obtemos o seguinte resultado.

Teorema 3.9. Seja A uma álgebra m-quase hereditária. Então ind A = LmA ∪RA.

Demonstração. Sejam Z ∈ ind A \LmA e Y ∈ ind A tal que há um caminho Z Y em ind A. Se

diA Y ≥ 2, então Y ∈ LmA , devido ao lema 3.8. Agora, uma vez que Lm

A é fechada para antecessores,

Z ∈ LmA , o que é uma contradição. Logo, diA Y ≤ 1 e, portanto, Z ∈RA.

Em virtude do teorema acima, é também possível mostrar um resultado similar ao item (i) do lema

3.8, enunciado a seguir.

Lema 3.10. Seja A uma álgebra m-quase hereditária. Se X ∈ ind A for tal que dpA X = m+ 1, então

X ∈RA.

Recordamos que, dada uma álgebra A, uma trissecção de ind A é um tripla (A,B,C) de subcatego-

rias plenas de ind A, duas a duas disjuntas, tais que ind A =A∪B∪C e HomA(B,A) = HomA(C,B) =HomA(C,A) = 0. Se A for m-quase hereditária, o teorema 3.9, somado ao fato de que Lm

A eRA são fecha-

das para antecessores e sucessores, respectivamente, nos permite construir a trissecção

(LmA \RA,Lm

A ∩RA,RA \LmA ) em ind A, já que HomA(Lm

A ∩RA,LmA \RA) = HomA(RA \Lm

A ,LmA ∩RA) =

HomA(RA \LmA ,Lm

A \RA) = 0.

Corolário 3.11. Seja A uma álgebra m-quase hereditária. Então (LmA \RA,Lm

A ∩RA,RA \LmA ) é uma

trissecção de ind A.


3.1.1 Alguns problemas a serem investigados

Introduzindo alguns conceitos básicos. Seja A uma k-álgebra. Um caminho (?) X0f0−→ X1

f1−→ ·· · fr−1−−→Xr em ind A será dito um ciclo se existirem i, j ∈ 0, · · · ,r, com i 6= j, tais que Xi ' X j. Também, (?)

será dito refinável se existir um caminho da forma (∗) X0→ X0,1→ ··· → X0,r0 → X1→ X1,1→ ··· →X1,r1 → X2→ ··· → Xr em ind A. Se, mais ainda, todos os morfismos deste caminho forem irredutíveis,

diremos que (∗) é um refinamento de morfismos irredutíveis, e que (?) pode ser refinado a um caminho de

morfismos irredutíveis. Por fim, um caminho X0f0−→ X1

f1−→ ·· · fr−1−−→ Xr em ind A de morfismos irredutíveis

é dito seccional se X j 6' τX j+2, para todo j ∈ 0, · · · ,r−2, e X0 6' τXr.

Sobre tais caminhos, são resultados conhecidos:

(1) se X0f0−→ X1

f1−→ ·· · fr−1−−→ Xr for um caminho seccional em ind A, então a composta fr−1 · · · f0 será

não nula;

(2) não existem ciclos seccionais;

(3) de acordo com o Lema 2 de [Sko94], para uma álgebra A e A-módulos M1, · · · , Mr, dois a dois não

isomorfos, tais que HomA(Mi,τAM j) = 0 para todos 1≤ i, j ≤ r, tem-se r ≤ rk K0(A).

Fixado um inteiro positivo m, a fim de determinarmos um módulo satisfazendo a propriedade dos mó-

dulos injetivos com respeito à igualdade X ∈mod A; dpA X ≤ 1= X ∈mod A; HomA(D(AA),τX) =

0, consideramos Em de forma a termos X ∈mod A; dpA X ≤m= X ∈mod A; HomA(Em,τX) = 0.Ainda não foi possível garantirmos que Em existe e é um módulo. Se esse for o caso, poderemos obter

os seguintes resultados.

Lema 3.12 ([HRS96b]). Sejam A uma álgebra e X0f0−→ X1

f1−→ ·· · fr−1−−→ Xr um caminho em ind A. Se

fi ∈ rad ∞(Xi,Xi+1), para algum 0≤ i≤ r−1, então para cada par de números s e t existem caminhos de

morfismos irredutíveis X0→ X0,1→···→ X0,s e Xr,t→ Xr,t−1→···→ Xr e um caminho X0,s→···→ Xr,t

em ind A.

Lema 3.13. Seja A uma álgebra m-quase hereditária que admite um A-módulo Em como descrito acima.

Se Ef0−→ X1

f1−→ ·· · fr−1−−→ Xrfr−→ P for um caminho em ind A, em que E ∈ add Em e P é projetivo, então

fi 6∈ rad ∞(Xi,Xi+1), para todo 0≤ i≤ r.

Demonstração. Suponhamos que existem E ∈ add Em, um A-módulo projetivo P e um caminho

Ef0−→ X1

f1−→ ·· · fr−1−−→ Xrfr−→ P em ind A com algum fi ∈ rad ∞(Xi,Xi+1), em que 0≤ i≤ r. Seja n o posto

do grupo de Grothendieck de A, usualmente denotado por K0(A). De acordo com o lema 3.12, existem

caminhos (∗) E = N0 → N1 → ·· · → Nn e (∗∗) Mn → Mn−1 → ·· · → M1 → M0 = P de morfismos

irredutíveis em ind A, e um caminho Nn→ ·· · →Mn.

Em seguida, mostraremos que existem i, j ∈ 0, · · · ,n tais que τ−Mi 'M j. Para isso, assumamos

ao contrário que τ−Mi 6'M j, para todos i, j ∈ 0, · · · ,n. Dessa forma, o caminho em (∗∗) é seccional

e, portanto, Mi 6'M j, para i 6= j, uma vez que não existem ciclos seccionais, como recordamos acima em

(2). Entãon⊕

i=0

Mi tem n+1 somandos indecomponíveis não isomorfos, donde HomA

(n⊕

i=0

Mi,n⊕

i=0

τMi

)6=

0, segundo (3). Além disso, devido à (1), obtemos que HomA(Mi,P) 6= 0, para cada 0≤ i≤ r, e, portanto,

diA τMi ≥ 2, sempre que τMi 6= 0. Agora, como n+1 > rk K0(A), deve existir j ∈ 0, · · · ,r com τM j 6=


0, já que rk K0(A) coincide com o número de A-módulos projetivos indecomponíveis não isomorfos.

Consideremos i ∈ 0, · · · ,r tal que Mi→ τM j é não nulo, cuja existência está assegurada por (3). Para

cada p ∈ 0, · · · ,n, podemos construir o caminho Np Mi→ τM j em ind A e, desde que diA τM j ≥ 2,

existe Z ∈ ind A, com diA Z ≥ 2 e HomA(Np,Z) 6= 0, conforme o lema 3.8. É então consequência

do lema 3.7 que dpA Np ≤ m, para cada p. Mostraremos, a seguir, que τ−Np 6' Nq, para todos p,

q∈0, · · · ,n e concluir, portanto, que (∗) também é seccional. Suponhamos que τ−Np'Nq, para algum

p e algum q, e consideremos o menor p tal que τ−Np ' Nq, para algum q. Em particular, o caminho

E = N0 → N1 → ··· → Np é seccional e, novamente por (1), HomA(E,Np) 6= 0, o que nos permite

concluir que dpA τ−Np = m + 1, uma contradição, finalizando a verificação de que (∗) é seccional.

Nessas condições, como anteriormente, obtemos quen⊕

p=0

Np tem n+ 1 somandos indecomponíveis não

isomorfos e que τ−Nk 6= 0, para algum k ∈ 0, · · · ,n, já que n + 1 > rk K0(A). Além disso, para

cada p ∈ 0, · · · ,r, pode-se verificar que HomA(E,Np) 6= 0, ou ainda, dpA τ−Np = m+ 1, sempre que

τ−Np 6= 0. Em particular, dpA τ−Nk = m+ 1. Também, segundo (3), HomA

(n⊕

p=0

τ−Np,n⊕

p=0

Np

)6= 0

e, portanto, deve existir ` ∈ 0, · · · ,n tal que HomA(τ−Nk,N`) 6= 0. Logo, construímos em ind A o

caminho τ−Nk → N` Mi→ τM j, com dpA τ−Nk = m+ 1 e diA τM j ≥ 2. Neste caso, em virtude do

lema 3.8, existe Z ∈ ind A, com diA Z ≥ 2 e HomA(τ−Nk,Z) 6= 0, o que contradiz o lema 3.7. Isso finaliza

a demonstração de que τ−Mi 'M j, para algum i e algum j em 0, · · · ,n.De maneira análoga, existem p, q ∈ 0, · · · ,n tais que τNp ' Nq. Sejam p o menor número em

0, · · · ,n tal que Np ' τNq, para algum q ∈ 0, · · · ,n, e i o menor número em 0, · · · ,n tal que

Mi ' τ−M j, para algum j ∈ 0, · · · ,n. Então HomA(E,Np) 6= 0 e HomA(Mi,P) 6= 0, o que nos garante

que dpA τ−Np = dpA Nq = m+ 1 e diA τMi = diA M j ≥ 2. Agora, construímos o caminho Nq M j

em ind A e, segundo o lema 3.8, existe Z ∈ ind A, com diA Z ≥ 2 e HomA(Nq,Z) 6= 0, o que novamente

contradiz o lema 3.7. Como consequência segue que cada fi 6∈ rad ∞(Xi,Xi+1), como desejado.

Tendo em vista o lema 3.13, se A for uma álgebra m-quase hereditária para a qual existe um A-

módulo Em, então um caminho E → X1→ ··· → Xr → P em ind A, com E ∈ add Em e P um A-módulo

projetivo, poderá ser refinado a um caminho de morfismos irredutíveis. A seguir, mostraremos que todos

tais caminhos são, adicionalmente, seccionais.

Proposição 3.14. Seja A uma álgebra m-quase hereditária e assuma que existe um A-módulo Em como

descrito acima. Considere ainda (?) Ef0−→ X1

f1−→ X2→ ··· → Xrfr−→ P um caminho de morfismos irredu-

tíveis em ind A, em que E ∈ add Em e P é projetivo. Então (?) é seccional.

Demonstração. Por absurdo, suponhamos que existem E ∈ add Em, um A-módulo projetivo P e um

caminho de morfismos irredutíveis (?) Ef0−→ X1

f1−→ X2→ ··· → Xrfr−→ P em ind A não seccional. Seja n

o maior número em 0, · · · ,r−2 tal que Xn = τXn+2. Sem perda de generalidade, assumamos que cada

Xi, com i ∈ n+2, · · · ,r, não é projetivo. Neste caso, e desde que cada fi é irredutível, construímos em

ind A o caminho (∗) τXn+2→ ·· ·τXr→ Xr−1→ Xr→ P de morfismos irredutíveis, ou ainda,

Ef0−→ X1

f1−→ X2→ ··· → Xn = τXn+2→ ·· · → τXr→ Xr−1fr−1−−→ Xr

fr−→ P,

obtido ao agregarmos ao caminho (∗) a parte inicial de (?). Agora, observe que fr : Xr → P é um

monomorfismo, pois é irredutível e Xr não é projetivo. Dessa forma, de acordo o lema 3.3, dpA Xr ≤ m


e, portanto, HomA(E,τXr) = 0, o que nos garante que o caminho

Ef0−→ X1

f1−→ ·· · fn−1−−→ Xn = τXn+2τ fn+2−−−→ ·· · τ fr−1−−−→ τXr

não é seccional. Reescrevamos este último por E = Z0f0−→ Z1

f1−→ ·· · fn−1−−→ Znτ fn+2−−−→ ·· · τ fr−1−−−→ Z` = τXr.

Seja j o menor número em 0, · · · , `−2 tal que Z j = τZ j+2, em particular, E = Z0→ Z1→ ·· · → Z j→Z j+1 é seccional. Logo, HomA(E,τZ j+2) = HomA(E,Z j) 6= 0, ou ainda, dpA Z j+2 = m+1. Além disso,

diA τXr ≥ 2, uma vez que HomA(Xr,P) 6= 0. Nessas condições, segue do lema 3.8 que existe U ∈ ind A,

com diA U ≥ 2, tal que HomA(Z j+2,U) 6= 0, o que é uma contradição, segundo o lema 3.7.

Como consequência do lema 3.13 e da proposição 3.14, para uma álgebra m-quase hereditária A,

obtém-se que todo A-módulo projetivo deve pertencer a add LmA e Em ∈ addRA, como mostraremos nas

proposições a seguir.

Proposição 3.15. Seja A uma álgebra m-quase hereditária que admite um A-módulo Em como descrito

acima. Então AA ∈ add LmA .

Demonstração. Seja P um A-módulo projetivo indecomponível e suponha, por absurdo, que P 6∈ LmA .

Neste caso, deve existir X ∈ ind A com X P e dpA X = m+1. Logo, HomA(E,τX) 6= 0, para algum

E ∈ add Em, o que nos permite construir o caminho E→ τXf−→U

g−→ X P, em que f e g são morfismos

quase cindidos à esquerda e à direita, respectivamente. Escolhamos U ′ um somando indecomponível de

U e f ′ : τX →U ′ e g′ : U ′→ X componentes de f e de g, que são morfismos irredutíveis. Dessa forma,

temos o caminho E→ τXf ′−→U ′

g′−→ X P em ind A, que, segundo o lema 3.13, pode ser refinado a um

caminho de morfismos irredutíveis (?) E τXf ′−→U ′

g′−→ X P. Agora, de acordo com a proposição

3.14, (?) é seccional, o que é uma contradição. Consequentemente, P ∈ LmA .

Proposição 3.16. Seja A uma álgebra m-quase hereditária que admite um A-módulo Em como descrito

acima. Então Em ∈ addRA.

Demonstração. Como na demonstração da proposição anterior, basta supormos que existe um so-

mando indecomponível E de Em que não pertence a RA e, a partir do A-módulo indecomponível Z tal

que E Z e diA Z ≥ 2, construímos um caminho de morfismos de irredutíveis seccional.

Em resumo, os resultados mostrados acima nos garantem que se A for uma álgebra m-quase hereditá-

ria, então (1) ind A = LmA ∪RA e se, mais ainda, A admitir um A-módulo Em com a propriedade descrita

acima, então (2) AA ∈ add LmA , (3) Em ∈ addRA e (4) todo caminho da forma E→ X1→ ·· · → Xr→ P

em ind A, em que E ∈ add Em e P é projetivo, pode ser refinado a um caminho de morfismos irredutíveis

e todo tal caminho é seccional. Além disso, a afirmação (2) quando assumida sobre uma álgebra A com

dim.gl A = m+1 permite concluir que A é m-quase hereditária. É o que nos mostra o teorema a seguir.

Teorema 3.17. As seguintes afirmações são equivalentes para uma álgebra A com dim.gl A = m+ 1 e

que admite um A-módulo Em como descrito anteriormente:

(i) A é m-quase hereditária.

(ii) LmA contém todos os A-módulos indecomponíveis projetivos.


Demonstração. A proposição 3.15 nos garante que (i) implica (ii). Vejamos que (ii) implica (i).

Para isso, consideremos um A-módulo indecomponível X tal que X /∈ LmA . Neste caso, não existe um

caminho da forma X P, para cada A-módulo projetivo P e, portanto, HomA(τ−X ,AA) = 0, ou ainda,

diA X ≤ 1. Consequentemente, cada A-módulo indecomponível X satisfaz dpA X ≤ m ou diA X ≤ 1, o

que nos garante que A é m-quase hereditária. Observe que a hipótese referente à existência do A-módulo

Em não foi necessária nesta implicação.

3.2 Álgebras m-Quase Inclinadas

Definição 3.18. Uma álgebra A será dita m-quase inclinada (m ≥ 1) se existirem triplas (Ai,Ti,Ai+1 =

EndAi Ti), com 0≤ i≤ m−1, tais que A0 é uma categoria hereditária, T0 é um objeto inclinante em A0,

cada Ti, com i 6= 0, é um Ai-módulo inclinante cindido e A = Am.

Nas condições da definição acima e em termos da aplicação Φ apresentada em [HRS96b], podemos

assumir sem prejuízos para o que faremos em seguida que

Φ(mod Ai;(T (Ti),F(Ti))) = (mod Ai+1;(X (Ti),Y(Ti))),

para cada 0 ≤ i ≤ m− 1. De fato, seja Φ(mod Ai;(T (Ti),F(Ti))) = (E ;(U ,V)). De acordo com o

Teorema 3.3 de [HRS96b], que corresponde ao teorema 2.6 para Φ, existe uma equivalência triangular

G : Db(Ai)→ Db(E) cuja restrição à subcategoria E de Db(Ai) corresponde ao funtor identidade. É

também conhecido que o funtor F = L(_⊗Ti) é uma equivalência triangular de Db(Ai+1) para Db(Ai)

cujas restrições às subcategorias Y(Ti) e X (Ti)[−1] de Db(Ai+1) definem equivalências Y(Ti)→ T (Ti)

e X (Ti)[−1]→F(Ti). Dessa forma, a composta G F determina uma equivalência entre mod Ai+1 e Eque associa a subcategoria Y(Ti) de mod Ai+1 à subcategoria V de E e X (Ti) à U .

