TE802 { Processos Estoc asticos em Engenharia · 2017-10-30 · TE802 { Processos Estoc asticos em Engenharia Processamento de Sinais Aleat orios Evelio M. G. Fern andez 30 de outubro

TE802 – Processos Estocasticos em EngenhariaProcessamento de Sinais Aleatorios

Evelio M. G. Fernandez

30 de outubro de 2017

Evelio M. G. Fernandez TE060 – Processamento de Sinais Aleatorios

Classificacao de Sinais

Sinais Determinısticos

Sinais Aleatorios

Sinais Periodicos

Sinais nao Periodicos

Sinais Analogicos

Sinais Discretos

Sinais de Energia

Sinais de Potencia


Notes

Notes


Sinais DeterminısticosNao ha incerteza em relacao com o seu valor em qualquerinstante de tempo. Ex: x(t) = A cos(2πf0t+ φ0), A, f0, φ0 :constantes conhecidas.

Sinais AleatoriosHa algum grau de incerteza sobre o seu valor. Observadodurante um longo perıodo de tempo ⇒ processo aleatorio:exibe determinadas regularidades que podem ser descritas emtermos de probabilidades e medias estatısticas.



Sinais Periodicos: x(t) = x(t+ T0), −∞ < t <∞Sinais nao Periodicos: Ex: pulsos, sinais digitais

Sinal Analogico:x(t)→ funcao contınua do tempo ⇒ e unicamente definidapara todo t

Sinal Discreto:x[kT ], k = 0,±1,±2, · · · → somente existe em valoresdiscretos de tempoSinal Digital: tempo e amplitude tem valores discretos


Notes

Notes

Sinais de Energia e Sinais de Potencia

Sinal eletrico, x(t): tensao, v(t), ou corrente, i(t), compotencia instantanea p(t) dada por:

p(t) = v2(t)/R = i2(t)R. Supondo R = 1Ω,⇒ p(t) = x2(t)

A energia dissipada durante o intervalo de tempo (−T/2, T/2)por um sinal real com potencia instantanea p(t) e,

ETX =

∫ T2

−T2

x2(t) dt



A potencia media dissipada pelo sinal durante esse intervalo e,

P TX = 1TE

TX = 1

T

∫ T2

−T2

x2(t) dt

Potencia Media

E a taxa a qual a energia e liberada. → Determina a tensao (oucorrente) que deve ser aplicada a um transmissor, intensidade decampo magnetico, ...


Notes

Notes


Sinais de Energia: 0 < EX <∞. Onde,

EX = limT→∞

ETX = limT→∞

∫ T2

−T2

x2(t) dt =

∫ ∞−∞

x2(t) dt

Sinais de Potencia: 0 < PX <∞. Onde,

PX = limT→∞

P TX = limT→∞

1

T

∫ T2

−T2

x2(t) dt

Lembrar que: limT→∞

1

T

∫ T2

−T2

[·] dt = 〈[·]〉 → media temporal.

Para sinais periodicos: 〈[·]〉 =1

T0

∫ T02+a

−T02+a

[·] dt


Energia e Potencia Media de Sinais

Tempo contınuo Tempo discreto

Energia total de si-nais nao periodicos

E =

∫ ∞−∞|x(t)|2dt E =

∞∑n−∞

|x[n]|2

Potencia media desinais nao periodicos

P = limT→∞

1

T

∫ T2

−T2

|x(t)|2dt P = limN→∞

1

2N

∞∑n−∞

|x[n]|2

Potencia media desinais periodicos

P =1

T0

∫ T02

−T02

|x(t)|2dt P =1

N

N−1∑n=0

|x[n]|2

Sinais de Energia: 0 < EX <∞ e P = 0

Sinais de Potencia: 0 < PX <∞ e E =∞.


Notes

Notes

Transformada de Fourier

g(t) G(f)

G(f) = F [g(t)] =

∫ ∞−∞

g(t)e−j2πft dt

g(t) = F−1[G(f)] =

∫ ∞−∞

G(f)ej2πft df

G(f) = X(f) + jY (f)

G(f) = |G(f)|ejθ(f)

|G(f)| =√X2(f) + Y 2(f) e θ(f) = tan−1

(Y (f)X(f)

)


Algumas propriedades da Trasformada de Fourier

1 Se g(t) e real, entao

G(−f) = G∗(f)|G(−f)| = |G(f)|θ(−f) = −θ(f)

2 Teorema de Parseval:∫ ∞−∞

g1(t)g∗2(t) dt =

∫ ∞−∞

G1(f)G∗2(f) df

Se g1(t) = g2(t) = g(t)⇒ Teorema da Energia de Rayleigh:

E =

∫ ∞−∞|g(t)|2 dt =

∫ ∞−∞|G(f)|2 df .


Notes

Notes

Transmissao de Sinais atraves de Sistemas Lineares

y(t) =

∫ ∞−∞

x(τ)h(t− τ) dτ

Y (f) = X(f)H(f)

Integral de Convolucao

Integral ponderada (de acordo com h(t)) sobre a historia passada do sinalde entrada onde,

τ – tempo de excitacao;

t – tempo de resposta;

(t− τ) – memoria do sistema.


