TCC1_Fernanda Clemente_Raiane Rocha.pdf

Universidade de Brasília - UnBFaculdade UnB Gama - FGA

Engenharia de Energia

CÁLCULO NUMÉRICO DO FATOR DEFORMA ENTRE DUAS SUPERFÍCIES

Autoras: Fernanda Clemente Araújo e Raiane Rocha FialhoOrientador: Prof. (Dr.): Fábio Alfaia da Cunha, UnB/FGA

Brasília, DF2015

Fernanda Clemente Araújo e Raiane Rocha Fialho

CÁLCULO NUMÉRICO DO FATOR DE FORMAENTRE DUAS SUPERFÍCIES

Monografia submetida ao curso de graduaçãoem Engenharia de Energia da Universidadede Brasília, como requisito parcial para ob-tenção do Título de Bacharel em Engenhariade Energia.

Universidade de Brasília - UnB

Faculdade UnB Gama - FGA

Orientador: Prof. (Dr.): Fábio Alfaia da Cunha, UnB/FGA

Brasília, DF2015

Fernanda Clemente Araújo e Raiane Rocha FialhoCÁLCULO NUMÉRICO DO FATOR DE FORMA ENTRE DUAS SUPER-

FÍCIES/ Fernanda Clemente Araújo e Raiane Rocha Fialho. – Brasília, DF, 2015-53 p. : il. (algumas color.) ; 30 cm.

Orientador: Prof. (Dr.): Fábio Alfaia da Cunha, UnB/FGA

Trabalho de Conclusão de Curso – Universidade de Brasília - UnBFaculdade UnB Gama - FGA , 2015.1. Fator de Forma. 2. Radiação Térmica. I. Prof. (Dr.): Fábio Alfaia da

Cunha, UnB/FGA. II. Universidade de Brasília. III. Faculdade UnB Gama. IV.CÁLCULO NUMÉRICO DO FATOR DE FORMA ENTRE DUAS SUPERFÍ-CIES

CDU 02:141:005.6

Fernanda Clemente Araújo e Raiane Rocha Fialho

CÁLCULO NUMÉRICO DO FATOR DE FORMAENTRE DUAS SUPERFÍCIES

Monografia submetida ao curso de graduaçãoem Engenharia de Energia da Universidadede Brasília, como requisito parcial para ob-tenção do Título de Bacharel em Engenhariade Energia.

Trabalho aprovado. Brasília, DF, dd/mm/aa:

Prof. (Dr.): Fábio Alfaia da Cunha,UnB/FGAOrientador

Prof. (Dr.): Manuel do NascimentoDias Barcelos Júnior, UnB/FGA

Convidado 1

Prof. (Dr.): Augusto César de M.Brasil, UnB/FGA

Convidado 2

Brasília, DF2015

Agradecimentos

Agradeço a Deus por estar presente na minha vida, iluminando meu caminho e meajudando a trilhar um caminho de sucesso. A minha família, em especial a minha mãe,Ana Maria , que sempre me apoiou nas tomadas de decisões, me orientando da melhorforma possível, me acalmando nos momentos de tensão. A minha companheira, FernandaClemente Araújo, pela parceria maravilhosa que desenvolvemos durante o curso e nopresente trabalho de conclusão de curso 1, pela amizade, companheirismo, paciência e todoapoio prestado por ela. Agradeço ao professor orientador do presente trabalho, Dr.FábioAlfaia da Cunha, pela orientação prestada, pela paciência, pelas horas gastas tirandodúvidas, pelo empenho na orientação do trabalho e que continue com toda disposiçãopara dar continuidade a orientação do trabalho de conclusão de curso 2.

Raiane Rocha Fialho.

Agradeço, primeiramente, ao Divino Pai Eterno por iluminar meus passos, minhasescolhas e colocar as pessoas certas no meu caminho. Agradeço também a minha mãeMarcela, minha avó Ana e a minha tia Luisa por me orientarem nas minhas decisõese sempre me apoiarem. Um agradecimento especial para minha parceira Raiane RochaFialho que dividiu comigo a obrigação de realizar este trabalho e que, além disso, estevecomigo durante o curso me incentivando, me apoiando e me aconselhando. Agradeçotambém ao meu namorado Thiago Silveira Honorato por tudo que me ensinou e por todoapoio a mim prestado. E, por último, e não menos importante, ao meu orientador FábioAlfaia da Cunha que com sua disposição e eficiência, guiou o nosso trabalho da melhormaneira possível. Que a nossa disposição continue e que possamos finalizar este trabalhode conclusão de curso.

Fernanda Clemente Araújo.

ResumoNeste trabalho é apresentada uma metodologia para o cálculo de fatores de forma entresuperfícies em situações de transferência de calor por radiação. Para tanto é realizadoum estudo teórico sobre os conceitos que envolvem o cálculo desse parâmetro. No casosão estudados os conceitos básicos de transferência de calor, fundamentação teórica daradiação e principais características da radiação térmica. Além disso, são analisados algunstrabalhos que realizam o cálculo de fatores de forma em várias situações práticas. A partirdisso, foi possível abordar as equações matemáticas do problema de forma a modelar umasituação e propor uma metodologia para a resolução numérica de fatores de forma entresuperfícies. Finalmente a metodologia proposta foi utilizada para a resolução de problemassimples já resolvidas na literatura e os resultados são comparados para a validação dométodo de solução.

Palavras-chaves: Transferência de calor, Radiação Térmica, Radiação entre superfícies,Fator de Forma.

AbstractThis paper presents a calculation methodology of form factors between surfaces in radia-tion heat transfer situations. Therefore, it is conducted a theoretical study of the conceptsinvolving the calculations of this parameter. In this paper, the analysis goes through thebasics of heat transfer, theoretical foundation of radiation and the main characteristics ofthermal radiation. In addition, some studies are analyzed performing the calculation ofform factors in various practical situations. From this, it is possible to address the problemof mathematical equations in order to model the situation and to propose a methodologyfor the numerical of form factors between surfaces. Finally the proposed methodology isused as a simple problem-solving in the literature and the results are compared to validatethis method of solution.

Keywords: Heat Transfer, Thermal Radiation, Radiation between surfaces , View Fac-tor.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Espectro eletromagnético (MODEST, 2003). . . . . . . . . . . . . . . . 26Figura 2 – Representação de uma fatia de pizza (ÇENGEL; GHAJAR, 2012). . . . 28Figura 3 – Representação de uma superfície em um plano tridimensional (ÇEN-

GEL; GHAJAR, 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Figura 4 – Absorção, Reflexão e Transmissão da radiação incidente (KREITH;

MANGLIK; BOHN, 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Figura 5 – Troca radioativa entre superfícies difusas (Elaboração própria) . . . . 33Figura 6 – Exemplos de malhas radioativas triangulares (JUNIOR, 2001) . . . . . 36Figura 7 – Dimensões em (a) e posição das superfícies de trabalho em (b) . . . . . 39Figura 8 – Discretizações utilizadas.(a) malha de 4 triângulos, (b) malha de 8 tri-