Uma vez que estamos identificando mod Ai+1 e E , está determinada uma equivalência triangular

Db(Ai)→Db(Ai+1) cuja restrição a mod Ai+1 é o funtor identidade.

Conforme a proposição 1.1, a dimensão global de uma álgebra m-quase inclinada não deve ultrapas-

sar m+ 1. Mostraremos no teorema a seguir que se a dimensão global for exatamente m+ 1, então a

álgebra será m-quase hereditária.

Teorema 3.19. Se A for m-quase inclinada com dim.gl A = m+1, então A será m-quase hereditária.

Demonstração. Considere A uma álgebra m-quase inclinada com dim.gl A = m+ 1. Segundo a

definição 3.18, devem existir triplas (Ai,Ti,Ai+1 = EndAi Ti)1≤i≤m−1, com A1 quase inclinada, A = Am e

cada Ti um Ai-módulo inclinante cindido. Como observado acima, podemos assumir que

Φ(mod Am−1;(T (Tm−1),F(Tm−1))) = (mod A;(X (Tm−1),Y(Tm−1))),

o que nos garante a existência de uma equivalência triangularDb(Am−1)→Db(A) cuja restrição à subca-

tegoria mod A de Db(Am−1) é o funtor identidade. Vejamos que diA X (Tm−1)≤ 1 e que dpA Y(Tm−1)≤m. Para isso, sejam Z ∈ X (Tm−1) e U um A-módulo. Neste caso, Z[−1] ∈ F(Tm−1) e, portanto,

diAm−1 Z[−1]≤ 1, desde que (X (Tm−1),Y(Tm−1)) cinde em mod A (proposição 1.3). Dessa forma,

• se U ∈X (Tm−1), então Ext2A(U,Z)'HomDb(A)(U,Z[2])'HomDb(Am−1)(U,Z[2])'Ext2Am−1(U [−1],

Z[−1]) = 0, pois diAm−1 Z[−1]≤ 1, e


• se U ∈ Y(Tm−1), então Ext2A(U,Z) ' HomDb(A)(U,Z[2]) ' HomDb(Am−1)(U,Z[2]) ' Ext3Am−1(U,

Z[−1]) = 0, novamente pois diAm−1 Z[−1]≤ 1.

Como consequência, diA Z ≤ 1.

Agora, seja Z ∈ Y(Tm−1). Se U ∈ X (Tm−1), então Extm+1A (Z,U) ' Extm+2

Am−1(Z,U [−1]) = 0, já que

dim.gl Am−1 ≤ m, e se U ∈ Y(Tm−1), então Extm+1A (Z,U) ' Extm+1

Am−1(Z,U) = 0, pois dim.gl Am−1 ≤ m.

Logo, dpAY(Tm−1) ≤ m. Desde que (X (Tm−1),Y(Tm−1)) cinde, está verificado o item (ii) da definição

3.1 e, portanto, A é m-quase hereditária.

Corolário 3.20. Seja A uma álgebra m-quase inclinada com dim.gl A = m+1. Então ind A = LmA ∪RA

e (LmA \RA,RA∩Lm

A ,RA \LmA ) é uma trissecção de ind A.

Recordamos do capítulo 1 que uma álgebra A é dita hereditária por partes se existir uma equivalência

triangular Db(A)→ Db(H), em que H é uma categoria hereditária. De acordo com o teorema 1.23,

se A for de tipo mod H, com H uma álgebra hereditária, então deverá existir uma sequência de triplas

(Ai,Ti,Ai+1 = EndAi Ti)0≤i≤m, em que A0 = H, cada Ti é um Ai-módulo inclinante cindido e A = Am.

Corolário 3.21. Seja A uma álgebra hereditária por partes do tipo mod H com dim.gl A = m+1. Então A

é m-quase hereditária. Em particular, ind A = LmA ∪RA e (Lm

A \RA,RA∩LmA ,RA \Lm

A ) é uma trissecção

de ind A.

A recíproca do teorema 3.19 não é necessariamente obtida, embora seja verdadeira para m = 1,

conforme demonstrado em [HRS96b]. Considere, por exemplo, A a k-álgebra de caminhos associada

ao quiver 1 2 · · · 11 12,α1 α2 α10 α11 com relações αi · · ·αi+6 = 0, em que 1≤ i≤ 5.

De acordo com [Sei03], A não é hereditária por partes e, em particular, não é 2-quase inclinada. No

entanto, pode-se verificar que A é 2-quase hereditária. De fato, no quiver de Auslander-Reiten de A

apresentado a seguir, os A-módulos indecomponíveis não-projetivos e antecessores do simples S6 têm

dimensão projetiva um, aqueles não-projetivos que são simultaneamente sucessores de10...5

e antecessores

de5...2, bem como S4, têm dimensão projetiva dois e os módulos indecomponíveis sucessores de 4

3 , embora

tenham dimensão projetiva três, têm dimensão injetiva um. Dessa forma, A cumpre os itens (i) e (ii) da

definição de 2-quase hereditária.


P 12

S 11

S 10

S 9S 8

S 7S 6

S 5S 4

S 3S 2

I 1

P 11

11 1010 9

9 88 7

7 66 5

5 44 3

3 2I 2

P 10

11 10 9

10 9 8

9 8 7

8 7 6

7 6 5

6 5 4

5 4 3

4 3 2I 3

P 911 10 9 8

10 9 8 7

9 8 7 6

8 7 6 5

7 6 5 4

6 5 4 3

5 4 3 2I 4

P 811 10 9 8 7

10 9 8 7 6

9 8 7 6 5

8 7 6 5 4

7 6 5 4 3

6 5 4 3 2

I 5

P 7

11 10 9 8 7 6

10 9 8 7 6 5

9 8 7 6 5 4

8 7 6 5 4 3

7 6 5 4 3 2

I 6

P 6=

I 12

P 5=

I 11

P 4=

I 10

P 3=

I 9P 2

=I 8

P 1=

I 7


3.2.1 Propriedades homológicas de álgebras 2-quase inclinadas

Vimos acima que se uma álgebra A for m-quase inclinada tal que (i) dim.gl A = m+1, então deverá

satisfazer (ii) dpA X ≤ m ou diA X ≤ 1, para cada A-módulo indecomponível X . No entanto, além

de (i) e (ii), outras propriedades homológicas podem ser obtidas para A se explorarmos devidamente

as informações contidas nos pares de torção (T (Ti),F(Ti)) e (X (Ti−1),Y(Ti−1)), construídos em cada

etapa i. Detalharemos, em seguida, tais propriedades para o caso em que m = 2. Esse resultado bem

como os demais apresentados nessa seção e nas duas seguintes serão motivadores para as condições que

devem ser assumidas sobre uma álgebra 2-quase hereditária a fim de que seja 2-quase inclinada, ou, em

outras palavras, para que seja possível obtermos a recíproca do teorema 3.19. Vale lembrar que, uma

vez determinadas condições que estabeleçam a validade dessa recíproca para m = 2, estarão listadas

propriedades que nos permitem garantir que uma dada álgebra é hereditária por partes, cumprindo dessa

forma o objetivo proposto.

Nessa direção, seja B uma álgebra 2-quase inclinada, então devem existir uma categoria hereditá-

ria H, um objeto inclinante T0 em H e um A-módulo inclinante cindido T1, com A = EndH T0, tais

que B = EndA T1. Em mod A, considere os pares de torção (T (T1),F(T1)) e (X (T0),Y(T0)), em

que, a menos de equivalência e sem prejuízos para o que faremos a seguir, Φ(H;(T (T0),F(T0))) =

(mod A;(X (T0),Y(T0))). DenotemosA1 = ind T (T1)∩Y(T0),A2 = ind T (T1)∩X (T0),A3 = indF(T1)[1]

∩Y(T0)[1] e A4 = ind F(T1)[1]∩X (T0)[1], que são subcategorias de ind B.

Obs.: As notações estabelecidas nesse parágrafo serão seguidas ao longo de toda esta seção.

Proposição 3.22. Sejam B uma álgebra 2-quase inclinada e as subcategorias Ai, com 1 ≤ i ≤ 4, como

definidas acima. Então ind B =A1∪A2∪A3∪A4 e podem ser obtidos os dados da seguinte tabela:

Ext#B(_,_) = 0 A1 A2 A3 A4

A1 ≥ 2 ≥ 1 ≥ 1 ≥ 0

A2 0, ≥ 3 ≥ 2 ≥ 1 ≥ 1

A3 0, ≥ 3 0, ≥ 2 ≥ 2 ≥ 1

A4 0, 1, ≥ 4 0, ≥ 3 0, ≥ 2 ≥ 2

Além disso, para cada A-módulo Z, a sequência exata canônica relativa ao par de torção (T (T1),F(T1))

é de uma das formas, em que Ai, Bi ∈ add Ai:

(a) 0→ A1⊕A2→ Z→ A4[−1]→ 0, se Z ∈ X (T0),

(b) 0→ B1→ Z→ B3[−1]⊕B4[−1]→ 0, se Z ∈ Y(T0).

Demonstração. Como acima, consideremos em mod A os pares de torção (T (T1),F(T1)) e (X (T0),

Y(T0)). Observe que mod B=Y(T1)∪X (T1)= T (T1)∪F(T1)[1] = (T (T1)∩Y(T0))∪(T (T1)∩X (T0))∪(F(T1)[1]∩Y(T0)[1])∪ (F(T1)[1]∩X (T0)[1]) =A1∪A2∪A3∪A4, pois podemos assumir que

(?) Φ(mod A;(T (T1),F(T1))) = (mod B;(X (T1),Y(T1))),

T1 é um A-módulo inclinante cindido e (X (T0),Y(T0)) cinde em mod A.

De acordo com a demonstração do teorema 3.19, este último satisfaz diA X (T0)≤ 1 e dpA Y(T0)≤ 1.

Também, desde que (X (T1),Y(T1)) é um par de torção cindido em mod B, diA F(T1) ≤ 1. Por fim,


a igualdade em (?) nos garante a existência de uma equivalência triangular F : Db(B)→ Db(A), cuja

restrição à subcategoria mod B é o funtor identidade, segundo [HRS96b]. Neste caso, podemos obter:

(1) se i≥ 2, então ExtiB(A1,A1)'HomDb(B)(A1,A1[i])'HomDb(A)(A1,A1[i])' ExtiA(A1,A1) = 0,

uma vez que dpA Y(T0)≤ 1;

(2) da mesma forma, ExtiB(A1,A2) = 0, para i≥ 2, e Ext1B(A1,A2)' Ext1A(A1,A2) = 0, pois (X (T0),

Y(T0)) cinde (proposição 1.2);

(3) se i≥ 1, então ExtiB(A1,A3)' Exti+1A (A1,A3[−1]) = 0, pois dpA Y(T0)≤ 1;

(4) se i≥ 1, então ExtiB(A1,A4)' Exti+1A (A1,A4[−1]) = 0, já que dpA Y(T0)≤ 1, e Ext0B(A1,A4)'

Ext−1A (A1,A4[−1]) = 0;

(5) se i≥ 3, então ExtiB(A2,A1)' ExtiA(A2,A1) = 0, pois dim.gl A≤ 2, e Ext0B(A2,A1)' Ext0A(A2,

A1) = 0, uma vez que (X (T0),Y(T0)) é um par de torção;

(6) Ext≥2B (A2,A2)' Ext≥2

A (A2,A2) = 0, pois diA X (T0)≤ 1;

(7) se i≥ 1, então ExtiB(A2,A3)' Exti+1A (A2,A3[−1]) = 0, já que diA F(T1)≤ 1;

(8) se i≥ 1, então ExtiB(A2,A4)' Exti+1A (A2,A4[−1]) = 0, uma vez que diA X (T0)≤ 1;

(9) se i ≥ 3, então ExtiB(A3,A1) ' Exti−1A (A3[−1],A1) = 0, pois dpA Y(T0) ≤ 1, e Ext0B(A3,A1) '

Ext−1A (A3[−1],A1) = 0;

(10) se i≥ 3, então ExtiB(A3,A2)'Exti−1A (A3[−1],A2)= 0, uma vez que diA X (T0)≤ 1, Ext2B(A3,A2)

' Ext1A(A3[−1],A2) = 0, pois (X (T0),Y(T0)) cinde, e Ext0B(A3,A2)' Ext−1A (A3[−1],A2) = 0;

(11) Ext≥2B (A3,A3)' Ext≥2

A (A3[−1],A3[−1]) = 0, já que dpA Y(T0)≤ 1;

(12) Ext≥2B (A3,A4)' Ext≥2

A (A3[−1],A4[−1]) = 0, novamente pois dpA Y(T0)≤ 1, e Ext1B(A3,A4)'Ext1A(A3[−1],A4[−1]) = 0, já que (X (T0),Y(T0)) cinde.

(13) se i ≥ 4, então ExtiB(A4,A1) ' Exti−1A (A4[−1],A1) = 0, pois dim.gl A ≤ 2, Ext1B(A4,A1) '

Ext0A(A4[−1],A1)= 0, já que (X (T0),Y(T0)) é um par de torção, e Ext0B(A4,A1)'Ext−1A (A4[−1],

A1) = 0;

(14) se i ≥ 3, então ExtiB(A4,A2) ' Exti−1A (A4[−1],A2) = 0, pois diA X (T0) ≤ 1, e Ext0B(A4,A2) '

Ext−1A (A4[−1],A2) = 0;

(15) Ext≥2B (A4,A3) ' Ext≥2

A (A4[−1],A3[−1]) = 0, já que diA F(T1) ≤ 1, e Ext0B(A4,A3) 'Ext0A(A4[−1],A3[−1]) = 0, pois (X (T0),Y(T0)) é um par de torção;

(16) Ext≥2B (A4,A4)' Ext≥2

A (A4[−1],A4[−1]) = 0, uma vez que diA X (T0)≤ 1.

Agora, observe que para cada A-módulo Z deve existir uma sequência exata da forma 0→ A1⊕A2→Z → A3[−1]⊕A4[−1]→ 0, com Ai ∈ add Ai, já que (T (T1) = add(A1 ∪A2),F(T1) = add(A3[−1]∪A4[−1])) define um par de torção em mod A. Se, em particular, Z ∈ Y(T0), então A2 = 0, desde que

A2 ∈ X (T0), e se Z ∈ X (T0), então A3[−1] = 0, pois A3[−1] ∈ Y(T0).

Em seguida, nas condições da proposição 3.22, mostraremos que, com alguma hipótese adicional, se

tem também A1 = 0 para Z ∈ X (T0). Tendo esse objetivo em vista, consideremos a seguinte proposição.


Proposição 3.23. Seja U a t-estrutura não-degenerada dada por U≤0 = Z· ∈ Db(H); H0(Z·) ∈ T (T0) e

H i(Z·) = 0, para i > 0 e U≥0 = Z· ∈ Db(H); H−1(Z·) ∈ F(T0) e H i(Z·) = 0, para i < −1, em que

(T (T0),F(T0)) é um par de torção emH. Então o par (V≤0,V≥0), em que V≤0 = Z· ∈Db(H); H0U (Z

·)∈T (T1) e H i

U (Z·) = 0, para i > 0 e V≥0 = Z· ∈ Db(H); H−1

U (Z·) ∈ F(T1) e H iU (Z

·) = 0, para i <−1,define uma t-estrutura não-degenerada em Db(H), cujo coração é mod B.

Demonstração. (t1) Seja X · ∈ V≤0. Neste caso, H0U (X

·) ∈ T (T1) e H>0U (X ·) = 0 e, em particular,

H1U (X

·) ∈ T (T1), o que nos permite concluir que X · ∈ V≤1.

(t2) Considere X · ∈ V≤0 e Y · ∈ V≥1. Suponha, por absurdo, que existe um morfismo não nulo

f : X · → Y ·. Uma vez que U é uma t-estrutura em Db(H), devem existir triângulos τ≤0U X ·

µ−→ X · →τ≥1U X ·→ (τ≤0

U X ·)[1] e τ≤0U Y ·→ Y ·→ τ

≥1U Y ·→ (τ≤0

U Y ·)[1] e, desde que HomDb(H)(τ≤0U X ·,τ≥1

U Y ·) = 0,

obtemos o diagrama comutativo

τ≤0U X · X · τ

≥1U X · (τ≤0

U X ·)[1]

τ≤0U Y · Y · τ

≥1U Y · (τ≤0

U Y ·)[1]

µ

τ≤0 f f

em Db(H). Observe que, para i < 1, H iU (τ

≥1U X ·) = 0 e, se i ≥ 1, então H i

U (τ≥1U X ·) = H i

U (X·) = 0, já

que X · ∈ V≤0. Dessa forma, µ é um isomorfismo e, portanto, τ≤0 f 6= 0. Novamente, como U é uma t-

estrutura emDb(H), podemos construir o seguinte diagrama comutativo, em que as linhas são triângulos

τ≤−1U X · τ

≤0U X · H0

U (X·) (τ≤−1

U X ·)[1]

τ≤−1U Y · τ

≤0U Y · H0

U (Y·) (τ≤−1

U Y ·)[1]

τ≤0 f g

π

emDb(H). Note que H≥0U (τ≤−1

U Y ·) = 0 e H≤−1U (τ≤−1

U Y ·) = H≤−1U (Y ·) = 0, pois Y · ∈ V≥1. Logo, π é um

isomorfismo. Além disso, g = 0, já que H0U (X

·) ∈ T (T1) e que H0U (Y

·) ∈ F(T1). Neste caso, πτ≤0 f = 0

e, portanto, τ≤0 f = 0, o que é uma contradição.