Notes

Notes

Exercıcios

Exercıcio 1: Considere o sinal g(t) =2a

(2πt)2 + a2, a > 0.

Determine o valor de B tal que a faixa de frequencias [−B,B]contenha 99% da energia total de g(t).

Exercıcio 2: Considere o circuito RC mostrado na figura.Determine H(f) e h(t).


Exercıcio 3

Considere o sinal x(t) = 10 cos(2πf1t) + 5 cos(4πf1t) ondef1 = 2kHz. Este sinal e enviado atraves de um sistema linearinvariante no tempo com reposta impulsiva h(t) = 1 parat ∈ [0,1ms] e zero fora desse intervalo. Seja y(t) a saıda dosistema linear. Determine:

(a) A transformada de Fourier do sinal x(t);

(b) A potencia media de x(t);

(c) A funcao de transferencia do sistema, esbocando a resposta deamplitude;

(d) O sinal de saıda, y(t);

(e) A potencia media do sinal de saıda y(t).


Notes

Notes

Passagem de um Processo Aleatorio por um Sistema Linear

Y (t) =

∫ ∞−∞

h(u)X(t− u) du =

∫ ∞−∞

h(t− u)X(u) du

E[Y (t)] = E

[∫ ∞−∞

h(u)X(t− u) du]=

∫ ∞−∞

h(u)E[X(t− u)] du

Se X(t)→ estacionario no sentido amplo:

µY = E[Y (t)] = µX

∫ ∞−∞

h(u) du = µXH(0)

RY (τ) =

∫ ∞−∞

h(u)

∫ ∞−∞

h(v)RX(τ + u− v)dvdu

RXY (τ) =

∫ ∞−∞

h(u)RX(τ − u)du

RY (τ) =

∫ ∞−∞

h(−w)RXY (t− w)dw


Exemplo 2

Um processo de ruıdo branco Gaussiano W (t) com funcao deautocorrelacao RW (τ) = N0

2 δ(t) e passado atraves de um sistemalinear com resposta impulsiva dada por:

h(t) =

1/T, 0 ≤ t ≤ T,

0, fora.

Com relacao ao processo de saıda Y (t), determine:

(a) E[Y (t)]

(b) RWY (τ)

(c) RY (τ)

(d) Seja N0 = 10−15 W/Hz e T = 10−3 s. Para um determinadoinstante de tempo t0, determine P[Y (t0) > 4× 10−6].


Notes

Notes

Filtragem Linear de Sequencias Aleatorias

Considere a sequencia aleatoria Xn obtida atraves da amostragemde um processo aleatorio de tempo contınuo X(t) a uma taxa de1/Ts amostras por segundo. Se X(t) e um processo estacionariono sentido amplo com E[X(t)] = µX e autocorrelacao RX(τ),entao Xn e uma sequencia aleatoria estacionaria no sentido amplocom E[Xn] = µX e funcao de autocorrelacao RX [k] = RX(kTs).

Exemplo 3: Considere a sequencia aleatoria Yn obtida atraves daamostragem do processo Y (t) do exemplo 2 a uma taxa fs = 104

amostras por segundo. Determine a funcao de autocorrelacaoRY [k].



A resposta impulsiva de um sistema linear de tempo discreto e uma sequenciahn, n = . . . ,−1, 0, 1, . . . A saıda do sistema e dada pela convolucao de tempodiscreto de hn com a sequencia de entrada Xn:

Yn =∞∑

i=−∞hiXn−i.

Se Xn e uma sequencia aleatoria estacionaria no sentido amplo, entao Yn tem asseguintes propriedades:

Yn e uma sequencia estacionaria no sentido amplo com:

µY = E[Yn] = µX

∞∑n=−∞

hn e RY [n] =∞∑

i=−∞

∞∑j=−∞

hihjRX [n+ i− j]

Yn e Xn sao conjuntamente estacionarias no sentido amplo com correlacaocruzada dada por:

RXY [n] =

∞∑i=−∞

hiRX [n− i]

RY [n] =

∞∑i=−∞

h−iRXY [n− i].


Notes

Notes

Exemplo 4

Uma sequencia aleatoria estacionaria no sentido amplo Xn com µX = 1e funcao de autocorrelacao RX [n] e a entrada de um sistema linear detempo discreto com resposta impulsiva hn, onde:

hn =

1/M, n = 0, . . . ,M − 1,0, fora,

e RX [n] =

4, n = 0,2, n = ±1,0, |n| > 2.

Com relacao a sequencia de saıda Yn e considerando M = 2, determine:

(a) µY

(b) RY [n]

(c) Var[Yn].



Filtros de resposta impulsiva finita (FIR):

Yn =

M−1∑i=0

hiXn−i,

Filtros de resposta impulsiva infinita (IIR):

Yn =

∞∑i=0

hiXn−i =

M−1∑i=0

aiXn−i +

N∑j=1

bjYn−j .