ângulos e (c) malha de 50 triângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Figura 9 – Determinação do baricentro nos triângulos da malha.Em (a) Desenho

do triângulo retângulo e em (b) baricentro do triângulo. . . . . . . . . 41Figura 10 – Esquema para medição de 𝑆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Figura 11 – Simetria utilizada para simplificação de medições. . . . . . . . . . . . . 42Figura 12 – Triângulos para a obtenção de 𝜃1 (a) e 𝜃2 (b) . . . . . . . . . . . . . . . 43Figura 13 – Geometria placas perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Figura 14 – Discretização placas perpendiculares, (a) divisão em 4 triângulos e (b)

divisão em 8 triângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Figura 15 – Esquema de medições para o cálculo do fator de forma entre as placas

perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Figura 16 – Simetria utilizada para determinação do fator de forma entre placas

perpendiculares, malha com 8 triângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Figura 17 – Triângulo base para encontrar 𝜃1 e 𝜃2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Figura 18 – Valor teórico do fator de forma entre duas placas paralelas (MAZUM-

DER; RAVISHANKAR, 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Figura 19 – Valor teórico do fator de forma entre duas placas perpendiculares (MA-

ZUMDER; RAVISHANKAR, 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Figura 20 – Esquema de um reator com um corpo de forma genérica inserido nele. . 51

Lista de tabelas

Tabela 1 – Corpos e suas propriedades radioativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Tabela 2 – Comparação de acurácia entre malhas - fator de forma entre duas placas

paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Tabela 3 – Comparação de acurácia entre malhas - fator de forma entre duas placas

perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Lista de abreviaturas e siglas

CATIA V5R19 Computer Aided Three-dimensional Interactive Application Ver-sion 5 Release 19

Lista de símbolos

𝐴 Área [𝑚2]

𝐴𝑠 Área de superfície [𝑚2]

𝑐 Velocidade da Luz [𝑚/𝑠]

𝑒 Energia do fóton [𝐽 ]

𝐸 Potência emissiva [𝑊/𝑚2]

𝐹 Fator de Forma

ℎ Coeficiente de transferência de calor por convecção [𝑊/𝑚2.𝐾]

h Constante de Planck [𝐽.𝑠]

𝐼 Intensidade de radiação [𝑊/𝑚2.𝑠𝑟]

𝐽 Radiosidade [𝑊/𝑚2]

𝐾 Condutividade térmica [𝑊/𝑚.𝐾]

𝑟 Raio [𝑚]

𝑆 Distância entre superfícies [𝑚]

𝑇 Temperatura [𝐶𝑒𝑙𝑠𝑖𝑢𝑠]

𝜖 Emissividade

𝜎 Constante de Stefan- Boltzmann [𝑊/𝑚2.𝐾4]

𝛾 Comprimento de onda [𝑚]

𝜔 Ângulo Sólido [st]

𝜃 Ângulo plano

ø Ângulo de Azimute

Δ Elemento Diferencial

Sumário

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.1.1 Objetivo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.1.2 Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 TRANSFERÊNCIA DE CALOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1 Transferência de Calor por radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.1 Fudamentação Teórica da Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.2 Tipos de superfície para o estudo de radiação . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.3 Intensidade de radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.3.1 Ângulo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.4 Intensidade de radiação e fluxos radiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.5 Propriedades Radioativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 FATOR DE FORMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1 Propriedades do fator de forma entre superfícies difusas . . . . . . . 343.2 Métodos Analíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Ferramentas para o cálculo numérico do fator de forma . . . . . . . 353.3.1 Malha radioativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.2 Quadratura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1 Fator de forma entre placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Fator de Forma entre placas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . 43

5 RESULTADOS E DISCUSSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1 Fator de Forma entre placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2 Fator de Forma entre placas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . 49

6 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.1 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

21

1 Introdução

Situações envolvendo trocas de calor são encontradas com frequência nos estudosde engenharia. A troca de calor pode ser definida como a energia em trânsito entre duasou mais superfícies devido a diferença de temperatura (QUITES; LIA, 2005).

A ciência que estuda as taxas de transferência de energia é chamada de Transfe-rência de Calor (KREITH; MANGLIK; BOHN, 2010). Os estudos sobre os processos detransferência de calor e a necessidade de analisá-los cresceram consideravelmente com oavanço tecnológico .

A Transferência de calor pode ocorrer a partir de três modos: condução, convecçãoe radiação. A radiação térmica (apenas radiação para a Transferência de calor), por suaessência, é emitida por todo corpo que está acima de zero absoluto e, por isso, é ummecanismo importante para se resolver diversos problemas na engenharia. A radiação,entre dois corpos, depende da orientação dos corpos e das suas propriedades radioativasbem como da temperatura na qual ocorrem as trocas de calor (ÇENGEL; GHAJAR,2012).

O fenômeno de radiação, dentre as variáveis que descrevem o processo, possuium parâmetro significativo e importante para quantificar e obter as taxas de fluxo decalor, o fator de forma. Segundo Incropera (2011), fator de forma nada mais é que, umaquantidade geométrica que representa a fração de radiação que deixa uma superfície eatinge outra superfície diretamente. A ausência do fator de forma ocasiona prejuízos noscálculos que envolvem projetos com análise de transferência de calor.

Vários trabalhos já foram realizados de forma a otimizar as trocas de calor porradiação e os autores focaram no cálculo do fator de forma. Bao, Cai e Croiset (2011),realizaram uma modelagem matemática para calcular o fator de forma de uma célula acombustível de óxido sólido. Eles consideraram, como geometria para estrutura da célula,um paralelepípedo e depois uma configuração cilíndrica tubular. No trabalho de Upadhyaet al. (1995) é utilizado o cálculo do fator de forma para otimização dos processos defundição de peças metálicas. O modelo se baseia em uma abordagem da geometria daspeças metálicas e os parâmetros que dominam a transferência de calor. Tem-se aindaaplicações para o fator de forma na área de bioenergia. Os processos de gaseificação epirólise de biomassa podem ser aperfeiçoados se conhecido o fator de forma. Ele podeindicar a fração de radiação que deixa as paredes do recipiente onde ocorre o aumento datemperatura e chega até a biomassa, propiciando sua queima (GOLDEMBERG, 2009).

Dada a importância do fator de forma e sua aplicabilidade, o presente trabalhotem como foco apresentar uma metodologia para o cálculo do fator de forma entre duas

22 Capítulo 1. Introdução

superfícies.

1.1 ObjetivosEsta seção expõe os objetivos gerais e específicos do Trabalho de Conclusão de

Curso 1.

1.1.1 Objetivo Geral

O objetivo geral deste trabalho é a obtenção de uma metodologia numérica parao cálculo do fator de forma da transferência de calor por radiação.

1.1.2 Objetivos Específicos

Para o TCC1 pretende-se cumprir com os seguintes objetivos específicos.

1. Estudar os príncipios da radiação térmica.

2. Estudar a definição do fator de forma de radiação

3. Apresentar métodos analíticos e numéricos existentes na teoria para o cálculo dofator de forma

4. Apresentar a modelagem matemática para o cálculo do fator de forma entre duasplacas quadradas e paralelas.

5. Apresentar a solução analítica para as placas paralelas.

6. Comparar a solução analítica obtida com a teoria apresentada.

7. Definir uma metodologia inicial para a resolução numérica do problema.

8. Estabelecer conclusões.

Para o TCC 2 dando continuidade ao trabalho pretende-se:

1. Implementar um método numérico que otimize a metodologia apresentada no TCC1.

2. Aplicar o método numérico em um código de simulação, no caso, para um corpoinserido em um reator de forma genérica.

3. Avaliar resultados.

4. Estabelecer conclusões finais.

23

2 Transferência de Calor

A Transferência de Calor é a energia em trânsito entre duas ou mais superfíciesdevido a diferença de temperatura (QUITES; LIA, 2005). Para Çengel e Ghajar (2012),a força motriz da transferência de calor é a diferença de temperatura. Portanto, só podeocorrer troca líquida de calor entre dois corpos que não estão na mesma temperatura.