(t3) Considere C· ∈ Db(H) e 0→ T α−→ H0U (C

·)β−→ F → 0 a sequência exata canônica para H0

U (C·)

relativa ao par de torção (T (T1),F(T1)). Sendo U uma t-estrutura em Db(H), podemos construir o

diagrama comutativo

τ≤−1U C· τ

≤0U C· H0

U (C·) (τ≤−1

U C·)[1]

τ≤−1U C· C· τ

≥0U C· (τ≤−1

U C·)[1]

1

v

u 1

em que as linhas são triângulos emDb(H). Seja g = vα , então deve existir um morfismo cone(g)[−1]→τ≤0U C· tal que o diagrama

τ≤−1U C· cone(g)[−1] T (τ≤−1

U C·)[1]

τ≤−1U C· τ

≤0U C· H0

U (C·) (τ≤−1

U C·)[1]

1

g

α 1

v

comuta. Dessa forma, ao compor os diagramas construídos e através do axioma do octaedro, obtemos


cone( f )[−1] cone( f )[−1]

τ≤−1U C· cone(g)[−1] T (τ≤−1

U C·)[1]

τ≤−1U C· C· τ

≥0U C· (τ≤−1

U C·)[1]

cone( f ) cone( f ).

1

h

1

w

f

g

uα 1

v

1

Em seguida, mostraremos que cone(g)[−1] ∈ V≤0 e que cone( f ) ∈ V≥1. Para i > 0, por meio

do triângulo τ≤−1U C· → cone(g)[−1] w−→ T

g−→ (τ≤−1U C·)[1], garantimos a existência da sequência exata

0 = H iU (τ

≤−1U C·)→H i

U (cone(g)[−1])→H iU (T ) = 0 e, portanto, H i

U (cone(g)[−1]) = 0. Agora, se i = 0,

então a sequência exata 0 = H0U (τ

≤−1U C·)→ H0

U (cone(g)[−1])→ H0U (T ) = T → H1

U (τ≤−1U C·) = 0 nos

permite concluir que H0U (cone(g)[−1])'T ∈T (T1), o que finaliza a demonstração de que cone(g)[−1]∈

V≤0.

Para i < −1, a sequência exata 0 = H iU (τ

≥0U C·) → H i

U (cone( f )) → H i+1U (T ) = 0, obtida através

do triângulo T → τ≥0U C· → cone( f )→ T [1], nos garante que H i

U (cone( f )) = 0. Quanto a i = −1 e

i = 0, observe anteriormente que o morfismo H0U (u) é um isomorfismo, já que 0 = H0

U (τ≥1U C·[−1])→

H0U (C

·)H0U (u)−−−→ H0

U (τ≥0U C·)→ H0

U (τ≥1U C·) = 0. Neste caso, uma vez que H0

U (u)−1H0

U (uα) = α , deve

existir um morfismo γ : H0U (cone( f ))→ F tal que o diagrama

0 = H−1U (τ≥0

U C·) H−1U (cone( f )) H0

U (T ) H0U (τ

≥0U C·) H0

U (cone( f )) 0

0 T H0U (C

·) F 0

H0U (h) H0

U (uα)

1 H0U (u)−1 γ

α β

comuta em mod A. Sendo α um monomorfismo, devemos ter H0U (uα) um monomorfismo e, portanto,

H0U (h) = 0, ou ainda, H−1

U (cone( f )) = 0. Também, γ é um isomorfismo, donde H0U (cone( f )) ' F ∈

F(T1). Consequentemente, cone( f ) ∈ V≥1, como desejado.

Vejamos, agora, que (V≤0,V≥0) é não-degenerada. Considere X · ∈⋂n∈ZV≤n. Neste caso, para cada

i ∈ Z, devemos ter H iU (X

·) = 0 e, portanto, τ≤0U X · ' τ

≤−1U X ·, tendo em vista o corolário 1.8 e o triângulo

τ≤−1U X ·→ τ

≤0U X ·→H0

U (X·)→ (τ≤−1

U X ·)[1] emDb(H). Em particular, τ≤0U X · ∈U≤−1. Da mesma forma,

é possível concluir que τ≤0U X · ∈ U≤n, para cada n ∈ Z, nos permitindo garantir que τ

≤0U X · = 0, pois U é

não-degenerada. Analogamente, obtém-se que τ≥1U X · = 0, donde X · = 0, o que finaliza a demonstração.

De acordo com a proposição 3.22, se B for uma álgebra 2-quase inclinada, em que Φ(H;(T (T0),

F(T0))) = (mod A;(X (T0),Y(T0))) e Φ(mod A;(T (T1),F(T1))) = (mod B;(X (T1),Y(T1))) - ainda se-

guindo as notações fixadas no início da seção -, então, para cada A-módulo Z ∈ X (T0), a sequência

canônica relativa ao par de torção (T (T1),F(T1)) será da forma 0→ A1⊕A2→ Z→ A4[−1]→ 0, para

Ai ∈ add Ai. Na seção seguinte, veremos que ao submetermos as t-estruturas natural e V = (V≤0,V≥0)

de Db(H), definida na proposição 3.23, à hipótese de compatibilidade, poderemos garantir que A1 = 0.


3.2.2 Compatibilidade entre t-estruturas

A fim de obter possíveis relações entre duas categorias abelianas A e B derivadamente equivalen-

tes, ou seja, para as quais existe uma equivalência triangular F : Db(B)→ Db(A), Keller e Vossieck

introduziram, em [KV88b], o conceito de compatibilidade entre t-estruturas. Pode-se verificar que

Db(A) =⋃n∈ZD≤n, em que D é a t-estrutura natural de Db(A), e ainda Db(A) =

⋃n∈ZE≤n, em que E

corresponde à imagem da t-estrutura natural de Db(B) via F . A busca pelas relações desejadas é então

resumida à comparação entre as duas t-estruturas construídas, D e E , que ao serem assumidas compatí-

veis, permitem a construção de uma equivalência entre certas subcategorias plenas de categorias obtidas

como filtrações de A e B (para maiores detalhes, veja [HHK07] pg. 90). É ainda possível verificar,

nessas condições, que a sequência espectral de termos E pq = H pDHq

E(X), com X ∈ D≤0, se anula para

p+q > 0, o que nos permitirá mostrar a afirmação deixada em aberto no final da seção anterior.

Apresentaremos, antes disso, a definição e alguns resultados que nos serão úteis de t-estruturas com-

patíveis.

Definição 3.24. Sejam U = (U≤0,U≥0) e V = (V≤0,V≥0) t-estruturas em uma categoria triangulada C.

Diremos que U≤0 é compatível com V≥1 se U≤0 for estável em relação aos funtores τ≤nV , n ∈ Z, ou seja,

se τ≤nV U≤0 ⊆ U≤0, para cada n ∈ Z.

Exemplo 3.25. As t-estruturas U e V da proposição 3.23 são tais que U≤0 é compatível com V≥1. De

fato, de forma análoga àquela feita na demonstração dessa proposição, para n∈Z e C· ∈Db(H), podemos

construir o seguinte diagrama comutativo

cone( f )[−1] cone( f )[−1]

τ≤n−1U C· cone(g)[−1] T [−n] (τ≤n−1

U C·)[1]

τ≤n−1U C· C· τ

≥nU C· (τ≤n−1

U C·)[1]

cone( f ) cone( f ),

1

1 f uα[−n] 1

1

em que 0→ T α−→ HnU (C

·)β−→ F → 0 é a sequência exata canônica para Hn

U (C·) relativa ao par de torção

(T (T1),F(T1)), o morfismo u : HnU (C

·)[−n]→ τ≥nU C· é tal que Hn

U (u) é um isomorfismo e, mais ainda,

cone(g)[−1] ∈ V≤n e cone( f ) ∈ V≥n+1. Em particular, τ≤nV C· = cone(g)[−1]. Observe que:

(1) se n≤ 0, então cone(g)[−1]∈U≤0, já que a sequência 0=H>0U (τ≤n−1

U C·)→H>0U (cone(g)[−1])→

H>0U (T [−n]) = 0 é exata em ht(U).

(2) se n > 0 e C· ∈ U≤0, então τ≥nU C· = 0 e, portanto, C· ' τ

≤n−1U C·. Além disso, Hn

U (C·) = 0, desde

que HnU (u) : Hn

U (C·)→ Hn

U (τ≥nU C·) é um isomorfismo. Como consequência, T = 0, ou ainda,

τ≤n−1U C· ' cone(g)[−1]. Nessas condições, τ

≤nV C· = cone(g)[−1]' τ

≤n−1U C· 'C· ∈ U≤0.

Segue dos itens (1) e (2) que τ≤nV U≤0 ⊆ U≤0, para todo n ∈ Z, como desejado.

Similarmente, sendoW a t-estrutura natural de Db(H), verifica-se queW≤0 é compatível com U≥1.


Observação 3.26 (Uma condição para queW≤0 seja compatível com V≥1). Para uma categoria abeliana

e hereditária H, sejam W a t-estrutura natural de Db(H) e V a t-estrutura obtida na proposição 3.23.

Como no exemplo 3.25, para cada complexo C· ∈ Db(H), pode-se construir o diagrama comutativo

cone( f )[−1] cone( f )[−1]

τ≤n−1U C· cone(g)[−1] T [−n] (τ≤n−1

U C·)[1]

τ≤n−1U C· C· τ

≥nU C· (τ≤n−1

U C·)[1]

cone( f ) cone( f ),

1

1 f uα[−n] 1

1

em que 0→ T α−→ HnU (C

·)β−→ F → 0 é a sequência exata canônica para Hn

U (C·) relativa ao par de torção

(T (T1),F(T1)), o morfismo u : HnU (C

·)[−n]→ τ≥nU C· é tal que Hn

U (u) é um isomorfismo e, mais ainda,

cone(g)[−1] ∈ V≤n e cone( f ) ∈ V≥n+1. Em particular, τ≤nV C· = cone(g)[−1].

Se n ≤ 0, então a sequência exata H>0W (τ≤n−1

U C·)→ H>0W (cone(g)[−1])→ H>0

W (T [−n]) tem termos

das pontas nulos, uma vez que τ≤n−1U C· ∈ U≤n−1 ⊆ U≤−1 ⊆ W≤0 e que T [−n] ∈ U≤0[−n] = U≤n ⊆

U≤0 ⊆W≤0. Como consequência segue que cone(g)[−1] ∈W≤0, ou ainda, que τ≤nV C· ∈W≤0.

Se n≥ 2 e C· ∈W≤0, então τ≥2U C· = 0, já que C· ∈ U≤1. Neste caso, H2

U (C·) = 0 e, portanto, T = 0.

O triângulo τ≤n−1U C·→ cone(g)[−1]→ T [−n]→ (τ≤n−1

U C·)[1] junto ao corolário 1.8 então nos garante

que τ≤n−1U C· ' cone(g)[−1]. Dessa forma, τ

≤nV C· = cone(g)[−1]' τ

≤n−1U C· =C·, pois C· ∈ U≤n−1. Em

particular, τ≤nV C· ∈W≤0.

Finalmente, para n = 1, a sequência exata H>1W (τ≤0

U C·)→ H>1W (cone(g)[−1])→ H>1

W (T [−1]) é tal

que os termos das pontas se anulam, desde que τ≤0U C· ∈ U≤0 ⊆W≤0 e T [−1] ∈ U≤1 ⊆W≤1. Agora,

é também exata a sequência 0 = H1W(τ≤0

U C·) → H1W(cone(g)[−1]) → H1

W(T [−1]) → H2W(τ≤0

U C·) =

0 e, portanto, H1W(cone(g)[−1]) ' H1

W(T [−1]), ou ainda, H1W(cone(g)[−1]) = 0 se, e somente se,

H1W(T [−1]) = H0

W(T ) = 0.

Nessas condições, W≤0 será compatível com V≥1 se, e somente se, para cada C· ∈W≤0, tivermos

que H0W(T )= 0, em que 0→ T →H1

U (C·)→F→ 0 corresponde à sequência exata canônica para H1

U (C·)

relativa ao par de torção (T (T1),F(T1)).

Com base na observação acima, apresentaremos a seguir um exemplo em que as t-estruturasW e Vde Db(H) são tais queW≤0 é compatível com V≥1.

Exemplo 3.27. Seja H a álgebra de caminhos associada ao quiver3

1 2 4,

cuja categoria

de módulos tem como quiver de Auslander-Reiten


1 23 421

21

321

3 42 21

42

3 42 3

421

32 4.

Considere o H-módulo inclinante T0 =421⊕ 3 4

21⊕ 4

2 ⊕ 4, que induz o par de torção (T (T0),F(T0))

em mod H dado por T (T0) = add

421,

3 421, 4

2 ,3 42 ,3,4

e F(T0) = add

1, 2

1 ,2,321, 3

2

. Seja A = EndH T0.

Neste caso, o quiver de Auslander-Reiten de sua categoria de módulos é da forma

2′1′ 3′ 4′

2′

1′ 3′ 2′1′

4′3′ 2′

1′4′

3′ 2′ 4′,

3′1′ 2′ 4′

3′

em que X (T0) = add

3′, 4′3′ 2′ ,

4′2′ ,

4′3′ ,4

′ e Y(T0) = add

1′, 2′1′ ,

3′1′ ,

3′ 2′1′ ,

4′3′ 2′

1′, 2′

. Finalmente, considere

o A-módulo inclinante T1 = 1′⊕ 2′1′ ⊕

4′3′ 2′

1′⊕ 4′

2′ , que determina em mod A o par de torção (T (T1),F(T1)),

com T (T1) = add

1′, 2′1′ ,

4′3′ 2′

1′,2′, 4′

3′ 2′ ,4′2′ ,

4′3′ ,4

′

e F(T1) = add3′. Conforme a proposição 1.3, se

B = EndA T1, então o par de torção (X (T1),Y(T1)) induzido por T1 em mod B é cindido, uma vez que

diA F(T1)≤ 1. Dessa forma, B é uma álgebra 2-quase inclinada.

Como anteriormente, considere A1 = ind Y(T0) ∩ T (T1), A2 = ind X (T0) ∩ T (T1), A3[−1] =

ind Y(T0)∩F(T1) e A4[−1] = ind X (T0)∩F(T1). Sejam ainda W a t-estrutura natural de Db(H),

U a t-estrutura em Db(H) induzida pelo par de torção (T (T0),F(T0)) e V como definida na proposição

3.23. Por meio da observação 3.26, vejamos que W≤0 é compatível com V≥1. Observe, inicialmente,

queW≤0 =⋃i≥0

H[i]. Para C ∈ F(T0), obtemos que:

(1) se C = 32 , então H1

U (32) = H1

U (4′[−1]) = 4′ ∈ A2;

(2) se C = 21 , então H1

U(

21

)= H1

U(

4′3′ 2′ [−1]

)= 4′

3′ 2′ ∈ A2;

(3) se C = 2, então H1U (2) = H1

U(

4′2′ [−1]

)= 4′

2′ ∈ A2;

(4) se C =321, então H1

U

(321

)= H1

U(

4′3′ [−1]

)= 4′

3′ ∈ A2;

(5) se C = 1, então H1U (1) = H1

U (3′[−1]) = 3′ ∈ A4[−1].

Assim, a sequência exata canônica para H1U (C) relativa ao par de torção (T (T1),F(T1)) é de uma das

formas 0→ A2→ H1U (C)→ 0→ 0, com A2 ∈ A2, ou 0→ 0→ H1

U (C)→ A4[−1]→ 0, com A4[−1] ∈


A4[−1], o que nos permite concluir que T ∈ A2 ou T = 0 (seguindo a notação da observação 3.26, a

sequência exata canônica para H1U (C), com C ∈W≤0, é denotada por 0→ T → H1

U (C)→ F → 0). Em

ambas as situações, H0W(T ) = 0, pois A2[−1] ⊆ ht(W) = mod H. Além disso, ainda para C ∈ F(T0) e

i > 0, H1U (C[i]) = H i

U (C[1]) = 0, uma vez que C[1] ∈ X (T0)⊆ mod A = ht(U). Neste caso, H0W(T ) = 0.

Quanto aos objetos em T (T0)[i], para i ≥ 0, observe que H1U (T (T0)[i]) = H1

U (Y(T0)[i]) =

H i+1U (Y(T0)) = 0, pois Y(T0) ⊆ mod A = ht(U). Dessa forma, novamente concluímos que T = 0 e,

portanto, H0W(T ) = 0.