Exemplo 5: Considere um integrador de tempo discreto de primeiraordem cuja saıda e Yn = Xn + 0,8Yn−1 onde Xn e uma sequenciaaleatoria estacionaria no sentido amplo.

(a) Determine a resposta impulsiva do integrador, hn;

(b) Determine [Y 2n ] sabendo que, com relacao a sequencia de entrada,

µX = 0 e sua funcao de autocorrelacao e dada por:

RX [n] =

1, n = 0,0,5, |n| = 1,0, |n| ≥ 2.


Notes

Notes

Densidade Espectral de Potencia de Processos Aleatorios de Tempo Contınuo

Seja XT (f) =

∫ T

−Tx(t)e−j2πftdt a transformada de Fourier da

versao truncada de uma funcao amostra x(t) de um processoaleatorio estacionario no sentido amplo X(t).

Densidade Espectral de Potencia:

SX(f) = limT→∞

1

2TE[|XT (f)|2

]= lim

T→∞

1

2TE

[∣∣∣∣∫ T

−Tx(t)e−j2πftdt

∣∣∣∣2]

Teorema de Wiener-Khintchine

SX(f) =

∫ ∞−∞

RX(τ)e−j2πfτdτ, RX(τ) =

∫ ∞−∞

SX(f)ej2πfτdf


Propriedades de SX(f)

1 SX(0) =

∫ ∞−∞

RX(τ) dτ

2 E[X2(t)

]=

∫ ∞−∞

SX(f) df = RX(0)

3 SX(f) ≥ 0

4 SX(−f) = SX(f) se o processo aleatorio for real


Notes

Notes

Exemplo: Onda senoidal com fase aleatoria

RX(τ) = A2

2 cos(2πfcτ) SX(f) = A2

4 [δ(f − fc) + δ(f + fc)]


Exemplo: Sequencia Binaria Aleatoria

RX(τ) =

A2[1− |τ |T

], |τ | < T

0, |τ | ≥ T SX(f) = A2T sinc2(fT )


Notes

Notes

Ruıdo Branco

Ruıdo Branco: Forma idealizada cuja densidade espectral depotencia e independente da frequencia de operacao

Ruıdo na saıda de um filtro passa-baixas ideal

SN (f) =

N02, −B < f < B

0, |f | > B

RN (τ) =

∫ ∞−∞

N0

2ej2πfτdf = N0B sinc(2Bτ)


Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT): A sequencia. . . , x−2,x−1,x0,x1,x2, . . . e a funcao X(φ) formam um par detransformadas de Fourier para o tempo discreto se

X(φ) =

∞∑n=−∞

xne−j2πφn, xn =

∫ 1/2

−1/2

X(φ)ej2πφndφ

Notes

Notes

Densidade Espectral de Potencia de Sequencias Aleatorias

Seja XL(φ) =

L∑n=−L

xne−j2πφn a transformada de Fourier de

tempo discreto da versao truncada de uma funcao amostra xn deuma sequencia aleatoria no sentido amplo Xn.

Densidade Espectral de Potencia

SX(φ) = limL→∞

1

2L+ 1E

∣∣∣∣∣L∑

n=−LXne

−j2πφn

∣∣∣∣∣2

Teorema de Wiener-Khintchine de Tempo Discreto

SX(φ) =

∞∑k=−∞

RX [k]e−j2πφk, RX [k] =

∫ 1/2

−1/2SX(φ)ej2πφkdφ


Propriedades de SX(φ)

1 SX(0) =

∞∑k=−∞

RX [k];

2 E[X2n

]=

∫ 1/2

−1/2SX(φ) dφ = RX [0];

3 SX(f) ≥ 0;

4 SX(−φ) = SX(φ) se a sequencia aleatoria for real;

5 para qualquer inteiro n, SX(φ+ n) = SX(φ).


Notes

Notes

Exemplos

Exemplo 6: A sequencia aleatoria estacionaria Xn tem valoresperado igual a zero e funcao de autocorrelacao dada por:

RX [k] =

σ2(2− |n|)/4, n = −1,0,1,0, fora.

Determine a densidade espectral de potencia de Xn.

Exemplo 7: A sequencia aleatoria estacionaria Xn tem valoresperado igual a zero e densidade espectral de potencia dada por:

SX(φ) =1

2δ(φ− φ0) +

1

2δ(φ+ φ0),

onde 0 < φ0 < 1/2. Determine a autocorrelacao RX [k].


Processamento de Sinais Aleatorios no Domınio da Frequencia

SY (f) = |H(f)|2SX(f), SY (φ) = |H(φ)|2SX(φ)

Exemplo 8: Uma funcao amostra de processo aleatorioestacionario no sentido amplo X(t) com funcao de autocorrelacaoRX(τ) = e−b|τ | e o sinal de entrada de um filtro RC passa-baixas.Supondo b > 0 e b 6= 1, determine SY (f) e RY (τ). Determine apotencia media do processo de saıda.


Notes

Notes

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