Para exemplificar o problema de transferência de calor, podemos observar o casode dois corpos que são colocados em contato direto (QUITES; LIA, 2005):

1. Inicialmente esses corpos estão em temperaturas diferentes;

2. Posteriormente ao serem colocados em contato direto, o corpo com maior tempera-tura tende a transferir calor para o corpo com menor temperatura;

3. Por fim, os corpos tendem a ficar em uma temperatura de equilíbrio, atingindoportanto o equilíbrio térmico.

As trocas de calor podem ocorrer de três diferentes modos: condução, convecção eradiação (ÇENGEL; GHAJAR, 2012).

O mecanismo da condução ocorre devido ao processo de difusão, que são as intera-ções aleatórias entre partículas. Neste caso, há transferência de calor das partículas maisenergéticas para as menos energéticas (INCROPERA, 2011). Moreira (2014) também ex-plica que a transferência de calor nas partículas sólidas ocorre por vibração da rede e porelétrons livres. A equação que trata os problemas de condução térmica é conhecida comoLei de Fourier da condução térmica:

𝑑𝑄

𝑑𝑡= −𝐾𝐴

𝑑𝑇

𝑑𝑥(𝑊 ) (2.1)

Da Lei de Fourier da condução térmica, podemos concluir que a taxa de conduçãode calor é proporcional a variação de temperatura e a área de transferência de calor(ÇENGEL; GHAJAR, 2012).

O mecanismo da convecção também ocorre pelo fenômeno da difusão, porém emnível macroscópico tem-se a movimentação do fluido. Incropera (2011) explica que essemovimento dos fluidos, na presença de um gradiente de temperatura, é o fator que con-tribui para a transferência de calor entre líquidos e gases. Ela pode ser classificada emforçada ou natural. No caso da convecção forçada , o fluido escoa sobre a superfície devidoa ação de forças externas, já quando o movimento é causado devido a forças de flutuação

24 Capítulo 2. Transferência de Calor

induzidas por diferenças de densidades,temos a convecção natural (ÇENGEL; GHAJAR,2012).

A lei que expressa a transferência de calor por convecção é conhecida como Lei deNewton do Resfriamento :

𝑑𝑄

𝑑𝑡= ℎ𝐴𝑠(𝑇𝑠 − 𝑇∞) (𝑊 ) (2.2)

O terceiro e último mecanismo é o da radiação. A radiação é a energia emitida pelamatéria sob a forma de ondas eletromagnéticas (fótons) como resultado das mudanças nascondições eletrônicas dos átomos ou moléculas (MODEST, 2003). Em termos de transfe-rência de calor, a radiação se difere muito dos outros mecanismos já citados (condução econvecção), por isso ela ganhará uma atenção especial e será melhor explicada ao longodo trabalho.

A priori, é interessante mostrar a relação que resulta na taxa de transferência decalor por radiação entre dois corpos. A equação está presente em (ÇENGEL; GHAJAR,2012).

𝑑𝑄1→2

𝑑𝑡= 𝐴1 𝐹1→2 𝜎 (𝑇 4

1 − 𝑇 42 ) (𝑊 ) (2.3)

2.1 Transferência de Calor por radiação

Para entender a radiação como um mecanismo de transporte de calor é necessá-rio, primeiramente, compreender o conceito do fenômeno de radiação. Dessa forma, essetópico se destina a apresentar a fundamentação teórica desse fenômeno e ainda a suaaplicabilidade na transferência de calor.

2.1.1 Fudamentação Teórica da Radiação

A radiação foi fundamentada teoricamente em 1864 pelo físico James Clerk Maxwell,que presumiu que cargas aceleradas ou variações de correntes elétricas criam campos elé-tricos e campos magnéticos. Pela interpretação de Çengel e Ghajar (2012), esses camposem movimento rápido representam a energia emitida pela matéria, como resultado demudanças nas configurações eletrônicas dos átomos ou moléculas. Eles são chamados deondas eletromagnéticas ou radiação eletromagnética. Essas ondas transportam energiacomo todas as outras, porém no vácuo, atingem a velocidade da luz 𝑐0. Çengel e Ghajar(2012) ainda citam a experiência de Heinrick Hertz (1887) que demonstrou a existênciadas ondas, estas, por sua vez, são caracterizadas por sua frequência 𝜈 ou comprimento deonda 𝜆.

2.1. Transferência de Calor por radiação 25

A radiação eletromagnética, a partir de então, foi chamando atenção de vários pes-quisadores. Nesse contexto, Max Planck, em 1990, propôs uma nova forma de visualizaçãodesse fenômeno: ondas eletromagnéticas são como propagação da coleção de pacotes dis-cretos de energia. Elas foram chamadas, então, fótons ou quanta. Essa proposta ocorreuem conjugação a Teoria Quântica do mesmo autor (ÇENGEL; GHAJAR, 2012). A partirdisso, a energia do fóton é descrita por uma nova equação:

𝑒 = ℎ𝜈 = ℎ𝑐

𝜆(2.4)

Analisando a equação que descreve a energia do fóton, percebe-se que a variáveldeterminante é o comprimento de onda da radiação. É interessante notar que, ondascurtas são as que possuem maior energia e ondas maiores possuem menor energia, tendoem vista que o comprimento de onda é inversamente proporcional a energia. Interpretandoa equação 2.4 percebe-se, ainda, que podem existir vários comprimentos de onda, obtendoradiações com mais ou menos energia. À essa gama de comprimentos de onda dá-se onome de espectro eletromagnético (ÇENGEL; GHAJAR, 2012).

O espectro eletromagnético abrange valores de 𝜆 que variam de 10−10 microme-tros (raios cósmicos) até 1010 micrometros (ondas de energia elétrica). Além disso, incluitambém raios gama, raios X, radiação ultravioleta, luz visível, radiação infravermelha,radiação térmica,micro-ondas e ondas de rádio (MODEST, 2003). Pode-se observar oespectro na figura 1, abaixo.


Figura 1 – Espectro eletromagnético (MODEST, 2003).

De todos esses tipos de radiação eletromagnética, a radiação térmica é a pertinenteno âmbito da transferência de calor. Esse tipo de radiação é emitida como resultado dastransições de energia das moléculas, átomos e elétrons da substância. Essas transiçõesque ocorrem em um nível microscópico tem a temperatura como medida de importância(INCROPERA, 2011). A radiação térmica se estende por cerca de 0, 1 a 100 micrômetros.Isso quer dizer que essa radiação inclui a totalidade das radiações visíveis e ainda parteda região do infravermelho e do ultravioleta (MODEST, 2003).