Resta analisarmos o objeto3 42 21[i], para cada i ≥ 0. Assuma, inicialmente, que i = 0. Uma vez

que421→ 3 4

2 21→ 3

2 →421[1] é um triângulo em Db(H), com

421∈ U≤0 e 3

2 ∈ U≥1, obtemos que τ≥1U

3 42 21

=

32 . Logo, H1

U

(3 42 21

)[−1] = τ

≥1U τ

≤1U

3 42 21

= τ≥1U

3 42 21

= 32 , ou ainda, H1

U

(3 42 21

)= 3

2 [1] = 4′[−1][1] = 4′ ∈A2. Como consequência, T ∈ A2, o que nos permite garantir que H0

W(T ) = 0. Por fim, para i > 0,

H1U

(3 42 21[i])[−1] = τ

≥1U τ

≤1U

(3 42 21[i])= τ

≥1U

(3 42 21[i])

, pois3 42 21[i]∈U≤1[i] =U≤1−i⊆U≤0⊆U≤1. Também,

τ≥1U

(3 42 21[i])= 0, já que

3 42 21[i] ∈ U≤0. Assim, H1

U

(3 42 21[i])= 0 e, portanto, H0

W(T ) = 0.

De acordo com a observação 3.26,W≤0 é compatível com V≥1.

Em virtude da proposição 1.27, se duas t-estruturas arbitrárias U e V forem tais que U≤0 é com-

patível com V≥1, então U≤0 será também estável em relação aos funtores τ>nV , uma vez que U≤0 é

fechada para extensões e suspensões. Além disso, HnV(U≤0) ⊆ U≤−n, pois se X ∈ U≤0, então Hq

V(X) =

(τ≤qV τ

≥qV (X))[q] ∈ U≤0[q] = U≤−q. Dessa forma, H p

UHqV(X) = 0, se p+q > 0. Este resultado será enun-

ciado na proposição abaixo, além de uma propriedade satisfeita pelos morfismos em ht(V).

Proposição 3.28 ([KV88b]). Sejam U e V t-estruturas em uma categoria triangulada C tais que U≤0 é

compatível com V≥1. Então:

(i) H pUHq

V |U≤0 = 0, para todos p, q com p+q > 0.

(ii) se, mais ainda, U e V forem não-degeneradas, então para cada morfismo g : N → N′ em ht(V),com N ∈ U≤n e N′ ∈ U≤n−1, devemos ter Ker g ∈ U≤n e Coker g ∈ U≤n−1.

Demonstração. O item (i) foi demonstrado acima. Seja g : N → N′ um morfismo em ht(V), com

N ∈ U≤n e N′ ∈ U≤n−1. Em C, podemos construir o seguinte diagrama comutativo

Ker g Ker g

N′[−1] N′′[−1] N N′

N′[−1] (Coker g)[−1] Im g N′

(Ker g)[1] (Ker g)[1],

1

1 1

1

em que as linhas e colunas são triângulos. Por meio da sequência exata

H−1V ((Coker g)[−1])→ H0

V(Ker g)→ H0V(N

′′[−1])→ H0V((Coker g)[−1])

em ht(V), podemos concluir que Ker g ' H−1V (N′′), uma vez que Ker g, Coker g ∈ ht(V), ou seja,

H0V(Ker g) = Ker g, H−2

V (Coker g) = 0 e também H−1V (Coker g) = 0. Da mesma forma, através da


sequência também exata H1V(Ker g)→H1

V(N′′[−1])→H1

V((Coker g)[−1])→H2V(Ker g), obtemos que

Coker g' H0V(N

′′).

Dado p > n−1, construímos a sequência exata 0 = H pU (N

′)→H pU (N

′′)→H p+1U (N) = 0 e, portanto,

N′′ ∈ U≤n−1, ou ainda, N′′ =U [−(n−1)], para algum U ∈ U≤0.

Nessas condições, fixado p > n, H pU (Ker g) = H p

UH−1V (N′′) = H p

UH−1V (U [−(n−1)]) = H p

UH−nV (U).

Sendo U≤0 compatível com V≥1, devemos ter H−nV (U)∈U≤n, o que nos permite concluir que H p

UH−nV (U)

= 0. Logo, Ker g ∈ U≤n. Analogamente, pode-se verificar que Coker g ∈ U≤n−1.

Em Db(H), considereW a t-estrutura natural e V = (V≤0,V≥0) a t-estrutura definida na proposição

3.23.

Proposição 3.29. Sejam B uma álgebra 2-quase inclinada, X ∈X (T0) e 0→ A1⊕A2→ X→ A4[−1]→ 0

a sequência exata canônica para X relativa ao par de torção (T (T1),F(T1)). SeW≤0 for compatível com

V≥1, então A1 = 0.

Demonstração. Sejam X ∈ X (T0) e 0→ A1⊕A2→ X → A4[−1]→ 0 sua sequência exata canônica

relativa ao par de torção (T (T1),F(T1)). Em Db(A), podemos construir o triângulo (?) A1⊕A2→ X →A4[−1]→ A1[1]⊕A2[1], que é também um triângulo em Db(H), uma vez que existe uma equivalência

triangularDb(A)→Db(H) cuja restrição a mod A é o funtor identidade. Neste caso, obtemos a sequência

exata longa

· · ·→H−1V (A1⊕A2)→H−1

V (X)→H−1V (A4[−1])→H0

V(A1⊕A2)→H0V(X)→H0

V(A4[−1])→H1V(A1⊕A2)

→H1V(X)→H1

V(A4[−1])→H2V(A1⊕A2)→ ···

em ht(V) = mod B, em que HqV denota a cohomologia com respeito à t-estrutura V . Observe que, para

q 6= 0, 1, HqV(A1⊕A2) = 0 = Hq

V(A4[−1]) e, portanto, HqV(X) = 0, para q 6= 0, 1. Agora, para q = 0,

H0V(A1⊕A2)=A1⊕A2 e H0

V(A4[−1]) = 0, donde H0V(X)=A1⊕A2. Por fim, para q= 1, H1

V(A1⊕A2)= 0

e H1V(A4[−1]) = A4, o que implica em H1

V(X) = A4. Em resumo,

HqV(X) =

A1⊕A2, se q = 0,

A4, se q = 1,

0, caso contrário.

Denotemos por H pW a cohomologia com respeito à t-estruturaW . Note que A1 ∈ Y(T0) = T (T0) e

que, portanto, A1 é um objeto deH. Assim, desde que ht(W)=H, obtemos H0W(A1)=A1 e H p

W(A1)= 0,

se p 6= 0. Também, A2 ∈ X (T0), ou ainda, A2[−1] ∈ F(T0) ⊆ H. Logo, H−1W (A2) = H0

W(A2[−1]) =

A2[−1] e H pW(A2) = 0, se p 6=−1. Finalmente, A4 ∈X (T0)[1], ou seja, A4[−2] ∈F(T0)⊆H e, portanto,

H−2W (A4) = H0

W(A4[−2]) = A4[−2] e H pW(A4) = 0, para p 6=−2. Dessa forma,

H pWHq+1

V (X [−1]) = H pWHq

V(X) =

A1, se q = 0 e p = 0,

A2[−1], se q = 0 e p =−1,

A4[−2], se q = 1 e p =−2,

0, caso contrário.

Uma vez queW≤0 é compatível com V≥1, a proposição 3.28 nos garante que H pWHq

V(Z) = 0, para

cada Z ∈ ht(W) =H e inteiros p e q tais que p+q > 0. Logo, A1 = 0, desde que X [−1] ∈ X (T0)[−1] =


F(T0)⊆H, como desejado.

Como consequência da proposição 3.29, podemos escreverX (T0)= Z ∈mod A; existe uma sequên-

cia exata 0→ A2→ Z→ A4[−1]→ 0, com Ai ∈ add Ai e Y(T0) = Z ∈ mod A; existe uma sequência

exata 0→ A1→ Z→ A3[−1]⊕A4[−1]→ 0, com Ai ∈ add Ai, e Z não tem somandos indecomponíveis

em A4[−1].

Corolário 3.30. Sejam B uma álgebra 2-quase inclinada, A4[−1]∈A4[−1] indecomponível, A1 ∈ addA1

e A2 ∈ add A2. Sejam aindaW e V t-estruturas em Db(H) como definidas anteriormente. SeW≤0 for

compatível com V≥1, então HomDb(B)(A4[−1],A1[1]) = 0 ou HomDb(B)(A4[−1],A2[1]) = 0.

Demonstração. Sejam A4[−1] ∈ A4[−1] indecomponível, A1 ∈ add A1 e A2 ∈ add A2 tais que exis-

tem morfismos não nulos α ∈ HomDb(A)(A4[−1],A1[1]) e β ∈ HomDb(A)(A4[−1],A2[1]). Considere a

sequência exata (?) 0→ A1⊕A2(u1 u2)−−−−→ Z v−→ A4[−1]→ 0 associada ao morfismo

(α

β

)via o isomor-

fismo HomDb(A)(A4[−1],A1[1]⊕A2[1]) ' Ext1A(A4[−1],A1⊕A2). Em particular, A1⊕A2(u1 u2)−−−−→ Z v−→

A4[−1]

(α

β

)−−−→ A1[1]⊕A2[1] é um triângulo em Db(A). Escrevamos Z = Y ⊕X , em que Y ∈ Y(T0) e X ∈

X (T0). Uma vez que (?) é a sequência exata canônica para Z relativa ao par de torção (T (T1),F(T1)),

esta pode ser obtida ao somarmos as sequências exatas canônicas de Y e X e, portanto, devemos ter

0→ A1→ Y → A′4[−1]→ 0 e 0→ A2→ X → A′′4[−1]→ 0 (segundo a proposição 3.29), com A4[−1] =

A′4[−1]⊕A′′4[−1], ou ainda, triângulos A1 → Y → A′4[−1] t1−→ A1[1] e A2 → X → A′′4[−1] t2−→ A2[1] em

Db(A). Agora, desde que A4[−1] é indecomponível, A′4[−1] = 0 ou A′′4[−1] = 0. No primeiro caso, cons-

truímos o triângulo A1⊕A2→ A1⊕X → A4[−1]

(0t2

)−−→ A1[1]⊕A2[1] e, desde que o primeiro quadrado

abaixo comuta, em que φ1 e φ2 são isomorfismos dados pela unicidade da sequência exata canônica, deve

existir um isomorfismo ψ : A4[−1]→ A4[−1] tornando o diagrama

A1⊕A2 A1⊕X A4[−1] A1[1]⊕A2[1]

A1⊕A2 Y ⊕X A4[−1] A1[1]⊕A2[1]

φ1 φ2

(0t2

)

ψ 1(α

β

)

comutativo. Dessa forma, αψ = 0 e, portanto, α = 0, uma contradição. Similarmente, no segundo caso,

construímos o triângulo A1⊕A2→Y ⊕A2→ A4[−1]

(t10

)−−→ A1[1]⊕A2[1], o que nos permite concluir que

β = 0, novamente uma contradição. Logo, HomDb(A)(A4[−1],A1[1]) = 0 ou HomDb(A)(A4[−1],A2[1]) =

0. O resultado desejado é então garantido por meio da equivalência derivada Db(B)→Db(A), cuja res-

trição a mod B é o funtor identidade.

Ainda de acordo com a proposição 3.28, a hipótese de compatibilidade entreW≤0 e V≥1 nos garante

que um morfismo g : N → N′ em ht(V), com N ∈ W≤n e N′ ∈ W≤n−1, para algum inteiro n, também

satisfaz Ker g ∈W≤n e Coker g ∈W≤n−1. Neste caso, podemos obter:

Proposição 3.31. Sejam B uma álgebra 2-quase inclinada,W e V t-estruturas emDb(H) como definidas

anteriormente. SeW≤0 for compatível com V≥1, então:

(i) um morfismo g : A2 → A4 em mod B, com A2 ∈ add A2 e A4 ∈ add A4, será tal que nenhum

somando indecomponível de Ker g pertence a A1.


(ii) um morfismo h : A3⊕A4 → C4 em mod B, com A3 ∈ add A3 e A4, C4 ∈ add A4, será tal que

nenhum somando indecomponível de Ker h pertence a A1.

Demonstração. Mostraremos somente o item (i). ConsidereW e V as t-estruturas em Db(H) como

definidas anteriormente. Seja g : A2 → A4 um morfismo em mod B, com A2 ∈ add A2 e A4 ∈ add A4.

Observe que A2 ∈ W≤−1 e A4 ∈ W≤−2 e, portanto, Ker g ∈ W≤−1, em virtude da proposição 3.28.

Consequentemente, nenhum somando indecomponível de Ker g deve pertencer a A1.

3.2.3 Sobre a funtorialidade das subcategorias A1, (A2∪A3)[−1] e A4[−2]

Seja C uma subcategoria aditiva e plena de uma categoria aditiva D. Recordamos que, para um

objeto X em D, um morfismo f : X → FX é chamado de C-aproximação à esquerda de X se FX ∈ C e

se, para todo g : X → C, com C ∈ C, existir um morfismo h : FX → C tal que g = h f . Além disso, f

é uma C-aproximação minimal à esquerda se cada endomorfismo φ de FX satisfazendo φ f = f for um

isomorfismo. Se todo objeto X em D admitir uma C-aproximação à esquerda, então C é chamada de

covariantemente finita. Analogamente, podem-se definir aproximação minimal à direita e subcategoria

contravariamente finita. Uma subcategoria C de D simultaneamente covariante e contravariantemente

finita é chamada funtorialmente finita.

Consideremos novamente B uma álgebra 2-quase inclinada, F : Db(B)→ Db(A) e G : Db(A)→Db(H) equivalências triangulares que quando restritas, respectivamente, às subcategorias mod B e mod A

correspondem ao funtor identidade. Dessa forma,

Db(B) Db(A) Db(H)

A1 A1 A1 ⊆H

A2∪A3 A2∪A3 (A2[−1]∪A3[−1])[1]⊆H[1]

A4 A4 A4[−2][2]⊆H[2]

F G

e, portanto, os fechos aditivos de A1, A2 ∪A3 e A4 são as pieces de mod B associadas à equivalência

normalizada G F . Além disso, neste caso, os fechos aditivos de A1, (A2 ∪A3)[−1] e A4[−2] em Hsão subcategorias funtorialmente finitas em H, conforme o teorema 1.25. Em particular, cada objeto

A1 em add A1 admite uma add A4[−2]-aproximação à direita e cada objeto A4[−2] em add A4[−2]

deve admitir uma add A1-aproximação à esquerda. Como consequência, dados A1[1] ∈ add A1[1] e

A4[−1]∈ addA4[−1], devem existir w : A′4[−1]→ A1[1] uma addA4[−1]-aproximação à direita de A1[1]

e w′ : A4[−1]→ A′1[1] uma addA1[1]-aproximação à esquerda de A4[−1]. Mostraremos, em seguida, que

se tivermos um morfismo γ : B4[−1]→ A1[1], com B4[−1] ∈ add A4[−1] e cone(γ)[−1] ∈ Y(T0), então

δ : B4[−1]→ A′4[−1] que satisfaz wδ = γ será tal que Hom(_,δ ) é injetor em A4[−1]. Analogamente,

poderá ser verificado que dado γ ′ : A4[−1]→B1[1], com B1 ∈ addA1 e cone(γ ′)[−1]∈Y(T0), o morfismo

δ ′ : A′1[1]→ B1[1] satisfazendo δ ′w′ = γ ′ será tal que Hom(δ ′,_) é sobrejetor em A1[2].

Lema 3.32. Sejam B uma álgebra 2-quase inclinada, w : A′4[−1]→ A1[1] uma add A4[−1]-aproximação

minimal à direita de A1[1] ∈ add A1[1] e w′ : A4[−1]→ A′1[1] uma add A1[1]-aproximação minimal à

esquerda de A4[−1] ∈ add A4[−1].


(i) Se γ : B4[−1]→ A1[1], com B4[−1] ∈ addA4[−1], for um morfismo tal que cone(γ)[−1] ∈ Y(T0),

então um morfismo δ : B4[−1]→ A′4[−1] satisfazendo wδ = γ será tal que Hom(_,δ ) é injetor em

A4[−1].

(ii) Se γ ′ : A4[−1]→ B1[1], com B1 ∈ add A1, for um morfismo tal que cone(γ ′)[−1] ∈ Y(T0), então

um morfismo δ ′ : A′1[1]→ B1[1] satisfazendo δ ′w′ = γ ′ será tal que Hom(δ ′,_) é sobrejetor em

A1[2].

Demonstração. Mostraremos somente o item (i). Seja γ : B4[−1]→ A1[1] um morfismo em Db(A),

com B4[−1] ∈ add A4[−1] e cone(γ)[−1] ∈ Y(T0). Considere 0→ A1→ Z→ B4[−1]→ 0 a sequência

exata em mod A associada a γ via o isomorfismo Ext1A(B4[−1],A1) ' HomDb(A)(B4[−1],A1[1]). Neste

caso, em particular, (?) A1→ Z→ B4[−1]γ−→ A1[1] é um triângulo em Db(A), e, desde que o quadrado

à direita no diagrama abaixo comuta,

A1 Z B4[−1] A1[1]

A1 cone(γ)[−1] B4[−1] A1[1]

1

γ

1 1

γ

deve existir um isomorfismo ψ : Z → cone(γ)[−1] de forma a tornar o diagrama comutativo. Logo,

Z ∈ Y(T0). Fixado C4[−1] ∈ add A4[−1], aplicando o funtor HomDb(A)(C4[−1],_) a (?), obtemos a

sequência exata

0→ HomDb(A)(C4[−1],A1)→ HomDb(A)(C4[−1],Z)→ HomDb(A)(C4[−1],B4[−1])Hom(C4[−1],γ)−−−−−−−−→

→ HomDb(A)(C4[−1],A1[1]),

com HomDb(A)(C4[−1],Z) ' HomA(C4[−1],Z) = 0, uma vez que Z ∈ Y(T0). Como consequência, o

morfismo Hom(C4[−1],γ) é injetor.

Seja δ : B4[−1]→ A′4[−1] um morfismo satisfazendo wδ = γ . Dessa forma, o diagrama

HomDb(A)(_,B4[−1]) HomDb(A)(_,A1[1])

HomDb(A)(_,A′4[−1]) HomDb(A)(_,A1[1])

Hom(_,γ)

Hom(_,δ ) 1

Hom(_,w)

comuta e, portanto, Hom(_,δ ) é um morfismo injetor emA4[−1], já que o mesmo ocorre com Hom(_,γ).

Capítulo 4

ÁLGEBRAS 2-QUASE HEREDITÁRIAS E 2-QUASE INCLINADAS

Apresentaremos, neste capítulo, condições para que uma álgebra 2-quase hereditária seja 2-quase

inclinada e, portanto, hereditária por partes, o que corresponde à recíproca do teorema 3.19 para m = 2.

O caso em que m = 1 foi tratado em [HRS96b] e obtido sem hipóteses adicionais, como discutiremos

brevemente a seguir. Considere A uma álgebra 1-quase hereditária. A demonstração de que A é uma

álgebra 1-quase inclinada dada por Happel, Reiten e Smalø ([HRS96b](Teorema 2.3)) recorre à aplicação

Φ definida anteriormente. Em resumo, verificaram que a união das seguintes subcategorias plenas de

ind A

LA = X ∈ ind A;dpA Y ≤ 1, para cada antecessor Y de X e

RA = X ∈ ind A;diA Y ≤ 1, para cada sucessor Y de X,

contém todos os módulos indecomponíveis definidos sobre A, ou seja, ind A = LA ∪RA, e que LA ad-

mite todos os A-módulos indecomponíveis projetivos, determinando portanto o par de torção (add(RA \LA),add LA) coinclinante em mod A, já que claramente não há morfismo não nulo de RA \LA para LA.

Como resultado da aplicação de Φ à categoria mod A munida do par de torção mencionado acima, obtive-

ram uma categoria abelianaH e o par de torção (X ,Y) emH, comX = (addLA)[1] eY = add(RA\LA),

o que permitiu concluírem queH é hereditária. De fato,

• Ext2H(X ,X )' HomDb(H)(X ,X [2])' HomDb(A)((add LA)[1],(add LA)[1][2])

' Ext2A(add LA,add LA) = 0, pois dp LA ≤ 1,

• Ext2H(X ,Y)' HomDb(H)(X ,Y[2])' HomDb(A)((add LA)[1],(add(RA \LA))[2])

' Ext1A(add LA,add(RA \LA)) = 0, desde que ind A = LA∪RA,

• Ext2H(Y,X )' HomDb(H)(Y,X [2])' HomDb(A)(add(RA \LA),(add LA)[1][2])

' Ext3A(add(RA \LA),add LA) = 0, pois dim.gl A≤ 2,

• Ext2H(Y,Y)' HomDb(H)(Y,Y[2])' HomDb(A)(add(RA \LA),(add(RA \LA))[2])

' Ext2A(add(RA \LA),add(RA \LA)) = 0, já que diRA ≤ 1,

condições suficientes para garantir que Ext2H(_,_) = 0. Também, verificaram que T = (AA)[1] é um

objeto inclinante emH tal que a classe de torção X é dada por T :

(OI 1): X é inclinante, devido ao fato de que add LA é uma classe livre de torção coinclinante;

(OI 2): X = Gen T , já que para cada objeto X ∈ X , tem-se que X [−1] ∈ X [−1] admite estrutura

de A-módulo por também pertencer a add LA e, portanto, tem cobertura projetiva. O epimorfismo assim

53

4. ÁLGEBRAS 2-QUASE HEREDITÁRIAS E 2-QUASE INCLINADAS 54

construído em mod A com termos em add LA - e, consequentemente, com núcleo em add LA -, induz um

epimorfismo partindo de cópias de T para X emH;

(OI 3): T é um objeto Ext-projetivo em X , pois, dado U ∈ X = (add LA)[1], Ext1H(T,U) = Ext1A(A,

U [−1]) = 0;

(OI 4): cada objeto U Ext-projetivo emX é uma soma de somandos de T , bastando para isso verificar

que U [−1], visto como A-módulo, é projetivo. Com efeito, dado um A-módulo V , se V ∈ add LA,

então Ext1A(U [−1],V ) = Ext1H(U,V [1]) = 0, já que U é Ext-projetivo em X , e se, caso contrário, V ∈add(RA \LA), então Ext1A(U [−1],V ) = Ext2H(U,V ) = 0, poisH é hereditária;

(OI 5): se U ∈ H for tal que ExtiH(T,U) = 0, para i = 0, 1, então U ∈ add(RA \LA), já que em

particular HomH(T,U) = 0. Neste caso, 0 = Ext1H(T,U) = HomA(A,U) e, portanto, U = 0, desde que

todo A-módulo não nulo admite cobertura projetiva.

A conclusão desejada seguiu do fato de que EndH T ' A.

De forma alternativa, em termos da aplicação Φ−1 definida no capítulo 2, é possível demonstrar que

A (como apresentada acima) é 1-quase inclinada. É o que nos mostra a proposição a seguir.

Proposição 4.1. Sejam A uma álgebra 1-quase hereditária e Φ−1(mod A;(add(RA \LA),add LA)) =

(H;(T ,F)). Então H é uma categoria hereditária e existe um objeto inclinante T em H tal que A e

End T são Morita-equivalentes. Em particular, A é 1-quase inclinada.

Demonstração. Seja Φ−1(mod A;(add(RA \LA),add LA)) = (H;(T ,F)), em que T = add LA e

F = add(RA \LA)[−1]. Como anteriormente, observe que

• Ext2H(T ,T )'HomDb(H)(T ,T [2])'HomDb(A)(add LA,add LA[2])' Ext2A(add LA,add LA) = 0,

• Ext2H(T ,F)' HomDb(H)(T ,F [2])' HomDb(A)(add LA,(add(RA \LA))[−1][2])

' Ext1A(add LA,add(RA \LA)) = 0,

• Ext2H(F ,T )' HomDb(H)(F ,T [2])' HomDb(A)((add(RA \LA))[−1],(add LA)[2])

' Ext3A(add(RA \LA),add LA) = 0,

• Ext2H(F ,F)' HomDb(H)(F ,F [2])' HomDb(A)(add(RA \LA),(add(RA \LA))[2])

' Ext2A(add(RA \LA),add(RA \LA)) = 0,

em que os isomorfismos são garantidos pelo teorema 2.6. Dessa forma, H é uma categoria hereditária.

Além disso, de acordo com o teorema 2.10(a)(ii), o par de torção (T ,F) é dado por um objeto inclinante

T e, mais ainda, A e EndH T são Morita-equivalentes, nos permitindo concluir que A é 1-quase inclinada,

como desejado.

Essencialmente, a partir de uma álgebra com boas propriedades homológicas, foi possível, via a

aplicação Φ−1, construir uma categoria hereditária H e, mais ainda, verificar que a álgebra dada ori-

ginalmente é uma álgebra de endomorfismos de um objeto inclinante sobre H, a menos de Morita-

equivalência. Nesse caso, torna-se natural perguntar-nos sob quais condições homológicas uma álgebra

poderá ser obtida como uma álgebra de endomorfismos de um módulo inclinante definido sobre uma

álgebra quase inclinada. Em outras palavras, menos precisas, buscamos condições sobre uma álgebra

para que duas sucessivas aplicações de Φ−1 a sua categoria de módulos, munida de um par de torção

conveniente, resulte em uma categoria hereditária.


4.1 Propriedades Homológicas de Categorias obtidas a partir de Álgebras por Partes

Tendo em vista a questão proposta acima, considere B uma k-álgebra e B a categoria de módulos

definidos sobre B. Assuma que ind B = A1∪A2∪A3∪A4, em que cada Ai é uma subcategoria plena

de ind B satisfazendo as condições da seguinte tabela:

Tabela (B)

Ext#B(_,_) = 0 A1 A2 A3 A4

A1 ≥ 2 ≥ 1 ≥ 1 ≥ 0

A2 0, ≥ 3 ≥ 2 ≥ 1 ≥ 1

A3 0, ≥ 3 0, ≥ 2 ≥ 2 ≥ 1

A4 0, 1, ≥ 4 0, ≥ 3 0, ≥ 2 ≥ 2

Neste caso, são imediatas as afirmações:

(a) se X ′ = add(A3∪A4) e Y ′ = add(A1∪A2), então (X ′,Y ′) define um par de torção cindido em

B.

(b) Pred (A2) =A1∪A2 e Succ (A3) =A3∪A4.

(c) Ai é um subcategoria convexa em ind B, para cada 1≤ i≤ 4.

(d) A1 é fechada para antecessores e A4 é fechada para sucessores.

(e) se, adicionalmente, add(A1 ∪A2) = Cogen V , em que V é um B-módulo fiel, então Y ′ é uma

classe livre de torção coinclinante e, mais ainda, é dada por um B-módulo coinclinante.

Definição 4.2. Uma álgebra B como descrita acima, ou seja, com a propriedade de que existem quatro

subcategorias plenasAi de ind B, duas a duas disjuntas, satisfazendo as condições da tabela (B) e tais que

ind B =A1∪A2∪A3∪A4, com add(A1∪A2) = Cogen V , para algum B-módulo V fiel, será chamada

de álgebra por partes de tipo (A1,A2,A3,A4).

Ainda nessas condições, seja Φ−1(B,(X ′,Y ′)) = (A,(T ′,F ′)), em queA= X · ∈Db(B);H1(X ·) ∈X ′,H0(X ·) ∈ Y ′ e H i(X ·) = 0, para cada i 6= 0,1, T ′ = add(A1∪A2) e F ′ = add(A3[−1]∪A4[−1]).

Listaremos a seguir propriedades homológicas que podem ser obtidas para A e para os objetos em T ′ e

em F ′, apenas por meio dos dados estabelecidos na tabela (B).

Lema 4.3. Sejam B uma álgebra por partes de tipo (A1,A2,A3,A4) e

Φ−1(mod B;(add(A3∪A4),add(A1∪A2))) = (A,(T ′,F ′)).

Então:

(a) existe uma equivalência triangular Db(B)→Db(A) cuja restrição à subcategoria A corresponde

ao funtor identidade;

(b) é possível obter a seguinte tabela:


Tabela (A)

Ext#A(_,_) = 0 A1 A2 A3[−1] A4[−1]

A1 ≥ 2 ≥ 1 0, ≥ 2 ≥ 0

A2 0, ≥ 3 ≥ 2 0, ≥ 2 0, ≥ 2

A3[−1] ≥ 2 0, ≥ 1 ≥ 2 ≥ 1

A4[−1] 0, ≥ 3 ≥ 2 0, ≥ 2 ≥ 2

Demonstração. O item (a) é precisamente o teorema 2.6 e o item (b) segue diretamente da tabela

(B) e do item (a).


Φ−1(mod B;(add(A3∪A4),add(A1∪A2))) = (A;(T ′,F ′)),


(1) As subcategorias add A1, add A2, add A3[−1] e add A4[−1] de A são fechadas para extensões.

(2) add A3[−1] é fechada para subobjetos e add A2 é fechada para quocientes.

Demonstração. (1) addA1 é fechada para extensões: sejam A1, C1 ∈ addA1 e 0→A1a−→ Z b−→C1→ 0

uma sequência exata em A. Como anteriormente, considere (?) 0→ Z1⊕Z2(α1 α2 )−−−−→ Z

(β1β2

)−−−→ Z3[−1]⊕

Z4[−1]→ 0 a sequência exata canônica para Z relativa ao par de torção (T ′,F ′). De acordo com a tabela

(A), a composta(

β1β2

)a é nula e, portanto, deve existir um morfismo

(γ1γ2

): C1→ Z3[−1]⊕Z4[−1] tal que

o diagrama

0 A1 Z C1 0

Z3[−1]⊕Z4[−1]

a b(β1β2

) (γ1γ2

)

comuta. Novamente devido à tabela (A),(

γ1γ2

)=(

00

), o que nos permite concluir que

(β1β2

)=(

00

), ou

ainda, Z ' Z1⊕Z2. Agora, bα2 = 0 e, portanto, existe um morfismo c : Z2→ A1 tal que o diagrama

Z2

0 A1 Z C1 0

α2ca b

é comutativo. Segundo a tabela (A), c = 0 e, então, o monomorfismo α2 é nulo, nos garantindo que

Z2 = 0. Consequentemente, Z ' Z1, ou ainda, Z ∈ add A1.

Os demais casos podem ser obtidos de forma similar e, portanto, serão omitidos.

(2) add A3[−1] é fechada para subobjetos: sejam A3[−1] ∈ add A3[−1] e f : Z→ A3[−1] um mo-

nomorfismo em A. Sendo (T ′,F ′) um par de torção em A, devemos ter Z ∈ add(A3[−1]∪A4[−1]).


Agora, se algum somando direto indecomponível Z′ de Z for um objeto em A4[−1], então o monomor-

fismo Z′ → Zf−→ A3[−1] será nulo, devido à tabela (A) e, portanto, Z′ = 0, uma contradição. Consequen-

temente, Z ∈ add A3[−1].

Em seguida, mostraremos que add A2 é fechada para quocientes. Sejam A2 ∈ add A2 e g : A2→U

um epimorfismo em A. Como anteriormente, desde que (T ′,F ′) é um par de torção em A, U ∈add(A1 ∪A2). Se algum somando direto indecomponível U ′ de U for um objeto de A1, então o epi-

morfismo A2g−→U →U ′ deverá se anular, donde U ′ = 0, um absurdo. Logo, U ∈ add A2.


Φ−1(mod B;(add(A3∪A4),add(A1∪A2))) = (A;(T ′,F ′)).

Então Ext3A(_,_) = 0.

Demonstração: Considere um objeto Z em A. Uma vez que (T ′,F ′) é um par de torção em A,

podemos construir uma sequência exata

0→ A1⊕A2α−→ Z

β−→ A3[−1]⊕A4[−1]→ 0,

em que Ai ∈ add Ai, para cada i = 1, 2, 3, 4 e, portanto, a sequência

Ext3A(A3[−1]⊕A4[−1],_)Ext3A(β ,_)−−−−−−→ Ext3A(Z,_)

Ext3A(α,_)−−−−−−→ Ext3A(A1⊕A2,_)

é também exata. Nessas condições, para mostrarmos que Ext3A(Z,_) = 0, basta verificarmos que

Ext3A(A1⊕A2,_) = 0 e que Ext3A(A3[−1]⊕A4[−1],_) = 0. Com esse propósito, consideremos um objeto

U em A e

0→ A′1⊕A′2→U → A′3[−1]⊕A′4[−1]→ 0 (∗)

sua sequência exata canônica relativa ao par de torção (T ′,F ′). Ao aplicarmos os funtores HomA(A1⊕A2,_) e HomA(A3[−1]⊕A4[−1],_) à sequência em (∗), obtemos as seguintes duas sequências exatas

Ext3A(A1⊕A2,A′1⊕A′2)→ Ext3A(A1⊕A2,U)→ Ext3A(A1⊕A2,A′3[−1]⊕A′4[−1])

e Ext3A((A3⊕A4)[−1],A′1⊕A′2)→ Ext3A((A3⊕A4)[−1],U)→ Ext3A((A3⊕A4)[−1],(A′3⊕A′4)[−1]).

De acordo com a tabela (A), os termos das pontas da primeira e da segunda sequências exatas se anulam

e, dessa forma, podemos concluir que Ext3A(A1⊕A2,U) = 0 e que Ext3A(A3[−1]⊕A4[−1],U) = 0. Como

consequência, Ext3A(_,_) = 0.

Lema 4.6. Para as subcategorias A1, A2, A3[−1] e A4[−1] de A, as seguintes afirmações são válidas:

(1) Ext2A(A1,_) = 0.

(2) Ext2A(_,A2) = 0.

(3) Ext2A(A3[−1],_) = 0 e Ext2A(_,A3[−1]) = 0.

(4) Ext2A(_,A4[−1]) = 0.


Demonstração: Para um objeto Z em A, considere a sequência exata

0→ ZT ′ → Z→ ZF ′ → 0,

em que ZT ′ ∈ T ′ e ZF ′ ∈ F ′, cuja existência é garantida por (T ′,F ′) definir um par de torção em A.

Neste caso, são também exatas as sequências

Ext2A(_,ZT ′)→ Ext2A(_,Z)→ Ext2A(_,ZF ′) e Ext2A(ZF ′ ,_)→ Ext2A(Z,_)→ Ext2A(ZT ′ ,_)

e, portanto, a demonstração de cada um dos itens (1), (2), (3) ou (4) depende somente das respec-

tivas restrições às subcategorias T ′ e F ′ de A se anularem. Desde que T ′ = add(A1 ∪A2) e F ′ =add(A3[−1]∪A4[−1]), os resultados desejados são consequências imediatas da tabela (A).