2.1.2 Tipos de superfície para o estudo de radiação

Segundo Modest (2003), se a onda eletromagnética (radiação térmica) atravessaum corpo e sofre forte atenuação (desvio) esse corpo é opaco. Nesse caso, o fenômeno daradiação térmica é considerado de superfície, pois a radiação emitida do interior do corpopode não conseguir chegar a superfície e a radiação incidente é rapidamente absorvida.Assim, a radiação considerável é emitida apenas pela superfície do corpo e não pelo vo-lume total. Existem ainda os corpos transparentes, nos quais a onda não sofre nenhumaatenuação (o fenômeno é volumétrico); e os corpos semitransparentes, nestes a onda éparcialmente atenuada. A partir disso, se conclui que diferentes corpos emitem quantida-des diferentes de radiação por unidade de área e o estudo das propriedades radioativas setorna complicado.


Nesse contexto, para analisar as quantidades de radiação e propriedades radioati-vas, se faz necessário idealizar um corpo que possa servir de parâmetro em comparaçõese estudos de corpos reais. O corpo idealizado é chamado de corpo negro (INCROPERA,2011). Incropera (2011) explica as principais características desse corpo:

∙ um corpo negro é capaz de absorver toda a radiação incidente, independente docomprimento de onda e da direção da onda, ou seja, não há reflexão;

∙ nenhum outro corpo é capaz de emitir maior energia, por sua superfície, do que ele;

∙ o corpo negro é um emissor difuso, ou seja, a radiação emitida por ele é independenteda direção. Mas ainda é função do comprimento de onda e da temperatura.

A energia emitida por esse corpo por unidade de tempo e de área é dada pela leide Stefan-Boltzman. Essa energia emitida determina a potência emissiva do corpo negro.

𝐸(𝑇 ) = 𝜎𝑇 4(𝑊/𝑚2) (2.5)

A letra grega 𝜎 representa a constante de Boltzman e vale 5, 670 . 10−8(𝑊/𝑚2.𝐾4)

Fora do contexto idealizado das superfícies negras, existem as superfícies reais.Essas são consideradas não transparentes e têm propriedades de radiação independentesdo comprimento de onda. Para efeitos de análise, Çengel e Ghajar (2012) consideramainda que cada superfície do corpo é isotérmica e que as radiações que entram e saem sãouniformes em cada superfície.

O conceito de superfície e corpo negro é melhor entendido quando se analisam aspropriedades radioativas. Além disso, o estudo dessas propriedades é inerente ao estudodas aplicações na transferência de calor por radiação.

2.1.3 Intensidade de radiação

Intensidade de radiação é a quantidade que descreve a amplitude de radiação trans-portada em determinada direção e é necessário determiná-la para quantificar a radiaçãoem superfícies reais (ÇENGEL; GHAJAR, 2012).

2.1.3.1 Ângulo sólido

A radiação emitida por corpos reais, ocorre em todas as direções. Por tanto, éimportante quantificar o tamanho da abertura gerada no espaço pela radiação emitida.Para tal quantificação, é utilizado a definição de ângulo sólido (ÇENGEL; GHAJAR,2012). Para entender o que seria o ângulo sólido, vamos partir do exemplo de Çengel eGhajar (2012) no qual eles comparam uma fatia de pizza com uma melancia.


A fatia de pizza na Figura 2 representa uma circunferência.

Figura 2 – Representação de uma fatia de pizza (ÇENGEL; GHAJAR, 2012).

Dela podemos observar algumas características como, por exemplo, que o compri-mento do arco é dado pela fórmula 2.6.

𝐶 = 𝑟𝛼 (2.6)

No caso de uma circunferência de raio unitário, temos que o ângulo plano 𝛼 éequivalente em magnitude ao comprimento do arco.

Considerando agora, um corpo no espaço tridimensional, no caso a melancia, po-demos quantificar o tamanho da fatia de melancia, conforme mostra a figura 3.

Figura 3 – Representação de uma superfície em um plano tridimensional (ÇENGEL;GHAJAR, 2012).

Observamos que ao conectarmos todos os pontos das bordas da melancia para ocentro, conseguimos obter um corpo tridimensional, na forma de um cone, como se observana Figura 3. O ângulo no centro, é conhecido como ângulo sólido.

O ângulo sólido diferencial 𝑑𝜔 subentendido por uma área diferencial 𝑑𝐴 em umaesfera de raio 𝑟 pode ser expresso por:

𝑑𝜔 = 𝑑𝐴𝑛

𝑟2 (2.7)


A equação 2.7 explica que o ângulo sólido diferencial nada mais é do que a árearetangular diferencial.

Çengel e Ghajar (2012) consideram também o caso de superfícies inclinadas, ondeo ângulo sólido pode ser expresso como:

𝑑𝜔 = 𝑑𝐴cos 𝛼

𝑟2 (2.8)

Concluímos assim que o ângulo plano se refere a um espaço bidimensional enquantoo ângulo sólido se refere a um espaço tridimensional. Pela Figura 3 e pelas equações 2.7 e2.8, percebemos que o ângulo sólido equivale a área da casca esférica que envolve o corpo,quando se considera o raio unitário.

2.1.4 Intensidade de radiação e fluxos radiantes

Para explanar melhor o conceito de intensidade de radiação, Incropera (2011),resolveu analisar a relação da intensidade de radiação com os fluxos radiantes que umasuperfície possui. São eles: Emissão, Irradiação e Radiosidade.

A relação da intensidade de radiação com a emissão equivale à taxa na qual aenergia de radiação é emitida na direção (𝜃, 𝜔) por unidade de área normal para essadireção e por unidade de ângulo sólido nessa direção.

A relação da intensidade de radiação com a energia incidente (irradiação) equivaleà taxa na qual a energia de radiação incide na direção (𝜃, 𝜑) por unidade de área dasuperfície receptora normal para esta direção e por unidade de ângulo sólido sobre estadireção.

E por fim, temos a relação da intensidade de radiação com a radiosidade. Radiosi-dade consiste na radiação total, ou seja, nas frações de energia emitida e refletida. Sendoassim, ela é definida como a taxa na qual a energia de radiação deixa a unidade de áreada superfície em todas as direções.

2.1.5 Propriedades Radioativas

As propriedades radioativas definem as características de emissão e de absorção desuperfícies reais e são conhecidas por emissividade, absortividade, refletividade e trans-missividade. Em superfícies reais elas são dependentes da temperatura, do comprimentode onda e da direção da radiação. As propriedades que descrevem o comportamento deuma superfície como uma função do comprimento de onda são chamadas propriedadesespectrais, e as propriedades que relacionam a distribuição da radiação com a direção an-gular são conhecidas como propriedades direcionais. Quando são relacionadas tanto pro-


priedades direcionais quanto espectrais, dá-se o nome de propriedades totais (KREITH;MANGLIK; BOHN, 2010).

Segundo Çengel e Ghajar (2012), quando ocorre a transferência de calor por radi-ação entre duas superfícies, uma parte da radiação incidente (irradiação) é absorvida pelomaterial, uma parte é refletida da superfície e o restante, se houver, é transmitida pelocorpo, conforme ilustrado na Figura 4:

Figura 4 – Absorção, Reflexão e Transmissão da radiação incidente (KREITH; MAN-GLIK; BOHN, 2010).

A partir da Figura 4, pode-se introduzir os conceitos de absortividade, refletividadee transmissividade. A absortividade pode ser definida como uma fração da irradiação totalabsorvida pelo corpo. A refletividade é uma propriedade radioativa que relaciona a fraçãoda irradiação que é refletida a partir da superfície. E por fim, a transmissividade é apropriedade que indica a fração de radiação incidente que é transmitida a partir do corpo(KREITH; MANGLIK; BOHN, 2010).