Nas condições propostas anteriormente, isto é, se Φ−1(B;(X ′,Y ′)) = (A;(T ′,F ′)), em que B é a

categoria de módulos sobre uma álgebra B por partes, é possível concluir que A é uma categoria de

módulos e, além disso, B é equivalente a mod End T ′, em que T ′ é um módulo inclinante em A, como

mostraremos na proposição a seguir.

Proposição 4.7. Sejam B uma álgebra por partes de tipo (A1,A2,A3,A4) e

Φ−1(B;(add(A3∪A4),add(A1∪A2))) = (A;(T ′,F ′)),


(i) A é uma categoria de módulos sobre uma álgebra A.

(ii) o par de torção (T ′,F ′) é dado por um módulo inclinante T ′ e B e End T ′ são Morita-equivalentes.

(iii) existe uma equivalência triangular G :Db(A)→Db(B) cuja restrição a A é o funtor identidade.

Demonstração. De acordo com a proposição 1.4, o par de torção (X ′,Y ′) é dado por um B-módulo

coinclinante, uma vez que Y ′=Cogen V , para V fiel. Neste caso,A é equivalente a mod End V , segundo

o teorema 2.10. Ainda em virtude do teorema 2.10, o par de torção (T ′,F ′) emA é dado por um módulo

inclinante T ′ e, além disso, B e End T ′ são Morita-equivalentes, como desejado.

O item (iii) é consequência do teorema 2.6, já que A admite suficientes injetivos.

Como consequência dos lemas 4.5 e 4.6 e da proposição acima, são obtidos:

Corolário 4.8. Seja A a álgebra obtida na proposição 4.7. Então dim.gl A≤ 2.

Corolário 4.9. Sejam A a álgebra obtida na proposição 4.7 e X um A-módulo em T ′∪F ′.

(a) Se X ∈ A1, então dpA X ≤ 1, e se X ∈ A2, então diA X ≤ 1.

(b) Se X ∈ A3[−1], então dpA X ≤ 1 e diA X ≤ 1, e se X ∈ A4[−1], então diA X ≤ 1.

As notações estabelecidas na proposição 4.7 serão seguidas ao longo de todo o capítulo. Dessa

forma, sempre que nos referirmos às álgebras B e A, estaremos assumindo que B é uma álgebra por par-

tes de tipo (A1,A2,A3,A4) e que A é obtida por meio de Φ−1, ou seja, Φ−1(B;(add(A3∪A4),add(A1∪


A2))) = (mod A;(T ′,F ′)), em que (T ′,F ′) é o par de torção em mod A dado por T ′ = add(A1∪A2) e

F ′ = add(A3[−1]∪A4[−1]).

Fixando a nomenclatura. Observe que, sendo (T ′,F ′) um par de torção em A, para cada A-módulo

Z deve existir uma sequência exata da forma (?) 0→ A1⊕ A2α−→ Z

β−→ A3[−1]⊕ A4[−1]→ 0, com

Ai ∈ add Ai, i = 1,2,3,4, única a menos de isomorfismo. Neste caso, se 0→ B1⊕B2→ Z→ B3[−1]⊕B4[−1]→ 0, com cada Bi ∈ add Ai, então existem isomorfismos ψ : A1⊕A2→ B1⊕B2 e θ : A3[−1]⊕A4[−1]→ B3[−1]⊕B4[−1]. Em particular, B1 é isomorfo a um somando direto de A1⊕A2 e, uma vez

que add A1 e add A2 são fechadas para somandos diretos, B1 é isomorfo a um somando direto de A1.

Analogamente, A1 é isomorfo a um somando direto de B1 e, portanto, A1'B1. Da mesma forma, pode-se

concluir que A2 ' B2, A3[−1]' B3[−1] e A4[−1]' B4[−1].

Definição 4.10. Sejam Z um A-módulo e 0→ A1⊕A2→ Z→ A3[−1]⊕A4[−1]→ 0, com Ai ∈ addAi, a

sequência exata canônica para Z relativa ao par de torção (T ′,F ′). Cada Ai será chamado de termoAi de

Z e será denotado por AZi , ou simplesmente por Ai, quando estiver claro a qual módulo Z nos referimos.

Ainda em relação à sequência exata (?), os morfismos α e β são, respectivamente, add(A1 ∪A2)-

aproximação minimal à direita de Z e add(A3[−1]∪A4[−1])-aproximação minimal à esquerda de Z.

De fato, qualquer morfismo α ′ : A′1⊕A′2 → Z, com A′i ∈ add Ai, se fatora através de α , uma vez que

βα ′ ∈ HomA(A′1⊕A′2,A3[−1]⊕A4[−1]) = 0, segundo a tabela (A). Quanto à minimalidade, seja u ∈End(A1⊕A2) tal que αu = α . Podemos então construir o seguinte diagrama comutativo

0 A1⊕A2 Z A3[−1]⊕A4[−1] 0

0 A1⊕A2 Z A3[−1]⊕A4[−1] 0

α

u

β

1 1

α β

em mod A que, de acordo com o Lema da Serpente, nos garante que Ker u = 0 e Coker u = 0, ou ainda,

que u é um isomorfismo, como desejado. De forma análoga, mostra-se a afirmação feita para β .

Observação 4.11. Um A-módulo Z terá termoAi (ouAi[−1]) não nulo se, e somente se, algum entre seus

somandos indecomponíveis tiver termo Ai (ou Ai[−1]) não nulo: apenas por simplicidade, assumamos

que i = 1. Suponhamos que cada somando indecomponível Z′ de Z tem termo A1 nulo. Neste caso, a

sequência exata canônica para Z′ relativa ao par de torção (T ′,F ′) é da forma 0→ AZ′2 → Z′→ AZ′

3 [−1]⊕AZ′

4 [−1]→ 0. Além disso, a soma 0→⊕Z′|Z

AZ′2 →

⊕Z′|Z

Z′ = Z →⊕Z′|Z

(AZ′3 [−1]⊕ AZ′

4 [−1])→ 0 é uma

sequência exata canônica para Z e, segundo o lema 4.4,⊕Z′|Z

AZ′2 ∈ add A2. Consequentemente, AZ

1 = 0,

ou seja, Z tem termo A1 nulo.

Por outro lado, se existir um somando indecomponível Z′ de Z com termo A1 não nulo, então, desde

que a sequência exata canônica para Z pode ser obtida ao somarmos as sequências exatas canônicas de

todos seus somandos diretos, Z deve ter termo A1 não nulo.

Lema 4.12. Sejam Z um A-módulo e (?) 0→ A1⊕A2(α1 α2)−−−−→ Z

(β1β2

)−−−→ A3[−1]⊕A4[−1]→ 0, com

Ai ∈ add Ai, i = 1, 2, 3, 4, sua sequência exata canônica relativa ao par de torção (T ′,F ′).

(a) Z tem termo A2 nulo se, e somente se, HomA(_,Z)|A2 = 0.


(b) Z tem termo A3[−1] nulo se, e somente se, HomA(Z,_)|A3[−1] = 0.

(c) Se HomA(_,Z)|A1 = 0, então Z tem termo A1 nulo.

(d) Se HomA(Z,_)|A4[−1] = 0, então Z tem termo A4[−1] nulo.

Demonstração. (a) Suponha, inicialmente, que A2 = 0 e considere um morfismo f : C2 → Z, com

C2 ∈ A2. Desde que α1 é uma add(A1 ∪A2)-aproximação minimal à direita de Z, f deve se fatorar

através de α1, ou seja, deve existir um morfismo g : C2→ A1 satisfazendo α1g = f .

A1 Z

C2

α1

fg

Agora, de acordo com a tabela (A), g= 0 e, portanto, f = 0. Inversamente, uma vez que HomA(_,Z)|A2 =

0, o monomorfismo α2 é nulo. Consequentemente, A2 = 0.

Em relação ao item (b), assuma que A3[−1] = 0 e considere um morfismo f : Z → C3[−1], com

C3[−1]∈A3[−1]. Observe que f deve se fatorar através de β2, já que esta é uma add(A3[−1]∪A4[−1])-

aproximação minimal à esquerda de Z. Neste caso, deve existir um morfismo g : A4[−1]→C3[−1] tal

que o diagrama

Z A4[−1]

C3[−1]

β2

fg

comuta. Novamente segundo a tabela (A), g = 0 e, consequentemente, f = 0, como desejado. Recipro-

camente, o epimorfismo β1 é nulo, o que nos permite concluir que A3[−1] = 0.

Da mesma forma, verificam-se os itens (c) e (d), já que α1 e β2 são um monomorfismo e um epimor-

fismo, respectivamente.

Segundo o corolário 4.8, para que a álgebra A apresentada acima seja quase inclinada, cada A-módulo

indecomponível X deverá satisfazer dpA X ≤ 1 ou diA X ≤ 1. Basta-nos portanto determinar um par de

torção cindido em mod A de forma que todo módulo na classe de torção tenha dimensão injetiva no

máximo um e todo módulo na classe livre de torção tenha dimensão projetiva no máximo um.

4.2 A Escolha do Par de Torção Cindido

Recordamos que sobre a álgebra B estamos assumindo:

• ind B =A1∪A2∪A3∪A4;

• a tabela (B);

• A1∪A2 = Cogen V , em que V é um B-módulo fiel.

Como anteriormente, consideremos a álgebra A obtida por Φ−1(mod B;(add(A3 ∪A4),add(A1 ∪A2))) = (mod A;(T ′,F ′)). Assumamos ainda que:


(H1) para A1 ∈ add A1, A2 ∈ add A2 e A4[−1] ∈ add A4[−1] indecomponíveis,

HomDb(B)(A4[−1],A1[1]) = 0 ou HomDb(B)(A4[−1],A2[1]) = 0.

Nessas condições, é possível mostrar que cada A-módulo indecomponível não admite, simultanea-

mente, termos A2 e A3[−1] não nulos. Também, todo A-módulo indecomponível com termo A2 não

nulo tem termo A1 nulo. É o que verifica o lema a seguir, essencial para a escolha do par de torção que

buscamos determinar.

Lema 4.13. Sejam Z um A-módulo indecomponível e A1, A2 e A3[−1] os termosA1, A2 eA3[−1] de Z,

respectivamente. Se A2 6= 0, então A1 = 0 e A3[−1] = 0.

Demonstração. Considere um A-módulo indecomponível Z e

0→ A1⊕A2→ Z→ A3[−1]⊕A4[−1]→ 0

sua sequência exata canônica relativa ao par de torção (T ′,F ′) (e, portanto, A1, A2 e A3[−1] são os

termos A1, A2 e A3[−1] de Z, respectivamente). Neste caso,

(?) A1⊕A2 Z A3[−1]⊕A4[−1] A1[1]⊕A2[1]

é um triângulo emDb(A). De acordo com a hipótese (H1), para cada somando indecomponível B4[−1] de

A4[−1] tal que há morfismo não nulo para A1[1], deve-se ter HomDb(A)(B4[−1],A2[1])'HomDb(B)(B4[−1],

A2[1]) = 0. Escrevamos, portanto, A4[−1] = A′4[−1]⊕A′′4[−1], em que A′4[−1] corresponde à soma direta

dos somandos indecomponíveis de A4[−1] dos quais há morfismo não nulo para A1[1] e A′′4[−1] corres-

ponde à soma dos demais somandos indecomponíveis de A4[−1]. Dessa forma, reescrevemos o triângulo

(?) por

A1⊕A2 Z (A3[−1]⊕A′4[−1])⊕A′′4[−1] A1[1]⊕A2[1],

(φ 00 ψ

)

que, segundo o lema 1.12, pode ser obtido como soma direta dos seguintes dois triângulos:

A1 Z′ (A3[−1]⊕A′4[−1]) A1[1] eφ

A2 Z′′ A′′4[−1] A2[1].ψ

Uma vez que Z é indecomponível, Z′ = 0 ou Z′′ = 0. No primeiro caso, devido ao corolário 1.8,

concluímos que o morfismo φ : A3[−1]⊕A′4[−1]→ A1[1] é um isomorfismo. Agora, desde que φ−1 ∈HomDb(A)(A1[1],A3[−1]⊕A′4[−1])' Ext−1

A (A1,A3[−1]⊕A′4[−1]) = 0, segue que A3[−1] = A′4[−1] = 0

e A1 = 0. No segundo caso, novamente conforme o corolário 1.8, ψ : A′′4[−1]→ A2[1] é um isomorfismo,

e ψ−1 ∈HomDb(A)(A2[1],A′′4[−1])' Ext−1A (A2,A′′4[−1]) = 0, o que nos garante que A2 = 0 e A′′4[−1] = 0.

De acordo com o lema anterior, se Z for um A-módulo indecomponível, então sua sequência exata

canônica relativa ao par de torção (T ′,F ′) será de uma das seguintes formas:

(1) 0→ A2→ Z→ A4[−1]→ 0 ou (2) 0→ A1→ Z→ A3[−1]⊕A4[−1]→ 0,


em que cada Ai ∈ add Ai. Tendo essa afirmação e a observação 4.11 em vista, definamos

• X = Z ∈ mod A; AZ1 = 0 e AZ

3 [−1] = 0 e

• Y = Z ∈ mod A; AZ2 = 0 e Z não tem somando direto em A4[−1].

Assim, todo A-módulo indecomponível pertence a X ou a Y . De fato, seja Z um A-módulo indecom-

ponível. Se para Z existir uma sequência exata do tipo (1), então Z ∈X . Por outro lado, se para Z existir

uma sequência exata do tipo (2), então Z deverá pertencer a Y , caso não pertença a A4[−1], e a X , caso

contrário, já que claramente A4[−1]⊆X . Podemos portanto enunciar o seguinte corolário:

Corolário 4.14. Seja Z um A-módulo indecomponível. Então Z ∈ X ou Z ∈ Y .

Devido ao corolário acima, para mostrarmos que (X ,Y) define um par de torção em mod A, é sufici-

ente verificarmos que não há morfismo não nulo de módulos em X para módulos em Y . Consideremos

portanto X ∈ X e Y ∈ Y . Neste caso, em mod A existe uma sequência exata

(∗) 0→ A2→ X → A4[−1]→ 0,

com A2 ∈ add A2 e A4[−1] ∈ add A4[−1]. Aplicando o funtor HomA(_,Y ) a (∗), obtemos a também

sequência exata 0→HomA(A4[−1],Y )→HomA(X ,Y )→HomA(A2,Y ), que tem este último termo nulo,

devido ao lema 4.12. Neste caso, HomA(X ,Y ) = 0 se, e somente se, HomA(A4[−1],Y ) = 0. O problema

se reduz, portanto, à verificação de que não há morfismo não nulo de módulos em add A4[−1] para

módulos em Y . Para que esta seja possível, acrescentaremos a (H1) as seguintes hipóteses:

(H2) (i) Se g : A2 → A4 for um morfismo em B, com A2 ∈ add A2 e A4 ∈ add A4, então nenhum

somando indecomponível de Ker g deverá pertencer a A1.

(ii) Se h : A3⊕A4 → C4 for um morfismo em B, com A3 ∈ add A3 e A4, C4 ∈ add A4, então

nenhum somando indecomponível de Ker h deverá pertencer a A1.

(H3) (i) A1[1] é funtorialmente finita em A4[−1]. Além disso, se w : A′4[−1] → A1[1] for uma

addA4[−1]-aproximação minimal à direita de A1[1] e γ : A4[−1]→A1[1] for um morfismo tal

que o A-módulo Z obtido como termo do meio da sequência exata 0→A1→ Z→A4[−1]→ 0

associada a γ não admite somandos em A4[−1], então um morfismo δ : A4[−1]→ A′4[−1]

que satisfizer wδ = γ será tal que Hom(_,δ ) é um morfismo injetor em A4[−1].

(ii) A4[−1] é funtoriamente finita emA1[1]. Além disso, se w : A4[−1]→A′1[1] for uma addA1[1]-

aproximação minimal à esquerda de A4[−1] e γ : A4[−1]→ A1[1] for um morfismo tal que

o A-módulo Z obtido como termo do meio da sequência exata 0→ A1→ Z→ A4[−1]→ 0

associada a γ não admite somandos em A4[−1], então um morfismo δ : A′1[1]→ A1[1] que

satisfizer δw = γ será tal que Hom(δ ,_) é um morfismo sobrejetor em A1[2].

Claramente, para mostrarmos que HomA(add A4[−1],Y) = 0 (F), basta considerarmos módulos

indecomponíveis em add A4[−1] e em Y . Além disso, podemos considerar somente módulos indecom-

poníveis em Y \A3[−1], uma vez que HomA(A4[−1],A3[−1]) = 0, de acordo com a tabela (A). Dessa

forma, nos interessam os morfismos de módulos em A4[−1] para módulos indecomponíveis com termo


A1 não nulo, já que um A-módulo indecomponível Z pertence a Y \A3[−1] se, e somente se, admite

termo A1 não nulo.

A demonstração da afirmação (F) será então dividida em etapas: dados um A-módulo A1 ∈ add A1

e w : A′4[−1]→ A1[1] uma addA4[−1]-aproximação minimal à direita de A1[1], provaremos inicialmente

que não há monomorfismo de um módulo em A4[−1] para o A-módulo Z′ obtido como termo do meio

da sequência exata 0→ A1u−→ Z′ v−→ A′4[−1]→ 0 associada ao morfismo w ∈ HomDb(A)(A

′4[−1],A1[1]);

em seguida, mostraremos que não há epimorfismo não nulo de um módulo em A4[−1] para qualquer

A-módulo; por fim, como consequência das anteriores, mostraremos que não há morfismo não nulo de

módulos em A4[−1] para Z′ como descrito acima.