A partir da Primeira Lei da Termodinâmica podemos concluir que a radiação in-cidente é igual a soma das radiações absorvida, refletida e transmitida (ÇENGEL; GHA-JAR, 2012) :

𝐺𝑎𝑏𝑠 + 𝐺𝑟𝑒𝑓 + 𝐺𝑡𝑟 = 𝐺𝑖𝑛 (2.9)

Dividindo cada termo por 𝐺𝑖𝑛 , chegamos a seguinte relação:

𝛼 + 𝜌 + 𝜏 = 1 (2.10)

A tabela 1 mostra a relação descrita acima , para diferentes corpos:

Tabela 1 – Corpos e suas propriedades radioativas

Tipos de corpos Relação oriunda da 1a Lei da Termodinâmica


Corpo Negro 𝛼 = 1Corpo Opaco (sólidos e líquidos) 𝛼 + 𝜌 = 1

Refletor perfeito 𝜌 = 1Gases 𝛼 + 𝜏 = 1

E por fim, outra propriedade que merece estudo em radiação térmica é a emissivi-dade.” A emissividade de uma superfície representa a razão entre a radiação emitida pelasuperfície em uma determinada temperatura e a radiaçãao emitida por um corpo negrona mesma temperatura”(ÇENGEL; GHAJAR, 2012). Podemos expressar essa definiçãoa partir da equação 2.11:

𝜖 = 𝐸(𝑇 )𝐸𝑏(𝑇 ) = 𝐸(𝑇 )

𝜎𝑇 4 (2.11)

A emissividade de um corpo negro é igual a 1, pois este emite radiação máximaa uma dada temperatura. A emissividade de uma superfície varia de 0 𝑎 1 , 0 ≤ 𝜖 ≤ 1(KREITH; MANGLIK; BOHN, 2010).

3 Fator de Forma

Em aplicações de engenharia, onde a transferência de calor por radiação é umdos mecanismos mais importantes, se faz necessário calcular com exatidão a transferênciade radiação entre as superfícies (JOY, 2014). Sabe-se que a troca de calor por radiaçãoentre corpos depende da orientação entre eles e ainda das suas propriedades de radiaçãoe temperatura (ÇENGEL; GHAJAR, 2012). Como já foram exploradas as propriedadesradioativas das superfícies se faz necessário entender, agora, o parâmetro que leva emconta a orientação dos corpos, este é o fator de forma.

O Fator de forma 𝐹12 é definido como a fração de radiação que sai da superfície iso-térmica, opaca, e difusa 1 (por emissão ou reflexão) e incide diretamente sobre a superfície2 (sendo absorvida ou refletida). Ele depende apenas da geometria, sendo desconsideradasa temperatura e as propriedades das superfícies em questão (HOWELL; MENGüç, 2011).

Este capítulo trata das principais definições para o cálculo e aplicação do fatorde forma. É importante ressaltar que todas as definições são elaboradas considerandosuperfícies emissoras e refletoras difusas (INCROPERA, 2011).

A expressão geral do fator de forma entre duas superfícies difusas de área infinite-simal pode ser obtida a partir da análise da Figura 5.

33

Figura 5 – Troca radioativa entre superfícies difusas (Elaboração própria)

A figura 5 representa a troca radioativa entre duas superfícies difusas, de áreainfinitesimal. A partir dela, Reis (2001) fez algumas observações:

∙ S = Distância entre 𝑑𝐴1 e 𝑑𝐴2

∙ 𝜃1 e 𝜃2 = ângulos entre a normal da superfície e a “linha” de radiação

∙ 𝑑𝜔1 = ângulo sólido

∙ 𝐼1 = intensidade da radiação que deixa 𝑑𝐴1 e atinge 𝑑𝐴2

Com essas análises, a taxa de energia que deixa 𝑑𝐴1 e atinge 𝑑𝐴2 é:

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 𝐼1 cos 𝜃1 𝑑𝐴1 𝑑𝜔1 (3.1)

O ângulo sólido tem a seguinte relação:

𝑑𝜔1 = 𝑑𝐴2 cos 𝜃2

𝑆2 (3.2)

34 Capítulo 3. Fator de Forma

Substituindo a equação 3.2 em 3.1, tem-se:

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 𝐼1 cos 𝜃1 𝑑𝐴1

𝑑𝐴2 cos 𝜃2

𝑆2 (3.3)

Para obter a taxa total de energia que deixa 𝑑𝐴1, multiplicamos a radiosidade pelaárea emissora, equação 3.4.

𝑑𝑄𝑑𝐴1

𝑑𝑡= 𝜋𝐼1𝑑𝐴1 (3.4)

A taxa de radiação total que deixa 𝐴1 é:

𝑑𝑄𝐴1

𝑑𝑡= 𝜋𝐼1𝐴1 (3.5)

Integrando a equação 3.3 obtemos a taxa de radiação que atinge toda a área 𝐴2.

𝑑𝑄𝐴1→𝐴2

𝑑𝑡=

∫︁𝐴2

𝑑𝑄𝐴1→𝑑𝐴2

𝑑𝑡=

∫︁𝐴2

∫︁𝐴1

𝐼1 cos 𝜃1 cos 𝜃2

𝑆2 𝑑𝐴1 𝑑𝐴2 (3.6)

Por fim, dividindo a equação 3.6 pela equação 3.5, obtemos a fração de energiaque sai de 𝐴1 e atinge 𝐴2:

𝐹𝑖𝑗 = 𝐹𝐴𝑖 → 𝐴𝑗= 1

𝐴𝑖

∫︁𝐴𝑗

∫︁𝐴𝑖

cos 𝜃𝑖 cos 𝜃𝑗

𝜋𝑆2 𝑑𝐴𝑖 𝑑𝐴𝑗 (3.7)

Para o calculo do fator de forma da superfície 2 para a 1, basta inverter os índices2 para 1 na equação 3.7.

3.1 Propriedades do fator de forma entre superfícies difusasSegundo Incropera (2011) existem propriedades ou relações que envolvem o fator

de forma e auxiliam na determinação desse parâmetro em uma situação que envolvemvárias superfícies diferenciais em uma única geometria. São elas: relação de reciprocidadee a regra da soma. Os autores Çengel e Ghajar (2012) fazem ainda outras observaçõese constatam mais duas regras, capazes de minimizar ainda mais os cálculos: regra dasuperposição e regra da simetria.

Relação de reciprocidade - Relação utilizada para determinar um fator deforma em função do outro, a regra é:

𝐴𝑖𝐹𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝐹𝑗𝑖 (3.8)

Regra da Soma - Esta relação diz respeito as superfícies de uma cavidade fechada.Ela é consequência da regra de conservação da radiação que implica no fato de que toda a

3.2. Métodos Analíticos 35

radiação emitida de uma superfície 𝑖 deve ser interceptada pelas superfícies da cavidade.𝑁∑︁

𝑗=1𝐹𝑖𝑗 = 1 (3.9)

Regra da Suerposição - Forma de se expressar uma geometria, com fator deforma desconhecido, em função da soma ou da diferença de geometrias com fatores deforma conhecidos. Após realizar as associações de superposição, usa-se a relação da reci-procidade e/ou a regra da soma para se obter o parâmetro.

Regra da Simetria - Esta regra é mais um forma de simplificar o problema daquantidade de fatores de forma a serem calculados. Ela pode ser expressa como duas (oumais) superfícies que têm simetria em relação a uma terceira e terão fatores de formaidênticos a esta superfície. É interessante assim, antes de começar a realizar cálculos,perceber se existe alguma simetria entre as superfícies da geometria.

3.2 Métodos AnalíticosConfigurações geométricas simples resultam em integrais para fator de forma me-

nos complexas, sendo possível determinar esse fator analiticamente pela integração diretada equação 3.7 do fator de forma (MODEST, 2003).

O método da Integração direta consiste em resolver a equação do fator de forma(3.7) utilizando as propriedades do fator de forma e técnicas básicas de integração. Apartir disso são obtidas as fórmulas das geometrias mais simples, como o fator de formaentre placas paralelas e placas perpendiculares, ou ainda discos paralelos (REIS, 2001).

3.3 Ferramentas para o cálculo numérico do fator de formaA utilização de métodos numéricos para simplificação dos cálculos de engenharia

é uma ferramenta importante quando se envolvem problemas de difícil resolução. Paraproblemas que envolvam o cálculo do fator de forma entre superfícies complexas, umauxílio computacional para resolução do problema se torna necessário. A seção presente,introduz alguns métodos numéricos utilizados no cálculo de fator de forma.

3.3.1 Malha radioativa

A obtenção de geometrias mais simples é uma das primeiras etapas para o cálculonumérico do fator de forma. Inicialmente, é feito uma divisão da superfície em estudo empartes menores e a partir dessas superfícies menores é calculado os valores dos fatoresde forma (REIS, 2001). A discretização da superfície utilizada em métodos numéricos éconhecida como geração de malha (JUNIOR, 2001).


O tipo de malha mais utilizada em problemas que envolvem o cálculo do fatorde forma é a malha triangular. A malha triangular deve ser a mais refinada possível(menores divisões triangulares) para obtenção de melhores resultados. Podemos ver nafigura 6 exemplos de malhas triangulares.

Figura 6 – Exemplos de malhas radioativas triangulares (JUNIOR, 2001)

Com a utilização de quantidades maiores de subdivisões , ocorre um refinamentoda malha e consequentemente, melhores resultados (REIS, 2001). Para tal refinamento,considerou-se a relação 3.10:

𝐹12 = 1𝐴1

𝑀∑︁𝑢=1

𝐹𝑑1,𝑢−2Δ𝐴1,𝑢 (3.10)

Um dos problemas encontrados com o refinamento da malha a partir da equação3.10 é que, o tempo computacional para resolução do problema é elevado, além disso, podeocorrer a geração de sub-elementos desnecessários (REIS, 2001). Para resolver esse pro-blema, Sillion e Puech (1989) propuseram a subdivisão dos elementos discretizados apenasnas áreas que apresentam problemas na malha, diminuindo assim, o tempo computacionalpara o cálculo do fator de forma.

3.3.2 Quadratura de Gauss

A Quadratura de Gauss é uma ferramenta de integração numérica (AZEVEDO,2003). No cálculo numérico, a fórmula de quadratura é uma aproximação da integraldefinida que segue o seguinte modelo (BURDEN; FAIRES; TASKS, 2008 apud CAMPOS,2012):

𝐼(𝑓) =𝑏∫︁

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (3.11)

3.3. Ferramentas para o cálculo numérico do fator de forma 37

A equação 3.11, pode ser resolvida pela Quadratura de Gauss, isto é feito apro-ximando o valor da integral 3.11 a um somatório ponderado, que segue a seguinte forma(SOARES, 2013):

𝐽 =𝑁∑︁

𝑖=1𝜔𝑖𝑓(𝑃𝑖) (3.12)

onde

∙ 𝜔𝑖: função peso da Quadratura de Gauss

∙ 𝑃𝑖 : nós no intervalo [𝑎; 𝑏]

A Quadradura de Gauss tem como vantagem a possibilidade de escolha dos coefi-cientes da função peso bem como, a localização onde as funções serão avaliadas (BRAGA,2008).

No caso de um integral dupla, temos as seguintes transformações:

𝐼 =𝑏∫︁

𝑎

𝑏∫︁𝑎

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 −→ 𝐽 =𝑏∫︁

𝑎

[𝑛𝑥∑︁

𝐾=0𝜔𝑖𝑓(𝑃𝑖𝑦)]𝑑𝑦 (3.13)

onde, 𝑛𝑥 : número de pontos utilizados na direção 𝑥.

Considerando que a função integrante da equação 𝐽 é uma função 𝑔(𝑦), podemosreescrever a equação 3.13 da seguinte forma:

𝐽 =𝑏∫︁

𝑎

𝑔(𝑦)𝑑𝑦 (3.14)

sendo,𝑔(𝑦) =

𝑛𝑥∑︁𝑖=1

𝜔𝑖𝑓(𝑃𝑖𝑦) (3.15)

Substituindo a integral em ordem a y e colocando-a em forma genérica temos:

𝐽 =𝑛𝑦∑︁

𝑗=1𝜔𝑗𝑔(𝑃𝑗) (3.16)

onde, 𝑛𝑦 é o número de pontos de Gauss utilizados na direção y.

Reorganizando a equação 3.16, chegamos na fórmula geral da quadratura de Gausspara o caso de uma integral dupla:

𝐽 =𝑛𝑦∑︁

𝑗=1𝜔𝑗 [

𝑛𝑥∑︁𝑖=1

𝜔𝑖𝑓(𝑃𝑖𝑃𝑗)] −→ 𝐽 =𝑛𝑥∑︁𝑖=1

𝑛𝑦∑︁𝑗=1

𝜔𝑖𝜔𝑗𝑓(𝑃𝑖𝑃𝑗) (3.17)


No caso deste trabalho, a Quadratura de Gauss será a ferramenta utilizada pararesolver o problema da integral dupla do fator de forma. Para tanto a função peso seráunitária, pois o fator de forma será avaliado apenas no centro do elemento de área consi-derado. E a integral dupla presente em 3.7 se torna:

𝐹𝑖𝑗 = 1𝐴𝑖

𝐴𝑖∑︁𝑖=1

𝐴𝑗∑︁𝑗=1

cos 𝜃𝑖 cos 𝜃𝑗

𝜋𝑆2 Δ𝐴𝑖 Δ𝐴𝑗 (3.18)

onde,

∙ 𝐴𝑖: área total da superfície 1;

∙ 𝑆: distância entre os pontos;

∙ 𝜃𝑖: ângulo formado entre a distância entre os pontos e a normal da superfície 𝑖;

∙ 𝜃𝑗: ângulo formado entre a distância entre os pontos e a normal da superfície 𝑗;

∙ Δ𝐴𝑖: área de um elemento da superfície 𝑖;

∙ Δ𝐴𝑗: área de um elemento da superfície 𝑗.

39

4 Metodologia

A partir dos estudos realizados até aqui, foi possível a implementação de umametodologia para o cálculo do fator de forma entre duas superfícies genéricas e de geo-metrias simples. A seguir, são mostradas as etapas desenvolvidas até a obtenção final dovalor do fator de forma entre duas placas quadradas paralelas e duas placas quadradasperpendiculares.