Lema 4.15. Sejam A1 ∈ add A1, w : A′4[−1]→ A1[1] uma add A4[−1]-aproximação minimal à direita

de A1[1] e Z′ o A-módulo obtido como termo do meio da sequência exata 0→ A1u−→ Z′ v−→ A′4[−1]→ 0

associada ao morfismo w ∈ HomDb(A)(A′4[−1],A1[1]). Então não há monomorfismo de módulos em

A4[−1] para Z′.

Demonstração. Sejam Z′ um A-módulo como descrito acima e φ : B4[−1]→ Z′ um monomorfismo,

em que B4[−1] ∈ add A4[−1] é indecomponível. Desde que B4[−1]φ−→ Z′→ Coker φ → B4 define um

triângulo em Db(A), construímos o diagrama comutativo

B4[−1]

A1 Z′ A′4[−1] A1[1]

C1⊕C2 Coker φ C3[−1]⊕C4[−1] C1[1]⊕C2[1]

B4

φ

u

(h1h2

)v w

(α1 α2)

em que (∗) C1⊕C2(α1 α2)−−−−→ Coker φ →C3[−1]⊕C4[−1]→C1[1]⊕C2[1] é o triângulo em Db(A) deter-

minado pela sequência exata canônica para Coker φ relativa ao par de torção (T ′,F ′) e a existência dos

morfismos tracejados está garantida por HomDb(A)(A1,C3[−1]⊕C4[−1]) = 0.

Considere G :Db(A)→Db(B) a equivalência triangular cuja restrição a mod A é o funtor identidade,

conforme descrita na proposição 4.7. Neste caso, a aplicação do funtor G ao diagrama acima nos fornece

o mesmo diagrama em Db(B). O triângulo em (∗) induz a sequência exata longa em mod B

H−1(C3[−1]⊕C4[−1])→ H0(C1⊕C2)→ H0(Coker φ)→ H0(C3[−1]⊕C4[−1])→ H1(C1⊕C2)→

→H1(Coker φ)→H1(C3[−1]⊕C4[−1])→H2(C1⊕C2)→H2(Coker φ),

em que H i :Db(B)→mod B denota a cohomologia com respeito à t-estrutura natural deDb(B). Observe

que H0(C1⊕C2) = C1⊕C2 e H i(C1⊕C2) = 0, para todo i 6= 0, e H1(C3[−1]⊕C4[−1]) = C3⊕C4 e

H i(C3[−1]⊕C4[−1]) = 0, para todo i 6= 1. Como consequência, H0(Coker φ)'C1⊕C2, H1(Coker φ)'C3⊕C4 e H i(Coker φ) = 0, para cada i 6= 0,1.

Da mesma forma, o triângulo A1u−→ Z′ v−→ A′4[−1] w−→ A1[1] induz a sequência exata longa em mod B

H−1(A′4[−1])→ H0(A1)→ H0(Z′)→ H0(A′4[−1])→ H1(A1)→ H1(Z′)→ H1(A′4[−1])→ H2(A1)→


→H2(Z′)→H2(A′4[−1]).

Como anteriormente, pode-se verificar que H0(A1) = A1 e H i(A1) = 0, para todo i 6= 0, e H1(A′4[−1])

= A′4 e H i(A′4[−1]) = 0, para todo i 6= 1. Assim, conclui-se que H0(Z′)' A1, H1(Z′)' A′4 e H i(Z′) = 0,

para todo i 6= 0,1.

Finalmente, o triângulo B4[−1]φ−→ Z′→ Coker φ → B4 induz a sequência exata longa em mod B

0 = H0(B4[−1])→ H0(Z′)→ H0(Coker φ)→ H1(B4[−1])→ H1(Z′)→ H1(Coker φ)→ H2(B4[−1]),

que, em virtude das considerações acima, pode ser reescrita por

0→ A1

(h1h2

)−−−→C1⊕C2

(0 h)−−−→ B4→ A′4

(θ1θ2

)−−−→C3⊕C4→ 0.

Uma vez que a composta A′4

(θ1θ2

)−−−→C3⊕C4

(1 0)−−−→C3 é um epimorfismo em mod B, devemos ter C3 = 0,

pois, segundo a tabela (B), não há morfismo não nulo de A4 para A3. Além disso, A1 = C1⊕Ker h e,

portanto, Ker h ∈ add A1. Segue da hipótese (H2)(i) que Ker h = 0, ou ainda, h2 = 0. Logo, h1 é um

isomorfismo.

O diagrama apresentado inicialmente é agora da forma

B4[−1] cone( j)[−1]

A1 Z′ A′4[−1] A1[1]

C1⊕C2 Coker φ C4[−1] C1[1]⊕C2[1]

B4 cone( j)

φ k

u

(h10

)v

j

w

(h1[1]

0

)(α1 α2) β

δ (γ1γ2

)

Sendo w uma add A4[−1]-aproximação minimal à direita de A1[1], deve existir um morfismo δ :

C4[−1]→ A′4[−1] tal que wδ = (h−11 [1] 0)

(γ1γ2

)= h−1

1 [1]γ1. Nessas condições, wδ j = h−11 [1]γ1 j e, por-

tanto, wδ j = w. A minimalidade de w nos garante que δ j é um isomorfismo, donde k : cone( j)[−1]→A′4[−1] é nulo. Consequentemente, vφ = 0, ou seja, existe um morfismo u′ : B4[−1]→ A1 satisfazendo

uu′ = φ . De acordo com a tabela (B), u′ = 0, o que nos permite concluir que φ = 0, uma contradição,

pois B4[−1] é indecomponível.

Lema 4.16. Seja Z /∈ add A4[−1] um A-módulo com termo A2 nulo. Então não existe um epimorfismo

não nulo C4[−1]→ Z, para qualquer C4[−1] ∈ A4[−1].

Demonstração. Sejam Z como descrito no enunciado e 0→ A1 → Z → A3[−1]⊕A4[−1]→ 0 sua

sequência exata canônica relativa ao par de torção (T ′,F ′), em que A1 ∈ add A1, A3[−1] ∈ add A3[−1]

e A4[−1] ∈ add A4[−1]. Suponha que existe um epimorfismo não nulo φ : C4[−1]→ Z, para algum

C4[−1] ∈ A4[−1]. Podemos construir o triângulo

(∗) A1→ Z→ A3[−1]⊕A4[−1]→ A1[1]


em Db(A). A equivalência triangular G : Db(A)→Db(B) obtida através da proposição 4.7 nos garante

que (∗) é também um triângulo em Db(B).

Também, sendo φ um epimorfismo, existe a sequência exata 0→ Ker φ → C4[−1]φ−→ Z → 0 em

mod A, que nos permite construir o triângulo Ker φ →C4[−1]φ−→ Z→Ker φ [1] emDb(A). Uma vez que

add(A3[−1]∪A4[−1]) é fechada para submódulos, Ker φ ∈ add(A3[−1]∪A4[−1]), ou seja, Ker φ pode

ser escrito como uma soma direta D3[−1]⊕D4[−1], com D3[−1]∈ addA3[−1] e D4[−1]∈ addA4[−1].

Novamente por meio da equivalência triangular G, obtemos em Db(B)

(∗∗) D3[−1]⊕D4[−1]→C4[−1]φ−→ Z→ D3⊕D4.

O triângulo (∗) induz em mod B a seguinte sequência exata longa

H−1(A1)→ H−1(Z)→ H−1(A3[−1]⊕A4[−1])→ H0(A1)→ H0(Z)→ H0(A3[−1]⊕A4[−1])→

→H1(A1)→H1(Z)→H1(A3[−1]⊕A4[−1])→H2(A1)→H2(Z),

em que H i : Db(B)→ mod B novamente denota a cohomologia com respeito à t-estrutura natural de

Db(B). Observe que H0(A1) = A1 e H i(A1) = 0, para todo i 6= 0, e H1(A3[−1]⊕A4[−1]) = A3⊕A4 e

H i(A3[−1]⊕A4[−1]) = 0, para todo i 6= 1. Assim, concluímos que H0(Z) ' A1, H1(Z) ' A3⊕A4 e

H i(Z) = 0, para cada i 6= 0, 1.

Também, o triângulo (∗∗) induz em mod B a sequência exata longa

H0(D3[−1]⊕D4[−1])→ H0(C4[−1])→ H0(Z)→ H1(D3[−1]⊕D4[−1])→ H1(C4[−1])→ H1(Z)→

→H2(D3[−1]⊕D4[−1])→H2(B4[−1]).

Veja que H0(C4[−1]) = 0, H1(D3[−1]⊕D4[−1]) = D3⊕D4 e H2(D3[−1]⊕D4[−1]) = 0 e, portanto,

esta última sequência exata pode ser reescrita por

0→ A1→ D3⊕D4→C4θ−→ A3⊕A4→ 0.

De acordo com a hipótese (H2)(ii), A1 = 0. Além disso, A3 = 0, uma vez que a composta C4θ−→ A3⊕

A4(1 0)−−−→ A3 é um epimorfismo em B e não há morfismo não nulo de módulos em A4 para módulos em

A3. Logo, Z ∈ add A4[−1], o que é uma contradição.

Dessa forma, não pode haver epimorfismo não nulo de qualquer módulo em A4[−1] para Z, como

desejado.

Como consequência do lema anterior segue que, em particular, não há epimorfismo não nulo de

módulos em A4[−1] para o A-módulo Z′ descrito no lema 4.15.

Lema 4.17. Sejam A1 ∈ add A1, w : A′4[−1]→ A1[1] uma add A4[−1]-aproximação minimal à direita

de A1[1] e Z′ o A-módulo obtido como termo do meio da sequência exata 0→ A1→ Z′→ A′4[−1]→ 0

associada ao morfismo w ∈ HomDb(A)(A′4[−1],A1[1]). Então não há morfismo não nulo de módulos em

A4[−1] para Z′.

Demonstração. Suponha, por absurdo, que existe um morfismo não nulo f : B4[−1]→ Z′, com

B4[−1] ∈ A4[−1]. Observe que:

• nenhum somando indecomponível de Im f pertence a A4[−1]: de fato, se X for um somando


indecomponível de Im f tal que X ∈ A4[−1], então a inclusão X → Z′ será um monomorfismo de

um módulo em A4[−1] para Z′, o que é um absurdo, segundo o lema 4.15;

• Im f tem termoA2 nulo: se, caso contrário, Im f tiver termoA2 não nulo, então deverá existir um

morfismo não nulo α : A2→ Im f , para algum A2 ∈ A2, e uma vez que a inclusão i : Im f → Z′

é um monomorfismo, a composta iα será não nula. Dessa forma, segundo a observação 4.12, Z′

terá termo A2 não nulo, uma contradição;

• Im f tem termo A1 nulo: se X for um somando indecomponível de Im f com termo A1 não nulo,

então a composta B4[−1]f−→ Im f π−→ X será um epimorfismo, em que f é a correstrição de f a sua

imagem e π é a projeção canônica. Uma vez que X /∈A4[−1] e que X tem termo A2 nulo, seguirá

do lema 4.16 que π f é nulo e, portanto, X = 0, o que é novamente uma contradição.

Através das considerações acima obtemos que Im f ∈A3[−1] e, como não há morfismo não nulo de

A4[−1] para A3[−1], f é nulo, o que é uma contradição.

Tendo em vista os lemas 4.15, 4.16 e 4.17, mostraremos em seguida a afirmação (F).

Proposição 4.18. Seja Y a subcategoria plena de mod A cujos objetos são os A-módulos com termosA2

nulos e tais que não possuem somandos diretos em A4[−1]. Então HomA(A4[−1],Y) = 0.

Demonstração. Seja Z ∈ Y \A3[−1] indecomponível. Como observado acima, Z deve admitir, neste

caso, termo A1 não nulo. Suponha, inicialmente, que Z tem termo A3[−1] nulo. Nessas condições, a

sequência exata canônica para Z relativa ao par de torção (T ′,F ′) é da forma 0→A1α−→ Z

β−→A4[−1]→ 0,

em que A1 ∈ add A1 e A4[−1] ∈ add A4[−1]. Construímos, portanto, o triângulo

(?) A1α−→ Z

β−→ A4[−1]γ−→ A1[1].

Sejam w : A′4[−1] → A1[1] uma add A4[−1]-aproximação minimal à direita de A1[1] e A1u−→ Z′ v−→

A′4[−1] w−→ A1[1] o triângulo induzido por w. De acordo com o lema 4.17, não existe morfismo não

nulo de A4[−1] para Z′, ou seja, o morfismo Hom(_,w) : HomDb(A)(_,A′4[−1])→ HomDb(A)(_,A1[1]) é

injetor em A4[−1]. Além disso, sendo w uma add A4[−1]-aproximação à direita de A1[1], deve existir

um morfismo δ : A4[−1]→ A′4[−1] tal que o quadrado abaixo é comutativo

A4[−1] A1[1]

A′4[−1] A1[1].

γ

δ 1

w

Dessa forma, é também comutativo o quadrado

HomDb(A)(_,A4[−1]) HomDb(A)(_,A1[1])

HomDb(A)(_,A′4[−1]) HomDb(A)(_,A1[1]),

Hom(_,γ)

Hom(_,δ ) 1

Hom(_,w)

ou seja, Hom(_,w)Hom(_,δ ) = Hom(_,γ). Devido a (H3)(i), como Z 6∈ A4[−1], Hom(_,δ ) é um

morfismo injetor em A4[−1] e, portanto, Hom(_,γ) é um morfismo injetor em A4[−1], já que o mesmo


ocorre com Hom(_,w). Logo, fixado D4[−1]∈A4[−1], aplicando o funtor Hom(D4[−1],_) ao triângulo

(?), obtemos a sequência exata longa

0 = HomDb(A)(D4[−1],A1)→ HomDb(A)(D4[−1],Z) 0−→ HomDb(A)(D4[−1],A4[−1])Hom(D4[−1],γ)−−−−−−−−→

HomDb(A)(D4[−1],A1[1]),

donde HomA(D4[−1],Z) ' HomDb(A)(D4[−1],Z) = 0, ou ainda, não há morfismo não nulo de módu-

los em A4[−1] para Z.

Assuma agora que Z admite termoA3[−1] não nulo. Suponha, por absurdo, que existe um morfismo

f : B4[−1]→ Z não nulo, com B4[−1] ∈ A4[−1]. Considere Z U A4[−1]φ

v o pullback

de Z A3[−1]⊕A4[−1] A4[−1](β1 β2)

t

(0 1)t . Neste caso, uma vez que(

β1β2

)f =

(β1 fβ2 f

)=(

0β2 f

)=(

01

)β2 f , podemos concluir que existe um morfismo f : B4[−1]→U tal que φ f = f .

B4[−1]

0 A1 U A4[−1] 0

0 A1 Z A3[−1]⊕A4[−1] 0

f

β2 f

f

1 φ (0 1)t

α (β1 β2)t

Desde que f 6= 0, devemos ter f 6= 0 e, portanto, para algum somando indecomponível U ′ de U , a

componente B4[−1]→U ′ de f é não nula. Em seguida, mostraremos que todo somando indecomponível

de U admite termo A1 não nulo. Suponha, ao contrário, que existe um somando indecomponível N de

U com termo A1 nulo. Segundo o lema 4.12, N tem termos A2 e A3[−1] nulos, já que se não fosse

esse o caso, existiriam morfismos não nulos AN2 → N →U e U → N→ AN

3 [−1], mas U tem termos A2

e A3[−1] nulos. Logo, N 'C4[−1], com C4[−1] ∈ A4[−1]. Seja N′ um A-módulo tal que U = N′⊕N e

considere 0→ AN′1 → N′

η−→ A4[−1]N′ → 0 a sequência exata canônica para N′ relativa ao par de torção

(T ′,F ′). Observe que 0→ AN′1 → N′⊕N → A4[−1]N

′ ⊕N → 0, obtida como resultado da soma direta

das sequências exatas canônicas para N′ e N, é uma sequência exata canônica para U e, portanto, há um

isomorfismo

0 AN′1 N′⊕N A4[−1]N

′⊕N 0

0 A1 U A4[−1] 0

0 A1 Z A3[−1]⊕A4[−1] 0

ψ1

(η 00 1

)

(ψ12 ψ2

2 ) (ψ13 ψ2

3 )

1 φ (0 1)t

(β1 β2)t

que nos garante que N é um somando direto de Z. De fato, sendo (ψ13 ψ2

3 ) um isomorfismo, deve existir

um morfismo(

θ1θ2

): A4[−1]→ A4[−1]N

′⊕N satisfazendo(

θ1θ2

)(ψ1

3 ψ23 ) = 1 e, em particular, θ2ψ2

3 = 1.

Além disso,(

β1φ

β2φ

)(ψ1

2 ψ22 ) =

(01

)(ψ1

3 ψ23 )(

η 00 1

)e, portanto, β2φψ2

2 = ψ23 . Logo, (θ2β2)(φψ2

2 ) =

θ2ψ23 = 1, donde φψ2

2 : N→ Z é um monomorfismo que cinde.

Dessa forma, uma vez que Z é indecomponível, segue que Z = N 'C4[−1], contradizendo a hipó-

tese de que Z tem termo A1 não nulo. Consequentemente, o somando indecomponível U ′ de U admite


termo A1 não nulo, tem termos A2 e A3[−1] nulos e é tal que HomA(B4[−1],U ′) 6= 0, o que contradiz a

primeira etapa dessa demonstração.

Como mencionamos anteriormente, por meio dos resultados acima podemos garantir que (X ,Y)define um par de torção cindido em mod A, já que todo A-módulo indecomponível pertence a X ou a Ye HomA(X ,Y) = 0. É o que enunciaremos na proposição a seguir.

Proposição 4.19. Seja B uma álgebra por partes de tipo (A1,A2,A3,A4) que satisfaz as hipóteses (H1),

(H2) e (H3), e considere Φ−1(mod B;(add(A3∪A4),add(A1∪A2)))= (A;(T ′,F ′)). Nessas condições,

A é uma categoria de módulos sobre uma álgebra A. Defina X = Z ∈ mod A; AZ1 = 0 e AZ

3 [−1] = 0 e

Y = Z ∈ mod A; AZ2 = 0 e Z não tem somando direto em A4[−1]. Então (X ,Y) é um par de torção

cindido em mod A.

4.3 Propriedades Homológicas do Par de Torção (X ,Y)

Neste momento, para que cumpramos o objetivo de mostrar que A é quase inclinada, basta verificar-

mos que diA X ≤ 1 e que dpA Y ≤ 1. Os resultados a seguir serão destinados a esse propósito.

Lema 4.20. Seja X = Z ∈ mod A; AZ1 = 0 e AZ

3 [−1] = 0. Então diA X ≤ 1.

Demonstração. Sejam Z ∈ X e (?) 0→ A2 → Z → A4[−1]→ 0, com A2 ∈ add A2 e A4[−1] ∈add A4[−1], a sequência exata canônica para Z relativa ao par de torção (T ′,F ′). Dados C1 ∈ add A1 e

C2 ∈ add A2, aplicando o funtor HomDb(A)(C1[−2]⊕C2[−2],_) ao triângulo induzido por (?), obtemos

a sequência exata

(∗) HomDb(A)((C1⊕C2)[−2],A2)→HomDb(A)((C1⊕C2)[−2],Z)→HomDb(A)((C1⊕C2)[−2],A4[−1]).

Devido à tabela (A),

• HomDb(A)(C1[−2]⊕C2[−2],A2)' Ext2A(C1⊕C2,A2) = 0 e

• HomDb(A)(C1[−2]⊕C2[−2],A4[−1])' Ext2A(C1⊕C2,A4[−1]) = 0,

o que, junto à sequência em (∗), nos garante que Ext2A(C1⊕C2,Z)'HomDb(A)(C1[−2]⊕C2[−2],Z) = 0.

Agora, para C3[−1]∈ addA3[−1] e C4[−1]∈ addA4[−1], ao aplicarmos o funtor HomDb(A)(C3[−3]⊕C4[−3],_) ao triângulo induzido por (?), obtemos a sequência exata

HomDb(A)((C3⊕C4)[−3],A2)→ HomDb(A)((C3⊕C4)[−3],Z)→ HomDb(A)((C3⊕C4)[−3],A4[−1]).

Novamente de acordo com a tabela (A),

• HomDb(A)(C3[−3]⊕C4[−3],A2)' Ext2A(C3[−1]⊕C4[−1],A2) = 0 e

• HomDb(A)(C3[−3]⊕C4[−3],A4[−1])' Ext2A(C3[−1]⊕C4[−1],A4[−1]) = 0

e, portanto, Ext2A(C3[−1]⊕C4[−1],Z)' HomDb(A)(C3[−3]⊕C4[−3],Z) = 0.

Em resumo, verificamos que Ext2A(_,Z)|T ′ = 0 e que Ext2A(_,Z)|F ′ = 0, o que nos permite concluir

que Ext2A(_,Z)|mod A = 0, ou ainda, que diA Z ≤ 1.


A demonstração de que a dimensão projetiva de módulos em Y não excede um não pode ser ob-

tida como consequência somente das informações dispostas na tabela (A), como vimos ocorrer para

a dimensão injetiva de módulos em X . Provaremos inicialmente que, dados A4[−1] ∈ add A4[−1] e

w : A4[−1]→ A′1[1] uma addA1[1]-aproximação minimal à esquerda de A4[−1], a dimensão projetiva do

A-módulo Z′ obtido como termo do meio da sequência exata 0→ A′1u−→ Z′ v−→ A4[−1]→ 0, associada ao

morfismo w∈HomDb(A)(A4[−1],A′1[1]), não ultrapassa um, se Z′ não admitir somandos em addA4[−1].

Em seguida, mostraremos que se Z ∈ Y tiver termo A3[−1] nulo, então também sua dimensão projetiva

será menor ou igual a um, para por fim, concluirmos que esse é o caso para todos os módulos em Y .

Lema 4.21. Sejam A4[−1] ∈ add A4[−1], w : A4[−1]→ A′1[1] uma add A1[1]-aproximação minimal à

esquerda de A4[−1] e Z′ o A-módulo obtido como termo do meio da sequência exata 0→ A′1u−→ Z′ v−→

A4[−1]→ 0 associada ao morfismo w. Se Z′ não admitir somando indecomponível em A4[−1], então

dpA Z′ ≤ 1.

Demonstração. Seja Z′ um A-módulo como descrito acima. Dado C2 ∈ add A2, ao aplicarmos o

funtor HomDb(A)(_,C2[2]) ao triângulo (?) A′1u−→ Z′ v−→ A4[−1] w−→ A′1[1], obtemos a sequência exata

HomDb(A)(A4[−1],C2[2])→ HomDb(A)(Z′,C2[2])→ HomDb(A)(A

′1,C2[2]).

Segundo a tabela (A),

• HomDb(A)(A4[−1],C2[2])' Ext2A(A4[−1],C2) = 0 e

• HomDb(A)(A′1,C2[2])' Ext2A(A

′1,C2) = 0

e, portanto, Ext2A(Z′,C2) ' HomDb(A)(Z

′,C2[2]) = 0. Da mesma forma, se C3[−1] ∈ add A3[−1] e

C4[−1]∈ addA4[−1], então aplicando o funtor HomDb(A)(_,C3[1]⊕C4[1]) ao triângulo em (?), obtemos

a sequência exata

HomDb(A)(A4[−1],C3[1]⊕C4[1])→ HomDb(A)(Z′,C3[1]⊕C4[1])→ HomDb(A)(A

′1,C3[1]⊕C4[1]),

com termos das pontas nulos, pois

• HomDb(A)(A4[−1],C3[1]⊕C4[1])' Ext2A(A4[−1],C3[−1]⊕C4[−1]) = 0 e

• HomDb(A)(A′1,C3[1]⊕C4[1])' Ext2A(A

′1,C3[−1]⊕C4[−1]) = 0,

o que nos permite concluir que Ext2A(Z′,C3[−1]⊕C4[−1])' HomDb(A)(Z

′,C3[1]⊕C4[1]) = 0.

Agora, seja C1 ∈ add A1. Aplicando o funtor HomDb(A)(_,C1[2]) a (?), obtemos a sequência exata

HomDb(A)(A′1[1],C1[2])

φ−→ HomDb(A)(A4[−1],C1[2])→ HomDb(A)(Z′,C1[2])→ HomDb(A)(A

′1,C1[2]).

Observe que HomDb(A)(A′1,C1[2]) ' Ext2A(A

′1,C1) = 0, segundo a tabela (A). Nessas condições,

Ext2A(Z′,C1)'HomDb(A)(Z

′,C1[2]) = 0 se, e somente se, φ = HomDb(A)(w,C1[2]) é sobrejetor. A fim de

verificar que este é o caso, considere θ ∈ HomDb(A)(A4[−1],C1[2]), que corresponde a uma sequência

exata em Bθ : 0→C1

s−→ L t−→M u−→ N v−→ A4→ 0,

uma vez que HomDb(A)(A4[−1],C1[2]) ' HomDb(B)(A4,C1[3]) ' Ext3B(A4,C1). Note que θ = µη , com

µ : 0→C1s−→ L t−→ Im t→ 0 e η : 0→ Im t i−→M u−→ N v−→ A4→ 0 sequências exatas em B, em que t e i

são a correstrição de t e a inclusão, respectivamente. Em outros termos, o seguinte diagrama


A4[−1] C1[2]

(Im t)[1]

θ

η µ

é comutativo. Sendo Im t ∈ B, podemos escrever Im t = D1⊕D2⊕D3⊕D4, em que Di ∈ add Ai, para

cada i = 1, 2, 3, 4. Escrevamos também η =

( ab00

)e µ = ( c d e 0) e, então, θ = ca+db. Dessa forma,

podemos assumir que D3 = 0 = D4.

Seja A′4[−1] um somando direto indecomponível de A4[−1] e suponha, por absurdo, que a compo-

nente A′4[−1]→ A′1[1] de w : A4[−1]→ A′1[1] é nula. Assim, o morfismo v′ : Z′→ A′4[−1] em

A′1 Z′ A4[−1] = A′4[−1]⊕A′′4[−1] A′1[1]u

v=(

v′v′′)

w=(0 w′ )

é um epimorfismo que cinde e, portanto, A′4[−1] é um somando direto de Z′, o que é uma contradição.

Consequentemente, cada uma das componentes de w é não nula, ou ainda, para cada somando direto

indecomponível A′4[−1] de A4[−1], a composta A′4[−1] → A4[−1] w−→ A′1[1] é não nula. Segue de (H1)

que HomDb(A)(A′4[−1],_)|add A2[1] = 0, para todo somando indecomponível A′4[−1] de A4[−1], o que

implica em HomDb(A)(A4[−1],_)|add A2[1] = 0. Logo, podemos também assumir que D2 = 0, ou seja,

(Im t)[1] = D1[1]. Sendo w uma add A1[1]-aproximação minimal à esquerda de A4[−1], deve existir

h : A′1[1]→ (Im t)[1] tal que hw = η , donde µhw = θ , o que nos permite concluir que o morfismo

HomDb(A)(w,C1[2]) é sobrejetor, como desejado.

A4[−1] C1[2]

(Im t)[1]

A′1[1]

θ

w

η µ

h

Dessa forma, concluímos que Ext2A(Z′,_)|T ′ = 0 = Ext2A(Z

′,_)|F ′ e, portanto, Ext2A(Z′,_)|mod A = 0,

ou ainda, dpA Z′ ≤ 1.

Lema 4.22. SejaY = Z ∈mod A; AZ2 = 0 e Z não admite somando direto emA4[−1]. Então dpA Y ≤ 1.

Demonstração. Seja Z ∈ Y . Assuma, inicialmente, que Z admite termo A3[−1] nulo, ou seja, que a

sequência exata canônica para Z relativa ao par de torção (T ′,F ′) é da forma 0→A1→ Z→A4[−1]→ 0,

em que A1 ∈ add A1 e A4[−1] ∈ add A4[−1]. Neste caso, podemos construir o triângulo (?) A1 →Z → A4[−1]

γ−→ A1[1] em Db(A). Considere w : A4[−1]→ A′1[1] uma add A1[1]-aproximação minimal

à esquerda de A4[−1] e A′1u−→ Z′ v−→ A4[−1] w−→ A′1[1] o triângulo induzido por w. Desde que w é uma

add A1[1]-aproximação minimal à esquerda de A4[−1], deve existir um morfismo δ : A′1[1]→ A1[1] tal

que o seguinte diagrama

A′1 Z′ A4[−1] A′1[1]

A1 Z A4[−1] A1[1]

u v w

1 δ

γ


é comutativo. Suponha, por absurdo, que Z′ admite somando indecomponível em A4[−1], digamos

Z′ = Z′′⊕A′4[−1], com A′4[−1] ∈ A4[−1]. Podemos então reescrever o diagrama acima por

A′1 Z′′⊕A′4[−1] A4[−1] A′1[1]

A1 Z A4[−1] A1[1].

u=(u10 ) v=(v1 v2 )

(φ1 φ2 )

w

1 δ

β γ

Dessa forma, v2 : A′4[−1]→ A4[−1] é um monomorfismo que cinde, ou seja, deve existir um morfismo

v′2 : A4[−1]→ A′4[−1] tal que v′2v2 = 1A′4[−1]. Observe que βφ2 = v2 e, portanto, φ2 é um monomorfismo

que cinde, o que nos permite concluir que A′4[−1] é um somando de Z, um absurdo, finalizando a demons-

tração da afirmação feita. Em virtude do lema 4.21, dpA Z′ ≤ 1, ou ainda, o morfismo HomDb(A)(w,_) é

sobrejetor em A1[2]. Agora, também é comutativo o quadrado

HomDb(A)(A1[1],_) HomDb(A)(A4[−1],_)

HomDb(A)(A′1[1],_) HomDb(A)(A4[−1],_),

HomDb(A)(γ,_)

HomDb(A)(δ ,_) 1HomDb(A)(w,_)

ou seja, HomDb(A)(γ,_) = HomDb(A)(w,_)HomDb(A)(δ ,_). De acordo com a hipótese (H3)(ii), o mor-

fismo HomDb(A)(δ ,_) é sobrejetor em A1[2] e, portanto, HomDb(A)(γ,_) deve ser sobrejetor em A1[2].

Consequentemente, dado C1 ∈ add A1, aplicando o funtor HomDb(A)(_,C1[2]) ao triângulo (?), obtemos

a sequência exata longa

HomDb(A)(A1[1],C1[2])→ HomDb(A)(A4[−1],C1[2])0−→ HomDb(A)(Z,C1[2])→ HomDb(A)(A1,C1[2]),

que nos permite concluir que HomDb(A)(Z,C1[2]) = 0, já que

HomDb(A)(A1,C1[2])' Ext2A(A1,C1) = 0,

segundo a tabela (A). Além disso, como no lema 4.21, por meio da tabela (A) é possível concluir que

Ext2A(Z,_) = 0 quando restrito às subcategorias A2, A3[−1] e A4[−1] e, portanto, dpA Z ≤ 1.

Finalmente, sejam Z ∈ Y arbitrário e 0→ A1 → Z → A3[−1]⊕A4[−1]→ 0 sua sequência exata

canônica relativa ao par de torção (T ′,F ′). Considere

0 A1 Z′ A4[−1] 0

0 A1 Z A3[−1]⊕A4[−1] 0

1(

01

)

o pullback de Z A3[−1]⊕A4[−1] A4[−1].(01

) De acordo com o Lema da Serpente, o dia-

grama a seguir é comutativo, com linhas e colunas exatas


0 0

0 A1 Z′ A4[−1] 0

0 A1 Z A3[−1]⊕A4[−1] 0

A3[−1] A3[−1]

0 0

1(

01

)

(1 0)

1

e, portanto, dpA Z ≤ maxdpA Z′,dpA A3[−1]. Agora, segundo o corolário 4.9(b), dpA A3[−1] ≤ 1 e,

conforme discussão feita acima, dpA Z′ ≤ 1, pois Z′ ∈ Y . Consequentemente, dpA Z ≤ 1, o que finaliza

a demonstração.

Reuniremos os resultados obtidos acima no seguinte teorema.

Teorema 4.23. Sejam B uma álgebra por partes de tipo (A1,A2,A3,A4) e Φ−1(mod B;(add(A3 ∪A4),add(A1∪A2))) = (A;(T ′,F ′)). Então:

(i) A é categoria de módulos sobre uma álgebra A e (T ′,F ′) é um par de torção dado por um A-

módulo inclinante.

(ii) Existem equivalências triangulares Db(B)→Db(A) e Db(A)→Db(B) cujas restrições a A cor-

respondem ao funtor identidade.

(iii) Se, mais ainda, B satisfizer as hipóteses (H1), (H2) e (H3)(i), então será possível determinar um

par de torção (X ,Y) cindido em mod A.

(iv) Se B satisfizer as hipóteses (H1), (H2) e (H3), então será possível determinar um par de torção

(X ,Y) cindido em mod A tal que diA X ≤ 1 e dpA Y ≤ 1.

Corolário 4.24. Seja B uma álgebra por partes satisfazendo as hipóteses (H1), (H2) e (H3). Então B é

2-quase inclinada e, em particular, B é hereditária por partes.

Estão estabelecidas, dessa forma, condições sobre uma álgebra 2-quase hereditária para que seja 2-

quase inclinada: segundo o corolário acima, uma álgebra B 2-quase hereditária será 2-quase inclinada se

for possível determinar quatro subcategorias de ind B, digamos A1, A2, A3 e A4, duas a duas disjuntas

e cuja união é ind B, satisfazendo a tabela B, tais que add(A1∪A2) é cogerada por um B-módulo fiel e

que cumpram, além disso, as hipóteses (H1), (H2) e (H3).

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Tanise Carnieri Pierin T - teses.usp.br€¦ · que m 1. Para estas últimas, pode-se obter uma trissecção de suas categorias de módulos determi-nada pelas subcategorias Lm = fX