4.1 Fator de forma entre placas paralelas1. Inicialmente, foi escolhida uma geometria para o cálculo do fator de forma. As super-

fícies em questão foram duas placas paralelas com dimensões de 1000 𝑚𝑚 𝑥 1000 𝑚𝑚.As placas foram separadas com a distância de 1000 𝑚𝑚 . A superfície foi desenhadano ambiente part designer do software CATIA V5R19. A Figura 7, mostra as di-mensões das placas paralelas e o esquema de trabalho adotado.

(a) (b)

Figura 7 – Dimensões em (a) e posição das superfícies de trabalho em (b)

2. Posteriormente, foi gerada a malha da superfície em estudo. Como não se conheciao tamanho ideal para a malha, foram construídos três tipos de malha triangulares.Uma com 4 triângulos, outra com 8 e mais uma com 50. Ambas estão em 8.

40 Capítulo 4. Metodologia

(a) (b)

(c)

Figura 8 – Discretizações utilizadas.(a) malha de 4 triângulos, (b) malha de 8 triângulose (c) malha de 50 triângulos.

3. Após a divisão em triângulos, o próximo passo foi determinar o baricentro. Foi mar-cado um ponto no centro de cada triângulo. Para tanto, foi criado um triânguloretângulo dentro de um dos triângulos, Figura 9(a) . A medida da altura deste tri-ângulo foi de 141, 421 mm. A partir disso o ponto central, ou baricentro do triânguloisósceles de origem, foi marcado na metade da altura do triângulo retângulo, comomostra a Figura 9(b) e isso se repetiu para todos os 50 triângulos isósceles de am-bas as placas. A observação do triângulo retângulo foi feita nas malhas de 4 e 8triângulos também, para que se pudesse encontrar o baricentro de cada um.

4.1. Fator de forma entre placas paralelas 41

(a) (b)

Figura 9 – Determinação do baricentro nos triângulos da malha.Em (a) Desenho do tri-ângulo retângulo e em (b) baricentro do triângulo.

4. Após realizar todas as marcações, foi possível medir a distância entre todos os pontosdas duas placas, o qual chamaremos de “S”. O esquema utilizado é apresentado naFigura 10.

Figura 10 – Esquema para medição de 𝑆.

O número de medições de 𝑆 é considerável, principalmente para a placa com malhade 50 triângulos. Para resolver tal questão recorreu-se ao princípio da simetria, umadas propriedades do fator de forma descrita na seção 3.1. Como já foi explicado assuperfícies em estudo são idênticas por toda a sua extensão. A partir desta colocação


foi possível encontrar as relações de simetria. Para as malhas de 4 e 8 triângulosmediu-se apenas 4 e 8 "𝑆𝑠", respectivamente, de um triângulo. No caso da malha de50 optou-se por usar relações de simetria, o que tornou as medições mais simples,conforme mostra na Figura 11.Tais relações fizeram com que o cálculo de 2500 “𝑆𝑠”(50 𝑥 50) se reduzisse para 550.

Figura 11 – Simetria utilizada para simplificação de medições.

5. A partir do esquema da Figura 10 foi possível obter todos os parâmetros para ocálculo do fator de forma entre dois triângulos. Os parâmetros foram relacionadospela equação 3.18. A área total da superfície 1, no caso da 3.18 foi calculada usandoa fórmula da área de um quadrado 𝑙 𝑥 𝑙 (LAMAS et al., 2007). O que resultouem 1𝑚2 por placa. As distâncias 𝑆 foram obtidas por meio da ferramenta MeasureBetween presente no software Catia V5R19, conforme mostrado na Figura 10.

Os ângulo 𝜃1 e 𝜃2 foram obtidos conforme observado na Figura 12.

4.2. Fator de Forma entre placas perpendiculares 43

(a) (b)

Figura 12 – Triângulos para a obtenção de 𝜃1 (a) e 𝜃2 (b)

A Figura 12 nos permite encontrar 𝜃1, partindo do triângulo (a) e 𝑧𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎2 partindodo triângulo (b). Ambos são determinados pela relação trigonométrica:

cos−1 𝐿

𝑆(4.1)

Onde, 𝐿 equivale a distância entre as placas e 𝑆 distância entre os pontos. Todas asdistâncias foram consideradas em metros (m).

As áreas Δ𝐴1 e Δ𝐴2 mudam de acordo com o tipo de malha utilizada, porém,possuem o mesmo valor em cada malha. Para os triângulos da malha de 4 a áreafoi calculada como: 1 𝑚2

4 = 0, 25 𝑚2. Para a malha de 8, a área foi dada por 1 𝑚2

8 =0, 125 𝑚2 , e por fim, para a malha de 50 tivemos 1 𝑚2

50 = 0, 02 𝑚2 .

O resultado do valor do fator de forma foi encontrado com o auxílio da ferramentacomputacional Microsoft Excel 2010, que foi utilizada para otimizar os cálculos dosdiversos fatores de forma que compõe a somatória.

4.2 Fator de Forma entre placas perpendicularesEsta seção aborda uma nova situação para teste e aplicação da metodologia apre-

senta em 4.1. Aqui é calculado o fator de forma entre duas placas quadradas perpendicu-lares e de áreas idênticas.

1. Primeiro foi feito o desenho da geometria a ser estudada no ambiente part designerdo software CATIA V5R19.As placas têm dimensões de 1000 𝑥 1000. Foi desenhadauma placa no plano 𝑥 e a outra no plano perpendicular a ela, 𝑦. Como mostradoem 13.


Figura 13 – Geometria placas perpendiculares.

2. O próximo passo foi a discretização das superfícies assim como foi feito nos proce-dimentos em 4.1. Para este caso foram construídos dois tipos de malha: uma com 4triângulos e a outra com 8. A Figura 14 ilustra a discretização das superfícies dasplacas.

(a) (b)

Figura 14 – Discretização placas perpendiculares, (a) divisão em 4 triângulos e (b) divisãoem 8 triângulos.

3. A determinação do baricentro dos triângulos ocorreu de forma idêntica a explicadano item 3 da seção 4.1.

4. Após realizar todas as marcações, foi possível medir a distância entre todos os pontos


das duas placas, a qual chamamos de “S”. Porém, para este caso se fez necessárioretirar um triângulo entre os pontos que se queria conhecer o fator de forma. Pois,diferentemente do que ocorreu para as placas paralelas, o teta 1 e o teta 2 nãosão iguais. O esquema da Figura 15 mostra como foram feitas as medições. Para a

Figura 15 – Esquema de medições para o cálculo do fator de forma entre as placas per-pendiculares.

malha de 4 triângulos, foi necessário calcular as distâncias apenas de um triânguloda superfície 1 para os 4 da superfície 2, tendo como base o princípio da simetria.Este conceito foi utilizado também para a malha com 8 triângulos diminuindo assimas medições a serem realizadas. O esquema da Figura 16 ilustra a simetria utilizada.A simetria novamente otimizou a obtenção das medições, as quais foram reduzidasde 192 para 96 no caso da malha de 8 triângulos, e de 48 para 12, no caso da malhade 4 triângulos.


Figura 16 – Simetria utilizada para determinação do fator de forma entre placas perpen-diculares, malha com 8 triângulos.

5. A partir do esquema da figura 15 foi possível obter todos os parâmetros para ocálculo do fator de forma entre dois triângulos. Os parâmetros são relacionadospela equação 3.18. A área total da superfície 1 , também é calculada pela equação𝑙 𝑥 𝑙 (LAMAS et al., 2007) e tem o valor de 1𝑚2. As distâncias 𝑆 foram obtidas pelosoftware Catia V5R19 utilizando a ferramente Measure Between, conforme mostradona Figura 15.

O ângulo 𝜃1 e 𝜃2 foram obtidos a partir de relações trigonométricas retiradas dotriângulo medido em 15. A Figura 17 exemplifica o que foi explicado.


Figura 17 – Triângulo base para encontrar 𝜃1 e 𝜃2.

Para determinar 𝜃1 : cos−1(𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎𝑆

). E para 𝜃2: cos−1(𝐵𝑎𝑠𝑒𝑆

).

As áreas Δ𝐴1 e Δ𝐴2 mudam de acordo com o tipo de malha utilizada, porém,possuem o mesmo valor em cada malha. Para os triângulos da malha de 4 a áreafoi calculada como: 1𝑚2

4 = 0, 25 𝑚2. Para a malha de 8, a área foi dado por:1𝑚2

8 = 0, 125 𝑚2 .

O resultado do valor do fator de forma foi encontrado com o auxílio da ferra-menta computacional Microsoft Excel 2010, que foi utilizada para otimizar os cálculosdos diversos fatores de forma que compõe a somatória.

5 Resultados e Discussão

O presente capítulo tem como objetivo mostrar os resultados e discussões dosestudos de caso propostos para se calcular o fator de forma. O capítulo é dividido emduas seções: a primeira seção trata do caso de duas placas paralelas, enquanto a segundaseção apresenta o caso de duas placas perpendiculares.

5.1 Fator de Forma entre placas paralelasCom a metodologia descrita na seção, foi possível calcular o fator de forma pela

equação 3.18.

Para comparação de resultados, buscou-se na literatura um autor que tratasse dotema abordado e já tivesse realizado um trabalho parecido. Mazumder e Ravishankar(2012), mostra diferentes valores de fatores de forma para diferentes superfícies. No casode placas paralelas o valor encontrado pelos autores foi de 0, 199825 , conforme mostra aFigura 18

Figura 18 – Valor teórico do fator de forma entre duas placas paralelas (MAZUMDER;RAVISHANKAR, 2012).

Para se obter o valor do fator de forma entre placas paralelas, se fez necessário orefinamento da malha. O refinamento da malha tem como objetivo obter o valor numéricomais aproximado possível do teórico.

Para cada valor do fator de forma , tem-se um erro associado, esse erro é dadopela equação 5.1.

𝑋𝑖 − 𝑋𝑣

𝑋𝑣

100 (%) (5.1)


Onde, 𝑋𝑖 é o valor obtido analiticamente no trabalho e 𝑋𝑣 é o valor encontrado na teoriade Mazumder e Ravishankar (2012).

A seguir, é apresentada a Tabela 2 com a evolução do valor do fator de forma deacordo com diferentes tipos de malhas e os erros associados a cada medição.

Tabela 2 – Comparação de acurácia entre malhas - fator de forma entre duas placas pa-ralelas

Malha(Quantidade de triângulos) Valor do Fator de Forma Erro associado (%)4 0, 256259 28, 2428 0, 196912 1, 45850 0, 201098 0, 637

A partir da Tabela 2, podemos observar que a medida que dividimos a superfície deestudo em “partes” menores, conseguimos uma melhor aproximação do valor encontradona teoria que foi de 0, 199825.

O valor encontrado do fator de forma com a malha mais refinada foi de 0, 201098.Este valor faz relação da quantidade de energia que deixa a superfície 1 e atinge a superfície2. Sendo assim, em uma situação real, poderíamos inferir que, em torno de 20, 1% deenergia sai da superfície 1 e atinge a superfície 2.

Como podemos observar, a medida que refinamos a malha, o erro relativo diminui,sendo 0, 637% para a malha dividida em 50 triângulos.

5.2 Fator de Forma entre placas perpendicularesCom a metodologia descrita na seção 4.2, foi possível calcular o fator de forma

pela equação 3.18.

O mesmo autor Mazumder e Ravishankar (2012), foi usado para a comparaçãoentre o valor encontrado pela metodologia da seção 4.2 e o valor teórico. O valor teórico,para este caso foi de 0, 200044 (Figura 19).

50 Capítulo 5. Resultados e Discussão

Figura 19 – Valor teórico do fator de forma entre duas placas perpendiculares (MAZUM-DER; RAVISHANKAR, 2012).

Foram construídos dois tipos de malha. A primeira malha foi discretizada em 4triângulos, enquanto a segunda foi em 8 triângulos. A seguir é mostrada a Tabela 3 com ovalor dos fatores e seus respectivos erros. Lembrando que , o erro foi calculado de acordocom a equação 5.1.

Tabela 3 – Comparação de acurácia entre malhas - fator de forma entre duas placas per-pendiculares

Malha(Quantidade de triângulos) Valor do Fator de Forma Erro associado (%)4 0, 304204 52, 078 0, 351873 75, 89

O valor encontrado do fator de forma com a malha mais refinada (8 triângulos)foi de 0, 351873. Para a malha de 4 triângulos foi de 0, 304204. Tais valores se distanci-aram do valor teórico apresentado na Figura 19. O erro associado a eles foi de 75, 89%e 52, 07%, respectivamente. A partir disso, concluímos que as discretizações escolhidasnão são apropriadas, sendo necessário a construção de malhas mais refinadas. Porém, ocálculo analítico não é viável devido ao número de medições que precisariam ser feitas,no caso, seria o triplo das medições entre placas paralelas.

Neste contexto se faz necessária a inserção de métodos numéricos que otimizem ocálculo do fator de forma.

51

6 Conclusões

O fator de forma é uma ferramenta importante para estudos que envolvem radiaçãotérmica. Como observado no decorrer do trabalho, quatro parâmetros geométricos devemser levados em consideração para o cálculo do fator de forma: 𝜃1, 𝜃2, a distância (𝑆) entreos pontos avaliados e as áreas envolvidas. A equação que relaciona tais parâmetros é dedifícil resolução quando aplicada em geometrias mais complexas, porém para geometriassimples a resolução se torna simples.

A metodologia apresentada na primeira etapa do trabalho de conclusão de curso,possibilitou a obtenção do fator de forma entre duas placas quadradas paralelas e duasplacas quadradas perpendiculares. Assim, concluímos que o método utilizado poderá serimplementado para superfícies reais que envolvam trocas de radiação térmica, possibili-tando quantificar as trocas de energia que acontecem entre as superfícies. Para tanto, seránecessário a otimização do cálculo apresentado, inserindo ferramentas de cálculo numérico.

6.1 Trabalhos FuturosPara o trabalho de conclusão de curso 2, pretende-se a realização de cálculos para

obtenção do fator de forma aplicados a uma superfície real. As superfícies em questãosão de um corpo de forma genérica inserido em um reator também de forma genérica,conforme mostra a Figura 20:

Figura 20 – Esquema de um reator com um corpo de forma genérica inserido nele.

Para resolver o problema será necessário a implementação de um código que calculenumericamente o fator de forma, dadas as duas superfícies. Tal implementação necessitaráde um software para ser realizada, no caso o Matlab.

Referências

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